第四单元 第4课时 正比例（教学设计）数学人教版六年级下册

第四单元 第4课时 正比例 教学设计 一、教材内容分析 1.知识内涵 （1）地位作用：正比例是在学生掌握比和比例知识基础上，对两种相关联量变化规律的深入研究，是函数思想的初步渗透，为后续反比例、一次函数学习奠定基础，是连接算术与代数的重要桥梁。 （2）内容呈现：以文具店彩带销售的表格情境引入，通过三个问题引导观察数量与总价的关联变化；抽象出正比例定义后，用字母表达式（一定）概括关系；再通过正比例图象直观展示规律，设计图象相关问题深化理解；最后让学生联系生活举例，“做一做”以路程时间表格巩固应用。 （3）编排特点：遵循“具体情境→数据观察→抽象概念→符号表达→图象直观→应用拓展”的逻辑线索，从具象到抽象，符合学生认知规律；问题链驱动探究，注重生活联系，体现数学实用性。 2.素养内涵 本节课承载模型意识、几何直观、推理意识、应用意识等核心素养，具体表现如下： （1）模型意识：从彩带销售情境中抽象出（一定）的正比例模型，用模型描述数量规律，建立数学模型解决实际问题； （2）几何直观：通过正比例图象（直线）将抽象数量关系可视化，利用图象判断总价、数量或估计数值，培养直观感知能力； （3）推理意识：观察表格中数量与总价的变化，归纳比值一定的规律，推理出正比例定义，发展归纳推理能力； （4）应用意识：联系生活举例（如速度一定时路程与时间），“做一做”解决路程时间问题，将知识应用于实际，感受数学价值。 二、教学目标 1.经历分析数量与总价关系的过程，理解正比例意义，掌握字母表达式，能判断成正比例的量。 2.通过观察表格和图象，分析比值变化，培养数据分析能力，发展初步函数思想。 3.感受数学与生活联系，用数学眼光观察正比例现象，提升应用意识。 三、教学重难点 1.教学重点：理解正比例的意义，掌握成正比例的量的特征，能判断两种量是否成正比例。 2.教学难点：理解“两种相关联的量”的含义，准确判断两种量是否成正比例，以及理解正比例图象的意义。 四、课堂导入 创设情境导入法： 教师活动：播放一段运动会短跑视频片段，提问：“小明和小红比赛跑步，小明平均每秒跑5米，小红每秒跑4米。”观察表格（板书）： 小明跑步时间（秒） 1 2 3 跑步路程（米） 5 10 15 “时间变长，路程如何变化？为什么？” 学生活动：观察数据，讨论发现：“时间越长，路程越多；因为速度不变，路程÷时间=5（固定）”。 教师过渡：“像这样，一个量变化，另一个量跟着变，且它们的比值始终固定，藏着重要的数学规律！今天我们就探索这种特殊关系。” 【设计意图：以运动会情境激活生活经验，通过数据对比直观感知"比值不变"的核心特征，引发对变化规律的探究欲，为理解正比例概念奠基。】 五、探究新知 学习任务一：分析总价与数量的变化规律 活动1：观察表格，发现变量关系 教师活动：呈现文具店彩带销售的数量与总价表格 提出核心问题：（1）表中有哪两种量？（2）总价是怎样随着数量的变化而变化的？请同学们独立观察表格，思考后小组交流。 学生活动：小组讨论后汇报：（1）表中有数量和总价两种量；（2）数量增加时总价随之增加，数量减少时总价随之减少，二者是相关联的量。 教师活动：继续提出核心问题：（3）相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？请计算并比较这些比值。 学生活动：计算每个总价与对应数量的比（如、等），发现所有比值均为3.5，保持一致。 【设计意图：通过观察表格数据、计算比值，引导学生初步感知两种相关联的量之间的变化规律，培养数据分析能力，为后续抽象正比例概念奠定基础。】 学习任务二：归纳正比例的意义 活动2：总结规律，定义正比例关系 教师活动：引导学生回顾上述发现，提出核心问题：这两种量的变化具有什么共同特点？你能概括这种关系的本质吗？ 学生活动：思考后总结：两种量相关联，一种量变化另一种量也变化，且它们的比值始终不变。 教师活动：给出正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。并用字母式子（为定值）表示。 学生活动：结合表格中的总价（）和数量（），理解定义，明确二者是成正比例的量。 【设计意图：将具体数据规律抽象为数学概念，建立正比例关系的数学模型，发展抽象概括能力与数学建模素养，突破“正比例关系本质”这一重难点。】 学习任务三：探究正比例关系的图像应用 活动3：分析图像，解决实际问题 教师活动：呈现总价与数量的关系图像，提出核心问题：（1）从图像中你发现了什么？（2）描出数对（10，35）和（12，42）的点，连起来延长后有什么发现？ 学生活动：观察图像发现是一条过原点的直线；描点连线后，发现直线延伸方向保持不变，说明数量与总价的比值始终不变。 教师活动：继续提出核心问题：（3）不计算，根据图像判断买9m彩带的总价和49元能买的米数；（4）小明买的米数是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍？ 学生活动：通过图像找到对应点，回答：9m对应31.5元，49元对应14m；钱数也是小丽的2倍。 教师活动：你能举出生活中正比例关系的例子吗？ 【设计意图：借助图像直观理解正比例关系，体会数形结合思想，发展几何直观素养；通过图像解决实际问题，提升应用意识与推理能力。】 六、课堂练习 1.一辆汽车行驶的时间和路程如下表： 时间/时 1 2 3 4 5 6 路程/km 80 160 240 320 400 480 根据上表回答： （1）写出几组路程与相对应的时间的比，并比较比值的大小。 （2）说一说这个比值表示什么。 （3）汽车行驶的路程与时间成正比例关系吗？为什么？ （4）在图中描出表示路程和相对应时间的点，然后把它们按顺序连起来。估计一下行驶120km大约要用多长时间。 七、课堂小结 本节课我们学习了正比例的核心知识：首先认识了两种相关联的量，一种量变化时另一种量也会跟着变化；接着发现当这两种量相对应的两个数的比值始终一定时，它们就是成正比例的量，这种关系叫正比例关系；我们还用字母表示了正比例关系：（其中k是固定不变的）；另外，正比例关系的图象是一条经过原点的直线。通过观察数据表格、计算比值找规律、结合图象验证的过程，我们逐步理解了正比例的含义。希望大家课后能运用这些知识，发现生活中的正比例关系。 八、课后作业设计 基础性作业 1.下面的式子中，y与x成正比例关系的是（       ）。（x，y均不为0）。 A．x＋3＝y B．x－5＝y C． D． 2.下列数量关系中，两种量成正比例关系的是（ ）。 A．一块菜地上种的黄瓜与西红柿的面积 B．时间一定，路程与速度 C．圆柱体积一定，圆柱的底面积与高 D． 3.图（       ）是表示正比例关系的图象。 A.B.C. 拓展性作业 4.园园家用水量与水费总价的关系如下表。 用水量/吨 3.5 4 4.5 5 9 总价/元 7 8 9 10 18 （1）从上表可以看出，(      )和(      )是两种相关联的量。因为这两种量中对应的两个数的(      )一定，即＝单价（一定），所以这两种量叫作(      )的量。 （2）若某月园园家用水4.8吨，则要交水费(      )元；若交水费17元，则用水(      )吨。 5.我国自主研制的“运－20”运输机可用于空投、空降、运输等多种用途。下表是“运－20”运货时间和所行路程的统计表。 运货时间/时 1 3 5 6 …… 所行路程 600 1800 …… （1）补全表格。 （2）根据上表，把运货时间与所行路程所对应的点在图中描出来，并且连线。 （3）不计算，根据图像判断，飞行4小时所行路程是（       ）km；飞行1200km需要（       ）小时。 参考答案 基础性作业 1.D 设计意图：考查正比例关系的定义，通过不同形式的式子判断，巩固 “两种相关联的量比值一定” 这一核心特征，提升对正比例关系本质的识别能力。 2.B A.一块菜地上种的黄瓜与西红柿的面积，没有说明比值一定，所以两个量不成正比例关系，故此选项不会符合题意。 B.路程=速度×时间，时间一定，路程与速度成正比例关系，故此选项符合题意。 C.圆柱体积一定，圆柱的底面积与高成反比例关系，故此选项不符合题意。 D.xy=，因为它们的乘积一定，所以x、y,不是正比例关系，故此选项不符合题意。 设计意图：结合生活与几何情境，考查学生对正比例关系的实际应用判断能力，强化 “比值一定” 的正比例本质理解。 3.B 设计意图：考查正比例关系的图象特征，让学生直观理解 “正比例图象是过原点的直线”，建立数与形的联系，提升数形结合能力。 拓展性作业 4.（1）总价，用水量，比值，成正比例 （2）9.6，8.5 设计意图： 通过表格数据，让学生经历 “观察 — 判断 — 计算” 的过程，巩固正比例关系的定义与应用，体会正比例在生活中的实际价值，提升数据分析与运算能力。 5.（1） 运货时间/时 1 3 5 6 …… 所行路程 600 1800 3000 3600 …… （2） （3）通过观察图象可知，飞行4小时所行路程是2400km;飞行1200km需要2小时。 设计意图：通过 “运 - 20” 运输机的真实情境，综合考查正比例关系的表格、图象、计算应用，让学生体会正比例在实际问题中的价值，强化 “路程 ÷ 时间 = 速度（一定）” 的正比例模型，提升数据分析与数形结合能力。 九、板书设计 正比例 = = =……=3.5 正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且相对应的两个数的比值（商）一定。 ：=k（k为定值） 实例验证 =单价（一定）→总价与数量成正比例 =速度（一定）→路程与时间成正比例 图象特点：正比例关系的图象是过原点的直线 ( 1 / 7 ) 学科网（北京）股份有限公司 $