河北海兴县中学等学校2025-2026学年高二年级下学期第一次阶段总结数学试卷

高二年级下学期第一次阶段总结 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 榻 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区战书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册第六章~第七章第1节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.2026×2025×2024可表示为 A.A8026 B.A C.o26 D. 2.已知A,B,C三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从A地到C地不同路线的条数是 製 A.5 B.6 c.7 D.8 3.5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，则不 同选择的种数是 A20 B,60 C.125 D.243 4.若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为 8 A.120 B.72 C.48 D.12 5.若二项式(x十 的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的是 A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 6.已知甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采取“七局四胜制”，若每一局比赛甲获胜的概率均为 号，记甲获得比赛胜利”为事件A,“比赛仅进行了5局”为事作B,则PCAB)= A B号 c品 ·端 【高二年级第一次阶段总结·数学第1页（共4页）】 ▣ CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 7.美加墨足球世界杯将于2026年6月至7月在美国、加拿大、墨西哥的6座城市举行，将是首 次有48支球队参赛的世界杯.现在要从A,B,C,D,E五名志愿者中选派四人分别从事宜传、 后勤、礼仪、服务四项不同工作，若A,B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工 作，则不同的选派方案共有 A.24种 B.36种 C.60种 D.120种 8.某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A,B两个箱子中.A箱中有4道代数题 和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题.参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子， 然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答.若乙同学选择A箱，答题结束后工作人 员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中 至少有一道代数题的概率为 A贵 B盖 c器 D器 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.(1十x寸)6的展开式中的有理项有 A.1 B.20x C.20x2 D.z2 10,设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=号，P(B)=},P(A+B)=号，则 A事件A,B相互独立 B.P(AIB)=号 C.P(BIA)= D.P(AB)<<P(B) 11.已知x∈A(i=1,2,3,4,5),关于方程x1十x2十x3十x4十x5=8,则下列说法正确的是 A当A={1,2}时，该方程有15组解 B当A=(1,2)时，该方程的解清足一十一x十%=0的概率为品 C.当A=N时，该方程有35组解 D.当A=N时，该方程有495组解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.方程2C话=A号(x∈N且x≤6)的解为x= 13.已知(1十x2)(x十)”(n∈N,且6≤n≤10)的展开式中没有常数项，则n= 14.为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会 实践期间开展“拔草”“翻土”“播种”“浇水”这四个项目的劳动技能比赛.某小组7名同学积 极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，每个项目至少有1人参加，则这7名同 学有 种不同的参加方法， 【高二年级第一次阶段总结·数学第2页（共4页）】 ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描APp 2. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 通过调查，某市小学生、初中生、高中生的肥胖率分别为2%，3%，3%.已知该市小学生、初 中生、高中生的人数之比为5：3：2，若从该市中小学生中，随机抽取1名学生。 (1)求该学生为肥胖学生的概率； (2)在抽取的学生是肥胖学生的条件下，求该学生为高中生的概率， 16.(本小题满分15分) 现从一副扑克牌中抽取红桃A、红桃2、红桃3到红桃10、小王和大王共12张牌. (1)从这12张牌中随机抽取3张，求红桃A被抽到，且小王和大王只有一个被抽到的抽取 方法共有多少种？ (2)从这12张牌中随机抽取3张，求小王和大王2张中至少有1张被抽到，且红桃A没有被 抽到的不同抽取方法共有多少种？ (3)将红桃5到红桃10这6张扑克牌摆成一排，使得红桃9和红桃10相邻，且红桃5、红桃 6、红桃7恰有两张相邻，求不同的摆放方法共有多少种？ 17.(本小题满分15分) 已知(2x-1)"=ao十a1x十a2x2+…十amx"(n∈N),C%+Ci-1=36. (1)求n的值； (2)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值； (3)求a1十2a2十3a3+…十nan的值 【高二年级第一次阶段总结·数学第3页（共4页）】 ▣口 CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描App 3. 18.(本小题满分1？分) 杨辉三角是我国南宋数学家杨辉的一项重要研究成果，比欧洲早500年左右，杨辉三角本身包 含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，图1为杨辉三角的部分内容. (1)求图1中第31行中的所有数字之和被9除所得余数； (2)观察图1，确定第63行的第k列（从左往右）与第64行的第k十1列（从左往右）的关系 式，并求C十2C,十3C十…十64C的值；（用整数指数幂表示结果） (3)把杨辉三角中的每一个数C都换成(m十1C,得到图2所示的莱布尼茨三角，证明： 1 1 (n+i)Ct(n+1)C=C京reN,l≤r≤n. …第0行… 子 11 …第1行… 是合 121 …第2行 日合号 1331 …第3行 冬品立子 14641 …第4行… 5 图1 图2 19.(本小题满分17分) K 作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太 保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机 构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为3：2，在抽取的男 性居民中，有号的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏 超联赛。 (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏 超联赛的概率； (2)现定义：LR(B1A)=P(BA,其中A,B是随机事件，从这500人中任选1人，M表示 P(BA) “居民观看了这场苏超联赛”，N表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关 程度的一项度量指标=LR(N,请利用样本数据求出的值； LR(NM) (3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这 5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有i(i=0,1,2)名是观看 了这场苏超联赛的男性居民的概率为P(X=),求P(X=0)一P(X=1)十 P(X=2)的值， 【高二年级第一次阶段总结·数学第4页（共4页）】 ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描App --4高二年级下学期第一次阶段总结·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A2026×2025×2024=A826.故选A. 2.C由图知，从A地到B地的道路有2条，从B地到C地的道路有3条，由分步乘法计数原理可知，从A地经 过B地到C地不同的路线共有2×3=6条；从A地不经过B地到C地的路线有1条，根据分类加法计数原 理可得，从A地到C地不同的路线共6十1=7条.故选C. 3.D5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，由于这5名同学 每名都可以有3种选择，所以共有3=243种选择.故选D. 4.B女生不相邻的排法数为AA=72.故选B. 5.C因为二项式(x十二)的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，即2=1024=2，解得1=10，所以 二项式(x十2)”的展开式中，二项式系数最大的是C,是第6项，故选C 6AP(B)=C(号)广×合×号+C(3)'×号×}=》，P(AB)=C(号)'××号=器，所以 64 P(AI B)=P(AB)_ P(B) 8 =9·故选A 43=8 27 7.B根据题意可分为2种情况讨论：（ⅰ）若A,B中只有一人入选，则有CCA=24种不同的选派方案； (iⅱ)若A,B都人选，则有AA=12种不同的选派方案.综上可得共有24十12=36种不同的选派方案.故 选B. 8.D设事件Q为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”，事件R为“乙从A箱中取出2道代数题”， 则P(R)=号，事作S为乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”，则P(S)C警=音，事件T C 为“乙从A箱中取出2道儿何题”，则P(D-得-言，当R发生时，B箱中有5过代数题和3道儿何题，则 PQR=1号-1条-亮：当S发生时，B箱中有4道代数题和4道几何题，则PQS=1-号-1 会贵当T发生时，B箱中有3道代数题和5道几何题，则PQD=1-一得=1一8-是由全慨率公式 可得PQ)=P(RPQR)+P(S)P(QIS))+P(DPQD=号×祭+是×}+×是-院故选D 9.ABD(1十对)°的展开式通项为T+1=C·I-t·(寸)=C路·寺(0<k<6,k∈N,由号∈Z可得k∈ {0,3,6},所以展开式中的有理项有：T=C8=1,T4=C·x=20x,T=C第·x2=x2.故选ABD 10AC因为PA+B)=PA+PB)-PAB,放PAB)=P(A+PB)-PA+B)=子+}号-= CADP(B)=,所以PAB)=P(A)P(B),放A,B相互独立，P(AB)=P票=号-号放 P(B) 4 【高二年级第一次阶段总结·数学参考答案第1页（共4页）】 B错误：又PA=PA+PAB,所以PA)=PA-P(AB)=号立=子-PB,放D借误：因 为P(B=PAB)+PB),所以P(AB)=P(B)-PAB)=-b=G,又PA)=号，放P=1 1 PCA)号，所以P(BA0-P常？=放C正确，放选AC. 3 11.BCD对于A,当A={1,2》时，x:(i=1,2,3,4,5)中有3个2,2个1，所以该方程解的组数为C=10,故A 错误；对于B,因为x(i=1,2,3,4,5)中有3个2,2个1，且x1-2十一x4十=0，所以2=x4=2,x1, 中有2个是1,1个是2，所以所求概率为品故B正确：对于C,当A=N时，相当于在8个1之间的 7个空隙中选4个插人4个隔板，把8个1分为5部分，各部分1的个数分别为x(i=1,2,3,4,5)的值，所 以解的组数为C=35,故C正确；对于D,当A=N时，设y=x十1，则y:∈N”,且y1十2十y为十y十为= 13,相当于在13个1之间的12个空隙中选4个插入4个隔板，把12个1分为5部分，各部分1的个数分别 为y(i=1,2,3,4,5)的值，所以解的组数为C2=495,故D正确.故选BCD. 12.2或4由题意，可知2C=6X5,C=65=C,所以x=2或x=4. 13.8（x十)的展开式的通项T1=Cxx=Cx一，将Cx一分别与前面因式中的两项相乘，得 Cx”-3r,C%x”-3+2,因为展开式中没有常数项，所以n一3r≠0，且n一3r+2≠0，即n≠3r,且n≠3r一2(0≤ r≤n,r∈N),又6≤n≤10，所以n=8. 14.8400先将7名同学分成四组，有1,1,1,4：1,1,2,3和1,2,2,2这三种情况，当分组为1,1,1,4时，不同的 参加方法有CCCC×A=840,当分组为1,1,23时，不同的参加方法有CCCC×A=5040:当分组 A A 为1,22,2时，不同的参加方法有CCCC×A=2520.综上所述，满足题意的不同的参加方法有840十 A 5040+2520=8400种. 15.解：记B=“任取1名中小学生是肥胖学生”，A1=“学生为小学生”，A2=“学生为初中生”，A=“学生为高 中生”.……1分 则=A1UA2UA3,且A1,A2,A3两两互斥，…2分 由题意得P(A1)=0.5,P(A2)=0.3,P(Ag)=0.2,…3分 P(BA1)=0.02,P(BA2)=0.03,P(BA3)=0.03. 5分 (1)由全概率公式，得P(B)=P(A1)P(B引A1)+P(A)P(B引A)+P(A3)P(BA3)=0.5×0.02+ 0.3×0.03+0.2×0.03=0.025, 即随机抽取1名学生，该学生为肥胖学生的概率为0.025.……8分 (2)AB=“抽取的学生是肥胖学生且为高中生”， 则P(A3B)=P(A3)P(B|A)=0.006,… 10分 所以P(AB)-PB=602 P(A3B)_0.006 =0.24, 即在抽取的学生是肥胖学生的条件下，该学生为高中生的概率为0.24.……13分 【高二年级第一次阶段总结·数学参考答案第2页（共4页）】 16.解：(1)若小王和大王有且只有一个被抽到，其抽取方法有2种， 1分 又红桃A被抽到，则在剩余的9张牌中随机抽取1张，其抽取方法有9种，…2分 则不同的抽取方法共有2X9=18种。…3分 (2)根据题意，分2种情况讨论： ①小王和大王2张都被抽到，且红桃A没有被抽到，不同的抽取方法有CC=9种，…5分 ②小王和大王2张中有且只有1张被抽到，且红桃A没有被抽到，不同的抽取方法有CC=72种， …7分 则共有9十72=81种不同的抽取方法.…。 …8分 (3)第一步：将红桃9和红桃10捆绑在一起有A号种方法，……9分 第二步：将红桃5、红桃6、红桃7抽出2张捆绑在一起有C号A号种方法，…11分 第三步：将红桃9,10组成的整体与红桃8排，共有A中排法，… 12分 第四步：将红桃5,6,7种组成的两部分插空到第三步排列形成的三个空中，有A种，…13分 故共有A号XC号AXA6×A娟=2X3×2×2×6=144种.…15分 17.解：)由题意得C+Cg1=C+C=,1D+=n=36, 2 2 …2分 化简可得十-72=0， 解得n=8或n=一9（舍去）.… …4分 (2)二项式(2x一1)8展开式的通项公式为T+1=C%·(2x)8-·(一1)”=（一1）r·28-·C8·x8-', …5分 所以a,a2,a4,a6,a8为正数，a1,a3,a5,a7为负数. 在(2x-1)8=a0十a1x十a2x2十…十agx8中，令x=0,a=1.……7分 再令x=-1,可得38=ao-a十a2-ag十…+a8=1+a1|+|a2|+as|+…+|a8, 所以a+|a2|+|a|十…十|a8=38-1.…10分 (3)由(1)知n=8,对(2x-1)8=ao+a1x+a2x2+…+a8x8两边求导得8X2×(2x-1)7=a1+2a2x+ 3a3x2+…+8agx, 即16(2x-1)7=a1+2a2x+3a3x2+…+8agx7, 令x=1,代入得16(2×1-1)7=a+2a2+3a3+…+8ag, 即a1+2a2+3a+…+8ag=16. 15分 18.(1)解：图1中第31行中的所有数字之和为21，… …2分 231=2×230=2X810=2×(9-1)10, (9一1)10=C910-C9°+C98一C39+十C92一C19+C8,所以展开式中除最后一项1外，其余各 项均有因数9，能被9整除，且这些项和为正数， 所以(9一1)10被9除余数为1，… 4分 所以21被9除余数为2. …5分 (2)解：第63行的第k列（从左往右）为C1,第64行的第k十1列（从左往右）为C洛，…7分 64! C洛4 k！(64-k)I C 63! ,所以kC=64C, 9分 (k-1)!(64-k)! 【高二年级第一次阶段总结·数学参考答案第3页（共4页）】 所以CH+2C号4+3C84+…+64C=64C8+64C%+64C路+…+64C8=64×28=29. 11分 3证明：因为c+wc×[-1D1Xa+1-=+1Xg] 1 1 n! =h×[a+1=,DXm+r-X- n! n! =1×(m+1)(r-1)！(1-r)L=(r-1)!(n-r)! +7 SE.. nX(n-1)！nC= 17分 n! 19.解：(1)由题意，得样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人，在300名男性居民中，有200人 观看了这场苏超联赛，在200名女性居民中，有100人观看了这场苏超联赛，所以样本中，观看了这场苏超 联赛的频率为200十100.3 500 …2分 用频率估计概率，样本估计总体，从全市层民中随机抽取1人，估计此人观看了这场苏超联赛的概率为号。 4分 (2)因为P(N1M)=P(MN2= 100 200 P(M) 20010PNM-PMN) P(M 200+100 31 所以LR(NIM)=P(NM=1 2· 6分 P(NM) 因为P(NM)=P(N) 1009100-P(NIM)-PMN 100 100 P(M) P(M) 100+100=2, 所以LR(NM)-PN2=L. 8分 P(NM) 所以k=LR(NM_1 LR(NIM际=2 9分 (3)由分层随机抽样知，抽取的5名居民中，男性居民有3人，女性居民有2人.…10分 根据须率估计概率知，男性居民中观看了这场苏超联赛的概率为号，没有观看这场苏超联赛的藏率为子· 11分 设3名被抽取的男性居民中，恰好抽到：人被访谈为事件D.(k=0,1,2),则P(D)=C C (k=0,1,2), ……12分 设被访谈的2名居民中观看了这场苏超联赛的男性居民恰好为m人为事件Em(m=0,1,2), 期P(E1D)=1,P(ED)=号，P(ED)=(号)广°=，P(ED)=号，P(ED)=2X号×号 =，PED)=(号)=， 13分 所以P(X=0)=P(D)·P(ED)+P(D)·P(ED,)+P(D)·P(ED)=CCX1+CC C 14分 PX=ID=P(D)·P(EID)+P(D)P(E1D)-CCX号+cCx告-是， C 15分 PX=2》=P(D)·PcED)ex告-是 16分 所以P(X=0)-P(X=1)+P(X=2=子-是+是=- 17分 【高二年级第一次阶段总结·数学参考答案第4页（共4页）】