精品解析：江苏省南通市启东市2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024～2025学年度第二学期3月份质量测试 九年级数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1. 2平方根是（ ） A. B. C. D. 2 2 年春节期间，西溪景区日均人流量约人次，数据用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 3. 一次数学达标检测的成绩以80分为标准成绩，“奋斗”小组4名学生的成绩与标准成绩的差如下: －7分、－6分、+9分、+2分，他们的平均成绩为（ ） A. 78分 B. 82分 C. 80.5分 D. 79.5分 4. 一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你！这个人字架中的，你能求出比大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是（　　） A. B. C. D. 5. 某知识竞赛共有20题，答对一题得5分，答错或不答每题扣2分．小明答对了道题，得分不低于70分，则可列不等式是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点是边上的任意一点，则的长不可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知一次函数，那么下列说法错误的是（ ） A. 图象经过第一、二、四象限 B. y随x的增大而减小 C. 图象与y轴交于点 D. 当时， 8. 如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接．若．则度数是（ ） A. B. C. D. 9. 若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）． A. a≤ B. a≥4 C. a≤或 a≥4 D. ≤a≤4 10. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11. 使分式有意义的的取值范围是________． 12. 计算 的结果是___． 13. 如图，直尺的一边经过直角三角板的顶点，另一边与三角板的两条直角边分别相交，若，则______． 14. 某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为__________． 15. 一条抛物线的顶点坐标为，则该二次函数的函数表达式可以为______． 16. 在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．如果，则的长为________． 17. 如图，点A，B分别在反比例函数 的图像上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB 的面积是4，则k的值为____． 18. 如图，在正方形中，，点H，F分别在边上，若，将线段绕点F顺时针旋转至线段，连接，则线段的最小值为______． 三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 19. （1）化简：； （2）解不等式组：并判断这两个数是否为该不等式组的解？ 20. 已知：如图，，，，且点B、E、C、F都在一条直线上，求证：． 21. 在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3． （1）设矩形的相邻两边长分别为x，y． ①求y关于x函数表达式； ②当y≥3时，求x的取值范围； （2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？ 22. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点，． （1）请你从以下条件①；②；③平分；④中，选择一个使得四边形是菱形的条件________．（填序号）； （2）根据（1）中所选择的条件，求证：四边形是菱形． 23. 甲、乙两种商品的进价分别为55元/千克、15元/千克，每千克甲商品比乙商品售价多60元，售出甲商品20千克与售出乙商品60千克所获得的利润相等． （1）求甲、乙商品的售价； （2）某超市计划同时购进甲、乙两种商品共120千克，且购进甲商品的数量不大于乙商品数量的2倍．要使两种商品销售完后获得的总利润最大，应购进甲、乙两种商品各多少千克？ 24. 工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为（个），乙组加工零件的数量为（个），其函数图象如图所示． （1）求与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 25. 数学课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动． （1）操作判断 小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下： 步骤①：如图1，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤②：连接，．可以判定形状是：　　．（直接写出结论） 小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下： 如图2，先类似小明的步骤①，得到折痕后把纸片展平；在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的一点处，连接． 小华得出的结论是：．请你帮助小华说明理由． （2）迁移探究 小明受小华的启发，继续利用正方形纸片进行探究，过程如下： 如图3，第一步与步骤①一样；然后连接，将沿折叠，使点落在正方形内的一点处，连接并延长交于点，连接，可以得到：　　（直接写出结论）；同时，若正方形的边长是4，可以求出的长，请你完成求解过程． （3）拓展应用 如图4，在矩形中，，．点为上的一点（不与点重合，可以与点重合），将沿着折叠，点的对应点为落在矩形的内部，连接，，当为等腰三角形时，可求得的长为 　　．（直接写出结论） 26. 在平面坐标系中，点在抛物线上，其中． （1）当，时．求抛物线的对称轴； （2）已知当时，总有． ①求证：； ②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出与之间的数量关系；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第二学期3月份质量测试 九年级数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1. 2的平方根是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：2的平方根是， 故选：A． 【点睛】本题考查平方根，熟知一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解答的关键． 2. 年春节期间，西溪景区日均人流量约人次，数据用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 一次数学达标检测的成绩以80分为标准成绩，“奋斗”小组4名学生的成绩与标准成绩的差如下: －7分、－6分、+9分、+2分，他们的平均成绩为（ ） A. 78分 B. 82分 C. 80.5分 D. 79.5分 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，它们的平均成绩是80+（-7-6+9+2）÷4，求解即可． 【详解】“奋斗”小组4名学生的平均成绩是80+（-7-6+9+2）÷4=80+（-0.5）=79.5． 故选D． 【点睛】考查正数和负数的意义．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 4. 一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你！这个人字架中的，你能求出比大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，关键是由掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由邻补角的性质求出，由三角形外角的性质得到． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 某知识竞赛共有20题，答对一题得5分，答错或不答每题扣2分．小明答对了道题，得分不低于70分，则可列不等式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，读懂题意是解题的关键．小明答对了道题，则答错或不答的题目为道，根据得分不低于70分，列出不等式即可． 【详解】解：小明答对了道题，则答错或不答的题目为道，根据题意得： ， 故选：C． 6. 如图，在中，，点是边上的任意一点，则的长不可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和含的直角三角形的性质，当点是的中点时，最小，根据等腰三角形等边对等角的性质求得，根据等腰三角形三线合一的性质求得，然后根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求解． 【详解】解：当点是的中点时，如图所示， ，， ，，此时最小， ， 在中，， 则的长不可能是， 故选：A． 7. 已知一次函数，那么下列说法错误的是（ ） A. 图象经过第一、二、四象限 B. y随x的增大而减小 C. 图象与y轴交于点 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】由，可知图象经过第一、二、四象限；由，可得随的增大而减小；图象与轴的交点为；当时，； 【详解】解：∵，， ∴图象经过第一、二、四象限， A正确； ∵， ∴随的增大而减小， B正确； 令时，， ∴图象与轴的交点为， ∴C正确； 令时，， 当时，； D不正确； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式中，与对函数图象的影响是解题的关键． 8. 如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接．若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用矩形的对角线相等是解决问题的关键.连接，依据矩形的性质，即可得到，再根据即可得出，进而得到的度数. 【详解】解：如图, 连接交于点O， ∵矩形中, ， ， ， ∴， ， 故选：D. 9. 若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）． A a≤ B. a≥4 C. a≤或 a≥4 D. ≤a≤4 【答案】C 【解析】 【分析】把a−ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，由△≥0，得关于a的不等式，解不等式即可． 【详解】把a−ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程， 因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b2−ab+a+2＝0 的判别式△≥0，即a2-4（a+2）≥0，a2-2a-8≥0， （a-4）（a+2）≥0， 解得a≤-2或a≥4． 故选C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点为平面内一动点，， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得， 同理可得，， ∴即， 解得， ∴， ∴当线段取最大值时，点的坐标是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11. 使分式有意义的的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求的取值范围． 详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 12. 计算 的结果是___． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，先化简二次根式和计算二次根式的除法，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 故答案为： 13. 如图，直尺的一边经过直角三角板的顶点，另一边与三角板的两条直角边分别相交，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，求出，得到，由对顶角的在得到． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为，依题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 15. 一条抛物线的顶点坐标为，则该二次函数的函数表达式可以为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点式，熟练掌握其顶点式是解题的关键．设抛物线解析式为，根据抛物线的顶点坐标为，得，于是抛物线解析式为，取的值即可. 【详解】解：设抛物线解析式为， 抛物线的顶点坐标为， ， 抛物线解析式为， 取，此时二次函数的函数表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 16. 在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．如果，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，含角的直角三角形的性质，根据题意得出平分，根据，进而可得，，根据含角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：依题意，平分， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 故答案为：． 17. 如图，点A，B分别在反比例函数 的图像上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB 的面积是4，则k的值为____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，先求出，，得到，根据反比例函数系数k的几何意义即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D，连接， ∵平行四边形的面积是4， ∴ ∵点A在反比例函数的图象上， ∴ ∴， ∵点B在的图象上， ∴ 故答案为：6 18. 如图，在正方形中，，点H，F分别在边上，若，将线段绕点F顺时针旋转至线段，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形中的旋转变换，涉及三角形全等的判定与性质，过点A作交于点N，连接，过H作于G，根据四边形是正方形，将线段绕点F顺时针旋转至线段，可得，，又，即可证明，得，四边形是平行四边形，故，设，可得 ，由二次函数性质可得答案． 【详解】解：过点A作交于点N，连接，过H作于G，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将线段绕点F顺时针旋转至线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设，则 ∴ ∴ ∴当时，最小为， ∴最小为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 19. （1）化简：； （2）解不等式组：并判断这两个数是否为该不等式组的解？ 【答案】（1）（2），是该不等式组的解 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算和解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式组的方法是解答本题的关键． （1）先通分，同时将除法转换为乘法，然后约分即可； （2）先求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵ 是该不等式组的解． 20. 已知：如图，，，，且点B、E、C、F都在一条直线上，求证：． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】先利用平行线的性质，再利用得出，得出，根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 21. 在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3． （1）设矩形的相邻两边长分别为x，y． ①求y关于x的函数表达式； ②当y≥3时，求x的取值范围； （2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？ 【答案】（1）①y=；②0＜x≤1；（2）方方说的对，理由见解析. 【解析】 【详解】解：（1）①由题意可得：xy=3， 则y=； ②当y≥3时，≥3， 解得：x≤1， ∴0＜x≤1； （2）方方说的对，圆圆说的不对； ∵一个矩形的周长为6， ∴x+y=3， ∴x+=3， 整理得：x2﹣3x+3=0， ∵b2﹣4ac=9﹣12=﹣3＜0， ∴矩形的周长不可能是6； ∵一个矩形的周长为10， ∴x+y=5， ∴x+=5， 整理得：x2﹣5x+3=0， ∵b2﹣4ac=25﹣12=13＞0， ∴矩形的周长可能是10． 22. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点，． （1）请你从以下条件①；②；③平分；④中，选择一个使得四边形是菱形的条件________．（填序号）； （2）根据（1）中所选择的条件，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）①或②或③（任写一个即可） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目中的条件即可得到结论； （2）先证明，可得，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐一证明即可得到结论； 【小问1详解】 解：添加①或②或③； 【小问2详解】 ∵是的中点，． ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ①添加：， ∴四边形是菱形， ②添加：， ∴四边形是菱形， ③添加：平分， ∴，而， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ④添加：， 而，， ∴， ∴四边形是矩形．不是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 23. 甲、乙两种商品的进价分别为55元/千克、15元/千克，每千克甲商品比乙商品售价多60元，售出甲商品20千克与售出乙商品60千克所获得的利润相等． （1）求甲、乙商品的售价； （2）某超市计划同时购进甲、乙两种商品共120千克，且购进甲商品的数量不大于乙商品数量的2倍．要使两种商品销售完后获得的总利润最大，应购进甲、乙两种商品各多少千克？ 【答案】（1）甲、乙商品的售价分别为元和元 （2）购进甲商品千克，乙商品千克，获得的利润最大 【解析】 【分析】（1）设甲、乙商品的售价分别为元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购进甲商品千克，总利润为，根据题意，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙商品的售价分别为元，由题意，得： ，解得：； 答：甲、乙商品售价分别为元和元； 【小问2详解】 设购进甲商品千克，则购进千克乙商品， 由题意，得：， 解得：； 设总利润为，则：， 整理，得：， ∵，随着的增大而增大， ∴当时，的最大值为元； 即：购进甲商品千克，乙商品千克，获得的利润最大． 【点睛】本题考查二元一次方程组实际应用，一元一次不等式的应用、一次函数的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组和函数关系式，是解题的关键． 24. 工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为（个），乙组加工零件的数量为（个），其函数图象如图所示． （1）求与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【答案】（1）， t的取值范围是；（2）从甲组开始工作起，8小时时，甲组加工零件的总量为280件；（3）甲组加工7小时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【解析】 【分析】（1）直线经过两点，采用待定系数法确定解析式即可； （2）根据0时到3时是正比例函数，确定工作效率，用总时间减去修机器的时间1小时就是工作时间，可确定总量； （3）确定再次工作时甲的解析式，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）设与t之间的函数关系式为． 把，分别代入，得 解得 ∴与时间t之间的函数关系式为： ； t的取值范围是； （2）当时，由图象知，甲前3小时加工120个， 故甲的工作效率为每小时加工零件40个． 甲组共加工（时）， 得（个）． ∴a的实际意义是：从甲组开始工作起，8小时时，甲组加工零件的总量为280件； （3）由题意可知，当时，由于工作效率没变， ∴． 当时， ， 解得． 答：甲组加工7小时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，一次函数与一元一次方程，熟练掌握待定系数法，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 25. 数学课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动． （1）操作判断 小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下： 步骤①：如图1，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤②：连接，．可以判定的形状是：　　．（直接写出结论） 小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下： 如图2，先类似小明的步骤①，得到折痕后把纸片展平；在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的一点处，连接． 小华得出的结论是：．请你帮助小华说明理由． （2）迁移探究 小明受小华的启发，继续利用正方形纸片进行探究，过程如下： 如图3，第一步与步骤①一样；然后连接，将沿折叠，使点落在正方形内的一点处，连接并延长交于点，连接，可以得到：　　（直接写出结论）；同时，若正方形的边长是4，可以求出的长，请你完成求解过程． （3）拓展应用 如图4，在矩形中，，．点为上的一点（不与点重合，可以与点重合），将沿着折叠，点的对应点为落在矩形的内部，连接，，当为等腰三角形时，可求得的长为 　　．（直接写出结论） 【答案】（1）等腰三角形；见详解 （2）45；，求解过程见详解 （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，是的垂直平分线，可得是等腰三角形；连接，由折叠的性质可得，，易得为等边三角形，即可得证； （2）先由“”可证，可得，进而求出；利用勾股定理构造方程可求的长； （3）由折叠的性质和勾股定理分类讨论，求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠可知，是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：等腰三角形． 如下图，连接， 由折叠可知，，，， 即是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可知，，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∴在中，可有， 即， 解得， 即的长为． 【小问3详解】 如图①，若， 由折叠可知， ∵， ∴此种情况不存在； 如图②，若， ∵， ∴在的垂直平分线上， 过点作于点，的延长线交于点，则有， ∴， ∴， ∴， 设的长为，则，， ∴在中，可有， 即， 解得， 即的长为； 如图③，若，过点作于点，的延长线交于点，则有， 由，得， 解得， ∴， 设的长为，在中，可有， 即， 解得， 即的长为：． 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了勾股定理、矩形的性质、正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用相关性质解决问题是解题的关键． 26. 在平面坐标系中，点在抛物线上，其中． （1）当，时．求抛物线对称轴； （2）已知当时，总有． ①求证：； ②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出与之间的数量关系；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线 （2）①证明见解析；②存在，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将点代入，求出、的关系式，根据对称轴公式，即可求解， （2）①方法一：求出抛物线与轴交点，根据符号分类讨论，即可求解，方法二：将代入，，根据，，得到，即可求解， （3）设抛物线的对称轴为，则，由，得到，，根据的范围，二次函数的增减性，分情况讨论即可求解， 本题考查了，求抛物线的对称轴，二次函数的增减性，解题的关键是：熟练掌握二次函数的增减性． 【小问1详解】 解：由题意可知，点在抛物线上， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：①方法一： 令，则， 解得：或， 抛物线与轴交于点，， ， 抛物线开口向上， （i）当时，， 当时，；当或时，， 当时，总有， ， ， ， （ii）当时，， 当时，；当或时，， 当时，，不符合题意， 综上，， 方法二： 由题意可知，． 若，则． ， ． ， ． 当时，． 当时，总有． ． ， ， ②存在， 设抛物线的对称轴为，则， ， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ， ，， （i）当时， ， ，符合题意， （ii）当时， 当时， ， ， 当时， 设点关于抛物线对称轴的对称点为点， 则，， ， ，， ， ， ， ， ， 当时，符合题意， （iii）当时， 令，，则，不符合题意， （iv）当时， 令，则， ，不符合题意， （v）当时， ， ，不符合题意， 当，即时，符合题意， ， ， 由（1）可得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$