6.3.3 刻画空间点、线、面位置关系的公理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦空间点线面位置关系的公理，系统梳理基本事实4、等角定理、空间直线位置关系（平行、相交、异面）及异面直线夹角等核心知识点。通过从平面平行传递性引入，结合长方体模型分析直线位置关系，再用等角定理解决空间角关系，最后聚焦异面直线判定与夹角计算，构建完整知识脉络，辅以问题引导、表格对比、例题解析和对点练习作为学习支架。 该资料特色在于融合直观想象与逻辑推理，如利用长方体模型帮助学生建立空间观念，通过空间四边形证明培养严谨推理能力。例题设计注重数学运算，如异面直线夹角的“作角-证明-计算-结论”步骤，有效提升数学运算素养。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生回顾强化，弥补知识盲点，全面落实核心素养培养。

刻画空间点、线、面位置关系的公理 (基本事实4、等角定理以及异面直线) 学习目标 1.了解基本事实4和等角定理.　2.了解空间中直线与直线平行、异面的位置关系，培养直观想象和逻辑推理的核心素养.　3.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，会求特殊的异面直线所成的角，提升数学运算的核心素养. 任务一　基本事实4 问题1.在平面几何中，我们知道平行于同一直线的两条直线平行；在长方体ABCD-A1B1C1D1中(如图)，BB1∥AA1，DD1∥AA1，那么BB1与DD1平行吗？ 提示：根据平行的传递性，BB1∥DD1. 基本事实4 文字语言 图形语言 符号语言 基本事实 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 若a∥c，b∥c，则a∥b 推广 空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行 学生用书⬇第161页 (链教材P225例1)如图所示，设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且＝＝λ，＝＝μ.求证： (1)当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形； (2)当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形. 证明：在△ABD中，＝＝λ， 所以EH∥BD，且EH＝λBD. 在△CBD中，＝＝μ， 所以FG∥BD，且FG＝μBD，所以EH∥FG， 所以点E，F，G，H在由EH和FG确定的平面内. (1)当λ＝μ时，EH＝FG，故四边形EFGH为平行四边形. (2)当λ≠μ时，EH≠FG，故四边形EFGH是梯形. 证明空间中两条直线平行的方法 1.利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明. 2.利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b. 对点练1.如图，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形，BC∥AD，BC＝AD，BE∥AF，BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：由G，H分别为FA，FD的中点，可得GH∥AD，GH＝AD. 又BC∥AD，BC＝AD，所以GH∥BC，GH＝BC， 所以四边形BCHG为平行四边形. (2)C，D，F，E四点共面. 理由如下：由题意易知BE∥FG，BE＝FG，所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG. 由(1)知CH∥BG，CH＝BG，所以EF∥CH，所以EF与CH共面. 又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面. 任务二　空间两直线的位置关系 问题2.如图，我们知道在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB与DC没有公共点，在同一平面内，它们是平行直线，直线AB与BC在同一平面内是相交直线；那么AB与CC1的位置关系如何？ 提示：AB与CC1既不平行也不相交，不同在任何一个平面内. 1.异面直线的概念 定义 不同在任何一个平面内(不共面)的两条直线称为异面直线 特点 异面直线既不相交又不平行，即不同在任何一个平面内 表示 为了表示异面直线a，b不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托.如图所示： 2.空间两条直线的位置关系 共面直线 相交直线 在同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线 在同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 (多空题)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中： (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　　； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是　　　　； 学生用书⬇第162页 (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是　　　　； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是　　　　. 答案：(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面 解析：(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C. (2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内. (3)直线D1D与直线D1C相交于点D1. (4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内. 1.判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4判断. 2.判定两条直线是异面直线的方法：由定义判断两直线不可能在同一平面内. 对点练2.(1)已知空间中的两条直线m，n都与一个平面α平行，则m和n的位置关系为(　　) A.平行或相交 B.相交或异面 C.平行或异面 D.平行、相交或异面 (2)如图，正六棱柱中与直线AB异面的侧棱共有　　　　条. 答案：(1)D　(2)4 解析：(1)由题意可得两条直线m，n都与一个平面α平行，可作出平行六面体如图所示，M，F分别为A1B1，C1D1的中点，设平面AA1D1D为平面α，当BB1，CC1所在直线表示为m，n，此时两条直线m，n都与平面α平行，且m平行n；当BB1，BC所在直线表示为m，n，此时两条直线m，n都与平面α平行，且m与n相交；当BB1，FM所在直线表示为m，n，此时两条直线m，n都与平面α平行，且m与n异面；故m和n的位置关系为平行、相交或异面，故D正确.故选D. (2)根据正六棱柱的性质结合图形可得，侧棱中，没有与AB平行的直线；与AB相交的有AA'，BB'，共2条.又正六棱柱的侧棱共有6条，所以与直线AB异面的侧棱共有6－2＝4条. 任务三　等角定理 问题3.平面内两个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？在空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角的大小有什么关系？ 提示： 如图所示，在平面内两条射线平行时它们的方向有以下三种不同的情况，那么这两个角相等或互补；在空间中也有这样的结论. 等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 图形 语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 [微思考]　两个角的两条边分别平行，那么这两个角满足什么条件时相等？满足什么条件时互补？ 提示： 两个角的两条边分别平行，并且方向都相同或相反时两个角相等.一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反时两个角互补. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点. 求证：(1)GB∥D1F； (2)∠BGC＝∠FD1E. 证明：(1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，F，G分别是棱BB1，DD1的中点， 所以D1G＝BF，且D1G∥BF， 所以四边形D1GBF是平行四边形， 所以GB∥D1F. (2)因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，G分别是棱CC1，DD1的中点， 所以D1G＝CE，D1G∥CE， 所以四边形D1GCE是平行四边形， 所以GC∥ED1. 由(1)知：GB∥D1F. 由图形可知：∠BGC，∠FD1E均为锐角， 所以∠BGC＝∠FD1E. 证明两角相等的两种方法 1.应用等角定理，在证明的过程中常用到基本事实4，注意对两角对应边方向的讨论. 2.应用三角形全等或相似. 对点练3.(1)(多选题)下列命题中正确的为(　　) A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 B.如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 D.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 (2)已知角α的两边和角β的两边分别平行且α＝60°，则β＝　　　　. 答案：(1)BD　(2)60°或120° 解析：(1)对于A，这两个角也可能互补，故A错误，B正确，C不正确，举反例：如图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角既不一定相等，也不一定互补；对于D，由基本事实4可知正确.故选BD. (2)角α的两边和角β的两边分别平行且α＝60°，由等角定理可知，β＝α或β＋α＝180°，则β＝60°或120°. 学生用书⬇第163页 任务四　异面直线的夹角 问题4.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异？ 提示：相对于直线AB的位置不同，主要利用A'C'和A'D'与直线AB所成的角来表示这种差异. 1.异面直线的夹角 定义 前提 已知两条异面直线a，b 作法 过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，这时a'，b'共面 结论 我们把a'与b'所成的不大于90°的角称为异面直线a，b的夹角 范围 记异面直线a与b的夹角为θ，则0°＜θ≤90° 特殊情况 当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作：a⊥b 2.空间四边形 四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形. [微思考]　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？ 提示：相等. (链教材P225例2)如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心. 求：(1)BE与CG的夹角； (2)FO与BD的夹角. 解：(1)因为CG∥FB，所以∠EBF是异面直线BE与CG的夹角. 在Rt△EFB中，EF＝FB，所以∠EBF＝45°， 所以BE与CG的夹角为45°. (2)如图所示，连接FH，因为FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD， 所以FB＝HD，FB∥HD. 所以四边形FBDH是平行四边形，所以BD∥FH. 所以∠HFO或其补角是FO与BD的夹角. 连接HA，AF，则△AFH是等边三角形. 又O是AH的中点，所以∠HFO＝30°， 所以FO与BD的夹角为30°. 求两条异面直线的夹角的一般步骤 第一步(作角)：根据异面直线的定义，用平移法(常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线的夹角； 第二步(证明)：证明作出的角就是要求的角； 第三步(计算)：求角度(常利用三角形的有关知识)； 第四步(结论)：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线的夹角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线的夹角. 对点练4.(1)如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC与A1B所成的角是(　　) A.30° B.60° C.90° D.120° (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AC1与BB1所成的角为30°，则AA1＝(　　) A. B.3 C. D. 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)如图所示，连接CD1，AD1，因为BC＝A1D1且BC∥A1D1，所以四边形BCD1A1为平行四边形，则可得A1B∥D1C，所以直线AC与A1B所成的角为∠ACD1或其补角.在正方体中可知AD1＝D1C＝AC，所以可知∠ACD1＝60°.故选B. (2)如图所示，连接A1C1，因为B1B∥A1A，由图知∠A1AC1为锐角，所以∠A1AC1是异面直线AC1与BB1所成的角，即∠A1AC1＝30°.在Rt△A1B1C1中，A1C1＝＝＝.在Rt△A1AC1中，有＝tan 30°，即AA1＝＝＝.故选D. [教材拓展9]　异面直线的判定定理(源于教材P225例2) 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线. 用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图). 学生用书⬇第164页 (1)已知点M是平行六面体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1C1上的动点，则下列直线中与BM恒为异面直线的是(　　) A.A1D B.DD1 C.CD D.DC1 (2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1各个表面的对角线所在直线中，与直线AD1异面的直线有n条，则n＝　　　　. 答案：(1)C　(2)5 解析：(1)对于A，当点M位于A1位置时，直线BM与直线A1D相交，故A错误；对于D，当点M位于C1位置时，直线BM与直线DC1相交，故D错误；对于B，当点M位于A1C1的中点时，如图所示，因为四边形A1B1C1D1为平行四边形，所以M也为B1D1的中点，因为BB1∥DD1，所以B，D，D1，B1四点共面，所以BM与DD1共面，故B错误；对于C，直线CD⊂平面ABCD，直线BM∩平面ABCD＝B，点B不在直线CD上，所以直线BM与直线CD为异面直线，故C正确.故选C. (2)观察可得，与直线AD1异面的直线有BD，B1C，A1C1，A1B，DC1，共5条，所以n＝5. 任务再现 1.基本事实4.2.空间两直线的位置关系.3.等角定理.4.异面直线的夹角 方法提炼 定义法、定理法、转化与化归思想 易错警示 容易忽视异面直线夹角θ的范围是0°＜θ≤90°；等角定理应用时往往忽视两角互补的情况 1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　) A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面 答案：D 解析：若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.故选D. 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1D与CC1所成的角等于(　　) A. 　　　B. C. 　　　D. 答案：B 解析：由题意可得CC1∥DD1，所以异面直线A1D与CC1所成的角等于∠A1DD1，由正方体的性质可得∠A1DD1＝.故选B. 3.在空间四边形ABCD中，AC＝BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的形状是(　　) A.梯形 B.长方形 C.菱形 D.正方形 答案：C 解析：如图所示，因为E，F分别是边AB，BC的中点，所以EF＝AC且EF∥AC.又G，H分别是边CD，DA的中点，所以HG＝AC且HG∥AC，所以HG∥EF且HG＝EF.因此四边形EFGH是平行四边形，同理有FG＝BD.又因为AC＝BD，所以EF＝FG.因此四边形EFGH是菱形.故选C. 4.三棱柱ABC-A1B1C1的9条棱中，与AB异面的棱有　　　条. 答案：3 解析：如图所示，与AB异面的棱有A1C1，B1C1，CC1. 学科网（北京）股份有限公司 $