专题09：鸽巢问题 培优讲义【知识精讲+典型例题+高频真题】2025-2026学年人教版数学六年级下册

专题09：鸽巢问题 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、鸽巢原理的基本概念 1.定义与起源 鸽巢原理（又称抽屉原理、狄里克雷原理）是组合数学中的重要原理，最早由德国数学家狄里克雷提出并用于解决数论问题。 基本表述：把n+1个物体放进n个鸽笼中，总有一个鸽笼至少放进了2个物体（n为大于0的自然数）。 2.核心思想 最不利原则（极端思想）：从最坏情况出发分析问题，考虑最不利的分配方式。 例如：要保证摸出两个同色球，先考虑最不利情况——每种颜色各摸一个，再摸一个就能保证有同色球。 3.历史背景 鸽巢问题研究的是"把若干物体放入若干鸽巢中，在任意放法下的必然结果"。 该原理在解决数学问题时有非常重要的作用，是小学阶段重要的组合数学原理。 二、鸽巢原理的核心公式 1.基础公式 物体个数 ÷ 鸽巢个数 = 商……余数 至少个数 = 商 + 1（当余数大于0时） 至少个数 = 商（当余数为0时） 2.进阶公式 把多于kn个物体放进n个鸽笼中，总有一个鸽笼至少放进(k+1)个物体（k、n均为大于0的自然数）。 有n个鸽笼，要保证有一个鸽笼至少放进了2个物品，至少需要n+1个物品。 有n个鸽笼，要保证有一个鸽笼至少放进了(k+1)个物品，至少需要kn+1个物品。 3.关键提示 至少数 = 商 + 1，并非"商 + 余数"；没余数时，至少数 = 商。 余数的大小不影响至少数，至少数只需用"商 + 1"。 三、鸽巢问题的解题方法 1.解题四步法 确定鸽巢数：找出问题中的分类标准（如颜色、月份、生日等） 确定物体数：找出需要分配的对象 计算：物体数 ÷ 鸽巢数 = 商……余数 得出结论：根据余数确定至少个数 2.构造鸽巢的技巧 将实际问题转化为"鸽巢问题"，明确谁是"物体"、谁是"鸽巢"。 当题目没直接给出"鸽巢"时，需根据题目已知条件和要求构造"鸽巢"。 3.最不利原则应用 从最不利的情况考虑问题，如果最不利的情况都能满足题目要求，那么其他情况必然也能满足。 例如：要保证摸出2个同色球，最不利情况是先摸出每种颜色各1个，再摸1个就能保证有同色球。 四、常见题型及解法 1.基础鸽巢问题 例：把7只鸽子放进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少放几只鸽子？ 解：7÷3=2……1，至少个数=2+1=3。 2.摸同色球问题 保证摸出2个同色球：至少摸出球数 = 颜色数 + 1 两种颜色：2+1=3个 三种颜色：3+1=4个 四种颜色：4+1=5个 保证摸出n个同色球：至少摸出球数 = 颜色数×(n-1) + 1 3.生日问题 例：某校有367名学生，至少有多少人同一天生日？ 解：367÷365=1……2，至少个数=1+1=2。 4.分配问题 例：六年级转来10名学生，要分到3个班，至少有几人分进同一个班？ 解：10÷3=3……1，至少个数=3+1=4。 5.摸不同色球问题 保证摸出n个不同色球：最不利情况是把(n-1)种颜色全部取出，再加1。 例：要保证摸出2个不同色球，至少摸出球数 = (颜色数-1) + 1 = 颜色数。 五、易错点及注意事项 1.常见错误 混淆"至少"和"可能"：误认为"每个鸽笼都可能有2个物体"。 无法正确识别"鸽巢"和"物体"：错误地将物体视为鸽巢。 计算至少数时出错：错误认为至少数 = 商 + 余数。 忽略"任意分放"的前提：误将特定放法当作普遍情况。 2.规避策略 通过枚举法直观理解"总有一个鸽巢至少有2个物体"。 明确问题中的"分类标准"作为鸽巢，再确定物体数量。 用平均分的方法直接考虑"至少"的情况。 从最不利情况出发分析问题。 六、拓展应用 1.生活中的应用 生日问题：367人中至少有2人生日相同。 衣服颜色问题：3种颜色的衣服，4个孩子中至少有2人穿同色衣服。 飞镖比赛问题：投5镖，总环数36，至少有一镖不低于8环。 2.数学思维培养 鸽巢问题培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。 通过核心问题引导学生探索问题中蕴含的数学规律。 帮助学生建立"先平均分，再调整"的数学模型思想。 3.进阶思考 鸽巢原理的逆向应用：已知鸽巢数和至少数，求物体数。 多层次鸽巢问题：结合多个分类标准解决复杂问题。 鸽巢原理与概率的联系：理解"必然性"与"可能性"的区别。 第二部分 典型例题 【例题1】在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。 【例题2】在米长的水泥阳台上放盆花，随便怎样摆放，请你说明至少有两盆花它们之间的距离小于米。 【例题3】将400本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过11本，问：至少有多少个同学分到的书的本数相同？ 【例题4】用五种颜色给正方体各面涂色（每面只涂一种色），请你说明：至少会有两个面涂色相同。 【例题5】年级一班学雷锋小组有人。教数学的张老师说：“你们这个小组至少有个人在同一月过生日。”你知道张老师为什么这样说吗？ 第三部分 高频真题 1．某学校六年级学生共有381人，至少有（    ）人同一个月出生。 A．30 B．31 C．32 D．33 2．从1~10这10个自然数中，至少要“取出”（    ）个不同的数，才能保证其中一定有1个数是偶数。 A．5 B．6 C．7 D．8 3．把18枚棋子放入如图所示的三角形内，一定有一个小三角形中至少放入（    ）枚棋子。 A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，把40个★图案放在小方格内，不管怎么放，总有一个小方格至少要放入（    ）个★。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．六（1）班有37名同学，至少有（    ）人出生的月份相同。 A．2 B．4 C．6 D．8 6．一个口袋里有四种不同颜色的小球，每次摸出2个，要保证有5次所摸的结果是一样的，至少要摸（    ）次。 A．6 B．25 C．21 D．41 7．有6种大小相同、颜色不同的小球各10个放在同一个袋子里。至少要取出（    ）个小球，才能保证取到两个颜色相同的小球。 A．3 B．5 C．6 D．7 8．一个盒子里有同样大小的红苹果和青苹果各10个，要想摸出的苹果一定有2个红苹果，至少要摸出（    ）个苹果。 A．3 B．10 C．12 D．15 9．六（1）班有12个学生都订阅了《儿童文学》、《小学科技》、《小小艺术家》三种报刊中的一种或几种，那么这12人中至少有（    ）人所订报刊种类完全相同。 A．2 B．6 C．7 D．12 10．把红、黄、蓝三种颜色的小球各12个放到一个盒子里，要保证一次摸到两个同色的小球，一次至少要摸出（    ）个小球。 A．13 B．4 C．5 D．25 11．有一副扑克牌去掉大小王后还剩52张牌，再从中任意抽取5张牌，至少有( )张牌是同一花色。 12．随意找13位同学，他们中至少有( )人的生肖相同。这是经典的“鸽巢问题”，题中( )是“鸽”，( )是“巢”。 13．六（2）班“庆六一”联欢会，小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有( )张牌是相同的花色。 14．盒子中有同样大小的红球、黄球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2种不同颜色的，至少要摸出( )个球。 15．实验小学“科学探索日”设置了4个实验站：光学迷宫、电路挑战、化学彩虹和声波探秘。每位同学参与实验时会随机分配到一个站点。六年级有30名同学参与试验，总有一个实验站至少有( )名同学。 16．用一副扑克牌（去掉大小王）玩数学游戏，至少要摸出( )张牌才能保证有2张相同花色的牌；如果在3张红桃、4张梅花、5张黑桃中摸牌，至少要摸出( )张牌才能保证有3张不同花色的牌。 17．在2024年出生的1000个孩子中，至少有( )人在同一个月过生日，至少有( )人在同一天过生日。 18．东东把形状相同的红、黄、蓝、白四种颜色的球各5个放到一个袋子里，至少取( )个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 19．实验小学学生的属相有如图几种。那么至多选出( )名学生，就一定能找到属相相同的两名学生。 20．给一个正方体木块的6个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色，不论如何涂至少有( )个面的颜色相同。 21．把13个球放到4个盒子里面，总有一个盒子至少有4个球。( ) 22．一所学校有400人，那么至少有3人同一天出生。( ) 23．有六种颜色的袜子（除颜色外其余相同），各20只混装在箱内，闭上眼睛从箱内至少取出10只才能保证有3双成对的袜子。( ) 24．把一些选票投进4个投票箱里（任何一个投票箱不能空），要保证总有一个投票箱至少有6张选票，那么这些选票至少有21张。( ) 25．把一些书放进5个抽屉中（任何一个抽屉不能空着），要保证总有一个抽屉至少有3本，那么这些书至少需要有11本。( ) 26．18名留守儿童来自全国的4个省份，至少有5名来自同一个省份，为什么？ 27．文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组共有51人，它们当中有参加1个、2个、3个和4个课外学习小组的，其中至少有几位同学参加的学习小组相同？ 28．有外形相同的红、黄、绿三色球各10个。混合放入同一布袋中。一次至少摸几个球，才能保证有两种颜的同色球各一对？ 29．夏令营有500个学生参加，请问在这些学生中，至少有多少人在同一天过生日？至少有多少人在同一个月过生日？ 30．叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？ 31．在一个直径为2m的圆形花坛周围放上7盆花，那么至少有2盆花之间的距离不超过1米，为什么？（提示：可以通过计算后画图说明） 32．数学竞赛，填空题8道，答对1道，得4分，未答对。得0分；问答题6道。答对1道。得7分，未答对，得0分。参赛人数400人。至少有多少人的总分相同？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09：鸽巢问题 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、鸽巢原理的基本概念 1.定义与起源 鸽巢原理（又称抽屉原理、狄里克雷原理）是组合数学中的重要原理，最早由德国数学家狄里克雷提出并用于解决数论问题。 基本表述：把n+1个物体放进n个鸽笼中，总有一个鸽笼至少放进了2个物体（n为大于0的自然数）。 2.核心思想 最不利原则（极端思想）：从最坏情况出发分析问题，考虑最不利的分配方式。 例如：要保证摸出两个同色球，先考虑最不利情况——每种颜色各摸一个，再摸一个就能保证有同色球。 3.历史背景 鸽巢问题研究的是"把若干物体放入若干鸽巢中，在任意放法下的必然结果"。 该原理在解决数学问题时有非常重要的作用，是小学阶段重要的组合数学原理。 二、鸽巢原理的核心公式 1.基础公式 物体个数 ÷ 鸽巢个数 = 商……余数 至少个数 = 商 + 1（当余数大于0时） 至少个数 = 商（当余数为0时） 2.进阶公式 把多于kn个物体放进n个鸽笼中，总有一个鸽笼至少放进(k+1)个物体（k、n均为大于0的自然数）。 有n个鸽笼，要保证有一个鸽笼至少放进了2个物品，至少需要n+1个物品。 有n个鸽笼，要保证有一个鸽笼至少放进了(k+1)个物品，至少需要kn+1个物品。 3.关键提示 至少数 = 商 + 1，并非"商 + 余数"；没余数时，至少数 = 商。 余数的大小不影响至少数，至少数只需用"商 + 1"。 三、鸽巢问题的解题方法 1.解题四步法 确定鸽巢数：找出问题中的分类标准（如颜色、月份、生日等） 确定物体数：找出需要分配的对象 计算：物体数 ÷ 鸽巢数 = 商……余数 得出结论：根据余数确定至少个数 2.构造鸽巢的技巧 将实际问题转化为"鸽巢问题"，明确谁是"物体"、谁是"鸽巢"。 当题目没直接给出"鸽巢"时，需根据题目已知条件和要求构造"鸽巢"。 3.最不利原则应用 从最不利的情况考虑问题，如果最不利的情况都能满足题目要求，那么其他情况必然也能满足。 例如：要保证摸出2个同色球，最不利情况是先摸出每种颜色各1个，再摸1个就能保证有同色球。 四、常见题型及解法 1.基础鸽巢问题 例：把7只鸽子放进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少放几只鸽子？ 解：7÷3=2……1，至少个数=2+1=3。 2.摸同色球问题 保证摸出2个同色球：至少摸出球数 = 颜色数 + 1 两种颜色：2+1=3个 三种颜色：3+1=4个 四种颜色：4+1=5个 保证摸出n个同色球：至少摸出球数 = 颜色数×(n-1) + 1 3.生日问题 例：某校有367名学生，至少有多少人同一天生日？ 解：367÷365=1……2，至少个数=1+1=2。 4.分配问题 例：六年级转来10名学生，要分到3个班，至少有几人分进同一个班？ 解：10÷3=3……1，至少个数=3+1=4。 5.摸不同色球问题 保证摸出n个不同色球：最不利情况是把(n-1)种颜色全部取出，再加1。 例：要保证摸出2个不同色球，至少摸出球数 = (颜色数-1) + 1 = 颜色数。 五、易错点及注意事项 1.常见错误 混淆"至少"和"可能"：误认为"每个鸽笼都可能有2个物体"。 无法正确识别"鸽巢"和"物体"：错误地将物体视为鸽巢。 计算至少数时出错：错误认为至少数 = 商 + 余数。 忽略"任意分放"的前提：误将特定放法当作普遍情况。 2.规避策略 通过枚举法直观理解"总有一个鸽巢至少有2个物体"。 明确问题中的"分类标准"作为鸽巢，再确定物体数量。 用平均分的方法直接考虑"至少"的情况。 从最不利情况出发分析问题。 六、拓展应用 1.生活中的应用 生日问题：367人中至少有2人生日相同。 衣服颜色问题：3种颜色的衣服，4个孩子中至少有2人穿同色衣服。 飞镖比赛问题：投5镖，总环数36，至少有一镖不低于8环。 2.数学思维培养 鸽巢问题培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。 通过核心问题引导学生探索问题中蕴含的数学规律。 帮助学生建立"先平均分，再调整"的数学模型思想。 3.进阶思考 鸽巢原理的逆向应用：已知鸽巢数和至少数，求物体数。 多层次鸽巢问题：结合多个分类标准解决复杂问题。 鸽巢原理与概率的联系：理解"必然性"与"可能性"的区别。 第二部分 典型例题 【例题1】在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。 【答案】见详解 【分析】把矩形等分成两部分，相当于两个抽屉，每部分的面积是矩形的，把5个点分给2个抽屉，至少有3个点在同一个抽屉里。 【详解】证明； 如图所示： 5个点分给2个抽屉，至少有3个点在同一个抽屉里； 处在同一个抽屉中的3个点所构成的三角形的面积小于矩形面积的一半的一半，即面积小于矩形面积的四分之一。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，求解问题的关键是如何准确构造出抽屉。 【例题2】在米长的水泥阳台上放盆花，随便怎样摆放，请你说明至少有两盆花它们之间的距离小于米。 【答案】证明过程详见解析 【分析】20米长，如果每个2米放1盆，两端都放，一共11盆，可以先每个2米放1盆，这样第12盆无论放在什么位置，一定有两盆花它们之间的距离小于2米。 【详解】20米长的水泥，等分成10段，首尾都放，一共可以放11盆； 还剩下1盆，不论怎么放，一定可以保证有两盆花它们之间的距离小于2米。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，可以从最不利的角度来思考问题。 【例题3】将400本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过11本，问：至少有多少个同学分到的书的本数相同？ 【答案】7人 【分析】每人不许超过11本，最“坏”的情况是每人得到的本数尽量不相同，分别是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11这11种各不相同的本数，每种情况各取1人，总共用去66本，66在这里作为抽屉数，400除以66，商6余4，有余数，那么6加上1，得到至少有7个同学分到的书的本数相同。 【详解】每人得到的本数可能是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11这11种情况； （本） （人） 答：至少有7个同学分到的书的本数相同。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，需要注意的是这里抽屉数并不是11。 【例题4】用五种颜色给正方体各面涂色（每面只涂一种色），请你说明：至少会有两个面涂色相同。 【答案】见详解 【分析】正方体有六个面，用五种颜色给正方体各面涂色，相当于苹果数是6，而抽屉数是5，6除以5，余数是1，说明至少有两个面的颜色是相同的。 【详解】证明： 把5种颜色看成是5个抽屉，6个面看成是苹果数； 根据抽屉原理： 有余数，余数加1； （个） 至少有两个面的涂色相同。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，求解问题的关键是准确找出题中的抽屉数和苹果数分别是多少。 【例题5】年级一班学雷锋小组有人。教数学的张老师说：“你们这个小组至少有个人在同一月过生日。”你知道张老师为什么这样说吗？ 【答案】详解见解析 【分析】把13个人看成是苹果数，把12个月看成是抽屉，根据抽屉原理求解。 【详解】 （人） 所以至少有2个人在同一月过生日。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，这里的抽屉数是12个月份，属于隐藏抽屉的情况。 第三部分 高频真题 1．某学校六年级学生共有381人，至少有（    ）人同一个月出生。 A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C 【分析】一年12个月，根据抽屉原理：至少数＝物品数÷抽屉数的商＋1，由此进行计算即可。 【详解】381÷12＝31……9 即平均每个月31人出生，还剩9人，这9人无论放在哪个月，都会让那个月人数至少增加1。 31＋1＝32（人） 2．从1~10这10个自然数中，至少要“取出”（    ）个不同的数，才能保证其中一定有1个数是偶数。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】1~10的自然数中，奇数为1、3、5、7、9，共5个。要保证取出的数中一定有偶数，需考虑最坏情况： 先取出所有的奇数（5个）。此时再取1个数，必定是偶数。因此至少需取的数的个数为奇数的个数加1。据此解答。 【详解】（个） 从1~10这10个自然数中，至少要“取出”6个不同的数，才能保证其中一定有1个数是偶数。 故答案为：B 3．把18枚棋子放入如图所示的三角形内，一定有一个小三角形中至少放入（    ）枚棋子。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体；（2）当n能被m整除时，k＝个物体。 【详解】18÷4＝4（枚）……2（枚） 4＋1＝5（枚） 一定有一个小三角形中至少放入5枚棋子。 故答案为：C 4．如图，把40个★图案放在小方格内，不管怎么放，总有一个小方格至少要放入（    ）个★。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】从图中可知，共有4×4＝16个小方格；将40个★图案平均放到16个小方格内，每个小方格里放2个，还剩下8个，这8个★图案，无论放在哪个小方格里，总有一个小方格至少有3个★图案。 【详解】4×4＝16（个） 40÷16＝2（个）……8（个） 2＋1＝3（个） 总有一个小方格至少要放入3个★。 故答案为：C 5．六（1）班有37名同学，至少有（    ）人出生的月份相同。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】把一年12个月看作12个抽屉，把37人看作37个元素，那么每个抽屉需要放（个）元素，还剩余1个，因此，至少有4名同学同一个月出生，据此解答。 【详解】（个）……1（个） （个） 至少有4人出生的月份相同。 故答案为：B 6．一个口袋里有四种不同颜色的小球，每次摸出2个，要保证有5次所摸的结果是一样的，至少要摸（    ）次。 A．6 B．25 C．21 D．41 【答案】D 【分析】当摸出的2个球颜色相同时，可以有4种不同的结果；当摸出的2个球颜色不同时，最多可以有3＋2＋1＝6（种）不同结果。一共有10种不同结果；将这10种不同结果看作10个抽屉，因为要求5次摸出结果相同，故至少要摸10×4＋1＝41（次）。 【详解】10×4＋1 ＝40＋1 ＝41（次） 则要保证有5次所摸的结果是一样的，至少要摸41次。 故答案为：D 【点睛】此题属于抽屉问题，解答此类题时应结合题意，可分情况认真进行分析、推理，进而得出问题答案。 7．有6种大小相同、颜色不同的小球各10个放在同一个袋子里。至少要取出（    ）个小球，才能保证取到两个颜色相同的小球。 A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据最不利原理，先取6个小球，每种颜色各1个，则再取1个小球一定能保证取到两个颜色相同的小球。 【详解】6＋1＝7（个） 则至少要取出7个小球，才能保证取到两个颜色相同的小球。 故答案为：D 【点睛】本题考查鸽巢问题，明确最不利原理是解题的关键。 8．一个盒子里有同样大小的红苹果和青苹果各10个，要想摸出的苹果一定有2个红苹果，至少要摸出（    ）个苹果。 A．3 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【分析】由于盒子里有同样大小的红苹果和青苹果各10个，如果一次取10个，最差情况为这10个苹果全是青苹果，所以只要再多取2个苹果，就能保证取到2个红苹果。据此解答。 【详解】10＋2＝12（个） 即至少要摸出12个苹果。 故答案为：C 【点睛】解决抽屉原理问题的关键是根据最差原理对问题进行分析。 9．六（1）班有12个学生都订阅了《儿童文学》、《小学科技》、《小小艺术家》三种报刊中的一种或几种，那么这12人中至少有（    ）人所订报刊种类完全相同。 A．2 B．6 C．7 D．12 【答案】A 【分析】先求出每人订阅一种、两种、三种报刊一共有几种订阅方法，把学生的总人数看作被分放物体的数量，订阅方法看作抽屉的数量，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 【详解】每人订阅一种：《儿童文学》或《小学科技》或《小小艺术家》； 每人订阅两种：《儿童文学》和《小学科技》、《小学科技》和《小小艺术家》、《儿童文学》和《小小艺术家》； 每人订阅三种：《儿童文学》和《小学科技》和《小小艺术家》。 3＋3＋1＝7（种） 12÷7＝1……5 1＋1＝2（人） 所以，这12人中至少有2人所订报刊种类完全相同。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查抽屉问题，准确求出抽屉数是解答题目的关键。 10．把红、黄、蓝三种颜色的小球各12个放到一个盒子里，要保证一次摸到两个同色的小球，一次至少要摸出（    ）个小球。 A．13 B．4 C．5 D．25 【答案】B 【分析】由于袋子里共有红、黄、蓝三种颜色的球各12个，如果一次取3个，最差情况为红、黄、蓝三种颜色各一个，所以只要再多取一个球，就能保证取到两个颜色相同的球。据此解答。 【详解】3＋1＝4（个） 故答案为：B 【点睛】解决抽屉原理问题的关键是根据最差原理对问题进行分析。 11．有一副扑克牌去掉大小王后还剩52张牌，再从中任意抽取5张牌，至少有( )张牌是同一花色。 【答案】2 【分析】已知一副扑克牌去掉大小王后还剩52张牌，共有四种花色，每一色有13张。从中任意抽取5张牌，先将这5张牌平均分给4种花色，平均每种花色有1张，还剩下1张牌，无论是哪种花色，至少有2张牌是同一花色。 【详解】5÷4＝1（张）……1（张） 1＋1＝2（张） 至少有2张牌是同一花色。 12．随意找13位同学，他们中至少有( )人的生肖相同。这是经典的“鸽巢问题”，题中( )是“鸽”，( )是“巢”。 【答案】 2 13位同学 12种生肖 【分析】生肖一共有12种，相当于12个“巢”；13位同学相当于13只“鸽”，把13只“鸽”放进12个“巢”里，总有一个“巢”里至少有2只“鸽”，即至少有2人的生肖相同。 【详解】生肖一共有12种，共有13位同学。 13÷12＝1（人）……1（人） 1＋1＝2（人） 他们中至少有2人的生肖相同。这是经典的“鸽巢问题”，题中13位同学是“鸽”，12种生肖是“巢”。 13．六（2）班“庆六一”联欢会，小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有( )张牌是相同的花色。 【答案】3 【分析】此题考查抽屉原理，去掉大小王，就剩下52张牌，共4种花色，就是4个抽屉，9人每人随意抽1张，就是把9张牌放在4个抽屉里，只要使每个抽屉的元素尽量平均，用除法即可解答。 【详解】9÷4＝2（张）……1（张） 余下的一张总要放进其中1个抽屉里，所以： 2＋1＝3（张） 由此可知，六（2）班“庆六一”联欢会，小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。 14．盒子中有同样大小的红球、黄球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2种不同颜色的，至少要摸出( )个球。 【答案】5 【分析】本题主要考查鸽巢原理，考虑最不利的情况，先摸出4个颜色相同的球，此时再任意摸出1个球，一定有2种不同颜色的球，据此解答。 【详解】4＋1＝5（个） 所以，至少要摸出5个球。 15．实验小学“科学探索日”设置了4个实验站：光学迷宫、电路挑战、化学彩虹和声波探秘。每位同学参与实验时会随机分配到一个站点。六年级有30名同学参与试验，总有一个实验站至少有( )名同学。 【答案】8 【分析】抽屉原理是指：假如有（n＋1）个元素放到几个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。在本题中，把4个实验站看作4个抽屉，30名同学看作30个元素。30÷4＝7（名）……2（名），剩下的2名同学无论分配到哪个实验站，那么至少有一个实验站的同学数量为7＋1＝8（名）。 【详解】30÷4＝7（名）……2（名） 7＋1＝8（名） 所以总有一个实验站至少有8名同学。 16．用一副扑克牌（去掉大小王）玩数学游戏，至少要摸出( )张牌才能保证有2张相同花色的牌；如果在3张红桃、4张梅花、5张黑桃中摸牌，至少要摸出( )张牌才能保证有3张不同花色的牌。 【答案】 5 10 【分析】利用最不利原则，扑克牌有4种花色，最坏情况是摸到4张不同花色各1张，再摸1张，即可保证有2张相同花色的牌。 在3张红桃、4张梅花、5张黑桃中，要保证有3张不同花色，需要考虑最不利情况（摸到两种花色的所有牌），此时摸黑桃5张和梅花4张共9张，再摸1张，必为红桃，据此解答。 【详解】4＋1＝5（张） 5＋4＋1 ＝9＋1 ＝10（张） 用一副扑克牌（去掉大小王）玩数学游戏，至少要摸出5张牌才能保证有2张相同花色的牌；如果在3张红桃、4张梅花、5张黑桃中摸牌，至少要摸出10张牌才能保证有3张不同花色的牌。 17．在2024年出生的1000个孩子中，至少有( )人在同一个月过生日，至少有( )人在同一天过生日。 【答案】 84 3 【分析】因为一年有12个月，1000÷12＝83（组）……4（人），最坏的情况是，每月都83名学生过生日的话，还余4名学生，根据抽屉原理，总有至少（83＋1）名学生在同一月过生日；2024年是4的倍数，所以2024年是闰年，有366天，1000÷366＝2（组）……268（人），最坏的情况是，每天都有两名学生过生日的话，还余268名学生，根据抽屉原理，总有至少（2＋1）名学生在同一天过生日。 【详解】1000÷12＝83（组）……4（人） 83＋1＝84（名） 1000÷366＝2（组）……268（人） 2＋1＝3（人） 至少有84人在同一个月过生日，至少有3人在同一天过生日。 18．东东把形状相同的红、黄、蓝、白四种颜色的球各5个放到一个袋子里，至少取( )个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 【答案】5 【分析】根据题意，袋子里有红、黄、蓝、白四种颜色的球各5个，运气最差的情况为先取出的4个球分别是红、黄、蓝、白球各一个，此时再从袋子中任取一个球，一定会出现两个颜色相同的球。 【详解】4＋1＝5（个） 至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 19．实验小学学生的属相有如图几种。那么至多选出( )名学生，就一定能找到属相相同的两名学生。 【答案】11 【分析】所有学生的属相一共有10种，把这10种属相看作10个抽屉。从最不利情况考虑，每个抽屉需要放1名不同属相的学生，共需要选出1×10＝10（名）学生，再增加1名不论什么属相，总有一个抽屉的学生和他属相相同，即一定能找到属相相同的两名学生，所以至多要选出10＋1＝11（名）。 【详解】通过分析可得： 10＋1＝11（名） 则至多选出11名学生，就一定能找到属相相同的两名学生。 20．给一个正方体木块的6个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色，不论如何涂至少有( )个面的颜色相同。 【答案】2/两 【分析】把正方体木块的6个面看作被分放物体，红、黄、蓝三种颜色看作3个抽屉，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，若能整除，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量，若不能整除，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 【详解】6÷3＝2（个） 所以，给一个正方体木块的6个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色，不论如何涂至少有2个面的颜色相同。 21．把13个球放到4个盒子里面，总有一个盒子至少有4个球。( ) 【答案】√ 【分析】把13个球放到4个盒子里，尽量平均分，每个盒子放3个，多出的1个球总要放进其中一个盒子，所以总有一个盒子至少有4个球。 【详解】13÷4＝3（个）1（个） 3＋1＝4（个） 故答案为：√ 22．一所学校有400人，那么至少有3人同一天出生。( ) 【答案】× 【分析】“同一天出生”指同一年中的同一天，一年最多有365天（不考虑闰年）。 学校有400人，根据鸽巢原理，，因此至少有一个生日有至少2人，但无法保证有至少3人。据此解答。 【详解】一所学校有400人，那么至少有2人同一天出生。原题错误； 故答案为：× 【点睛】此题考查了利用鸽巢原理解决实际问题的方法的灵活应用。 23．有六种颜色的袜子（除颜色外其余相同），各20只混装在箱内，闭上眼睛从箱内至少取出10只才能保证有3双成对的袜子。( ) 【答案】× 【分析】要保证有3双成对的袜子，需考虑最坏情况下的取法，即取出的袜子中形成的成双对数尽可能少。当取出10只袜子时，可能为两种颜色各取3只（各成1双）和四种颜色各取1只（不成双），此时仅有2双成对的袜子，不足3双。因此，取出10只不能保证有3双成对的袜子。 【详解】要保证有3双成对的袜子，需确保在最坏情况下也能满足条件。最坏情况是使取出的袜子中每种颜色的袜子数尽可能少地形成成双。 当取出10只袜子时，可安排为：两种颜色各取3只（各形成1双），其余四种颜色各取1只（不成双）。此时，成双的袜子仅有2双，不满足3双的条件。 当取出11只袜子时，假设成双的袜子少于3双（即最多2双）。形成一双袜子需一种颜色至少2只袜子，且：若一种颜色有4只或更多袜子，则至少成2双； 若一种颜色有2只或3只袜子，则成1双。要总成双对数不超过2，则： 情况1：一种颜色有4只袜子（成2双），则其余五种颜色最多各有1只袜子（不成双），总袜子数最多为4 ＋ 5 × 1 ＝ 9只，小于11，不可能。 情况2：一种颜色有5只袜子（成2双），则总袜子数最多为5 ＋ 5 × 1 ＝ 10只，小于11，不可能。 情况3：两种颜色各有2只或3只袜子（各成1双，总2双），则其余四种颜色最多各有1只袜子，总袜子数最多为3 ＋ 3 ＋ 4 × 1 ＝ 10只，小于11，不可能。   因此，当取出11只袜子时，成双的袜子至少为3双（例如三种颜色各取3只，各成1双，共3双）。 综上，至少需取出11只袜子才能保证有3双成对的袜子。题目中“至少取出10只才能保证”的说法错误。 故答案为：× 24．把一些选票投进4个投票箱里（任何一个投票箱不能空），要保证总有一个投票箱至少有6张选票，那么这些选票至少有21张。( ) 【答案】√ 【分析】考虑最不利情况：每个投票箱先平均放入5张选票，此时再投入1张选票，无论放入哪个箱子，该箱子至少有6张选票，据此得出总选票的至少数量。 【详解】4×5＋1 ＝20＋1 ＝21（张） 那么这些选票至少有21张。 原题说法正确。 故答案为：√ 25．把一些书放进5个抽屉中（任何一个抽屉不能空着），要保证总有一个抽屉至少有3本，那么这些书至少需要有11本。( ) 【答案】√ 【分析】抽屉原理（鸽巢原理）：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。由抽屉原理可知：要使其中一个抽屉至少有3本，则这些书的本数至少要比抽屉数的（3－1）倍多1本，即抽屉数×（其中一个抽屉至少有的本数－1）＋1＝这些书至少的本数。 【详解】5×（3－1）＋1 ＝5×2＋1 ＝10＋1 ＝11（本） 所以这些书至少需要11本。原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。 26．18名留守儿童来自全国的4个省份，至少有5名来自同一个省份，为什么？ 【答案】见详解 【分析】把4个省份看作4个抽屉，从而利用抽屉原理解释为什么至少有5名来自同一个省份。 【详解】18÷4＝4（名）……2（名） 4＋1＝5（名） 答：所以，至少有5名来自同一个省份。 【点睛】本题考查了抽屉原理：把m个元素任意放入n（n≤m）个集合，则一定有一个集合至少有k个元素，其中k＝m÷n（当n能整除m时）或k＝m÷n＋1（当n不能整除m时，取m÷n的商）。 27．文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组共有51人，它们当中有参加1个、2个、3个和4个课外学习小组的，其中至少有几位同学参加的学习小组相同？ 【答案】4位 【分析】文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组参加1个课外学习小组的情况数为①文学、②数学、③英语、④美术的4种；参加2个课外学习小组的情况数为①文学、数学、②文学、英语、③文学、美术、④数学、文学、⑤数学、英语、⑥数学、美术的6种；参加3个课外学习小组的情况数为①文学、数学、英语、②文学、数学、美术、③文学、英语、美术、④数学、英语、美术的4种，参加4个课外学习小组的情况数为1种，情况数一共有15种，也就是抽屉数为15，再用物体数除以15，求出商，用商＋1就是至少数。 【详解】情况数一共：（种） （位） 答：至少有4位同学参加的学习小组相同。 【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握解决鸽巢问题的计算方法。 28．有外形相同的红、黄、绿三色球各10个。混合放入同一布袋中。一次至少摸几个球，才能保证有两种颜的同色球各一对？ 【答案】13个 【分析】由题意可知，袋中有红、黄、绿3种颜色的球，要保证有两个球是同色球，最差情况是一次摸出的3个球中，红、黄、绿3种颜色各一个，此时只要再任意摸出一个即摸出4个球，就能保证有两个球是同色球。 最坏的打算是摸出10个，都是同一种颜色的，那再摸2个，又是2种颜色，那再摸一个，就能保证有两种颜色的同色球各一对，进而计算得出结论。 【详解】（个） 答：一次至少摸13个球，才能保证有两种颜色的球各一对。 【点睛】根据抽屉原理中的最差情况进行分析是完成本题的关键 29．夏令营有500个学生参加，请问在这些学生中，至少有多少人在同一天过生日？至少有多少人在同一个月过生日？ 【答案】至少2人同一天过生日；至少42人同一月过生日。 【分析】（1）一年最多有366天，假如每天都有1人过生日，那么余下的人数无论在哪一天过生日都能保证至少有2人在同一天过生日； （2）一年有12个月，假如每个月都有41人过生日，那么余下的人数无论在哪一月过生日，都能保证至少有42人同一个月过生日。 【详解】500÷366＝1……134 1＋1＝2（人） 500÷12＝41……8 41＋1＝42（人） 答：至少2人同一天过生日；至少42人同一月过生日。 【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握抽屉原理解决问题。 30．叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？ 【答案】因为叔叔投了5镖，成绩是41环，从最不利情况考虑，叔叔前4镖都投8环，第5镖至少要投9环才能保证环数是41环，即张叔叔至少有一镖不低于9环。 【分析】不低于就是大于等于，因为41÷5＝8……1，就是说至少有一镖大于等于9环。如果都小于九环，成绩就会小于等于40环，据此即可解答。 【详解】41÷5＝8……1 8＋1＝9（环） 答：因为叔叔投了5镖，成绩是41环，从最不利情况考虑，叔叔前4镖都投8环，第5镖至少要投9环才能保证环数是41环，即张叔叔至少有一镖不低于9环。 【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握抽屉原理。 31．在一个直径为2m的圆形花坛周围放上7盆花，那么至少有2盆花之间的距离不超过1米，为什么？（提示：可以通过计算后画图说明） 【答案】答案见详解 【分析】根据题干分析可得，7盆花一共有7个间隔，根据抽屉原理，从最差情况考虑：使每个间隔的长度尽量的平均，则每个间隔的长度最少是6.28÷6≈0.9米，由此即可解答。 【详解】2×3.14＝6.28（米） 每个间隔平均是6.28÷7≈0.9（米）； 即至少有2盆花的距离不超过1米。 【点睛】此题原型属于抽屉原理，关键是根据7盆花求出间隔数是7，即得出7个抽屉，再利用抽屉原理即可解答。 32．数学竞赛，填空题8道，答对1道，得4分，未答对。得0分；问答题6道。答对1道。得7分，未答对，得0分。参赛人数400人。至少有多少人的总分相同？ 【答案】8人 【分析】假设填空题对的是x道，问答题对的是y道，总分应为4x＋7y，0≤x≤8，0≤y≤6，且x，y为整数，y＝0，1，2，3，总分分别有9种不同情况，y＝4，5，6，总分有7种情况（要与之前不同，即x≠0，1），即共有4×9＋3×7＝57种情况，所以一共有57种分值，即57个抽屉，据此解答即可。 【详解】400÷57＝7（人）……1（人） 7＋1＝8（人） 答：至少有8人的总分相同。 【点睛】此题考查了抽屉原理的基本解决方法，关键是找到抽屉的数量。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $