21.3.2 菱形-第2课时 菱形的判定 课件 2025—2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 21.3 特殊的平行四边形 21.3.2 菱形 第2课时 菱形的判定 数 学 八年级 下册 1 1.会用菱形的定义来判定一个四边形为菱形. 2.探究菱形的判定定理，会判定一个四边形为菱形. 3.能解决与菱形相关的简单几何问题. 2 综合应用菱形的判定与性质解决几何问题. 3 解决与菱形相关的几何综合题. 4 取一张白纸，用直尺在白纸上测量两个等宽的纸条， 用剪刀剪下，再将剪下的两张等宽的纸条交叉重叠在一起， 重叠部分的四边形 就是菱形.由于纸条是长方形，对 边相互平行，所以四边形 是平行四边形.如何判定四 边形 是菱形呢？根据菱形的定义，我们只要能证明 ，就能得证.四边形的面积可以等于乘 边上的高，也可 以等于乘边上的高，由等宽的纸条可知， .当然，还有其他判 定菱形的方法，让我们开始本节课的学习.#1 5 我们知道四条边都相等的四边形是菱形.小华画了两个如图所示的平行四边 形，根据图中所标出的数据，请判断这两个平行四边形是不是菱形. 解：图1是菱形，图2不一定是菱形. 6 1.如图，要使平行四边形 变为菱形，需要添加的条件是( ) D A. B. C. D. 7 2.如图，，分别是锐角两边上的点，，分别以， 为圆心， 以的长为半径画弧，两弧相交于点，连接， 。则根据作图过程判 定四边形 是菱形的依据是__________________________。 四条边相等的四边形是菱形 8 菱形的判定定理 阅读课本本课时全部内容，解答下列问题. 1.菱形的定义：有一组______相等的____________是菱形. 邻边 平行四边形 9 2.如图，若四边形为平行四边形，对角线与交于点 ，且对角线 . 10 （1）思考：由平行四边形对角线相互平分可知，则与 相等 吗？为什么？ 【答案】相等.由勾股定理可知， ，所 以 . （2）讨论：对角线相互垂直的平行四边形是不是有一组邻边相等的平行四 边形？对角线互相垂直的平行四边形满足菱形的定义吗？ 【答案】是的.满足. 3.对角线互相垂直的平行四边形是______. 菱形 11 4.思考： （1）四条边都相等的四边形是不是平行四边形？理由是什么？ 【答案】是的.两组对边分别相等的四边形是平行四边形. （2）四条边相等的四边形有几组邻边相等？结合（1），你能发现什么？ 【答案】两组邻边都相等.四条边相等的四边形满足菱形的定义. 12 5.四条边都相等的四边形是______. 菱形 学法指导 根据以上问题，我们发现对角线相互垂直的平行四边形一定是有 一组邻边相等的平行四边形；四条边都相等的四边形也一定是有一组邻边相 等的平行四边形.因此，菱形的定义与两个判定定理之间是可以等价的，它 们都能说明一个满足条件的四边形是菱形. 13 1.如图，的对角线和相交于点 ，下列说法正确的是( ) D A. 若，则 是菱形 B. 若，则 是菱形 C. 若，则 是菱形 D. 若，则 是菱形 14 2.（新考法）小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线， 交 于点，，.求证：四边形 是菱形”，并将自己的证明 过程与同学小洁交流. 15 小惠： 证明：， ， 垂直平分 ， ， ， 四边形 是菱形. 小洁： 这个题目还缺少条件，需要 补充一个条件才能证明. 若赞同小惠的证法，请在小惠的方框内画“√”；若赞成小洁的说法，请你补 充一个条件，并证明. 解：赞成小洁的说法，补充条件： .（补充条件不唯一）证明如下： ， ， 四边形 是平行四边形. 又 ， 平行四边形 是菱形. 17 尺规作图与菱形的判定 例1 如图，在中，已知 . 18 （1）实践与操作：作的平分线交于点，在上截取 ， 连接EF.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 解：作图如图所示. 19 （2）猜想并证明：在（1）的条件下，猜想四边形 的形状，并写出证 明过程. 解：四边形 是菱形. 证明： 四边形 是平行四边形， ， . 平分， ， ， . 20 由（1）得 ， . 又 ， 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是菱形. 菱形的判定与性质的综合运用 例2 如图，的对角线，相交于点，过点作 且 ，连接，， . 22 （1）求证： 是菱形. 解：证明：， ， 四边形 是平行四边形. ， 平行四边形 是矩形， ， ， 是菱形. 23 （2）若， ，求 的长. 解： 四边形 是菱形， ，， . ， 是等边三角形， ， . 在中，由勾股定理得 . 由（1）可知，四边形 是矩形， ， ， ，即的长为 . 24 1.下列四边形中，不一定为菱形的是( ) A A. 对角线相等的平行四边形 B. 对角线平分一组对角的平行四边形 C. 对角线互相垂直的平行四边形 D. 邻边相等的平行四边形 25 2.顺次连接矩形 各边的中点，所得的四边形是( ) D A. 对边不平行的四边形 B. 邻边不相等的平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 3.在平面直角坐标系中，点是原点，点的坐标是，点 的坐标是 ，要使四边形是菱形，则满足条件的点 的坐标是( ) C A. B. C. D. 26 4.若的对角线，相交于点 ，则添加一个适当的条件： ________________________________________________可使其成为菱形 （只填一个即可）. 或 或（答案不唯一） 5.如图，点，，，在同一条直线上，且， ， . 27 （1）求证： . 证明： ， ， . ， ， ， ， . 28 （2）若，求证：四边形 是菱形. 【答案】 ， ， . ， 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是菱形. 29 6.如图，在中，，是 的一个外角. 根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）. 30 （1）作的平分线 . 解：射线 如图所示. 31 （2）在（1）的条件下，作线段的垂直平分线，与交于点，与 边 交于点，连接， ，得到四边形AECF. 猜想四边形 的形状，并加以证明. 32 解：如图，四边形 即所求. 猜想：四边形 是菱形. 证明： ，平分 ， ， . 是 的外角， ， ， ， 33 . 垂直平分 ， ， ， ， . ， ， 四边形 是平行四边形. 又 ， 四边形 是菱形. 7.如图，在中， ，是的中点，是 的中点，过 点作交的延长线于点 . 35 （1）求证：四边形 是菱形. 解：证明： ， ， . 是的中点， ， ， . 是的中点， ， 36 ， 四边形 是平行四边形. ，是 的中点， ， 四边形 是菱形. （2）若，四边形的面积为40.求 的长. 解： 四边形 是菱形， . 是 的中点， ， ， ， 即 ， ， 的长为10. 38 8.如图，在四边形中，与交于点，，， 平 分 . 39 （1）求证：四边形 是菱形. 解：证明：， ， 四边形 是平行四边形， ， . 平分， ， ， ， 四边形 是菱形. 40 （2）为上一点，连接，若，， ，求菱形 的面积. 解：由（1）可知，四边形 是菱形， ， ， ， . 41 在中，由勾股定理得 ， ， . 9.如图，在平行四边形中，，分别是，的中点，，， 分 别是对角线上的四等分点，顺次连接，， ，F. 43 （1）求证：四边形 是平行四边形. 解：明：如图1，连接 . 四边形 是平行四边形， ， ， 44 的中点在 上. ，，分别是对角线 上的四等分点， ，分别为， 的中点. 是 的中点， 为 的中位线， ， . 同理：， ， ， ， 四边形 是平行四边形. （2）当平行四边形满足__________条件时，四边形 是菱形. . 提示：如图2，连接.当 时， 易证 ， . 由（1）可得四边形 是平行四边形， 四边形 是菱形. 46 （3）若，猜想四边形 的形状，并说明理由. 解：四边形 是矩形. 理由：由（1）可得四边形 是平行四边形， . 由（1）可得， . ， ， ， 四边形 是矩形. 47 $