第九章 平面直角坐标系 -2025-2026学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第九章 平面直角坐标系 思维导图 【类型一】判断点所在的象限 1．已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题先根据第二象限点的坐标特征得到m、n的取值范围. 再判断点B横纵坐标的正负，结合象限坐标特征确定点B所在位置． 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限点的坐标特征为横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点B的横坐标小于0，纵坐标也小于0， ∴点B在第三象限，故C正确． 2．在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴点在第一象限． 3．若点在轴上，点在轴上，则点在第________象限． 【答案】四 【分析】根据点在轴上，点在轴上，求出、的值，再根据、的值求出点的坐标，根据坐标的特点判断点所在的象限． 【详解】解：点在轴上， ， 解得：， 点在轴上， ， ， ，， 点的坐标为， 点在第四象限． 【类型二】写出直角坐标系中点的坐标 1．如图在正方形网格中，若点，点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用点，点的坐标建立平面直角坐标系，进而得出C的坐标． 【详解】解：如图， ∴点C的坐标为． 2．如果在轴上，那么点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查x轴上点的坐标特征，利用x轴上点的纵坐标为0这一性质列方程求解m，再确定点P的坐标． 【详解】解：∵x轴上的点纵坐标为0， ∴， 解得， 将代入点P的横坐标，得横坐标为， ∴点P的坐标是． 故选：B 3．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点，线段向右平移3个单位长度得到线段，线段与轴交于点．若图中阴影部分面积是21，点的坐标为，则点的坐标为________．    【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，掌握坐标与平移的关系是解题的关键． 设，由点的坐标、平移可得到、、的长度，然后根据阴影部分的面积等于的面积减去的面积，得到关于的方程，解方程即可求出点的坐标． 【详解】解：设． ∵点，点的坐标为，线段向右平移3个单位长度得到线段， ，，， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【类型三】用坐标描述简单几何图形 1．如图，将5个边长均为3的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图形可得轴，，轴，可求正方形的边长，即可求解． 【详解】解：∵顶点M、N的坐标分别为、， ∴轴，，轴， ∴正方形的边长为3， ∴， ∴， ∵ ， ∴轴， ∴． 故选：A． 2．如图，长方形的长与宽分别为6和4（）．若以点C为原点，分别以，所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求平面直角坐标系中点的坐标． 根据“长方形的长与宽分别为6和4（）”得到，根据“以点C为原点，分别以，所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系”可知轴，轴，即可求出点A的坐标． 【详解】解：∵长方形的长与宽分别为6和4（）， ∴， ∵以点C为原点，分别以，所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系， ∴轴，轴， ∴点A的坐标是． 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，点的坐标为，点在第二象限，点在第三象限，若轴，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质及轴，得到轴，结合点的坐标，即可求解． 本题主要考查坐标与图形，解题的关键是：熟练掌握坐标与图形． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴， ∵点的坐标为，轴， ∴轴， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：，即：， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：，即：， 故答案为：． 【类型四】用坐标表示地理位置 1．根据下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．亳州中药城南 B．解放路中段 C．北偏东 D．东经，北纬 【答案】D 【详解】解：A、描述的是一个区域，不能准确定位； B、描述的是一个路段，不能准确定位； C、只有一个方向，没有距离，不能准确定位； D、根据经度和纬度可以准确定位. 2．小明从家里出发，沿正西方向走，再沿正北方向走到达学校，如果以小明家位置为原点，以正东、正北为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，以为单位长度，则学校位置用坐标表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定横纵坐标的正负，再结合单位长度换算即可得到学校坐标． 【详解】解：∵以小明家为原点，正东为x轴正方向，正北为y轴正方向，单位长度为，小明先沿正西方向走，正西是x轴负方向， ∴学校的横坐标为， ∵小明再沿正北方向走，正北是y轴正方向， ∴学校的纵坐标为， ∴学校的坐标为 ． 3．如图是一所学校的部分平面示意图，教学楼、图书馆和实验楼的位置都在小正方形网格线的交点处，若教学楼位置的坐标是，图书馆位置的坐标是，则实验楼位置的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据条件找到原点，进而解题． 【详解】解：由题意知，坐标系如下图， ∴实验楼位置的坐标为． 故答案为： ． 【类型五】用坐标表示平移 1．已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点和对应点的坐标确定平移规律，再利用中点坐标公式求出原端点的坐标，最后根据平移规律计算的坐标即可. 【详解】解：点平移后的对应点为， 平移规律为横坐标减，纵坐标加，即向左平移个单位，向上平移个单位， 设点的坐标为， 中点为， 由中点坐标性质得， 解得：， 点的坐标为， 根据平移规律，点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 故选：B． 2．已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 【答案】B 【分析】本题考查坐标与平移，根据点的平移规则，向下平移时y坐标减少，向右平移时x坐标增加，由点和平移后的点，列方程求解． 【详解】解：将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∵将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∴， 解得， 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，将平移后得到，若平移后点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，掌握坐标平移变化规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 先根据平移后点的对应点D的坐标为，得出是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到，再由坐标平移变化规律“左减右加，上加下减”得出点C的坐标即可． 【详解】解：∵将平移后得到，平移后点的对应点D的坐标为， ∴是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到， ∴点是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到点C， ∴点C的坐标为，即． 【类型一】求点到坐标轴的距离 1．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到y轴的距离等于，则点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题利用平行于轴的直线上点的纵坐标相等的性质，先确定点的纵坐标，再根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求出横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：点与点在同一条平行于轴的直线上， ， 点到轴的距离等于， ， 即或， 点的坐标为或． 2．已知点，若点Q的坐标为，且直线轴，则点P的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征．根据平行于y轴的直线上的点横坐标相等，列方程求解即可． 【详解】解：∵直线轴， ∴点和点的横坐标相等， 即， 解得， 代入点的纵坐标，得， ∴点的坐标为． 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若P到y轴的距离为2，求m的值； (2)若点P的横纵坐标相等，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在第二象限内有一点Q，使轴，且，求点Q的坐标． 【答案】(1)或5 (2) (3)． 【分析】（1）根据题意得到，解方程即可求解； （2）根据题意得到，解方程即可求解； （3）根据坐标与图形的意义，即可求解． 【详解】（1）解：点P到y轴的距离为2， ， 或； （2）解：点P的横纵坐标相等， ， ， ； （3）解：∵轴， ∴点P与点Q的纵坐标相同，   ∴点Q的纵坐标为2，   ∵， ∴或，    ∵点Q在第二象限， ∴． 【类型二】坐标系的面积问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．现将线段向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的图像是线段，连接，． (1)点D的坐标为______； (2)在y轴上存在一点P，连接，，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）根据平移方式结合平移的性质可得点D的坐标； （2）利用三角形的面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：将点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的点D的横坐标为，纵坐标为，即； （2）设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求出的面积． (2)在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1)4 (2)或 【分析】（1）过点M作轴于点N，根据列式求解即可； （2）设点P的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点M作轴于点N， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，三点，若，，c满足． (1)求点A、B、C的坐标，并回答与轴的位置关系？； (2)求四边形的面积； (3)是否存在一点，使得三角形的面积为四边形的面积的倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，轴 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）根据非负数的性质求出，可知点A、B、C的坐标，根据B，C横坐标相同可知轴； （2）根据点A、B、C的坐标得到，根据轴可知四边形是梯形，根据梯形的面积公式即可求出四边形的面积； （3）根据“点使得三角形的面积为四边形的面积的倍”列方程求出，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴点，，， ∵B，C横坐标相同， ∴轴； （2）解：∵，，， ∴， 又轴， ∴四边形是梯形， ∴； （3）解：存在． ∵点使得三角形的面积为四边形的面积的倍， ∴， 解得， ∴点P的坐标为或． 【类型三】坐标系中的网格问题 1．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在小正方形的格点上． (1)将向右平移4个单位长度后得到，请在图中画出； (2)在（1）的条件下，请写出，，三点的坐标． 【答案】(1)； (2)，，． 【分析】对于(1)，依据图形平移的性质，需将的三个顶点、、分别沿水平方向向右平移4个单位长度，得到对应点、、，再依次连接这三个点，从而得到平移后的；对于(2)，先通过网格确定各顶点的原始坐标，再结合平面直角坐标系中“点向右平移时，横坐标增加平移的单位长度，纵坐标保持不变”这一坐标变化规律，计算出、、的坐标． 【详解】（1）解：观察网格可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 将点向右平移4个单位长度，其横坐标变为，纵坐标不变，得到对应点； 将点向右平移4个单位长度，其横坐标变为，纵坐标不变，得到对应点； 将点向右平移4个单位长度，其横坐标变为，纵坐标不变，得到对应点． 按照顺序连接、、这三个点，完成的绘制． （2）已知原顶点，向右平移4个单位长度后，的坐标为； 原顶点，向右平移4个单位长度后，的坐标为； 原顶点，向右平移4个单位长度后，的坐标为． 2．如图所示，在平面直角坐标系中，点，，，向右平移5个单位长度后得到的． (1)画出平移后的； (2)若线段上有一点P的纵坐标为m，请直接写出平移后对应的点坐标； (3)求出的面积． 【答案】(1)作图见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据平移变换的定义，当一个图形向右平移5个单位长度时，图形中每个点的横坐标增加5，纵坐标不变．因此点平移后变为，点平移后变为，点平移后变为，最终依次连接即可； （2）线段上有一点P的纵坐标为m，平移后点P的纵坐标不变，仍为m，但横坐标增加5，因此可得出平移后的点的坐标； （3）先求出的底，高为点到线段的垂直距离，即点与点的横坐标之差，从而利用三角形面积公式求得结果． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：∵线段在上，且有一点P的纵坐标为m， ∴平移后点P的纵坐标不变，仍为m， 而横坐标增加5，因此平移后点P的坐标为， 即． （3）解：． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)点C到x轴的距离为 ； (3)将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．请在所给坐标系中画出； (4)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标为 ； (5)求的面积． 【答案】(1)，， (2)1 (3)见解析 (4) (5)7 【分析】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解答本题的关键． （1）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标即可； （2）根据“点到轴的距离为纵坐标的绝对值”求解即可； （3）根据网格结构找出点、、的位置，然后顺次连接即可； （4）根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减解答； （5）利用所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：由图知，，， 故答案为：，， （2）解： 到轴的距离为 故答案为： （3）解：如图，即为所求； （4）解：根据题意，点P的坐标为； 故答案为：； （5）解：的面积， ， ， ． 【类型一】坐标系中的规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将第个点作为第列，作为第列，以此类推，则第列有个坐标，第列有个坐标，，第列有个坐标，，列共有坐标总数为，据此找出第2024个点的位置即可求解． 【详解】解：将第个点作为第列，作为第列，以此类推， 则第列有个坐标，第列有个坐标，，第列有个坐标，列共有坐标总数为， ， ， 第个坐标在第列， ， 从下往上数第个坐标的纵坐标为， 第2024个点的坐标是． 2．如图．在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“”方向排列，依次为：，，，，，，，…，根据这个规律，第2024个点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 第2024个点为组中的最后一个数字，故横坐标为：0；从以上四组数据看，偶数组第2、4组最后一个数为：，，则第506组纵坐标为，由此求解即可． 【详解】解：通过图象可知，每四组为一个周期， 对应的数据为：第一组：； 第二组：； 第三组：； 第四组：； 而， 则第2024个点为组中的最后一个数字，故横坐标为：0； 从以上四组数据看，偶数组第2、4组最后一个数为：，， 则第506组纵坐标为， 故第2024个点的坐标为：． 3．如图所示，点，，，，……在平面直角坐标系上的坐标分别是，，，，……则点的坐标为______． 【答案】 【分析】观察点的坐标可得，横坐标依次增加，且当点的下标为偶数时，横坐标为下标除以，纵坐标以，，，这个数为一个循环，由此计算即可得出结果． 【详解】解：观察点的横坐标：的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，可发现横坐标依次增加，且当点的下标为偶数时，横坐标为下标除以， 观察纵坐标，的纵坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，可发现纵坐标以，，，这个数为一个循环， ∵是偶数， 故点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为， 故点的坐标为． 【类型二】坐标系中的动点问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)直接写出点A的坐标 ，点B的坐标 ，和位置关系是 ； (2)在P、Q的运动过程中，连接，，使，求出点P的坐标． 【答案】(1)， ， (2)或 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，一元一次方程的应用 （1）根据非负数的性质计算得出，，从而即可得出结果； （2）作于点，设时间经过秒，，由题意可得，，，，分两种情况：当点在点的上方时，；当点在点的下方时，；分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴点和点的纵坐标相同， ∴和位置关系是； （2）解：如图，作于点， 设时间经过秒，， 由题意可得：，，，， 当点在点的上方时，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当点在点的下方时，， 此时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 2．长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，动点从点出发，沿的方向以每秒个单位长度的速度移动，与点第二次相遇时停止，设点移动的时间为秒． (1)点的坐标为 ； (2)当时， ；（用含的代数式表示） (3)当点第一次移动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从位置出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向平行移动，当点停止时直线也随之停止．在移动过程中，当点在直线上时，求点的坐标； (4)连接，，，当的面积为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 (4)的值为或或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系和一元一次方程的应用： （1）根据题意可知，，，据此即可求得答案； （2）当时，点在上运动； （3）分两种情况讨论：当时，此时直线运动的距离点运动的距离，当）时，此时直线运动的距离点运动的距离； （4）分三种情况讨论：当点由向运动时，当点由向运动时，当点由向运动时. 【详解】（1）根据题意可知，，． ∵的坐标为，的坐标为， ∴，． ∴的坐标为． 故答案为： （2）（2）当时，点在上运动，可得． 故答案为： （3）①当时，此时直线运动的距离点运动的距离，可得 ， 解得 x 所以． 所以点的坐标为． ②当时，此时直线运动的距离点运动的距离，即 解得 所以． 所以点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． （4）①当点由向运动时，，． 根据题意，可得 ，即 解得 ②当点由向运动时，，． 根据题意，可得 ，即 解得 ③当点由向运动时，，． 根据题意，可得 ，即 解得 综上所述，当的值为或或时，的面积为． 3．操作与探究 【问题情景】 数学课上，数学老师以平面直角坐标系中的运动问题作为研究方向，提出如下问题： 如图，点在第二象限，轴交轴于点，点在轴负半轴上，，连，点为线段上的一个动点，点为线段上的一个动点． 【问题初探】 （）①点的坐标为 ； ②若，则四边形的面积为 ； 【深入研究】 （）如图，动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度，同时动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度． 运动要求：当其中一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动． 设运动时间为秒，连接．在运动的过程中，当线段恰好把四边形的面积分成相等的两部分时，求时间的值； 【拓展提升】 （）如图，连接交于点，若（）中的动点和动点速度保持不变，，求点的横坐标． 【答案】（）①；②；（）；（） 【分析】（）①由题意可得，即得，即可求解；②由题意得，即得，再根据四边形的面积解答即可求解； （）由题意得，，，，即得，即得到，解方程即可求解； （）连接，设点到轴的距离为，可得，即得，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】解：（）①∵点在第二象限，轴交轴于点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵点在轴负半轴上， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：； （）由题意得，，，，， ∴， ∵恰好平分四边形的面积， ∴， 解得； （）连接，设点到轴的距离为， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 即点的横坐标是． 【类型三】坐标系中的新定义问题 1．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，则称点为点的“双移点”． 根据上述定义，回答下列问题： (1)已知点，则它的“双移点”为___________；若点的“双移点”为点，则点的坐标为_____________； (2)对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为____________； (3)若点是点的“双移点”，且在轴上存在一点，使的面积为4，请求出点的坐标； (4)若点是点的“双移点”，且在轴上有一点，使的面积为9，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或 (4)或 【分析】此题考查了坐标系中点的平移、坐标与图形等知识，数形结合和分类讨论是关键． （1）根据“双移点”的定义进行解答即可； （2）根据“双移点”写出答案即可； （3）求出点，设点D的坐标为，根据面积得到，即可求出答案； （4）求出，设点的坐标为，分两种情况，当点在线段的右侧时，当点在线段的左侧时，分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：点，先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点， 即点的“双移点”为， 把先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点， 即点的坐标为； 故答案为：， （2）∵先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点， ∴对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为， 故答案为： （3）∵点是点的“双移点”， ∴点， 设点D的坐标为， ∵的面积为4， ∴ 解得或， ∴点的坐标为或； （4）∵点是点的“双移点”， ∴， 设点的坐标为， 当点在线段的右侧时， ∵的面积为9， ∴ 解得， ∴点的坐标为， 当点在线段的左侧时， ∵的面积为9， 当点点在原点时，的面积为， ∴点在原点的左侧， ∴ 解得， ∴点的坐标为， 综上可知，点的坐标为或 2．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”． (1)点的“短距”为 ； (2)点的“短距”为3，求m的值； (3)若，两点为“等距点”，求k的值． 【答案】(1)2 (2)或2 (3)或2 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点到坐标轴的距离， （1）根据定义解答即可； （2）根据定义可知，求出解； （3）根据定义分两种情况讨论可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴短距是2． 故答案为：2； （2）解：由题意可知，解得或2； （3）解：当①，解得或， 时，，符合题意； 时，，符合题意； ②，解得或． 当时，点的“短距”为1，点的“短距”为3，二者不相等，故舍去； 当时，点的“短距”为1，点的“短距”为3，二者不相等，故舍去． 综上，或2． 3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”．如图，当点的“短距”等于点的“短距”时，称，两点为“等距点”．已知点的坐标为． (1)在点，，中，为点的“等距点”的是点_____．（选填“”“”“”） (2)若点的坐标为，且，两点为“等距点”，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，坐标与图形的性质，解题的关键是首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题． （1）找到轴距离最小为1的点即可； （2）先分析出直线上的点到轴距离中有1的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； 【详解】（1）解：∵点到轴的距离中最小值为 1 ， 点到轴的距离中最小值为1， 点到轴的距离中最小值为2， 点到轴的距离中最小值为1， ∴与点是“等距点”的点是，． （2）解：若，则． 当时，，此时点的坐标为． 当时，，此时点的坐标为． 若，则或． 当时，点的坐标为． 当时，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或或或． 【类型四】中点坐标公式的应用 1．在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为．例如：点，则线段的中点坐标为． 请利用以上结论解决问题： (1)若点，，则以点和点为端点的线段的中点坐标为_____． (2)已知点，若为线段的中点，求点的坐标． (3)已知点和点的坐标分别为，线段与轴平行，且．若线段的中点与线段的中点在第一象限重合，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了中点坐标公式，理解中点坐标公式是解题的关键． （1）根据中点坐标公式代入数据计算即可； （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式分别建立关于的方程求解即可； （3）先求出点H的坐标，再求出线段的中点坐标为，进而得到线段的中点坐标为，同理（2）即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴以点和点为端点的线段的中点坐标为，即， 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意得， 解得， 点的坐标为； （3）解：点，线段与轴平行，且的中点在第一象限， ∴点在第一象限，且纵坐标为， ∵， 点的坐标为， 线段的中点坐标为， 线段的中点坐标为， 点的坐标为， ∴点的坐标为． 2．综合与实践 （）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标； （）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确； （）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点，，则线段的中点的坐标为__________； 已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标. 【答案】（），，，，； （），，验证见解析； （）；． 【分析】本题考查了坐标与图形，探索规律，解决本题的关键是通过观察得到线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，再根据中点坐标与线段两端点坐标的对应关系解决问题． （1）根据图形读出平面直角坐标系中点，，，，的坐标即可； （2）根据（1）线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，可得线段的中点是的横坐标、纵坐标分别是，；因为点，分别为，的中点，根据（1）中的规律验证即可； （3）根据点，，点是线段的中点，利用中的规律求出点的坐标即可； 设点的坐标为，根据规律可得：，，解方程即可求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：由图可知：点，，，，的坐标分别为：，，，，； （2）解：由（1）中的规律可知： 点的坐标是，点的坐标是， ，； 点，分别为，的中点，点，，，， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 通过点，的坐标的验证规律是正确的， 故答案为：，； 解：点，，点是线段的中点， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 点的坐标为是， 故答案为：； 解：设点的坐标为， 点N是线段的中点，且点，， ，， 解得：，， 点的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和．现将线段平移得到线段，且点的对应点的坐标为，连接． （1）直接写出点的坐标为______，的面积为______； （2）将线段向左平移个单位，再向上平移个单位后得线段，点的对应点的坐标为，点的对应点为，如果，是方程的解，且点在第一象限的角平分线上，求，的值． （3）点是轴上位于点右侧的动点，连接，将线段向右平移得线段，其中点的对应点为，点的对应点为，是的中点，如果和三角形面积相等求的值．[参考公式：点的坐标，点的坐标，则线段的中点的坐标为] 【答案】（1），4；（2），；（3）或 【分析】（1）由已知可得AB=CD=4，OC=2，即可求点D与三角形ABD的面积； （2）将线段AD向左平移m个单位，向上平移n个单位，则D点平移后F坐标(4-m，2+n)，A平移后E坐标(-1-m，n)，根据已知条件可得4-m=2+n，2(-1-m)+n=-3，即可求a与b； （3）由已知条件可得Q(t+4，0)，H(4+，1)，根据△BDH和△PBD面积相等，分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵点，的坐标分别为和，的坐标为， ∴，， ∴， ∴的面积， 故答案为； （2）将线段向左平移个单位，向上平移个单位，则F的坐标为(4-m，2+n)，E的坐标为(-1-m，n)， ∵点的坐标为， ∴，， ∵点在第一象限的角平分线上， ∴，即①， 又，是方程的解， ∴，即②， 由方程①②可得，，， 故，； （3）∵向右平移得线段，， ∴， ∵是的中点， ∴H， 即． 第一种情况：当点在线段之间运动，即， ∵， ， 又， ∴， 解得． 第二种情况：当点在点右侧运动时即， ∵， ， 又， ∴， 解得， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，平移的性质，点到坐标轴的距离，坐标与图形的性质，以及分类讨论的数学思想，根据平移的性质，用坐标表示出线段的长度是解题的关键． 1．（25-26七年级下·福建厦门·月考）若点P在第二象限，则点P的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确第二象限内点的坐标特征， 再根据该特征判断各选项是否符合即可． 【详解】解：∵点P在第二象限， ∴，， ∴点P的坐标可能是． 2．（25-26八年级下·陕西西安·月考）在平面直角坐标系中，如果将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减进行计算即可． 【详解】解：将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为，即． 3．（25-26七年级下·福建南平·月考）若第二象限的点到x轴的距离是2，到y轴的距离是4，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值得到，再由在第二象限得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点到x轴的距离是2，到y轴的距离是4， ∴， ∵在第二象限， ∴， ∴， ∴点P的坐标是． 4．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，…，按这样的规律排列，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题的关键是分析竖列和斜列的点数分布规律，确定点的位置． 先分析竖列（奇数列）和斜列（偶数列）的点数规律，计算前若干列的点数总和，确定所在的列和位置，进而推导其坐标． 【详解】解：假设竖列最上面的一个点属于竖列，最下面的一个点属于斜列， 竖列（奇数列）：第1列有1个点，第3列有5个点，第5列有9个点，点数依次增加4； 斜列（偶数列）：第2列有3个点，第4列有7个点，第6列有11个点，点数依次增加4． 计算前5列的点数总和： 前5列（第、、、、列）的点数总和为个． 确定的位置： 因为，所以在第6列（斜列），是该列的第7个点． 由图可知的坐标为，第6列斜列的点，横坐标从10开始依次增加1，纵坐标从5开始依次减少1． 第7个点的横坐标为，纵坐标为． 因此，点的坐标是， 故选：A． 5．（25-26九年级下·山西太原·月考）2026年米兰—科尔蒂纳冬季奥运会上我国创境外参加冬奥会历史最好成绩，圆满完成各项参赛任务．本届冬奥会的吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，它们不仅代表了冬奥会和冬残奥会，更承载着环保、包容与创新的深刻寓意．如图，将吉祥物图片放入网格中，若图片上点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：由图象可得点的坐标为 6．（25-26八年级下·上海·月考）若点在y轴上，则点在第________象限． 【答案】二 【分析】先根据y轴上点的坐标特征求出a的值，再代入得到点B的坐标，最后根据各象限点的坐标特征判断点B所在象限． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标为0，点在y轴上， ∴， 将代入点B的坐标得，， ∴点B的坐标为， ∵第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴点B在第二象限． 7．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，动点从点出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为___________．第2021次碰到长方形边上的坐标为___________． 【答案】 【分析】（1）直接根据图象作答即可； （2）根据题意得到每经过6次回到起点，据此进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知，第1次碰到长方形边上的点的坐标为； （2）如图， 第1次碰到长方形边上的点的坐标为； 第2次碰到长方形边上的点的坐标为； 第3次碰到长方形边上的点的坐标为； 第4次碰到长方形边上的点的坐标为； 第5次碰到长方形边上的点的坐标为； 第6次碰到长方形边上的点的坐标为； 第7次碰到长方形边上的点的坐标为； 故每经过6次为一个循环， ∵， ∴第2021次碰到长方形边上的坐标为． 8．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）写出图中，，，，，各点的坐标： 【答案】，，，，， 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，根据点位置写出坐标即可求解． 【详解】解：由图得 ，，，，，． 9．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． (1)若，求的值； (2)若，，求点A的坐标． 【答案】(1)30 (2)点A的坐标为 【分析】（1）把代入式子中进行计算，然后根据点A到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值即可解答； （2）根据点A到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据绝对值的意义进行计算即可解答． 本题考查了点到坐标轴的距离，解题的关键是熟练掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值． 【详解】（1）解：当时， ，， ∴点A的坐标为， ∴，， ∴； （2）当时， ，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴点A的坐标为． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，M为第三象限内一点． (1)若点到两坐标轴的距离相等． ①求点M的坐标； ②若且，求点N的坐标． (2)若点M为，连接，，将沿x轴方向向右平移得到（点A，M的对应点分别为点D，E），若的周长为m，四边形的周长为，求点E的坐标（用含n的式子表示）． 【答案】(1)①；②或 (2)点E的坐标为 【分析】（1）①根据点到两坐标轴的距离相等，可列方程求解；②根据且，即可求得答案； （2）根据平移的性质，可得，，再结合三角形和四边形的周长，即可求得，即得答案． 【详解】（1）解：①到两坐标轴的距离相等，且在第三象限， ， ， ； ②，， ， 且，， 或； （2）解：沿x轴方向向右平移得到， ，， 的周长为m， ， 四边形的周长为， ， ， ， 点M为， 点E的坐标为． 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查象限内的点，由图象可知，小手盖住的点在第四象限，根据第四象限的点的符号特征，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，小手盖住的点在第四象限，点的符号特征为， ∴小手盖住的点的坐标可能为； 故选C． 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据各象限内点坐标特征解答即可，第四象限． 【详解】解：，， 点所在象限为第四象限． 3．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示，小球第次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律，根据题意小球第次碰到球桌边时，小球的位置是，小球第次碰到球桌边时，小球的位置是，小球第次碰到球桌边时，小球的位置是，小球第次碰到球桌边时，小球的位置是，小球第次碰到球桌边时，小球的位置是，小球第次碰到球桌边时，小球的位置是，小球第次碰到球桌边时，小球的位置是，则小球经过次回到出发位置，又，即可得到小球第次碰到球桌边时，小球的位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵小球第次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第次碰到球桌边时，小球的位置是， ， ∴小球经过次回到出发位置， ∵， ∴小球第次碰到球桌边时，位置是， 故选：． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）《综合与实践活动》探究中发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的运用，理解重心的计算方法是关键． 根据题意分别算出，结合重心坐标的计算方法代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系， ∴， ∵四边形，四边形是长方形，点是对角线的交点， ∴，即， ，即， ∴“”形的重心坐标的计算如下， ，， ∴， 故选：B ． 5．（24-25七年级下·北京·期中）在直角坐标系中，P点坐标为，则点P到x轴的距离为______． 【答案】1 【分析】根据点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值． 【详解】解：点到x轴的距离为1． 6．（25-26八年级上·江西九江·期中）中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节，如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“马”位于点，“兵”位于点，那么“帅”在同一坐标系下的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标的实际应用，正确建立坐标系是解题的关键． 根据“马”和“兵”的坐标建立正确的坐标系即可得到答案． 【详解】解：由题意可建立如下平面直角坐标系， ∴“帅”的坐标是． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，按照箭头所示顺序运动，依次经过点和，则动点P第2026次运动到达的点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解题的关键是注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的所在象限及符号．观察图形可知，点的横坐标运动规律是每运动四次向右平移4个单位，纵坐标是按照0，1，0，四个为一个循环的．，用2026除以4，然后根据商的情况确定运动后点的坐标即可． 【详解】解：∵第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到． ∴点的横坐标运动规律是每运动四次向右平移4个单位，纵坐标是按照0，1，0，四个为一个循环的． ， ∴动点第2026次运动时向右个单位，纵坐标为第二次移动后的点为0， ∵第一次是从开始运动， ， ∴点此时坐标为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江西九江·期中）已知：点，根据下列条件，解答下列各题． (1)当时，写出点的坐标为___________，点在第___________象限； (2)若点在轴上，求点坐标； (3)若的坐标是，且轴，求点坐标． 【答案】(1)；四 (2) (3) 【分析】本题主要考查点与坐标轴的特点，掌握点在坐标轴上点的横纵坐标的特点以及两直线平行的性质是解题的关键． （1）把代入，即可求解． （2）根据点在轴上，横坐标为零，即可求解； （3）根据平行与轴，则纵坐标相等，可求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 点的坐标为， ∵， ∴点在第四象限； 故答案为：；四 （2）解：∵点在轴上， ∴， 解得：， 此时， ∴点的坐标为； （3）解：∵点，的坐标是，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；点M的坐标为或 【分析】（1）由A、B的坐标，根据，列出关于m的方程，解方程； （2）过C作于H，轴于G，由C的坐标得到，，先求出，得到，设M的坐标是，根据三角形面积公式得出，求出，即可得到M的坐标． 【详解】（1）解：∵，，点A、B在原点两侧，且， ， ； （2）解：过C作于H，轴于G，如图所示： 的坐标是， ，， ， ， 设M的坐标是， ， ， 的坐标是或． 【点睛】注意纵轴上两点间的距离为这两个点纵坐标之差的绝对值． 10．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、．将线段先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接、． (1)直接写出坐标：点C（          ），点D（          ）； (2)M、N分别是线段、上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请写出结论并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或，理由见详解 【分析】本题考查坐标与图形变化–平移，掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． （1）根据点的坐标平移规律，即可求解； （2）设时间为t，根据轴，即M、N两点纵坐标相等，列方程，即可求解； （3）根据点P在x轴正半轴上的不同位置分为两种情况，结合三角形内角和以及四边形内角和，即可求解． 【详解】（1）解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得，． （2）设秒后轴， 根据题意，可得， 解得， 经过秒后，轴． （3）①如图，当点在线段上（不与点B重合）时， ； ②如图，当点在点的右侧时，， ； 综上所述，可知与的关系为或． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，小手盖住的点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：小手盖住的点在第二象限，其坐标可能是． 2．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）若点M的坐标为，点N的坐标为，轴，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，根据该性质列方程即可求解． 【详解】解：轴， 点和点的横坐标相等， 点的横坐标为，点N的横坐标为， ，解得． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作，如图，点，点，则线段的“轴距”为，记作，已知点，点，若，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分情况讨论：时，；时，或，再分别验证即可． 【详解】解：由题知， 因为，且点，点， 则时，， 时，点，点，符合题意； 时，点，点，符合题意； 时，或， 时，点，点，符合题意； 时，点，点，不符合题意， 综上所述，的值为或． 4．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标的规律问题，掌握点的运动规律，行程问题中的相遇问题的计算方法是解题的关键． 运用行程问题中的相遇问题，根据矩形的周长，确定每次相遇时点的坐标，从而找出规律，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，四边形周长为， 如图，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点， ∴，，，， 设点、运动时间为秒， 由题意得，点、第1次相遇时，，解得（秒），则相遇点为， ∵第1次相遇后，点从点按逆时针方向出发，每秒3个单位做环绕运动， 点从点按顺时针方向出发，每秒2个单位做环绕运动，且每次相遇后都按此进行运动， ∴，解得（秒），即每2秒相遇1次，点运动6个单位，点运动4个单位， ∴第2次相遇在点，第3次相遇在点，第4次相遇在点，第5次相遇在点，第6次相遇在点，， ∴每5次相遇点重合一次， ∴， ∴第2026次相遇点的坐标是． 故选：A． 5．（25-26八年级上·河北保定·期末）若点在轴上，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标轴上的点的特征，横坐标为是本题的关键．在轴上的点，横坐标为，代入即可得到答案． 【详解】解：∵点在轴上， ∴横坐标， 解得． 将代入纵坐标表达式， 得． ∴点的坐标为． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，已知点．若轴，则线段的最小值为___________． 【答案】5 【分析】本题考查坐标与图形性质及垂线段最短的应用．先根据轴确定点所在的直线，再利用垂线段最短的性质求出线段的最小值． 【详解】解：∵轴，点的坐标为， 点的纵坐标为，即点在直线上， 根据垂线段最短的性质，当时，线段的长度最小， 此时点的横坐标与点的横坐标相同，即， 点的坐标为， 由两点间距离公式可得，的长度为， 故答案为：5 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）学校万慈园计划用如图①所示的两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，位置是__________种瓷砖． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键；根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单数）；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数），再逐项判断即可． 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单数）；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数）， ∴位置是A种瓷砖， 故答案为：A． 8．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)求点的“短距”． (2)若点是“等距点”，求的值． 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可； （2）根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：点到轴的距离为，到轴的距离为1，， ∴点的“短距”为1； （2）解：由题意，， 即：或， 解得或． 9．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是多少？ (2)若点的“美好点”位于轴上，求的值． 【答案】(1)① ② (2) 【分析】此题考查了点的坐标的知识，熟练掌握“美好点”的定义是关键． （1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于x轴上进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ∴点的“美好点”坐标是； 故答案为： 点的“美好点”的坐标是． ②设点的坐标是 根据“美好点”的定义可得 解得： 点的坐标是 （2）解：设点的“美好点”为， 根据“美好点”的定义可得，， 即 又在轴上 ． 10．（24-25七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)当点P在线段上运动时，请用含t的代数式表示在这一运动过程中线段的长，并直接写出t的取值范围； (3)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据非负数之和求出a，b，从而得出B和C点坐标； （2）分析出点P从A到B需要的时间，再求出B到C需要的时间，从而得出用含t表示的长度； （3）分类讨论当点P在线段上，当P在线段运动时，分别求出t值和P点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 根据平移的性质可知：，，C，B两点的纵坐标相同，纵坐标都为3， ∵垂直x轴， ∴垂直x轴， ∴C，D两点的横坐标相同，横坐标都是4， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵P的速度为每秒2个单位长度， ∴P由A到B需要的时间为：（秒）； A到B需要的时间为（秒）； ∴P由A到B，再由B到C需要的时间为（秒）， 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， ∴； （3）解：分以下两种情况讨论： 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， 则，如图1， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴； 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， 即，如图2， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴， ∴此时． 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题是动点移动问题，考查了非负数的性质，分类讨论思想，方程思想，解题关键是熟练掌握动点移动问题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 平面直角坐标系 思维导图 【类型一】判断点所在的象限 1．已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若点在轴上，点在轴上，则点在第________象限． 【类型二】写出直角坐标系中点的坐标 1．如图在正方形网格中，若点，点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如果在轴上，那么点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点，线段向右平移3个单位长度得到线段，线段与轴交于点．若图中阴影部分面积是21，点的坐标为，则点的坐标为________．    【类型三】用坐标描述简单几何图形 1．如图，将5个边长均为3的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，长方形的长与宽分别为6和4（）．若以点C为原点，分别以，所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，点的坐标为，点在第二象限，点在第三象限，若轴，则点的坐标为______． 【类型四】用坐标表示地理位置 1．根据下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．亳州中药城南 B．解放路中段 C．北偏东 D．东经，北纬 2．小明从家里出发，沿正西方向走，再沿正北方向走到达学校，如果以小明家位置为原点，以正东、正北为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，以为单位长度，则学校位置用坐标表示为（   ） A． B． C． D． 3．如图是一所学校的部分平面示意图，教学楼、图书馆和实验楼的位置都在小正方形网格线的交点处，若教学楼位置的坐标是，图书馆位置的坐标是，则实验楼位置的坐标是______． 【类型五】用坐标表示平移 1．已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，将平移后得到，若平移后点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为__________． 【类型一】求点到坐标轴的距离 1．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到y轴的距离等于，则点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．已知点，若点Q的坐标为，且直线轴，则点P的坐标为______． 3．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若P到y轴的距离为2，求m的值； (2)若点P的横纵坐标相等，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在第二象限内有一点Q，使轴，且，求点Q的坐标． 【类型二】坐标系的面积问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．现将线段向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的图像是线段，连接，． (1)点D的坐标为______； (2)在y轴上存在一点P，连接，，且，求点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求出的面积． (2)在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，三点，若，，c满足． (1)求点A、B、C的坐标，并回答与轴的位置关系？； (2)求四边形的面积； (3)是否存在一点，使得三角形的面积为四边形的面积的倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【类型三】坐标系中的网格问题 1．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在小正方形的格点上． (1)将向右平移4个单位长度后得到，请在图中画出； (2)在（1）的条件下，请写出，，三点的坐标． 2．如图所示，在平面直角坐标系中，点，，，向右平移5个单位长度后得到的． (1)画出平移后的； (2)若线段上有一点P的纵坐标为m，请直接写出平移后对应的点坐标； (3)求出的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)点C到x轴的距离为 ； (3)将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．请在所给坐标系中画出； (4)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标为 ； (5)求的面积． 【类型一】坐标系中的规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图．在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“”方向排列，依次为：，，，，，，，…，根据这个规律，第2024个点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．如图所示，点，，，，……在平面直角坐标系上的坐标分别是，，，，……则点的坐标为______． 【类型二】坐标系中的动点问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)直接写出点A的坐标 ，点B的坐标 ，和位置关系是 ； (2)在P、Q的运动过程中，连接，，使，求出点P的坐标． 2．长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，动点从点出发，沿的方向以每秒个单位长度的速度移动，与点第二次相遇时停止，设点移动的时间为秒． (1)点的坐标为 ； (2)当时， ；（用含的代数式表示） (3)当点第一次移动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从位置出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向平行移动，当点停止时直线也随之停止．在移动过程中，当点在直线上时，求点的坐标； (4)连接，，，当的面积为时，直接写出的值． 3．操作与探究 【问题情景】 数学课上，数学老师以平面直角坐标系中的运动问题作为研究方向，提出如下问题： 如图，点在第二象限，轴交轴于点，点在轴负半轴上，，连，点为线段上的一个动点，点为线段上的一个动点． 【问题初探】 （）①点的坐标为 ； ②若，则四边形的面积为 ； 【深入研究】 （）如图，动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度，同时动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度． 运动要求：当其中一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动． 设运动时间为秒，连接．在运动的过程中，当线段恰好把四边形的面积分成相等的两部分时，求时间的值； 【拓展提升】 （）如图，连接交于点，若（）中的动点和动点速度保持不变，，求点的横坐标． 【类型三】坐标系中的新定义问题 1．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，则称点为点的“双移点”． 根据上述定义，回答下列问题： (1)已知点，则它的“双移点”为___________；若点的“双移点”为点，则点的坐标为_____________； (2)对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为____________； (3)若点是点的“双移点”，且在轴上存在一点，使的面积为4，请求出点的坐标； (4)若点是点的“双移点”，且在轴上有一点，使的面积为9，请直接写出点的坐标． 2．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”． (1)点的“短距”为 ； (2)点的“短距”为3，求m的值； (3)若，两点为“等距点”，求k的值． 3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”．如图，当点的“短距”等于点的“短距”时，称，两点为“等距点”．已知点的坐标为． (1)在点，，中，为点的“等距点”的是点_____．（选填“”“”“”） (2)若点的坐标为，且，两点为“等距点”，求点的坐标． 【类型四】中点坐标公式的应用 1．在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为．例如：点，则线段的中点坐标为． 请利用以上结论解决问题： (1)若点，，则以点和点为端点的线段的中点坐标为_____． (2)已知点，若为线段的中点，求点的坐标． (3)已知点和点的坐标分别为，线段与轴平行，且．若线段的中点与线段的中点在第一象限重合，直接写出点的坐标． 2．综合与实践 （）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标； （）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确； （）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点，，则线段的中点的坐标为__________； 已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标. 3．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和．现将线段平移得到线段，且点的对应点的坐标为，连接． （1）直接写出点的坐标为______，的面积为______； （2）将线段向左平移个单位，再向上平移个单位后得线段，点的对应点的坐标为，点的对应点为，如果，是方程的解，且点在第一象限的角平分线上，求，的值． （3）点是轴上位于点右侧的动点，连接，将线段向右平移得线段，其中点的对应点为，点的对应点为，是的中点，如果和三角形面积相等求的值．[参考公式：点的坐标，点的坐标，则线段的中点的坐标为] 1．（25-26七年级下·福建厦门·月考）若点P在第二象限，则点P的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西西安·月考）在平面直角坐标系中，如果将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·福建南平·月考）若第二象限的点到x轴的距离是2，到y轴的距离是4，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，…，按这样的规律排列，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·山西太原·月考）2026年米兰—科尔蒂纳冬季奥运会上我国创境外参加冬奥会历史最好成绩，圆满完成各项参赛任务．本届冬奥会的吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，它们不仅代表了冬奥会和冬残奥会，更承载着环保、包容与创新的深刻寓意．如图，将吉祥物图片放入网格中，若图片上点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为__________． 6．（25-26八年级下·上海·月考）若点在y轴上，则点在第________象限． 7．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，动点从点出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为___________．第2021次碰到长方形边上的坐标为___________． 8．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）写出图中，，，，，各点的坐标： 9．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． (1)若，求的值； (2)若，，求点A的坐标． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，M为第三象限内一点． (1)若点到两坐标轴的距离相等． ①求点M的坐标； ②若且，求点N的坐标． (2)若点M为，连接，，将沿x轴方向向右平移得到（点A，M的对应点分别为点D，E），若的周长为m，四边形的周长为，求点E的坐标（用含n的式子表示）． 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示，小球第次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）《综合与实践活动》探究中发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京·期中）在直角坐标系中，P点坐标为，则点P到x轴的距离为______． 6．（25-26八年级上·江西九江·期中）中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节，如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“马”位于点，“兵”位于点，那么“帅”在同一坐标系下的坐标是__________． 7．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，按照箭头所示顺序运动，依次经过点和，则动点P第2026次运动到达的点的坐标为________． 8．（25-26八年级上·江西九江·期中）已知：点，根据下列条件，解答下列各题． (1)当时，写出点的坐标为___________，点在第___________象限； (2)若点在轴上，求点坐标； (3)若的坐标是，且轴，求点坐标． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、．将线段先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接、． (1)直接写出坐标：点C（          ），点D（          ）； (2)M、N分别是线段、上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请写出结论并说明理由． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，小手盖住的点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）若点M的坐标为，点N的坐标为，轴，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作，如图，点，点，则线段的“轴距”为，记作，已知点，点，若，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 4．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河北保定·期末）若点在轴上，则点的坐标为________． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，已知点．若轴，则线段的最小值为___________． 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）学校万慈园计划用如图①所示的两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，位置是__________种瓷砖． 8．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)求点的“短距”． (2)若点是“等距点”，求的值． 9．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是多少？ (2)若点的“美好点”位于轴上，求的值． 10．（24-25七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)当点P在线段上运动时，请用含t的代数式表示在这一运动过程中线段的长，并直接写出t的取值范围； (3)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $