第06讲 四边形及多边形（知识详解+16典例分析+习题巩固）同步讲义与测试2025-2026学年（人教版）八年级数学下册

第06讲 四边形及多边形（知识详解+16典例分析+习题巩固） 【知识点01】四边形及其相关概念 1. 四边形的定义：如图21.1－1，在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点. 四边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如：图21.1－1 中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”. 2. 四边形的相关概念 (1)四边形的对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线. 在图21.1－3 中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形ABCD分为两个三角形. (2)四边形的内角和外角：四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. 如图21.1－4，∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA是四边形ABCD的内角，∠1，∠2，∠3，∠4是四边形ABCD的外角. 【知识点02】四边形的内角和、外角和 1. 四边形的内角和等于360°. 推导过程如下： 如图21.1－6，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形. 在△ABC中，由三角形的内角和定理，得∠1＋∠B＋∠3＝180°. 同理∠2＋∠4＋∠D＝180°.由此可得∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D ＝ ∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D ＝(∠1＋∠B＋∠3)＋(∠2＋∠4＋∠D) ＝180°＋180°＝360°， 即四边形的内角和等于360°. 2. 四边形的外角和等于360°. 推导过程如下： 因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°. 因为四边形的内角和等于360°，所以四边形的外角和等于4×180°－360°＝360°. 【知识点03】四边形的不稳定性 1. 四边形的不稳定性：四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性. 连接一条对角线后，四边形变成两个三角形，这时四边形的形状不再发生变化. 2. 四边形不稳定性的应用：在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图21.1－8中的活动挂架和伸缩门；有时又需要克服四边形的不稳定性， 例如门框在未安装好之前，木工师傅会先沿着对角线钉一根木条，以防门框变形. 【知识点04】多边形及其相关概念 1. 多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 多边形有几条边就叫作几边形. 2. 多边形的相关概念 概念 定义 图形 边 组成多边形的各条线段 顶点 每相邻两条线段的公共端点 内角 多边形相邻两边组成的角 外角 多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角 对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 多边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如上表中的五边形，记作“五边形ABCDE”. 3. 正多边形：各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.例如正三角形、正方形等(如图21.1－10) 【知识点05】多边形的内角和 1. 多边形的内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)×180°. 2. 多边形内角和公式的证明方法 证明方法 图形 证法1 从n边形的一个顶点出发可以作(n－3)条对角线， 将这个n边形分成(n－2)个三角形， 这(n－2) 个三角形的内角和恰好是这个n 边形的内角和， 为(n－2)×180° 证法2 在n边形内任取一点，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角，即可得到n边形的内角和为(n－2)×180° 证法3 在n边形的一边上任取一点，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，共构成(n－1)个三角形，这(n－1)个三角形的内角和为(n－1)×180°，再减去这点处的一个平角，即可得到n 边形的内角和为(n－2)×180° 证法4 在n边形外任取一点O，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，得到以n边形的边为一边，顶点为O的三角形有n个，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去两个三角形的内角和，即可得到n 边形的内角和为(n－2)×180° 【知识点06】多边形的外角和 1. 多边形的外角和等于360°. 推导过程如下： 与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于n×180°－(n－2)×180°＝360°. 2. 多边形的外角和在正多边形中的应用 (1)正n边形的每一个外角都是； (2)若正多边形的一个外角为α，则正多边形的边数为. 【题型一】四边形的不稳定性 例1．（23-24八年级下·广东韶关·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．平行四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短 D．点到直线的距离垂线段最短 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________． 变式2．（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【题型二】多边形的概念与分类 例2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 变式1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 ___________ 个． 变式2．如图，你能数出多少个不同的四边形？ 【题型三】正多边形概念辨析 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形中，一定是正多边形的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．平行四边形 D．正方形 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，要把边长为12的正三角形纸板剪去三个小正三角形（阴影部分），得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长是多少? 【题型四】多边形截角后的边数问题 例4．若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 变式1．一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为________________． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形． 【题型五】多边形的周长 例5．（25-26八年级·全国·月考）如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（   ） A．10 B．22 C．24 D．32 变式1．如图，直线DE将△ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则△ABC的周长为_________． 变式2．如图，有3张卡片，用它们拼成各种形状不同的多边形（相同长度的边拼靠在一起，卡片不重叠）． (1)这些拼成的多边形的周长有哪几种不同的结果？ (2)这些结果中，最长的周长和最短的周长分别是多少？请说明理由． 【题型六】网格中多边形面积比较 例6．边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为________________． 变式1．如图，网格中每个小方格的边长为1，的顶点均在格点上． (1)与关于直线l对称，请画出； (2)连接，，求四边形的面积． 【题型七】多边形对角线的条数问题 例7．（25-26八年级下·全国·课前预习）已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 变式1．（2025·四川德阳·二模）凸六边形的对角线条数为_____条． 变式2．一个十边形有多少条对角线？ 【题型八】对角线分成的三角形个数问题 例8．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级上·河南漯河·月考）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2022个三角形，那么这个多边形是 _____边形． 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 【题型九】多边形内角和问题 例9．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知边形的每个内角都等于140°，则它的内角和是__________． 变式2．（25-26八年级下·全国·课前预习）求下列图形中的值． 【题型十】正多边形的内角问题 例10．（2026·广东中山·模拟预测）若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（   ） A．6 B．12 C．16 D．18 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）将正五边形和正八边形按如图所示的方式摆放，则的度数为__________． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，以正六边形的一边为边向外作正方形，连接，．求的度数． 【题型十一】多（少）算一个角问题 例11．已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 变式2．（23-24八年级上·全国·课后作业）小玉同学在进行多边形内角和的计算时，求得一个多边形的内角和为，当她发现算错之后进行检查，原来多加了一个外角，你知道她多加的这个外角是多少度吗？ 【题型十二】多边形截角后的内角和问题 例12．（2023·湖南娄底·模拟预测）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原来多边形的边数不可能为 （   ） A．10 B．9 C．8 D．7 变式1．（2024·湖北·模拟预测）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为__________． 变式2．（22-23八年级下·全国·课后作业）一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其他顶点），内角和为，则原多边形是几边形？ 【题型十三】正多边形的外角问题 例13．（25-26八年级下·全国·周测）某塔的塔基是一个正边形（是正整数）．如图，测得塔基所在的正边形的一个外角为，则的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式1．（25-26八年级下·全国·周测）中国古典园林里面的窗型，丰富多样．如图所示的是颐和园小长廊五角加膛窗的示意图，它的一个外角的度数为____________． 变式2．一个正多边形的周长为，边长为，一个外角为． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【题型十四】多边形外角和的实际应用 例14．（25-26八年级下·全国·课后作业）九边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，则__________． 变式2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）[应用意识]清晨，小明沿着一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，如图．    (1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出； (2)他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？ (3)你是怎么得到的？ 【题型十五】多边形内角和与外角和综合 例15．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于四边形内角和与外角和的表述，错误的是（   ） A．四边形的内角和与外角和相等 B．如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补 C．四边形的外角和是 D．如果一个四边形的每个内角是，那么它的每个外角也是 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，延长，，则图中四边形的内角有___________，外角有___________． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）求出下列图形中x的值． 【题型十六】平面镶嵌 例16．（2022八年级下·湖南怀化·竞赛）建筑师要为客户设计一种新颖的地砖图样，准备从边长相同的正三角形与正方形，正六边形，正八边形中同时选择其中两种地砖密铺地面，如果从图样上考虑，选择的方式有（   ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 变式1．（24-25八年级下·广东深圳·期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．那么用若干个全等的正方形_____镶嵌整个平面．（填“能”或“不能”） 变式2．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空隙，又不互相重叠（在数学上叫做平面镶嵌）．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形． (1)请你根据图中的图形，填写表中空格； (2)如果选择正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形吗？说明理由． 正多边形边数 3 4 5 … n 正多边形每个内角的度数 … 一、单选题 1．若一个正多边形的每个内角的度数与外角的度数相等，则这个正多边形的边数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．小明从点O出发，前进10米后右转，再走10米后右转，…，如此一直走下去，他第一次回到出发点O时，走的路程一共为（   ） A．70米 B．80米 C．90米 D．100米 3．如果一个多边形的每一个外角都是30°，那么这个多边形的边数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 4．如图，五边形是正五边形，若，则的度数为(    ) A． B． C． D．以上都不对 5．从多边形的一个顶点引出的所有对角线将多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，点O是正六边形的中心，则的长为（    ） A．12 B． C． D． 7．五边形的内角和的度数为（    ） A． B． C． D． 8．下列说法中，正确的个数有（    ） ①内错角相等        ②三角形的高在三角形内部 ③一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．在凸n边形的所有内角中，锐角的个数最多是（    ）． A．0 B．1 C．3 D．5 10．如图，四边形中，．若中，，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．多边形的外角和为______． 12．若从n边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则n的值是______． 13．正十二边形的每一个外角等于______度． 14．在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是_____________． 15．（1）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这个多边形是________边形． （2）从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于_______． 16．如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为_________． 17．如图，________． 三、解答题 18．已知某n边形内角和是，求n的值． 19．求下列各图形中的值． 20．如图，在同一平面内有5个点． (1)请按下列要求作图：连接．你得到了一个怎样的图形？ (2)在（1）的条件下，所连线段相交组成的五边形共有多少条对角线？ 21．已知一个多边形的边数为． (1)若，则这个多边形的内角和为______． (2)若这个多边形的内角和的比一个七边形的外角和多，求的值． 22．如图，求的度数．    23．如图：四边形ABCD中，，BO平分，CO平分，求的度数． 24．如图，四边形中，，，．若E、F分别在的延长线上．    (1)找出与间的数量关系，并说明理由； (2)若，找出线段之间的数量关系并证明． 25．在五边形ABCDE中，，，． (1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线； (2)如图②，若比小，求出的度数； (3)如图③，若CP，DP分别平分与的外角，试求出的度数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 四边形及多边形（知识详解+16典例分析+习题巩固） 【知识点01】四边形及其相关概念 1. 四边形的定义：如图21.1－1，在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点. 四边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如：图21.1－1 中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”. 2. 四边形的相关概念 (1)四边形的对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线. 在图21.1－3 中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形ABCD分为两个三角形. (2)四边形的内角和外角：四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. 如图21.1－4，∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA是四边形ABCD的内角，∠1，∠2，∠3，∠4是四边形ABCD的外角. 【知识点02】四边形的内角和、外角和 1. 四边形的内角和等于360°. 推导过程如下： 如图21.1－6，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形. 在△ABC中，由三角形的内角和定理，得∠1＋∠B＋∠3＝180°. 同理∠2＋∠4＋∠D＝180°.由此可得∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D ＝ ∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D ＝(∠1＋∠B＋∠3)＋(∠2＋∠4＋∠D) ＝180°＋180°＝360°， 即四边形的内角和等于360°. 2. 四边形的外角和等于360°. 推导过程如下： 因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°. 因为四边形的内角和等于360°，所以四边形的外角和等于4×180°－360°＝360°. 【知识点03】四边形的不稳定性 1. 四边形的不稳定性：四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性. 连接一条对角线后，四边形变成两个三角形，这时四边形的形状不再发生变化. 2. 四边形不稳定性的应用：在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图21.1－8中的活动挂架和伸缩门；有时又需要克服四边形的不稳定性， 例如门框在未安装好之前，木工师傅会先沿着对角线钉一根木条，以防门框变形. 【知识点04】多边形及其相关概念 1. 多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 多边形有几条边就叫作几边形. 2. 多边形的相关概念 概念 定义 图形 边 组成多边形的各条线段 顶点 每相邻两条线段的公共端点 内角 多边形相邻两边组成的角 外角 多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角 对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 多边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如上表中的五边形，记作“五边形ABCDE”. 3. 正多边形：各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.例如正三角形、正方形等(如图21.1－10) 【知识点05】多边形的内角和 1. 多边形的内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)×180°. 2. 多边形内角和公式的证明方法 证明方法 图形 证法1 从n边形的一个顶点出发可以作(n－3)条对角线， 将这个n边形分成(n－2)个三角形， 这(n－2) 个三角形的内角和恰好是这个n 边形的内角和， 为(n－2)×180° 证法2 在n边形内任取一点，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角，即可得到n边形的内角和为(n－2)×180° 证法3 在n边形的一边上任取一点，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，共构成(n－1)个三角形，这(n－1)个三角形的内角和为(n－1)×180°，再减去这点处的一个平角，即可得到n 边形的内角和为(n－2)×180° 证法4 在n边形外任取一点O，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，得到以n边形的边为一边，顶点为O的三角形有n个，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去两个三角形的内角和，即可得到n 边形的内角和为(n－2)×180° 【知识点06】多边形的外角和 1. 多边形的外角和等于360°. 推导过程如下： 与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于n×180°－(n－2)×180°＝360°. 2. 多边形的外角和在正多边形中的应用 (1)正n边形的每一个外角都是； (2)若正多边形的一个外角为α，则正多边形的边数为. 【题型一】四边形的不稳定性 例1．（23-24八年级下·广东韶关·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．平行四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短 D．点到直线的距离垂线段最短 【答案】B 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的不稳定性．生活中常见的机械臂、升降机等，这是应用了四边形不稳定性进行制作的，便于伸缩． 【详解】解：月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了四边形不稳定性的特性． 故选：B． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________． 【答案】四边形的不稳定性 【知识点】四边形的不稳定性 【详解】解：小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是四边形的不稳定性． 变式2．（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可． 【详解】由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于． 答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【题型二】多边形的概念与分类 例2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 【答案】B 【知识点】多边形的概念与分类 【详解】解：在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作四边形，A说法错误； 四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角，B说法正确； 四边形的对角线是连接不相邻两个顶点的线段，C说法错误； 四边形每个顶点处有2个外角，共8个外角，D说法错误． 变式1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 ___________ 个． 【答案】3 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】本题考查多边形，理解“邻等四边形”的定义是正确解答的关键． 据“邻等四边形”以及网格点的意义在网格中找出符合条件的点D的位置即可． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格点的意义可知， 所有符合条件的点D共有3个，即图形中的， 故答案为：3 变式2．如图，你能数出多少个不同的四边形？ 【答案】27 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】根据四边形的组成方式，分别数出由单个的四边形，由2个四边形，3个四边形，4个四边形，5个四边形，6个四边形，7个四边形组成的大四边形，从而可得答案． 【详解】解：单个的四边形：一共有9个， 由2个四边形组成的四边形有6个， 由3个四边形组成的四边形有4个， 由4个四边形组成的四边形有1个， 由5个四边形组成的四边形有4个， 由6个四边形组成的四边形有2个， 由7个四边形组成的四边形有1个， 故一共有27个四边形． 【点睛】本题主要考查了认识平面图形，做到不重复不遗漏的数图形是解题关键． 【题型三】正多边形概念辨析 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形中，一定是正多边形的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．平行四边形 D．正方形 【答案】D 【知识点】正多边形概念辨析 【分析】正多边形需所有边相等且所有角相等. 三角形、四边形、平行四边形不一定满足条件，而正方形一定满足． 本题考查了正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键． 【详解】解： 正多边形定义：各边相等，各角相等． A.、三角形不一定各边相等（如不等边三角形），不一定是正多边形，不符合题意． B、四边形不一定各边相等或各角相等（如梯形）， 不一定是正多边形，不符合题意． C、平行四边形对边相等，但邻边不一定相等，角不一定相等，不一定是正多边形，不符合题意． D、正方形所有边相等，所有角均为90°， 一定是正多边形，符合题意． 故选：D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，要把边长为12的正三角形纸板剪去三个小正三角形（阴影部分），得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长是多少? 【答案】剪去的小正三角形的边长是4 【知识点】正多边形概念辨析、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形以及正六边形的定义．由题意可知剪去的三个三角形是全等的等边三角形，可知得到剪去的小正三角形的边长为4． 【详解】解：小正三角形和正六边形的各边都分别相等，且每个小正三角形与正六边形均有公共边， ． 又， ， ． 故剪去的小正三角形的边长是4． 【题型四】多边形截角后的边数问题 例4．若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形； 所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 变式1．一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为________________． 【答案】或或 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】本题考查的知识点是多边形的概念，解题关键是列举出所有可能的情况．一个多边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为，， 故答案为：，，． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形． 【答案】见解析 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】本题考查了多边形．分情况，画出图形即可． 【详解】解：如答图①，剩下的新图形是三角形；如答图②，剩下的新图形是四边形；如答图③，剩下的新图形是五边形． ． 【题型五】多边形的周长 例5．（25-26八年级·全国·月考）如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（   ） A．10 B．22 C．24 D．32 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、多边形的周长 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理解直角三角形． 根据长方形的性质求出相关边长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：根据长方形的性质得， ，，， 根据勾股定理得， ∴梯形的周长为， 故选：D． 变式1．如图，直线DE将△ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则△ABC的周长为_________． 【答案】4 【知识点】多边形的周长 【分析】根据直线DE将△ABC分成等周长的两部分得AD+AE＝BD+CE+BC=2，进而可求解． 【详解】解：由题意得：AD+AE＝BD+CE+BC． ∵AD+AE＝2， ∴BD+CE+BC＝2． ∴C△ABC＝AB+AC+BC ＝（AD+BD）+（AE+CE）+BC ＝（AD+AE）+（BD+CD+BC） ＝2+2 ＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的周长，解题的关键是正确理解题干中直线DE将△ABC分成等周长的两部分． 变式2．如图，有3张卡片，用它们拼成各种形状不同的多边形（相同长度的边拼靠在一起，卡片不重叠）． (1)这些拼成的多边形的周长有哪几种不同的结果？ (2)这些结果中，最长的周长和最短的周长分别是多少？请说明理由． 【答案】(1)，， (2)周长最大，最短，理由见解析 【知识点】不等式的性质、多边形的周长 【分析】（1）画出图形可得结论； （2）根据（1）中结论结合，再判断即可． 【详解】（1）解：如图， 图形有四种情形，周长为：或或. （2）周长的最大值为，最小值为. 理由：由题意可得：， 因为，所以， 因为，所以， ∴， 周长的最大值为，最小值为. 【题型六】网格中多边形面积比较 例6．边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为________________． 【答案】 【知识点】网格中多边形面积比较 【分析】（1）先分别求出菱形和正方形的面积，然后根据变形度为2求解即可； （2）先把网格中的菱形当成是正方形，然后算出三角形的面积，最后根据变形度求解即可得到答案. 【详解】解：（）∵边长为的正方形面积，边长为的菱形面积， ∴菱形面积：正方形面积， ∵菱形的变形度为，即， ∴． 故答案为：； （）∵菱形边长为，“形变度”为， ∴菱形形变前的面积与形变后面积比为， ∴． 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了网格中面积的计算，解题的关键在于能够准确地读懂题意进行求解. 变式1．如图，网格中每个小方格的边长为1，的顶点均在格点上． (1)与关于直线l对称，请画出； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)18 【知识点】网格中多边形面积比较、画轴对称图形 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是作出对称点的位置． （1）先作出点A、B、C关于直线l的对称点、、，然后再顺次连接即可； （2）根据梯形面积公式求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：． 【题型七】多边形对角线的条数问题 例7．（25-26八年级下·全国·课前预习）已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 【答案】B 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查多边形对角线的条数问题，根据过n边形一个顶点的对角线数量公式：条（n为多边形边数且）进行解答即可． 【详解】解：∵过n边形一个顶点的对角线数量为条（） 又∵该多边形是十一边形，即 ∴过其一个顶点的对角线数量为条 故选：B 变式1．（2025·四川德阳·二模）凸六边形的对角线条数为_____条． 【答案】9 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，根据n边形有条对角线进行求解即可． 【详解】解：凸六边形的对角线条数为条， 故答案为：9． 变式2．一个十边形有多少条对角线？ 【答案】 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】根据多边形对角线计算公式进行求解即可． 【详解】解：由题意得，一个十边形有条对角线， 答：一个十边形有35条对角线． 【点睛】本题主要考查了多边形对角线条数问题，熟知从n边形一个顶点出发可以引条对角线是解题的关键． 【题型八】对角线分成的三角形个数问题 例8．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查了多边形对角线分割三角形的个数问题，根据从边形的一个顶点出发，可以将多边形分为个三角形，进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为， 故选：A． 变式1．（22-23八年级上·河南漯河·月考）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2022个三角形，那么这个多边形是 _____边形． 【答案】2024 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数． 【详解】∵从n边形的一个顶点出发作它的对角线，将n边形分成个三角形， ∴， ∴， 故答案为：2024． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解． 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）11   （2）能，此时五边形内部有1011个点 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握怎么计算多边形的对角线是解题的关键； （1）观察规律得出五边形内点的个数与分割成的三角形的个数的关系写出五边形内有4个点时三角形的个数以及n个时三角形的个数表达式； （2）令（1）的表达式等于2025，求出n的值． 【详解】解：（1）点的个数为1时：三角形的个数为：； 点的个数为2时：三角形的个数为：； 点的个数为3时：三角形的个数为：； 则点的个数为4时：三角形的个数为：； 点的个数为n时：三角形的个数为：． （2）原五边形能被分割成2025个三角形． 由题意，得， 解得（符合题意）， ∴原五边形能被分割成2025个三角形，此时五边形内部有1011个点． 【题型九】多边形内角和问题 例9．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形 【答案】C 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形内角和公式的应用，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 设这个多边形边数为n，利用n边形内角和公式，列方程，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得 ，解得， 则这个多边形是八边形． 故选：C． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知边形的每个内角都等于140°，则它的内角和是__________． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键； 根据多边形每个内角等于，利用内角和公式求出边数n，再计算内角和． 【详解】解：设多边形的边数为n， 则每个内角为， 解得， 内角和为． 故答案为：． 变式2．（25-26八年级下·全国·课前预习）求下列图形中的值． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形内角和公式的应用，关键是掌握边形的内角和为(且为整数)．首先根据四边形内角和公式计算出四边形的内角和，再根据四边形内角和等于各内角之和建立等式，求解即可得到的值． 【详解】解：∵四边形的内角和为， ∴，解得． 【题型十】正多边形的内角问题 例10．（2026·广东中山·模拟预测）若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（   ） A．6 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【知识点】正多边形的内角问题 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，利用正多边形内角公式建立方程求解即可，熟练掌握多边形的内角和公式是解此题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为，则每个内角为， ∵正多边形的一个内角是， ∴， 解得：， 即该多边形的边数是， 故选：D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）将正五边形和正八边形按如图所示的方式摆放，则的度数为__________． 【答案】/度 【知识点】正多边形的内角问题 【分析】本题考查的是正多边形的内角，掌握正多边形的内角的计算公式是解题的关键．分别求出正五边形和正八边形的每个内角的度数，求差即可． 【详解】解：正五边形的一个内角的度数为， 正八边形的一个内角的度数为， 则的度数为， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，以正六边形的一边为边向外作正方形，连接，．求的度数． 【答案】 【知识点】正多边形的内角问题、等边对等角 【分析】本题考查了多边形内角与外角、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出、的度数是解题的关键． 根据正多边形的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可求出的度数，同理可求出的度数，再根据即可求出结论． 【详解】解：六边形为正六边形， ，， ． 四边形为正方形， ，， ， ， ． 【题型十一】多（少）算一个角问题 例11．已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 【答案】B 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，利用多边形的内角和定理和已知条件列出等式，根据多边形的内角的性质列出不等式，利用不等式的整数解即可求得结论． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°， 则：（n-2）•180+x=1960， ∴x=2320-180n． ∵0°＜x＜180°， ∴0＜2320-180n＜180， 解得 ∵n为正整数， ∴n=12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角，多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 【答案】/度 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】本题考查的是多边形的内角和问题，设多边形的边数为，根据多边形内角和公式及少算一个内角的条件，列出不等式求解，再计算内角和与给定结果的差，即得少算的内角度数． 【详解】解：设凸多边形的边数为，且为整数，则内角和为． 由于少算一个内角，得，其任一内角满足． 解不等式， 得． 内角和为， 故． 故答案为：． 变式2．（23-24八年级上·全国·课后作业）小玉同学在进行多边形内角和的计算时，求得一个多边形的内角和为，当她发现算错之后进行检查，原来多加了一个外角，你知道她多加的这个外角是多少度吗？ 【答案】 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】设多边形的边数为，由题意可得，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设多边形的边数为， 根据题意得：， 解得：， 为整数， ， 多加外角的度数． 【点睛】本题考查了对变形的内角和公式，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【题型十二】多边形截角后的内角和问题 例12．（2023·湖南娄底·模拟预测）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原来多边形的边数不可能为 （   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数是n，则， 解得：． ∵一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变， ∴原多边形的边数可能为7或8或9． 故选：A． 变式1．（2024·湖北·模拟预测）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为__________． 【答案】 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式（为边数且且为整数）是解题的关键．先根据新多边形内角和求出新多边形边数，再结合剪角后多边形边数的变化规律，得出原多边形边数． 【详解】解：设新多边形的边数为，根据多边形内角和公式， 解得． 因为按图示剪法剪去一个内角后，多边形边数增加了， 所以原多边形边数为． 故答案为：． 变式2．（22-23八年级下·全国·课后作业）一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其他顶点），内角和为，则原多边形是几边形？ 【答案】十二 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边解答即可． 【详解】解∶设新多边形的边数为n，则原多边形的边数为， 根据题意得：， 解得：， ∴原多边形的边数为， 即原多边形是十二边形． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，剪痕不过任何一个其他顶点故此新多边形的边数比原多边形的边数多1． 【题型十三】正多边形的外角问题 例13．（25-26八年级下·全国·周测）某塔的塔基是一个正边形（是正整数）．如图，测得塔基所在的正边形的一个外角为，则的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查了多边形外角和定理，掌握正多边形各外角相等是解题的关键． 根据多边形外角和为的定理，结合正多边形各外角相等的性质，用外角和除以一个外角的度数即可求出边数． 【详解】解：根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和都为． ∵该塔基是正边形， ∴它的个外角都相等； 已知一个外角为， ∴边数可以通过外角和除以一个外角的度数来计算：． 因此，的值为8． 故选：C． 变式1．（25-26八年级下·全国·周测）中国古典园林里面的窗型，丰富多样．如图所示的是颐和园小长廊五角加膛窗的示意图，它的一个外角的度数为____________． 【答案】 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查了正多边形的外角和性质，掌握任意正多边形的外角和为，每个外角的度数等于除以边数是解题的关键． 根据正多边形外角和为，正五边形的5个外角相等，用外角和除以边数即可求出一个外角的度数． 【详解】解：∵正多边形的外角和恒为 ∵该图形为正五边形，共有个相等的外角 ∴其一个外角的度数为 故答案为：． 变式2．一个正多边形的周长为，边长为，一个外角为． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）36；（2）5 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】（1）根据周长公式，可得多边形的边数，再根据多边形的外角和，可得答案． （2）根据多边形的外角和，可得多边形的边数，根据周长公式，可得答案． 【详解】解：（1）∵正多边形的周长为，边长为，， ∴正多边形的边数=60÷6=10， ∵正多边形的一个外角为 ∴b=360÷10=36， （2）∵正多边形的一个外角为，， ∴正多边形的边数=360÷30=12， ∵正多边形的周长为，边长为， ∴a=60÷12=5， 【点睛】本题考查了多边形的外角和以及正多边形的性质，利用多边形的外角和得出多边形的边数是解题关键． 【题型十四】多边形外角和的实际应用 例14．（25-26八年级下·全国·课后作业）九边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查多边形的外角和性质，牢记任意多边形的外角和都是是解题的关键. 多边形的外角和恒为，与边数无关，由此可解. 【详解】解：∵ 任意多边形的外角和都等于, ∴ 九边形的外角和为. 故选：B． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，则__________． 【答案】240° 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握任意多边形的外角和都是． 根据邻补角的概念，多边形的外角和是进行解答即可． 【详解】解：如图： ∵四边形的外角和是， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：． 变式2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）[应用意识]清晨，小明沿着一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，如图．    (1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出； (2)他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？ (3)你是怎么得到的？ 【答案】(1)图见解析， (2)他每跑一圈，身体转过的角度之和是 (3)五边形的外角和等于 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】（1）根据图形进行解答即可； （2）根据多边形外角和进行解答即可； （3）多边形的外角和等于． 【详解】（1）解：如图，小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是．    （2）解：他每跑一圈，身体转过的角度之和是 （3）解：五边形的外角和等于． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和等于． 【题型十五】多边形内角和与外角和综合 例15．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于四边形内角和与外角和的表述，错误的是（   ） A．四边形的内角和与外角和相等 B．如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补 C．四边形的外角和是 D．如果一个四边形的每个内角是，那么它的每个外角也是 【答案】C 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】根据四边形内角和、外角和定理及内角与外角的互补关系，逐一判断选项即可得出结论． 【详解】解：∵四边形内角和为，任意多边形外角和均为 ∴A选项中四边形内角和与外角和相等，表述正确． ∵四边形内角和为，若一组对角互补（和为） ∴另一组对角和为，即另一组对角也互补，B选项表述正确． ∵任意四边形外角和为 ∴C选项表述错误． ∵四边形内角与相邻外角互补，若每个内角是 ∴每个外角为，D选项表述正确． 故选：C． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，延长，，则图中四边形的内角有___________，外角有___________． 【答案】 ，，， ， 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】根据多边形内角、外角的定义可得答案． 【详解】解：图中四边形的内角有，，，；外角有，． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）求出下列图形中x的值． 【答案】图1中，图2中 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】根据四边形的内角和是以及多边形外角的定义计算即可． 【详解】解：（1）图1中，， 即； （2）图2中，， 即． 【题型十六】平面镶嵌 例16．（2022八年级下·湖南怀化·竞赛）建筑师要为客户设计一种新颖的地砖图样，准备从边长相同的正三角形与正方形，正六边形，正八边形中同时选择其中两种地砖密铺地面，如果从图样上考虑，选择的方式有（   ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】C 【知识点】平面镶嵌 【分析】本题主要考查多边形内角和定理的运用，掌握以上知识是解题的关键．根据多边形内角和定理分别求出正三角形，正方形，正六边形，正八边形的每个内角，根据密铺可知不同多边形相接的内角之和为，由此即可求解． 【详解】解：∵正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，正六边形的每个内角为，正八边形的每个内角为， ∴选择两种不同的正多边形地砖密铺地面，则不同多边形相接的内角之和为， ∴正三角形和正六边形，即或； 正方形和正三角形，即； 正方形和正八边形，即； 综上所述，可供选择的方法共有种， 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·广东深圳·期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．那么用若干个全等的正方形_____镶嵌整个平面．（填“能”或“不能”） 【答案】能 【知识点】平面镶嵌 【分析】本题考查了平面图形的镶嵌、正多边形的内角，正确理解平面图形的镶嵌是解题关键．平面图形的镶嵌的关键是围绕一点拼在一起的正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即为正多边形一个内角的整数倍才能用这个正多边形进行平面镶嵌，据此解答即可得． 【详解】解： ∵正方形的一个内角的度数为，且， ∴用若干个全等的正方形能镶嵌整个平面． 故答案为：能． 变式2．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空隙，又不互相重叠（在数学上叫做平面镶嵌）．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形． (1)请你根据图中的图形，填写表中空格； (2)如果选择正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形吗？说明理由． 正多边形边数 3 4 5 … n 正多边形每个内角的度数 … 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【知识点】平面镶嵌 【分析】本题主要考查正多边形内角的度数； （1）根据题意，得出正多边形每个内角的度数为即可； （2）先求出正六边形内角的度数，再求多边形的内角加在一起能否组成一个周角即可． 【详解】（1）解：根据题意，正多边形每个内角的度数为： （2）解：正六边形内角的度数： ∴3个正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形； ∴选择正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形． 一、单选题 1．若一个正多边形的每个内角的度数与外角的度数相等，则这个正多边形的边数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，可得外角，再根据外角公式，可得答案． 【详解】解：由题意，得 外角相邻的内角且外角 相邻的内角， 外角， ， 正多边形是正方形． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，利用正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数得出一个外角的度数是解题关键． 2．小明从点O出发，前进10米后右转，再走10米后右转，…，如此一直走下去，他第一次回到出发点O时，走的路程一共为（   ） A．70米 B．80米 C．90米 D．100米 【答案】B 【分析】本题考查正多边形外角和的应用，掌握正多边形外角和是解题的关键． 先根据题意，可知小明的行走路线是正多边形，再根据正多边形的外角，求出边数，最后计算即可求解． 【详解】解：小明每次前进相同距离后右转相同角度，最终回到出发点， 其行走路线是正多边形，且每个外角为， 多边形外角和为， 该正多边形的边数， 每条边长为10米， 路程为：（米）． 故选：B． 3．如果一个多边形的每一个外角都是30°，那么这个多边形的边数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：多边形的边数是：360°÷30°=12． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键． 4．如图，五边形是正五边形，若，则的度数为(    ) A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角与外角，三角形的外角，延长交于，由平行线的性质，得到，求出正五边形的外角的度数，由三角形外角的性质即可解决问题． 【详解】解：延长交于， ， ， 正五边形的每个外角相等， ， ， ， ． 故选：． 5．从多边形的一个顶点引出的所有对角线将多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，直接利用“n边形一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形”列出方程解方程． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：D． 6．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，点O是正六边形的中心，则的长为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据正多边形性质得到，，利用等腰三角形性质和三角形内角和求得，作于点，利用等腰三角形性质得到，根据30度所对直角边等于斜边一半求得，再利用勾股定理求得，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， ， 作于点， ，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形性质、等腰三角形性质、30度所对直角边等于斜边一半、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 7．五边形的内角和的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用多边形的内角和：（n-2）•180°进行计算即可． 【详解】解：根据多边形内角和公式：180°×（5-2）=540°， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了多边形内角和，关键是掌握内角和的计算公式． 8．下列说法中，正确的个数有（    ） ①内错角相等        ②三角形的高在三角形内部 ③一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查内错角、三角形垂心及多边形内角和，根据内错角的定义、三角形垂心的定义及多边形内角和公式逐一判断可得． 【详解】解：①只有两平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，故此结论错误； ②只有锐角三角形的三条高在三角形的内部，故此结论错误； ③一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加，此结论正确； 故选：B． 9．在凸n边形的所有内角中，锐角的个数最多是（    ）． A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】C 【分析】先根据任意凸多边形的所有外角和都等于，得出其外角中钝角的个数，再根据内角与对应的外角互补即可得出答案． 【详解】任意凸多边形的所有外角和都等于 则其外角中钝角的个数不能超过3个 又因内角与对应的外角互补 则内角中锐角的个数不能超过3个，即内角中锐角的个数最多是3个 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的外角和、钝角与锐角的定义，依据题意，将问题转化为外角中钝角的个数问题是解题关键． 10．如图，四边形中，．若中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形的内角和，三角形的内角和，掌握三角形和四边形的内角和是正确解答的关键． 先根据三角形内角和为求出，再根据四边形内角和为，即可求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ． ∵在四边形中，， ． 故选：B． 二、填空题 11．多边形的外角和为______． 【答案】360 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，根据多边形的外角和定理，多边形的外角和为，解答即可． 【详解】解：多边形的外角和为， 故答案为：． 12．若从n边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则n的值是______． 【答案】7 【分析】本题考查了多边形的对角线．根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可得，求出的值． 【详解】解：设多边形有条边， 则， 解得， 故答案为：7． 13．正十二边形的每一个外角等于______度． 【答案】30 【分析】主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和为360度，再用360度除以边数即可得到每一个外角的度数． 【详解】解：∵多边形的外角和为360度， ∴正十二边形的每个外角度数为：． 故答案为：30． 14．在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是_____________． 【答案】/度 【分析】n边形的内角和是，即为180度的倍数，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去一个内角外，其余内角和与180度相除，得到的余数的度数的补角即是少算的内角的度数． 【详解】解：∵， ∴少加的内角是：． 故答案为：． 【点睛】考查了多边形内角与外角，正确理解多边形角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键． 15．（1）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这个多边形是________边形． （2）从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于_______． 【答案】 十三 11 【分析】（1）依据n边形从一个顶点出发可引条对角线的性质列方程求解， （2）依据n边形从一个顶点出发作对角线可分成个三角形的性质列方程求解 【详解】（1）设这个多边形是边形， 根据边形从一个顶点出发最多可引条对角线，可得， 得， 即这个多边形是十三边形． （2）根据边形从一个顶点出发作对角线，可将多边形分成个三角形， 可得， 得， 即等于11． 16．如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为_________． 【答案】35°． 【分析】由折叠得∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，可得∠DOF=∠A+∠B，四边形内角和可得360°-∠DOF+∠CDO+∠C+∠CFO=360°，由，可得∠A+∠B=110°+∠C由三角形内角和可得∠A+∠B=180°-∠C，构造方程180°-∠C=110°+∠C，解方程即可． 【详解】解：由折叠得∠A=∠DOE，∠B=∠FOE， ∴∠DOF=∠DOE+∠FOE=∠A+∠B， ∴360°-∠DOF+∠CDO+∠C+∠CFO=360°， ∵， ∴∠A+∠B=∠CDO+∠C+∠CFO=110°+∠C， 又∵∠A+∠B=180°-∠C， ∴180°-∠C=110°+∠C， ∴∠C=35°， 故答案为35°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、折叠性质，四边形内角和与一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型． 17．如图，________． 【答案】 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得与、的关系，与、的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案． 【详解】解：如图： 由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得： ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，先求出，再求出多边形的内角和． 三、解答题 18．已知某n边形内角和是，求n的值． 【答案】8 【分析】本题考查了多边形内角和定理的应用，根据，解答即可． 【详解】根据题意，得，， 解得． 故n的值为8． 19．求下列各图形中的值． 【答案】图（1）120；图（2）60． 【分析】根据三角形内角和定理、多边形内角和公式即可求出答案． 【详解】解：图（1）：∵五边形的内角和为：（5-2）•180°=540°， ∴60+x+x+x+x=540， ∴x=120； 图（2）：∵三角形的内角和为180°， ∴x+(x+36)+(x-36)=180， ∴x=60． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、多边形内角和公式，涉及一元一次方程的解法，熟记多边形内角和公式是解题的关键． 20．如图，在同一平面内有5个点． (1)请按下列要求作图：连接．你得到了一个怎样的图形？ (2)在（1）的条件下，所连线段相交组成的五边形共有多少条对角线？ 【答案】(1)画图见解析，得到的图形为五角星 (2)5条 【分析】本题主要考查了画线段，多边形对角线条数问题，正确结合题意以及线段的画法画出对应的图形是解题的关键： （1）根据线段的画法作图即可； （2）根据（1）所求画出对应五边形的对角线即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 由图可知，得到的图形是一个五角星； （2）解：如图所示，所连线段相交组成的五边形共有5条对角线． 21．已知一个多边形的边数为． (1)若，则这个多边形的内角和为______． (2)若这个多边形的内角和的比一个七边形的外角和多，求的值． 【答案】(1)； (2)14． 【分析】本题考查多边形内角和公式及外角和，读懂题意，利用多边形内角和公式求角度、按照题意列方程求解即可得到答案，熟记多边形内角和公式及四边形外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式，代值求解即可得到答案； （2）根据多边形内角和公式及七边形外角和为，由题意列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故答案为； （2）解：根据题意，得， 解得． 22．如图，求的度数．    【答案】 【分析】连结，令与交于点，由三角形内角和得，从而所求角的和转化为求五边形的内角和问题解决． 【详解】连结，如图，    设与交于点， ∵，， 又∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，多边形内角和定理，通过转化为多边形内角和是解题的关键． 23．如图：四边形ABCD中，，BO平分，CO平分，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，结合角平分线的定义即可得到∠COB与∠A+∠D之间的关系． 【详解】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠DCB， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD， ∴∠COB=180°-（∠OCB+∠OBC） =180°-（∠DCB+∠CBA） =180°-（360°-∠A-∠D） =（∠A+∠D）， ∵， ∴∠COB=（∠A+∠D）=110°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，多边形内角和定理，关键是熟悉三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°． 24．如图，四边形中，，，．若E、F分别在的延长线上．    (1)找出与间的数量关系，并说明理由； (2)若，找出线段之间的数量关系并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由四边形中，，可得，则，由，可得； （2）如图，在上截取使，连接，证明，则，，由，，可得，则，由，可得，证明，则，由，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，在上截取使，连接，    ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了四边形的内角和，全等三角形的判定与性质．明确角度之间的数量关系，通过截长法构造全等三角形是解题的关键． 25．在五边形ABCDE中，，，． (1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线； (2)如图②，若比小，求出的度数； (3)如图③，若CP，DP分别平分与的外角，试求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据对角线的定义作出所有对角线即可； （2）先根据多边形的内角和公式求得内角和，再求出∠C+∠D的度数，最后求得∠D即可； （3）先根据多边形内角结合外角的定义求得，然后根据角平分线的定义、等量代换、角的和差解答即可． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）解：五边形ABCDE的内角和为， ∵，，， ∴， 又∵， ∴． （3）解：五边形ABCDE的内角和为， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∵CP平分，DP平分， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角、对角线以及角平分线的定义等知识点，灵活运用多边形的内角和定理成为解答本题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $