6.3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理（教学课件）数学北师大版必修第二册

§3空间点、直线、平面之间的位置关系 3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理 第六章 立体几何初步 1 2 3 掌握基本事实1，2，3，4，推论及定理，会运用它们解决问题。（重点） 理解异面直线夹角的定义，会求两异面直线夹角。（重难点） 理解直线与直线垂直的定义。（重点） 温故知新 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 符号语言： 点C直线AB 存在唯一平面α，使 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 符号语言：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 符号语言： 存在唯一平面， 使， . 符号语言： 存在唯一平面， 使， . 符号语言： 存在唯一平面， 使， . 温故知新 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P，P 符号语言： 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号语言： a∥b，b∥c a∥c 直线与直线的位置关系 相交关系：记作 不相交关系：记作 a∩b=B a∩b=∅ 读教材 阅读课本P224-P226，5分钟后完成下列问题： 1.空间点线面间的关系用数学符号怎么表示？ 2.什么是等角定理？你能用符号语言表示出来吗？ 3.异面直线有夹角吗？其范围是什么？如何异面直线的夹角？ 我们一起来探究“等角定理和异面直线”吧！ 思考：两条没有公共点的直线一定平行吗？ 不一定 不同在任何一个平面内（不共面）的 两条直线称为异面直线 a b c A′ D′ B′ C′ A B C D 如图，在长方体中与 BC 异面的直线有几条？ 4条，AA′、DD′、A′B′、C′D′ 新知探索 一、异面直线 相交直线： 平行直线： 共面直线 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点 在同一平面内，没有公共点 在同一平面内，有且只有一个公共点 空间中直线与直线的位置关系： 注意：为了表示异面直线 a，b 不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托，如右图. 新知探索 一、异面直线 典例讲解 例1 如图，在长方体 中，判断下列直线的位置关系. （1） 直线与直线 的位置关系是______； 平行 解： 在长方体中， ， 所以四边形为平行四边形，即 . （2） 直线与直线 的位置关系是______； 异面 解：直线与直线 不同在任何一个平面内，故异面. （3） 直线与直线 的位置关系是______； 解： 直线与直线相交于点 ,故相交. （4） 直线与直线 的位置关系是______. 解： 直线与直线 不同在任何一个平面内，故异面. 相交 异面 典例讲解 方法总结 判定两条直线是异面直线的方法 （1）证明两条直线既不平行又不相交. （2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面 内不经过此点的直线是异面直线. 提分笔记 1. 在三棱柱中,与 异面的棱有( ). C A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解： 画出一个三棱柱如图所示,不难得出与异面的棱有3条， 即,, . 典例讲解 2. 已知，，是三条直线，如果与是异面直线，与 是异面 直线，那么与 有怎样的位置关系？并画图说明. 提示 直线与直线 的位置关系可以是平行、相交、异面，如图①②③. 变式训练 思考：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角的大小有什么关系？ 提示：在平面上，角的边是射线，射线是有方向的. ①两组边方向相同 ②两组边方向相反 ③一组方向相同，另一组相反 两角相等 两角相等 两角互补 新知探索 二、等角定理 新知探索 二、等角定理 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补. 符号语言：对于和，， 或 . 特别提醒：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同或都相反时，两个角相等，否则两个角互补。 因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的. 典例讲解 例2 在正方体中，，，，分别为，，， 的中点.求证：，，且 . 证明： 如图，取的中点为，连接，. 易知四边形 为平行四边形， K . 又且 ， 四边形 为平行四边形. ，由基本事实4，得 . 同理可证 ， 与 对应边分别平行，且方向相反. . 典例讲解 方法总结 （1）证明空间中两条直线平行的方法： ①平面几何法，用三角形中位线、平行四边形的性质等. ②定义法，用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在 同一平面内；二是两条直线没有公共点. ③用公理4证明两条直线平行，只需找到直线，使得， 同时，由公理4即可得到 . （2）证明两个角相等的方法： ①利用等角定理；②利用三角形全等或相似. 提分笔记 典例讲解 在正方体中,，，分别为棱 ，，的中点. 试证明： . 证明： 因为为的中点，所以 . 因为为的中点，所以 . 又，所以 . 所以四边形 为平行四边形. 所以，同理, . 所以与 的对应边平行且方向相同， 所以 平面内两条直线相交成了4个角，其中不大于90°的角称为它们的夹角.夹角刻画了一条直线相对于另一条直线的位置关系.两条异面直线之间也存在位置关系的问题，为此引入“异面直线的夹角”的概念. 新知探索 三、异面直线所成角 a b 新知探索 三、异面直线所成角 3.异面直线垂直：若两条异面直线 a，b 所成的角为直角，则称这两条直线互相垂直，记作：a⊥b. 相交垂直 异面垂直 (0°，90°] 2.异面直线夹角的范围： 垂直 1.异面直线所成角：如图，已知两条异面直线a，b，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，这时a′，b′共面，我们把a′与b′所成的不大于90°的角称为异面直线a，b所成的角（或夹角）. 平移使得空间问题转化为平面几何问题 a b a′ b′ O 例3 如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a. （1）正方体的哪些棱所在的直线与直线 BC1 是异面直线？ （2）求异面直线 AA1 与 BC 所成的角； （3）求异面直线 BC1 与 AC 所成的角. A A1 B D C B1 D1 C1 解：（1）正方体共有12条棱，与BC1相交的棱有6条，与BC1平行的棱不存在. 因此余下的6条棱所在的直线分别与直线BC1是异面直线，它们是A1A，A1B1，A1D1，DA，DC，DD1. 典例讲解 A A1 B D C B1 D1 C1 解：（2）因为 AD∥BC，∴∠A1AD 即为异面直线 AA1 与 BC 所成的角. 显然∠A1AD＝90°，故异面直线 AA1 与 BC 所成的角为90°. 例3 如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a. （1）正方体的哪些棱所在的直线与直线 BC1 是异面直线？ （2）求异面直线 AA1 与 BC 所成的角； （3）求异面直线 BC1 与 AC 所成的角. 典例讲解 A A1 B D C B1 D1 C1 因为A1B，BC1与A1C1都是该正方体的面对角线， 所以A1B＝BC1＝A1C1，△A1BC1是等边三角形， 从而∠BC1A1＝60°，即异面直线BC1与AC所成的角为60°. 解：（3）如图，连接A1C1，A1B. 故∠BC1A1就是异面直线BC1与AC所成的角. 例3 如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a. （3）求异面直线 BC1 与 AC 所成的角. 典例讲解 因为AA1 CC1 ， 所以四边形AA1C1C是平行四边形，AC∥A1C1， // = 一找（异面直线所成角，并做辅助线） 二证（证平行，证所找的角即为异面直线所成角） 三求（求平面角的大小） 典例讲解 方法总结 求两条异面直线所成角的步骤 （1）根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角； （2）证明作出的角就是要求的角； （3）求角的值，常利用解三角形求解. 同时注意异面直线所成角的范围是 . 一找 二证 三求 提分笔记 典例讲解 如图，在正方体中，为侧面 的中心，求： （1）与 所成的角； （2）与 所成的角. 解： （1） ， 是异面直线与 所成的角. 在中， ， ， 与所成的角为 . 典例讲解 解：（2）如图，连接，则， ， 四边形 是平行四边形， ， 或其补角是与所成的角，连接， ， 则 是等边三角形， 又是的中点， ， 与所成的角为 . （2）与 所成的角. 课堂检测 1.三棱锥 的六条棱所在直线成异面直线的有( ). A A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 2.两等角的一组对应边平行，则( ). D A.另一组对应边平行 B.另一组对应边不平行 C.另一组对应边不可能垂直 D.以上都不对 3.在四面体中，,分别为,的中点，若，， 则与 所成的角为( ). A A.B. C.D. 解： 取的中点，连接，，在中， ， ，从而 ，故选A. 课堂检测 4.如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，，分别 为 ，的重心.求证： . [解析] 如图，取的中点，连接，，则点，分别在 ， 上. 因为，分别为， 的重心， 所以 ， 则 . 又，分别为， 的中点， 所以，所以 . 2、等角定理： 本节课我们学习了： 1、空间中直线与直线的位置关系： 3、异面直线所成的角 通过平移把空间问题转化为平面几何问题. 课堂小结 相交直线： 平行直线： 共面直线 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点 在同一平面内，没有公共点 在同一平面内，有且只有一个公共点 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补. 范围：(0°，90°] 步骤：一找二证三求 $