第一单元 四则运算（期中复习讲义）培优版（导图+10个考点真题讲练+提优练 共50题）-2025-2026学年人教版数学四年级下册专项复习精讲练

2025-2026学年人教版数学四年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第一单元 四则运算【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+10个考点讲练+真题提优练 共47题】 （原卷版） 考点序列 考点内容 考点讲练一 加、减法的意义和各部分间的关系 考点讲练二 乘、除法的意义和各部分间的关系 考点讲练三 计算（带有小括号的混合运算） 考点讲练四 解决问题（带有小括号的混合运算） 考点讲练五 计算（带有中括号的混合运算） 考点讲练六 解决问题（带有中括号的混合运算） 考点讲练七 巧填算符 考点讲练八 租船问题 考点讲练九 购票问题 考点讲练十 货物运输问题 知识点一 加、减法的意义和各部分间的关系 1. 加法 （1）把两个数合并成一个数的运算，叫做加法，相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。 （2）加法各部分间的关系： 和＝加数＋加数；加数＝和－另一个加数。 2. 减法 （1）已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，在减法中，已知的和叫做被减数。 （2）减法各部分间的关系：差＝被减数－减数；减数＝被减数－差；被减数＝减数＋差。 3. 减法是加法的逆运算 知识点二 和或差的变化规律 1. 和的规律问题 （1）和不变规律：两个数相加，一个加数增加多少，要使和不变，另一个加数必须减去多少。 （2）和的变化规律：一个加数增加（或减少）某数，另一个加数不变，和也增加（或减少）相同的数。 2. 差的变化规律。 （1）减数不变：若减数不变，被减数增加多少，那么差就增加多少；减数不变，被减数减少多少，差就减少多少。 （2）被减数不变：若减数增加，被减数不变，则差减少；若减数减少，被减数不变，则差增加。 （3）差不变：若被减数和减数同时增加或减少相同的量，则差不变。 知识点三 乘、除法的意义和各部分间的关系 1. 乘法 （1）求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。 （2）乘法各部分间的关系：积=因数×因数；因数=积÷另一个因数。 2. 除法。 （1）除法是已知两个因数的积和其中的一个因数求另一个因数的运算。 （2）除法各部分间的关系： 商=被除数÷除数，除数=被除数÷商，被除数=商×除数。 （补充：在有余数的情况下，被除数=商×除数+余数） 3. 除法是乘法的逆运算 知识点四 积或商的变化规律 1. 积的变化规律 （1）两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以相同的数。 （2）一个因数乘A，另外一个因数乘B，那么积要乘A和B的积。 （3）一个因数除以A，另外一个因数除以B，那么积要除以A和B的积。 2. 积不变规律 两个数相乘，一个因数乘（或除以）几（0除外），另一个因数除以（或乘）相同的数，则它们的乘积不变。 3 商的变化规律 （1）在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商也要乘（或除以）几。 （2）在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商反而要除以（或乘以）几。 （3）在有余数的除法中，如果被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），那么余数也随之乘或除以这个数。 4. 商不变规律（商不变性质） 在除法算式中，被除数和除数同时乘以（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，这叫做“商不变规律”（或商不变性质）。 知识点五 括号与运算顺序 1. 在四则混合运算中，如果有括号，要先算括号里面的，然后再算乘除，最后再算加减。 2. 在四则混合运算中，如果小括号、中括号都有，要先算小括号，再算中括号，最后算括号外面的。 3. 在四则混合运算中，如果是同级运算，则从左往右依次计算；如果是不带括号的混合运算，则先算乘除，再算加减。 知识点六 租船与租车问题 1. 租车租船问题 租车租船问题也是属于优化问题的一种，要考虑租金和限乘人数，并尽量坐满以减少空位，再进行调整找到最优方案。 2. 解题步骤 （1） 比较单价：计算每种交通工具的人均租金，优先选择单价更低的工具。 （2）初步分配：尽量多租单价低的交通工具，并计算所需数量及剩余人数。 （3）调整优化：通过减少高价工具的数量，尽量消除空座。 （4）验证对比：列出所有可能的方案，计算总费用后选择最优解。 考点讲练一 加、减法的意义和各部分间的关系 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26六年级·全国·随堂练习）一个减法算式中，被减数、减数、差的和是80，且差是减数的3倍。差是（    ）。 A．10 B．20 C．30 【变式1】（难度：☆☆☆）下面能用“850－130”求出的是（    ）。 A．□＋850＝1300 B．□－850＝130 C．□－130＝850 D．850－□＝130 【变式2】（难度：☆☆☆☆）一个数减去2247，华华在计算时错把被减数千位和百位上的数字颠倒了，结果是6158，正确的结果是多少？ 考点讲练二 乘、除法的意义和各部分间的关系 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25四年级下·广东肇庆·期中）若⊙表示一种新的运算符号，2⊙3＝2×（2＋3），7⊙2＝7×（7＋2），3⊙5＝3×（3＋5）。按此规则，若n⊙8＝20，则n的值为（    ）。 A．6 B．8 C．3 D．2 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·福建福州·期中）4月3日中国台湾7.3级地震，牵动着每个人的心。光明小学四年（1）班的学生在劳动课上学习编织寓意为“吉祥如意、祈保平安”的祥云结。制作一个祥云结需要用9dm的红绳，男生们一共用去108dm长的红绳，女生们一共用去144dm长的红绳（不考虑损耗）。根据以上的信息，不能解决下面选项（    ）的问题。 A．全班共用去了多长的红绳？ B．女生比男生多做了多少个祥云结？ C．还剩多少分米的红绳？ D．全班一共做了多少个祥云结？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25四年级下·福建漳州·期中）下面不可以用64×5来计算的是（    ）。 A．64＋64＋64＋64＋64 B．每箱苹果64元，妈妈买5箱，一共花了多少钱？ C．王叔叔5小时骑自行车行了64千米，他每小时行多少千米？ D．超市里有64箱苹果，梨的箱数是苹果的5倍，梨有多少箱？ 考点讲练三 计算（带有小括号的混合运算） 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·湖南永州·期中）列式计算。 （1）24×（54－18）       （2）（311＋283）÷（54－45） 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25四年级下·河南新乡·期中）计算下面各题。           【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·广东广州·期中）先想好运算顺序，再计算。 108－（83＋360÷60）        2400÷60－（14×2）        420÷[（205－198）×4] 考点讲练四 解决问题（带有小括号的混合运算） 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·山东济宁·期中）某景区推出两种购票方案： 方案一：成人票50元/人，儿童票半价； 方案二：团体票（10人及以上）35元/人。 4个成人带6个儿童游玩，怎样购票最省钱？ 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·山东济南·期中）某商店有同样的5箱饼干，如果从每个箱子里取出6包，那么剩下饼干的数量正好等于原来2箱饼干的数量。原来每个箱子里有多少包饼干？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24四年级下·河南郑州·期中）为了增长学生的航天知识，激起青少年们对科学的热爱，对航天事业的向往。26名老师带领四年级314名学生去航空科普馆参观。请你帮他们算一算，怎样租车花费最少？最少要付多少元租车费？ （1）想一想，填一填：解决这类问题不仅要考虑租哪种车（    ），还要尽可能使座位都（    ）。 （2）我这样解答。 （3）航空科普馆门票如图所示，怎样买票最省钱？最少要花多少钱？ 考点讲练五 计算（带有中括号的混合运算） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25四年级下·湖北十堰·期中）脱式计算。 35×（70－400÷25）    （20＋620）÷[（42－2）÷2]    1021－21×（96÷12） 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25四年级下·湖南长沙·期中）脱式计算。 360÷[（12＋3）×2]            （85－35）×（24÷6） 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25四年级下·辽宁鞍山·期中）计算下列各题，能简算的要简算。 127＋767－27＋233          15×[（753－337）÷26]     125×32×25                 186×101－186 考点讲练六 解决问题（带有中括号的混合运算） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25四年级下·湖南长沙·期中）四年级三个班植树，一班植树56棵，二班比一班多植14棵，三班植的是一班和二班总和的一半。三个班共植树多少棵？ 【变式1】（难度：☆☆☆☆）张师傅和李师傅一共要加工418个机器零件。张师傅每天加工35个，李师傅每天加工27个，两人共同工作5天后，剩下的由李师傅单独完成，李师傅还需要几天完成？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩下7米。这捆电线原来长多少米？ 考点讲练七 巧填算符 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（23-24四年级下·山东菏泽·期中）在括号里填上适当的运算符号，使等号两边相等。 3( )3( )3( )3＝5 【变式1】（难度：☆☆☆）加上合适的运算符号（包括括号），使算式成立。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）填上适当的运算符号可以添括号，使等式成立。 5____8____16____4____2＝20 考点讲练八 租船问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·福建龙岩·期中）新星小学四年级10名老师带领130名学生去参加研学活动，中型客车限乘25人，每辆车租金是240元；大型客车限乘45人，每辆车租金是300元。怎样租车最省钱？并算出最少支付多少租金。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·湖北孝感·期中）在“世界读书日”活动结束后，参加本次活动的32位老师带领338名学生乘坐客车返回学校。有下面两种车型可供选择，怎样租车最省钱？ 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·河南新乡·期中）希望小学7名老师带183名学生去公园春游。 （1）出发前先去租车。已知每辆大车可坐乘客20人，租金是460元；每辆小车可坐乘客10人，租金是250元。怎样租车最省钱？要花多少钱？ （2）公园门票有如下两种售票方案。 方案一 成人票：20元/人 儿童票：10元/人 方案二 团体票：15元/人 （30人及以上） 他们买票最少需要多少钱？ 考点讲练九 购票问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·山东菏泽·期中）旅行社推出“××风景区一日游”的两种价格方案。 方案一 成人180元 儿童80元 方案二 团体10人以上（包括10人）每人135元 （1）成人6人，儿童4人，选哪种方案合算？ （2）成人4人，儿童6人，选哪种方案合算？ （3）如果成人6人，儿童6人，怎样购票最便宜？ 【变式1】（难度：☆☆☆）（23-24四年级下·贵州黔南·期中）贵州秀丽古朴、风景如画，是世界上岩溶地貌发育最典型的地区之一，有最绚丽多彩的喀斯特景观。著名景点有黄果树瀑布、赤水丹霞、织金洞、红枫湖景区、梵净山、遵义会址等。“五一”期间，芳芳和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶、弟弟一家去某景区游玩，怎样购票最划算？需要多少钱？ 【变式2】（难度：☆☆☆）（23-24四年级下·江西上饶·期中）6位老师带领69名学生去公园游玩，怎样买票省钱？最少需多少元？ 票价：成人15元/人，学生10元/人 团体票（50人及以上）：11元/人 考点讲练十 货物运输问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·浙江杭州·期中）现在有一批货物，重41吨，准备用大货车和小货车运输。怎么安排最省钱？需要多少钱？ 小货车：教重量3吨； 运输费50元/次 大货车：较重量5吨； 运输费75元/次 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25四年级下·河南南阳·期中）物流公司有46吨货物，要将这些货物从甲地运到乙地，大车每辆的载重量是5吨，运费是250元；小车每辆的载重量是3吨，运费是180元。请你设计一套优化方案来运送这批货物，需要多少元？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）有60吨货物要从甲地运往乙地，有两种货车可供租用：大货车每车装10吨，每车运费2000元；小货车每车装4吨，每车运费940元。怎样租车才能恰好装满，且一次运完？运费最少需要多少钱？ 1．（24-25四年级下·湖南永州·期中）8除16减12的差，商是多少？算式正确的是（    ）。 A．（16－12）÷8 B．8÷（16－12） C．8÷16－12 D．16÷8－12 2．（24-25四年级下·湖南永州·期中）除法算式（    ）÷12＝15……A，当余数最大时，被除数填（    ）。 A．180 B．192 C．191 D．以上答案都不正确 3．（24-25四年级下·河北邢台·期中）打开知识大门的密码是■△■，请你根据算式破译密码。那么知识大门的密码是（   ）。 21＋56－■=69 △×15－17=73 A．868 B．767 C．898 D．686 4．（24-25四年级下·江西南昌·期中）丁丁在计算“”时，先算减法，再算除法，得到的结果是20，正确的结果应是（    ）。 A．20 B．116 C．100 5．△和□分别代表两个数，如果△＋□＝150，△÷□＝5，那么△＝（     ）。 A．25 B．30 C．120 D．125 6．（24-25四年级下·江西南昌·期中）进入知识宫的密码是，破译密码的线索是，。知识宫的密码是( )。 7．（24-25四年级下·云南昭通·期中）欢欢和乐乐玩猜数游戏，欢欢说：“我先把这个数乘34，再把这个数乘66，然后再把两次乘得的积相加，得到的数是1800。”原来的数是( )。 8．（24-25四年级下·重庆南川·期中）32＋23＝55，275÷55＝5，35×5＝175。合并成一道综合算式是：( )。 9．（24-25四年级下·福建厦门·期中）海海在计算一道题目时，把某数乘2加20，误看成某数除以2加20，得到的结果是50，正确结果是( )。 10．（24-25四年级下·山东济宁·期中）书法是一门古老的书写艺术。东晋名家王羲之所作《兰亭集序》被誉为“天下第一行书”，全文共324字。李老师要临摹这本书，他第一周临摹了84字，第二周比第一周多临摹了16字，还剩( )字没有临摹。 11．（24-25四年级下·湖北武汉·期中）学校要做170套演出服，按整卷买布。大卷布每卷800元，可以做16套演出服：小卷布每卷600元，可以做10套演出服。170套演出服全部做完，学校最少要花( )元。 12．从100里先减去26，再加上24；然后再减去26，加上24，这样一次计算下去，直到结果为0。那么一共减去了( )个26，加上了( )个24。 13．学校有老师6人和学生375人，坐车去春游。大车限乘客50人，租金是900元；小车限乘客30人，租金600元，租车最省钱，至少要付( )元。 14．小飞在计算26×（★+4）时把算式抄成了26×★+4，这样计算的结果与正确值相差_____． 15．（24-25四年级下·新疆阿克苏·期中）35乘12与3的商，积是多少？正确列式为35×12÷3。( )（判断对错） 16．（24-25四年级下·贵州安顺·期中）125×8÷125×8＝（125×8）÷（125×8）＝1。( )（判断对错） 17．（24-25四年级下·黑龙江鸡西·期中）脱式计算。 17×[（520÷26）－13]         940×[128－（154－31）] 389＋102÷（52－35）          432＋390÷130－318 18．（24-25四年级下·四川德阳·期中）烘焙店准备了108千克面粉，制作18个大蛋糕，每个大蛋糕用面粉5千克，剩下的面粉做9个小蛋糕，每个小蛋糕用面粉多少千克？ 19．（24-25四年级下·江西赣州·期中）随着5G网络的发展以及短视频的兴起，团购的形式也在悄悄发生着变化，某烤肉店除了原有团购套餐外，在某短视频平台还推出一种新的团购套餐，聪聪一家十口（6名成人、4名儿童）怎样消费最便宜？最少需要多少元？ 20．实验小学学生乘汽车去春游。如果每车坐65人，则有15人不能乘车；如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。问一共有几辆车？共有学生多少人？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学四年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第一单元 四则运算【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+10个考点讲练+真题提优练 共47题】 （解析版） 考点序列 考点内容 考点讲练一 加、减法的意义和各部分间的关系 考点讲练二 乘、除法的意义和各部分间的关系 考点讲练三 计算（带有小括号的混合运算） 考点讲练四 解决问题（带有小括号的混合运算） 考点讲练五 计算（带有中括号的混合运算） 考点讲练六 解决问题（带有中括号的混合运算） 考点讲练七 巧填算符 考点讲练八 租船问题 考点讲练九 购票问题 考点讲练十 货物运输问题 知识点一 加、减法的意义和各部分间的关系 1. 加法 （1）把两个数合并成一个数的运算，叫做加法，相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。 （2）加法各部分间的关系： 和＝加数＋加数；加数＝和－另一个加数。 2. 减法 （1）已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，在减法中，已知的和叫做被减数。 （2）减法各部分间的关系：差＝被减数－减数；减数＝被减数－差；被减数＝减数＋差。 3. 减法是加法的逆运算 知识点二 和或差的变化规律 1. 和的规律问题 （1）和不变规律：两个数相加，一个加数增加多少，要使和不变，另一个加数必须减去多少。 （2）和的变化规律：一个加数增加（或减少）某数，另一个加数不变，和也增加（或减少）相同的数。 2. 差的变化规律。 （1）减数不变：若减数不变，被减数增加多少，那么差就增加多少；减数不变，被减数减少多少，差就减少多少。 （2）被减数不变：若减数增加，被减数不变，则差减少；若减数减少，被减数不变，则差增加。 （3）差不变：若被减数和减数同时增加或减少相同的量，则差不变。 知识点三 乘、除法的意义和各部分间的关系 1. 乘法 （1）求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。 （2）乘法各部分间的关系：积=因数×因数；因数=积÷另一个因数。 2. 除法。 （1）除法是已知两个因数的积和其中的一个因数求另一个因数的运算。 （2）除法各部分间的关系： 商=被除数÷除数，除数=被除数÷商，被除数=商×除数。 （补充：在有余数的情况下，被除数=商×除数+余数） 3. 除法是乘法的逆运算 知识点四 积或商的变化规律 1. 积的变化规律 （1）两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以相同的数。 （2）一个因数乘A，另外一个因数乘B，那么积要乘A和B的积。 （3）一个因数除以A，另外一个因数除以B，那么积要除以A和B的积。 2. 积不变规律 两个数相乘，一个因数乘（或除以）几（0除外），另一个因数除以（或乘）相同的数，则它们的乘积不变。 3 商的变化规律 （1）在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商也要乘（或除以）几。 （2）在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商反而要除以（或乘以）几。 （3）在有余数的除法中，如果被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），那么余数也随之乘或除以这个数。 4. 商不变规律（商不变性质） 在除法算式中，被除数和除数同时乘以（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，这叫做“商不变规律”（或商不变性质）。 知识点五 括号与运算顺序 1. 在四则混合运算中，如果有括号，要先算括号里面的，然后再算乘除，最后再算加减。 2. 在四则混合运算中，如果小括号、中括号都有，要先算小括号，再算中括号，最后算括号外面的。 3. 在四则混合运算中，如果是同级运算，则从左往右依次计算；如果是不带括号的混合运算，则先算乘除，再算加减。 知识点六 租船与租车问题 1. 租车租船问题 租车租船问题也是属于优化问题的一种，要考虑租金和限乘人数，并尽量坐满以减少空位，再进行调整找到最优方案。 2. 解题步骤 （1） 比较单价：计算每种交通工具的人均租金，优先选择单价更低的工具。 （2）初步分配：尽量多租单价低的交通工具，并计算所需数量及剩余人数。 （3）调整优化：通过减少高价工具的数量，尽量消除空座。 （4）验证对比：列出所有可能的方案，计算总费用后选择最优解。 考点讲练一 加、减法的意义和各部分间的关系 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26六年级·全国·随堂练习）一个减法算式中，被减数、减数、差的和是80，且差是减数的3倍。差是（    ）。 A．10 B．20 C．30 【答案】C 【思路引导】被减数＋减数＋差＝80，被减数＝减数＋差，差＝减数×3，据此求出差。 【规范解答】减数＋差： 减数： 差： 故答案为：C 【变式1】（难度：☆☆☆）下面能用“850－130”求出的是（    ）。 A．□＋850＝1300 B．□－850＝130 C．□－130＝850 D．850－□＝130 【答案】D 【思路引导】在加法算式中，加数＋加数＝和，加数＝和－另一个加数； 在减法算式中，被减数－减数＝差，因此减数＝被减数－差，被减数＝差＋减数，依此选择即可。 【规范解答】A．□＝1300－850。 B．□＝130＋850。 C．□＝850＋130。 D．□＝850－130。 因此能用“850－130”求出的是850－□＝130。 故答案为：D 【变式2】（难度：☆☆☆☆）一个数减去2247，华华在计算时错把被减数千位和百位上的数字颠倒了，结果是6158，正确的结果是多少？ 【答案】2558 【思路引导】被减数＝减数＋差，据此可知，错误的被减数为2247＋6158＝8405。则正确的被减数是4805。用正确的被减数减去2247，即可求出正确的结果。 【规范解答】2247＋6158＝8405 4805－2247＝2558 答：正确的结果是2558。 【考点剖析】灵活运用减法各部分之间的关系：被减数＝减数＋差，求出错误的被减数，进而求出正确的被减数，再进一步解答即可。 考点讲练二 乘、除法的意义和各部分间的关系 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25四年级下·广东肇庆·期中）若⊙表示一种新的运算符号，2⊙3＝2×（2＋3），7⊙2＝7×（7＋2），3⊙5＝3×（3＋5）。按此规则，若n⊙8＝20，则n的值为（    ）。 A．6 B．8 C．3 D．2 【答案】D 【思路引导】根据题意，2⊙3＝2×（2＋3），7⊙2＝7×（7＋2），3⊙5＝3×（3＋5），则⊙前面的数字不变，作为括号外的因数，用⊙后面的数加2再和前面的因数相乘，若n⊙8＝20，则n×（8＋2）＝20，据此计算出n的值即可。 【规范解答】n⊙8＝20 n×（8＋2）＝20 n×10＝20 n＝20÷10 n＝2 故答案为：D 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·福建福州·期中）4月3日中国台湾7.3级地震，牵动着每个人的心。光明小学四年（1）班的学生在劳动课上学习编织寓意为“吉祥如意、祈保平安”的祥云结。制作一个祥云结需要用9dm的红绳，男生们一共用去108dm长的红绳，女生们一共用去144dm长的红绳（不考虑损耗）。根据以上的信息，不能解决下面选项（    ）的问题。 A．全班共用去了多长的红绳？ B．女生比男生多做了多少个祥云结？ C．还剩多少分米的红绳？ D．全班一共做了多少个祥云结？ 【答案】C 【思路引导】用男生用去的红绳长度加上女生用去的红绳长度，即可求出总的用去的长度；用总的用去的长度除以制作一个祥云结需要用红绳长度，即可求出全班一共做了多少个祥云结；用男生和女生各自用去的长度除以制作一个祥云结需要用红绳长度，据此求出男生和女生各自做的祥云结数量，再将女生做的数量减去男生做的数量，即可求出女生比男生多做了多少个祥云结；据此可解此题。 【规范解答】根据分析： A．用男生用去的红绳长度加上女生用去的红绳长度，即可求出总的用去的长度；可解决全班共用去了多长的红绳的问题。 B．用男生和女生各自用去的长度除以制作一个祥云结需要用红绳长度，据此求出男生和女生各自做的祥云结数量，再将女生做的数量减去男生做的数量，即解决女生比男生多做了多少个祥云结的问题； C．题干中没有给出红绳一共有多少，只能求出用去的红绳有多少；无法解决还剩多少分米的红绳的问题； D．用总的用去的长度除以制作一个祥云结需要用红绳长度，即可解决全班一共做了多少个祥云结的问题。 故答案为：C 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25四年级下·福建漳州·期中）下面不可以用64×5来计算的是（    ）。 A．64＋64＋64＋64＋64 B．每箱苹果64元，妈妈买5箱，一共花了多少钱？ C．王叔叔5小时骑自行车行了64千米，他每小时行多少千米？ D．超市里有64箱苹果，梨的箱数是苹果的5倍，梨有多少箱？ 【答案】C 【思路引导】A选项可根据乘法的意义，求几个相同加数的和的简便运算用乘法； B选项根据总价＝单价×数量，据此可求出一共花了多少钱； C选项根据速度＝路程÷时间，据此可求出每小时行多少千米； D选项，苹果64箱，梨是苹果的5倍，要求梨的箱数用乘法计算。 【规范解答】根据分析： A．64＋64＋64＋64＋64依据乘法的意义可写出64×5来进行计算； B．每箱苹果64元，妈妈买5箱，列式64×5，计算可求出一共花了多少钱； C．王叔叔5小时骑自行车行了64千米，列式64÷5，计算可求出每小时行多少千米，而不是通过64×5计算； D．超市里有64箱苹果，梨的箱数是苹果的5倍，列式64×5，计算可求出梨有多少箱。 不可以用64×5来计算的是：王叔叔5小时骑自行车行了64千米，他每小时行多少千米？ 故答案为：C 考点讲练三 计算（带有小括号的混合运算） 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·湖南永州·期中）列式计算。 （1）24×（54－18）       （2）（311＋283）÷（54－45） 【答案】（1）864；（2）66 【思路引导】（1）算式中有括号的，要先算括号里的，再算括号外的； （2）算式中有括号的，要先算括号里的，再算括号外的。 【规范解答】（1）24×（54－18） ＝24×36 ＝864 （2）（311＋283）÷（54－45） ＝594÷9 ＝66 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25四年级下·河南新乡·期中）计算下面各题。           【答案】360；422 240；208 【思路引导】144÷（60－48）×30，先算括号里的减法，再算除法，最后算乘法； 140＋（19×18－60），先算括号里的乘法，再算括号里的减法，最后算括号外面的加法； 30×[（116＋140）÷32]，先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算括号外面的乘法； 96－54÷3＋130，先算除法，再算减法，最后算加法；据此计算。 【规范解答】144÷（60－48）×30 ＝144÷12×30 ＝12×30 ＝360 140＋（19×18－60） ＝140＋（342－60） ＝140＋282 ＝422 30×[（116＋140）÷32] ＝30×[256÷32] ＝30×8 ＝240 96－54÷3＋130 ＝96－18＋130 ＝78＋130 ＝208 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·广东广州·期中）先想好运算顺序，再计算。 108－（83＋360÷60）        2400÷60－（14×2）        420÷[（205－198）×4] 【答案】19；12；15 【思路引导】根据四则混合运算顺序，从左往右依次计算，先算乘、除法，再算加、减法，有括号的先算括号里面的。   （1）先算小括号里的除法，再算小括号里的加法，最后算减法。   （2）先算小括号里的乘法，再算除法，最后算减法。 （3）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算除法。 【规范解答】108－（83＋360÷60） ＝108－（83＋6） ＝108－89 ＝19          2400÷60－（14×2） ＝2400÷60－28 ＝40－28 ＝12             420÷[（205－198）×4] ＝420÷[7×4] ＝420÷28 ＝15 考点讲练四 解决问题（带有小括号的混合运算） 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·山东济宁·期中）某景区推出两种购票方案： 方案一：成人票50元/人，儿童票半价； 方案二：团体票（10人及以上）35元/人。 4个成人带6个儿童游玩，怎样购票最省钱？ 【答案】两种方案费用相同，均为350元 【思路引导】方案一：成人票50元/人，儿童票半价（25元/人）。分别计算成人和儿童的费用，再求和。 方案二：团体票要求10人及以上，35元/人，且总人数刚好符合条件。直接按团体票人数计算总费用。 由于总人数刚好为10人，无法拆分出更小组合享受团体票优惠，故只需比较两种方案。 【规范解答】方案一费用计算： 成人费用：4×50＝200（元） 儿童费用：6×（50÷2） ＝6×25 ＝150（元） 200＋150＝350（元） 方案二费用计算： 团体票总费用：（4＋6）×35 ＝10×35 ＝350（元） 答：两种方案费用相同，均为350元。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·山东济南·期中）某商店有同样的5箱饼干，如果从每个箱子里取出6包，那么剩下饼干的数量正好等于原来2箱饼干的数量。原来每个箱子里有多少包饼干？ 【答案】 10包 【思路引导】根据题意，已知5箱饼干，每箱取出6包后，剩下的总量等于原来2箱的数量。用5乘6，求出总取出量；5－2＝3（箱），相当于原来的3箱的数量；用总取出量除以3，就是原来每个箱子里有多少包饼干；列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： 5×6÷（5－2） ＝30÷3 ＝10（包） 答：原来每个箱子里有10包饼干。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24四年级下·河南郑州·期中）为了增长学生的航天知识，激起青少年们对科学的热爱，对航天事业的向往。26名老师带领四年级314名学生去航空科普馆参观。请你帮他们算一算，怎样租车花费最少？最少要付多少元租车费？ （1）想一想，填一填：解决这类问题不仅要考虑租哪种车（    ），还要尽可能使座位都（    ）。 （2）我这样解答。 （3）航空科普馆门票如图所示，怎样买票最省钱？最少要花多少钱？ 【答案】（1）便宜；坐满 （2）7辆大车和2辆小车；7700元 （3）26张团体票和314张学生票；10460元 【思路引导】（1）要使所用钱数最少，那么不仅要考虑哪种车便宜，还要尽可能坐满； （2）总价÷数量＝单价，分别用两种车的总价，除以两种车限坐的人数，计算出两种车各自的单价；计算发现多坐大车且坐满最划算，用老师和学生的总人数，除以40计算出的商就是大车的辆数，计算发现余数为20人，不够坐满小车，就用商减去1计算出实际租的大车辆数；而用减去的1辆大车的人数加上余下的20人都去租小车，用这个人数除以30计算出小车的辆数；单价×数量＝总价，分别用两种车的辆数乘各自的单价，计算出两种车各自的总价，再相加即可； （3）第一种：买26张成人票和314张学生票，用26乘50计算出成人票的总价，再用314乘30计算出学生票的总价，最后将两个总价相加；第二种：买（26＋314）张团体票，用26加上314计算出总人数，再乘40计算出（26＋314）张团体票的总价；第三种：50＞40，观察发现团体票的单价比成人票的单价更少，那么可以26名老师买团体票，314名学生买学生票，用26乘40计算出团体票的总价，314乘40计算出学生票的总价，最后将两个总价相加即可；将三种买票方式的总价进行比较，选出最省钱的方案；据此解答。 【规范解答】（1）想一想，填一填：解决这类问题不仅要考虑租哪种车便宜，还要尽可能使座位都坐满。 （2）小车单价：700÷30＝23（元）……10（元） 大车单价：900÷40＝22（元）……20（元） 23＞22，多坐大车且坐满 大车辆数： （26＋314）÷40 ＝340÷40 ＝8（辆）……20（人） 8－1＝7（辆） 小车辆数： （40＋20）÷30 ＝60÷30 ＝2（辆） 总费用： 7×900＋2×700 ＝6300＋1400 ＝7700（元） 答：租7辆大车和2辆小车花费最少，最少要付7700元租车费。 （3）第一种：买26张成人票和314张学生票 26×50＋314×30 ＝1300＋9420 ＝10720（元） 第二种：买340张团体票 （26＋314）×40 ＝340×40 ＝13600（元） 第三种：买26张团体票和314张学生票 26×40＋314×30 ＝1040＋9420 ＝10460（元） 13600＞10720＞10460 答：买26张团体票和314张学生票最省钱，最少要花10460元。 【考点剖析】租车问题要注意，尽量不空座位最省钱；掌握单价、数量和总价之间的关系，是解答本题的关键。 考点讲练五 计算（带有中括号的混合运算） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25四年级下·湖北十堰·期中）脱式计算。 35×（70－400÷25）    （20＋620）÷[（42－2）÷2]    1021－21×（96÷12） 【答案】1890；32；853 【思路引导】同级运算，从左往右依次计算，既有乘除，又有加减的，先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，既有小括号，又有中括号的，先算小括号里面的，再算中括号里面的。 （1）35×（70－400÷25），先算除法，再算减法，最后算乘法，依此计算即可。 （2）（20＋620）÷[（42－2）÷2]，先算两个小括号里的加法和减法，再算中括号里的除法，最后算括号外的除法，依此计算即可。 （3）1021－21×（96÷12），先算除法，再算乘法，最后算减法，依此计算即可。 【规范解答】（1）35×（70－400÷25） ＝35×（70－16）    ＝35×54 ＝1890 （2）（20＋620）÷[（42－2）÷2]     ＝640÷[40÷2] ＝640÷20 ＝32 （3）1021－21×（96÷12） ＝1021－21×8 ＝1021－168 ＝853 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25四年级下·湖南长沙·期中）脱式计算。 360÷[（12＋3）×2]            （85－35）×（24÷6） 【答案】12；200 【思路引导】（1）先算小括号里的加法，再算中括号里的乘法，最后计算中括号外的除法； （2）按照从左到右的顺序，先算小括号里的减法，再算小括号里的除法，最后计算乘法。 【规范解答】360÷[（12＋3）×2] ＝360÷[15×2] ＝360÷30 ＝12 （85－35）×（24÷6） ＝50×（24÷6） ＝50×4 ＝200 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25四年级下·辽宁鞍山·期中）计算下列各题，能简算的要简算。 127＋767－27＋233          15×[（753－337）÷26]     125×32×25                 186×101－186 【答案】1100；240； 100000；18600 【思路引导】127＋767－27＋233根据带符号搬家变成127－27＋767＋233。再根据加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），变成127－27＋（767＋233）使得计算简便。 15×[（753－337）÷26]先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法。 125×32×25先写成125×8×4×25，再根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c），变成（125×8）×（4×25）使得计算简便。 186×101－186根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变成186×（101－1）使得计算简便。 【规范解答】127＋767－27＋233 ＝127－27＋767＋233 ＝127－27＋（767＋233） ＝100＋1000 ＝1100 15×[（753－337）÷26]   ＝15×[416÷26] ＝15×16 ＝240 125×32×25 ＝125×8×4×25 ＝（125×8）×（4×25） ＝1000×100 ＝100000 186×101－186 ＝186×（101－1） ＝186×100 ＝18600 考点讲练六 解决问题（带有中括号的混合运算） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25四年级下·湖南长沙·期中）四年级三个班植树，一班植树56棵，二班比一班多植14棵，三班植的是一班和二班总和的一半。三个班共植树多少棵？ 【答案】189棵 【思路引导】根据题意，已知四年级三个班植树，一班植树56棵，二班比一班多植14棵，三班植的是一班和二班总和的一半。用56加上14，求出二班植树的棵数；再用56加上二班啊植树的棵数的和，除以2，求出三班的植树的棵数；最后把三个班的植树的棵数相加；列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： 56＋（56＋14）＋[56＋（56＋14）]÷2 ＝56＋70＋[56＋70]÷2 ＝56＋70＋126÷2 ＝56＋70＋63 ＝189（棵） 答：三个班共植树189棵。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）张师傅和李师傅一共要加工418个机器零件。张师傅每天加工35个，李师傅每天加工27个，两人共同工作5天后，剩下的由李师傅单独完成，李师傅还需要几天完成？ 【答案】4天 【思路引导】35加27等于张师傅和李师傅一天一共加工零件的个数，再乘5即等于两人共同工作5天加工零件的个数，一共要加工的零件个数418减去两人5天共同加工的个数等于还剩下的零件个数，再除以27，即等于李师傅单独完成还需要的天数，据此即可解答。 【规范解答】[418－（35＋27）×5]÷27 ＝[418－62×5]÷27 ＝[418－310]÷27 ＝108÷27 ＝4（天） 答：李师傅还需要4天完成。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩下7米。这捆电线原来长多少米？ 【答案】54米 【思路引导】第二次用去后还剩下的米数是（15＋7）米，第二次用去余下的一半少10米，就是第二次用去后剩下的比第一次余下的一半多10米，所以第一次用去后剩下的米数是（15＋7－10）×2＝24米，第一次用去全长的一半多3米，全长就是（24＋3）×2米，据此解答。 【规范解答】[（15＋7－10）×2＋3]×2 ＝[12×2＋3]×2 ＝[24＋3]×2 ＝27×2 ＝54（米） 答：这捆电线原来长54米。 【考点剖析】本题的关键是从最后的数据入手，从后向前进行推理，根据加减乘除的逆运算思维进行解答。 考点讲练七 巧填算符 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（23-24四年级下·山东菏泽·期中）在括号里填上适当的运算符号，使等号两边相等。 3( )3( )3( )3＝5 【答案】 ＋ － ÷ 【思路引导】算式得数是5，因为6－1＝5，要用3运算出6和1，有3＋3＝6，3÷3＝1，据此写出得数是5的算式。 【规范解答】3＋3－3÷3 ＝3＋3－1 ＝6－1 ＝5 3＋3－3÷3＝5 【变式1】（难度：☆☆☆）加上合适的运算符号（包括括号），使算式成立。 【答案】（7＋7）÷7×7÷7＝2 【思路引导】在这几个数中加入“＋”、“－”、“×”、“÷”符号，以及括号，只要使计算结果等于2即可，14÷7＝2，因此最后一步算除法，根据混合运算的计算顺序解答即可。 【规范解答】（7＋7）÷7×7÷7 ＝14÷7×7÷7 ＝2×7÷7 ＝14÷7 ＝2 即（7＋7）÷7×7÷7＝2。 【考点剖析】此题考查的是对运算符号的熟练运用，熟练掌握混合运算的计算顺序是解答此题的关键。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）填上适当的运算符号可以添括号，使等式成立。 5____8____16____4____2＝20 【答案】 × ÷（ ÷ ）× 【思路引导】20可以通过10乘2得到，2是现成的，用5、8、16、4凑成10即可。 【规范解答】5×8÷（16÷4）×2 ＝5×8÷4×2 ＝5×8÷4×2 ＝40÷4×2 ＝10×2 ＝20 【考点剖析】本题考查的是横式谜，构造算式的方法一般不唯一，只要能够得到正确的结果即可。 考点讲练八 租船问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·福建龙岩·期中）新星小学四年级10名老师带领130名学生去参加研学活动，中型客车限乘25人，每辆车租金是240元；大型客车限乘45人，每辆车租金是300元。怎样租车最省钱？并算出最少支付多少租金。 【答案】租2辆大车和2辆中型客车最省钱；1080元 【思路引导】根据“单价＝总价÷数量”，求出每辆车每人的租金，比较后得出租大车更省钱，所以要尽量多租大车，最好不要有空位，最省钱。 首先用加法130＋10＝140求出老师和学生的总人数是130＋10＝140（人），再用总人数除以每辆大车限乘的人数，140÷45＝3（辆）……5（人），租3辆大车，剩余的人数租1辆中型客车，用每辆大车的租金乘3，求出租3辆大车的钱数，再用租3辆大车的钱数加上租1辆中型客车的租金，求出租3辆大车和1辆中型客车需要的钱数。 租2辆大车，2辆中型客车，2×45＝90（人），140－90＝50（人），租2辆大车，剩余人数刚好租2辆中型客车，且没有空位，用每辆大车的租金乘2，求出租2辆大车的钱数，用每辆中型客车的租金乘2，求出租2辆中型客车的钱数，再把租2辆大车的钱数和租2辆中型客车的钱数相加，求出租2辆大车和租2辆中型客车需要的钱数，最后再把两种方案所需要的钱数进行比较，即可解答。 【规范解答】300÷45＝6（元）……30（元） 240÷25＝9（元）……15（元） 6＜9，大车每人的租金更便宜，所以尽量多租大车。 130＋10＝140（人） 140÷45＝3（辆）……5（人） 租3辆大车，1辆中型客车，需要的钱数： 300×3＋240×1 ＝900＋240×1 ＝900＋240 ＝1140（元） 租2辆大车，2辆中型客车， 2×45＝90（人） 140－90＝50（人） 租2辆大车，剩余人数刚好租2辆中型客车，且没有空位， 租2辆大车，2辆中型客车，需要的钱数： 300×2＋240×2 ＝600＋240×2 ＝600＋480 ＝1080（元） 1080元＜1140元   答：租2辆大车和2辆中型客车最省钱，最少支付1080元。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·湖北孝感·期中）在“世界读书日”活动结束后，参加本次活动的32位老师带领338名学生乘坐客车返回学校。有下面两种车型可供选择，怎样租车最省钱？ 【答案】租7辆大客车和1辆小客车 【思路引导】根据题意，先根据“单价＝总价÷数量”分别计算租小客车和大客车时每人需要的钱，要使租车最省钱，则应尽量租最便宜的一种车型，并且使空位最少；因此用总人数除以最便宜的一种车型可坐的人数，再根据计算出的结果进行解答即可。一共需要的租金＝租小客车的辆数×每辆小客车的租金＋租大客车的辆数×每辆大客车的租金，依此计算并解答。 【规范解答】390÷30＝13（元） 550÷50＝11（元） 11＜13，尽量多租大客车更省钱 338＋32＝370（人） 370÷50＝7（辆）……20（人） 租7辆大客车和1辆小客车 550×7＋390×1 ＝3850＋390 ＝4240（元） 答：租7辆大客车和1辆小客车最省钱。 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·河南新乡·期中）希望小学7名老师带183名学生去公园春游。 （1）出发前先去租车。已知每辆大车可坐乘客20人，租金是460元；每辆小车可坐乘客10人，租金是250元。怎样租车最省钱？要花多少钱？ （2）公园门票有如下两种售票方案。 方案一 成人票：20元/人 儿童票：10元/人 方案二 团体票：15元/人 （30人及以上） 他们买票最少需要多少钱？ 【答案】（1）租9辆大车和1辆小车；4390元 （2）1970元 【思路引导】（1）先比较出那种车的单人费用最少，就多租哪种车，最好不要有空位，这样租车最省钱。首先用183＋7＝190（人），求出老师和学生的总人数，再用总人数除以每辆大车限乘的人数，190÷20＝9（辆）……10（人），租9辆大车，剩余的人数刚好租1辆小车，且没有空位，用每辆大车的租金乘9，求出租9辆大车的钱数，再用租9辆大车的钱数加上租1辆小车的租金，求出租9辆大车和1辆小车需要的钱数，据此即可求出怎样租车最省钱，要花多少钱。 （2）方案一：7名老师购买成人票，求出7名老师购买成人票的钱数，183名学生购买儿童票，求出183名学生购买儿童票的钱数，再相加，求出7名老师购买成人票和183名学生购买儿童票的钱数； 方案二：购买团体票，用老师和学生的总人数乘团体票的单价，求出购买团体票的钱数； 方案三：7名老师和23名学生购买团体票，剩下的学生买儿童票，再用购买团体票的钱数加上买儿童票的钱数，求出7名老师和23名学生购买团体票和剩下的学生买儿童票的钱数； 最后把三种方案所用的钱数进行比较，即可求出买票最少花费多少元。 【规范解答】（1）460÷20＝23（元） 250÷10＝25（元） 23＜25，所以尽量多租大车。 183＋7＝190（人） 190÷20＝9（辆）……10（人） 租9辆大车，剩余人数刚好租1辆小车，且没有空位。 租9辆大车，1辆小车，需要的钱数： 460×9＋250×1 ＝4140＋250 ＝4390（元） 答：租9辆大车和1辆小车最省钱，要花4390元钱。 （2）方案一： 7×20＋183×10 ＝140＋183×10 ＝140＋1830 ＝1970（元） 方案二： 15×（7＋183） ＝15×190 ＝2850（元） 方案三： 30－7＝23（人） 15×（7＋23） ＝15×30 ＝450（元） 10×（183－23） ＝10×160 ＝1600（元） 450＋1600＝2050（元） 1970＜2050＜2850 答：他们买票最少需要1970元钱。 考点讲练九 购票问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·山东菏泽·期中）旅行社推出“××风景区一日游”的两种价格方案。 方案一 成人180元 儿童80元 方案二 团体10人以上（包括10人）每人135元 （1）成人6人，儿童4人，选哪种方案合算？ （2）成人4人，儿童6人，选哪种方案合算？ （3）如果成人6人，儿童6人，怎样购票最便宜？ 【答案】（1）方案二 （2）方案一 （3）成人6人和儿童4人合起来按方案二团体票买，剩下的儿童2人按方案一中的儿童票买 【思路引导】（1）购票方案一：购买6张成人票和4张儿童票，根据所需要花的钱＝成人票价×张数＋儿童票价×张数，求出所要花的钱； 购票方案二：购买（6＋4）张团体票，根据所需要花的钱＝团体票价×张数，求出所要花的钱；最后对比两种方案的票价选择花钱最少的即可。 （2）购票方案一：购买4张成人票和6张儿童票，根据所需要花的钱＝成人票价×张数＋儿童票价×张数，求出所要花的钱； 购票方案二：购买（4＋6）张团体票，根据所需要花的钱＝团体票价×张数，求出所要花的钱；最后对比两种方案的票价选择花钱最少的即可。 （3）购票方案一：购买6张成人票和6张儿童票，根据所需要花的钱＝（成人票价＋儿童票价）×张数，求出所要花的钱； 购票方案二：购买（6＋6）张团体票，根据所需要花的钱＝团体票价×张数，求出所要花的钱； 购票方案三：6位成人和4位儿童购买团体票，剩下的（6－4）位儿童购买儿童票，求出所要花的钱，根据所需要花的钱＝团体票价×张数＋儿童票价×张数，求出所要花的钱；最后对比三种方式的票价进行判断即可。 【规范解答】（1）方案一：180×6＋80×4 ＝1080＋320 ＝1400（元） 方案二：135×（6＋4） ＝135×10 ＝1350（元） 1400＞1350 答：方案二合算。 （2）方案一：180×4＋80×6 ＝720＋480 ＝1200（元） 方案二：135×（6＋4） ＝135×10 ＝1350（元） 1200＜1350 答：方案一合算。 （3）方案一：（180＋80）×6 ＝260×6 ＝1560（元） 方案二：135×（6＋6） ＝135×12 ＝1620（元） 方案三：成人6人和儿童4人合起来按方案二团体票买，剩下的儿童2人按方案一中的儿童票买。 135×（6＋4）＋80×（6－4） ＝135×10＋80×2 ＝1350＋160 ＝1510（元） 1510＜1560＜1620，故按方案三混合买最便宜。 答：成人6人和儿童4人合起来按方案二团体票买，剩下的儿童2人按方案一中的儿童票买最便宜。 【变式1】（难度：☆☆☆）（23-24四年级下·贵州黔南·期中）贵州秀丽古朴、风景如画，是世界上岩溶地貌发育最典型的地区之一，有最绚丽多彩的喀斯特景观。著名景点有黄果树瀑布、赤水丹霞、织金洞、红枫湖景区、梵净山、遵义会址等。“五一”期间，芳芳和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶、弟弟一家去某景区游玩，怎样购票最划算？需要多少钱？ 【答案】买5张团体票和1张儿童票最省钱；115元。 【思路引导】根据题意，已知儿童票每张15元，成人票每张30元，如果买团体票，要5人及5人以上团体票每人20元；芳芳和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶、弟弟一家共6人去某景区游玩，可知有4个成人，2名儿童，尝试下多种买票的方法，选出最划算的方案即可。 【规范解答】方案一：买2张儿童票，4张成人票。 2×15＋4×30 ＝30＋120 ＝150（元） 方案二：买6张团体票 6×20＝120（元）      方案三：买5张团体票，1张儿童票。 20×5＋15 ＝100＋15 ＝115（元） 150元＞120元＞115元 答：买5张团体票和1张儿童票最省钱，需要115元。 【变式2】（难度：☆☆☆）（23-24四年级下·江西上饶·期中）6位老师带领69名学生去公园游玩，怎样买票省钱？最少需多少元？ 票价：成人15元/人，学生10元/人 团体票（50人及以上）：11元/人 【答案】老师买成人票，学生买学生票比较省钱；780元 【思路引导】6位老师带领69名学生去公园游玩，是6个成人，和69名学生； 方案一：购买6张成人票和69张学生票； 方案二：购买6＋69＝75张团体票； 方案三：买团体票每人11元，成人是优惠了（15＞11），但学生其实是贵了（10＜11），因此可以让六位老师和一部分学生构成一个团体，购买50张团体票；剩下的学生购买儿童票； 比较三个方案各需要的钱数，找出最便宜的即可。 【规范解答】（1）老师买成人票，学生买学生票； 15×6＋10×69 ＝90＋690 ＝780（元） （2）11×（6＋69） ＝11×75 ＝825（元） （3）50×11＋（69＋6－50）×10 ＝550＋250 ＝800（元） 780＜800＜825 答：老师买成人票，学生买学生票比较省钱，需要780元。 考点讲练十 货物运输问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25四年级下·浙江杭州·期中）现在有一批货物，重41吨，准备用大货车和小货车运输。怎么安排最省钱？需要多少钱？ 小货车：教重量3吨； 运输费50元/次 大货车：较重量5吨； 运输费75元/次 【答案】需要7辆大货车和2辆小货车，需要625元。 【思路引导】用大货车运每吨的成本为75÷5＝15元，用小货车运每吨的成本为50÷3＝16（元）……2（元）。所以应尽量使用大货车运，且每辆货车都装满，据此结合大货车与小货车每次运的单价对大小货车的辆数进行调整即可，用单价乘数量，求出总价，据此解答。 【规范解答】50÷3＝16（元）……2（元） 75÷5＝15（元） 15元＜16元 所以尽可能用大货车运输且货车都装满 41÷5＝8（次）……1（吨） 所以需要7辆大货车和2辆小货车 7×75＋2×50＝525＋100＝625（元） 答：需要7辆大货车和2辆小货车，需要625元。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25四年级下·河南南阳·期中）物流公司有46吨货物，要将这些货物从甲地运到乙地，大车每辆的载重量是5吨，运费是250元；小车每辆的载重量是3吨，运费是180元。请你设计一套优化方案来运送这批货物，需要多少元？ 【答案】8辆大车和2辆小车运送；2360元 【思路引导】大车每辆的载重量是5吨，运费是250元，大车每吨运费：250÷5＝50（元/吨），小车每辆的载重量是3吨，运费是180元，小车每吨运费：180÷3＝60（元/吨）。要想最省钱，应在保证满载的情况下尽量多用大车运比较划算。用货物总重量除以每辆大车载重，求出租大车数量，再结合余数判断是否租小车，据此解答。 【规范解答】大车每吨运费：250÷5＝50（元/吨） 小车每吨运费：180÷3＝60（元/吨） 因为50＜60，所以尽量多用大车运比较划算。 46÷5＝9（辆）⋯⋯1（吨），若用9辆大车，1辆小车，小车未满载，可以租8辆大车。 46－5×8 ＝46－40 ＝6（吨） 6÷3＝2（辆） 8×250＋2×180 ＝2000＋360 ＝2360（元） 答：用8辆大车和2辆小车运送这批货物，需要2360元。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）有60吨货物要从甲地运往乙地，有两种货车可供租用：大货车每车装10吨，每车运费2000元；小货车每车装4吨，每车运费940元。怎样租车才能恰好装满，且一次运完？运费最少需要多少钱？ 【答案】租6辆大车或租15辆小车或租4辆大车和5辆小车；运费最少需要12000元 【思路引导】单独租大车或小车，用总吨数60÷每辆车装载的吨数＝辆数，可以求出大车或小车的辆数，正好能整除，即能恰好装满，且一次运完。 混合用大车和小车60吨里包含4个10吨和5个4吨，也就是大车4辆，小车5辆恰好装满，且一次运完。 运费最少需要算出大车每吨的运费和小车每吨的运费作比较后发现大车每吨运费少，那么大车越多越省钱，3种方案中选择全用大车。 【规范解答】（1）①全用大车：60÷10＝6（辆） ②全用小车：60÷4＝15（辆） ③混合用：大车40÷10＝4（辆） 小车 20÷4＝5（辆） （2）2000÷10＝200（元/吨）  940÷4＝235（元/吨） 大车越多越省钱，所以6×2000＝12000（元） 答：租6辆大车或租15辆小车或租4辆大车和5辆小车；运费最少需要12000元。 1．（24-25四年级下·湖南永州·期中）8除16减12的差，商是多少？算式正确的是（    ）。 A．（16－12）÷8 B．8÷（16－12） C．8÷16－12 D．16÷8－12 【答案】A 【思路引导】已知要求“8除16减12的差”，因为“除”和“除以”含义不同，“8除”意味着后面的数是被除数，又因为是8除的是16减12的差，所以要先计算16减12的差，将其作为被除数，8作为除数；有减法和除法时，要先算减法需要给减法加上括号。 【规范解答】先算减法，再算除法，列式为：（16－12）÷8。 2．（24-25四年级下·湖南永州·期中）除法算式（    ）÷12＝15……A，当余数最大时，被除数填（    ）。 A．180 B．192 C．191 D．以上答案都不正确 【答案】C 【思路引导】确定余数最大值时，余数小于除数，则余数最大为除数减1，计算被除数时，代入除数、商和最大余数，计算即可。 【规范解答】余数A最大为： 则余数最大时，被除数应是191。 3．（24-25四年级下·河北邢台·期中）打开知识大门的密码是■△■，请你根据算式破译密码。那么知识大门的密码是（   ）。 21＋56－■=69 △×15－17=73 A．868 B．767 C．898 D．686 【答案】A 【思路引导】由题意得，在算式21＋56－■＝69中，可以先算出21＋56的结果。要求■的值，直接用前面的得数减去69即可解答；在算式△×15－17＝73中要求△的值，可以先用17加上73算出△×15的值，接着再除以15即可算出△的值。 【规范解答】21＋56－69 ＝77－69 ＝8 即■的值是8。 （17＋73）÷15 ＝90÷15 ＝6 即△的值是6。 打开知识大门的密码是■△■，所以密码是868。 故答案为：A 4．（24-25四年级下·江西南昌·期中）丁丁在计算“”时，先算减法，再算除法，得到的结果是20，正确的结果应是（    ）。 A．20 B．116 C．100 【答案】B 【思路引导】根据丁丁的算法，先算减法，再算除法，得到的结果是20，可得（120－★）÷5＝20，利用逆运算，由结果向前推，先求出★的值，再根据正确的运算方法：先算除法，再算减法，即可求出正确的结果。 【规范解答】120－★的结果： ★的值： 120－★÷5的结果： 所以正确的结果应是116。 故答案为：B 5．△和□分别代表两个数，如果△＋□＝150，△÷□＝5，那么△＝（     ）。 A．25 B．30 C．120 D．125 【答案】D 【思路引导】因△＋□＝150，□＝150－△，把□代入，△÷□＝5，就可求出它的值，据此解答。 【规范解答】△＋□＝150 □＝150－△ 把□代入，△÷□＝5得： △÷（150－△）＝5 △÷（150－△）×（150－△）＝5×（150－△） △＝750－5△ △＋5△＝750－5△＋5△ 6△÷6＝750÷6 △＝125 故答案为：D 【考点剖析】本题考查了学生对等量代换的初步认识。 6．（24-25四年级下·江西南昌·期中）进入知识宫的密码是，破译密码的线索是，。知识宫的密码是( )。 【答案】8989 【思路引导】 根据“减数＝被减数－差”，这里被减数是14＋82，差是87，所以＝14＋82－87；根据“因数＝积÷另一个因数”，这里积是58－10＝48，另一个因数是6，所以＝48÷6。 【规范解答】14＋82－87 ＝96－87 ＝9 ＝9 58－10＝48 48÷6＝8 ＝8 进入知识宫的密码是，即8989。 7．（24-25四年级下·云南昭通·期中）欢欢和乐乐玩猜数游戏，欢欢说：“我先把这个数乘34，再把这个数乘66，然后再把两次乘得的积相加，得到的数是1800。”原来的数是( )。 【答案】18 【思路引导】这个数的34倍和66倍相加是这个数的100倍，即这个数的100倍是1800，据此作答。 【规范解答】1800÷（34＋66） ＝1800÷100 ＝18 因此，原来的数是18。 8．（24-25四年级下·重庆南川·期中）32＋23＝55，275÷55＝5，35×5＝175。合并成一道综合算式是：( )。 【答案】35×[275÷（32＋23）]＝175 【思路引导】分析算式的关系，算式35×5＝175中的5是由算式275÷55＝5得来的，而算式275÷55＝5中的55是由算式32＋23＝55得来的，应先算加法，再算除法，最后算乘法。据此列综合算式。 【规范解答】32＋23＝55，275÷55＝5，35×5＝175。合并成一道综合算式是：35×[275÷（32＋23）]＝175。 9．（24-25四年级下·福建厦门·期中）海海在计算一道题目时，把某数乘2加20，误看成某数除以2加20，得到的结果是50，正确结果是( )。 【答案】140 【思路引导】按照错误的解题方法某数除以2加20，结果是50，那么倒推这个数是（50－20）×2，计算出这个数是多少，再用这个数乘2加20。 【规范解答】（50－20）×2 ＝30×2 ＝60 60×2＋20 ＝120＋20 ＝140 即海海在计算一道题目时，把某数乘2加20，误看成某数除以2加20，得到的结果是50，正确结果是140。 10．（24-25四年级下·山东济宁·期中）书法是一门古老的书写艺术。东晋名家王羲之所作《兰亭集序》被誉为“天下第一行书”，全文共324字。李老师要临摹这本书，他第一周临摹了84字，第二周比第一周多临摹了16字，还剩( )字没有临摹。 【答案】140 【思路引导】用第一周临摹的字数加上第二周比第一周多临摹的字数，求出第二周临摹的字数。再用第一周临摹的字数加上第二周临摹的字数，算出两周临摹字数之和。要求剩下的字数，需要用总字数减去两周临摹的字数之和即可。 【规范解答】324－（84＋16＋84） ＝324－（100＋84） ＝324－184 ＝140（字） 所以，还剩140个字没有临摹。 11．（24-25四年级下·湖北武汉·期中）学校要做170套演出服，按整卷买布。大卷布每卷800元，可以做16套演出服：小卷布每卷600元，可以做10套演出服。170套演出服全部做完，学校最少要花( )元。 【答案】8600 【思路引导】800÷16＝50（元），600÷10＝60（元）。计算发现大卷布每套成本50元，小卷布每套60元，要使总费用最少，应尽可能多购买单价更优惠的大卷布。剩下的用小卷布，并且使布没有剩余。然后用大卷布的卷数×每卷大卷布的钱＋小卷布的数量×每卷小卷布的钱＝花的钱 【规范解答】800÷16＝50（元） 600÷10＝60（元） 50＜60 170÷16＝10（卷）……10（套） 剩下的10套演出服刚好用1卷小卷布 10×800＋600 ＝8000＋600 ＝8600（元） 所以，学校最少要花8600元。 12．从100里先减去26，再加上24；然后再减去26，加上24，这样一次计算下去，直到结果为0。那么一共减去了( )个26，加上了( )个24。 【答案】 38 37 【思路引导】先从100里减去26，再除以26减24的差，即等于24的个数，24的个数加1等于26的个数。 【规范解答】（100－26）÷（26－24） ＝74÷2 ＝37（个） 37＋1＝38（个） 【考点剖析】减去26，再加上24，这样一次只减少2，这是解答本题的关键。 13．学校有老师6人和学生375人，坐车去春游。大车限乘客50人，租金是900元；小车限乘客30人，租金600元，租车最省钱，至少要付( )元。 【答案】7200 【思路引导】乘车问题两个省钱原则，一个是尽量选用平均每个座位单价低的，另一个是尽可能少留空位；根据这两个原则设计乘车方案，比较得出最优方案。 【规范解答】大车每个座位单价：900÷50＝18（元）， 小车每个座位单价：600÷30＝20（元）， 20＞18，大车单价较低； 方案一：375＋6＝381（人），选乘大车， 381÷50＝7（辆）……31（人） 余下31人，一辆小车座不够，一共需要安排7＋1＝8（辆）大车； 8×900＝7200（元） 方案二：方案一的空位数是50－31＝19（人）， 如果安排6辆大车，3辆小车，可以坐的人数如下： 6×50＋3×30 ＝300＋90 ＝390（人） 这样空位数是390－381＝9（个） 6×900＋3×600 ＝5400＋1800 ＝7200（元） 7200＝7200 两种方案需要的钱数同样多。 所以，最少要付7200元。 【考点剖析】根据省钱的原则设计乘车方案，比较设计的方案，从中选择最省钱的方案。 14．小飞在计算26×（★+4）时把算式抄成了26×★+4，这样计算的结果与正确值相差_____． 【答案】100 【思路引导】首先应用乘法分配律，把26×（★+4）展开，然后用它减去26×★+4，即可求出． 【规范解答】26×（★+4）﹣（26×★+4） ＝26×★+26×4﹣26×★﹣4 ＝26×4﹣4 ＝100 答：这样计算的结果与正确值相差100． 故答案为100． 15．（24-25四年级下·新疆阿克苏·期中）35乘12与3的商，积是多少？正确列式为35×12÷3。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据题意，最后求的是积，则先计算12与3的商，再计算乘法，计算除法的时候需要加上小括号，据此列式后判断即可。 【规范解答】35×（12÷3） ＝35×4 ＝140 35乘12与3的商，积是多少？正确列式为35×（12÷3），原题说法错误。 故答案为：× 16．（24-25四年级下·贵州安顺·期中）125×8÷125×8＝（125×8）÷（125×8）＝1。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】125×8÷125×8从左往右依次计算；（125×8）÷（125×8）先算小括号里的乘法，再算除法，计算出两个算式的结果，再判断即可。 【规范解答】125×8÷125×8 ＝1000÷125×8 ＝8×8 ＝64 （125×8）÷（125×8） ＝1000÷1000 ＝1 所以125×8÷125×8≠（125×8）÷（125×8），题干计算错误。 故答案为：× 17．（24-25四年级下·黑龙江鸡西·期中）脱式计算。 17×[（520÷26）－13]         940×[128－（154－31）] 389＋102÷（52－35）          432＋390÷130－318 【答案】119；4700 395；117 【思路引导】计算17×[（520÷26）－13]：先算小括号内的除法，再算中括号内的减法，最后算乘法。 计算940×[128－（154－31）]：先算小括号内的减法，再算中括号内的减法，最后算乘法。 计算389＋102÷（52－35）：先算小括号内的减法，再算除法，最后算加法。 计算432＋390÷130－318：先算除法，再依次算加减。 【规范解答】17×[（520÷26）－13] ＝17×[20－13] ＝17×7 ＝119 940×[128－（154－31）] ＝940×[128－123] ＝940×5 ＝4700 389＋102÷（52－35） ＝389＋102÷17 ＝389＋6 ＝395 432＋390÷130－318 ＝432＋3－318 ＝435－318 ＝117 18．（24-25四年级下·四川德阳·期中）烘焙店准备了108千克面粉，制作18个大蛋糕，每个大蛋糕用面粉5千克，剩下的面粉做9个小蛋糕，每个小蛋糕用面粉多少千克？ 【答案】2千克 【思路引导】由题意得，烘焙店准备了108千克面粉，制作18个大蛋糕，每个大蛋糕用面粉5千克，可以先用18乘5算出做大蛋糕需要多少面粉。剩下的面粉做9个小蛋糕，再用108减去前面的得数算出剩下的面粉有多少千克。最后再除以9即可算出每个小蛋糕用面粉多少千克。 【规范解答】（108－18×5）÷9 ＝（108－90）÷9 ＝18÷9 ＝2（千克） 答：每个小蛋糕用面粉2千克。 19．（24-25四年级下·江西赣州·期中）随着5G网络的发展以及短视频的兴起，团购的形式也在悄悄发生着变化，某烤肉店除了原有团购套餐外，在某短视频平台还推出一种新的团购套餐，聪聪一家十口（6名成人、4名儿童）怎样消费最便宜？最少需要多少元？ 【答案】选择新团购套餐消费最便宜，最少需要980元。 【思路引导】按照题目中给的三个方案，首先按照门店价格计算出6名成人和4名儿童一共需要多少钱；其次按照原团购套餐价格10人共需要多少钱；最后按照新团购套餐价格先计算出6名成人可以带3名儿童，剩下1名儿童，按照门店价格进行计算；在计算出这三个方案分别需要多少钱后，进行比较即可得出正确答案。 【规范解答】门店价格： （元） 原团购套餐：（元） 新团购套餐：（人） （元） 由于 答：聪聪一家十口选择新团购套餐消费最便宜，最少需要980元。 20．实验小学学生乘汽车去春游。如果每车坐65人，则有15人不能乘车；如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。问一共有几辆车？共有学生多少人？ 【答案】17辆；1120人 【思路引导】如果每车多坐5人时，恰好多余了一辆车，即还差65＋5人。也就是每车多坐5人时，能多坐15＋65＋5人。即可求出车的数量，进而求出学生总人数。 【规范解答】（15＋65＋5）÷5 ＝85÷5 ＝17（辆） 65×17＋15 ＝1105＋15 ＝1120（人） 答：一共有17辆车，共有学生1120人。 【考点剖析】解答此题的关键是分析出当每车多坐5人时，能多坐多少人。要求学生有较强的分析推理能力。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $