专题01 平行线的性质在求角的大小中的6种应用 （高效培优专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题01 平行线的性质在求角的大小中的6种应用 题型一：与垂直综合应用 题型二：与三角板综合应用 题型三：与角平分线综合应用 题型四：与垂直和角平分线综合应用 题型五：与实际生活综合应用 题型六：与折叠综合应用 题型一：与垂直综合应用 1．（23-24七年级下·安徽芜湖·月考）平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线射到平而镜上，被反射后的光线为，则．如图2，小明安装了一块能自动调节方向的平面镜，某时刻，太阳光垂直于水平线照射，为了把太阳光反射到一座水平方向的洞口中去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，，，与交于点． (1)求证：． (2)若与垂直，，求的度数． 3．（23-24七年级下·安徽池州·期末）如图，，． (1)问：与平行吗？请说明理由； (2)若，，求的度数． 4．（22-23七年级下·安徽六安·期末）如图1，已知点B和点C分别是和上的点，，． (1)试说明：； (2)如图2，连接，已知，． ①当时，，求的度数； ②若，则__________．（用含m的代数式表示） 5．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）数学课上，老师出示了这样一道题： 如图1，已知，点分别在上，，．求的度数． 小明：“如图2，通过作平行线，发现，，由已知，可以求出的度数．” 小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得，也能求出的度数．” 小华：“如图4，也能求出的度数．” (1)根据他们的解法，______； (2)请在图2，图3，图4中任选一个，求的度数，写出求解过程； (3)老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题”请大家参考这三位同学的方法，解决问题：如图，，点分别在上，平分，，若，请直接写出与的数量关系______；（用含的式子表示）． 题型二：与三角板综合应用 6．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）将含角的三角板如图放置，使其三个顶点分别落在三条平行直线上，其中，，当时，图中等于的角的个数是（    ）    A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，其中，，．若，则________． 8．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动． （1）当__________时，与重合； （2）当运动时间__________秒时，三角尺的边与平行． 9．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间． （1）如图1，若三角尺的角的顶点G落在上，且，则的度数为______． （2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在上，角的顶点G落在上，则与的数量关系为______． 10．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点A，B分别在直线，上，，平分交直线于点D，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点G与点A重合，直角边与重合．若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求t的值； 11．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）综合与探究：如图，一副三角板，其中，，    (1)若这副三角板如图1 摆放，， 求的度数． (2)将一副三角板如图2所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设旋转时间为t秒，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，求所有满足条件的t的值． 12．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）数学课上，老师要求同学们利用三角尺设计数学问题． (1)小安的设计：如图①，利用三角尺画平行线：①将含角的三角尺的最长边与直线重合，另一块三角尺长直角边与含角的三角尺的直角边紧贴：②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线，则，小安这样画图的依据是______； (2)小徽的设计：如图②，将含角的直角三角尺放在含角的直角三角尺上、使两直角顶点与重合，转动三角尺，始终保持三角尺有重合部分，当的大小为多少时，可使？请说明理由； (3)小皖的设计：如图③，，将一副直角三角尺作如上摆放：，，求的度数． 13．（22-23七年级下·安徽淮南·期中）在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，老师把我们常用的一副三角板和量角器带进了课堂．同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答：    (1)小蕊将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，且，请你求出的度数． (2)如图2，小旭将一副三角尺按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转（当三角尺的边与刻度线重合时三角尺停止运动），当运动时间是多少秒时，两块三角尺有一组边? (3)如图2，爱动脑筋的小瑶在小旭的基础上，在三角尺旋转的同时将三角尺也绕点以每秒的速度顺时计旋转（当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动），当运动时间______________________________________秒时，两块三角尺有一组边平行． 14．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一副三角尺为我们用数学的眼光观察世界提供了一个小小的“窗口”．比如我们根据一副三角尺的不同位置摆放，可探究有关平行线的问题． 如图1是一副三角尺，． (1)如图2，将三角尺的顶点A与三角尺的顶点F重合，使点C落在的延长线上，与相交于点G，求的度数； (2)如图3，将三角尺的直角顶点C放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，求的度数； (3)如图4，将三角尺放置固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的直角顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺有一组边互相平行的情况，比如当时，，请你直接写出除外，其他所有可能的度数． 题型三：与角平分线综合应用 15．（23-24七年级下·安徽阜阳·月考）如图，，分别平分和，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，，，分别平分，，与的反向延长线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，是的平分线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，，平分，与的角平分线的反向延长线交于点，当时，则度数是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，，点C在点D的右侧，平分，平分，所在直线交于点E，． （1）_______°； （2）若，则 ________°(用含x的式子表示)． 20．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图， 直线分别与直线、相交于O、P两点． （1）当时， 要使得， 则应为_______； （2）若，平分，， 则_______． 21．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，第次操作，分别作和的平分线，交点为， （1）若，则__________度 （2）猜想：若度，则________________度 22．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线分别与直线、相交于O、P两点． （1）当时，要使得，则应为_____ 度； （2）若，平分，，则_____ 度． 23．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）如图，已知点，分别在直线，上，且，，． （1）若，，则的度数为_____； （2）在（1）的条件下，若，分别平分，，则的度数为_____． 24．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）（1）如图，，则_________． （2）如图，，分别平分和，对__________． 25．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，直线，点M，N分别在直线，上，点E为，之间一点，且点E在线段的左侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，则 （1）_________． （2）_________．（用含n的代数式表示） 26．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）如图，在中，点，在边上，点在边上，点在边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 27．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）如图1，点E、F分别在直线、上，的平分线交于G，且． (1)判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，点H在射线上，的平分线交于K． ①当时，求的度数； ②若，求证：． 28．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，，平分，点在射线上，，垂足为点，平分，交射线于点，动点从点出发沿射线运动，连接． (1)当平分时，__________； (2)当时，求的度数； (3)当时，求的度数． 29．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）综合与实践． 【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知直线，，，． （1）若，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，创新小组的同学把直线向上平移，发现，请你进行证明； 【拓展应用】 （3）缜密小组将图形变化为如图3所示的形式，此时平分，他们发现，请你进行证明． 30．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】 如图1，已知，点 E，F分别在直线、上，点P 在直线、 之间．求证：． 证明：如图2，过点 P 作， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． 【类比应用】 （1）如图3，已知，，，求 ． （2）如图4，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，试说明：； 【拓展应用】 （3）如图5，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 31．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． (1)阅读并补充下面推理过程： 解：过A点作，所以______， ______． 又因为，所以． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)如图2，已知，求的度数． (3)已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，所在直线交于点E，且点E在与两条平行线之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，则的度数为______； ②如图4，点B在点A右侧，且，若，则的度数为______°．（用含n的代数式表示） 题型四：与垂直和角平分线综合应用 32．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图，，平分，，，，则： （1）_______． （2）_______． 33．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，，点在上，且，平分，平分． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)求证：． (3)求的度数． 34．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，，于点，于点． (1)如图，若，则__________； 与是否相等？为什么？ (2)如图，平分交于点，证明． 题型五：与实际生活应用综合应用 35．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图①是一款可坐可躺的婴儿推车，图②是其简化示意图，其中扶手平行于座板，前轮支撑杆平行于推杆，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 36．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1，复兴号动车顶上的“受电弓”是动车从接触网取得电能的电气设备，保证了动车高速顺畅地运行．“受电弓”示意图如图2所示，已知在某一时刻，，． (1)直接写出邻补角的度数_____． (2)求的度数． 38．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，，垂足为A，，有同学认为在这种情况下，与的和是个定值．下面是小林同学计算的度数的过程，请你将解答过程补充完整． 解：如图②，过点B作，因为（已知）， 所以_______（_______），所以_______（_______）， 因为（已知），所以（_______）， 因为，所以， 所以，所以_______． 即：与的和是个定值． 39．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 题型六：与折叠综合应用 40．（23-24七年级下·安徽淮南·月考）如图，将长方形纸片沿翻折，点、的对应点分别是点、．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 41．如图，有一长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为110°时，则的值______． 42．（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，将一长方形纸条先沿着进行第一次折叠，使得两点分别落在的位置，再将纸条沿着进行第二次折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置． （1）若，则的度数为___________； （2）若，则的度数为___________． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01平行线的性质在求角的大小中的6种应用 题型归纳 题型一：与垂直综合应用 题型二：与三角板综合应用 题型三：与角平分线综合应用 题型四：与垂直和角平分线综合应用 题型五：与实际生活综合应用 题型六：与折叠综合应用 题型专练 题型一：与垂直综合应用 1.(23-24七年级下·安徽芜湖月考)平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与 平面镜所夹的锐角相等.如图1，一束光线m射到平而镜1上，被I反射后的光线为n,则∠1=∠2.如图 2,小明安装了一块能自动调节方向的平面镜，某时刻，太阳光垂直于水平线照射，为了把太阳光反射到 一座水平方向的洞口中去，则2α的度数为( 太阳光 ☑ 777777 7777 水平线 图1 图2 A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】B 【详解】解：如图， 太阳光 .水平线 图2 由题意可知a⊥b,b∥c,∠3=∠4， ∠3=∠4=)×90°=450 :b∥c, 1/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 La=∠4=45°， 故选：B 2.(25-26七年级下·安徽芜湖期中)如图，AB∥CD,∠C+∠BEG=180°，EG与AD交于点F. D (1)求证：EG∥AB (2)若AD与BC垂直，∠DFG=140°，求∠B的度数. 【详解】(1)证明：~AB∥CD, .∠C=∠B ∠C+∠BEG=180°， .∠B+∠BEG=180°， .EG∥AB (2)解：如图，设AD与BC的交点为O,过点O作OH∥EG, B.∠AOH+∠DFG=180° ∠DFG=140°， ∠AOH=40°. :AD与BC垂直， :∠A0B=90°， ∴.∠BOH=∠AOB+∠AOH=130° EG∥AB, ∴OH∥AB, .∠BOH+∠B=180°， .∠B=180°-∠BOH=50° 2152 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 3.(23-24七年级下·安徽池州期末)如图，∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°」 H B (1)问：BF与DE平行吗？请说明理由： (2)若BF L AC,∠2=142°，求∠AFG的度数. 【详解】(1)解：BF与DE平行，理由如下： :∠AGF=∠ABC BC∥GF ∴.∠1=∠3 又：∠1+∠2=1809 ·.∠2+∠3=180° .BF∥DE (2)解：∠1+∠2=180°，∠2=142 ∴，∠1=180°-142°=38° 又：BF⊥AC .∠AFB=90°， .∠AFG=90°-∠1=90°-38°=52° 4.(22-23七年级下·安徽六安期末)如图1，已知点B和点C分别是AF和DE上的点，∠DAF=∠BCD, ∠F=∠ECF D B 图1 图2 (1)试说明：AD∥BC； (2)如图2，连接AC,已知AC LCF,∠ECF=m∠BCF ①当m=1时，∠DAF=62°，求∠ACB的度数： ②若∠ACD+∠ABC=150°，则∠D=】 (用含m的代数式表示) 【详解】(1)∠F=∠ECF 3152 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.DE∥AF ∴.∠DAF+∠D=180° '∠DAF=∠BCD ,∠BCD+∠D=180° .AD∥BC (2)①：AD∥BC,∠DAF=62 .∠CBF=62° ,DE∥AF ∴.∠BCE=180°-62°=1189 ,'∠ECF=∠BCF ∴.∠ECF=∠BCF=x118°=59° 2 .AC LCF ∴.∠ACF=90° .∠ACB=90°-59°=31° ②：DE∥AF ∴.∠ACD+∠ACB+∠ABC=180° ,∠ACD+∠ABC=150° ∴.∠ACB=30° AC LCF ∴.∠ACF=90° ∴.∠BCF=90°-30°=60° ,∠ECF=m∠BCF ∴.∠ECF=60°m ∴，∠BCE=60°(1+m) :AD∥BC ∴.∠D=∠BCE=60(1+m) 故答案为：60°(1+m) 5.(24-25七年级下·安徽宿州期中)数学课上，老师出示了这样一道题： 如图1，已知AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，EP⊥FP,∠I=60°.求L2的度数. 4/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A-124 3 OD C- 4 一D 图1 图2 图3 图4 小明：“如图2，通过作平行线，发现∠I=∠3，∠2=∠4，由己知EP⊥FP,可以求出∠2的度数.” 小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得∠2=∠3=∠4，也能求出∠2的度数.” 小华：“如图4，也能求出∠2的度数.” (1)根据他们的解法，∠2=一： (2)请在图2，图3，图4中任选一个，求∠2的度数，写出求解过程： (3)老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题”请大家参考这三位同学的方法， 解决问题：如图，AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，FP平分∠EFD,∠PEF=∠PDF,若LEPD=a, 请直接写出∠CFE与∠PEF的数量关系一：（用含“的式子表示）· A B 【详解】(1)解：如图2， E 3 4 2 F 图2 .:AB∥PO∥CD ∴.∠1=∠3，∠4=∠2， ,EP⊥FP, .∠3+∠4=90°， .∠1+∠2=90°， 1=60°， ∠2=90°-60°=30°， 如图3， 5152 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1^4 -B 3 图3 :ABICD PF∥EQ ∠2=∠3，∠4=∠3， ∠1+∠4=90°， .1+∠2=90°， ∠1=60°， ∠2=90°-60°=30°. 如图4， E Q A 1 3 -B P 24 F D 图4 :ABI‖CDPE∥FQ ∠1=∠3，∠4=∠3， ∠2+∠4=90°， ∠1+∠2=90°， 4=60°， .∠2=90°-60°=30°； (2)解：如图2， -B 4 C -D F 图2 :AB∥PQ∥CD ∠1=∠3，∠4=∠2， ∠3+∠4=90°， .∠1+∠2=90°， ∠1=60°， ∠2=90°-60°=30°， 如图3， 6/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 1y^4 P 37、 C 2 D 图3 ABICD PF∥EQ ∴.∠2=∠3，∠4=∠3， ∠1+∠4=90°， .1+∠2=90°， ∠1=60°， .∠2=90°-60°=30°. 如图4， E Q A 37 B P C 2c4 F D 图4 ·ABICD PE∥FQ ∴∠1=∠3，∠4=∠3， ∠2+∠4=90°， .∠1+∠2=90°， ∠4=60°， ∠2=90°-60°=30°： (3)解：设∠CFE=x∠PEF=∠PDF=y,过点P作PO∥AB, E A B C D :.∠BEP+∠EPQ=180 :AB‖CD, ∴.∠CFE=∠FEB=x, ABI‖CD,PQ∥AB .PQ∥CD ∠PDF=∠DPQ, 7152 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DPO=∠PEF=∠PDF=y .:∠CFE=∠FEB=x=∠FEP+∠BEP, x=y+(180°-u+y), x-2y=180°-a 即∠CFE-2∠PEF=180°-a. 题型二：与三角板综合应用 6.(22-23七年级下·安徽合肥期末)将含30°角的三角板ABC如图放置，使其三个顶点分别落在三条平 行直线上，其中∠ACB=90°，∠CAB=30°，当∠CDB=60°时，图中等于30°的角的个数是() C A.3 B.4 c.5 D.6 【答案】C 【详解】解：b∥c, ∴.∠DAM=∠CDB=60°， :∠BAC=30°， ,∠BAM=∠DAM-∠BAC=30°， ∵b∥c, ∠DBA=∠BAM=30°， ∠CBA=90°-∠BAC=60°， ∴.∠CBD=∠CBA-∠DBA=30°， a∥b, ∴∠BCN=∠CBD=30°， :图中等于30°的角的个数有5个 故选：C 8/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N a B M 7.(24-25七年级下·安徽安庆期末)将一副三角板按如图所示的方式放置，其中∠A=45°， ∠C=∠D=90°，∠E=60°.若EF∥BC,则∠BFD= 【答案】15 【详解】解：∠A=45°，∠C=∠D=90°，∠E=60°， ∴∠B=45°，∠DFE=30° .EF∥BC, .∠BFE=∠B=45o ∠BFD=∠BFE-∠DFE=45°-30°=15°， 故答案为：15° 8.(23-24七年级下安徽阜阳期中)在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们 按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合.将三 角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三 角尺PCD的PC边与18O°刻度线重合时两块三角尺都停止运动. 180 (1)当1 时，PB与PC重合； (2)当运动时间t= 秒时，三角尺PCD的边与PB平行， 【答案】 15 39 【详解】解：(1)由题意得45+21+31+60=180， 9152 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得1=15， ∴当t=15时，PB与PC重合： 故答案为15： (2)PC,PD与PB有公共点P, ∴，只有CD能与PB平行，如图， 由题意知，∠CPN=60°+3t°，∠MPB=45°+2°， :CD∥PB .∠C+∠CPB=180°， .∠CPB=90°， ∴60+31+45+21-90=180，解得t=39 :三角尺PCD的PC边与18O刻度线重合时，1=120=40， 3 .t=39符合题意： D B M P 故答案为：39 9.(23-24七年级下·安徽安庆期末)把一块含60°角的直角三角尺EFG(其中∠EFG=90°， ∠EGF=60°)按如图所示的方式摆放在两条平行线AB，,CD之间. B B E G 图1 图2 (1)如图1，若三角尺的60°角的顶点G落在CD上，且∠1=2∠2，则∠1的度数为 (2)如图2，若把三角尺的直角顶点F落在AB上，60°角的顶点G落在CD上，则∠AFG与∠EGD的数 量关系为 【答案】 809 ∠AFG-∠EGD=609 【详解】解：(1)AB∥CD, 10/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠I=∠EGD ∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠1=2∠2， .∠2+60°+2∠2=180°， 解得∠2=40°， ∠1=2∠2=80°： (2)AB∥CD, .∠AFG=∠FGD, 即∠AFG=60°+∠EGD, 整理得∠AFG-∠EGD=60° 故答案为：80°，∠AFG-∠EGD=60° 10.(24-25七年级下~安徽安庆期末)已知直线MN∥P2,现将一个含30°的三角板ABC按照如图1放 置，使点A,B分别在直线MN,P吧上，∠ABC=90,∠C=60°，AD平分∠CAW交直线P于点D,且 AD∥BC A(GN 图1 图2 (1)求∠BAM的度数； (2)将一个含有45°的三角板EFG按照如图2所示放置，直角顶点G与点A重合，直角边GF与AB重合. 若将三角板GEF绕点A以每秒6°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒(0<1<15)，若三角板ABC保持不 动，作∠DAF的角平分线AK,当∠CAK=12°时，求t的值： 【答案】(1)30 (2)t=1或t=9 【详解】(1)解：：∠ABC=90°，∠C=60°，三角板ABC中含30°， .∠BAC=30°， ADI‖BC, .∠ABC+∠BAD=180°， :∠ABC=90°， 11/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAD=90°， ∠BAC=30°， ∠CAD=60°， AD平分∠CAN, .∠CAN=2∠CAD=120°， ∴.∠BAN=∠CAN+∠BAC=150°， ∴.∠BAM=180°-∠BAN=30°， (2)解：若AK在∠CAD内部时，则∠CAD-∠DAK=∠CAK=12°， M 0 又：∠DAF=90°+6t,AK是∠DAF的角平分线， :∠DAK=)∠DAF=45°+3. .∠CAD=60°， .60°-(45°+3)=12°， t=1: 若AK在∠CAD外部时，则∠DAK-∠CAD=∠CAK=12°， 又：∠DAF=90°+6t,AK是∠DAF的角平分线， :∠DAK=)∠DAF=45+39, 2 .∠CAD=60°， .45°+31-60°=12°， ∴.t=9 综上，t=1或t=9 11.(23-24七年级下安徽安庆期末)综合与探究：如图，一副三角板，其中∠EDF=∠ACB=90°， ∠E=45°，∠A=30°. 12/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B H G M- M B(D) D 图1 图2 图3 (1)若这副三角板如图1摆放，EF∥CD,求∠CDF的度数， (2)将一副三角板如图2所示摆放，直线GH∥MN，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每 秒3°的速度顺时针旋转，如图3，设旋转时间为t秒，且0≤t≤60，若边BC与三角板的一条直角边（边 DE,DF)平行时，求所有满足条件的t的值. 【答案】(1)135° (2)所有满足条件的1的值为10或40 【详解】(1)解：EF∥CD, .∠CDE=∠E=45° .∠CDF=∠CDE+∠EBF=45°+90°=135°： (2)解：如图，①当DE∥BC时，延长AC交MN于点P,延长BC交MN于点O, G M DO .DE∥BC, .∠PDE=∠PQB :MN∥GH,∠EDF=∠ACB=90°，∠BAC=30° ,.∠APD=∠BAC=30°，∠PQE=∠ABC=60° .∠PDE=60°， .∠FDE+∠PDE+∠APD=180°， ∴.AP∥DF, ∴.∠FDM=∠MPA=30° 三角板DEF绕点D以每秒3°的速度顺时针旋转， ∴.t秒转过的角度为(3)°，即∠FDM=(3)° ∴3t=30 13/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得1=10： ②当BC∥DF时，如图，延长BC交MN于点T, G B M ,三角板DEF绕点D以每秒3°的速度顺时针旋转， ∴.t秒转过的角度为(3t)°，即∠FDM=(3)9 根据题意得：∠FDN=180°-∠FDM=(180-3)°， :BC∥DF ∴.∠FDN=∠BTN. .MN∥GH,∠EDF=∠ACB=90°，∠BAC=30°. .∠BTN=∠ABC=60°， ,∠FDN=60°， .180-31=60, .t=40 综上所述：所有满足条件的t的值为10或40 12.(24-25七年级下·安徽阜阳期末)数学课上，老师要求同学们利用三角尺设计数学问题. b 图① F B C(F) C -D M 图② 图③ (1)小安的设计：如图①，利用三角尺画平行线：①将含45°角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三 角尺长直角边与含45°角的三角尺的直角边紧贴：②将含45°角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长 边所在直线b，则b∥a,小安这样画图的依据是； (2)小徽的设计：如图②，将含45°角的直角三角尺DEF放在含30°角的直角三角尺ABC上、使两直角顶点 14/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F与C重合，转动三角尺DEF,始终保持三角尺有重合部分，当∠ACE的大小为多少时，可使DE∥BC? 请说明理由； (3)小皖的设计：如图③，AB∥CD,将一副直角三角尺作如上摆放：∠GEF=60°，∠MNP=45°，求 ∠BEF的度数. 【答案】(1)同位角相等，两直线平行： (2)当∠ACE=45°时，DE∥BC,理由见解析部分： (3)∠BEF=75°， 【详解】(1)解：如图①，~将含45°角的三角尺沿贴合边平移一段距离， B 图① ∴.∠ACB=∠DAE=45° ∴.alb(同位角相等，两直线平行)， 故答案为：同位角相等，两直线平行： (2)解：如图②，当∠ACE=45时，DE∥BC，,理由如下： D C(F) B 图② ∴.∠ACD=∠DCE-∠ACE=45 .∠DCB=∠ACD+∠ACB=135°， ∠EDC=45°， .∠DCB+∠EDC=180°， ·DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行)， (3)解：如图③，过G点作GH∥AB, B G -- -D M 图③ AB II CD 15/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴GH∥AB∥CD, :∠HGN=∠MNP=45°， ∠EGF=90°， .∠EGH=45°， AB‖CD, .∠AEG=∠EGH=45°， .∠BEF=180°-∠AEG-∠GEF=180°-45°-60°=75° 13.(22-23七年级下·安徽准南期中)在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，老师把我们常用的一副三角 板和量角器带进了课堂.同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 180P 图1 图2 (1)小蕊将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点A落在DE上，且BC∥DE,请你求出∠ACE的度数. (2)如图2，小旭将一副三角尺按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角 器的180°刻度线重合.将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转（当三角尺PCD的PC边与180°刻 度线重合时三角尺停止运动)，当运动时间'是多少秒时，两块三角尺有一组边AB∥PD? (3)如图2，爱动脑筋的小瑶在小旭的基础上，在三角尺PCD旋转的同时将三角尺ABP也绕点P以每秒2°的 速度顺时计旋转（当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动），当运动时间t= 秒时，两块三角尺有一组边平行. 【答案】(1)15 (2)当运动时间t是15秒时，两块三角尺有一组边AB∥PD (3)6或9或15或33 【详解】(1)解：由三角板的性质可知：∠D=60°，∠ACB=45°，∠DCE=90°， ,BC∥DE .∠D+∠BCD=180°， ∴.∠BCD=120°， ∴.∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°， :.∠ACE=∠ACB-∠BCE=15° (2)解：如图，设量角器O°刻度线为MN,根据题意，得∠NPD=3t, 16/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A M 当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动， 则运动时间最多为1-18060-40（移） 3 当∠BAP=∠NPD=45°时，AB∥PD,即3t=45, 解得：1=15（秒）： .15<40」 .t=15满足题意。 ∴.当运动时间'是15秒时，两块三角尺有一组边AB∥PD. (3)解：①当AP∥CD时：如图所示 P ∠APD+∠D=180° ,∠D=30° ∴.∠APD=180°-∠D=150° ∴.180°-5t=150° 解得：t=6 ②当AB∥PD时：如图所示 6 D 13 D ∠A+∠APD=180 ∠A=45° .∠APD=180°-∠A=135 .180°-5t=135° 解得：t=9 ③当AB∥CD时：如图所示 17152 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C ∴.∠APD=45°+60°=105° ∴.180°-51=1050 解得：t=15 ④当AB∥CP时：如图所示 ∠CPB=90° ∴.∠APD=45°+60°-90°=15° ∴.180°-5t=159 解得：1=33 ⑤当AP∥CD时：如图所示 ∠C+∠APC=1809 ∴.∠APC=90° ∴.∠APD=∠APC-60°=30° ∴，180°-5t=30 解得：1=42>40（舍去） 故答案为：6或9或15或33 14.(24-25七年级下·安徽合肥期末)一副三角尺为我们用数学的眼光观察世界提供了一个小小的“窗 口”，比如我们根据一副三角尺的不同位置摆放，可探究有关平行线的问题. 如图1是一副三角尺，∠C=∠F=90,∠A=∠B=45°，∠D=30,∠E=60° 18/52 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(F 图2 C(F) 图3 图4 (1)如图2，将三角尺ABC的顶点A与三角尺DEF的顶点F重合，使点C落在AE的延长线上，AB与DE 相交于点G,求∠BGD的度数： (2)如图3，将三角尺ABC的直角顶点C放在直线MN上，使AB∥MN,三角尺DEF的顶点E在直线MN 上，DF与AB相交于点P,求∠DEM-∠DPB的度数； (3)如图4，将三角尺DEF放置固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的直角顶 点C,F重合.当点A在直线EC的下方时，探究这两个三角尺有一组边互相平行的情况，比如当AB∥EC 时，∠ACE=135°，请你直接写出∠ACE除135°外，其他所有可能的度数. 【答案】(1)75 (2)30° (3)150°或60°或45°或15 【详解】(1)解：过点G作GH‖DF,如图， A(F) 依题意得∠C=90°，∠DFE=90°，∠B=45°，∠D=30°， ∴.∠C+∠DFE=90°+90°=180°， ..BCII DF .BCII GHII AD .∠HGD=∠D=30°，∠BGH=∠B=45° 19152 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BGD=∠HGD+∠BGH=30°+45°=75°： (2)解：过点D作H I MIN,如图， D M EC :AB∥MN, .DHI‖ABI‖MN, ·.∠IHDE=∠DEM,∠HDP=∠DPB :∠HDE-∠HDP=∠EDF,且∠EDF=30°， .∠DEM-∠DPB=30°： (3)解：150°或60°或45°或15°， ①如图，当CB‖ED时， D :CBI|ED,∠E=60° ∴.∠BCE=∠E=60°， .∠ACE=∠ACB+∠BCE=60°+90°=150°： ②如图，当CA‖ED时， D .CAl ED,∠AEC=60° .∠ACE=∠AEC=60°： ③如图，当AB∥DC时， 20/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E A .ABII DC,∠B=45° ∠BCD=∠B=45° .∠ECB=∠ECD-∠BCD=90°-45°=45°， .∠ACE=∠ECB=90°-45°=45°： ④如图，当AB∥ED时，设BC与ED交于点T, D B ,ABI ED,∠B=45° .∠ETC=∠B=45°， .∠ECT=180°-（∠ETC+∠E)=180°-(45°+60）=75°， .∠ACE=∠BCA-∠ECT=90°-75°=15°， 综上，其他所有可能的度数为150°或60°或45°或15°. 题型三：与角平分线综合应用 15.(23-24七年级下·安徽阜阳月考)如图，AB∥CD,BE,DE分别平分∠ABF和∠CDF,则∠E与 ∠F的数量关系是() B C D A.2∠E-∠F=90° B.∠E+2∠F=180° C.2∠E-∠F=180° D.2∠E+∠F=360° 【答案】D 21/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：过点E作EM∥AB,如图： A D ,AB∥CD,EM∥AB .CD∥EM, .∠ABE=∠BEM,∠CDE=∠DEM, ,∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E, :∠ABE=)∠ABR,∠CDE=)∠CDF, 2 2 &∠BED=∠BEM+∠DEM-(∠ABF+∠CDF),. .∠ABF+∠BFD+∠CDF=360°， :.∠ABF+∠CDF=360°-∠BFD, .∠BED= )360°-∠BFD) 整理得：2∠BED+∠BFD=360°. 故选：D 16.(24-25八年级上安徽宿州期末)如图，AB∥CD,BF,CG分别平分∠ABE,∠DCE,BF与CG 的反向延长线交于点F.若∠BEC-∠F=33°，则∠BEC的度数为() B A.57 B.66° C.82° D.94 【答案】C 【详解】解：如图，过F作FH∥AB, A B 0 AB‖CD 22/52 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FH∥AB∥CD, ~∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F, :可设∠ABF=∠EBF=&=∠BFH,∠DCG=∠ECG=B=∠CFH, ∠ECF=180°-B,∠BFC=∠BFH-∠CFH=a-B, :在四边形BFCE中，∠BEC+∠BFC=360°-a-(180°-B)=180°-(a-B)=180°-∠BFC, 即∠BEC+2∠BFC=180°，① 又∠BEC-∠BFC=33°， ·∠BFC=∠BEC-33°，② :.由①②可得，∠BEC+2(LBEC-33)=180°， 解得∠BEC=82° 故选：C 17,(24-25七年级下安徽蚌埠期末)如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC,∠B=70°，∠ACB=50° 则∠BDC的度数为() A.75° B.80° C.85° D.90° 【答案】C 【详解】解：：CD是∠ACB的平分线，∠ACB=50°， ∠DCB= ∠4CB=25, DE∥BC, ÷∠EDC=∠DCB=25°，∠EDB+∠B=180°， 即∠EDC+∠BDC+∠B=180°， 25°+∠BDC+70°=180°， ÷∠BDC=85°， 故选：C 18.(24-25七年级下·安徽合肥期未)如图，AB∥CD,AC平分∠BAF,AF与∠ACD的角平分线的反 向延长线交于点F,当∠F=60°时，则∠BAF度数是() 23/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.40° B.50° C.60° D.70° 【答案】A 【详解】解：如图，过点F作FG∥CD ---G 设∠BAF=2x :AB∥CD,FG∥CD AB∥FG ∴.∠AFG=180°-∠BAF=180°-2x :AC平分∠BAF, ∴.∠BAC=x :AB∥CD, ∴.∠ACD=180°-x ,CE平分∠ACD, :∠BCD=)∠ACD=90-) 2 ,FG∥CD ∴.∠CFG=∠ECD ∴.180°-2x-60°=90° 1 解得：x=20° ∠BAF=2x=40° 故选：A 19.(24-25七年级下·安徽芜湖期末)如图，AB∥CD,点C在点D的右侧，BE平分∠ABC,DE平分 ∠ADC,BE,DE所在直线交于点E,∠ADC=8O°. 24/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)∠CDE= (2)若∠ABC=°，则∠BED= (用含x的式子表示). 1 【答案】 40 (+40 【详解】解：(1)：DE平分∠ADC,∠ADC=80°， :∠CDE-ADc- 1×80°=40°. 故答案为：40 (2)如图，过点E作PQ∥AB B A D :BE平分∠ABC,DE平分∠ADC, ∠ABE=ABc=,BDc-Dc=4o :AB∥CD,AB∥PQ, AB∥CD//PO, :∠BEP=∠ABE=2，∠DEP=∠EDC=40° 1 2 ∠B8D=∠8EP+∠DP-合+40小 1 故答案为： 2x+40 20.(23-24七年级下·安徽安庆期末)如图，直线EF分别与直线AB、CD相交于O、P两点. 25/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -B P (1)当∠OPC=130°时，要使得AB∥CD,则∠BOE应为 ； (2)若AB∥CD,OM平分∠AOF,∠OPC=4∠BOE,则∠AOM= 【答案】 50° 18° 【详解】解：(1)∠OPC=130°， .∠DP0=180°-∠OPC=50°， 要使得AB∥CD,则∠BOE=∠DPO=50°， 故答案为：50°： (2)如图， E B M C .AB∥CD」 .∠BOE=LOPD, :∠OPC+∠OPD=180°，∠OPC=4∠BOE, 4∠BOE+∠BOE=180°， .∠B0E=36°， .∠AOF=∠BOE=36°， :OM平分∠AOF, 1 .∠AOM=5∠AOF=180 故答案为：18 21.(24-25七年级下安徽宿州期中)如图，已知AB∥CD,BE、DE的交点为E,现作如下操作：第 一次操作，分别作∠ABE和∠CDE的平分线，交点为E,第二次操作，分别作∠ABE和∠CDE,的平分线， 26/52 丽学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 交点为E,第三次操作，分别作∠ABE,和∠CDE,的平分线，交点为E,…第n(n≥2)次操作，分别作 ∠ABEn1和∠CDEn1的平分线，交点为E。, A Es E2 C (1)若∠BED=120°，则∠BE,D= 度 (2)猜想：若∠BED=a度，则∠BE,D= 度 【答案】 60° 【详解】解：过E作EF∥AB, A Es E .·AB∥CD .AB∥EF∥CD, .∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，∠BED=∠I+∠2=120°， ∴.∠BED=∠ABE+∠CDE, :∠ABE和∠CDE的平分线交点为E, ∠BED=∠4BE+2cDE-4E+cDE- ∠BED=60°： ~∠ABE,和∠CDE的平分线交点为E, ∴∠BED=∠ABE+∠CDE:-ABE+CDE-BED-BED, :∠ABE,和∠CDE2的平分线，交点为E, ∠BE,D=∠48E,+2CDE-4B熙，+CDE,-BE.D-gBED, 8 … 以此类推，∠E= ∠BED, 当∠BBD=a度时， ∠BE,D= 故答案为： 600 2” 27/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(24-25七年级下·安徽合肥期末)如图，直线EF分别与直线AB、CD相交于O、P两点. E 一B D (1)当∠OPC=140°时，要使得AB∥CD,则∠BOE应为一度： (2)若AB∥CD,OM平分∠AOF,∠OPC=3∠BOE,则∠BOM= 度 【答案】 40 157.5 【详解】解：(1)，∠OPC=140°， :.∠DP0=180°-∠OPC=40° 要使得AB∥CD,则∠BOE=∠DPO=40°， 故答案为：40： (2)如图， E M C 公】 ,AB∥CD ·∠BOE=∠OPD, ,∠OPC+∠OPD=180°，∠OPC=3∠BOE, ∴.3∠B0E+∠B0E=180°， .∠B0E=45°， .∠A0F=∠BOE=45°， ,OM平分∠AOF, 1 ∴∠AOM=5∠AOF=22.5° ∠B0M=180°-∠AOM=157.5°： 故答案为：157.5 23.(24-25七年级下安徽阜阳月考)如图，已知点B,D分别在直线AH,CG上，且AH∥CG ∠ABF-号ABE,∠CDF=号CDE, 3 28/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G B (1)若∠ABE=45°，∠CDE=30°，则∠DFB的度数为一： (2)在(1)的条件下，若DO,BO分别平分∠GDE,∠HBE,则∠DOB的度数为 【答案】 50° 142.5° 【详解】解：过点F作FT∥CG,过点O作OK∥AH, D G A B H :AH∥CG,FT∥CG,OK∥AH, :.FT∥CG∥AH∥OK, ）∠ABE-45,2CDE-30Br-号4B,∠C0F-号4cDE, 3 ∠ABF-号ABE-号x45=0,∠CDF-号CDE-号x30=20. 3 .∠TFB=∠ABF=30°，∠TFD=∠CDF=20°， .∠DFB=∠TFB+∠TFD=30°+20°=50°， 故答案为：50°： (2)·∠ABE=45°，∠CDE=30°， ·∠EDG=180°-30°=150°，∠EBH=180°-45°=135°， :DO,BO分别平分LGDE,∠HBE, :∠GD0=)∠EDG=)x150=75°，∠HB0=∠EBH=x135°=67.5， 1 2 :CG∥AH∥OK, ·.∠KOD=∠GD0=75°，∠KQB=∠HBQ=67.5° .∠D0B=∠KQD+∠KQB=75°+67.5°=142.5° 故答案为：142.5° 24.(23-24七年级下·安徽合肥期末)(1)如图，AB∥CD,∠B=135°，∠D=140°，则∠DEB= 29/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (2)知周，4B/c0.∠F=6∠1BF-号ABE,∠CDF-号CDE,D2.0分别平分∠GE和∠HBE 对∠DQB= C D F E Q A H B 【答案】 85° 135° 【详解】解：过点E作EG∥AB, D G A B :AB∥CD .AB∥CD∥EG ∠B=135°，∠D=140°， .∠DEG+∠D=180°，∠BEG+∠B=180° :.∠DEB=∠DEG+∠BEG=(180°-∠D)+(180°-∠B)=85°： (2)过点F作FK∥AB,过点Q作OM∥AB, C D G E Q M H B AB∥CD .AB∥CD∥FK∥QM, ∴.∠CDF=∠DFK,∠ABF=∠BFK,∠QDG=∠MQD,∠QBH=∠MQB, ∴.∠BFK+∠DFK=∠ABF+∠CDF=∠DFB=60°，∠DOB=∠QDG+∠QBH, 30/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABF= ∠ABE,∠CDF=2∠CDE, 3 3 ZABE+ZCDE-ZABF+ZCDF)-90 ·∠EDG=180°-∠CDE,∠EBH=180°-∠ABE ∴，∠EDG+∠EBH=360°-（∠ABE+∠CDE)=270°， DO,BO分别平分∠GDE和∠HBE, ∠0DG+∠QBH-(∠EDG+∠EBM)=135, .∠DQB=∠QDG+∠QBH=135o 25.(23-24七年级下·安徽马鞍山期末)如图，直线AB∥CD,点M,N分别在直线AB，CD上，点E 为AB,CD之间一点，且点E在线段MN的左侧，∠E=63°.若∠BME与∠DNE的平分线相交于点E, ∠BME与∠DNE的平分线相交于点E,∠BME,与∠DNE,的平分线相交于点E,,则 (1)∠E= (2)∠En= (用含n的代数式表示) A M B E E C D 297° 【答案】 148.5° 2” 【详解】解：如图：作EF∥AB, A M B E E -----F C D :AB∥CD AB∥CD∥EF, ∴.∠BME=180°-∠MEF,∠END=180°-∠NEF, ÷.∠BME+∠END=360°-（∠MEF+∠NEF)=360°-∠MEN=297°， 若∠BME与∠DNE的平分线相交于点E, 31/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BME= BME,∠DNE=DNE, BME+ZDNE BEDNE-2 2 同理：作ER∥AB可证明：∠ME,N=∠BME+∠DNE=297 2 同理可得：∠ME,N=297 , 归纳可得： 2”，即∠E=2 ∠ME,N=2 2=148.5°，∠E,=297° 20. 297° 故答案为：148.5,2”” 26.(24-25七年级下·安徽宿州阶段检测)如图，在△ABC中，点D,E在AB边上，点F在AC边上， 点H在BC边上，DH∥AC,且∠1+∠2=180°. E B H (1)求证：EF∥DC: (2)若CD平分∠ACB,∠BHD=64°，求∠2的度数. 【详解】(1)证明：，DH∥AC, ,∠DCF=∠I, .∠1+∠2=180°， .∠DCF+∠2=180°， ∴.EF∥DC. (2)解：：DH∥AC, ∴.∠BHD=∠ACB, ,∠BHD=64°， ∴.∠ACB=64°， :CD平分∠ACB, ·.∠ACD=∠BCD=32°， 32/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EF∥DC, ∴.∠ACD+∠2=180°， ∴.∠2=148° 27.(22-23七年级下·安徽合肥期中)如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，∠AEF的平分线交CD 于G,且∠GEF=∠EGF A E一B A B CG F G H 图1 图2 (1)判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由： (2)如图2，点H在射线FD上，∠FEH的平分线交CD于K. ①当∠FHE=50°时，求∠GEK的度数： ②若BH⊥EG,求证：∠HEK=写BEK. 【详解】(1)解：AB∥CD, 理由：，EG平分∠AEF, ∴.∠AEG=∠FEG, ,∠GEF=∠EGF, ∴∠AEG=∠EGF, ,AB∥CD: (2)①解：：AB∥CD, .∠BEH=∠FHE=50°， ∴.∠AEH=130°， :EG平分∠AEF,EK平分∠HEF, &∠GEF=4BF,∠FEK=HEF. :2GEK=∠GEF+∠FEK=4EF+∠HEF)=∠ABH=6S ②证明：：EH⊥EG, ∴.∠GEH=90°， ∴.∠FEH+∠FEG=∠FHE+∠EGF=90° 33/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠GEF=∠EGF, ∴.∠FEH=∠FHE, ,AB∥CD, ∴.∠BEH=∠FHE, ∴.∠BEH=∠FEH, ,∠FEH=2∠HEK, A∠HEK=∠BEK 3 28.(23-24七年级下·安徽合肥期中)如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB,点E在射线OC上， ED⊥OA,垂足为点D,DF平分∠ODE,交射线OC于点F,动点P从点O出发沿射线OC运动，连接 DP. A P (1)当DP平分∠ODF时，∠PDE= (2)当DP∥OB时，求∠PDE的度数： (3)当DP⊥FD时，求∠ADP的度数. 【答案】(1)67.5 (2)∠PDE=50° (3)∠ADP=45° 【详解】(1)解：ED⊥OA, ∴.∠ODE=90° DF平分∠ODE, ∠0DF=∠BDF=∠ODE=450, PD平分∠ODF, 1 ∴∠PDF=5∠ODE=22.5°， ∠PDE=∠PDF+LEDF=67.5°， 故答案为：67.5： 34/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图，DP∥OB, P BDP∥OB ∠AOB+∠ODP=180°： ∠A0B=40°， .∠ODP=140°， EDLOA, ·∠0DE=90°， .∠PDE=∠ODP-∠ODE=50°： (3)解：如图，DP⊥FD, B:DP⊥FD ∠PDF=90°， ED⊥OA, ∠0DE=90°， DF平分∠ODE, :∠0DF=∠EDF=号∠0DE=450, .∴∠ADP=180°-∠ODF-∠PDF=45° 29.(24-25七年级下安徽阜阳·月考)综合与实践. 【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学 活动.如图1，已知直线a∥b,∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ABC=60° 35/52 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B 6 2 -a 1X3 C 图1 图2 图3 (1)若∠1=46°，求∠2的度数： 【深入探究】 (2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，发现∠4-∠1=120°，请你进行证明： 【拓展应用】 (3)缜密小组将图形变化为如图3所示的形式，此时AC平分∠BAM,他们发现∠5=∠6，请你进行证明. 【答案】(1)44°；(2)见解析：(3)见解析 【详解】解：(1)：∠1=46，∠BCA=90° ∴.∠3=180°-∠BCA-∠1=180°-90°-46°=44°， a∥b ∠2=∠3=44°： (2)过点B作BD∥a.如图所示： A -a -D 则 b ∠4+∠ABD=180° :a∥b, .b∥BD ∴∠I=∠DBC .∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠I. .∠4+60°-∠1=180° .∠4-∠1=120°： (3)证明：过点C作CP∥a,如图所示： 36/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B -a 6 平分 M 一b:AC ∠BAM ∴.∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°， 又a∥b, ∴.CPIb,∠6=∠BAM=60°， ∠PCA=∠CAM=30°， ∴∠BCP=∠BCA-∠PCA=90°-30°=60°， 又CP∥a, ∠5=∠BCP=60°， ∴∠5=∠6 30.(24-25七年级下·安徽芜湖期末)【阅读理解】 如图1，已知AB∥CD,点E,F分别在直线AB、CD上，点P在直线AB、CD之间.求证： ∠AEP+∠P+∠CFP=360°， B A E B D F 图1 图2 图3 B A CE 图4 图5 证明：如图2，过点P作PQ∥AB, .∠AEP+∠EPQ=180° :P∥AB,AB∥CD, .PQ∥CD .∠FPQ+∠CFP=180° .∠AEP+∠EPO+∠FP2+∠CFP=180°+180°，即∠AEP+∠P+∠CFP=360°. 37/52 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【类比应用】 (1)如图3，己知AB∥CD,∠ABP=125°，∠DEF=115°，求∠P=_°. (2)如图4，已知AB∥CD,点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接AP、EP,试说明： ∠CEP+∠BAP-∠APE=180°： 【拓展应用】 (3)如图5，己知AB∥CD,点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接AP、EP,∠DEP的平分线 与∠BAP的平分线所在直线交于点Q,求2∠AQE+∠APE的值. 【答案】(1)120；(2)见解析：(3)360° 【详解】解：(1)如图，过点P作P№∥CD, A B E C D ,∠DEF=115° .∠CEP=∠DEF=115°， .PQ∥CD .∠OPE+∠CEP=180°， :AB∥CD PO∥AB, 、∠ABP+∠BPQ=I80°， :.∠ABP+∠BPQ+∠QPE+∠CEP=360° ,∠ABP+∠P+∠CEP=360°， .∠P=360°-115°-125°=120°： (2)如图，过P点作PM∥AB, CE D :AB∥CD ∴.AB∥CD∥PM, ∴.∠MPE=∠CEP,∠MPA+∠PAB=180°， 38/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠MPE-∠MPA-∠PAB=∠CEP-180°， 即∠APE-∠PAB=∠CEP-180°， ∴.∠CEP+∠PAB-∠APE=180°： (3)由示例知，过Q点作OGCD, D G CE D :AB∥CD, QG∥AB ·.∠A0G=∠QAB,∠GQE=∠DE0, 、.∠AOE=∠BAQ+∠DEQ, 、.2∠AQE=2LBA0+2∠DEQ=2(180°-∠BAF)+2∠DE0, 又：OE,AF分别是∠PED与∠PAB的角平分线， ∴.2∠BAF=∠PAB,2∠DE0=LPED, .2∠AQE=360°-∠PAB+∠PED 由(2)知，∠CEP+∠PAB-∠APE=180°， ∴.∠APE=∠CEP+∠PAB-180°， .2∠AQE+∠APE =360°-∠PAB+∠PED+∠CEP+∠PAB-180° =180°+1809 =360°， 即2∠AQE+∠APE=360° 31.(22-23七年级下·安徽合肥期末)如图1，己知点A是BC外一点，连接AB,AC.求 ∠BAC+∠B+∠C的度数. E.-- --D SC E- 图1 图2 图3 图4 (1)阅读并补充下面推理过程： 解：过A点作ED//BC,所以∠B=一， ∠C= 39/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=I80°，所以∠B+∠BAC+∠C=180° 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC,∠B,∠C“凑”在一起， 得出角之间的关系，使问题得以解决. (2)如图2，已知AB∥DE,求∠B+∠BCD+∠D的度数. 3)已知AB∥CD,点C在点D的右侧，∠ADC=72°，BE平分∠ABC，,DE平分∠ADC,BE、DE所在直 线交于点E,且点E在AB与CD两条平行线之间. ①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=60°，则∠BED的度数为一°： ②如图4，点B在点A右侧，且AB<CD,若∠ABC=n°，则∠BED的度数为·.（用含n的代数式 表示) 【答案】(1)∠EAB,∠DAC (2)∠∠B+∠BCD+∠D=360° a06:@216-r 【详解】(1)解：过A点作ED∥BC, .∠B=∠EAB,∠C=∠DAC, 又，∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°， ∴.∠B+∠BAC+∠C=180° (2)解：如图所示，过点C作CH∥AB, A H 、 图2 AB∥DE, ·AB∥DE∥CH, .∠B+∠BCH=180°，∠D+∠DCH=180°， ∴.∠B+∠BCH+∠D+∠DCH=360°， ,∠BCD=∠BCH+∠DCH, .∠B+∠BCD+∠D=360°， (3)解：①如图所示，过点E作EF∥AB, 40/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图3 ,AB∥CD .AB∥CD∥EF, .∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE, :BE平分∠ABC,DE平分∠ADC, :∠4BE=ABc=30,∠CDE=54DC=36, .∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE=66°： ②如图所示，过点E作EF∥AB, 6 D 图4 :AB∥CD, AB∥CD∥EF, ∴.∠BEF+∠ABE=18O°，∠DEF=∠CDE, :BE平分∠ABC,DE平分∠ADC, &∠ABE=ABc=R∠CDE=ADC=36. ∴.∠BED=∠BEF+∠DEF=I80°-∠ABE+∠CDE=216- 题型四：与垂直和角平分线综合应用 32.(23-24七年级下·安徽准北期末)如图，AB∥CD,OE平分∠BOC,OF⊥OE,OP⊥CD, ∠AB0=50°，则： 41/52 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 0 D (1)∠BOE= (2)∠FOD= 【答案】 65°25° 【详解】解：(1)：AB∥CD, .∠ABO=∠BOD=50°， :∠B0C=180°-∠B0D=180°-50°=130°， ,OE平分∠BOC, :∠B0E=∠C0E=)∠B0C=65, (2):∠BOE=65°，OF⊥OE, ∴.∠B0F=∠EOF-∠BOE=90°-65°=25°， ∴.∠D0F=∠BOD-∠B0F=50°-25°=25° 故答案为：65°；25°. 33.(24-25七年级下·安徽合肥期末)如图，AB∥EF,点C在EF上，且∠EAC=∠ECA,BC平分 ∠DCF,AC平分∠DCE D (1)请判断AE与CD的位置关系，并说明理由. (2)求证：AC⊥BC. (3)求∠1+∠B的度数. 【详解】(1)解：AE∥CD 理由：因为AC平分∠DCE, 所以∠I=∠ECA 因为∠EAC=∠ECA, 所以∠I=∠EAC, 42152 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以AE∥CD (2)证明：因为BC平分∠DCF,AC平分∠DCE, 所以∠FcB=∠DcB=5FCD,∠BCA=A=5BcD 2 因为∠ECD+∠FCD=180° 1 所以∠ACB=∠1+∠DCB=。×180°=90°， 2 所以AC⊥BC. (3)解：由(2)，得AC⊥BC, 所以∠1+∠DCB=90°. 因为BC平分∠DCF, 所以∠FCB=∠DCB, 所以∠1+∠FCB=90° 因为AB∥EF, 所以∠B=∠FCB, 所以∠1+∠B=90° 34.(24-25七年级下·安徽合肥期中)如图，DM∥CN,BD1DM于点D,AB⊥BC于点B. M A G M B Be C C 图1 图2 (1)如图1，①若∠DBC=120°，则∠ABD= ②∠ABD与∠C是否相等？为什么？ (2)如图2，BG平分∠DBC交DM于点G,证明∠ABG=∠AGB 【详解】(1)解：①：AB⊥BC, .∠ABC=90°， ∠DBC=120°， ,.∠ABD=∠DBC-∠ABC=120°-90°=30°， 故答案为：30° ②∠ABD=∠C,理由： 43/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图1，过点B作BE∥DM, D M --E 图1 :DM∥CN, .BE∥CN, .∠C=LCBE, AB⊥BC, ,∠ABE+∠CBE=90°， .∠ABE+∠C=90°， ,BE∥DM, 、.∠D+∠DBE=180°， .∠D=90°， ∴.∠DBE=∠ABE+∠ABD=90°， ∴∠ABD=∠C: (2)证明：如图2，过点B作BE∥DM, GM C 图2 由(I)②知BE∥DM∥CN,∠ABD=∠C=∠CBE, ,BG平分∠DBC, ∴.∠DBG=∠CBG, ·∠DBG-∠ABD=LCBG-LCBE,即∠ABG=LEBG, ,BE∥DM, 、.∠EBG=∠AGB, ·∠ABG=∠AGB 题型五：与实际生活应用综合应用 44/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35.(24-25七年级下·安徽宿州月考)如图①是一款可坐可躺的婴儿推车，图②是其简化示意图，其中扶 手BC平行于座板AD,前轮支撑杆AB平行于推杆DE,若∠BCE=100°，∠ADB=4O°，则∠ABD的度 数为() E B 图① 图② A.40° B.50° C.60 D.70° 【答案】C 【详解】解：ADBC, .∠ADC=∠BCE=100°， :∠ADB=40°， ,∠BDC=60°， ..ABII CD ∴.∠ABD=∠BDC=60° 故选：C 36.(25-26七年级下·安徽六安期中)如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是 平行的.若水面和杯底互相平行，且∠1=100°，则∠2的度数为() 空气 2-水 A.60 B.70° C.80° D.100° 【答案】C 【详解】解：如图， 45/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 空气 2水 ,两条入射光线平行， .∠1=∠3=100°， ,∠2+∠3=180°， .∠2=80° 37.(25-26七年级下·安徽芜湖期中)中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图 1,复兴号动车顶上的“受电弓”是动车从接触网取得电能的电气设备，保证了动车高速顺畅地运行. “受电弓”示意图如图2所示，已知在某一时刻AB∥DE,∠BAC=22°，∠CDE=154°. B接触网A滑板 上框架S B 下臂杆 升弓与降结构 车项 E 图1 图2 (1)直接写出∠CDE邻补角的度数 (2)求∠ACD的度数 【答案】(1)26° (2)480 【详解】(1)解：：∠CDE=154°， :,∠CDE邻补角的度数=180°-154=26° (2)解：如图，过点C作CF∥AB B A 。 DE.∠ACF=∠BAC=22° AB∥DE,CF∥AB」 ∴CF∥DE 46/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DCF=180°-∠CDE=26°， :.∠ACD=∠ACF+∠DCF=22°+26°=48° 38.(25-26七年级下·安徽宿州期中)高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折 叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，BA上AE, 垂足为A,CD∥AE,有同学认为在这种情况下，∠ABC与∠BCD的和是个定值.下面是小林同学计算 ∠ABC+∠BCD的度数的过程，请你将解答过程补充完整。 D D B B ----…f 7mmmmm7m 图① 图② 解：如图②，过点B作BF∥AE,因为CD∥AE(已知)， 所以 —∥CD(—),所以∠BCD+∠CBF=—(—)， 因为AB⊥AE(已知)，所以∠EAB=90°()， 因为BF∥AE,所以∠ABF+∠EAB=180° 所以∠ABF=180°-90°=90°，所以∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD= 即：∠ABC与∠BCD的和是个定值. 【详解】解：如图②，过点B作BF∥AE, 因为CD∥AE(已知)， 所以BF∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)， 所以∠BCD+∠CBF=180°（两直线平行，同旁内角互补）， 因为AB⊥AE(已知)， 所以∠EAB=90°（垂直的定义）， 因为BF∥AE, 所以∠ABF+∠EAB=180°， 所以∠ABF=180°-90°=90°， 所以∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD=270° 即：∠ABC与∠BCD的和是个定值 39.如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度.。图① 是这盏台灯的示意图.已知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角度，此时支架 BC与水平线BE的夹角∠CBE=135°，BEI‖MN,两支架BC和CD的夹角∠BCD=108. 47/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如何求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM的度数及灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数呢？小 明解决此问题的思路如下： B B M -N M M -N D D D 图① 图② 图③ (1)小明在解决问题时，过点C作CF‖BE,则可以得到CF I MN,其理由是 (2)如图②，根据小明的思路求∠CDM和∠ABE的度数： (3)小明在解题中发现∠CDM和∠ABE的度数永远是相等的，与∠CBE和∠BCD的度数无关.小明的说法 对吗？请结合图③说明理由. 【详解】(1)解：平行于同一条直线的两直线平行： (或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)： 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行 (2)解：如图，过点C作CF‖BE, B --E -N .∠BCF+∠CBE=1809 ∠CBE=135°， .∠BCF=45°， ∠BCD=108°， .∠DCF=∠BCD-∠BCF=63°， BF Il MN, .CF l MIN, ,∠CDM=∠DCF=63°： ABII CD ∴∠ABC+∠BCD=180°， 48/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BCD=108°， ·∠ABC=72°， ∠CBE=135°， .∠ABE=∠CBE-∠ABC=63°： (3)解：对，理由如下： .CFBE .∠BCF+∠CBE=180°， ∴.∠BCF+∠CBA+∠ABE=180°， .ABI CD .∠ABC+∠BCD=180°， ∴.∠ABC+∠BCF+∠FCD=180°， .∠ABE=∠FCD, .CF I MN ∠CDM=∠DCF, ∴.∠CDM=∠ABE 题型六：与折叠综合应用 40.(23-24七年级下·安徽淮南月考)如图，将长方形纸片ABCD沿EF翻折，点C、D的对应点分别是 点G、H.若∠DEF=50°，则∠BFG的大小是() A.50° B.609 C.750 D.80° 【答案】D 【详解】解：长方形ABCD中，AD∥BC, ∴∠EFB=∠DEF=50°，∠EFC+∠DEF=180°， .∠EFC=180°-∠DEF=130°， 由轴对称的性质得：∠EFG=∠EFC=130°， ∴∠BFG=∠EFG-∠EFB=130°-50°=80°、 故选：D 49/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 41.如图，有一长方形纸带，E、F分别是边AD、BC上一点，∠DEF=a(0°<a<90°且a≠60°)，将 纸带ABCD沿EF折叠，再沿GF折叠，当∠NFE和∠DEF的度数之和为110°时，则a的值 【答案】35 【详解】解：根据题意可知AD∥BC,MG∥NF,根据折叠得 ∠DEF=∠EFG=∠FEG,∠NFG=∠C'FG,∠MGF=∠D'GF, ,∠NFE+∠DEF=110° .∠NFE+∠EFG=110°. .MG∥NF, .∠MGF=180°-∠WNFG=70°， ∴.∠MGF=∠D'GF=70°， .∠EGM=180°-70°-70°=40°， .∠EGF=40°+70°=110°. :AD∥BC, :,∠DEG+∠EGF=180°， ∴.∠DEG=180°-110°=70° ∴.∠DEF=∠FEG=35°， 即a=35° 故答案为：35° 42.(24-25七年级下·安徽六安期末)如图，将一长方形纸条先沿着EF进行第一次折叠，使得C,D两点 分别落在C,D的位置，再将纸条沿着GF进行第二次折叠(GF与BC在同一直线上)，使得C,D分别落 在C2,D2的位置. 50152 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)若∠AEG=120°，则∠CFG的度数为 (2)若3∠EFB=∠EFC,则∠EFC的度数为 【答案】 120° 150° 【详解】解：(1)根据题意得：AD∥BC,∠AEG=120°， ÷∠AEG=∠BGD=120° ED∥FC, ·∠C,FG=∠BGD=120° (2)根据题意得：AD∥BC, ∴.LDEF=∠GFE, 折叠， ·.∠GEF=∠DEF=∠GFE」 .∠D,GF=∠GEF+∠GFE=2∠GFE, GD,∥CF, .∠C,FC=∠D,GF=2LGFE, 折叠， ∴.∠C,FC=∠C,FC=2∠GFE, ∴.∠GFC=∠GFE+∠C,FE+LC,FC=6LGFE=180°， 3LEFB=∠EFC2, .∠GFE=30°， .∠GEF=30°， ED,∥FC, ÷∠EFC=180°-30°=150° 故答案为：150° 51/52 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 52/52