奔驰定理知识卡片（知识清单）高一数学人教A版必修第二册

A Sc SB SA B C 奔驰定理知识卡片 Mercedes-Benz Theorem Knowledge Card 【定理定义】 对于平面内任意一点O和△ABC,记SA,SB,Sc分别为△OBC,△OCA,△OAB的面积，则有： SAOi+SBOB+Sc·0元=0 或： OA.S(△OBC+OB.S(△OCA)+OC,S(△OAB)=d 【结论与应用】 1.若0为△ABC的重心，则OA+OB+O元=。 2.若O为△ABC的垂心，则有tanA.OA+tanB·OB+tanC,OC=0(前提△ABC为锐角三角形)。 3.若0为△ABC的外心，则有sin2A.OA+sin2B.OB+sin2C.O元=0。 4.若0为△ABC的内心，则有aOA+b.OB+c.O元=0（其中a,b,c为对边边长）。 【经典例题】 题目：在△ABC中，若5OA+3OB+4OC=0,求S(△OBC):S(△OCA):S(△OAB)。 解析：根据奔驰定理OA·S(△OBC)+OB·S(△OCA)+OC.S(△OAB)=0。 对比题目条件50A+30B+40C=0。 由此可得： S(△OBC=5k,S(△OCA)=3k,S(△OAB)=4k(其中k>0)。 所以，面积之比为： S(△OBC):S(△OCA):S△OAB)=5k:3k:4k=5:3:4。 答案：5：3：4。