专题08 平面内的两条直线（计算题专项训练）数学湘教版新教材七年级下册

专题08 平面内的两条直线（计算题专项训练） 【适用版本：湘教版新教材；内容预览：5类训练共50题】 训练1 与对顶角、邻补角有关的计算 1. 梳理已知条件，标记角的关系，先明确基础角的性质：对顶角相等、邻补角和为180°； 标记题目中的特殊条件：如角平分线（平分后两角相等）、直角（和为90°）等。 2. 从已知角出发，推导关联角：利用邻补角、对顶角的性质，先求出与已知角直接相关的角； 3. 结合角平分线等特殊条件，计算目标角：若涉及角平分线，先求出被平分角的度数，再利用“平分后角相等”得到目标角； 若有多个条件交叉，逐步推导（如先求整体角，再拆分）。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图所示，直线AB，CD，FH相交于点O，∠BOE＝24°，∠BOD与∠BOE互为余角，OF平分∠BOC，求∠BOH的度数． 2．直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC＝90°，∠1＝40°，求∠2与∠3的度数． 3．如图，直线AB，CD，EF相交于点O．∠AOC＝60°，若∠BOF：∠COF＝1：2，求∠BOF的度数． 4．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC． （1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数； （2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠EOC的度数． 5．如图，直线AB和CD相交于点O，射线OE，OF在∠COD内部，∠COE与∠DOF互余，OA平分∠COF． （1）当∠BOD＝50°时，求∠COE的度数； （2）当∠BOF＝4∠COE时，求∠AOE的度数． 6．如图，已知直线AB与CD相交于点O，∠EOB＝20°，OE是∠BOD的平分线，∠BOE和∠AOF互为余角． （1）求∠EOF的度数． （2）求∠COF的度数． 7．如图，直线CD，AB相交于点O，∠BOD和∠COM互余，∠AON＝∠COM． （1）求∠NOD的度数； （2）若∠BOC＝5∠COM，求∠BOD的度数． 8．如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作射线OE，OF，且OE平分∠AOD． （1）若∠AOE＝35°，求∠AOC的度数； （2）若OF平分∠COE，∠AOF＝15°，求∠BOC的度数． 9．如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°． （1）若，求∠BON的度数； （2）若∠AOD＝2∠BOD，∠AOM＝80°，求∠BON的度数． 10．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝3：5，OF平分∠BOE． （1）若∠BOD＝72°，求∠BOE． （2）若∠BOF＝2∠AOE+15°，求∠COF． 训练2 与垂直有关的角度计算 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1. 先抓核心已知条件：先看题目里的关键条件，比如“垂直”和“角平分线”。看到垂直就可以确定，两条线相交形成的角是90°；看到角平分线，就意味着一个角被分成了两个相等的小角。 2. 推导第一步关联角：从垂直的90°角入手，结合题目给出的已知角，计算出与它相邻的角。 3. 用邻补角求整体角：相交线形成的邻补角之和是180°，用这个性质可以求出另一个角。 4. 结合角平分线求目标角：利用角平分线的性质，把整体角平分就能得到目标角。 5. 用对顶角求最终角：相交线的对顶角是相等的，所以可以直接用之前算出的角，得到最终要求的角。 6. 比例条件的处理方法 如果题目给出比例关系，就用设未知数的方法来解。 方法指导 1．如图，AB、CD相交于点O，OE为∠DOB的平分线，MO⊥EO，NO⊥DO，∠AOC＝34°，求出∠MON的度数． 2．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥OD，OF⊥AB，∠1＝25°，求∠2，∠DOF． 3．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC． （1）若∠AOF＝68°，求∠COE的度数； （2）若∠AOF：∠COE＝4：3，求∠EOF的度数． 4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD． （1）若∠COE＝50°，求∠AOF的度数； （2）若∠COE：∠AOF＝2：3，求∠BOD的度数． 5．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC． （1）当∠COE＝27°时，求∠AOD的度数； （2）若OF⊥OE，∠DOF＝2∠BOC，求∠AOC的度数． 6．如图，直线AB，CD，EF交于点O． （1）若∠AOC＝70°，∠BOF＝30°，求∠COE的度数； （2）若∠DOF﹣∠AOE＝10°，∠AOE：∠COE＝3：4，过点O作OG⊥EF，求∠BOG的度数． 7．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，OF平分∠AOD． （1）若∠COE＝66°，求∠AOF的度数； （2）若OP平分∠COE，求∠AOF﹣∠POE的度数． 8．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O． （1）若∠1＝∠2，求∠NOD的度数； （2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC，∠MOD的度数． 9．如图，已知直线AB、CD、EF交于点O，OM⊥CD，且OE平分∠AOM． （1）若∠BOF＝20°，求∠AOC的度数； （2）∠AOM：∠BOD＝5：4，求∠AOF的度数． 10．已知直线AB与CD相交于点O，且OM平分∠AOC，OE⊥AB于点O． （1）如图①，若ON平分∠BOC，求∠MON的度数； （2）如图②，若∠CON∠EON（∠EON＜180°），∠MON＝80°，求∠BON的度数． 训练3 平行线的判定与性质 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1. 判断平行线的判定条件：先观察题目中的角的关系，比如“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”，结合已知角的条件，推导两条直线平行。 2. 利用平行线的性质推导角的关系：一旦确定两条直线平行，就可以用“两直线平行，同位角相等/内错角相等/同旁内角互补”，将已知角转化为与目标角相关的角。 3. 结合已知角的数量关系列等式：根据题目给出的角度条件，结合对顶角、邻补角的性质，将角的关系转化为等式。 4. 解方程或计算得出目标角：将已知角度代入等式，通过计算或解简单方程，求出最终要求的角的度数。 1．如图，AC与BD交于点G，E、F分别是CD、DG上的点，EF∥CG，∠1＝∠A． （1）求证：AB∥DC； （2）若∠B＝35°，∠1＝57°，求∠EFG的度数． 2．如图，已知∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°． （1）求证：DF∥AC； （2）若∠ABC＝43°，求∠ADE的度数． 3．如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠D＝47°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数． 4．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°． （1）求证：EH∥AD； （2）若∠DGC＝58°，且∠H﹣∠4＝10°，求∠H的度数． 5．如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，已知∠1＝∠2，∠3＝∠C． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠2+∠4＝180°，且∠BFC﹣20°＝3∠1，求∠BFC的度数． 6．如图所示，AM⊥BD于点E，GN⊥BD于点F，∠1＝∠2． （1）求证AB∥CD； （2）若∠C＝∠3+50°，∠4＝80°，求∠D的度数． 7．如图，点E，F，G分别在直线CD，AB，AD上已知∠A＝∠D，∠CEB＝∠BFG． （1）FG与BE平行吗？说明理由； （2）若∠D＝30°，∠BFG＝135°，求∠FGD的度数． 8．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠3． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠B＝∠BDE＝2∠3，求∠A的度数． 9．如图，∠2＝∠B，BE与DF交于点P． （1）若∠1＝46°，求∠C的度数； （2）若∠2+∠D＝90°，AB∥CD，求证：BE⊥DF． 10．如图，直线EA，DB交于点F，点C在AD的左侧，且满足∠BDC＝∠ABF，∠BAD+∠DCE＝180°． （1）判断AD与EC是否平行？并说明理由； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥EA于点E，∠BAF＝52°，求∠ABF的度数． 训练4 平行线与角平分线 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，DE平分∠BDF，且∠1＝∠2． （1）证明：AF∥DE； （2）若∠CFA＝75°，求∠DEB的度数． 2．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2． （1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由； （2）若BC平分∠ABD，∠D＝112°，求∠C的度数． 3．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点F在线段CD上，且∠DEF＝∠B． （1）求证：∠BDC＝∠DFE； （2）若DE平分∠ADC，∠BDC＝2∠B，求∠B的度数． 4．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：AD∥CE； （2）若DA平分∠BDC，∠AEC＝90°，∠1＝64°，试求∠FAB的度数． 5．如图，在三角形ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，连接BD，DE．点F在线段BD上，连接EF．已知∠1+∠2＝180°，DE∥BC． （1）求证：∠ADE＝∠DEF； （2）若∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，∠DEF＝∠FEB﹣10°，求∠1的度数． 6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点C作CE∥AD，且交BA的延长线于点E，点F在CA的延长线上，且∠E＝∠F． （1）求证：AD∥BF； （2）若∠BAD＝50°，∠ABF＝2∠ABC，求∠ADC的度数． 7．如图，在△ABC中，AD平分∠CAB，F是AC上一点，过点F作FE∥AD交BC于点E，点G在AB上且满足∠1+∠2＝180°． （1）在图中还存在一组平行线，请找出来，并说明理由； （2）若FE⊥BC于点E，∠3＝78°，求∠BDG的度数． 8．如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB、BC边上的点，点F，G在AC边上，连接DE，DF，GE，已知∠AFD＝∠DEB，∠DFC+∠C＝180°． （1）求证：DE∥AC； （2）若∠C＝38°，EG平分∠DEC，求∠EGC的度数． 9．如图，点D，H分别在AB，AC上，点E，F都在BC上，DE交FH于点G，AG平分∠BAC，∠BED＝∠C，∠1+∠2＝90°． （1）求证：FH⊥DE； （2）若∠3＝∠4，∠BAC＝68°，求∠DFH的度数． 10．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E，F是边AB上一点，连接DF并延长，交CA延长线于点H，G为EF延长线上一点，连接BG．若DE平分∠HDC，∠FBG＝∠EDC． （1）求证：BG∥DH； （2）若∠DFG°，求∠BFE的度数． 训练5 平行线中构造辅助线 1. 识别“断点”，确定辅助线方向：当平行线被折线、拐点（如“Z”“U”“N”形的折角）截断，导致角的关系不直接时，在拐点处作辅助线，方向与已知平行线平行。 2. 利用“平行传递性”，拆分复杂角：作辅助线后，将原来的折角拆分为与辅助线相关的角，再通过“平行于同一直线的两直线平行”，结合“平行线的同位角/内错角/同旁内角性质”，把分散的角关联起来。 3. 根据角的关系选择辅助线类型：若遇“同旁内角和”，作辅助线将其拆分为两个同旁内角的和； 若遇“内错角相等”，作辅助线构造内错角，建立相等关系；若涉及“多组平行线”，在多个拐点处依次作辅助线，逐段关联角的关系。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，AB∥DE，∠CDE＝20°，求∠B+∠C的度数． 2．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数 ． 3．如图，∠AEC＝80°，在∠AEC的两边上分别过点A和点C向同方向作射线AB和CD，且AB∥CD．若∠A＝60°，求∠DCE的度数． 4．如图，已知AC∥DB，AB∥DF，EC∥DG，射线DF在∠BDG内部，若∠ECA＝60°，∠FDG＝28°，求∠ABD的度数． 5．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD＝45°，求∠BED的度数． 6．如图，AB∥CD，BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE、BF∥DE，∠F与∠ABE互补，求∠ABE的度数． 7．如图，AB∥CD，E，F分别是直线AB，CD之间的点，连接AE，CE，AF，CF，已知∠EAF＝2∠BAF，，当∠AEC＝105°时，求∠AFC的度数． 8．如图，∠ACB＝90°，MA∥BN．∠MAC，∠CBN的平分线交于点P，求∠APB的度数． 9．如图，小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，CF，BG交于点A，FG∥DE∥BC，∠FAG＝40°，AC平分∠BAD，若∠ADE＝100°，求∠G的度数． 10．如图所示，直线AB∥CD，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝168°，求∠FME的度数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面内的两条直线（计算题专项训练） 【适用版本：湘教版新教材；内容预览：5类训练共50题】 训练1 与对顶角、邻补角有关的计算 1. 梳理已知条件，标记角的关系，先明确基础角的性质：对顶角相等、邻补角和为180°； 标记题目中的特殊条件：如角平分线（平分后两角相等）、直角（和为90°）等。 2. 从已知角出发，推导关联角：利用邻补角、对顶角的性质，先求出与已知角直接相关的角； 3. 结合角平分线等特殊条件，计算目标角：若涉及角平分线，先求出被平分角的度数，再利用“平分后角相等”得到目标角； 若有多个条件交叉，逐步推导（如先求整体角，再拆分）。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图所示，直线AB，CD，FH相交于点O，∠BOE＝24°，∠BOD与∠BOE互为余角，OF平分∠BOC，求∠BOH的度数． 【解答】解：∵∠BOD与∠BOE互为余角， ∴∠BOD+∠BOE＝90°， ∵∠BOE＝24°， ∴∠BOD＝66° ∵∠BOD+∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝114°， ∵OF平分∠BOC， ∴， ∴∠COF＝57°， ∵∠DOH＝∠COF， ∴∠DOH＝57°， ∵∠BOH＝∠BOD+∠DOH， ∴∠BOH＝66°+57°＝123°． 2．直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC＝90°，∠1＝40°，求∠2与∠3的度数． 【解答】解：根据题意可知，∠BOC＝∠FOC+∠1＝90°+40°＝130°， ∴∠3＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°， ∵∠3与∠AOD互补， ∴∠AOD＝180°﹣∠3＝180°﹣50°＝130°， ∵OE平分∠AOD， ∴． 3．如图，直线AB，CD，EF相交于点O．∠AOC＝60°，若∠BOF：∠COF＝1：2，求∠BOF的度数． 【解答】解：∵∠AOC＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°， 即∠BOF+∠COF＝120°， ∵∠BOF：∠COF＝1：2， ∴∠COF＝2∠BOF， ∴∠BOF+2∠BOF＝120°， ∴∠BOF＝40°． 4．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC． （1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数； （2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠EOC的度数． 【解答】解：（1）∵∠EOC＝70°，OA平分∠EOC， ∴， ∴∠BOD＝∠AOC＝35°； （2）∵∠EOC：∠EOD＝2：3，∠EOC+∠EOD＝180°， ∴若∠EOC：∠EOD＝2：3，． 5．如图，直线AB和CD相交于点O，射线OE，OF在∠COD内部，∠COE与∠DOF互余，OA平分∠COF． （1）当∠BOD＝50°时，求∠COE的度数； （2）当∠BOF＝4∠COE时，求∠AOE的度数． 【解答】解：（1）∵∠COE与∠DOF互余， ∴∠COE+∠DOF＝90°， ∴∠EOF＝180°﹣90°＝90°， ∵OA平分∠COF， ∴∠AOC＝∠AOF， 又∵∠AOC＝∠BOD＝50°， ∴∠AOC＝∠AOF＝50°， ∴∠COF＝2∠AOC＝100°， ∴∠COE＝100°﹣90°＝10°； （2）设∠COE＝α， ∵∠COE与∠DOF互余， ∴∠DOF＝90°﹣α， ∵∠BOF＝4∠COE， ∴∠BOF＝4α， ∴∠BOD＝∠BOF﹣∠DOF＝4α﹣（90°﹣α）＝5α﹣90°， ∵∠BOD＝∠AOC＝∠AOF＝5α﹣90°， ∵∠AOF+∠BOF＝180°， ∴5α﹣90°+4α＝180°， 解得α＝30°， 即∠COE＝30°，∠AOC＝5α﹣90°＝60°， ∴∠AOE＝60°﹣30°＝30°． 6．如图，已知直线AB与CD相交于点O，∠EOB＝20°，OE是∠BOD的平分线，∠BOE和∠AOF互为余角． （1）求∠EOF的度数． （2）求∠COF的度数． 【解答】解：（1）因为∠BOE和∠AOF互为余角，点A，O，B在同一条直线上， 所以∠BOE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠FOE+∠EOB＝180°， 所以∠EOF＝180°﹣（∠AOF+∠EOB）＝90°； （2）因为OE是∠BOD的平分线，∠EOB＝20°， 所以∠BOD＝2∠BOE＝40° 又因为直线AB与CD相交于点O， 所以∠COA＝∠BOD＝40°， 由（1）得，∠AOF＝90°﹣∠BOE＝90°﹣20°＝70°， 所以∠COF＝∠COA+∠AOF＝40°+70°＝110°． 7．如图，直线CD，AB相交于点O，∠BOD和∠COM互余，∠AON＝∠COM． （1）求∠NOD的度数； （2）若∠BOC＝5∠COM，求∠BOD的度数． 【解答】解：（1）根据题意可知，∠BOD+∠COM＝90°， ∵∠AON＝∠COM， ∴∠BOD+∠AON＝90°， ∴∠NOD＝180°﹣（∠BOD+∠AON）＝180°﹣90°＝90°； （2）设∠COM＝x，则∠BOC＝5x， ∴∠BOM＝4x， ∵∠BOD+∠COM＝90°， ∴∠BOM＝180°﹣（∠BOD+∠COM）＝180°﹣90°＝90°， ∴4x＝90°， 解得：x＝22.5°， ∴∠BOD＝90°﹣22.5°＝67.5°． 8．如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作射线OE，OF，且OE平分∠AOD． （1）若∠AOE＝35°，求∠AOC的度数； （2）若OF平分∠COE，∠AOF＝15°，求∠BOC的度数． 【解答】解：（1）由条件可知∠AOD＝2∠AOE＝70°， ∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣70°＝110°． （2）由条件可知∠AOE＝∠DOE． 故设∠AOE＝∠DOE＝x． ∵∠AOF＝15°， ∴∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝15°+x． ∵OF平分∠COE， ∴∠COE＝2∠EOF＝30°+2x． ∵∠COE+∠DOE＝180°， ∴30°+2x+x＝180°， 解得x＝50°， 即∠AOD＝2×50°＝100°， ∴∠BOC＝∠AOD＝100°． 9．如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°． （1）若，求∠BON的度数； （2）若∠AOD＝2∠BOD，∠AOM＝80°，求∠BON的度数． 【解答】解：（1）∵∠MON＝70°， ∴∠COD＝∠MON＝70°， ∵， ∴， ∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°． （2）∵∠AOM＝80°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOM＝180°﹣80°＝100°， ∵∠AOD＝2∠BOD， ∴， ∵∠MON＝70°，∠MON+∠BON+∠BOD＝180°， ∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣50°＝60°． 10．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝3：5，OF平分∠BOE． （1）若∠BOD＝72°，求∠BOE． （2）若∠BOF＝2∠AOE+15°，求∠COF． 【解答】解：（1）由对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD＝72°， 由OE把∠AOC分成两部分且∠AOE：∠EOC＝3：5，得∠AOE＝∠AOC27°， 由邻补角，得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣27°＝153°； （2）由OF平分∠BOE，得∠BOE＝2∠BOF＝4∠AOE+30°． 由邻补角，得∠BOE+∠AOE＝180°，即4∠AOE+30°+∠AOE＝180°， 解得∠AOE＝30°． ∴∠EOC＝50°，∠EOF＝∠BOF＝75°， ∴∠COF＝75°﹣50°＝25°． 训练2 与垂直有关的角度计算 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1. 先抓核心已知条件：先看题目里的关键条件，比如“垂直”和“角平分线”。看到垂直就可以确定，两条线相交形成的角是90°；看到角平分线，就意味着一个角被分成了两个相等的小角。 2. 推导第一步关联角：从垂直的90°角入手，结合题目给出的已知角，计算出与它相邻的角。 3. 用邻补角求整体角：相交线形成的邻补角之和是180°，用这个性质可以求出另一个角。 4. 结合角平分线求目标角：利用角平分线的性质，把整体角平分就能得到目标角。 5. 用对顶角求最终角：相交线的对顶角是相等的，所以可以直接用之前算出的角，得到最终要求的角。 6. 比例条件的处理方法 如果题目给出比例关系，就用设未知数的方法来解。 方法指导 1．如图，AB、CD相交于点O，OE为∠DOB的平分线，MO⊥EO，NO⊥DO，∠AOC＝34°，求出∠MON的度数． 【解答】解：由图知∠BOD＝∠AOC＝34°， ∵OE是∠BOD的平分线， ∴， ∵MO⊥EO，NO⊥DO， ∴∠MOE＝∠DON＝90°， ∴∠MON＝∠MOE+∠DON﹣∠DOE＝163°， ∴∠MON的度数为163°． 2．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥OD，OF⊥AB，∠1＝25°，求∠2，∠DOF． 【解答】解：∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∵∠1＝25°， ∴∠2＝180°﹣90°﹣25°＝65°， ∵OF⊥AB， ∴∠BOF＝90°， ∴∠DOF＝∠BOF+∠1＝115°． 3．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC． （1）若∠AOF＝68°，求∠COE的度数； （2）若∠AOF：∠COE＝4：3，求∠EOF的度数． 【解答】解：（1）∵∠AOF＝68°，OF平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠AOF＝136°， ∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°， ∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝136°﹣90°＝46°； （2）∵∠AOF：∠COE＝4：3， ∴可设∠COE＝3x，∠AOF＝4x， ∵OF平分∠AOC， ∴∠COF＝∠AOF＝4x， ∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝4x﹣3x＝x， ∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°， ∴∠AOE＝∠AOF+∠EOF＝90°， 即4x+x＝90°， ∴x＝18°，即∠EOF＝18°． 4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD． （1）若∠COE＝50°，求∠AOF的度数； （2）若∠COE：∠AOF＝2：3，求∠BOD的度数． 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°． ∵∠COE＝50°， ∴∠AOC＝40°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝140°， ∵OF平分∠AOD， ∴； （2）∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°． ∵∠COE：∠AOF＝2：3， 设∠COE＝2x°，则∠AOF＝3x°， ∴∠AOC＝（90﹣2x）°， ∵OF平分∠AOD， ∴∠AOD＝2∠AOF＝6x°， ∵∠AOC+∠AOD＝180°， ∴90﹣2x+6x＝180， 解得：， ∴． 5．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC． （1）当∠COE＝27°时，求∠AOD的度数； （2）若OF⊥OE，∠DOF＝2∠BOC，求∠AOC的度数． 【解答】解：（1）由条件可知∠AOD＝∠BOC， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝2×27°＝54°， ∴∠AOD＝54°； （2）∵若OF⊥OE， ∴∠EOF＝90°， ∴∠BOF+∠BOE＝90°， ∵OE平分∠BOC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得∠BOC＝36°． ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣36°＝144°． 6．如图，直线AB，CD，EF交于点O． （1）若∠AOC＝70°，∠BOF＝30°，求∠COE的度数； （2）若∠DOF﹣∠AOE＝10°，∠AOE：∠COE＝3：4，过点O作OG⊥EF，求∠BOG的度数． 【解答】解（1）∵∠AOE＝∠BOF＝30°， ∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝70°﹣30°＝40°； （2）∵∠DOF﹣∠AOE＝10°，∠DOF＝∠COE， ∴∠COE﹣∠AOE＝10°， ∵∠AOE：∠COE＝3：4， ∴∠AOE﹣∠AOE＝10°， ∴∠AOE＝30°， ∴∠BOF＝∠AOE＝30°， ∵OG⊥EF， ∴∠FOG＝90°， ∴∠BOG＝∠FOG+∠BOF＝120°． 7．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，OF平分∠AOD． （1）若∠COE＝66°，求∠AOF的度数； （2）若OP平分∠COE，求∠AOF﹣∠POE的度数． 【解答】解：（1）由条件可知∠AOE＝90°， ∵∠COE＝66°， ∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝24°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝156°， ∵OF平分∠AOD， ∴； （2）由条件可知∠AOE＝90°， ∵OP平分∠COE， ∴∠COE＝2∠POE， ∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝90°﹣2∠POE， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝90°+2∠POE， 由条件可知， ∴∠AOF﹣∠POE＝45°． 8．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O． （1）若∠1＝∠2，求∠NOD的度数； （2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC，∠MOD的度数． 【解答】解：（1）∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝90°， ∴∠AOC+∠1＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠AOC+∠2＝90°，即∠NOC＝90°， ∴∠NOD＝180°﹣∠NOC＝90°． ∴∠NOD的度数为90°； （2）∵OM⊥AB， ∴∠BOM＝90°， ∵∠BOC＝4∠1， ∴∠BOM+∠1＝4∠1，即90°+∠1＝4∠1， 解得∠1＝30°， ∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∠MOD＝180°﹣∠1＝150°． ∴∠AOC的度数为60°，∠MOD的度数为150°． 9．如图，已知直线AB、CD、EF交于点O，OM⊥CD，且OE平分∠AOM． （1）若∠BOF＝20°，求∠AOC的度数； （2）∠AOM：∠BOD＝5：4，求∠AOF的度数． 【解答】解：（1）∵∠AOE＝∠BOF，∠BOF＝20°， ∴∠AOE＝20°． ∵OE平分∠AOM， ∴∠AOM＝2∠AOE＝40°． ∵OM⊥CD， ∴∠COM＝∠DOM＝90°， ∴∠AOC＝∠COM﹣∠AOM＝50°； （2）∵∠DOM＝90°， ∴∠AOM+∠BOD＝90°， ∵∠AOM：∠BOD＝5：4， ∴∠AOM＝50°，∠BOD＝40°， ∵OE平分∠AOM， ∴， ∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝155°． 10．已知直线AB与CD相交于点O，且OM平分∠AOC，OE⊥AB于点O． （1）如图①，若ON平分∠BOC，求∠MON的度数； （2）如图②，若∠CON∠EON（∠EON＜180°），∠MON＝80°，求∠BON的度数． 【解答】解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， ∴∠MOC∠AOC，∠CON∠BOC， ∴∠MOC+∠CON（∠AOC+∠BOC）， ∴∠MON∠AOB180°＝90°； （2）设∠BON＝x°， ∵OE⊥AB， ∴∠BOE＝90°， ∴∠EON＝90°+x， ∴∠CON∠EON＝30°x°， ∵∠MON＝80°， ∴∠COM＝80°﹣（30°x°）＝50°x°， ∵OM平分∠AOC， ∴∠AOM＝∠COM＝50°x°， ∵∠AOM+∠BON＝100°， ∴50°x°+x°＝100°， ∴x＝75， ∴∠BON＝75°． 训练3 平行线的判定与性质 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1. 判断平行线的判定条件：先观察题目中的角的关系，比如“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”，结合已知角的条件，推导两条直线平行。 2. 利用平行线的性质推导角的关系：一旦确定两条直线平行，就可以用“两直线平行，同位角相等/内错角相等/同旁内角互补”，将已知角转化为与目标角相关的角。 3. 结合已知角的数量关系列等式：根据题目给出的角度条件，结合对顶角、邻补角的性质，将角的关系转化为等式。 4. 解方程或计算得出目标角：将已知角度代入等式，通过计算或解简单方程，求出最终要求的角的度数。 1．如图，AC与BD交于点G，E、F分别是CD、DG上的点，EF∥CG，∠1＝∠A． （1）求证：AB∥DC； （2）若∠B＝35°，∠1＝57°，求∠EFG的度数． 【解答】（1）证明：∵EF∥CG， ∴∠1＝∠C． ∵∠1＝∠A， ∴∠C＝∠A， ∴AB∥DC； （2）解：∵AB∥DC，∠B＝35°， ∴∠D＝∠B＝35°． ∵∠1＝57°， ∴∠EFG＝180°﹣∠DFE＝180°﹣[180°﹣（∠D+∠1）]＝92°． 2．如图，已知∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°． （1）求证：DF∥AC； （2）若∠ABC＝43°，求∠ADE的度数． 【解答】（1）证明：∵∠AEB+∠3＝180°，∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝∠AEB， ∴DF∥AC； （2）解：∵DF∥AC， ∴∠DFE＝∠3， 又∵∠1＝∠C， ∴∠CBE＝∠DEF， ∴DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC， ∵∠ABC＝43°， ∴∠ADE＝43°． 3．如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠D＝47°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数． 【解答】（1）证明：∵∠2＝∠3， ∴CE∥NF， ∴∠C＝∠FND， 又∵∠C＝∠1， ∴∠FND＝∠1， ∴AB∥CD． （2）解：∵∠D＝47°，AB∥CD，∠EMF＝80°， ∴∠BED＝∠D＝47°，∠2＝EMF＝∠3＝80°， ∴∠BEC＝80°+47°＝127°， ∴∠AEP＝∠BEC＝127°． 4．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°． （1）求证：EH∥AD； （2）若∠DGC＝58°，且∠H﹣∠4＝10°，求∠H的度数． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠B， ∴AB∥GD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠BAD+∠3＝180°， ∴EH∥AD； （2）解：∵EH∥AD， ∴∠2＝∠H（两直线平行，同位角相等）， ∵∠2＝∠BAD， ∴∠H＝∠BAD，（等量代换） ∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°， ∵∠H﹣∠4＝10°， ∴2∠4+10°＝58°， ∴∠4＝24°， ∴∠H＝34°． 5．如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，已知∠1＝∠2，∠3＝∠C． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠2+∠4＝180°，且∠BFC﹣20°＝3∠1，求∠BFC的度数． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠C，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠C（等量代换）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）； （2）解：由（1）可得∠1＝∠2＝∠3＝∠C， ∵∠2+∠4＝180°， ∴∠3+∠4＝180°， ∴BF∥EC（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠BFC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠BFC+∠1＝180°， ∴∠1＝180°﹣∠BFC， 又∵∠BFC﹣20°＝3∠1， ∴∠BFC﹣20°＝3×（180°﹣∠BFC）， ∴∠BFC﹣20°＝540°﹣3∠BFC， ∴4∠BFC＝540°+20° ∴∠BFC＝140°． 6．如图所示，AM⊥BD于点E，GN⊥BD于点F，∠1＝∠2． （1）求证AB∥CD； （2）若∠C＝∠3+50°，∠4＝80°，求∠D的度数． 【解答】（1）证明：∵AM⊥BD，GN⊥BD， ∴∠AEB＝∠GFB＝90°， ∴AM∥GN， ∴∠2＝∠A， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠A， ∴AB∥CD； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠C+∠ABC＝180°即∠C+∠4+∠3＝180°， ∵∠C＝∠3+50°，∠4＝80°， ∴∠3+50°+80°+∠3＝180°，即∠3＝25°， ∵AB∥CD， ∴∠D＝∠3＝25°， ∴∠D的度数为25°． 7．如图，点E，F，G分别在直线CD，AB，AD上已知∠A＝∠D，∠CEB＝∠BFG． （1）FG与BE平行吗？说明理由； （2）若∠D＝30°，∠BFG＝135°，求∠FGD的度数． 【解答】解：（1）FG∥BE，理由如下： ∵∠A＝∠D， ∴AB∥CD， ∴∠CEB+∠B＝180°， ∵∠CEB＝∠BFG． ∴∠BFG+∠B＝180°， ∴FG∥BE； （2）∵∠BFG＝135°， ∴∠AFG＝180°﹣135°＝45°， ∵∠A＝∠D，∠D＝30°， ∠A＝∠D＝30°， ∴∠FGD＝∠A+∠AFG＝30°+45°＝75°． 8．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠3． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠B＝∠BDE＝2∠3，求∠A的度数． 【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°， ∴AC∥DE， ∴∠A＝∠DEB， ∵∠A＝∠3， ∴∠DEB＝∠3， ∴AB∥CD； （2）解：设∠A＝α， ∵由（1）知AB∥CD， ∴∠3＝∠BED， ∵∠A＝∠3，∠B＝∠BDE＝2∠3， ∴∠BED＝∠A＝α，∠B＝∠BDE＝2α， ∵∠BED+∠BDE+∠B＝180°， ∴α+2α+2α＝180°， ∴5α＝180°， ∴α＝36°， ∴∠A的度数为36°． 9．如图，∠2＝∠B，BE与DF交于点P． （1）若∠1＝46°，求∠C的度数； （2）若∠2+∠D＝90°，AB∥CD，求证：BE⊥DF． 【解答】（1）解：∵∠2＝∠B， ∴CF∥BE， ∴∠C＝∠1， ∵∠1＝46°， ∴∠C＝46°， 所以∠C的度数为46°； （2）证明：∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D， ∵∠2+∠D＝90°， ∴∠BFD+∠2＝∠D+∠2＝90°， ∴∠CFD＝90°， 由（1）可知，CF∥BE， ∴∠EPD＝∠CFD＝90°， ∴BE⊥DF． 10．如图，直线EA，DB交于点F，点C在AD的左侧，且满足∠BDC＝∠ABF，∠BAD+∠DCE＝180°． （1）判断AD与EC是否平行？并说明理由； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥EA于点E，∠BAF＝52°，求∠ABF的度数． 【解答】解：（1）AD∥EC，理由如下： ∵∠BDC＝∠ABF， ∴AB∥CD， ∴∠BAD＝∠CDA， ∵∠BAD+∠DCE＝180°， ∴∠CDA+∠DCE＝180°， ∴AD∥EC； （2）∵CE⊥EA于点E， ∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝90°， ∵∠BAF＝52°， ∴∠BAD＝38°， ∴∠CDA＝∠BAD＝38°， ∵DA平分∠BDC， ∴∠BDC＝2∠CDA＝76°， ∴∠ABF＝∠BDC＝76°． 训练4 平行线与角平分线 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，DE平分∠BDF，且∠1＝∠2． （1）证明：AF∥DE； （2）若∠CFA＝75°，求∠DEB的度数． 【解答】（1）证明：∵DE平分∠BDF， ∴∠1＝∠BDE， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠BDE， ∴AF∥DE； （2）解：∵∠CFA＝75°， ∴∠AFB＝180°﹣∠CFA＝105°， ∵AF∥DE， ∴∠DEB＝∠AFB＝105°， ∴∠DEB的度数为105°． 2．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2． （1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由； （2）若BC平分∠ABD，∠D＝112°，求∠C的度数． 【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下： ∵FG∥AE， ∴∠FGC＝∠2， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠FGC， ∴AB∥CD； （2）∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠D＝180°， ∵∠D＝112°， ∴∠ABD＝180°﹣112°＝68°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABC∠ABD＝34°， ∵AB∥CD， ∴∠C＝∠ABC＝34°． 所以∠C的度数为34°． 3．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点F在线段CD上，且∠DEF＝∠B． （1）求证：∠BDC＝∠DFE； （2）若DE平分∠ADC，∠BDC＝2∠B，求∠B的度数． 【解答】（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE（两直线平行，同位角相等）， ∵∠B＝∠DEF， ∴∠ADE＝∠DEF（等量代换）． ∴AD∥EF（内错角相等，两直线平行）， ∴∠BDC＝∠DFE（两直线平行，内错角相等）； （2）解：∵DE平分∠ADC， ∠ADC＝2∠ADE， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∴∠ADC＝2∠B， ∵∠BDC＝2∠B，∠BDC+∠ADC＝180°， ∴2∠B+2∠B＝180° ∴∠B＝45°． 4．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：AD∥CE； （2）若DA平分∠BDC，∠AEC＝90°，∠1＝64°，试求∠FAB的度数． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BDC， ∴AB∥CD， ∴∠2＝∠ADC， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠ADC+∠3＝180°， ∴AD∥CE； （2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝64°， ∴∠BDC＝64°， ∵DA平分∠BDC， ∴∠ADC∠BDC＝32°， ∴∠2＝∠ADC＝32°， ∵∠AEC＝90°，AD∥CE， ∴∠FAD＝∠AEC＝90°， ∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣32°＝58°． 5．如图，在三角形ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，连接BD，DE．点F在线段BD上，连接EF．已知∠1+∠2＝180°，DE∥BC． （1）求证：∠ADE＝∠DEF； （2）若∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，∠DEF＝∠FEB﹣10°，求∠1的度数． 【解答】（1）证明：∵∠1+∠2 ＝180°，∠DFE+∠2 ＝180°， ∴∠1＝∠DFE， ∴FE∥AC， ∴∠ADE＝∠DEF； （2）解：由 （1）得：FE∥AC， ∵DE∥BC， ∴∠DEB+∠ABC ＝ 180°， ∵∠ABC ＝ 70°， ∴∠DEB＝∠DEF+∠FEB＝110°， ∵∠DEF＝∠FEB﹣10°， ∴∠DEF+10°＝∠FEB， ∴∠DEF+∠DEF+10°＝110°， ∴∠DEF＝ 50°＝∠ADE， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝70°， ∴∠CBD＝∠ABD＝35°， ∵DE∥BC， ∴∠CBD ＝∠BDE＝35°， ∴∠ADB＝∠ADE+∠EDB＝85°， ∴∠1＝180°﹣∠ADB＝ 95°． 6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点C作CE∥AD，且交BA的延长线于点E，点F在CA的延长线上，且∠E＝∠F． （1）求证：AD∥BF； （2）若∠BAD＝50°，∠ABF＝2∠ABC，求∠ADC的度数． 【解答】（1）证明：∵CE∥AD， ∴∠E＝∠BAD， ∵AD平分∠BAC交BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠E＝∠CAD， ∵∠E＝∠F， ∴∠CAD＝∠F， ∴AD∥BF； （2）解：∵AD∥BF， ∴∠ABF＝∠BAD＝50°， ∵∠ABF＝2∠ABC， ∴∠ABC＝25°， ∵∠ADC是△ABD的一个外角， ∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝25°+50°＝75°． 7．如图，在△ABC中，AD平分∠CAB，F是AC上一点，过点F作FE∥AD交BC于点E，点G在AB上且满足∠1+∠2＝180°． （1）在图中还存在一组平行线，请找出来，并说明理由； （2）若FE⊥BC于点E，∠3＝78°，求∠BDG的度数． 【解答】解：（1）CA∥DG，理由如下： ∵FE∥AD， ∴∠1+∠CAD＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠CAD＝∠2， ∴CA∥DG； （2）由（1）可知CA∥DG， ∴∠CAB＝∠3＝78°，∠BDG＝∠C， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD∠CAB78°＝39°， ∵FE∥AD， ∴∠CFE＝∠CAD＝39°， ∵FE⊥BC于点E， ∴∠C＝90°﹣∠CFE＝90°﹣39°＝51°， ∴∠BDG＝∠C＝51°． 8．如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB、BC边上的点，点F，G在AC边上，连接DE，DF，GE，已知∠AFD＝∠DEB，∠DFC+∠C＝180°． （1）求证：DE∥AC； （2）若∠C＝38°，EG平分∠DEC，求∠EGC的度数． 【解答】（1）证明：∵∠DFC+∠C＝180°， ∴DF∥BC（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠DEB＝∠EDF， ∵∠AFD＝∠DEB， ∴∠EDF＝∠AFD， ∴DE∥AC（内错角相等，两直线平行）； （2）解：∵DE∥AC， ∴∠C+∠DEC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠C＝38°， ∴∠DEC＝180°﹣38°＝142°， ∵EG平分∠DEC， ∴， ∵DE∥AC， ∴∠EGC＝∠DEG＝71°（两直线平行，内错角相等）． 9．如图，点D，H分别在AB，AC上，点E，F都在BC上，DE交FH于点G，AG平分∠BAC，∠BED＝∠C，∠1+∠2＝90°． （1）求证：FH⊥DE； （2）若∠3＝∠4，∠BAC＝68°，求∠DFH的度数． 【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠C， ∴DE∥AC， ∵AG平分∠BAC， ∴∠1＝∠GAH， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠2+∠GAH＝90°， ∴GH⊥AC， ∴HF⊥DE； （2）解：∵AG平分∠BAC， ∴∠GAH∠BAC＝34°， ∴∠2＝90°﹣34°＝56°， ∵DE∥AC， ∴∠3＝∠GAH， ∵∠1＝∠GAH， ∴∠1＝∠3， ∵∠3＝∠4， ∴∠3＝∠4， ∴DF∥AG， ∴∠DFH＝∠2＝56°． 10．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E，F是边AB上一点，连接DF并延长，交CA延长线于点H，G为EF延长线上一点，连接BG．若DE平分∠HDC，∠FBG＝∠EDC． （1）求证：BG∥DH； （2）若∠DFG°，求∠BFE的度数． 【解答】（1）证明：∵DE平分∠HDC， ∴∠EDC＝∠EDF， ∵∠FBG＝∠EDC， ∴∠FBG＝∠EDF， ∵DE∥AB， ∴∠EDF＝∠DFB， ∴∠FBG＝∠DFB， ∴BG∥DH； （2）解：∵BG∥DH， ∴∠G＝∠DFE， ∵∠G＝50°， ∴∠DFE＝50°， ∴∠DFG＝180°﹣∠DFE＝130°， ∵∠DFG∠HDC， ∴∠HDC＝104°， ∵DE平分∠HDC， ∴∠EDF∠HDC＝52°， ∵DE∥AB， ∴∠BFD＝∠EDF＝52°， ∴∠BFE＝∠BFD+∠DFE＝52°+50°＝102°． 训练5 平行线中构造辅助线 1. 识别“断点”，确定辅助线方向：当平行线被折线、拐点（如“Z”“U”“N”形的折角）截断，导致角的关系不直接时，在拐点处作辅助线，方向与已知平行线平行。 2. 利用“平行传递性”，拆分复杂角：作辅助线后，将原来的折角拆分为与辅助线相关的角，再通过“平行于同一直线的两直线平行”，结合“平行线的同位角/内错角/同旁内角性质”，把分散的角关联起来。 3. 根据角的关系选择辅助线类型：若遇“同旁内角和”，作辅助线将其拆分为两个同旁内角的和； 若遇“内错角相等”，作辅助线构造内错角，建立相等关系；若涉及“多组平行线”，在多个拐点处依次作辅助线，逐段关联角的关系。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，AB∥DE，∠CDE＝20°，求∠B+∠C的度数． 【解答】解：过点C作CF∥AB， ∴∠B+∠BCF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠FCD＝∠CDE＝20°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠B+∠BCD＝∠B+∠BCF+∠FCD＝200°． 2．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数 ． 【解答】解：过点C作CF∥AB，如图： ∵AB∥DE，CF∥AB， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠BCF＝∠ABC＝70°，∠DCF+∠CDE＝180°， ∵∠CDE＝140°， ∴∠DCF＝180°﹣∠CDE＝40°， ∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣40°＝30°． 3．如图，∠AEC＝80°，在∠AEC的两边上分别过点A和点C向同方向作射线AB和CD，且AB∥CD．若∠A＝60°，求∠DCE的度数． 【解答】解：过点E作EF∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∵∠A＝60°， ∴∠AEF＝180°﹣60°＝120°， ∵∠AEC＝80°， ∴∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝120°﹣80°＝40°， ∴∠DCE＝180°﹣∠CEF＝180°﹣40°＝140°， 4．如图，已知AC∥DB，AB∥DF，EC∥DG，射线DF在∠BDG内部，若∠ECA＝60°，∠FDG＝28°，求∠ABD的度数． 【解答】解：设EC交DB于点H，如图： ∴AC∥DB， ∴∠ECA＝∠EHD＝60°， ∵EC∥DG， ∴∠EHD＝∠BDG， ∴∠BDG＝60°， ∵∠FDG＝28°， ∴∠BDF＝∠BDG﹣∠FDG＝60°﹣28°＝32°， ∵AB∥DF， ∴∠ABD＝∠BDF＝32°， 5．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD＝45°，求∠BED的度数． 【解答】解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB， ∴∠3＝∠1，∠5＝∠ABE， 又∵AB∥CD， ∴FH∥CD，EG∥CD， ∴∠4＝∠2，∠6＝∠CDE， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝∠BFD＝45°， ∵DF平分∠CDE，BF平分∠ABE， ∴∠CDE＝2∠2，∠ABE＝2∠1， ∴∠BED＝∠5+∠6＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝2×45°＝90°， 6．如图，AB∥CD，BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE、BF∥DE，∠F与∠ABE互补，求∠ABE的度数． 【解答】解：如图，延长FB交CD于G， ∵BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE， ∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE， ∵AB∥CD， ∴∠FBA＝∠3（两直线平行，同位角相等）， ∵BF∥DE，∠F与∠ABE互补， ∴∠3＝∠EDC＝2∠2（两直线平行，同位角相等），∠F＝∠1（两直线平行，内错角相等），∠F+∠ABE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 设∠2＝x，则∠3＝2x，∠ABE＝4x， ∴x+4x＝180°， 解得x＝36°， 即∠ABE＝144°， 7．如图，AB∥CD，E，F分别是直线AB，CD之间的点，连接AE，CE，AF，CF，已知∠EAF＝2∠BAF，，当∠AEC＝105°时，求∠AFC的度数． 【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，则AB∥FN∥EM∥CD， ∵AB∥EM∥CD， ∴∠BAE+∠AEM＝180°，∠MEC+∠ECD＝180°， ∴∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°， ∵∠AEC＝105°， ∴∠BAE+∠DCE＝360°﹣105°＝255°， ∵∠EAF＝2∠BAF， ∴∠BAF∠BAE， ∵∠DCF∠ECD， ∴∠BAF+∠DCF（∠BAE+∠ECD）255°＝85°， ∵AB∥FN∥CD， ∴∠BAF＝∠AFN，∠DCF＝∠CFN， ∴∠AFC＝∠AFN+∠DCF＝∠BAF+∠DCF＝85°． 8．如图，∠ACB＝90°，MA∥BN．∠MAC，∠CBN的平分线交于点P，求∠APB的度数． 【解答】解：如图，PE∥MA，CD∥MA，则MA∥PE∥CD∥BN， 设∠MAC＝α，则∠ACD＝∠MAC＝α， ∴∠DCB＝90°﹣α． ∵CD∥BN， ∴∠CBN＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α， ∵∠MAC，∠CBN的平分线交于点P， ∴，， ∴，， ∴． 9．如图，小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，CF，BG交于点A，FG∥DE∥BC，∠FAG＝40°，AC平分∠BAD，若∠ADE＝100°，求∠G的度数． 【解答】解：如图， 过点A作AM∥DE， ∵FG∥DE， ∴AM∥FG∥DE， ∵AM∥DE， ∴∠MAD+∠ADE＝180°， ∵∠ADE＝100°， ∴∠MAD＝180°﹣∠ADE＝80°， ∵AM∥FG， ∴∠GAM＝∠G， ∵∠FAG＝40°， ∴∠BAC＝∠FAG＝40°， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAD＝2∠BAC＝80°， ∴∠GAD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣80°＝100°， ∵∠GAD＝∠GAM+∠MAD， ∴∠GAM＝∠G＝∠GAD﹣∠MAD＝20°． 10．如图所示，直线AB∥CD，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝168°，求∠FME的度数． 【解答】解：设NF交AB于点H，过E作EP∥AB，如图： 设∠FMB＝α，∠END＝β， ∵NE平分∠FND，MB平分∠FME， ∴∠FMB＝∠BME＝α，∠END＝∠FNE＝β， ∴∠FME＝2α，∠FND＝2β， ∵AB∥CD，EP∥AB， ∴EP∥AB∥CD， ∴∠FHB＝∠FND＝2β，∠MEP＝∠BME＝α，∠PEN＝∠END＝β， ∴∠MEN＝∠MEP+∠PEN＝α+β， 又∵∠FMB＝180°﹣∠FMH，∠FMH+∠F+∠FHB＝180°， ∴∠FMB＝∠F+∠FHM， ∴∠F＝∠FMB﹣∠FHB＝α﹣2β， ∵2∠MEN+∠F＝168°， ∴2（α+β）+α﹣2β＝168°， ∴α＝56°， ∴∠FME＝2α＝112°． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $