专题05 期中解答压轴题（期中真题汇编）数学新教材北师大版八年级下册

命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 专题05期中解答压轴题 1.(1)C(-5,2) (2)存在，点P的坐标为2,0)或(-2+3,0)或-2-3,0 (3)见解析 【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等知识， (1)过点C作CD⊥x轴于D.求出A0=3,B0=2,证明△A0B≌aBDC(AAS),则A0=BD=3, B0=CD=2,求出OD=5,即可得到答案； (2)设点P的坐标为(m,0),则AP2=(m-0)+(0-3)=m2+9,BP=m+2,求出AB=√OA2+0B2=√3， 分两种情况分别进行解答即可； (3)过点B作PB⊥BN,使BP=BN,连接PM、PC.证明aPBM≌△NBM(SAS),则MP=MN, ∠BMP=∠BMN,证明△PBC≌aNBA(SAS),则PC=AN,得到LPCB=∠NAB=I35°，则 ∠PCM=∠PCB-45°=90°，由勾股定理得到PC2+CM2=PM2,即可得到结论. 【详解】(1)解：如图：过点C作CD1x轴于D. D BO :(a-3)2+Vb+2)2=0, (a-3)2+b+2=0, .a=3,b=-2, .A(0,3),B(-2,0), A0=3,B0=2, :ABC是等腰直角三角形， ∠ABC=90°，AB=BC, .∠ABO+∠CBD=∠BAO+∠ABO, .∠BAO=∠CBD, 在AOB和△BDC中， LAOB=∠BDC=90°，∠BAO=∠CBD,AB=BC, 1/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .△AOB≌△BDC(AAS), .A0=BD=3,B0=CD=2, .0D=5, C(-5,2); (2)存在； 设点P的坐标为(m,0),则AP2=(m-0)+(0-32=m2+9,BP=m+2 A0=3,B0=2,∠A0B=90° AB=V0A2+0B2=V3, 当AP=AB时，则AP2=AB2,得到m2+9=(3,解得m=2或m=-2(不合题意，舍去) 此时点P的坐标为(2,0)； 当BP=AB时，得到m+2=V3,解得m=-2+√3或m=-2-√3 .此时点P的坐标为(-2+3,0)或(-2-3,0)； 综上可知，点P的坐标为(2,0)或(-2+√3,0)或(-2-√3,0)； (3)过点B作PB⊥BN,使BP=BN,连接PM、PC. A :∠MBN=45°， B ∴.∠PBM=∠NBM=45°， 在△PBM和aNBM中， 'BP=BN,∠PBM=∠NBM=45°，BM=BM, aPBM≌△NBM(SAS), MP=MN,∠BMP=∠BMN, ∠ABC=∠PBN=90°， .∠PBC=∠NBA, 在△PBC和△NBA中， :BP=BN,∠PBC=∠NBA,AB=BC, 2/62 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 △PBC≌△NBA(SAS), PC=AN,∠PCB=∠NAB=135°， .∠PCM=∠PCB-45°=90°， .PC2+CM2=PM2, :AN2+CM 2=MN2. 2.(0y=-3x+4 (2)①3√0；②3+3V10,3或(21,3 (3)-3,3)或9,3) 【分析】本题考查了一次函数综合应用、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形面积公式，熟练掌握以上 知识点并灵活运用是解此题的关键。 (1)先求出C(3,3),再利用待定系数法求解即可. (2)①求出点B的坐标为12,0)，从而得出BC=3V0;②根据等腰三角形的定义分两种情况： CM=CB=3V10或BC=BM=3V10,分别求解即可. (3)根据三角形面积公式可得Sos=OAOB=)×4×12=24,过P作P0∥y轴交AB于Q,则 2 2 Qa写a+4再由5e=5m+5m-2行9 11 a+4-3×12,结合△ABP的面积等于AOB面积的一半， 列方程即可解答 【详解】(1)解：：点C的横坐标为3， 把x=3代入y=x中，得x=3, 点C的坐标为3,3)， b=4 把A0,4),C(3,3)代入y=c+b,得 3k+b=3' k=- 解得 3 b=4 1 一次函数表达式为)=3+4： (2)①把=0代入y=- 3x+4得0= 3+4, 解得x=12, 3/62 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点B的坐标为(12,0)， .BC=V12-3)2+32=310; ②：△BCM为以BC为腰的等腰三角形， .CM=CB=310或BC=BM=3√0， 当CM=CB=3V10时， M3+3V10,3或M3-310,3(舍去)， 当BC=BM=3V10, 过B作BH⊥CD于H, HM MD B .CH=MH, H(12,3, HM=3-3:-9. M(21,3, 综上所述，点M的坐标为3+3V0,3或(21,3. (3):0A=4,0B=12, Sm0408=x4x12=24 2 过P作PQ∥y轴交AB于Q, :P(a,3, 4/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 1 0a,5a+4 1.1 :S=S.阳+5,02X3a+4-3x12,△A8P的面积等于40B面积的一半， 11。 230+4-3x12= 24, 解得a=-3或a=9, P(-3,3)或9,3. 3.(1)5 (2)(0,2 (3)存在，点B的坐标为 )得》 【分析】(I)证明RtABECS≌RtACDA(AAS)可得AD=EC,BE=CD,在RtaBEC中，利用勾股定理解得 BC的长，最后根据三角形面积公式即可求解； (2)作BE⊥y轴于点E,根据题意，可证RtABCES≌RtACAO(AAS),再由全等三角形对应边相等的性质得 到BE=OC,CE=OA,结合点C、A的坐标分别解得BE、OE的长，继而得到B的坐标，再由待定系数法解 得直线AB的解析式，令x=O即可求解； (3)画出符合题意的示意图，设点B,点B是符合要求的两个点，即∠ABB'=∠AB'B=45°，设B(a,2a+I), 过点B作直线平行x轴，过点A作直线平行y轴，两直线相交于点D,由点B、A坐标表示线段BD和AD, 根据AAS可证RtAABD≌RtaB'AE,再由全等三角形对应边相等的性质解得AE、B'E的长，继而得到点B的 坐标，最后将点B代入直线y=2x+1上即可求解. 【详解】(1)解：：E=∠D=∠ACB=90°， :∠BCE+∠EBC=90°，∠ACD+∠BCE=90°， .∠EBC=∠ACD, ∴.在RtABEC与Rt△CDA中， ∠E=∠D ∠EBC=∠DCA, CB=AC :RtABECSRtACDA(AAS), ∴.AD=EC=l,BE=CD=3, :RtABEC中，BC=√BE2+EC2=V32+12=V0, 5/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AC=BC=10, m方i0×而=5. 故答案为：5； (2)解：过点B作BE⊥y轴于点E, A B A 则∠BEC=90°， .∠BEC=∠A0C=90°， ∠BCE+∠ECA=90°， :∠BCE+∠ECA=LACB=90°， ∠ECA+∠0AC=180°-∠A0C=90°， ∠BCE=LOAC. 在Rt△BCE与Rt△CAO中， ∠BEC=∠COA ∠BCE=∠CAO, BC=CA ∴.RtABCES≌RtACAO(AAS), ∴.BE=OC,CE=OA, C(0,-3),A6,0), .C0=3,A0=6, CE=6,BE=3, 0E=CE-C0=3, .B(-3,3). 设直线AB的解析式为：yB=x+b, :直线AB过点A(6,0),B(-3,3), 6/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6k+b=0 -3k+b=3' 解得： 、1 3, b=2 3+2, :直线AB的解析式为：yB= 令x=0得，y=2, .D(0,2): (3)解：存在，有两个点符合题意，点B的坐标为 引或传》惠南下： 13 如图，设点B,点B是符合要求的两个点，即∠ABB'=∠AB'B=45°， 设B(a,2a+1), 过点B作直线平行x轴，过点A作直线平行y轴，两直线相交于点D, B 则∠ADB=∠AEB'=90°， :∠ABB'=∠AB'B=45°， ∠BAB'=180°-∠ABB'-∠AB'B=90°， AB AB', :∠ABD+∠BAD=180°-∠ADB=90°， ∠B'AE+∠BAD=180°-∠BAB'=90°， ∴∠ABD=∠B'AE, .Rt△ABD≌RtAB'AE(AAS), .BD=EA,AD=B'E, B(a,2a+1),A(4,2), BD=4-a,AD=2-2a+1=1-2a, 7162 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 .AE=BD=4-a.B'E=AD=1-2a, .B'(4-1+2a,2+4-a,即B'(3+2a,6-a), :点B'(3+2a,6-a)在直线y=2x+1上， ∴.2(3+2a)+1=6-a, 1 5 点8价华标为5到传到》 【点晴】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模 型的思路方法是解题的关键。 4.(1)A2,0,B(0,4,C4,6 (2)在y轴左侧的平面内存在一点Q,使得△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形，点Q的坐标为(-4,8) 或-8，-4)或-2，-6 【分析】本题考查了一次函数综合题，涉及一次函数的图象与性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角 三角形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键 (1)过点C作CH⊥y轴于H,分别令y=0和x=0求得A、B两点的坐标，通过证明 △BCH≌△ABO(AAS),可得BH=OA=2,CH=OB=4,进而得到OH=BH+OB,从而得到点C的坐 标； (2)设Q(m,n),分3种情况讨论：①当P为直角顶点，Q在OP上方时，②当P为直角顶点，Q在OP下 方时，③当O为直角顶点，由于点Q在y轴的左侧，故点Q在OP上方不满足条件，则点Q在OP下方，分 别同(1)一致，构造全等三角形，得到对应边相等，列方程组并解方程组即可分别求出点？的坐标. 【详解】(1)解：如图所示，过点C作CH⊥y轴于H, 在y=-2x+4中， 令y=0得-2x+4=0,解得x=2, 令x=0得y=4, 8/62 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A2,0,B(0,4), 0A=2,0B=4, 4⊥12， ∠CBH+∠AB0=90°， :CH⊥y轴， .∠CBH+∠BCH=90°， ∠BCH=∠ABO, 在△BCH和△ABO中， ∠BHC=∠BOA=90° ∠BCH=∠ABO BC=AB ∴△BCH≌△ABO(AAS）, BH=0A=2,CH=0B=4, 0H=BH+0B=2+4=6, ·点C的坐标为4,6)： (2)解：在y轴左侧的平面内存在一点Q,使得△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 设Qm,n, ①当P为直角顶点，Q在OP上方时， 如图所示，过P作K,TIy轴交x轴于T,过≌作QK,⊥KT于K, 同(1)可证△PK2,≌0TP(AAS, PK=OT,K e=PT, 「n-2=6 m=4 m--6)=2解得 =8, 9/62 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 9-4,8): ②当P为直角顶点，Q在OP下方时， 如图所示，过P作K,T,Ix轴交y轴于T,过2作QK2⊥K,T于K2, K.P 同(1)可证aPKQ,≌0TP(AAS), 可得OT2=PK2,PT2=KQ2, [2=-6-m m=-8 6=2-n，解得 n=-4’ 02-8,-4)； ③当O为直角顶点，由于点Q在y轴的左侧，故点Q在OP上方不满足条件，则点Q在OP下方， 如图所示，过P作PK,⊥y轴交y轴于K,过O作Q,T⊥y轴交y轴于T, O.UT, 同(1)可证△PK,0≌0 TO(AAS), 可得OK3=T2,PK,=OT, [2=-m 解得 m=-2 6=-n n=-6 .03-2,-6): 综上所述，在y轴左侧的平面内存在一点Q,使得△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形，点Q的坐标 为-4,8)或-8，-4或(-2，-6. 5.(0y=-3x+4 10/62 专题05 解答压轴题 6大高频考点概览 考点01三角形与平面直角坐标系的综合 考点02“一线三等角”模型 考点03“截长补短”模型 考点04 旋转模型 考点05 与不等式有关的阅读理解类题 考点06 不等式与一次函数综合 ( 地 城 考点01 三角形与平面直角坐标系的综合 ) 1．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． (1)如图1，若、满足，求点的坐标 (2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点M在上，点N在的延长线上，，请证明：． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或 (3)见解析 【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等知识， （1）过点作轴于．求出，，证明， 则，，求出，即可得到答案； （2）设点P的坐标为，则，，求出，分两种情况分别进行解答即可； （3）过点作，使，连接、．证明， 则，，证明， 则，得到，则， 由勾股定理得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图：过点作轴于． ∵， ∴， ，， ，， ，， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ； （2）存在； 设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， 当时，则，得到，解得或（不合题意，舍去） ∴此时点P的坐标为； 当时，得到，解得或 ∴此时点P的坐标为或； 综上可知，点P的坐标为或或； （3）过点作，使，连接、． ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为3． (1)求一次函数的表达式； (2)如图2，过点作直线轴，为射线上一动点， ①求线段的长度， ②若为以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数综合应用、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求解即可． （2）①求出点B的坐标为，从而得出；②根据等腰三角形的定义分两种情况：或，分别求解即可． （3）根据三角形面积公式可得，过P作轴交于Q，则，再由，结合的面积等于面积的一半，列方程即可解答． 【详解】（1）解：∵点C的横坐标为3， ∴把代入中，得， ∴点C的坐标为， 把，代入，得， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）①把代入得， 解得， ∴点B的坐标为， ∴； ②∵为以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时， ∴或（舍去）， 当， 过B作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． （3）∵，， ∴， 过P作轴交于Q， ∵， ∴， ∵，的面积等于面积的一半， ∴， 解得或， ∴或． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在，点B的坐标为或 【分析】（1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解； （3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴在与中， ， ， ， ∵中，， ∴， ． 故答案为：； （2）解：过点B作轴于点， 则， ∴， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， 令得，， ； （3）解：存在，有两个点符合题意，点B的坐标为或，理由如下： 如图，设点B，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，    则， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ， ，即， ∵点在直线上， ， ， ∴点B的坐标为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模型的思路方法是解题的关键． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）建立模型：如图，等腰中，，，直线经过点．过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： (1)如图，直线与轴、轴分别交于、两点，点在第一象限，直线经过点和点，且，，求点、点和点的坐标； (2)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)在轴左侧的平面内存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数综合题，涉及一次函数的图象与性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． （1）过点作轴于，分别令和求得、两点的坐标，通过证明，可得，， 进而得到， 从而得到点的坐标； （2）设，分种情况讨论：当为直角顶点，在上方时，当为直角顶点，在下方时，当为直角顶点，由于点在轴的左侧，故点在上方不满足条件，则点在下方，分别同（1）一致，构造全等三角形，得到对应边相等，列方程组并解方程组即可分别求出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于， 在中， 令得，解得， 令得， ，， ，， ， ， 轴， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）解：在轴左侧的平面内存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 设， 当为直角顶点，在上方时， 如图所示，过作轴交轴于，过作于， 同（1）可证， ，， ，解得， ； 当为直角顶点，在下方时， 如图所示，过作轴交轴于，过作于， 同（1）可证， 可得，， ， 解得， ； 当为直角顶点，由于点在轴的左侧，故点在上方不满足条件，则点在下方， 如图所示，过作轴交轴于，过作轴交轴于， 同（1）可证， 可得，， ，解得 ， ； 综上所述，在轴左侧的平面内存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，点的坐标为或或． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为3． (1)求一次函数的表达式； (2)如图2，过点作直线轴，为射线上一动点，若为以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由； (4)如图3，为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点的对应点为点），交轴于点．当是直角三角形时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)存在；或 (4)6或 【分析】（1）先求出点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出点，勾股定理求得，进而分两种情况讨论，即可求解； （3）分两种情况，或，分别画出图形，利用勾股定理，求出点N的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为3．且在正比例函数的图象上 ∴， 将，代入 ∴ 解得： ∴一次函数解析式为： （2）解：由，当时，， 解得： ∴ ∵ ∴ 当时，则 当时，如图所示，过点作于点， ∴ ∴ ∵轴， ∴， 综上所述，为以为腰的等腰三角形，点的坐标为或； （3）解：∵， ∴ 如图所示，当在点的左侧时， ∴ 依题意， 解得：，则 当在点的右侧时，如图所示， 依题意， 解得：，则 综上所述，点的坐标为或 （4）当时，过点C作轴于点M，并延长，过点D作于点，如图所示： 设点，则， 根据折叠可得：，， ∵， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 当时，如图所示： 设点，则， 根据折叠可得：，， ∵， ∴轴， ∴，， ∴，， 在中根据勾股定理得：， 即， 解得：， 综上分析可知，点N的横坐标为：6或 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，三角形面积的计算，解一元二次方程；解题的关键是根据题意作出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论． ( 地 城 考点02 “ 一线三等角 ” 模型 ) 6．（25-26八年级上·山东济宁·期中）中，． (1)如图，过点作直线，当直线与不相交时，过点作于点，过点作于点，请直接写出线段之间的数量关系为______； (2)如图，当直线与相交时，过点作于点，过点作于点，请写出线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，点为斜边上一点且不与重合，现将沿翻折得到，直线与直线相交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或 【分析】（）由“”证明，可得，，进而即可求解； （）由“”证明，可得，，进而即可求解； （）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：∵于点，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： 同理（）可证， ∴，， ∴， 即； （3）解：当点在线段上时，如图， ∵，， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， 又∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∵， ∴该种情况不存在； 当点在线段的延长线上时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴; 综上所述，的度数为或或． 7．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）证明得到，，则； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ； （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴； （3），大小关系是： 理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 同理可证明：． ∴． ∴． ∵，， ∴． 8．（25-26八年级上·全国·期中）【模型呈现】如图1，在中，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：． 【模型应用】如图2，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作线段且，直线交x轴于点D． ①点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； ②求直线的函数表达式． 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标． 【答案】【模型呈现】证明见解析 【模型应用】①，；② 【模型迁移】点Q的坐标为或 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，全等三角形判定与性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质； 【模型呈现】利用证明即可 【模型应用】过C作轴于K，求出，，得到，，同理，所以，，即得，然后利用待定系数法解答即可； 【模型迁移】过点作轴于点N，过点P作于点M，设，，分两种情况，结合模型呈现，利用全等三角形对应边相等列方程组即可求解． 【详解】【模型呈现】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【模型应用】①过C作轴于K，如图2： 一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，即，解得：， 当时，即， ∴，， ∴，， 由【模型呈现】可得：， ∴，， ∴， ∴， ②设直线解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为． 【模型迁移】如图，过点作轴于点N，过点P作于点M，设，，分两种情况： ①如图，当在点左侧时， ∵点是点C关于y轴的对称点， ∴， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， 由【模型呈现】可得， ∴， ∴，解得：， ∴， ②如图，当在右侧时， ，解得：， ∴， 综上：点Q的坐标为或． 9．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）在中，，，直线经过点，且于点，于点． (1)当直线绕着点旋转到如图所示的位置时，求证： ①； ② (2)当直线绕着点旋转到如图所示的位置时， ①在图中找出一对全等三角形，并加以证明； ②直接写出、、三边的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)①；②，证明见解析． 【分析】本题考查了垂直的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． （1）①先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； ②先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差、等量代换即可得证； （2）①先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； ②先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差、等量代换即可得证． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②由（1）①已证：， ∴， ∴； （2）①，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②，证明如下： 由（2）①已证：， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】（1）①如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点D，于点E，则与之间满足的数量关系是___________ ； ②如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为点E，D．猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【方法应用】（2）①如图3，在中，，过点A作于点D，在直线m上取点E，使，猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②如图4，在中，，．求的面积． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）①，见解析；②18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三垂直全等模型是解答本题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）①作于点，三线合一得到，同（1）法证明，即可得出结论； ②作，交于点，证明即可得到答案 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； ②，理由如下： ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）①，理由如下： 作于点， ∵， ∴， 同（1）法可得：， ∴， ∴； ②在中，，，，如图，作，交于点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ． ( 地 城 考点0 3 “ 截长补短 ” 模型 ) 11．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）综合与实践 【解决问题】 (1)如图①，在中，平分，交于点，且求证：． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键， （1）在上截取，使得，连接，由角平分线的定义可得，易利用证得，从而得到，，再由角度之间转换可得，根据等腰三角形的性质可得，即可推出； （2）在上截取，连接，在中，由三角形内角和可求得，从而易证得，得到，从而可推出，易证，得到，从而可推出的长． 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上截取，连接，如图所示： 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 12．（25-26八年级上·广东珠海·期中）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 【答案】【方法初探】见解析；【方法应用】见解析；【实际应用】 【分析】此题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．根据截长补短法，构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解： 【方法初探】证明过程如下， ， ． 在和中， ， ，． ， ， ， ． ， ， 即． 【方法应用】证明：如图， 在上取一点，使得， 又， 是等边三角形， ，． 是等边三角形， ，， ， 即． 在和中， ， ， ， 即． 【实际应用】解：， 理由：如图， 在的延长线上取一点，，连接， 为的补角的角平分线， 即平分， ． 在和中， ， ，． ，， ， ． ， ， ， ． 又， ． 13．（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：证明：在上截取，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为16． 14．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）基础技能“截长补短”： 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，把、、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是； （2）问题解决： 如图2，在四边形中，，，E、F分别是边，边上的两点，且，求证：； （3）问题拓展： 如图3，在中，，，点D是外角平分线上一点，交延长线于点E，F是上一点，且，猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）延长到点E使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形三边关系计算； （2）延长到G，使，证明，根据全等三角形的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质证明； （3）作于H，在上截取，连接，分别证明，，，根据全等三角形的性质和线段的和差证明． 【详解】（1）解：如图1，延长到点E使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴； （2）证明：如图2，延长到G，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 理由：作于H，在上截取，连接， 则， ∵，， ∴，， ∴， ∵点D是外角平分线上一点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点评】正确作出辅助线,构造全等三角形，灵活应用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】（1）；理由见解析（2），理由见解析；（3）不成立.新数量关系为：． 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识． （1）在上截取，连接，证明，推出，，再求得，据此即可得到； （2）在上截取，连接，证明，推出，，同（1）即可求解； （3）在的延长线上取一点，使，连接，证明，同理可证明． 【详解】解：（1）， 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图②，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ( 地 城 考点0 4 旋转模型 ) 16．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，，，点在内． 动手操作：如图1，将绕点顺时针旋转，使点的对应点为，画出旋转后的对应三角形； 实践运用：如图2，连，将绕点逆时针旋转得线段，连，射线交于点，连．若，，求的长． 【答案】画图见解析， 【分析】本题考查全等三角形的判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 动手操作：根据旋转的性质画出旋转后的图形即可； 实践运用： 过点作于点，于点，证得，进而证得四边形是正方形，设正方形的边长为，列方程求解即可． 【详解】解：动手操作：旋转后的三角形如图： 实践应用： 过点作于点，于点， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， 四边形是正方形， ， 设， 、， ， 、， ， 在中，， 即， 解得或， 当时， 在中，、、， 满足，即， 则符合题意， 当时， 在中，、、， 由于，与矛盾， 则不符合题意，故舍去， ， ， 答：的长为． 17．（25-26八年级上·四川成都·期中）在等腰三角形中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段； (1)如图1，若，点E是线段上一点，在上取一点G，且，证明：； (2)如图2，若，点E是线段上一点，连接与线段交于O点，过点F作于点H，若，证明：点E是的中点； (3)如图3，若，点E是射线上一点，连接与线段交于O点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当在的延长线上，；当在线段上， 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，由旋转的性质得，，，则有，再利用全等三角形判定即可证明； （2）根据三角形内角和定理得到，由旋转的性质得，，，则有，进而推出，得到，，再通过证明，得到，再结合得到，最后根据等量代换以及中点的定义即可证明； （3）分2种情况讨论：①当在的延长线上；②当在线段上，先证明，得到，，进而证明，得到，得到，再由，分别求解的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∴点E是的中点； （3）解：①当在的延长线上， 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴，， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在线段上， 如图，延长至点使得，连接， 同理①可得，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴综上所述，当在的延长线上，；当在线段上，． 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 18．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，在中，，点是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； (2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答本题的关键． （1）由旋转得，，可得，可证明，即可得； （2）由题意得，．证明，可得，，则．在中，由勾股定理得，，即． 【详解】（1）解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：．理由如下， ∵， ∴． 由旋转得，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴． 19．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知在中，，，于D． (1)如图1，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接交于点G．求证：； (2)如图2，点E是线段上一点．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G． ①求证：；②若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解；② 【分析】（1）由旋转的性质得出，，证得，可证明，则可得结论； （2）①过点作交于点，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，则可得结论；②由勾股定理求出，，，则可求出答案． 【详解】（1）证明：将线段绕点顺时针旋转得到， ，， ，，于， ，， ， ， 又， ， ； （2）①证明：过点作交于点，连接， 由（1）知为的中点， ，， 为等腰直角三角形， ， 又，， ， ， ，， ，， 又， ， ， ， ； ②解：，， ， ， ，， ，， 又， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 20．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： (3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1)，证明见详解 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，得到相等边，然后利用勾股定理进行证明即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，利用（1）的思路，得出全等的三角形和等边三角形，得出相等的角和边，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 根据旋转的性质得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得，； （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接， 同（1）可得为等边三角形， ∴， 同（1）可得， ∴，， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即． ( 地 城 考点0 5 与不等式有关的阅读理解类题 ) 21．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）已知点，点，且，若点关于直线的对称点为点，则称为的“线镜像点”． (1)当时，在，，中，“线镜像点”在轴上的点是______； (2)已知点，点若线段上存在点，使得点的“线镜像点”在轴上，则的取值范围是______； (3)当时，已知点，点的“线镜像点”分别是点，如图，第一、三象限角平分线下方和轴上方的公共部分构成区域（含边界），若在区域中有且只有个点使得为等腰直角三角形，则的取值范围是______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了坐标的轴对称变换、坐标几何、不等式应用及等腰直角三角形的存在性问题； 解题的关键是得出“线镜像点”的坐标变换特征． （1）根据关于第二、四象限的角平分线对称点坐标的特征结合坐标平移确定“线镜像点”的坐标变换特征，若点为，则“线镜像点”为，逐个代入验证即可； （2）根据（1）得到的规律确定点，点，“线镜像点” ，点，由题意可知线段与轴有交点，由此得出不等式组即可求解； （3）根据（1）得到的规律确定点，点的“线镜像点”分别是点，，由，即可确定使得为等腰直角三角形的点坐标，根据关键点的坐标于区域的关系列不等式组即可解答． 【详解】（1）设点为，如图： 以点为原点建立新平面直角坐标系，则在新的平面直角坐标系中，点，点，即直线是新的坐标系第二、四象限的角平分线， ∵点关于直线的对称点为点， ∴由关于第二、四象限的角平分线对称点坐标的特征可知： ∴在原平面直角坐标系中点关于直线的对称点为点，坐标为 ∴点的“线镜像点”是即，不在轴上， 的“线镜像点”是，即，在轴上， 的“线镜像点”是即，在轴上， 的“线镜像点”是，即，不在轴上， 综上所述：，的“线镜像点”在轴上的点， 故答案为，． （2）∵点， ∴它们的“线镜像点”为： 点， 即，点 ∴轴， ∵线段上存在点，使得点的“线镜像点”在轴上， ∴线段与轴有交点， 解得：， 故答案为． （3）∵当时，点，点的“线镜像点”分别是点， ∴ 若为等腰直角三角形，则点坐标可能为：，，，，， 易得 ∴在区域中有且只有个点，则在区域外、在区域内， ∴只需要保证在区域内，在区域外即可， 交第一、三象限角平分线于，则， 解得 故答案为． 22．（25-26八年级上·重庆·期中）阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得： ∴ ∴， 当且仅当时，等号成立． 因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值． 例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2． 阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为． 例：若，则变形为， ∴该方程的解为， 化简后得：． 请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题： (1)若，当_______时，式子的最大值为_______． (2)若，求出的最小值及对应的x的值． (3)已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值． 【答案】(1)3， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了完全平方公式及非负性应用，利用配方法求复杂式子最值． （1）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数x和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最大值，同时确定等号成立时x的值； （2）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，同时确定等号成立时x的值； （3）先对M进行变形，将分子凑成含有的形式，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，当且仅当，，且，此时确定等号成立时x的值． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得， ∵， ∴， 故答案为：3，． （2）解：， 当且仅当，即，解得， ∵， ∴时，的最小值为． （3）解： , 当时，． 当且仅当，，且， ∴，． 23．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读材料】 定义：在平面直角坐标系中，对于任意一点，如果把点P平移，得到点，那么就把Q叫做点P的“t型平移”点． 例如：当时，点的“型平移”点的坐标就是． 【问题解决】 (1)点的“3型平移”点的坐标为______． 若点的“t型平移”点的坐标是，则______，______． (2)已知线段的两个端点分别是，． ①端点A，B的“－1型平移”点分别是，，请在图中画出线段及线段． ②若线段上的每个点作“t型平移”后，得到的线段与坐标轴有公共点，求t的取值范围． 【答案】(1)；2；2 (2)①见解析；②或 【分析】本题考查坐标与图象变换之平移，理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法求解是解答的关键，属于中考创新题型． （1）直接根据“型平移”定义求解即可； （2）直接根据“型平移”定义求解得、坐标，进而根据坐标画图即可； （3）根据“型平移”定义结合图形，求得t的最大值和最小值即可得到结论． 【详解】（1）解：将点进行“3型平移”的对应点坐标为，即， 点的“t型平移”点的坐标是， 则， 解得 故答案为：；2；2； （2）（2）①∵端点A，B的“型平移”点分别是，， ∴，， 即， 如图，线段、线段即为所求． ②当平移后得到的线段与坐标轴有公共点时，则或， 解得或，即t的取值范围是或． 24．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线．将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“西雅对称点”．例如：点关于轴和直线的“西雅对称点”为点． (1)点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是___________； (2)点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是，求和的值； (3)若点关于轴和直线的“西雅对称点”在第二象限，且得到关于的取值范围内的所有整数解之和为6，求的取值范围． 【答案】(1) (2)m的值为2，的值为7 (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形变化、方程组与不等式组的应用等知识点，理解新定义“西雅对称点”的定义是解题的关键． （1）依照新定义计算即可； （2）依照新定义计算出，根据题意列出关于m和n的方程组，解方程组即可； （3）依照新定义计算出，根据在第二象限求出x的取值范围，再由满足条件的x的整数解有且只有一个，列不等式组得出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：如图， ∴将点关于轴的对称点，点关于直线的对称点记作点． 故答案为：． （2）解：∵关于轴的对称点，点关于的对称点， 点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是。 的坐标是， ，解得，， 值为2，的值为7． （3）解：点关于轴的对称点为，点关于直线对称点为， 点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是， 点在第二象限， ，解得：， 关于的取值范围内的所有整数解之和为6， ，即：． 25．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于第一象限的，两点，给出如下定义：若轴正半轴上存在点，轴正半轴上存在点，使，且（如图），则称点与点为反射点．对第一象限的点和图形，若图形上存在点，使得点与点为反射点，则称图形为反射图形． (1)在点，，，中，与为反射点的是______（填所有符合要求的序号）； (2)已知，，，． 若线段（含端点）为反射图形，求的取值范围； 已知，，，，，关于的对称点为，，，，若四边形上至少存在一点，使得四边形为反射图形，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，轴对称的性质，解不等式，先找出新定义内两点的坐标规律是解题的关键． （）作点关于轴对称点，作点关于轴对称点，连接，，，，设点坐标为，，根据对称性研究两点坐标关系，再根据得出的两点坐标关系即可； （）根据两点的坐标关系，得出反射点所在直线，根据是反射图形，所以直线与线段有交点，从而求出的取值范围； 先求出，，，坐标，根据反射点规律，得出反射图形，根据四边形和反射图形有交点求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：作点关于轴对称点，作点关于轴对称点，连接，，，，设点坐标为，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由对称性可知，， ∴，，M共线， ∴和关于y轴对称， ∴， ∴，，共线， 由对称性可知，，， ∵， ∴； ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴在直线上， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴， ∴反射点在直线上， ∵线段与直线有交点， ∴， ∴； ∵，，，，， ∴，，，， 设反射点， 当，重合时，， ∴：， 当，重合时，， ∴：， 当，重合时，， ∴：， 当，重合时，， ∴：， 如图： ∴若存在，则在下方，在上方， ∴， 解得：， ∵， ∴． ( 地 城 考点0 6 不等式与一次函数综合 ) 26．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点，点的坐标为． (1)观察图象，当时，自变量的取值范围是______； (2)点为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查一次函数的性质、待定系数法求函数的解析式、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）找到函数的图象在函数的图象的上方，自变量x的取值范围即可； （2）先求得，再利用待定系数法即可求得；设点C的坐标为，得到点D的坐标为，根据题意列得求解即可． 【详解】（1）解：观察图象得当时，函数的图象在函数的图象的上方， ∴当时，自变量的取值范围是． 故答案为：． （2）解：∵正比例函数经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象经过点和， ∴，解得∶， ∴一次函数的表达式为； 设点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的坐标为， ∵， ∴，解得或， ∴点C的坐标为或． 27．（23-24八年级上·江苏扬州·月考）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、一次函数与不等式、等腰三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点代入可确定点B的坐标，再运用待定系数法求出直线的表达式即可； （2）根据交点坐标的意义，结合函数图象确定不等式的解集即可； （3）先求得、、，然后分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：将点代入可得：，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得，解得：， ∴． （2）解：根据题意，得图象交点为， ∵， ∴． （3）解：根据题意，得， ∴，即， 同理可得，； ∴； 如图：当时，得到，此时； 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 当时，设，则，， 根据勾股定理，得，解得：， ∴． 综上所述：或或或． 28．（24-25九年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 ：的图象经过点 ，且与y轴交于点B，与直线 ：交于点A，点A的横坐标为3． (1)求直线的解析式； (2)直接写出关于的不等式的解集； (3)若 D是x轴上的点，且，求点D的坐标 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先计算，结合，求直线的解析式即可； （2）利用交点的横坐标，数形结合扇形直接写出答案即可； （3）设点，根据，得到，建立方程解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，数形结合求不等式的解集，根据面积求点的坐标，熟练掌握待定系数法，一次函数与不等式的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：直线与直线 ： 交于点A，点A的横坐标为3． 故 故点， 又点， 故 解得， 故直线的解析式为； （2）解：根据直线的交点点， 故关于的不等式的解集为． （3）解：根据直线的解析式为， 得，解得， 故， 故； 由， 故， 故， 设点， 则， 解得或， 故或． 29．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【概念引入】对于给定的一次函数（其中为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为． 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． _______ 2 0 ________ ．．． ①补全表格中横线部分的数据，并根据表中的结果在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象： ②已知直线与的伴随函数的图象交于两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为10时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有1个时，直接写出的取值范围：___________． 【答案】（1）；（2）①表格见解析，图见解析；②或；（3）或者 【分析】此题是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式． （1）根据伴随函数的定义即可求解； （2）①把代入，把代入，求得函数值即可填表，根据列表即可作出图形；②分别求出、两点的坐标，进而根据面积构造方程求解即可； （3）先求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的伴随函数为，根据图象即可得结论． 【详解】解：（1）∵函数为一次函数的伴随函数． 的伴随函数为； 故答案为：； （2）①当时，，当时，， ∴补全表格如下： x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … 作图如下， ②联立和得 ，解得， ∴ 联立和得， 解得， ∴ 当时，， ∴与轴的交点为， ∵点， ∴， ∵的面积为 ∴，即， 解得或； （3）如图， 设直线为， ∵点、的坐标分别为， ∴， 解得， ∴直线为， 令，则， ∴直线:与轴的交点为， 由题意得，一次函数的伴随函数为． 轴右侧部分与有交点时：当经过时，，此时有一个交点； 当经过时，，此时有两个交点； 即； 当伴随函数顶点经过时，； 综上所述，伴随函数与有个交点时，的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 30．（25-26八年级上·河南郑州·期中）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数：下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中 ； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现： 该函数图象的最低点坐标是 ，当时，y随x的增大而 ； (4)进一步探究： ①不等式的解集是 ； ②若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是 ． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)，减小 (4)①或；②或 【分析】本题为绝对值函数问题，考查了求函数值，画函数图象，一次函数的性质，函数与方程不等式的关系等知识﹒ （1）把代入即可求解； （2）根据（1）表格描点，连线即可； （3）结合函数图象即可求解； （4）①结合函数图象即可得当时，或，问题得解； ②当直线经过点时，，当直线经过点时，，若关于x的方程只有一个解，结合图象得k的取值范围是或﹒ 【详解】（1）解：当时，﹒ 故答案为：3 （2）解：该函数图象的另一部分如图所示： ； （3）解：由图所得该函数图象的最低点坐标是，当时，y随x的增大而减小﹒ 故答案为：，减小； （4）解：①由图象得的解集是或﹒ 故答案为：或； ②∵当直线经过点时，，当直线经过点时，， ∴若关于x的方程只有一个解，结合图象得k的取值范围是或﹒ 故答案为：或． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 解答压轴题 6大高频考点概览 考点01三角形与平面直角坐标系的综合 考点02“一线三等角”模型 考点03“截长补短”模型 考点04 旋转模型 考点05 与不等式有关的阅读理解类题 考点06 不等式与一次函数综合 1．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． (1)如图1，若、满足，求点的坐标 (2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点M在上，点N在的延长线上，，请证明：． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为3． (1)求一次函数的表达式； (2)如图2，过点作直线轴，为射线上一动点， ①求线段的长度， ②若为以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）建立模型：如图，等腰中，，，直线经过点．过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： (1)如图，直线与轴、轴分别交于、两点，点在第一象限，直线经过点和点，且，，求点、点和点的坐标； (2)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为3． (1)求一次函数的表达式； (2)如图2，过点作直线轴，为射线上一动点，若为以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由； (4)如图3，为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点的对应点为点），交轴于点．当是直角三角形时，请直接写出点的横坐标． ( 地 城 考点02 “ 一线三等角 ” 模型 ) 6．（25-26八年级上·山东济宁·期中）中，． (1)如图，过点作直线，当直线与不相交时，过点作于点，过点作于点，请直接写出线段之间的数量关系为______； (2)如图，当直线与相交时，过点作于点，过点作于点，请写出线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，点为斜边上一点且不与重合，现将沿翻折得到，直线与直线相交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 7．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 8．（25-26八年级上·全国·期中）【模型呈现】如图1，在中，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：． 【模型应用】如图2，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作线段且，直线交x轴于点D． ①点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； ②求直线的函数表达式． 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标． 9．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）在中，，，直线经过点，且于点，于点． (1)当直线绕着点旋转到如图所示的位置时，求证： ①； ② (2)当直线绕着点旋转到如图所示的位置时， ①在图中找出一对全等三角形，并加以证明； ②直接写出、、三边的数量关系． 10．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】（1）①如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点D，于点E，则与之间满足的数量关系是___________ ； ②如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为点E，D．猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【方法应用】（2）①如图3，在中，，过点A作于点D，在直线m上取点E，使，猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②如图4，在中，，．求的面积． ( 地 城 考点0 3 “ 截长补短 ” 模型 ) 11．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）综合与实践 【解决问题】 (1)如图①，在中，平分，交于点，且求证：． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长． 12．（25-26八年级上·广东珠海·期中）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 13．（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 14．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）基础技能“截长补短”： 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，把、、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是； （2）问题解决： 如图2，在四边形中，，，E、F分别是边，边上的两点，且，求证：； （3）问题拓展： 如图3，在中，，，点D是外角平分线上一点，交延长线于点E，F是上一点，且，猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 15．（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． ( 地 城 考点0 4 旋转模型 ) 16．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，，，点在内． 动手操作：如图1，将绕点顺时针旋转，使点的对应点为，画出旋转后的对应三角形； 实践运用：如图2，连，将绕点逆时针旋转得线段，连，射线交于点，连．若，，求的长． 17．（25-26八年级上·四川成都·期中）在等腰三角形中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段； (1)如图1，若，点E是线段上一点，在上取一点G，且，证明：； (2)如图2，若，点E是线段上一点，连接与线段交于O点，过点F作于点H，若，证明：点E是的中点； (3)如图3，若，点E是射线上一点，连接与线段交于O点，若，求的值． 18．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，在中，，点是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； (2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段之间的数量关系，并加以证明． 19．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知在中，，，于D． (1)如图1，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接交于点G．求证：； (2)如图2，点E是线段上一点．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G． ①求证：；②若，，求的长． 20．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： (3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． ( 地 城 考点0 5 与不等式有关的阅读理解类题 ) 21．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）已知点，点，且，若点关于直线的对称点为点，则称为的“线镜像点”． (1)当时，在，，中，“线镜像点”在轴上的点是______； (2)已知点，点若线段上存在点，使得点的“线镜像点”在轴上，则的取值范围是______； (3)当时，已知点，点的“线镜像点”分别是点，如图，第一、三象限角平分线下方和轴上方的公共部分构成区域（含边界），若在区域中有且只有个点使得为等腰直角三角形，则的取值范围是______． 22．（25-26八年级上·重庆·期中）阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得： ∴ ∴， 当且仅当时，等号成立． 因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值． 例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2． 阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为． 例：若，则变形为， ∴该方程的解为， 化简后得：． 请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题： (1)若，当_______时，式子的最大值为_______． (2)若，求出的最小值及对应的x的值． (3)已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值． 23．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读材料】 定义：在平面直角坐标系中，对于任意一点，如果把点P平移，得到点，那么就把Q叫做点P的“t型平移”点． 例如：当时，点的“型平移”点的坐标就是． 【问题解决】 (1)点的“3型平移”点的坐标为______． 若点的“t型平移”点的坐标是，则______，______． (2)已知线段的两个端点分别是，． ①端点A，B的“－1型平移”点分别是，，请在图中画出线段及线段． ②若线段上的每个点作“t型平移”后，得到的线段与坐标轴有公共点，求t的取值范围． 24．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线．将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“西雅对称点”．例如：点关于轴和直线的“西雅对称点”为点． (1)点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是___________； (2)点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是，求和的值； (3)若点关于轴和直线的“西雅对称点”在第二象限，且得到关于的取值范围内的所有整数解之和为6，求的取值范围． 25．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于第一象限的，两点，给出如下定义：若轴正半轴上存在点，轴正半轴上存在点，使，且（如图），则称点与点为反射点．对第一象限的点和图形，若图形上存在点，使得点与点为反射点，则称图形为反射图形． (1)在点，，，中，与为反射点的是______（填所有符合要求的序号）； (2)已知，，，． 若线段（含端点）为反射图形，求的取值范围； 已知，，，，，关于的对称点为，，，，若四边形上至少存在一点，使得四边形为反射图形，直接写出的取值范围． ( 地 城 考点0 6 不等式与一次函数综合 ) 26．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点，点的坐标为． (1)观察图象，当时，自变量的取值范围是______； (2)点为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点，若，求点的坐标． 27．（23-24八年级上·江苏扬州·月考）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（24-25九年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 ：的图象经过点 ，且与y轴交于点B，与直线 ：交于点A，点A的横坐标为3． (1)求直线的解析式； (2)直接写出关于的不等式的解集； (3)若 D是x轴上的点，且，求点D的坐标 29．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【概念引入】对于给定的一次函数（其中为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为． 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． _______ 2 0 ________ ．．． ①补全表格中横线部分的数据，并根据表中的结果在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象： ②已知直线与的伴随函数的图象交于两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为10时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有1个时，直接写出的取值范围：___________． x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … 30．（25-26八年级上·河南郑州·期中）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数：下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中 ； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现： 该函数图象的最低点坐标是 ，当时，y随x的增大而 ； (4)进一步探究： ①不等式的解集是 ； ②若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是 ． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $