精品解析：北京市首都师范大学第二附属中学2024-2025学年上学期九年级12月月考（期末自我检测）数学试题

首都师大二附中2024-2025学年第一学期期末 初三数学自我检测 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，5月份销售万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x（），则可列方程（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点都在上，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 6. 如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒2个单位长度的速度移动，设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（ ） A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，正比例函数关系 D. 一次函数关系，二次函数关系 8. 如表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值： … 2 8 … … 1 … 点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论：①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 点关于原点的对称点的坐标为______． 10. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则______． 11. 请写出一个开口向上，顶点为(2，1)的抛物线的解析式_____． 12. 已知扇形的圆心角为，半径是，则扇形的面积为______． 13. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为______． 14. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志，如图，是某高铁线路在转弯处所设计的圆曲线（即圆弧），设高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中的转角为，若该圆曲线的半径千米，则这段圆曲线的长为___________． 15. 2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见图： “节”活动规则 •活动前每人先发放一枚“币” •每参与一个活动消耗一枚“币” •没有“币”不能参与活动 •每个活动至多参与一次 •挑战成功，按右表发放奖励 •挑战失败，谢谢参与 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为______； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为______． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 解方程：． 17. 已知，求代数式的值． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 19. 下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及圆上一点． 求作：直线，使得为的切线，为切点． ①连接并延长到点； ②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）； ③以点为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点，作直线． 直线就是所求作的直线． 根据小立设计的尺规作图过程，补全图形并完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据） 证明：连接． 点在上， 是的直径． ① ．（ ② ） ． 是的半径， 是的切线．（ ③ ） 20. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 21. 已知二次函数． （1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； … 0 1 2 3 … … 0 3 … （2）根据图象回答：当时，的取值范围是______； （3）设，，过点与轴垂直的直线l与抛物线交于点，．其中，与直线交于点，若，直接写出t的取值范围______． 22. 某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中，通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字． （1）“A志愿者被选中”是________事件（填“随机”“不可能”或“必然”）． （2）用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率． 23. 综合与实践． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 24. 如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求的值； （2）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （3）点，，在抛物线上，若，求的取值范围． 26. 在中，，，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为线段DC上一动点（不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点G． （1）如图，当点E在线段CD上时， ①依题意补全图形，并直接写出BC与CF的位置关系； ②求证：点G为BF的中点． （2）直接写出AE，BE，AG之间的数量关系． 27. 在平面直角坐标系中，已知点和，对于点定义如下：以点为对称中心作点的对称点，再将对称点绕点逆时针旋转，得到点，称点为点的反转点． （1）如图，点，，点，点为点的反转点． ①当时，在图中画出点，并写出点的坐标为______； ②当时，求线段长的取值范围； （2）已知的半径为，点是上一点，点和是外两个点，点为点的反转点．若点在第一象限内，点在第四象限内，当点在上运动时，直接写出线段长的最大值和最小值的差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首都师大二附中2024-2025学年第一学期期末 初三数学自我检测 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、B、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：C． 2. 抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查抛物线的平移：上加下减，左加右减，根据平移规律解题即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是， 故选：B． 3. 杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，5月份销售万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x（），则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用5月份的销售量3月份的销售量该摆件销售量的月平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该摆件销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的配方法，把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 5. 如图，点都在上，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图， ， 由圆周角定理可知，， 又四边形是圆的内接四边形， ， ． 故选：C． 6. 如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知， 综上有：， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 7. 如图，在中，，，，动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒2个单位长度的速度移动，设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（ ） A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，正比例函数关系 D. 一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的几何应用，根据题意，结合图形，列出与，与满足的函数关系式，根据一次函数和二次函数的定义判断即可． 【详解】解：由题意，，，则， 则，， ∴与满足一次函数关系，与满足二次函数关系， 故选：D． 8. 如表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值： … 2 8 … … 1 … 点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论：①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由表格数据可得，该二次函数对称轴为直线，再结合二次函数的增减性，逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由表格数据可得，该二次函数对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 若时，开口向上，离对称轴越近值越小， ∵点，在该函数图象上，当时，， ∴， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，，符合题意； 当时，，解得，，符合题意； 若时，开口向下，离对称轴越近值越大， ∵点，在该函数图象上，当时，， ∴， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，不符合题意； ∴，当时，，当时，，故①错误，②正确； ∵，开口向上，当时，函数值随着增大而增大，把代入得，当时，， ∴，即，故③正确； 当时，二次函数的图象有最低点，当时，函数值随着增大而增大， ∵二次函数的图象记为图形，且存在直线与图形有两个交点， ∴， ∵由题意可得图形不是单调的，其中必须包含， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：B． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征．根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 10. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根，把根代入方程得到关于的一元一次方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为1， ∴， 解得； 故答案为：． 11. 请写出一个开口向上，顶点为(2，1)的抛物线的解析式_____． 【答案】y=2(x-2)2+1(答案不唯一） 【解析】 【分析】已知顶点坐标，可用抛物线的顶点式表达解析式，由于开口向上，可取二次项系数a=1． 【详解】已知顶点坐标为（2，1）， 所以，抛物线解析式可写为 +1 取 故答案为+1 【点睛】考查了二次函数的性质，已知顶点坐标，可用抛物线的顶点式表示解析式，已知开口向上，只要二次项系数为正数即可． 12. 已知扇形的圆心角为，半径是，则扇形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式（是扇形圆心角的度数）是解题的关键． 已知扇形的圆心角，半径，代入公式（是扇形圆心角的度数）计算即可求解． 【详解】解：扇形的圆心角为，半径是， ∴扇形的面积为， 故答案为： ． 13. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，对称性，求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 由图象可知：不等式的解集为或； 故答案为：或． 14. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志，如图，是某高铁线路在转弯处所设计的圆曲线（即圆弧），设高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中的转角为，若该圆曲线的半径千米，则这段圆曲线的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、弧长公式；由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理求出，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵转角为， ∴， ∵过点A，B的两条切线相交于点C， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 15. 2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见图： “节”活动规则 •活动前每人先发放一枚“币” •每参与一个活动消耗一枚“币” •没有“币”不能参与活动 •每个活动至多参与一次 •挑战成功，按右表发放奖励 •挑战失败，谢谢参与 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为______； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为______． 【答案】（1）鲁班锁； （2）1或2或3 【解析】 【分析】本题考查了推理能力，关键是注意分类讨论． （1）因为小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个，所以推断小云只能参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“π币”，足够她参与其余四个活动； （2）小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功，所以推断小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁，分别讨论参与的第一个活动为华容道、魔方或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量的可能． 【小问1详解】 解：∵小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个， ∴小云用活动前发放的一枚“π币”参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“π币”，再次参与了其余四个活动，未挑战成功， 故答案为：鲁班锁； 【小问2详解】 ∵小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功， ∴小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁， 若参与的第一个活动为华容道，则参与的第四个活动可能为24点、数独、魔方或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚， 若参与的第一个活动为魔方，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚， 若参与的第一个活动为鲁班锁，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或魔方，最终剩下的“π币”数量可能是2枚或3枚， 故答案为：1或2或3． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【详解】解：方法一、， 移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 方程的解为：，； 方法二、 其中，，， ， ，即， 方程的解为：，； 方法三、， 因式分解得：， 或， 方程的解为：． 17. 已知，求代数式的值． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值及完全平方公式，正确变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程， (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程， ； ∴此方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 解得， ∵此方程恰有一个根小于， ∴， 解得． 19. 下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及圆上一点． 求作：直线，使得为的切线，为切点． ①连接并延长到点； ②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）； ③以点为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点，作直线． 直线就是所求作的直线． 根据小立设计的尺规作图过程，补全图形并完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据） 证明：连接． 点在上， 是的直径． ① ．（ ② ） ． 是的半径， 是的切线．（ ③ ） 【答案】图见解析；，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握圆周角的推论，切线的判定．根据画法得，则点C在上，即是的直径即可得，即可得，根据是的直径得是的切线． 【详解】解：如图， 证明：连接． 点在上， 是的直径． ．（直径所对的圆周角是直角） ． 是的半径， 是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线） 故答案为：，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 20. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得：，，从而得到，证明得出，从而得到； （2）由（1）可知，，得到，由勾股定理可得，从而得出，最后由勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形， ， 由旋转的性质可得：，， ，即， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理． 21. 已知二次函数． （1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； … 0 1 2 3 … … 0 3 … （2）根据图象回答：当时，的取值范围是______； （3）设，，过点与轴垂直的直线l与抛物线交于点，．其中，与直线交于点，若，直接写出t的取值范围______． 【答案】（1），，；函数图象见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确画出函数图象，是解题的关键． （1）将的值代入解析式，求出值，填表，进而画出函数图象即可； （2）图象法进行求解即可； （3）图象法进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 时，；时，，时，， 描点、连线、绘制函数图象如下： 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：观察函数图象知，当时，y的取值范围是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据图象，当直线在点A和B之间时满足， ∴t的取值范围为， 故答案为：． 22. 某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中，通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字． （1）“A志愿者被选中”是________事件（填“随机”“不可能”或“必然”）． （2）用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率． 【答案】（1）随机 （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了事件类型的判断和利用树状图计算概率，熟练掌握事件类型的定义和列树状图的方法是解题的关键. （1）根据事件类型的定义进行判断即可； （2）画树状图找出总的结果数，再求出要求的情况数，进行计算即可. 【小问1详解】 解：根据事件类型的定义：“在特定条件下，由不确定性因素影响而发生的事件”即可得出： “A志愿者被选中”是随机事件. 【小问2详解】 解：画树状图如图． 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中A，B两名志愿者同时被选中的结果有2种， ，B两名志愿者同时被选中的概率为． 23. 综合与实践． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】（1） （2）72m （3）不会，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． 利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式； 将代入中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； 求出中函数的最大值，与比较，即可解决问题． 【小问1详解】 设，将，，代入， 得，解得， 关于t的函数解析式为：； 【小问2详解】 当时，， 答：汽车刹车后，行驶了； 【小问3详解】 不会．理由如下： ， 当时，汽车停下，行驶了， ， 该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 24. 如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题． （1）连接，证明，可得结论； （2）过点作于点．求出，得出，，利用得出，再利用三角函数求出即可． 【小问1详解】 证明：连接． 平分， ， ， ； ， 为半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：是直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求的值； （2）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （3）点，，在抛物线上，若，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． （1）将点代入抛物线解析式计算即可； （2）结合（1）中的结果，将抛物线解析式化为顶点式即可求解； （3）分两种情况讨论：①当时，可知点，，从左至右分布，根据可得，根据可得，即可求解；②当时，即，即有，可得，与题意不符，舍去. 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）得抛物线的表达式为， 即， ∴抛物线的对称轴为； 【小问3详解】 ①当时， 可知点，，从左至右分布，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 根据可得， ∴， 根据可得， ∴， ∴； ②当时，即， ∵， ∴，不符合题意. 综上，m的取值范围为． 26. 在中，，，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为线段DC上一动点（不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点G． （1）如图，当点E在线段CD上时， ①依题意补全图形，并直接写出BC与CF的位置关系； ②求证：点G为BF的中点． （2）直接写出AE，BE，AG之间的数量关系． 【答案】（1）①BC⊥CF；证明见详解；②见详解;（2）2AE2=4AG2+BE2．证明见详解． 【解析】 【分析】（1）①如图所示，BC⊥CF．根据将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，得出AE=AF，∠EAF=90°，可证△BAE≌△CAF（SAS），得出∠ABE=∠ACF=45°，可得∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°即可； ②根据AD⊥BC，BC⊥CF．可得AD∥CF，可证△BDG∽△BCF，可得，得出即可； （2）2AE2=4AG2+BE2，延长BA交CF延长线于H，根据等腰三角形性质可得AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠CAD=，可证△BAG∽△BHF，得出HF=2AG，再证△AEC≌△AFH（AAS），得出EC=FH=2AG，利用勾股定理得出，即即可． 【详解】解：（1）①如图所示，BC⊥CF． ∵将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF， ∴AE=AF，∠EAF=90°， ∴∠EAC+∠CAF=90°， ∵，， ∴∠BAE+∠EAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠BAE=∠CAF， 在△BAE和△CAF中， ， ∴△BAE≌△CAF（SAS）， ∴∠ABE=∠ACF=45°， ∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°， ∴BC⊥CF； ②∵AD⊥BC，BC⊥CF． ∴AD∥CF， ∴∠BDG=∠BCF=90°，∠BGD=∠BFC， ∴△BDG∽△BCF， ∴， ∵，AD⊥BC， ∴BD=DC=， ∴， ∴， ∴， ∴BG=GF; （2）2AE2=4AG2+BE2．延长BA交CF延长线于H， ∵AD⊥BC，AB=AC， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=， ∵BG=GF，AG∥HF， ∴∠BAG=∠H=45°，∠AGB=∠HFB， ∴△BAG∽△BHF， ∴， ∴HF=2AG， ∵∠ACE=45°， ∴∠ACE =∠H， ∵∠EAC+∠CAF=90°，∠CAF+∠FAH=90°， ∴∠EAC=∠FAH， 在△AEC和△AFH中， ， ∴△AEC≌△AFH（AAS）， ∴EC=FH=2AG， 在Rt△AEF中，根据勾股定理， 在Rt△ECF中，即． 【点睛】本题考查图形旋转性质，三角形完全判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，掌握图形旋转性质，三角形完全判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，勾股定理是解题关键． 27. 在平面直角坐标系中，已知点和，对于点定义如下：以点为对称中心作点的对称点，再将对称点绕点逆时针旋转，得到点，称点为点的反转点． （1）如图，点，，点，点为点的反转点． ①当时，在图中画出点，并写出点的坐标为______； ②当时，求线段长的取值范围； （2）已知的半径为，点是上一点，点和是外两个点，点为点的反转点．若点在第一象限内，点在第四象限内，当点在上运动时，直接写出线段长的最大值和最小值的差． 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】（1）①记点关于点的对称点为，则，过点分别作轴的垂线，垂足为，可证明，继而可求，②由得，故点的轨迹为一条线段，而，则，由得，可求，则，而，令，抛物线开口向上，当，，即，当时，，时，，，即可求解； （2）固定变量，假设点P为第一象限定点，过点P作点的对称点记为M，连接， 则为的中位线，则，故点轨迹为以M为圆心，为半径的圆，连接，将绕点B逆时针旋转得到，则，点N为定点，可证明，故，则点Q的轨迹为以N为圆心，为半径的圆，连接，由得． 【小问1详解】 解：①当时，点，画图如下： ∵记点关于点的对称点为，而， ∴ 由旋转得， ∴，过点分别作轴的垂线，垂足为， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ②由得， ∴点的轨迹为一条线段， 而，则， 由得， ∴， ∴ ∴ 而， 令，抛物线开口向上， ∴当，，即， 当时，，时，， ∴， 故的取值范围为：； 【小问2详解】 解：如图，固定变量，假设点P为第一象限定点， 过点P作点的对称点记为M，连接，则点M为定点， 则为的中位线， ∴ ∴点轨迹为以M为圆心，为半径的圆， 连接，将绕点B逆时针旋转得到，则，点N为定点， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的轨迹为以N为圆心，为半径的圆， 连接，由得 ． 【点睛】本题考查了新定义，旋转的不变性，全等三角形的判定与性质，二次函数求最值，三角形的中位线定理，正确理解题意，对于多变量问题采取固定变量法，将问题进行转化思考，难点在于找到动点的轨迹． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $