专题14：比例、比例尺（讲义）-2026年小升初数学复习讲练测

第四章：比和比例 专题14：比例、比例尺 （9大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 考点01：比例的意义和基本性质 考点02：解比例 考点03：正比例及其应用 考点04：反比例及其应用 考点05：物高与影长问题 考点06：比例尺 考点07：应用比例尺画图 考点08：比例尺的实际应用 考点09：图形的放大与缩小 知识点01：比例的意义 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 2.比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）两端的两项叫做比例的外项。 （3）中间的两项叫做比例的内项。 3.比和比例的联系与区别 知识点02：比例的基本性质 1.比例的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 2.用字母表示：如果a∶b＝c∶d（b、d均不为0），那么ad＝bc。 3.判断两个比能否组成比例的方法 （1）求出比值，看它们的比值是否相等； （2）根据比例的基本性质求“积”，看两个外项的积是否等于两个内项的积。 知识点03：解比例 1.解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。 2.解比例的依据：比例的基本性质。 3.解比例的方法：可以根据比例的基本性质将原式转化成学过的方程，再解方程；也可以先将原式进行整理计算，再转化成学过的方程来解。 知识点04：正比例 1.相关联的量：两种量中，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量叫做相关联的量。 2.正比例 （1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 （2）字母表达式：如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为。 （3）关键特征：比值一定，变化方向相同（一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小）。 （4）正比例的图象：如果把成正比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，形成一条射线；反之，该射线上的每一个点对应的就是正比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 知识点08：反比例 1.定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2.字母表达式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy＝k。 3.关键特征：乘积一定，变化方向相反（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）。 4.反比例的图象：反比例关系也可以用图象来表示，如果把成反比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，会形成一条光滑的曲线；反之，该曲线上的每一个点对应的就是反比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 知识点09：比例尺 1.比例尺：一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 用公式表示为“图上距离∶实际距离＝比例尺”，或“＝比例尺”。 2.比例尺的分类 （1）按照表现形式分，比例尺有数值比例尺和线段比例尺两种，两种比例尺可以互相转化。 把线段比例尺改写成数值比例尺时，一定要统一单位。 （2）按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。 3.应用比例尺画图 （1）根据实际距离与纸张的大小确定平面图的比例尺； （2）根据比例尺求出图上距离； （3）根据图上距离画出相应的平面图； （4）标明平面图的名称和比例尺。 【易错点拨】 （1）比例尺是一个比，它表示图上距离和实际距离的关系，因此不能带计量单位。 （2）计算时单位必须统一。 （3）线段比例尺需先转化为数值比例尺，再进行计算。 知识点10：比例的应用 1.图形的放大与缩小 （1）图形按一定的比放大或缩小后，只是图形的大小发生了变化，图形原有的形状没变化。 （2）把图形按比放大或缩小，就是把图形的每一条边都按比放大或缩小。 2.用正、反比例知识解决问题的解题步骤 （1）根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例或反比例关系。 （2）找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例方程。 （3）解比例。 （4）检验并写出答语。 考点01：比例的意义和基本性质 【典型例题】在比例4∶16＝6∶24中，如果将前一个比的前项加上8，那么后一个比的后项应（     ），比例才成立。 A．减去16 B．乘3 C．加上8 D．减去8 【答案】A 【分析】比例的基本性质，即在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。当比例中的一项发生变化时，要使比例仍然成立，需要根据比例的基本性质来调整其他项。前一个比的前项加上8后变为4＋8＝12，设后一个比的后项变为x，根据比例基本性质列出新的等式，即12∶16＝6∶x。求出x的值，再与原来后项24比较，看发生了怎样的变化。 【详解】4＋8＝12 解：设后一个比的后项变为x。 12∶16＝6∶x 12x＝16×6 12x＝96 x＝96÷12 x＝8 24－8＝16 即后一个比的后项应减去16。 故答案为：A 【变式训练】甲数的等于乙数的（甲数、乙数不为0），那么甲数与乙数的比是（     ）。 A． B．6∶5 C．5∶6 D． 【答案】C 【分析】由题意可知：甲数×＝乙数×，逆运用比例的基本性质，即可求出两个数的比。 【详解】甲数×＝乙数× 甲数∶乙数＝∶＝5∶6。 考点02：解比例 【典型例题】甲、乙、丙三个数，已知甲∶（乙＋丙）＝4∶3，乙∶丙＝2∶7，则甲∶乙∶丙＝（ ）∶（ ）∶（ ）。 【答案】 12 2 7 【分析】已知乙∶丙＝2∶7，设乙为2，丙为7，则乙＋丙＝9； 已知甲∶（乙＋丙）＝4∶3，即甲∶9＝4∶3，据此解比例，求出甲的值； 根据比的意义得出甲、乙、丙三个数的比。 【详解】设乙为2，丙为7； 乙＋丙＝2＋7＝9 甲∶（乙＋丙）＝4∶3 甲∶9＝4∶3 解：3×甲＝9×4 3×甲＝36 甲＝36÷3 甲＝12 则甲∶乙∶丙＝12∶2∶7。 【变式训练】解比例。                  【答案】x＝0.2；x＝0.8；x＝ 【分析】（1）先根据比例的基本性质把方程改写成13x＝7.8×，再根据等式的基本性质2，方程两边同时除以13即可求解； （2）先根据比例的基本性质把方程改写成18x＝3.6×4，再根据等式的基本性质2，方程两边同时除以18即可求解； （3）先根据比例的基本性质把方程改写成x＝3×，再根据等式的基本性质2，方程两边同时除以即可求解。 【详解】（1）x∶7.8＝∶13 解：13x＝7.8× 13x＝2.6 x＝2.6÷13 x＝0.2 （2）＝ 解：18x＝3.6×4 18x＝14.4 x＝14.4÷18 x＝0.8 （3）x∶3＝∶ 解：x＝3× x＝ x＝÷ x＝× x＝ 考点03：正比例及其应用 【典型例题1】如图表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题。 （1）香蕉的总价和购买的数量成（ ）（填“正”或“反”）比例关系。 （2）从图像上看，单价更贵一些的水果是（ ）。 （3）买3千克苹果要用（ ）元，20元可以买（ ）千克香蕉。 【答案】（1）正 （2）香蕉 （3） 12 2.5 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 （2）根据单价＝总价÷数量，分别算出香蕉和苹果的单价，再比较大小即可。 （3）根据（2）中求出的香蕉和苹果的单价，结合总价＝单价×数量，数量＝总价÷单价，列式计算即可。 【详解】（1）8∶1＝16∶2＝24∶3＝8（一定），所以香蕉的总价和购买的数量成正比例。 （2）8÷1＝8（元） 4÷1＝4（元） 8元＞4元，从图像上看，单价更贵一些的水果是香蕉。 （3）4×3＝12（元） 20÷8＝2.5（千克） 买3千克苹果要用12元，20元可以买2.5千克香蕉。 【典型例题2】制作一种饮品，每200克的水中需要加入40克的原浆，按照这样的比例计算，如果有1500克的水，需要准备多少克的原浆？（列比例解答） 【答案】300克 【分析】水质量和原浆质量成正比例关系，设1500克水需要准备x克原浆，再根据比例关系列式解答。 【详解】 答：需要准备300克原浆。 【变式训练】某城市的士票价为：租单程3km以内8元，超过3km的部分每千米2.5元；如果租往返每千米2元。下面表示租单程时路程与收费的关系和表示租往返时路程与收费的关系的是（     ）。 A．③① B．③② C．①② D．④② 【答案】A 【分析】租单程时路程与收费：3千米以内无论远近，都收费8元，图象应是平行于横轴的一条线段；超过3km的部分每千米2.5元，随着路程的增加，收费也不断增加，图象是一条直线；所以图象③是正确的。 租往返时路程与收费：租往返每千米2元，随着路程的增加，收费也不断增加，图象是一条直线，所以图象①是正确的。 【详解】图象③符合租单程时路程与收费的关系，图象①符合租往返时路程与收费的关系。 故答案为：A 考点04：反比例及其应用 【典型例题1】图中刻度数与棋子数成反比例，在左侧刻度2放（     ）个棋子才能保证杠杆平衡。 A．15 B．12 C．20 D．16 【答案】A 【分析】已知刻度数与棋子数成反比例，即左侧刻度数与棋子数的乘积等于右侧刻度数与棋子数的乘积，由图可知，右侧刻度5放了6个，设左侧刻度2放x个棋子，即2x＝5×6，解出未知数即可。 【详解】解：设左侧刻度2放x个棋子。 2x＝5×6 2x＝30 2x÷2＝30÷2 x＝15 因此，在左侧刻度2放15个棋子才能保证杠杆平衡。 故答案为：A 【典型例题2】如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。 （1）转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是（ ）关系。 （2）大齿轮有60个齿，小齿轮有15个齿。如果大齿轮每分钟转80圈，小齿轮每分钟转多少圈？ 【答案】（1）反比例 （2）320圈 【分析】（1）齿轮转动中，两齿轮在相同时间内的总齿数相等。即每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，那么每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系。 （2）根据每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系，可得出等量关系：小齿轮的齿数×小齿轮每分钟转的圈数＝大齿轮的齿数×大齿轮每分钟转的圈数，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】（1）转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是反比例关系。 （2）解：设小齿轮每分钟转圈。 15＝60×80 15＝4800 ＝4800÷15 ＝320 答：小齿轮每分钟转320圈。 【变式训练】一间房子用方砖铺地，用边长为0.3米的方砖铺，需要960块。如果改用面积为0.4平方米的方砖铺，需用方砖多少块？（用比例知识解答） 【答案】216块 【分析】房子地面的总面积是一定的，每块方砖的面积与所需方砖的块数成反比例关系。 先根据已知条件求出房子地面的总面积，再根据反比例关系（乘积一定）列出方程求解。 【详解】0.3×0.3×960 ＝0.09×960 ＝86.4（平方米） 解：设需要x块0.4平方米的方砖，由题意得： 0.4x＝86.4 x＝86.4÷0.4 x＝216 答：需要216块0.4平方米的方砖。 考点05：物高与影长问题 【典型例题】树高测量：小明身高1.2米，在阳光下的影子长1.5米。同一时间、同一地点，一棵大树的影子长4.5米，这棵大树高多少米？（用比例的方法解答） 【答案】3.6米 【分析】同一时间同一地点的物体高度与其影长成正比，即小明身高∶影子长＝大树的身高∶影子长度，根据比例的基本性质，两个内项的积＝两个外项的积解答。 【详解】解：设这棵大树高x米。 1.2∶1.5＝x∶4.5 1.5x＝1.2×4.5 1.5x＝5.4 x＝3.6 答：这棵大树高3.6米。 【变式训练】如果想测量一座寺庙的高度，将一根长1米的木棒竖直立在地上，量得它的影长为0.6米，同时量得寺庙的影长为18.6米，那么寺庙的实际高度是多少米？（用比例解答） 【答案】31米 【分析】根据同一地点、同一时刻，同一个物体的实际长度与它的影长的比值一定，那么物体的实际长度与影长成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设寺庙的实际高度为米。 1∶0.6＝∶18.6 0.6＝1×18.6 0.6＝18.6 ＝18.6÷0.6 ＝31 答：寺庙的实际高度是31米。 考点06：比例尺 【典型例题】在一幅地图上量得甲、乙两地的距离是11.25厘米。如果甲、乙两地的实际距离是900千米，那么这幅地图的比例尺是（ ）。 【答案】1∶8000000 【分析】图上距离÷实际距离＝比例尺，注意先统一单位。 【详解】900千米＝90000000厘米 11.25厘米∶90000000厘米 ＝11.25∶90000000 ＝1125∶9000000000 ＝（1125÷1125）∶（9000000000÷1125） ＝1∶8000000 【变式训练】这是一个线段比例尺，图上1厘米表示实际（ ）千米，转化成数值比例尺是（ ）。 【答案】 200 1∶20000000 【分析】图中1厘米表示实际距离的200千米。比例尺＝图上距离∶实际距离，注意单位统一。 【详解】图上1厘米表示实际200千米 200千米＝20000000厘米 比例尺＝1厘米∶20000000厘米＝1∶20000000 考点07：应用比例尺画图 【典型例题】博物馆在百花园正西360m处，万达广场在百花园东偏南30°方向600米处，请你在下图中标出博物馆和万达广场的位置。 【答案】见详解 【分析】因为1米＝100厘米，所以360米为360×100＝36000厘米。已知比例尺为1∶12000＝，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，可得博物馆到百花园的图上距离为：36000×＝3厘米。万达广场到百花园的距离是600米，600米为600×100＝60000厘米。同理，万达广场到百花园的图上距离为：60000×＝5厘米。 在图上标注位置博物馆：以百花园为中心，向正西方向（即向左）量取3厘米的长度，确定博物馆的位置并标注。万达广场：以百花园为中心，用量角器画出东偏南30°的方向，在该方向上量取5厘米的长度，确定万达广场的位置并标注。 【详解】由分析可知，画图如下： 【变式训练】小梅和小方在庐山含鄱口用无人机拍摄风景。请根据下面信息分别标出他们无人机的位置。 【答案】见详解 【分析】以含鄱口为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，平面图的比例尺是1∶4000；根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出100米的图上距离是2.5厘米，120米的图上距离是3厘米；在含鄱口的北偏西30°方向上画2.5厘米长的线段，即是小梅无人机的位置；在含鄱口的正东方向上画3厘米长的线段，即是小方无人机的位置。 【详解】100米＝10000厘米 120米＝12000厘米 10000×＝2.5（厘米） 12000×＝3（厘米） 如图： 考点08：比例尺的实际应用 【典型例题1】在一幅比例尺为1∶4000000的地图上，甲、乙两城之间的直线距离是5.5厘米。一辆货车早上7：20从甲地出发送货到乙地，平均每小时行55千米，如果货车途中没有休息，什么时候到达乙地？ 【答案】11：20 【分析】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出甲、乙两城之间的实际距离，注意求出的单位是厘米，需要换算成千米。再根据“时间＝路程÷速度”，求出货车行驶的时间。最后用出发时间加上行驶时间，求出货车到达乙地的时间。 【详解】甲、乙两城之间的实际距离：5.5÷ ＝5.5×4000000 ＝22000000（厘米） 22000000厘米＝220千米 货车行驶的时间：220÷55＝4（小时） 货车到达乙地的时刻：7时20分＋4小时＝11时20分 答：上午11：20到达乙地。 【典型例题2】港珠澳大桥是我国境内一座连接香港、广东珠海和澳门的桥隧工程，在比例尺是1∶500000的地图上量得港珠澳大桥全长11厘米。若画在比例尺是1∶1100000的地图上，则港珠澳大桥应画多少厘米？ 【答案】5厘米 【分析】根据公式：实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据求出实际的长度，再根据图上距离＝实际距离×比例尺，把数代入即可求出画在比例尺是1∶1100000的地图上应该画多少厘米。 【详解】11÷× ＝11×500000× ＝5500000× ＝5（厘米） 答：港珠澳大桥应画5厘米。 【变式训练】在比例尺为的地图上，测得甲、乙两地路线长6厘米，小夏和妹妹从两地同时出发，相向而行。已知小夏平均每分钟走86米，妹妹平均每分钟走64米，两人大约多少分钟后相遇？ 【答案】20分钟 【分析】表示图上1厘米代表实际距离500米，那么图上6厘米代表的实际距离为500×6＝3000米。根据相遇时间＝总路程÷速度和，已知小夏平均每分钟走86米，妹妹平均每分钟走64米，则两人的速度和为86＋64＝150米/分钟。总路程为3000米，用3000除以150即可得出相遇时间。 【详解】图上距离1厘米表示500米。 500×6＝3000（米） 86＋64＝150（米/分钟） 3000÷150＝20（分钟） 答：两人大约20分钟后相遇。 考点09：图形的放大与缩小 【典型例题】李老师的手机上保存着“厦门市地铁线网”截图，供同学们课后实践使用，下左图是小华把李老师的原图按1∶a缩小后的图片，下右图是小丽把原图按（     ）缩小后的图片。 A．1∶a B．1∶a C．1∶2a D．1∶4a 【答案】C 【分析】已知左图是小华把原图按1∶a缩小后的图片，缩小后的长度是36cm，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出原图实际的长度； 已知右图是小丽把原图缩小后的图片，缩小后的长度是18cm，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，求出右图的比例尺。 【详解】原图实际的长：    36÷＝36×a＝36a（cm） 右图的比例尺：18∶36a＝（18÷18）∶（36a÷18）＝1∶2a 右图是小丽把原图按1∶2a缩小后的图片。 故答案为：C 【变式训练】把一个长5cm、宽3cm的长方形按3∶1放大，得到的图形面积是（ ）cm2。 【答案】135 【分析】长方形按3∶1放大，则长、宽分别扩大到原来的3倍，求出放大后的长、宽，再根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，求出放大后长方形的面积即可。 【详解】（5×3）×（3×3） ＝15×9 ＝135（cm2） 得到的图形面积是135cm2。 一、选择题 1．能与∶组成比例的是（     ）。 A．4∶3 B．3∶4 C． D． 【答案】B 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出原式和各选项中比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【详解】∶＝÷＝×3＝ A．4∶3＝4÷3＝，≠，比值不相等，4∶3不能与∶组成比例； B．3∶4＝3÷4＝，＝，比值相等，3∶4能与∶组成比例； C．3∶＝3÷＝3×4＝12，12≠，比值不相等，3∶不能与∶组成比例； D．∶＝÷＝×＝，≠，比值不相等，∶不能与∶组成比例。 故答案为：B 2．有两个相关联的量，它们的关系如下图，这两个量可能是（     ）。 A．小明的身高和年龄 B．买水果的重量和单价 C．汽车运货的次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数 D．正方形的边长与面积 【答案】C 【分析】两个相关联的量，一个量随另一个量的变化而变化，若两个量的比值一定，则这两个量是正比例关系。由关系图可知，图中两个量的比值是一定的，因此图中两个量是正比例关系。 根据正比例关系的定义，逐项分析每个选项中的两个量是否成正比例关系。 【详解】A．小明的身高和年龄的比值不一定为定值，所以这两个量不成正比例关系，不符合题意。 B．因为总价等于单价与重量的乘积，所以买水果的重量和单价的比值不为定值，这两个量不成正比例关系，不符合题意。 C．由于运货总吨数与每次运货的吨数的比值等于汽车运货的次数，且汽车运货的次数一定，所以每次运货的吨数和运货总吨数成正比例关系，符合题意。 D．正方形的面积除以边长等于边长，边长不是定值，所以正方形的边长与面积不成比例，不符合题意。 故答案为：C 3．在比例0.8∶3＝16∶60中，如果给3加上6，要使比例成立，外项中的60应（     ）。 A．加上6 B．乘2 C．加上180 D．加上120 【答案】D 【分析】比例中两个内项的积等于两个外项的积。解题时先确定内项变化后的值，再根据比例性质求出外项的变化情况：原比例0.8∶3＝16∶60，当3加上6后，内项3变为3＋6＝ 9，另一个内项16不变。计算变化后的内项积：9×16＝144。因为比例的基本性质，外项积也应为144，已知一个外项是0.8，可求出变化后另一个外项的值为144÷0.8＝18。原来的外项是60，所以60需要变为180，变化量为180－60＝120，即60应加上120。 【详解】变化后的内项：3＋6＝9 内项积：9×16＝144 变化后的外项：144÷0.8＝180 外项变化量：180－60＝120 在比例0.8∶3＝16∶60中，如果给3加上6，要使比例成立，外项中的60应加上120。 故答案为：D 4．下图是六（1）班的教室平面图，亮亮在平面图上量得教室的长为5cm，这间教室的实际长是10m，这幅平面图的比例尺是（     ）。 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶200 D．200∶1 【答案】C 【分析】比例尺＝图上距离与实际距离的比，先统一单位，再计算比例尺。1m＝100cm。 【详解】10m＝1000cm 图上距离∶实际距离 ＝5cm∶1000cm ＝5∶1000 ＝（5÷5）∶（1000÷5） ＝1∶200 5．一个成年人的身高和脚长之比大约为7∶1。侦探Q先生发现了1名嫌疑人的鞋印，如图，根据脚印的长度和身高的关系来判断，嫌疑人的身高最可能是（     ）。 A．甲：183cm B．乙：168cm C．丙：175cm D．丁：156cm 【答案】B 【分析】设嫌疑人的身高为xcm，脚长24.1cm，根据一个成年人的身高和脚长之比大约为7∶1。可以组成一个比例x∶24.1＝7∶1，解比例得出x的值后，在选项中找出最接近这个值的数即可。 【详解】解：设嫌疑人的身高为xcm x∶24.1＝7∶1 1x＝24.1×7 x＝168.7 选项中最接近这个身高的是168cm，即嫌疑人的身高最可能是乙：168cm。 故答案为：B 6．下面各选项中的两个量，成正比例的是（     ）。 A．某榫卯家具厂工人的人数一定，出勤人数和缺勤人数。 B．圆周率一定，某榫卯圆桌的桌面面积和它的半径。 C．每分钟的电话费一定，某榫卯家具厂销售员通话时长与所花的总费用。 D．榫卯家具的木料总长度一定，每根木料的长度和加工的根数。 【答案】C 【分析】要判断两个量是否成正比例，需依据正比例的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则这两种量成正比例关系，然后对每个选项逐一分析即可得出答案。 【详解】A．已知工人总人数一定，“出勤人数＋缺勤人数＝工人总人数”，这是和的关系，并非比值一定。所以出勤人数和缺勤人数不成正比例。 B．圆的面积公式为S＝πr2（π为圆周率），那么πr。由于r是变化的，所以πr不是定值，即桌面面积和它的半径的比值不一定。因此，桌面面积和它的半径不成正比例。 C．因为“总费用÷通话时长＝每分钟的电话费”，且题目中明确每分钟的电话费一定，也就是总费用和通话时长的比值一定。所以，通话时长与所花的总费用成正比例。 D．已知木料总长度一定，“每根木料的长度×加工的根数＝木料总长度”，这是积的关系，并非比值一定。所以每根木料的长度和加工的根数不成正比例。 故答案为：C 7．王师傅加工一批零件，工作时间与加工零件个数的关系如图所示，下面说法错误的是（     ）。 A．加工零件个数与工作时间成正比例关系 B．表示400个零件 C．表示3.2小时 D．若有点表示5小时加工了600个零件，那么点一定会和点、、一样在射线上 【答案】D 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，正比例关系的图象是一条经过原点的直线，说明加工零件个数与工作时间的比值一定，即加工零件个数与工作时间成正比例关系； （2）先根据图象求出加工零件个数与工作时间的比值，对应的时间是4小时，对应的零件个数是，比值乘对应的时间，即可求得表示的零件个数； （3）观察图象可知，对应的时间是，对应的零件个数是320，对应的零件个数除以比值，即可求得表示的时间； （4）点表示5小时加工了600个零件，求出加工零件个数与工作时间的比值，如果比值等于100，则点在射线上，如果比值不等于100，则点不在射线上，据此解答。 【详解】A．分析可知，是正比例关系的图象，所以加工零件个数与工作时间成正比例关系，题目说法正确。 B．加工零件个数∶工作时间 ＝150∶1.5 ＝150÷1.5 ＝100 100×4＝400（个） 所以，表示400个零件，题目说法正确。 C．320÷100＝3.2（小时） 所以，表示3.2小时，题目说法正确。 D．加工零件个数∶工作时间 ＝600∶5 ＝600÷5 ＝120 因为120≠100，所以点不在射线上，题目说法错误。 故答案为：D 8．按下面（     ）放大，可将一个周长12cm的正方形转换成一个面积是36cm2的正方形。 A．1∶3 B．3∶1 C．1∶2 D．2∶1 【答案】D 【分析】根据正方形周长＝边长×4，边长＝周长÷4，据此求出放大前正方形边长；正方形面积＝边长×边长；6×6＝36，面积是36cm2的正方形的边长是6cm；根据比的意义，用放大后正方形的边长∶放大前正方形的边长，即可解答。 【详解】放大前的边长 12÷4＝3（厘米） 放大后的边长 36＝6×6 即放大后的边长为6厘米， 所以放大后与放大前的比例为： 6∶3 ＝（6÷3）∶（3÷3） ＝2∶1 按2∶1放大，可将一个周长12cm的正方形转换成一个面积是36cm2的正方形。 故答案为：D 二、填空题 9．已知两种相关联的量a和b的关系如下表所示。 a 20 40 60 80 … b 24 12 8 6 … （1）a和b成（ ）比例关系（填“正”或“反”）。 （2）如果a＝10，那么b＝（ ）。 【答案】（1）反 （2）48 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就是看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，就成反比例。 【详解】（1）因为20×24＝480，40×12＝480，60×8＝480，80×6＝480……即a和b的乘积一定，a和b成反比例关系。 （2）由题意得，ab＝480，当a＝10时，b＝480÷10＝48。 10．把一幅地图上的线段比例尺改写成数值比例尺是（ ）；如果在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是5cm，那么甲、乙两地的实际距离是（ ）km。 【答案】 1∶4000000 200 【分析】根据线段比例尺可知，图上距离1cm表示实际距离40km。 根据比例尺＝图上距离∶实际距离，计算时需统一单位；再根据线段比例尺的含义，求图上5cm表示的实际距离，就是求5个40km是多少，用乘法计算。 【详解】1cm∶40km＝1∶4000000 40×5＝200（km） 这个线段比例尺写成数值比例尺是1∶4000000。如果在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是5cm，那么甲、乙两地的实际距离是200km。 11．下表中，如果a和b（a，b均不为0）成正比例，那么“？”处填（ ）；如果a和b成反比例，那么“？”处填（ ）。 a 12 24 b 4 ？ 【答案】 8 2 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。如果a和b成正比例，则a∶b＝12∶4；把a＝24代入式子，求出b的值。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。如果a和b成反比例，则ab＝12×4；把a＝24代入式子，求出b的值。 【详解】如果a和b成正比例，则a∶b＝4∶12； 当a＝24时 24∶b＝12∶4 解：12b＝24×4 12b＝96 12b÷12＝96÷12 b＝8 如果a和b成反比例，则ab＝12×4； 当a＝24时 24×b＝12×4 解：24b＝48 24b÷24＝48÷24 b＝2 12．汽车厂按1∶20的比生产汽车模型，一辆轿车模型长24.3厘米，轿车的实际长度是（ ）米。 【答案】4.86 【分析】按1∶20的比生产汽车模型，即轿车模型长度是轿车实际长度的，把轿车的实际长度看作单位“1”，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用轿车模型长度除以即可求出轿车实际长度。计算时要将厘米换算成米（1米＝100厘米，低级单位换算成高级单位，需要除以进率）。 【详解】24.3÷ ＝24.3×20 ＝486（厘米） 486厘米＝486÷100＝4.86米 13．甲、乙两人比赛120米滑雪，乙让甲先滑10秒。他们两人滑的路程与时间的关系如下图。 （1）在滑完全程中，（ ）滑行的路程和时间成正比例。 （2）前15秒，甲平均每秒滑行（ ）米；后50秒，甲平均每秒滑行（ ）米；甲滑完全程的平均速度是每秒（ ）米。 【答案】（1）乙 （2） 【分析】在第一问中，根据正比例图像的特点，如果两个量成正比例关系，它们的图像是一条直线，也就是两个量的比值一定，由图可知，乙滑行的路程和时间成正比例；在第二问中，要计算甲每秒滑行多少米，要用前15秒滑行的总米数除以用的时间，按相同的方法求后50秒中，平均每秒滑行的米数，再用总米数除以总时间可计算出甲滑行全程的平均速度。 【详解】（1）乙滑行的路程和时间成正比例 （2）40÷15＝； （120-40）÷（65-15） ＝80÷50 ＝； 120÷65＝ 所以前15秒，甲平均每秒滑行米；后50秒，甲平均每秒滑行米；甲滑完全程的平均速度是每秒米。 14．有一辆杂技自行车，前轮的半径是分米，后轮的半径是分米，那么当后轮转的圈数比前轮多10圈的时候，这辆车前进了（ ）米。（圆周率取3.14） 【答案】113.04 【分析】根据题意可知，前轮向前行走多少米，后轮也向前行走相同的米数．也就是行驶的路程一定，即车轮的周长与转的圈数的积一定，所以车轮的周长与转的圈数成反比例。设后轮行走x圈，则前轮走x－10圈。根据圆周长公式列出方程为，然后解方程即可。 【详解】解：设后轮行走x圈，则前轮走x－10圈。 （分米） 1130.4分米113.04米 这辆车前进了113.04米。 15．甲乙两杯饮料的体积比是4∶3，从甲杯倒22毫升给乙杯，则甲、乙两杯饮料的体积比就变成了3∶5，甲杯饮料原有（ ）毫升。 【答案】64 【分析】已知甲乙两杯饮料的体积比是4∶3，设甲杯原有体积为4毫升，乙杯原有体积为3毫升。从甲杯倒22毫升给乙杯后，甲杯体积变为（4－22）毫升，乙杯体积变为（3＋22）毫升，此时体积比为3∶5。据此列出比例方程，解方程求出的值，再计算甲杯原有体积。 【详解】解：设甲杯饮料原有4毫升，则乙杯饮料原有3毫升。 5（4－22）＝3（3＋22） 20－110＝9＋66 20－9＝66＋110 11＝176 ＝176÷11 ＝16 16×4＝64（毫升） 甲杯饮料原有64毫升。 16．上海中心大厦是我国第一高楼，小辰设计了一幅该高楼的宣传海报，海报的比例尺是，把线段比例尺改写为数值比例尺是（ ），在海报上量得该高楼的高度是15.8cm，则该高楼的实际高度是（ ）m。 【答案】 1∶4000 632 【分析】 线段比例尺表示图上1cm相当于实际距离40m，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”以及进率“1m＝100cm”，把线段比例尺改写为数值比例尺。 已知在海报上量得该高楼的高度是15.8cm，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及进率“1m＝100cm”，求出该高楼的实际高度。 【详解】1cm∶40m ＝1cm∶（40×100）cm ＝1∶4000 15.8÷ ＝15.8×4000 ＝63200（cm） 63200cm＝632m 把线段比例尺改写为数值比例尺是（1∶4000），在海报上量得该高楼的高度是15.8cm，则该高楼的实际高度是（632）m。 17．一个比例中，两个内项互为倒数，已知其中一个外项是最小的合数（在自然数中），则另一个外项是（ ）。 【答案】/0.25 【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，两个内项互为倒数，则两个外项也互为倒数，最小的合数是4，整数的倒数是这个整数分之一，据此确定另一个外项。 【详解】一个比例中，两个内项互为倒数，已知其中一个外项是最小的合数（在自然数中），根据分析，则另一个外项是。 18．我国魏晋时期，裴秀提出的“制图六体”是中国测绘史、地图史成文最早、最重要的绘图理论。裴秀因此被英国著名学者李约瑟称为“中国科学制图学之父”。“六体”指绘制地图时的比例尺、方位、距离、高低起伏等原则。史书记载，裴秀用运用“制图六体”的方法，以“一寸为百里”的比例尺绘成了《地形方丈图》，按照“十寸为一尺，六尺为一步，三百步为一里”的进率，把“一寸为百里”写成数字比例尺是（ ）。 【答案】1∶1800000/ 【分析】根据高级单位转化为低级单位乘进率，因为“三百步为一里”，300步＝1里，又因为“六尺为一步”，6尺＝1步，则300步＝尺，又因为“十寸为一尺”，10寸＝1尺，则1800尺＝寸，即1里＝18000寸，把100里转化为以寸为单位，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，列比例即可。 【详解】（尺） （寸） 即1里＝18000寸 （寸） 比例尺是1∶1800000 我国魏晋时期，裴秀提出的“制图六体”是中国测绘史、地图史成文最早、最重要的绘图理论。裴秀因此被英国著名学者李约瑟称为“中国科学制图学之父”。“六体”指绘制地图时的比例尺、方位、距离、高低起伏等原则。史书记载，裴秀运用“制图六体”的方法，以“一寸为百里”的比例尺绘成了《地形方丈图》，按照“十寸为一尺，六尺为一步，三百步为一里”的进率，把“一寸为百里”写成数字比例尺是1∶1800000。 19．小张家和小李家本月收入钱数之比是8∶5，本月开支钱数之比是8∶3，月底小张家结余240元，小李家结余510元，则本月小李家收入（ ）元。 【答案】1050 【分析】小张家和小李家本月收入钱数之比是8∶5，把小张家本月的收入设为8x元，小李家本月的收入设为5x元，开支钱数＝总收入－结余钱数，小张家本月的开支钱数∶小李家本月的开支钱数＝8∶3，据此列比例解决问题，最后求出本月小李家的收入，据此解答。 【详解】解：设小张家本月收入8x元，小李家本月收入5x元。 （8x－240）∶（5x－510）＝8∶3 3×（8x－240）＝8×（5x－510） 3×8x－3×240＝8×5x－8×510 24x－720＝40x－4080 24x－720＋4080＝40x－4080＋4080 24x＋3360＝40x 24x＋3360－24x＝40x－24x 3360＝16x 16x＝3360 16x÷16＝3360÷16 x＝210 5×210＝1050（元） 所以，本月小李家收入1050元。 20．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置。下表是顶部流入底部玻璃球沙子体积与所需时间的相关记录。 底部沙子体积/cm3 1.57 3.14 4.71 6.28 … 所需时间/min 1 2 3 4 … 底部沙子体积与所需时间是一种（ ）比例关系，是因为流入底部沙子的体积与所需时间的（ ）是一定的。照这样的流动速度，顶部12.56cm3的沙子全部流入底部需要（ ）分钟。 【答案】 正 比值 8 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 结合统计表中的数据，计算底部沙子体积与所需时间的比值即沙子的流动速度，如果比值一定，则底部沙子的体积与所需时间成正比例关系。 照这样的流动速度，求顶部12.56cm3的沙子全部流入底部需要的时间，用沙子的体积除以沙子的流动速度即可求解。 【详解】＝＝＝＝…＝1.57（一定） 比值一定，则底部沙子体积与所需时间成正比例关系； 12.56÷1.57＝8（分钟） 填空如下： 底部沙子体积与所需时间是一种正比例关系，是因为流入底部沙子的体积与所需时间的比值是一定的。照这样的流动速度，顶部12.56cm3的沙子全部流入底部需要8分钟。 三、计算题 21．解方程。                        【答案】；； 【分析】，根据比例的基本性质，两内项积等于两外项积，原式变为，计算后根据等式的性质2，两边同时除以4解答即可。 ，根据比例的基本性质，两内项积等于两外项积，原式变为，计算后根据等式的性质2，两边同时除以4解答即可。 ，先计算方程左边，然后根据等式的性质2，两边同时除以0.65解答即可。 【详解】 解： 解： 解： 四、作图题 22．（1）将三角形绕A点顺时针旋转90度，画出旋转后的图形。 （2）按原三角形2∶1的比放大，画出放大后的图形。 【答案】（1）、（2）见详解 【分析】（1）根据旋转的特征，三角形绕点A顺时针旋转90°，点A的位置不动，这个图形的各部分均绕点A按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 （2）直角三角形两条直角边即可确定其形状，根据图形放大的意义，把这个三角形两条直角边均放大到原来的2倍所得到的图形就是原图形按2∶1放大后的图形。（画法不唯一） 【详解】（1）、（2）画图如下： 五、解答题 23．为了保护环境，净化空气，六年级同学要去植树，原计划每小时植树40棵，3小时植完。实际每小时比原计划多植树20棵，实际提前几小时完成任务？ 【答案】1小时 【分析】同学要植树的总棵数是一定的，每小时植树棵数与时间成反比。可据此列式解答。 【详解】解：设实际提前小时完成任务 答：实际提前1小时完成任务。 24．多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… （1）如果继续摆下去，7个凳子的总高度是（ ）厘米。 （2）凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 【答案】（1）81 （2）不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 【分析】（1）先观察表格里凳子数量和总高度的变化，发现1个凳子高45厘米，每增加1个凳子，总高度增加6厘米，由此得出总高度的计算公式：总高度＝45＋6×（凳子数量－1），再把凳子数量7代入公式，即可求出7个凳子的总高度。 （2）正比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则成正比例关系。接着计算不同数量凳子对应的总高度与数量的比值，发现这些比值不固定，因此判断凳子的数量与总高度不成正比例关系。 【详解】（1）45＋6×（7－1） ＝45＋6×6 ＝45＋36 ＝81（厘米） （2）1个凳子：45÷1＝45 2个凳子：51÷2＝25.5 3个凳子：57÷3＝19 答：不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 25．如图是小刚从家出发乘坐出租车去展览馆的路线图（途经文化馆）。出租车在3千米以内（含3千米）的起步价是8元，以后路程每增加1千米车费就增加1.4元。请你算一算，小刚去展览馆一共需要多少元出租车费？ 【答案】45.8元 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，可求得小刚家到展览馆的实际距离，然后将这个距离的长度单位换算为千米，3千米内收费8元，超过部分每千米1.4元，求出相应的租车费用，据此作答即可。 【详解】 ＝6÷ ＝6×500000 ＝3000000（厘米） 3000000厘米＝30千米 8＋1.4×（30－3） ＝8＋1.4×27 ＝8＋37.8 ＝45.8（元） 答：小刚去展览馆一共需要45.8元出租车费。 26．2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭发射取得圆满成功。长征二号F遥二十运载火箭的总长约58.3米，乐乐收藏了这一型号的火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶100，这一模型的高度是多少厘米？ 【答案】58.3厘米 【分析】先根据进率“1米＝100厘米”将58.3米换算成5830厘米，根据题意可得出等量关系：模型的高度∶实际的高度＝1∶100，据此列出比例方程，并求解。 【详解】58.3米＝5830厘米 解：设这一模型的高度是厘米。 ∶5830＝1∶100 100＝5830×1 ＝5830÷100 ＝58.3 答：这一模型的高度是58.3厘米。 27．制曲酿酒是中国传统酿造工艺的特色，在《齐民要术》中记载了多种制曲和酿酒的方法，展示了中国古代对酿酒技术的重视和创新。已知560千克高粱可以酿造出160千克高粱酒，那么用49吨高粱可以酿造出多少吨高粱酒？（列比例解答） 【答案】14吨 【分析】高粱用的越多酒量也越多，所以高粱的用量与酿出的高粱酒量成正比例关系。已知560千克高粱可酿160千克酒，设49吨高粱可酿x吨酒。列比例方程时需保持单位一致，根据1吨＝1000千克，将千克转换为吨后，再列比例解答。 【详解】解：设49吨高粱可酿x吨酒。 560千克＝0.56吨，160千克＝0.16吨， 列比例方程： 答：49吨高粱可酿造出14吨高粱酒。 28．在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，量得A、B两城市之间的距离是8厘米。甲、乙两辆汽车同时从A、B两城相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米。两车出发后几小时相遇？ 【答案】4小时 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出A、B两城的实际距离，再根据时间＝路程÷速度，用A、B两地的距离÷甲车与乙车的速度和，即可解答，注意单位的换算。 【详解】8÷ ＝8×5000000 ＝40000000（厘米） 40000000厘米＝400（千米） 400÷（60＋40） ＝400÷100 ＝4（小时） 答：两车出发后4小时相遇。 29．今年“五一”，奇思一家自驾旅行。途经A、B、C三地，具体如下图所示。他们7：30从A地出发，9：30到达B地，平均速度为60千米/时。 ①量得A、B两地图上距离是2厘米，这幅图的比例尺是多少？ ②汽车的油箱容量是48升，使用92号汽油。当汽车开到B地时，汽车油表显示如下图，需要花多少钱才能将油箱加满？ 燃油价格表 燃油标号 价格/（元/升） 92号汽油 7.06 95号汽油 7.58 98号汽油 9.08 0号汽油 6.7 注：E表示没油，F表示满油。1/2就是。 【答案】①1∶6000000 ②211.8元 【分析】①根据公式“路程＝速度×时间”，算出A、B两地间的实际距离；再根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”即可解答。 ②由图可知，此时油箱内的油还剩，所以还需要加箱油，把48升看成单位“1”，运用公式“单位‘1’的量×对应分率＝对应量”算出加满油箱需要的加油量，然后用公式“总价＝单价×数量”算出需要花的钱数。 【详解】①9时30分－7时30分＝2小时 （千米） 2厘米∶120千米 ＝2厘米∶（120×100000）厘米 ＝2∶12000000 ＝（2÷2）∶（12000000÷2） ＝1∶6000000 答：这幅图的比例尺是1∶6000000。 ② （升） （元） 答：需要花211.8元才能将油箱加满。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章：比和比例 专题14：比例、比例尺 （9大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 考点01：比例的意义和基本性质 考点02：解比例 考点03：正比例及其应用 考点04：反比例及其应用 考点05：物高与影长问题 考点06：比例尺 考点07：应用比例尺画图 考点08：比例尺的实际应用 考点09：图形的放大与缩小 知识点01：比例的意义 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 2.比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）两端的两项叫做比例的外项。 （3）中间的两项叫做比例的内项。 3.比和比例的联系与区别 知识点02：比例的基本性质 1.比例的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 2.用字母表示：如果a∶b＝c∶d（b、d均不为0），那么ad＝bc。 3.判断两个比能否组成比例的方法 （1）求出比值，看它们的比值是否相等； （2）根据比例的基本性质求“积”，看两个外项的积是否等于两个内项的积。 知识点03：解比例 1.解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。 2.解比例的依据：比例的基本性质。 3.解比例的方法：可以根据比例的基本性质将原式转化成学过的方程，再解方程；也可以先将原式进行整理计算，再转化成学过的方程来解。 知识点04：正比例 1.相关联的量：两种量中，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量叫做相关联的量。 2.正比例 （1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 （2）字母表达式：如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为。 （3）关键特征：比值一定，变化方向相同（一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小）。 （4）正比例的图象：如果把成正比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，形成一条射线；反之，该射线上的每一个点对应的就是正比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 知识点08：反比例 1.定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2.字母表达式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy＝k。 3.关键特征：乘积一定，变化方向相反（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）。 4.反比例的图象：反比例关系也可以用图象来表示，如果把成反比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，会形成一条光滑的曲线；反之，该曲线上的每一个点对应的就是反比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 知识点09：比例尺 1.比例尺：一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 用公式表示为“图上距离∶实际距离＝比例尺”，或“＝比例尺”。 2.比例尺的分类 （1）按照表现形式分，比例尺有数值比例尺和线段比例尺两种，两种比例尺可以互相转化。 把线段比例尺改写成数值比例尺时，一定要统一单位。 （2）按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。 3.应用比例尺画图 （1）根据实际距离与纸张的大小确定平面图的比例尺； （2）根据比例尺求出图上距离； （3）根据图上距离画出相应的平面图； （4）标明平面图的名称和比例尺。 【易错点拨】 （1）比例尺是一个比，它表示图上距离和实际距离的关系，因此不能带计量单位。 （2）计算时单位必须统一。 （3）线段比例尺需先转化为数值比例尺，再进行计算。 知识点10：比例的应用 1.图形的放大与缩小 （1）图形按一定的比放大或缩小后，只是图形的大小发生了变化，图形原有的形状没变化。 （2）把图形按比放大或缩小，就是把图形的每一条边都按比放大或缩小。 2.用正、反比例知识解决问题的解题步骤 （1）根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例或反比例关系。 （2）找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例方程。 （3）解比例。 （4）检验并写出答语。 考点01：比例的意义和基本性质 【典型例题】在比例4∶16＝6∶24中，如果将前一个比的前项加上8，那么后一个比的后项应（     ），比例才成立。 A．减去16 B．乘3 C．加上8 D．减去8 【变式训练】甲数的等于乙数的（甲数、乙数不为0），那么甲数与乙数的比是（     ）。 A． B．6∶5 C．5∶6 D． 考点02：解比例 【典型例题】甲、乙、丙三个数，已知甲∶（乙＋丙）＝4∶3，乙∶丙＝2∶7，则甲∶乙∶丙＝（ ）∶（ ）∶（ ）。 【变式训练】解比例。                  考点03：正比例及其应用 【典型例题1】如图表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题。 （1）香蕉的总价和购买的数量成（ ）（填“正”或“反”）比例关系。 （2）从图像上看，单价更贵一些的水果是（ ）。 （3）买3千克苹果要用（ ）元，20元可以买（ ）千克香蕉。 【典型例题2】制作一种饮品，每200克的水中需要加入40克的原浆，按照这样的比例计算，如果有1500克的水，需要准备多少克的原浆？（列比例解答） 【变式训练】某城市的士票价为：租单程3km以内8元，超过3km的部分每千米2.5元；如果租往返每千米2元。下面表示租单程时路程与收费的关系和表示租往返时路程与收费的关系的是（     ）。 A．③① B．③② C．①② D．④② 考点04：反比例及其应用 【典型例题1】图中刻度数与棋子数成反比例，在左侧刻度2放（     ）个棋子才能保证杠杆平衡。 A．15 B．12 C．20 D．16 【典型例题2】如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。 （1）转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是（ ）关系。 （2）大齿轮有60个齿，小齿轮有15个齿。如果大齿轮每分钟转80圈，小齿轮每分钟转多少圈？ 【变式训练】一间房子用方砖铺地，用边长为0.3米的方砖铺，需要960块。如果改用面积为0.4平方米的方砖铺，需用方砖多少块？（用比例知识解答） 考点05：物高与影长问题 【典型例题】树高测量：小明身高1.2米，在阳光下的影子长1.5米。同一时间、同一地点，一棵大树的影子长4.5米，这棵大树高多少米？（用比例的方法解答） 【变式训练】如果想测量一座寺庙的高度，将一根长1米的木棒竖直立在地上，量得它的影长为0.6米，同时量得寺庙的影长为18.6米，那么寺庙的实际高度是多少米？（用比例解答） 考点06：比例尺 【典型例题】在一幅地图上量得甲、乙两地的距离是11.25厘米。如果甲、乙两地的实际距离是900千米，那么这幅地图的比例尺是（ ）。 【变式训练】这是一个线段比例尺，图上1厘米表示实际（ ）千米，转化成数值比例尺是（ ）。 考点07：应用比例尺画图 【典型例题】博物馆在百花园正西360m处，万达广场在百花园东偏南30°方向600米处，请你在下图中标出博物馆和万达广场的位置。 【变式训练】小梅和小方在庐山含鄱口用无人机拍摄风景。请根据下面信息分别标出他们无人机的位置。 考点08：比例尺的实际应用 【典型例题1】在一幅比例尺为1∶4000000的地图上，甲、乙两城之间的直线距离是5.5厘米。一辆货车早上7：20从甲地出发送货到乙地，平均每小时行55千米，如果货车途中没有休息，什么时候到达乙地？ 【典型例题2】港珠澳大桥是我国境内一座连接香港、广东珠海和澳门的桥隧工程，在比例尺是1∶500000的地图上量得港珠澳大桥全长11厘米。若画在比例尺是1∶1100000的地图上，则港珠澳大桥应画多少厘米？ 【变式训练】在比例尺为的地图上，测得甲、乙两地路线长6厘米，小夏和妹妹从两地同时出发，相向而行。已知小夏平均每分钟走86米，妹妹平均每分钟走64米，两人大约多少分钟后相遇？ 考点09：图形的放大与缩小 【典型例题】李老师的手机上保存着“厦门市地铁线网”截图，供同学们课后实践使用，下左图是小华把李老师的原图按1∶a缩小后的图片，下右图是小丽把原图按（     ）缩小后的图片。 A．1∶a B．1∶a C．1∶2a D．1∶4a 【变式训练】把一个长5cm、宽3cm的长方形按3∶1放大，得到的图形面积是（ ）cm2。 一、选择题 1．能与∶组成比例的是（     ）。 A．4∶3 B．3∶4 C． D． 2．有两个相关联的量，它们的关系如下图，这两个量可能是（     ）。 A．小明的身高和年龄 B．买水果的重量和单价 C．汽车运货的次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数 D．正方形的边长与面积 3．在比例0.8∶3＝16∶60中，如果给3加上6，要使比例成立，外项中的60应（     ）。 A．加上6 B．乘2 C．加上180 D．加上120 4．下图是六（1）班的教室平面图，亮亮在平面图上量得教室的长为5cm，这间教室的实际长是10m，这幅平面图的比例尺是（     ）。 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶200 D．200∶1 5．一个成年人的身高和脚长之比大约为7∶1。侦探Q先生发现了1名嫌疑人的鞋印，如图，根据脚印的长度和身高的关系来判断，嫌疑人的身高最可能是（     ）。 A．甲：183cm B．乙：168cm C．丙：175cm D．丁：156cm 6．下面各选项中的两个量，成正比例的是（     ）。 A．某榫卯家具厂工人的人数一定，出勤人数和缺勤人数。 B．圆周率一定，某榫卯圆桌的桌面面积和它的半径。 C．每分钟的电话费一定，某榫卯家具厂销售员通话时长与所花的总费用。 D．榫卯家具的木料总长度一定，每根木料的长度和加工的根数。 7．王师傅加工一批零件，工作时间与加工零件个数的关系如图所示，下面说法错误的是（     ）。 A．加工零件个数与工作时间成正比例关系 B．表示400个零件 C．表示3.2小时 D．若有点表示5小时加工了600个零件，那么点一定会和点、、一样在射线上 8．按下面（     ）放大，可将一个周长12cm的正方形转换成一个面积是36cm2的正方形。 A．1∶3 B．3∶1 C．1∶2 D．2∶1 二、填空题 9．已知两种相关联的量a和b的关系如下表所示。 a 20 40 60 80 … b 24 12 8 6 … （1）a和b成（ ）比例关系（填“正”或“反”）。 （2）如果a＝10，那么b＝（ ）。 10．把一幅地图上的线段比例尺改写成数值比例尺是（ ）；如果在这幅地图上量得甲、乙两地的距离是5cm，那么甲、乙两地的实际距离是（ ）km。 11．下表中，如果a和b（a，b均不为0）成正比例，那么“？”处填（ ）；如果a和b成反比例，那么“？”处填（ ）。 a 12 24 b 4 ？ 12．汽车厂按1∶20的比生产汽车模型，一辆轿车模型长24.3厘米，轿车的实际长度是（ ）米。 13．甲、乙两人比赛120米滑雪，乙让甲先滑10秒。他们两人滑的路程与时间的关系如下图。 （1）在滑完全程中，（ ）滑行的路程和时间成正比例。 （2）前15秒，甲平均每秒滑行（ ）米；后50秒，甲平均每秒滑行（ ）米；甲滑完全程的平均速度是每秒（ ）米。 14．有一辆杂技自行车，前轮的半径是分米，后轮的半径是分米，那么当后轮转的圈数比前轮多10圈的时候，这辆车前进了（ ）米。（圆周率取3.14） 15．甲乙两杯饮料的体积比是4∶3，从甲杯倒22毫升给乙杯，则甲、乙两杯饮料的体积比就变成了3∶5，甲杯饮料原有（ ）毫升。 16．上海中心大厦是我国第一高楼，小辰设计了一幅该高楼的宣传海报，海报的比例尺是，把线段比例尺改写为数值比例尺是（ ），在海报上量得该高楼的高度是15.8cm，则该高楼的实际高度是（ ）m。 17．一个比例中，两个内项互为倒数，已知其中一个外项是最小的合数（在自然数中），则另一个外项是（ ）。 18．我国魏晋时期，裴秀提出的“制图六体”是中国测绘史、地图史成文最早、最重要的绘图理论。裴秀因此被英国著名学者李约瑟称为“中国科学制图学之父”。“六体”指绘制地图时的比例尺、方位、距离、高低起伏等原则。史书记载，裴秀用运用“制图六体”的方法，以“一寸为百里”的比例尺绘成了《地形方丈图》，按照“十寸为一尺，六尺为一步，三百步为一里”的进率，把“一寸为百里”写成数字比例尺是（ ）。 19．小张家和小李家本月收入钱数之比是8∶5，本月开支钱数之比是8∶3，月底小张家结余240元，小李家结余510元，则本月小李家收入（ ）元。 20．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置。下表是顶部流入底部玻璃球沙子体积与所需时间的相关记录。 底部沙子体积/cm3 1.57 3.14 4.71 6.28 … 所需时间/min 1 2 3 4 … 底部沙子体积与所需时间是一种（ ）比例关系，是因为流入底部沙子的体积与所需时间的（ ）是一定的。照这样的流动速度，顶部12.56cm3的沙子全部流入底部需要（ ）分钟。 三、计算题 21．解方程。                        四、作图题 22．（1）将三角形绕A点顺时针旋转90度，画出旋转后的图形。 （2）按原三角形2∶1的比放大，画出放大后的图形。 五、解答题 23．为了保护环境，净化空气，六年级同学要去植树，原计划每小时植树40棵，3小时植完。实际每小时比原计划多植树20棵，实际提前几小时完成任务？ 24．多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… （1）如果继续摆下去，7个凳子的总高度是（ ）厘米。 （2）凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 25．如图是小刚从家出发乘坐出租车去展览馆的路线图（途经文化馆）。出租车在3千米以内（含3千米）的起步价是8元，以后路程每增加1千米车费就增加1.4元。请你算一算，小刚去展览馆一共需要多少元出租车费？ 26．2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭发射取得圆满成功。长征二号F遥二十运载火箭的总长约58.3米，乐乐收藏了这一型号的火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶100，这一模型的高度是多少厘米？ 27．制曲酿酒是中国传统酿造工艺的特色，在《齐民要术》中记载了多种制曲和酿酒的方法，展示了中国古代对酿酒技术的重视和创新。已知560千克高粱可以酿造出160千克高粱酒，那么用49吨高粱可以酿造出多少吨高粱酒？（列比例解答） 28．在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，量得A、B两城市之间的距离是8厘米。甲、乙两辆汽车同时从A、B两城相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米。两车出发后几小时相遇？ 29．今年“五一”，奇思一家自驾旅行。途经A、B、C三地，具体如下图所示。他们7：30从A地出发，9：30到达B地，平均速度为60千米/时。 ①量得A、B两地图上距离是2厘米，这幅图的比例尺是多少？ ②汽车的油箱容量是48升，使用92号汽油。当汽车开到B地时，汽车油表显示如下图，需要花多少钱才能将油箱加满？ 燃油价格表 燃油标号 价格/（元/升） 92号汽油 7.06 95号汽油 7.58 98号汽油 9.08 0号汽油 6.7 注：E表示没油，F表示满油。1/2就是。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $