专题01幂的运算(10大题型+题型突破+期中复习讲义)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题01幂的运算期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.核心公式：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方（记准形式，不混淆） 2.关键考点：零指数幂（底数≠0）、负整数指数幂（符号别错） 3.必记技巧：科学记数法（分两种情况，指数定准） 1.会运算：单一/混合运算（先乘方再乘除，符号、系数算对） 2.会逆用：公式逆用（分解高次幂、简化计算） 3.会转化：不同底数幂转化为同底数幂（方便计算、比较大小） 1.基础题：不丢分（公式直接套用，快速准确） 2.中档题：避易错（不混淆公式、不忽略底数限制） 3.拓展题：会拆解（结合逆用、转化技巧，高效解题） 题型01.幂的基础运算题 题型02.幂的运算法则辨析题 题型03.幂的法则逆用求值题 题型04.零负指数幂运算题 题型05.幂的混合运算题 题型06.科学记数法综合运算题 题型07.幂的大小比较 题型08.幂的运算参数求解题 题型09.幂的新定义运算 题型10.幂的运算规律探究 解答题5题 知识点01.四大基本运算法则（m、n 为正整数） 1. 同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 · 公式：aman=am+n · 推广：amanap=am+n+p · 逆用：am+n=aman（常用于化简） 2. 幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘 公式：(am)n=amn 推广：[(am)n]p=amnp 逆用：amn=(am)n=(an)m（常用于指数统一、比较大小） 3. 积的乘方 法则：积的乘方，把每个因式分别乘方，再把所得幂相乘 公式：(ab)n=anbn 推广：(abc)n=anbncn 逆用：anbn=(ab)n（常用于简便计算，如25×0.55=(2×0.5)5=1） 4. 同底数幂的除法 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减 公式：am÷an=am−n（a0，m>n） 知识点02.两个特殊幂（关键前提：a0） 1. 零指数幂 定义：任何不等于 0 的数的 0 次幂等于 1 公式：a0=1（a0） 注意：00无意义 2. 负整数指数幂 定义：非零数的负整数次幂 = 正整数次幂的倒数 公式：a−p=（a0，p为正整数） 知识点03.科学记数法 1. 表示绝对值大于 10的数 形式：a×10n（1≤a<10，n为正整数） 规则：n=原数整数位数减 1 2. 表示绝对值小于 1的正数 形式：a×10−n（1≤a<10，n为正整数） 规则：n=原数左起第一个非零数字前所有 0 的个数（含小数点前的 0） 知识点04.核心易错点（避坑指南） 1.法则混淆 同底数幂乘法：指数加；幂的乘方：指数乘 2.符号问题 (−a)n：n偶为正，n奇为负 −an：永远为负（与n奇偶无关） 3.忽略前提 除法、零指数、负指数：底数不能为 0 4.系数漏算 积的乘方：系数也要乘方 知识点05.运算顺序与逆用技巧 1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 2.逆用技巧 乘法逆用：am+n=aman 乘方逆用：amn=(am)n（统一指数） 积的乘方逆用：anbn=(ab)n（简便计算） 题型01.幂的基础运算题 【典例】若，则的值为___________． 【答案】8 【分析】利用同底数幂的乘法法则、乘方的意义进行求解． 【详解】解：因为，所以； 因为，所以； ∴． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方法则逐一判断选项，选出正确结果． 【详解】选项A，∵与不是同类项，不能合并，∴A错误，不符合题意； 选项B，∵根据同底数幂乘法法则，，∴B错误，不符合题意； 选项C，∵根据积的乘方法则，，∴C正确，符合题意； 选项D，∵根据合并同类项法则，，∴D错误，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】已知为正整数，且，求的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，先根据幂的乘方计算法则求出，，再由积的乘方计算法则和幂的乘方计算法则得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列计算正确的有（   ） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案. 【详解】解：①，故①错误， ②，故②正确， ③，故③正确， 综上所述，②③正确，有个， 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，掌握底数不变指数相减是解题关键. 【跟踪专练4】设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案． 【详解】解：由题意知，是100的倍数 ∵与100互质 ∴是100的倍数 ∴的末尾数字是01 ∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数， 设：（t为正整数） 则： ∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01 ∴t的最小值为5， ∴的最小值为10 故答案为：B 【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键． 【跟踪专练5】已知，，则__________． 【答案】1 【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键． 【跟踪专练6】运用同底数幂的乘法可以得到（若与算同一个算式），按照要求，只运用同底数幂的乘法计算，运算结果可以得到的不同算式共有____个． 【答案】10 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则．根据同底数幂的乘法法则，写出所有只运用同底数幂的乘法计算，运算结果是的不同算式即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 运算结果可以得到的不同算式共有10个， 故答案为：10. 题型02.幂的运算法则辨析题 【典例】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂乘除法、幂的乘方、积的乘方法则，逐一判断选项即可. 【详解】解：对选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故A错误； 对选项B：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，故B正确， 对选项C：∵积的乘方，需将积中每个因式分别乘方，再将结果相乘， ∴，故C错误， 对选项D：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，故D错误. 【跟踪专练1】计算的过程如下：①②步骤①，②分别表示的运算是（   ） A．幂的乘方，同底数幂相乘 B．积的乘方，同底数幂相乘 C．幂的乘方，乘法结合律 D．积的乘方，合并同类项 【答案】B 【分析】根据积的乘方和同底数幂相乘的法则，分别判断两个步骤对应的运算类型即可． 【详解】解：∵，步骤①将化简为，是将积的每个因式分别乘方再相乘，符合积的乘方的运算法则， ∴步骤①是积的乘方运算； ∵计算时，用到底数不变，指数相加的计算规则，符合同底数幂相乘的运算法则， ∴步骤②是同底数幂相乘运算． 【跟踪专练2】先阅读小明的解题过程，然后回答问题： 计算：． 解：原式 老师说小明的解法有错误，那么上述解题过程是从第_______步开始出现错误，错误原因是_______． 【答案】 合并同类项错误，同底数幂乘法计算错误 【分析】本题考查了幂的混合运算，包括同底数幂的乘法与幂的乘方，合并同类项等，掌握这些幂的运算法则是关键；根据幂的各种运算法则逐步判断各步骤即可． 【详解】解：有错误，从第②步开始出现错误，错误的原因是：第一，混淆了合并同类项与同底数幂相乘运算法则，属于合并同类项，而不是同底数幂的乘法；第二，同底数幂相乘时，漏加了指数为1的项的指数； 故答案为：②；合并同类项错误，同底数幂乘法计算错误． 【跟踪专练3】若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法法则是解答此题的关键．应用同底数的乘除法，进行熟练变换，即可求出正确答案． 【详解】解：， ，即，故①正确； ， ，故②正确； ，， ，故③正确； ，， ．故④错误． 故答案为：①②③． 题型03.幂的法则逆用求值题 【典例】如果，，则___． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算法则，对所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则得， ∵，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，，则的值为（　　） A．45 B．30 C．14 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用． 先逆用同底数幂的乘法将化为，再逆用幂的乘方将化为，进而根据，求解即可． 【详解】解：． 故选：A． 【跟踪专练2】巧算：______． 【答案】/ 【详解】解： ． 【跟踪专练3】若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆用．利用指数运算法则，将所求表达式分解为已知条件的组合，然后代入数值计算． 【详解】解：由已知，根据幂的乘方法则，得． 由，且，得， 再根据幂的乘方法则，得． 因此，． 故答案为：． 【跟踪专练4】已知，，，现给出，，之间的五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中正确的关系式是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法和除法法则、幂的乘方法则是解题的关键．根据幂的运算验证每个关系式，利用同底数幂的乘法、除法、幂的乘方的运算法则及逆运算法则计算指数表达式是否相等即可． 【详解】解：∵， ∴，即，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④错误； ∵，， ∴，故⑤正确； ∴正确的关系式为①②③⑤． 故选：C． 【跟踪专练5】已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方；由和、的定义推出，再结合，将用表示，得到，从而求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【跟踪专练6】若am=20，bn=20，ab=20，则=______． 【答案】1 【分析】先根据可得，再结合可得，由此结合可得，由此可得，进而可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则及幂的乘方法则是解决本题的关键． 题型04.零负指数幂运算题 【典例】计算：_____． 【答案】 【分析】先计算负整数指数幂和零指数幂，然后利用同底数幂的除法逆运算和积的乘方逆运算化简计算即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据零指数幂和负整数指数幂的定义，逐项计算即可判断正确选项． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：C． 【跟踪专练2】，则m的值为_______． 【答案】1或0或 【分析】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据1的任何次幂都是1，的偶次幂都是1，零指数幂的运算法则分别计算即可． 【详解】解：当，即时，，； 当，即时，，； 当，，即时，； 综上，的值为1或0或， 故答案为∶ 1或0或． 【跟踪专练3】已知，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，解题关键是熟悉上述知识，并能运用求解． 先化简各式，再比较大小． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选： C． 题型05.幂的混合运算题 【典例】计算： ______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的运算法则：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减．先计算乘方，再计算同底数幂的乘除即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】计算（）2021×1.52020×（﹣1）2022的结果是（    ） A． B． C．﹣ D．﹣ 【答案】A 【分析】先根据积的乘方的逆运算进行计算，再求出答案即可． 【详解】解： = = = = 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方等，熟练掌握相关公式的逆运算是解题的关键． 【跟踪专练2】计算： ______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算是解题的关键．根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为: ． 【跟踪专练3】，，，则的值为．（　　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】根据幂的运算的逆运算，把所求变成同底数幂相乘和除法即可． 【详解】解：， = =1.5 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练运用幂的运算的逆运算，把所求式子变形． 题型06.科学记数法综合运算题 【典例】光在真空中的速度为km/s，太阳光照射到地球上大约需要s，则地球与太阳之间的距离用科学记数法表示为 ____________km． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法．掌握相关表示规则即可． 【跟踪专练1】为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要查了同底数幂相乘．用乘以，即可求解． 【详解】解：元， 即今年的义务教育财政预算支出约为元． 故选：C 【跟踪专练2】雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为_______米．(结果用科学记数法表示) 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，解题关键是明确同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 根据距离等于速度乘以时间计算即可． 【详解】解：（m）， 故答案为：． 【跟踪专练3】综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选D． 题型07.幂的大小比较. 【典例】已知，，，，则以上四个数中，最大数减最小数的值为______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了乘方运算，零指数幂，负整数指数幂的运算，有理数比较大小，有理数的运算，熟练掌握相应运算法则是解题的关键． 分别计算a、b、c、d的值，比较大小后求差即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最大数减最小数的值为． 故答案为：9． 【跟踪专练1】将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，计算出三个数的结果，再比较大小得到正确排序． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴. 【跟踪专练2】若，则a，b，c，d的大小关系为__________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键．将、、、转化为指数相同的幂，再比较底数大小，从而得出它们的大小关系． 【详解】解： 因为， 所以． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算及幂的大小比较，熟练掌握“将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过指数（或底数）比较大小”是解题的关键．将、转化为同底数幂的形式，再通过比较幂的底数和指数大小，确定、、的关系． 【详解】解：∵ ，，，底数，指数均为14 ∴ ，即 ∵ 底数均为3，指数， ∴ ，即， ∴ 故选：. 【跟踪专练4】已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】因为，，，， 因为， 所以， 所以， 故即； 同理可证 所以， 故选A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 【跟踪专练5】在比较和的大小时，老师给出了如下的方法：；．，． 请你根据上面所提供的信息，判断和的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用，将不同指数的幂转化为相同指数的幂，再通过比较底数大小判断幂的大小是解题的关键． 仿照题干中的方法，将指数化为相同后比较底数即可． 【详解】解：∵ ，， 又 ∵ ， ∴ ，即 ． 故选：B． 题型08.幂的运算参数求解题 【典例】已知，，则_____． 【答案】 【分析】利用同底数幂的除法运算法则，将所求代数式变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练1】已知，则的值等于（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】本题利用幂的乘方和同底数幂除法的运算法则，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：． 【跟踪专练2】已知，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查同底数的除法和幂的乘方，先将25和125化为以5为底的幂，再利用同底数幂的除法法则和指数相等求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因此， 解得． 故答案为：1． 【跟踪专练3】若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算法则，掌握幂的乘方中底数不变、指数相乘，以及等式两边同底数幂的指数相等是解题的关键． 根据指数运算法则，将等式两边化简，通过比较指数得到关于和的方程，求解后代入计算． 【详解】解：∵ ， 且等式右边为 ， ∴ ， 即 ， 比较指数得： ，， 解得 ，， ∴ 故选：D． 题型09.幂的新定义运算 【典例】如果，那么我们规定，例如：因为，所以． （1）若，则______； （2）已知，，，若，则y的值为______． 【答案】 96 【分析】本题考查了整式的运算，幂的运算，熟练掌握同底数幂的运算法则是解此题的关键． （1）根据题意可得，即可得解； （2）根据题意可得，，，从而可得，，从而可得，结合已知条件可得，计算即可得解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如果，那么我们规定，例如：因为，所以．若，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，由新规定的运算可得，，，再将，转化为后，再代入求值即可． 【详解】解：由于，，根据新规定的运算可得， ，，， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练2】规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，同底数幂的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据规定将符号转化为指数形式，再利用 和同底数幂相乘的法则求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； 又 ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故选：A． 【跟踪专练3】我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算，解决本题的关键是求出． 由定义可得，，． 【详解】 解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以 故选：C． 【跟踪专练4】规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，， ∴， ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ， ； (2)计算： ，并说明理由． (3)记，，．求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“雅对”的定义，直接找到满足的指数； （2）设两个“雅对”为未知数，利用同底数幂乘法法则，将和转化为新的“雅对”； （3）将“雅对”转化为幂的形式，通过幂的运算建立等式，由同底数幂相等推出指数相等，完成证明． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴． （2）解：设，， 则，， 可得， 故，即． （3）解：∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴． 题型10.幂的运算规律探究 【典例】一质点从距原点个单位的点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，则第次跳动后，该质点到原点的距离为__________个单位． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，能根据质点的跳动方式得出每跳一次，质点与原点的距离是上一次距原点距离的一半是解题的关键． 分别每次跳动后质点与原点的距离，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，点M所对应的数到原点的距离是16个单位， 根据质点的跳动方式， 则第一次跳动后，该质点到原点的距离是：； 第二次跳动后，该质点到原点的距离是：； 第三次跳动后，该质点到原点的距离是：； … 所以第2024次跳动后，该质点到原点的距离是：． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，是正整数，且满足，则，满足的关系是__________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，根据运算法则将式子变形为，从而即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，满足的关系是， 故答案为：． 【跟踪专练2】阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即：． 材料二：等式成立 试求：（1）__________． （2）___________． 【答案】 220 333300 【分析】（1）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案； （2）先利用将变形为，再利用进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 原式 ， 故答案为：220； （2）， ， 原式 ， 故答案为：333300． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的关键． 【跟踪专练3】已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是________，第一百个拐弯处的数是___________． 【答案】 【分析】设第n个拐弯处的数为，由已知数据可以分析得到当时，n为奇数，，当n为偶数，，由此进行计算即可． 【详解】解：设第n个拐弯处的数为 由题意知：，，，， 观察可得：，，， ∴当且n为奇数时，，当n为偶数时，, ∴，即第六个拐弯处的数是． 故答案为： ∴第一百个拐弯处的数是 故答案为： 【点睛】本题考查数字的规律探索以及同底数幂相乘的计算法则，能够由已知数据得到通项公式是解题关键． 【解答题】 1．定义新运算：， (1)求的值． (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算代入求解即可； （2）根据新定义得到，再根据同底数幂的乘法得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得：． 2．（1）若，，求的值． （2）若，求值． 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法运算法则，拆分指数后代入数值计算即可； （2）利用幂的乘方运算法则，对做底数统一的变形，结合乘方的定义分别求解、的值，再计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）∵，，， ∴，， ∴或，， 当时，； 当时，； ∴或． 【点睛】本题解题关键是熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方的运算法则，并能正向、逆向灵活使用；平方运算的结果为正数时，底数存在正负两个解，切勿遗漏负数解导致结果不全． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】，-25 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的各类运算法则是解题的关键． 先根据幂的运算法则对代数式进行化简，然后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式=． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，然后从左到右进行计算即可； （2）先计算幂的乘方，然后再根据同底数幂相乘的法则计算乘法，即可得出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 5．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，变形计算即可； （2）逆向应用积的乘方解答即可． 本题考查了公式的逆向应用，熟练掌握公式是解题的关键 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01幂的运算期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.核心公式：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方（记准形式，不混淆） 2.关键考点：零指数幂（底数≠0）、负整数指数幂（符号别错） 3.必记技巧：科学记数法（分两种情况，指数定准） 1.会运算：单一/混合运算（先乘方再乘除，符号、系数算对） 2.会逆用：公式逆用（分解高次幂、简化计算） 3.会转化：不同底数幂转化为同底数幂（方便计算、比较大小） 1.基础题：不丢分（公式直接套用，快速准确） 2.中档题：避易错（不混淆公式、不忽略底数限制） 3.拓展题：会拆解（结合逆用、转化技巧，高效解题） 题型01.幂的基础运算题 题型02.幂的运算法则辨析题 题型03.幂的法则逆用求值题 题型04.零负指数幂运算题 题型05.幂的混合运算题 题型06.科学记数法综合运算题 题型07.幂的大小比较 题型08.幂的运算参数求解题 题型09.幂的新定义运算 题型10.幂的运算规律探究 解答题5题 知识点01.四大基本运算法则（m、n 为正整数） 1. 同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 · 公式：aman=am+n · 推广：amanap=am+n+p · 逆用：am+n=aman（常用于化简） 2. 幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘 公式：(am)n=amn 推广：[(am)n]p=amnp 逆用：amn=(am)n=(an)m（常用于指数统一、比较大小） 3. 积的乘方 法则：积的乘方，把每个因式分别乘方，再把所得幂相乘 公式：(ab)n=anbn 推广：(abc)n=anbncn 逆用：anbn=(ab)n（常用于简便计算，如25×0.55=(2×0.5)5=1） 4. 同底数幂的除法 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减 公式：am÷an=am−n（a0，m>n） 知识点02.两个特殊幂（关键前提：a0） 1. 零指数幂 定义：任何不等于 0 的数的 0 次幂等于 1 公式：a0=1（a0） 注意：00无意义 2. 负整数指数幂 定义：非零数的负整数次幂 = 正整数次幂的倒数 公式：a−p=（a0，p为正整数） 知识点03.科学记数法 1. 表示绝对值大于 10的数 形式：a×10n（1≤a<10，n为正整数） 规则：n=原数整数位数减 1 2. 表示绝对值小于 1的正数 形式：a×10−n（1≤a<10，n为正整数） 规则：n=原数左起第一个非零数字前所有 0 的个数（含小数点前的 0） 知识点04.核心易错点（避坑指南） 1.法则混淆 同底数幂乘法：指数加；幂的乘方：指数乘 2.符号问题 (−a)n：n偶为正，n奇为负 −an：永远为负（与n奇偶无关） 3.忽略前提 除法、零指数、负指数：底数不能为 0 4.系数漏算 积的乘方：系数也要乘方 知识点05.运算顺序与逆用技巧 1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 2.逆用技巧 乘法逆用：am+n=aman 乘方逆用：amn=(am)n（统一指数） 积的乘方逆用：anbn=(ab)n（简便计算） 题型01.幂的基础运算题 【典例】若，则的值为___________． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知为正整数，且，求的值为___________． 【跟踪专练3】下列计算正确的有（   ） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练4】设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【跟踪专练5】已知，，则__________． 【跟踪专练6】运用同底数幂的乘法可以得到（若与算同一个算式），按照要求，只运用同底数幂的乘法计算，运算结果可以得到的不同算式共有____个． 题型02.幂的运算法则辨析题 【典例】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算的过程如下：①②步骤①，②分别表示的运算是（   ） A．幂的乘方，同底数幂相乘 B．积的乘方，同底数幂相乘 C．幂的乘方，乘法结合律 D．积的乘方，合并同类项 【跟踪专练2】先阅读小明的解题过程，然后回答问题： 计算：． 解：原式 老师说小明的解法有错误，那么上述解题过程是从第_______步开始出现错误，错误原因是_______． 【跟踪专练3】若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是________． 题型03.幂的法则逆用求值题 【典例】如果，，则___． 【跟踪专练1】若，，则的值为（　　） A．45 B．30 C．14 D．11 【跟踪专练2】巧算：______． 【跟踪专练3】若，则的值为______． 【跟踪专练4】已知，，，现给出，，之间的五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中正确的关系式是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【跟踪专练5】已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 【跟踪专练6】若am=20，bn=20，ab=20，则=______． 题型04.零负指数幂运算题 【典例】计算：_____． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】，则m的值为_______． 【跟踪专练3】已知，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型05.幂的混合运算题 【典例】计算： ______． 【跟踪专练1】计算（）2021×1.52020×（﹣1）2022的结果是（    ） A． B． C．﹣ D．﹣ 【跟踪专练2】计算： ______． 【跟踪专练3】，，，则的值为．（　　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 题型06.科学记数法综合运算题 【典例】光在真空中的速度为km/s，太阳光照射到地球上大约需要s，则地球与太阳之间的距离用科学记数法表示为 ____________km． 【跟踪专练1】为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【跟踪专练2】雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为_______米．(结果用科学记数法表示) 【跟踪专练3】综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 题型07.幂的大小比较. 【典例】已知，，，，则以上四个数中，最大数减最小数的值为______． 【跟踪专练1】将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的顺序是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则a，b，c，d的大小关系为__________．（用“”连接） 【跟踪专练3】已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练5】在比较和的大小时，老师给出了如下的方法：；．，． 请你根据上面所提供的信息，判断和的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 题型08.幂的运算参数求解题 【典例】已知，，则_____． 【跟踪专练1】已知，则的值等于（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【跟踪专练2】已知，则的值为________． 【跟踪专练3】若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 题型09.幂的新定义运算 【典例】如果，那么我们规定，例如：因为，所以． （1）若，则______； （2）已知，，，若，则y的值为______． 【跟踪专练1】如果，那么我们规定，例如：因为，所以．若，，则_______． 【跟踪专练2】规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 【跟踪专练3】我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 【跟踪专练4】规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，， ∴， ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ， ； (2)计算： ，并说明理由． (3)记，，．求证：． 题型10.幂的运算规律探究 【典例】一质点从距原点个单位的点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，则第次跳动后，该质点到原点的距离为__________个单位． 【跟踪专练1】若，是正整数，且满足，则，满足的关系是__________． 【跟踪专练2】阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即：． 材料二：等式成立 试求：（1）__________． （2）___________． 【跟踪专练3】已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是________，第一百个拐弯处的数是___________． 【解答题】 1．定义新运算：， (1)求的值． (2)若，求m的值． 2．（1）若，，求的值． （2）若，求值． 3．先化简，再求值：，其中． 4．计算： (1)； (2)． 5．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $