第二十一章 四边形 章节（21知识详解+72典例分析）2025-2026学年人教版八年级数学下册同步讲义与测试

第二十一章 四边形 章节（21知识详解+72典例分析） 【知识点01】四边形及其相关概念 1. 四边形的定义：如图21.1－1，在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点. 四边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如：图21.1－1 中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”. 2. 四边形的相关概念 (1)四边形的对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线. 在图21.1－3 中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形ABCD分为两个三角形. (2)四边形的内角和外角：四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. 如图21.1－4，∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA是四边形ABCD的内角，∠1，∠2，∠3，∠4是四边形ABCD的外角. 【知识点02】四边形的内角和、外角和 1. 四边形的内角和等于360°. 推导过程如下： 如图21.1－6，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形. 在△ABC中，由三角形的内角和定理，得∠1＋∠B＋∠3＝180°. 同理∠2＋∠4＋∠D＝180°.由此可得∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D ＝ ∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D ＝(∠1＋∠B＋∠3)＋(∠2＋∠4＋∠D) ＝180°＋180°＝360°， 即四边形的内角和等于360°. 2. 四边形的外角和等于360°. 推导过程如下： 因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°. 因为四边形的内角和等于360°，所以四边形的外角和等于4×180°－360°＝360°. 【知识点03】四边形的不稳定性 1. 四边形的不稳定性：四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性. 连接一条对角线后，四边形变成两个三角形，这时四边形的形状不再发生变化. 2. 四边形不稳定性的应用：在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图21.1－8中的活动挂架和伸缩门；有时又需要克服四边形的不稳定性， 例如门框在未安装好之前，木工师傅会先沿着对角线钉一根木条，以防门框变形. 【知识点04】多边形及其相关概念 1. 多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 多边形有几条边就叫作几边形. 2. 多边形的相关概念 概念 定义 图形 边 组成多边形的各条线段 顶点 每相邻两条线段的公共端点 内角 多边形相邻两边组成的角 外角 多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角 对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 多边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如上表中的五边形，记作“五边形ABCDE”. 3. 正多边形：各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.例如正三角形、正方形等(如图21.1－10) 【知识点05】多边形的内角和 1. 多边形的内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)×180°. 2. 多边形内角和公式的证明方法 证明方法 图形 证法1 从n边形的一个顶点出发可以作(n－3)条对角线， 将这个n边形分成(n－2)个三角形， 这(n－2) 个三角形的内角和恰好是这个n 边形的内角和， 为(n－2)×180° 证法2 在n边形内任取一点，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角，即可得到n边形的内角和为(n－2)×180° 证法3 在n边形的一边上任取一点，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，共构成(n－1)个三角形，这(n－1)个三角形的内角和为(n－1)×180°，再减去这点处的一个平角，即可得到n 边形的内角和为(n－2)×180° 证法4 在n边形外任取一点O，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，得到以n边形的边为一边，顶点为O的三角形有n个，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去两个三角形的内角和，即可得到n 边形的内角和为(n－2)×180° 【知识点06】多边形的外角和 1. 多边形的外角和等于360°. 推导过程如下： 与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于n×180°－(n－2)×180°＝360°. 2. 多边形的外角和在正多边形中的应用 (1)正n边形的每一个外角都是； (2)若正多边形的一个外角为α，则正多边形的边数为. 【知识点07】平行四边形 1. 四边形的分类：根据四条边的位置关系，如果它的两组对边分别平行，这个四边形就是平行四边形；如果它只有一组对边平行，这个四边形就是梯形. 如图21.2－1所示. 2. 平行四边形的定义及表示方法 定义 图示 表示方法 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用“▱”表示，如图，平行四边形ABCD 记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 3. 平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 AD 和AB，AD 和DC，DC 和BC，BC和AB，共有四组 对边 AB 和DC，AD 和BC，共有两组 角 邻角 ∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB，∠DCB 和∠ABC，∠DAB 和∠ABC，共有四组 对角 ∠BAD 和∠BCD，∠ADC和∠ABC，共有两组 对角线 AC 和BD，共有两条 【知识点08】平行四边形的性质 1. 平行四边形的性质 类别 性质 符号语言 图示 边 对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC  角 对角相等，邻角互补 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180° 对角线 对角线互相平分 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，∴ OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD 2. 平行四边形中的面积关系(扩展) 图示 条件 O为▱ABCD对角线的交点 P在▱ABCD 的边AD上, 且不与端点重合 结论 续表 图示 条件 P为▱ABCD 内任意一点 EF经过▱ABCD对角线的交点O 结论 【知识点09】两条平行线之间的距离 1. 两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离. 三种距离之间的区别与联系 类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 示意图 区别 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度距离是数值 联系 都是指某一条线段的长度 【知识点10】平行四边形的判定方法 1. 判定平行四边形可以从边、角和对角线三个方面进行. 具体如下表所示. 判定方法 符号语言 图示 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法) ∵ AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵ AD    BC(或AB    CD)， ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠A＝∠C，∠B＝ ∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD 是平行四边形 2. 平行四边形判定方法的选择 已知条件 证明思路 一组对边相等 (1)另一组对边相等 (2)该组对边平行 一组对边平行 (1)另一组对边平行 (2)该组对边相等 对角线相交 对角线互相平分 角 两组对角分别相等 【知识点11】三角形的中位线 1. 三角形的中位线及其定理 三角形的中位线 定义 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 符号语言 如图所示. ∵ AD＝BD，AE＝CE，∴ DE是△ABC的中位线 三角形的中位 线定理 内容 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 符号语言 如图所示. ∵ DE为△ABC的中位线， ∴ DE∥BC，且DE＝12BC 应用 (1)位置关系：证明两直线平行；(2)数量关系：证明线段的相等或倍分关系 2. 三角形的中位线与三角形的中线的区别 类别 三角形的中位线 三角形的中线 图示 符号语言 在△ABC，∵ D，E，F 分别是BC，AC，AB 边的中点，∴ DE，EF，FD 是△ABC 的中位线(如图①)，AD，BE，CF是△ABC 的中线(如图②) 续表 区 别 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段 三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段 【知识点12】矩形的定义 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 也就是长方形 图示 符号语言 如图，若四边形ABCD 是平行四边形，且∠ABC＝90°， ∴ ▱ABCD 是矩形 注意：由矩形的定义知：矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. 矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的一种方法. 【知识点13】矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，如下表. 类别 性质 符号语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90° 对角线 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD是矩形，∴ AC＝BD OA＝OB＝OC＝OD 对称性 矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴 直线，是矩形ABCD的两条对称轴两条对称轴互相垂直 【知识点14】直角三角形斜边上的中线的性质 性质 数学语言 主要应用 图示 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90 °，AD＝BD，∴ CD＝AB (或CD＝AD＝BD) 证明线段的倍分、相等关系 说明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是根据矩形的两条对角线相等且互相平分推导出来的.将矩形沿某条该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形” 仍然成立， 它可以用来判定一个三角形是直角三角形. 对角线剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的模型. 【知识点15】矩形的判定 判定方法 符号语言 图示 角 有一个角是直角的平行四边形(定义法) 在▱ABCD 中，∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD 是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD 中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD 是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在▱ABCD中，∵ AC＝ BD，∴▱ABCD是矩形 注意： 判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定，然后根据已知条件选择判定方法 【知识点16】菱形的定义 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 图示 符号语言 如图，若四边形ABCD 是平行四边形，且AB＝AD，则▱ABCD 是菱形 【知识点17】菱形的性质 1. 菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，如下表： 类别 性质 数学语言 图示 边 菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝BC＝CD＝AD 对角线 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形，∴ BD ⊥ AC，∠DAC＝ ∠BAC，∠ACD＝ ∠ACB，∠ABD＝ ∠CBD，∠ADB＝ ∠CDB 对称性 菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴 直线AC，BD 是菱形ABCD 的两条对称轴 2. 菱形的面积 公式由来 文字语言 数学语言 图示 菱形的面积公式 菱形是平行四边形 菱形的面积＝底× 高 S菱形ABCD＝BC·AE 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积＝对角线长的乘积的一半 S菱形ABCD＝AC·BD 注意 ：矩形与菱形的区别 (1)矩形和菱形都是建立在平行四边形的基础上，矩形是附加一直角，而菱形是附加一组邻边相等； (2)矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的等腰三角形，而菱形的两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三角形； (3)矩形的对称轴是两条过两组对边中点的直线，而菱形的对称轴是两条对角线所在的直线. 【知识点18】菱形的判定 判定方法 符号语言 图示 边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义法) 在▱ABCD 中，∵AB＝BC，∴▱ABCD 是菱形 四条边相等的四边形是菱形 在四边形ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD 中， ∵AC⊥BD， ∴▱ABCD 是菱形 【知识点19】正方形的定义 1.正方形的定义 定义 数学语言 图示 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 在▱ABCD中，若AB＝BC(或AB＝AD或BC＝CD或AD＝CD)且∠A＝90°(或∠B＝90 ° 或∠C＝90° 或∠D＝90°)则▱ABCD 是正方形 2. 四边形定义间的关系 【知识点20】正方形的性质 1. 正方形的性质 性质 数学语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90° 对角线 互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组 对角 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD ，∠CAD＝∠CAB＝∠ABD＝∠CBD＝∠ACB＝∠ACD＝∠BDC＝∠ADB＝45° 对称性 正方形是轴对称图形， 有四条对称轴 直线AC，BD，m，n 均是正方形ABCD 的对称轴 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 对称性 共性 轴对称图形 特性 2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴 【知识点21】正方形的判定 1. 正方形的判定方法 (1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形； (2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； (3)从矩形出发：① 有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形； (4)从菱形出发：① 有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形. 2. 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系 【题型一】多边形的概念与分类 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形中不是凸四边形的是（   ）． A． B． C． D． 【题型二】正多边形概念辨析 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形为正多边形的是（    ） A． B． C． D． 【题型三】多边形截角后的边数问题 3．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______． 【题型四】多边形的周长 4．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，将周长为的沿方向平移个单位长度得到，则四边形的周长为________．    【题型五】网格中多边形面积比较 5．（2023·北京昌平·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为：_____（填“＞”“＝”或“＜”）， 【题型六】多边形对角线的条数问题 6．（24-25八年级上·青海西宁·期中）一个多边形从一个顶点处可以引出条对角线，这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【题型七】对角线分成的三角形个数问题 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）过某个多边形1个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是__________边形，它的内角和是__________． 【题型八】多边形内角和问题 8．（2026·北京·一模）若一个五边形的每个内角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型九】正多边形的内角问题 9．（25-26八年级上·重庆·期末）用一条宽度相等且足够长的纸条打一个结，轻轻拉紧，然后压平，就可以得到如图所示的正五边形．则的度数为_____． 【题型十】多（少）算一个角问题 10．（25-26八年级下·全国·周测）看图回答问题： (1)内角和是，小明为什么说不可能？ (2)小芳求的是几边形的内角和？ 【题型十一】多边形截角后的内角和问题 11．（2024八年级·广东中山·竞赛）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（    ） A．13 B．14或15 C．13或15 D．13或14或15 【题型十二】复杂图形的内角和 12．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则________． 【题型十三】正多边形的外角问题 13．（24-25八年级下·四川甘孜·期末）若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【题型十四】多边形外角和的实际应用 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型十五】多边形内角和与外角和综合 15．（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）（1）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． 【题型十六】平面镶嵌 16．（24-25八年级下·广西百色·期末）只用一种正多边形密铺时，如果每个顶点处有6个这种正多边形相拼接，那么这个正多边形是（   ） A． B． C． D． 【题型十七】利用平行四边形的性质求解 17．（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）如图，点E在内部，过点A作的平行线、过点D作的平行线交于点F． (1)求证：； (2)连接、，设的面积为S，四边形的面积为T，求的值． 【题型十八】利用平行四边形的性质证明 18．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 【题型十九】平行四边形性质的其他应用 19．（24-25八年级下·广东佛山·期末）下列命题是假命题的是（   ） A．同个三角形中，等边所对的角相等 B．若，则 C．平行四边形的对角线相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 【题型二十】求平行线间的距离 20．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为___． 【题型二十一】利用平行线间距离解决问题 21．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是练习书法的书画毡，点，，，均为格点上的点，其中满足的点为__________． 【题型二十二】判断能否构成平行四边形 22．（25-26八年级下·全国·课后作业）新情境  王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型二十三】添一个条件成为平行四边形 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形中，，，点在边上以的速度从点出发向点移动，同时点在边上以的速度从点出发向点移动．若，，则____________s时，四边形是平行四边形． 【题型二十四】数图形中平行四边形的个数 24．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型二十五】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 25．（23-24八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【题型二十六】证明四边形是平行四边形 26．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，使得，，分别以点B，D为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点C，连接，，四边形是平行四边形吗？请说明理由． 【题型二十七】全等三角形拼平行四边形问题 27．（2023·青海·中考真题）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 【题型二十八】利用平行四边形的判定与性质求解 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，，，，，则______． 【题型二十九】利用平行四边形性质和判定证明 29．已知：如图，在中，E，F分别是，的中点． 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【题型三十】平行四边形性质和判定的应用 30．（24-25八年级下·河南安阳·月考）如图，中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作点D，使得四边形为平行四边形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，求对角线的长． 【题型三十一】与三角形中位线有关的求解问题 31．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，在中，，，点、、分别是、、的中点，连接，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【题型三十二】与三角形中位线有关的证明 32．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，在中，，，为等腰直角三角形，，为的中点，连接，．求证：． 【题型三十三】三角形中位线的实际应用 33．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 【题型三十四】矩形性质理解 34．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）在下面的正方形网格中，按要求用无刻度的直尺作图，且所作图形的顶点均在格点上． (1)在图1中，作一个以为对角线的矩形． (2)在图2中，作一个以为边，且面积为15的平行四边形． 【题型三十五】利用矩形的性质求角度 35．（25-26八年级下·全国·课后作业）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等．图①是翻花绳的一种图案，可以抽象成图②．在矩形中，，，．求的度数． 【题型三十六】根据矩形的性质求线段长 36．（25-26八年级下·全国·周测）刘徽创建的出入相补原理中，有以下内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和．如下图，在矩形ABCD中，，，点P是边AD上一动点，于点E． (1)当点P为边AD的中点时，则PE的长为________． (2)若点P为边AD上任意一点，于点F，求的值． 【题型三十七】根据矩形的性质求面积 37．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，某居民小区有一长方形土地，物业想在该长方形土地内修建宽度相等的小路（阴影部分），剩余部分是草坪．若小路的宽为，则草坪部分的面积为多少平方米？ 【题型三十八】利用矩形的性质证明 38．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形和矩形中，点B，C，G在一条直线上，且点C是的中点，连接，与恰好交于点E，求证：． 【题型三十九】矩形与折叠问题 39．（2026·四川巴中·模拟预测）已知点E，F分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点A落在处，点B落在'处．当，时，请解决下列问题： (1)如图1，若点恰好与点D重合，与相交于点O，连接、，求的长； (2)如图2，若点恰好在边上时，交于点G，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． 【题型四十】斜边的中线等于斜边的一半 40．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是边上的高线，． (1)若，，求的长． (2)若是边上的中线，，求证：． 【题型四十一】矩形的判定定理理解 41．（23-24八年级下·江苏苏州·月考）如图，四边形是平行四边形，为上任意一点． (1)如图①，只用无刻度的直尺在边上作出点，使直线平分平行四边形的面积； (2)如图②，用无刻度直尺和圆规作出矩形，使得点、、分别在边、、上（不写作法，只保留作图痕迹）． 【题型四十二】添一条件使四边形是矩形 42．一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 【题型四十三】证明四边形是矩形 43．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，BF，CE，CF． (1)请你在①；②中选择一个作为条件，证明． (2)在（1）的条件下，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由． 【题型四十四】根据矩形的性质与判定求角度 44．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 【题型四十五】根据矩形的性质与判定求线段长 45．（24-25八年级下·贵州·月考）遵义市新蒲新区是一片风景秀丽、生机勃勃的地方．每逢春天，到了放风筝的时节，这里都会举办“风筝节”．八年级小丁同学在学完勾股定理后，为计算自己放的风筝在空中的垂直高度，和数学小组一同进行了如下测量：（不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的） ①测得小丁头顶到风筝正下方水平距离为； ②测得风筝线为； ③测得小丁身高为． (1)求风筝的垂直高度； (2)若小丁站立的位置不变，想让风筝沿方向下降，则他应该收回风筝线多少米． 【题型四十六】根据矩形的性质与判定求面积 46．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，的对角线，交于点，是等边三角形，，求的面积． 【题型四十七】利用菱形的性质求角度 47．如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为____ ． 【题型四十八】利用菱形的性质求线段长 48．（24-25八年级下·全国·单元测试）菱形的两条对角线的长分别为10和24，则菱形的周长为（    ） A．13 B．20 C．52 D．120 【题型四十九】利用菱形的性质求面积 49．（25-26八年级下·全国·周测）如图，的对角线相交于点，且．若，，则的面积为__________． 【题型五十】利用菱形的性质证明 50．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型五十一】添一个条件使四边形是菱形 51．（25-26八年级下·全国·课后作业）在四边形中，，．如果再添加一个条件，即可推出该四边形是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【题型五十二】证明四边形是菱形 52．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；再连接，，，．能直接判定四边形是菱形的依据是_____． 【题型五十三】根据菱形的性质与判定求角度 53．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【题型五十四】根据菱形的性质与判定求线段长 54．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，平面上有两个全等的正八边形，为（ ） A． B． C． D． 【题型五十五】根据菱形的性质与判定求面积 55．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，是的角平分线，过点D作，交于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的面积为______． 【题型五十六】正方形性质理解 56．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）正方形具有而矩形不具有的性质是（   ） A．对角相等 B．四角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【题型五十七】根据正方形的性质求角度 57．（2024·河北唐山·一模）一燕尾形纸片，如图所示，，延长，，分别交、于点，如图，沿，剪开纸片，恰好拼成一个正方形，如图，则在图中： （1）_____度． （2）_________cm． 【题型五十八】根据正方形的性质求线段长 58．（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在边长为2的正方形中，F是的中点，点E在上，连接，将沿翻折，点A的对称点落在上，连接、，则_______ °，_________ ． 【题型五十九】根据正方形的性质求面积 59．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【题型六十】正方形折叠问题 60．如图，正方形的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 方形重叠部分面积 61．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【题型六十二】根据正方形的性质证明 62．如图，正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．求证：． 【题型六十三】正方形的判定定理理解 63．（23-24八年级下·河南开封·期末）如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（   ） A．①可表示一个角是直角 B．②可表示对角线互相平分、垂直 C．③可表示一组邻边相等 D．①可表示对角线互相平分 【题型六十四】添一个条件使四边形是正方形 64．（23-24八年级下·海南海口·期末）如图，的对角线、交于点，，要使为正方形还需增加一个条件．在条件①；②；③；④中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【题型六十五】证明四边形是正方形 65．（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读理解菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． 如图所示，设菱形相邻两个内角的度数分别为，． (1)若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就越接近正方形．若菱形的一个内角为，则“接近度”是多少？ (2)若我们将菱形的“接近度”定义为，那么菱形的“接近度”为多少时，菱形就是正方形？ 【题型六十六】根据正方形的性质与判定求角度 66．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 【题型六十七】根据正方形的性质与判定求线段长 67．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作，对角线，相交于点G (1)连接，若，则___（用含m的代数式表示）； (2)证明：； (3)若点为的中点，求的值． 【题型六十八】根据正方形的性质与判定求面积 68．（23-24八年级下·湖北武汉·月考）如图是的高，，若，则的面积是 ____________________． 【题型六十九】根据正方形的性质与判定证明 69．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形．求证：四边形是正方形． 【题型七十】利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 70．如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为_____. 【题型七十一】四边形中的线段最值问题 71．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，求的最小值． 【题型七十二】四边形其他综合问题 72．（24-25八年级下·河南信阳·月考）[定义]：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”．如图，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫“美妙线”，四边形就称为“美妙四边形”． [问题]：（1）下列四边形：平行四边形，矩形，菱形，正方形，其中是“美妙四边形”的是_____；（填写名称） （2）四边形是“美妙四边形”， ，，，求美妙四边形的面积．（请画出图形，并写出解答过程） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 章节（21知识详解+72典例分析） 【知识点01】四边形及其相关概念 1. 四边形的定义：如图21.1－1，在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点. 四边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如：图21.1－1 中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”. 2. 四边形的相关概念 (1)四边形的对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线. 在图21.1－3 中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形ABCD分为两个三角形. (2)四边形的内角和外角：四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. 如图21.1－4，∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA是四边形ABCD的内角，∠1，∠2，∠3，∠4是四边形ABCD的外角. 【知识点02】四边形的内角和、外角和 1. 四边形的内角和等于360°. 推导过程如下： 如图21.1－6，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形. 在△ABC中，由三角形的内角和定理，得∠1＋∠B＋∠3＝180°. 同理∠2＋∠4＋∠D＝180°.由此可得∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D ＝ ∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D ＝(∠1＋∠B＋∠3)＋(∠2＋∠4＋∠D) ＝180°＋180°＝360°， 即四边形的内角和等于360°. 2. 四边形的外角和等于360°. 推导过程如下： 因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°. 因为四边形的内角和等于360°，所以四边形的外角和等于4×180°－360°＝360°. 【知识点03】四边形的不稳定性 1. 四边形的不稳定性：四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性. 连接一条对角线后，四边形变成两个三角形，这时四边形的形状不再发生变化. 2. 四边形不稳定性的应用：在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图21.1－8中的活动挂架和伸缩门；有时又需要克服四边形的不稳定性， 例如门框在未安装好之前，木工师傅会先沿着对角线钉一根木条，以防门框变形. 【知识点04】多边形及其相关概念 1. 多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 多边形有几条边就叫作几边形. 2. 多边形的相关概念 概念 定义 图形 边 组成多边形的各条线段 顶点 每相邻两条线段的公共端点 内角 多边形相邻两边组成的角 外角 多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角 对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 多边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如上表中的五边形，记作“五边形ABCDE”. 3. 正多边形：各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.例如正三角形、正方形等(如图21.1－10) 【知识点05】多边形的内角和 1. 多边形的内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)×180°. 2. 多边形内角和公式的证明方法 证明方法 图形 证法1 从n边形的一个顶点出发可以作(n－3)条对角线， 将这个n边形分成(n－2)个三角形， 这(n－2) 个三角形的内角和恰好是这个n 边形的内角和， 为(n－2)×180° 证法2 在n边形内任取一点，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角，即可得到n边形的内角和为(n－2)×180° 证法3 在n边形的一边上任取一点，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，共构成(n－1)个三角形，这(n－1)个三角形的内角和为(n－1)×180°，再减去这点处的一个平角，即可得到n 边形的内角和为(n－2)×180° 证法4 在n边形外任取一点O，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，得到以n边形的边为一边，顶点为O的三角形有n个，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去两个三角形的内角和，即可得到n 边形的内角和为(n－2)×180° 【知识点06】多边形的外角和 1. 多边形的外角和等于360°. 推导过程如下： 与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于n×180°－(n－2)×180°＝360°. 2. 多边形的外角和在正多边形中的应用 (1)正n边形的每一个外角都是； (2)若正多边形的一个外角为α，则正多边形的边数为. 【知识点07】平行四边形 1. 四边形的分类：根据四条边的位置关系，如果它的两组对边分别平行，这个四边形就是平行四边形；如果它只有一组对边平行，这个四边形就是梯形. 如图21.2－1所示. 2. 平行四边形的定义及表示方法 定义 图示 表示方法 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用“▱”表示，如图，平行四边形ABCD 记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 3. 平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 AD 和AB，AD 和DC，DC 和BC，BC和AB，共有四组 对边 AB 和DC，AD 和BC，共有两组 角 邻角 ∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB，∠DCB 和∠ABC，∠DAB 和∠ABC，共有四组 对角 ∠BAD 和∠BCD，∠ADC和∠ABC，共有两组 对角线 AC 和BD，共有两条 【知识点08】平行四边形的性质 1. 平行四边形的性质 类别 性质 符号语言 图示 边 对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC  角 对角相等，邻角互补 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180° 对角线 对角线互相平分 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，∴ OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD 2. 平行四边形中的面积关系(扩展) 图示 条件 O为▱ABCD对角线的交点 P在▱ABCD 的边AD上, 且不与端点重合 结论 续表 图示 条件 P为▱ABCD 内任意一点 EF经过▱ABCD对角线的交点O 结论 【知识点09】两条平行线之间的距离 1. 两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离. 三种距离之间的区别与联系 类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 示意图 区别 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度距离是数值 联系 都是指某一条线段的长度 【知识点10】平行四边形的判定方法 1. 判定平行四边形可以从边、角和对角线三个方面进行. 具体如下表所示. 判定方法 符号语言 图示 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法) ∵ AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵ AD    BC(或AB    CD)， ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠A＝∠C，∠B＝ ∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD 是平行四边形 2. 平行四边形判定方法的选择 已知条件 证明思路 一组对边相等 (1)另一组对边相等 (2)该组对边平行 一组对边平行 (1)另一组对边平行 (2)该组对边相等 对角线相交 对角线互相平分 角 两组对角分别相等 【知识点11】三角形的中位线 1. 三角形的中位线及其定理 三角形的中位线 定义 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 符号语言 如图所示. ∵ AD＝BD，AE＝CE，∴ DE是△ABC的中位线 三角形的中位 线定理 内容 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 符号语言 如图所示. ∵ DE为△ABC的中位线， ∴ DE∥BC，且DE＝12BC 应用 (1)位置关系：证明两直线平行；(2)数量关系：证明线段的相等或倍分关系 2. 三角形的中位线与三角形的中线的区别 类别 三角形的中位线 三角形的中线 图示 符号语言 在△ABC，∵ D，E，F 分别是BC，AC，AB 边的中点，∴ DE，EF，FD 是△ABC 的中位线(如图①)，AD，BE，CF是△ABC 的中线(如图②) 续表 区 别 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段 三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段 【知识点12】矩形的定义 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 也就是长方形 图示 符号语言 如图，若四边形ABCD 是平行四边形，且∠ABC＝90°， ∴ ▱ABCD 是矩形 注意：由矩形的定义知：矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. 矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的一种方法. 【知识点13】矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，如下表. 类别 性质 符号语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90° 对角线 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD是矩形，∴ AC＝BD OA＝OB＝OC＝OD 对称性 矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴 直线，是矩形ABCD的两条对称轴两条对称轴互相垂直 【知识点14】直角三角形斜边上的中线的性质 性质 数学语言 主要应用 图示 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90 °，AD＝BD，∴ CD＝AB (或CD＝AD＝BD) 证明线段的倍分、相等关系 说明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是根据矩形的两条对角线相等且互相平分推导出来的.将矩形沿某条该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形” 仍然成立， 它可以用来判定一个三角形是直角三角形. 对角线剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的模型. 【知识点15】矩形的判定 判定方法 符号语言 图示 角 有一个角是直角的平行四边形(定义法) 在▱ABCD 中，∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD 是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD 中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD 是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在▱ABCD中，∵ AC＝ BD，∴▱ABCD是矩形 注意： 判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定，然后根据已知条件选择判定方法 【知识点16】菱形的定义 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 图示 符号语言 如图，若四边形ABCD 是平行四边形，且AB＝AD，则▱ABCD 是菱形 【知识点17】菱形的性质 1. 菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，如下表： 类别 性质 数学语言 图示 边 菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝BC＝CD＝AD 对角线 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形，∴ BD ⊥ AC，∠DAC＝ ∠BAC，∠ACD＝ ∠ACB，∠ABD＝ ∠CBD，∠ADB＝ ∠CDB 对称性 菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴 直线AC，BD 是菱形ABCD 的两条对称轴 2. 菱形的面积 公式由来 文字语言 数学语言 图示 菱形的面积公式 菱形是平行四边形 菱形的面积＝底× 高 S菱形ABCD＝BC·AE 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积＝对角线长的乘积的一半 S菱形ABCD＝AC·BD 注意 ：矩形与菱形的区别 (1)矩形和菱形都是建立在平行四边形的基础上，矩形是附加一直角，而菱形是附加一组邻边相等； (2)矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的等腰三角形，而菱形的两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三角形； (3)矩形的对称轴是两条过两组对边中点的直线，而菱形的对称轴是两条对角线所在的直线. 【知识点18】菱形的判定 判定方法 符号语言 图示 边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义法) 在▱ABCD 中，∵AB＝BC，∴▱ABCD 是菱形 四条边相等的四边形是菱形 在四边形ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD 中， ∵AC⊥BD， ∴▱ABCD 是菱形 【知识点19】正方形的定义 1.正方形的定义 定义 数学语言 图示 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 在▱ABCD中，若AB＝BC(或AB＝AD或BC＝CD或AD＝CD)且∠A＝90°(或∠B＝90 ° 或∠C＝90° 或∠D＝90°)则▱ABCD 是正方形 2. 四边形定义间的关系 【知识点20】正方形的性质 1. 正方形的性质 性质 数学语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90° 对角线 互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组 对角 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD ，∠CAD＝∠CAB＝∠ABD＝∠CBD＝∠ACB＝∠ACD＝∠BDC＝∠ADB＝45° 对称性 正方形是轴对称图形， 有四条对称轴 直线AC，BD，m，n 均是正方形ABCD 的对称轴 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 对称性 共性 轴对称图形 特性 2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴 【知识点21】正方形的判定 1. 正方形的判定方法 (1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形； (2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； (3)从矩形出发：① 有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形； (4)从菱形出发：① 有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形. 2. 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系 【题型一】多边形的概念与分类 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形中不是凸四边形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】本题考查了凸四边形的定义，正确理解该概念是解题的关键． 根据凸四边形的定义，所有内角小于，且所有顶点位于任意一边的同一侧叫做凸四边形，逐一判断即可． 【详解】解：A、是一个矩形，满足凸四边形的定义，是凸四边形，不符合题意； B、是一个平行四边形，满足凸四边形的定义，是凸四边形，不符合题意； C、满足凸四边形的定义，是凸四边形，不符合题意； D、有一个内角大于，且有一个顶点位于其他顶点的对侧，不满足凸四边形的定义，不是凸四边形，符合题意； 故选：D． 【题型二】正多边形概念辨析 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形为正多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正多边形概念辨析 【分析】本题考查正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键． 根据正多边形的定义，各边相等，各角相等的多边形，逐一判断即可求解． 【详解】解：根据正多边形的定义，选项D是正五边形， 只有选项D符合题意． 故选：D． 【题型三】多边形截角后的边数问题 3．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______． 【答案】14或15或16 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 【题型四】多边形的周长 4．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，将周长为的沿方向平移个单位长度得到，则四边形的周长为________．    【答案】 【知识点】利用平移的性质求解、多边形的周长 【分析】根据平移的性质可得，，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解． 【详解】沿方向平移个单位长度得到 ，， 四边形的周长 的周长， 四边形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质得到相等的线段是解本题的关键． 【题型五】网格中多边形面积比较 5．（2023·北京昌平·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为：_____（填“＞”“＝”或“＜”）， 【答案】= 【知识点】网格中多边形面积比较 【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， 故答案为：=． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键． 【题型六】多边形对角线的条数问题 6．（24-25八年级上·青海西宁·期中）一个多边形从一个顶点处可以引出条对角线，这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握对角线条数的计算方法是解题的关键． 一个边形从一个顶点处可以引出条对角线，由此计算即可． 【详解】解：一个边形从一个顶点处可以引出条对角线， ， ， 故选：． 【题型七】对角线分成的三角形个数问题 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）过某个多边形1个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是__________边形，它的内角和是__________． 【答案】 九 【知识点】对角线分成的三角形个数问题、多边形内角和问题 【分析】本题考查的是多边形的边数以及内角和；过多边形一个顶点的所有对角线将多边形分成个三角形，由此求出边数，再根据内角和公式计算内角和 【详解】解：设这个多边形的边数为，由题意得， 解得， 所以这个多边形是九边形． 内角和为． 故答案为：九，． 【题型八】多边形内角和问题 8．（2026·北京·一模）若一个五边形的每个内角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形内角和公式的应用．先利用边形内角和公式求出五边形的内角和，再结合每个内角相等的条件列方程求解即可． 【详解】∵边形内角和公式为， ∴五边形的内角和为， ∵五边形的每个内角都是， ∴， 解得：． 故选：A． 【题型九】正多边形的内角问题 9．（25-26八年级上·重庆·期末）用一条宽度相等且足够长的纸条打一个结，轻轻拉紧，然后压平，就可以得到如图所示的正五边形．则的度数为_____． 【答案】 【知识点】正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正多边形的内角和问题，根据多边形的内角和公式求出内角和，再除以边数得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，多边形为正五边形， ∴， 故答案为：． 【题型十】多（少）算一个角问题 10．（25-26八年级下·全国·周测）看图回答问题： (1)内角和是，小明为什么说不可能？ (2)小芳求的是几边形的内角和？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形 【知识点】多（少）算一个角问题、多边形内角和问题、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了多边形内角和公式的应用，掌握多边形内角和是的倍数这一性质，以及通过不等式求正整数边数的方法是解题的关键． （1）根据多边形内角和公式，判断是否满足这一特征． （2）根据内角和小于列不等式，求解正整数得到多边形的边数． 【详解】（1）解：边形的内角和是， ∴内角和一定是的倍数． ， ∴内角和不可能是． （2）解：依题意，得， 解得， ∴这个多边形的边数是，即小芳求的是十三边形的内角和． 【题型十一】多边形截角后的内角和问题 11．（2024八年级·广东中山·竞赛）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（    ） A．13 B．14或15 C．13或15 D．13或14或15 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】根据多边形截角的不同情况（截线不过顶点、过一个顶点、过两个顶点），分析原多边形边数的可能情况．本题主要考查了多边形截角后边数的变化情况，熟练掌握多边形截角的三种不同情况是解题的关键． 【详解】解：一个多边形截去一个角，有三种情况： 截线不过任何顶点，此时边数增加，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过一个顶点，此时边数不变，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过两个顶点，此时边数减少，若截后是十四边形，则原多边形边数为． ∴ 原来的多边形的边数可能为或或． 故选：D． 【题型十二】复杂图形的内角和 12．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则________． 【答案】68 【知识点】利用邻补角互补求角度、三角形的外角的定义及性质、复杂图形的内角和 【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论． 【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 【题型十三】正多边形的外角问题 13．（24-25八年级下·四川甘孜·期末）若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查了正多边形的外角性质，用外角和除以正多边形的一个外角度数即可求解，掌握正多边形的外角性质是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且每个外角都相等 又∵该正多边形的一个外角为， ∴这个正多边形的边数为， 故选：． 【题型十四】多边形外角和的实际应用 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】根据多边形外角和定理得到，进而代入已知角度求出的度数． 【详解】解：，，，，． 故选：． 【题型十五】多边形内角和与外角和综合 15．（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）（1）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． 【答案】（1）10 （2）27 【知识点】多边形内角和与外角和综合、多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】（1）根据内角与相邻外角互补的关系，结合题目条件求出单个外角的度数，再利用多边形外角和为，即可求出边数； （2）先根据多边形内角和公式求出多边形的边数，再代入多边形对角线条数公式计算即可得到结果，掌握相关计算公式是解题的关键． 【详解】解：（1）设这个正多边形的一个外角为，则与其相邻的内角为，由题意可得 ： ， 解得， 多边形的外角和为， 这个多边形的边数为； （2）设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式可得： ， 解得， 这个多边形的对角线条数为， 即这个多边形共有27条对角线． 【题型十六】平面镶嵌 16．（24-25八年级下·广西百色·期末）只用一种正多边形密铺时，如果每个顶点处有6个这种正多边形相拼接，那么这个正多边形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面镶嵌、正多边形的外角问题 【分析】本题考查了平面密铺的知识，解答本题的关键是掌握一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除．几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，由此结合各正多边形的度数可得出答案． 【详解】解：∵这种正多边形的内角是， ∴与之对应的外角为：， ∴正多边形的边数为：，即这种正多边形是正三角形． 故选：A． 【题型十七】利用平行四边形的性质求解 17．（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）如图，点E在内部，过点A作的平行线、过点D作的平行线交于点F． (1)求证：； (2)连接、，设的面积为S，四边形的面积为T，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，根据平行线的性质得到和，从而证得； （2）易证得，由（1）知，则，进而得到，从而求出的值． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， 、， ， ， ， ， 同理得， 在和中， ， ； （2）解：如图，连接、， 点E在内部， 由（1）知， ， ， 设的面积为S，四边形的面积为T， ． 【题型十八】利用平行四边形的性质证明 18．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于． (1)求证：； (2)若，，则与之间的距离为____________； (3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)16 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等，解题的关键是证明． （1）先由平行四边形的性质得到，，则，，即可证明得到； （2）由三角形面积公式可得，据此求解即可； （3）由（1）的结论知，，再利用四边形周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，O是与的交点， ∴， ∴， ∵过点且垂直于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即与之间的距离为4， 故答案为：4； （3）解：∵四边形是平行四边形，周长是24， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论知， ∴四边形的周长为， 故答案为：16． 【题型十九】平行四边形性质的其他应用 19．（24-25八年级下·广东佛山·期末）下列命题是假命题的是（   ） A．同个三角形中，等边所对的角相等 B．若，则 C．平行四边形的对角线相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【知识点】判断命题真假、平行四边形性质的其他应用、角平分线的性质定理 【分析】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理． 根据等腰三角形的性质，有理数的乘方运算及平行四边形的性质、角平分线的性质逐项分析． 【详解】解：A、同个三角形中，等边所对的角相等，正确，是真命题，不符合题意； B、若，则，故正确，是真命题，不符合题意； C、平行四边形的对角线不一定相等，是假命题，符合题意； D、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意； 故选C． 【题型二十】求平行线间的距离 20．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为___． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、求平行线间的距离、两点之间线段最短 【分析】先运用勾股逆定理得出，再证明，故，当点与点重合时，则的值最小，且为，根据平行线之间距离处处相等则，，结合等面积法进行计算，根据勾股定理得，，即可作答． 【详解】解：在的下方，作，且，连接交于点，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， 当点与点重合时，则的值最小，且为， 过点C作直线交于点H，再过点F作直线于点N，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴（平行线之间距离处处相等）， 同理得， 依题意，， 则， ∴， 在中，， ∴， 即， 在中，， 即的值最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等面积法，平行线之间距离处处相等，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【题型二十一】利用平行线间距离解决问题 21．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是练习书法的书画毡，点，，，均为格点上的点，其中满足的点为__________． 【答案】，，， 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】根据“平行线之间的距离处处相等”以及“同底等高的两个三角形面积相等”即可解答． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴满足的点为，，，． 【题型二十二】判断能否构成平行四边形 22．（25-26八年级下·全国·课后作业）新情境  王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】根据平行四边形的证明方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形； B、，，一组对边平行，另一组对边相等，不能得到四边形是平行四边形； C、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形； D、，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形． 【题型二十三】添一个条件成为平行四边形 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形中，，，点在边上以的速度从点出发向点移动，同时点在边上以的速度从点出发向点移动．若，，则____________s时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，动点问题的方程思想，掌握利用平行四边形一组对边平行且相等的判定定理，结合动点速度列方程求解是解题的关键． 设运动时间为秒，利用平行四边形一组对边平行且相等” 的判定定理，结合动点速度表示线段长度，列方程求解． 【详解】解：设时，四边形是平行四边形． 根据题意，得，． ， ． ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得． 故答案为：． 【题型二十四】数图形中平行四边形的个数 24．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据两组对边分别平行的判定条件是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐一分析． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∵ ∴可以通过选择两条平行于的线段和两条平行于的线段来构成新的平行四边形 ∴图中的平行四边形有： 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 ∴共有个平行四边形． 故选：D． 【题型二十五】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 25．（23-24八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定以及网格作图等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定进行画图即可； （2）根据平行四边形的判定进行画图即可； （3）根据平行四边形的判定进行画图即可． 【详解】（1）解：如图：平行四边形即为所求． （2）解：如图：平行四边形即为所求． （3）解：如图：平行四边形即为所求． 【题型二十六】证明四边形是平行四边形 26．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，使得，，分别以点B，D为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点C，连接，，四边形是平行四边形吗？请说明理由． 【答案】四边形是平行四边形，理由见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】根据题意可得，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，理由如下： ，，，， ，， ∴四边形是平行四边形． 【题型二十七】全等三角形拼平行四边形问题 27．（2023·青海·中考真题）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 【答案】． 【知识点】全等三角形拼平行四边形问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）． 【题型二十八】利用平行四边形的判定与性质求解 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，，，，，则______． 【答案】6 【知识点】求平行线间的距离、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质解题即可． 【详解】解：∵，，， ∴（平行线之间的距离处处相等）， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为： 6． 【题型二十九】利用平行四边形性质和判定证明 29．已知：如图，在中，E，F分别是，的中点． 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，，进而得到，即可证明； （2）根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵， ∴，，， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， 即， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， 即， ∴四边形是平行四边形． 【题型三十】平行四边形性质和判定的应用 30．（24-25八年级下·河南安阳·月考）如图，中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作点D，使得四边形为平行四边形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，求对角线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、用勾股定理解三角形、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，以及勾股定理，熟练掌握常规的尺规作图方法是解题的关键． （1）根据两组边分别相等的四边形为平行四边形，以A为圆心，为半径画弧，以C为圆心，为半径画弧，即可求解； （2）根据平行四边形的性质及勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，以A为圆心，为半径画弧，以C为圆心，为半径画弧，两弧交于点D．连接， 则， ∴四边形为平行四边形， ∴点D即为所作图形． （2）如图，连接BD，与对角线AC交于点O， 四边形是平行四边形， ，， 又， 则在中，， ， ． 【题型三十一】与三角形中位线有关的求解问题 31．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，在中，，，点、、分别是、、的中点，连接，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】利用三角形的中位线，得到，，即可求解． 【详解】解：∵点、、分别是、、的中点，，， ∴，是的中位线，，， ∴，， ∴四边形的周长为． 【题型三十二】与三角形中位线有关的证明 32．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，在中，，，为等腰直角三角形，，为的中点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形中位线定理，掌握通过延长线段构造全等三角形和中位线，利用全等得到线段相等，再用中位线定理证明线段倍分关系是解题的关键． 通过延长构造全等三角形，证明得到，再利用三角形中位线定理证明与的关系，从而得出与的数量关系． 【详解】证明：如图，延长到点，使，连接，． 为等腰直角三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ． ， ， ． 在和中， ， ． 为的中点，， 为的中位线， ， ． 【题型三十三】三角形中位线的实际应用 33．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 【答案】 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半解题即可． 【详解】点，分别为，的中点， ， ∴ 答：、两地的距离为． 【题型三十四】矩形性质理解 34．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）在下面的正方形网格中，按要求用无刻度的直尺作图，且所作图形的顶点均在格点上． (1)在图1中，作一个以为对角线的矩形． (2)在图2中，作一个以为边，且面积为15的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】矩形性质理解、平行四边形性质的其他应用 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定，矩形的判定和性质． （1）根据矩形的判定作出图形； （2）根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形即可． 【详解】（1）解：如图1，四边形是矩形，即为所求； （2）解：如图2，或均符合要求． 【题型三十五】利用矩形的性质求角度 35．（25-26八年级下·全国·课后作业）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等．图①是翻花绳的一种图案，可以抽象成图②．在矩形中，，，．求的度数． 【答案】 【知识点】利用矩形的性质求角度、利用矩形的性质证明 【分析】先利用矩形的直角性质，结合已知角求出三角形的内角；再通过平行线的关系判定平行四边形，利用平行四边形的角相等传递角的关系，最终得到的度数 【详解】解：如图，设交于点，交于点，交于点，交于点． 四边形是矩形， ， ，． ， ， ， ． ，， 四边形是平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质与平行四边形的判定及性质，掌握矩形的直角性质、利用三角形内角和求角，及平行四边形的角相等传递角的关系是解题的关键． 【题型三十六】根据矩形的性质求线段长 36．（25-26八年级下·全国·周测）刘徽创建的出入相补原理中，有以下内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和．如下图，在矩形ABCD中，，，点P是边AD上一动点，于点E． (1)当点P为边AD的中点时，则PE的长为________． (2)若点P为边AD上任意一点，于点F，求的值． 【答案】(1) (2)3 【知识点】含30度角的直角三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）由角的直角三角形所对的边等于斜边的一半可以直接求解； （2）连接，过点D作于点，则，推出，再求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵是边的中点， ∴ ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：如图，连接，过点D作于点． ∵，， ∴． ∵， ， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质．难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 【题型三十七】根据矩形的性质求面积 37．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，某居民小区有一长方形土地，物业想在该长方形土地内修建宽度相等的小路（阴影部分），剩余部分是草坪．若小路的宽为，则草坪部分的面积为多少平方米？ 【答案】． 【知识点】利用平移解决实际问题、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了平移的概念和性质，熟练掌握平移相关内容是解题的关键； 通过平移将土地内的小路变成“L”形，然后计算出草坪的长和宽就能计算出草坪的面积． 【详解】解：如图，通过平移可将小路转化为“”形图案， 则草坪部分转化为宽为，长为的长方形， 草坪部分的面积． 【题型三十八】利用矩形的性质证明 38．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形和矩形中，点B，C，G在一条直线上，且点C是的中点，连接，与恰好交于点E，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用矩形的性质证明 【详解】证明：∵四边形和四边形都是矩形， ∴，． ∵点B，C，G在一条直线上，且点C是的中点， ∴， 又∵点E恰好在上， ∴． ∴． ∴． 【题型三十九】矩形与折叠问题 39．（2026·四川巴中·模拟预测）已知点E，F分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点A落在处，点B落在'处．当，时，请解决下列问题： (1)如图1，若点恰好与点D重合，与相交于点O，连接、，求的长； (2)如图2，若点恰好在边上时，交于点G，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． 【答案】(1)的长为 (2)见解析 (3)的长为5或3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】（1）利用折叠的性质和勾股定理即可求解； （2）利用折叠的性质得出，，利用证得，得到，利用等边对等角得到，然后证得，得到，即可证得； （3）分①当在的延长线上时，②当在线段时，两种情况讨论，根据折叠的性质．利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 由折叠的性质可知， 在中，， ∴， 解得， ∴； （2）证明：由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当在的延长线上时，如图①， 由，设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； ②当在线段时，如图②， 设，则， 由折叠的性质可知， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 综上，的长为5或3． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了轴对称的性质，勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 【题型四十】斜边的中线等于斜边的一半 40．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是边上的高线，． (1)若，，求的长． (2)若是边上的中线，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质． （1）根据已知条件分别求得，进而根据勾股定理求得，即可； （2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据已知可得，即可得出，进而根据等腰三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵是边上的高线， ∴， 在中，； （2）证明：∵是边上的高线， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 又∵． ∴， ∵， ∴． 【题型四十一】矩形的判定定理理解 41．（23-24八年级下·江苏苏州·月考）如图，四边形是平行四边形，为上任意一点． (1)如图①，只用无刻度的直尺在边上作出点，使直线平分平行四边形的面积； (2)如图②，用无刻度直尺和圆规作出矩形，使得点、、分别在边、、上（不写作法，只保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】矩形的判定定理理解、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查作图,平行四边形的性质，矩形的判定和性质等知识， （1）连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求作． （2）连接，交于点，连接，延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，延长交于点，连接，，，，四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图，点，四边形即为所求作． （2）如图，四边形即为所求作．    理由：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理：，可得， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 【题型四十二】添一条件使四边形是矩形 42．一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 【答案】能．理由见解析 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】根据这一个角为直角的平行四边形，即矩形判断即可． 【详解】能，如图， 依题意,,， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，理解矩形的性质与判定是解题的关键． 【题型四十三】证明四边形是矩形 43．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，BF，CE，CF． (1)请你在①；②中选择一个作为条件，证明． (2)在（1）的条件下，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形BFCE是矩形．理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形 【分析】（1）根据中点的定义得出，再根据全等三角形的判定推出两三角形全等即可； （2）首先根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，再推出，结合对角线相等的平行四边形是矩形即可证明结论． 【详解】（1）解：选择①，证明：∵为的中点， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 或选择②，证明：∵为的中点， ∴． 在和中， ∴． （2）解：当时，四边形是矩形． 理由如下：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形为矩形． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 【题型四十四】根据矩形的性质与判定求角度 44．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了矩形的判定和性质． 证明平行四边形是矩形，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形， ∴ ∵， ∴． 【题型四十五】根据矩形的性质与判定求线段长 45．（24-25八年级下·贵州·月考）遵义市新蒲新区是一片风景秀丽、生机勃勃的地方．每逢春天，到了放风筝的时节，这里都会举办“风筝节”．八年级小丁同学在学完勾股定理后，为计算自己放的风筝在空中的垂直高度，和数学小组一同进行了如下测量：（不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的） ①测得小丁头顶到风筝正下方水平距离为； ②测得风筝线为； ③测得小丁身高为． (1)求风筝的垂直高度； (2)若小丁站立的位置不变，想让风筝沿方向下降，则他应该收回风筝线多少米． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，矩形的判定和性质，熟练掌握勾股定理，是解题的关键． （1）先证明四边形为矩形，得出，，根据勾股定理求出，即可得出答案； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ； （2）解：将风筝沿方向下降后， 根据勾股定理得：， 他应该收回风筝线的长度为：． 【题型四十六】根据矩形的性质与判定求面积 46．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，的对角线，交于点，是等边三角形，，求的面积． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理的应用；先根据平行四边形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，然后判断是矩形，再根据勾股定理求出长，利用举行的面积计算解答即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的面积为． 【题型四十七】利用菱形的性质求角度 47．如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为____ ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查菱形的性质，由菱形的性质推出，由直角三角形的性质得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型四十八】利用菱形的性质求线段长 48．（24-25八年级下·全国·单元测试）菱形的两条对角线的长分别为10和24，则菱形的周长为（    ） A．13 B．20 C．52 D．120 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．设菱形的两条对角线交于点，不妨设，先根据菱形的性质可得，，再根据勾股定理可得，由此即可得． 【详解】解：设菱形的两条对角线交于点， ∵菱形的两条对角线的长分别为10和24， ∴不妨设， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：C． 【题型四十九】利用菱形的性质求面积 49．（25-26八年级下·全国·周测）如图，的对角线相交于点，且．若，，则的面积为__________． 【答案】24 【知识点】利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的面积计算，熟练掌握平行四边形的面积公式是解题的关键； 利用平行四边形的性质以及勾股定理求出另一边的长度，再根据平行四边形面积公式求解． 【详解】解：在中， ， 在中， ∴ 则 故答案为：24 ． 【题型五十】利用菱形的性质证明 50．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查菱形的性质，掌握“菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等”是解题的关键． 【详解】A．菱形的对角线不一定相等，仅正方形（特殊菱形）的对角线相等，故A错误； B．菱形的对角线互相平分，，但与长度无必然“”的关系，故B错误； C．菱形的对角线互相垂直，即，故C正确； D．菱形中，，仅当菱形为正方形时两角相等，故D错误． 故选：C． 【题型五十一】添一个条件使四边形是菱形 51．（25-26八年级下·全国·课后作业）在四边形中，，．如果再添加一个条件，即可推出该四边形是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形和矩形的判定；熟练掌握判定方法是解决问题的关键． 由且，可证四边形为平行四边形，再根据菱形的判定，添加一组邻边相等即可推出菱形. 【详解】解：∵ ，，且四边形内角和为， ∴ ，即， ∴ （同旁内角互补，两直线平行）， 又∵ ，且， ∴ ， ∴， ∴ 四边形是平行四边形. A、当时，平行四边形为矩形，不符合题意； B、当时，平行四边形为矩形，不符合题意； C、当时，不能保证菱形，不符合题意； D、当，则平行四边形中一组邻边相等，那么该平行四边形是菱形，符合题意． 故选：D． 【题型五十二】证明四边形是菱形 52．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；再连接，，，．能直接判定四边形是菱形的依据是_____． 【答案】四条边相等的四边形是菱形 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】由题意得，即可得出结论． 【详解】解：由作图得：， ∴四边形是菱形，依据是四条边相等的四边形是菱形． 【题型五十三】根据菱形的性质与判定求角度 53．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行四边形及邻边相等的条件判定图形为菱形，再利用菱形性质、等腰三角形性质等，逐一分析与相等的角． 【详解】解：四边形是平行四边形，且 四边形是菱形 ，，，， ， ， ，故①符合题意， ， ，故②符合题意， ， ， 又，， ， ， ∴， ，故③符合题意， 故选：D． 【题型五十四】根据菱形的性质与判定求线段长 54．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，平面上有两个全等的正八边形，为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、正多边形的内角问题 【分析】本题考查多边形内角和公式、全等性质、菱形的判定与性质．先根据多边形内角和公式求出，再根据全等性质、菱形的判定与性质即可求出． 【详解】解：如图， ∵正八边形的一个内角度数为， ， ∵平面中这两个正八边形全等， ， 四边形是菱形，． 故选：． 【题型五十五】根据菱形的性质与判定求面积 55．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，是的角平分线，过点D作，交于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由角平分线的定义和平行线的性质证明，则可证明，据此可证明结论； （2）连接，交于O，由菱形的性质得到，，，，则可求出，，再根据菱形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：连接，交于O， 四边形是菱形，， ，，，， ∴， ∴， ，， ． 【题型五十六】正方形性质理解 56．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）正方形具有而矩形不具有的性质是（   ） A．对角相等 B．四角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】C 【知识点】矩形性质理解、正方形性质理解 【分析】本题考查正方形与矩形的性质，对比两种图形的性质，找出正方形具有而矩形不具有的性质即可判断． 【详解】∵正方形的性质为对角相等，四角相等，对角线互相垂直平分且相等， 矩形的性质为对角相等，四角相等，对角线互相平分且相等，对角线不互相垂直， ∴正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直， 故选C． 【题型五十七】根据正方形的性质求角度 57．（2024·河北唐山·一模）一燕尾形纸片，如图所示，，延长，，分别交、于点，如图，沿，剪开纸片，恰好拼成一个正方形，如图，则在图中： （1）_____度． （2）_________cm． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求角度、用勾股定理解三角形、对顶角相等 【分析】本题考查了正方形的性质，对顶角相等，勾股定理，正确识图是解题的关键． （）利用正方形的性质和对顶角相等即可求解； （）根据图形可得，，，进而可得，利用勾股定理求出即可求解； 【详解】解：（）∵四边形是正方形， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （）由图可得，，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型五十八】根据正方形的性质求线段长 58．（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在边长为2的正方形中，F是的中点，点E在上，连接，将沿翻折，点A的对称点落在上，连接、，则_______ °，_________ ． 【答案】 45 【知识点】折叠问题、全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】因为图形是翻折得到的，所以可得，从而有，，，因为正方形边长为2，F是CD中点，所以可先证明，由此得到，进而可推出与正方形内角的关系，求出角度．再根据和，求出，最后根据勾股定理计算求出的长． 【详解】解：连接， ∵四边形是边长为2的正方形，F是的中点，点E在上， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点A的对称点落在上， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，平分， ∴垂直平分， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45，． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、根据面积等式求线段的长度、勾股定理等知识，证明是解题的关键． 【题型五十九】根据正方形的性质求面积 59．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点．连接，则交于点O，证明，可得，从而得到四边形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，则交于点O， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故选：B 【题型六十】正方形折叠问题 60．如图，正方形的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质以及勾股定理，由折叠的性质得出，设，再根据勾股定理得出，代入数值求解得出x的值，进而即可得出的值． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为3， ∴， 根据折叠的性质得：， 设， 则，，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， 故选B 【题型六十一】求正方形重叠部分面积 61．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正方形重叠部分面积 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 【题型六十二】根据正方形的性质证明 62．如图，正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明 【分析】根据正方形的性质得出，，根据已知条件得出，证明，得出，根据等量代换得出，即可得证. 【详解】证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【题型六十三】正方形的判定定理理解 63．（23-24八年级下·河南开封·期末）如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（   ） A．①可表示一个角是直角 B．②可表示对角线互相平分、垂直 C．③可表示一组邻边相等 D．①可表示对角线互相平分 【答案】D 【知识点】判断能否构成平行四边形、正方形的判定定理理解 【分析】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定等知识，熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形和正方形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，故选项A不符合题意； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B不符合题意； C、有一个角是直角的菱形是正方形，故选项C不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 【题型六十四】添一个条件使四边形是正方形 64．（23-24八年级下·海南海口·期末）如图，的对角线、交于点，，要使为正方形还需增加一个条件．在条件①；②；③；④中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【知识点】证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是正方形 【分析】先根据已知条件判断平行四边形为矩形，再逐一分析每个条件，看能否使矩形成为正方形． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，， ∴ ， 又∵ 平行四边形对角线互相平分，即，， ∴ ， ∴ 平行四边形是矩形． ①，矩形的邻边相等，则为正方形，故①正确； ②，矩形的对角线互相垂直，则为正方形，故②正确； ③，矩形本身对角线相等，不能判定为正方形，故③错误； ④，矩形本身角为直角，不能判定为正方形，故④错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形、矩形、正方形的判定，熟练掌握矩形和正方形的判定定理是解题的关键． 【题型六十五】证明四边形是正方形 65．（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读理解菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． 如图所示，设菱形相邻两个内角的度数分别为，． (1)若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就越接近正方形．若菱形的一个内角为，则“接近度”是多少？ (2)若我们将菱形的“接近度”定义为，那么菱形的“接近度”为多少时，菱形就是正方形？ 【答案】(1) (2)1 【知识点】利用菱形的性质求角度、证明四边形是正方形 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及新定义，利用“接近度”定义求出是解题关键． （1）利用菱形的“接近度”定义为，进而代入求出即可； （2）根据当菱形的“接近度”等于1时，菱形的相邻的内角相等，进而得出答案． 【详解】（1）解：若菱形的一个内角为， ∴该菱形的相邻的另一内角的度数为， ∴“接近度”等于． 故答案为：． （2）解：当菱形的“接近度”等于1时，菱形的相邻的内角相等，因而都是90度，则菱形是正方形． 故答案为：1． 【题型六十六】根据正方形的性质与判定求角度 66．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质与判定求角度、中点四边形 【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解． 【详解】解：分别取的中点为，连接， 分别是的中点， ， 又， ， 四边形是正方形， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形是正方形． 【题型六十七】根据正方形的性质与判定求线段长 67．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作，对角线，相交于点G (1)连接，若，则___（用含m的代数式表示）； (2)证明：； (3)若点为的中点，求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）先利用正方形的性质，矩形的性质，说明O为中点，G为中点，从而可得是中位线，根据中位线的性质可得，从而可得， 故答案为： （2）先证明四边形是正方形，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，进面可得； （3）先根据正方形的性质得出，，再设，从而可用表示出，借助勾股定理可用表示出，再用表示出，即可求得． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，即O为中点， ∵四边形是矩形， ∴，即G为中点， ∴是中位线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点P作于点M，于点， ， ∵四边形是正方形， ∴，平分，垂直平分， ，， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点P作于点M，于点N， 由（2）得，四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，中位线定理，全等三角形的判定与性质综合（），解题关键是掌握上述知识点求解． 【题型六十八】根据正方形的性质与判定求面积 68．（23-24八年级下·湖北武汉·月考）如图是的高，，若，则的面积是 ____________________． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．根据题意，以为边作正方形，可得，设，用含x的式子表示出的值，在直角中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边作正方形，在上取，连接， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴在中，， 即， 解得，，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型六十九】根据正方形的性质与判定证明 69．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 由正方形性质得到，结合已知条件，由三角形全等的判定得到，再由全等性质得到，即可得证四边形是菱形，再求出，由正方形的判定即可得证． 【详解】证明：四边形是正方形， ， 又， ， ， 则四边形是菱形， 又 ， ， ， 四边形是正方形． 【题型七十】利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 70．如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为_____. 【答案】9 【知识点】利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积、根据矩形的性质求面积 【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解． 【详解】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为，所以阴影部分的面积9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了矩形是中心对称图形的性质．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 【题型七十一】四边形中的线段最值问题 71．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，求的最小值． 【答案】 【知识点】四边形中的线段最值问题、利用菱形的性质求线段长、根据矩形的性质与判定求线段长、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理，关键是利用轴对称将折线段转化为直线段，将求的最小值问题转化为求线段的长度问题，再结合特殊四边形的性质求出构成直角三角形的两条直角边长度，最后用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∵为线段上的动点， ∴如图，可以看作是定线段沿菱形在方向上水平运动， 点的运动轨迹为线段，过点作关于线段的对称点． 由对称性，得， ∴， 如图，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 设与交于点，交于点，延长交延长线于点，菱形中，，， ∴，，． 由题意可得， ∴由对称性可得，∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 【题型七十二】四边形其他综合问题 72．（24-25八年级下·河南信阳·月考）[定义]：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”．如图，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫“美妙线”，四边形就称为“美妙四边形”． [问题]：（1）下列四边形：平行四边形，矩形，菱形，正方形，其中是“美妙四边形”的是_____；（填写名称） （2）四边形是“美妙四边形”， ，，，求美妙四边形的面积．（请画出图形，并写出解答过程） 【答案】（1）菱形、正方形 （2）或 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、四边形其他综合问题 【分析】本题主要考查了四边形中新定义问题、全等三角形的性质与判定以及等腰三角形的性质与判定，理解新定义以及掌握平行四边形和特殊平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据对角线平分一组对角的性质逐个分析即可解答； （2）当四边形是“美妙四边形”时，分两种情况：对角线是“美妙线”或对角线是“美妙线”，证相应的三角形全等，结合，，，即可求出美妙四边形的面积． 【详解】解：（1）根据“美妙四边形”的定义可知，在平行四边形，矩形，菱形，正方形这四个四边形中，其中是“美妙四边形”的是菱形、正方形； （2）当四边形是“美妙四边形”时，分两种情况： ①当对角线是“美妙线”时，如图， 平分和，， ， 在中，，， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ； ②当对角线是“美妙线”时，如图，过点作于点， ，平分， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ； 综上所述，美妙四边形的面积为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $