第7章 幂的运算（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材苏科版七年级下册

第7章 幂的运算（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（24-25七年级下·江苏阶段练习·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，幂的乘方等知识．根据同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，幂的乘方等知识逐项判断解答即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）化简，结果为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算的逆用，合并同类项，能熟练利用幂的运算公式进行计算是解题关键． 由同底数幂乘法运算得，提出，得到，即可求解． 【详解】解： ． 故选：A， 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知，则的值为（    ） A．36 B．8 C．64 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，解一元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将变形得到，求出，再求出，然后将变形为，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若a是大于1的正整数，且满足个相加之和为，则n的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，根据题意可得，则，即，据此可得答案． 【详解】解：∵个相加之和为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选；C． 5．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则．应先将化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出的大小． 【详解】解：， ， 故选：A 6．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 7．（24-25七年级下·江苏扬州·专题练习）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案． 【详解】解：由题意知，是100的倍数 ∵与100互质 ∴是100的倍数 ∴的末尾数字是01 ∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数， 设：（t为正整数） 则： ∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01 ∴t的最小值为5， ∴的最小值为10 故答案为：B 【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键． 8．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：，，，，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化规律，根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以计算出的值． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴当为偶数时，，当为奇数时，， ∴ ， 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 9．（24-25七年级下·江苏徐州·月考） 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，熟练掌握这一法则是解答本题的关键． 先把左边变形为的形式，然后两边比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为7． 11．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方；根据题意得到，根据等式列出，；计算即可求出． 【详解】解： ， ∵， ∴ ∴，； 解得：， 检验：将代入原方程，左右两边相等，等式成立， 故答案为：2． 12．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若，则定义新运算：，根据定义新运算计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 根据题意可得：，，进而得到，计算求解即可； 【详解】解：根据题意可得：，， ， 即； 故答案为： 13．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）若，则 ． 【答案】81675 【分析】本题考查了数的变化规律，求和公式，积的乘方的逆用，解题的关键是找到数的变化规律． 【详解】解：∵ ， 则 ∴ ， 故答案为：81675． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如果等式，则等式成立的的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了零指数幂和有理数的乘方，正确分类是解题的关键．分类讨论，①当；②当；③当，分别计算验证即可． 【详解】解：当时，，此时， ，故成立； 当时，，此时， ，故成立； 当时，，此时， ，故不成立； 综上所述，符合条件的值为2或． 故答案为：2或． 15．（25-26七年级下·江苏·期中）已知，，，现给出，，之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法计算，根据，即可判断①④；根据，，即可判断②；根据，，即可判断③； 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ∴，故①正确，④错误； ∵，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③错误； 故答案为：①②． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知实数a，b，c满足，则的值为 ． 【答案】4053 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键． 根据题意，利用同底数幂的除法运算法则，由已知条件求出与的值，然后将原代数式变形，代入所求值即可得到结果． 【详解】解： ． ∵，，， ∴，， ∴， 原式． 故答案为：4053． 三、解答题（本题共10小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（5分）（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则是解题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算，然后再合并同类项即可． （2）先根据同底数幂的乘法和除法，积的乘方运算法则进行计算，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（5分）（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 19．（5分）（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知：． (1)的值等于 ； (2)的值等于 ； (3)试说明：． 【答案】(1)9 (2)2 (3)见解析 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算，同底数幂乘法计算，熟知幂的相关计算法则是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据计算求解即可； （3）先求出，再求出，则可得到，则． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．（6分）（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的含义，有理数幂的大小比较； （1）由可得，由可得即； （2）由，；进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，而， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，； ∵， ∴； 21．（6分）（24-25七年级下·江苏苏州·期中）数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： ； ． 总结规律，解答下列问题． (1)__________，__________． (2)计算：． 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题考查积的乘方运算规律的应用，解题的关键是观察所给示例，总结出这一规律并灵活运用。 （1）利用总结的规律计算，并归纳的结果。 （2）通过对原式变形，使其符合积的乘方规律进行简便计算。 【详解】（1）解：， ， 故答案为：1；； （2）解：原式． 22．（6分）（24-25七年级下·江苏徐州·期中）运算法则或性质从右到左也是成立的，比如：由积的乘方，可以得到．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出m，n，p之间的数量关系 ． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法法则，将转化为，再代入已知值计算． （2）依据同底数幂除法法则和幂的乘方法则，把变形为，然后代入求值． （3）先把转化为以为底的幂，即，再结合的结果，找出、、的数量关系． 【详解】（1）解： ∵，， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ （3）解：∵，且， ∴， ∴． 23．（8分）（24-25七年级下·江苏南通·月考）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）将代入，计算幂的乘方即可得； （2）利用同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得； （3）利用幂的乘方的逆用可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， ， 解得； （3）解：， ， ， ， ． 24．（8分）（24-25七年级下·江苏徐州·期中）（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）2，，；（2） 【分析】本题考查数字类规律探索，同底数幂的乘法运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解． （1）观察可知：第二项与第一项之比为2；第三项与第二项之比为2；第四项与第三项之比为2；所以每一项与前一项之比是2，总结规律得到答案； （2）仿照题干中的求法解答即可． 【详解】（1）解：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2； ∵， ∴类推得到：， ∴， 故答案为：2，，； （2）解：为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 25．（9分）（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 【答案】(1)3，125 (2)90 (3)3 【分析】本题考查有理数的乘方，同底数幂的乘法逆用，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）由题意可得出，，那么，则，故，而，得到，则，故，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：3，125； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（10分）（24-25七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+ 【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果； （2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果； （3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果； （4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解． 【详解】解：根据阅读材料可知： （1）设s＝①， 2s＝22＋23＋…＋220＋221②， ②−①得，2s−s＝s＝221−2； 故答案为：221−2； （2）设s＝①， s＝②， ②−①得，s−s＝-s＝-1， ∴s＝2-， 故答案为：2-； （3）设s＝① -2s＝② ②−①得，-2s−s＝-3s＝+2 ∴s＝； （4）设s＝①， as＝②， ②-①得：as-s=-a-， 设m=-a-③， am=-④， ④-③得：am-m=a-， ∴m=， ∴as-s=+， ∴s=+． 【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 幂的运算（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（24-25七年级下·江苏阶段练习·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）化简，结果为（   ） A． B．2 C． D． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知，则的值为（    ） A．36 B．8 C．64 D．32 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若a是大于1的正整数，且满足个相加之和为，则n的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（24-25七年级下·江苏扬州·专题练习）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 8．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：，，，，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 9．（24-25七年级下·江苏徐州·月考） 10．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则的值是 ． 11．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，则m的值为 ． 12．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若，则定义新运算：，根据定义新运算计算： ． 13．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）若，则 ． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如果等式，则等式成立的的值为 ． 15．（25-26七年级下·江苏·期中）已知，，，现给出，，之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是 ．（填序号） 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知实数a，b，c满足，则的值为 ． 三、解答题（本题共10小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（5分）（24-25七年级下·江苏扬州·月考）计算： (1)； (2)． 18．（5分）（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 19．（5分）（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知：． (1)的值等于 ； (2)的值等于 ； (3)试说明：． 20．（6分）（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 21．（6分）（24-25七年级下·江苏苏州·期中）数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： ； ． 总结规律，解答下列问题． (1)__________，__________． (2)计算：． 22．（6分）（24-25七年级下·江苏徐州·期中）运算法则或性质从右到左也是成立的，比如：由积的乘方，可以得到．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出m，n，p之间的数量关系 ． 23．（8分）（24-25七年级下·江苏南通·月考）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 24．（8分）（24-25七年级下·江苏徐州·期中）（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 25．（9分）（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 26．（10分）（24-25七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $