第05讲 空间夹角和空间距离的求解（培优讲义）新高二数学人教A版

第05讲 空间夹角和空间距离的求解（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 异面直线所成角（平移法） 2 知识点02 直线与平面所成角 4 知识点03 二面角 6 知识点04 点到平面的距离 8 剖题型·讲技巧 11 题型1 求异面直线的夹角 12 题型2 已知异面直线的夹角求其他 16 题型3 求线面夹角 20 题型4 已知线面夹角求其它 25 题型5 求二面角 30 题型6 已知二面角求其它 35 题型7 等体积法求点面距离 41 题型8 折叠问题中的夹角和距离 45 题型9 夹角的最值范围问题 53 知高考·真题探源 60 练好题·提分培优 74 课标要点 1．理解异面直线所成角、线面角、二面角的定义与取值范围，掌握几何作图方法，能通过平移、作垂线等方式作出对应空间角，并结合解三角形完成计算。 2．理解点到平面距离的含义，熟练运用等体积法求解该类问题，掌握立体几何中常用的转化思路与解题步骤。 3．能结合几何体结构特征分析空间位置关系，规范书写推理与运算过程，提升空间想象和逻辑推理能力。 4．体会数形结合思想，能运用所学知识解决基础立体几何度量问题，夯实立体几何学习基础。 知识点01 异面直线所成角（平移法） 平移法解题步骤如下： （1）选取线段端点、中点等特殊点，平移其中一条或两条异面直线，使它们转化为相交直线，相交直线所形成的角（或其补角）就是异面直线所成角。 （2）将该角放入三角形中，利用解三角形知识计算角度大小。 （3）注意：异面直线所成角的取值范围是，若求出的夹角为钝角，必须取其补角作为最终结果。 练习1．如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点F，连接，， 在中，是的中点，F是的中点，． 同理可得． 为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，，又，， ， ，即异面直线与所成的角为． 2．（多选）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 知识点02 直线与平面所成角 直线与平面所成角特指斜线和平面形成的角，当直线与平面垂直时，夹角为；直线与平面平行或在平面内时，夹角为。 解题时先在斜线上任选一点，向平面作垂线，确定垂足位置，连接垂足与斜线和平面的交点（斜足），得到斜线在平面内的射影。斜线和射影所形成的锐角或直角，就是直线与平面所成角，最后在对应三角形中计算角度。 练习3．在正方体中，直线与底面所成角的大小为__________． 【答案】 【详解】在正方体中，平面， 则是直线与底面所成的角， 在中，，则， 即直线与底面所成角为. 4．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，，是正三角形，，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若是的中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)如图所示，取的中点，的中点，连接，，，， 因为是正三角形，，则， 又为的中点，所以， 又底面四边形为菱形，， 所以是等边三角形，所以， 因为，平面，平面，所以平面． 又平面，进而， 同理可得， 因为，平面，平面，所以平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）因为底面是菱形，是的中点， 所以是中点，又因为是的中点， 所以， 所以与平面所成的角就等于与平面所成的角． 因为是菱形，，， 由余弦定理得AB=，，是等边三角形． 因为底面，底面， 所以． 因为，，平面， 所以平面． 如图，连接，则平面，，    所以就是与平面所成的角．      因为是等边三角形，， 所以，． 在中，PC=，AC=2，则PA=，所以PF=3． 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 知识点03 二面角 1、定义法 在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角.一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法； 2、垂线法 过已知二面角的一个面内一点作另一个面的垂线,在另一个面内过垂足作二面角的棱的垂线,连接,则即为二面角的平面角或其补角.此种方法通用于求二面角的所有题目 练习5．如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则此三棱柱的体积为______． 【答案】/ 【详解】取中点，连接， 已知底面是正三角形，故， 又底面，故， 又，平面， 故平面，又平面， ，故即为二面角的平面角， 所以， 已知，则， 在中，， 解得， ． 知识点04 点到平面的距离 点到平面的距离，指从该点向平面作垂线，垂线段的长度。 常用等体积法求解，核心思路是将包含该点和对应平面的三棱锥，以不同面作为底面计算体积。利用三棱锥体积保持不变的特点，列出体积等式，结合已知棱长、三角形面积，反向求出垂线段长度，也就是点到平面的距离。 练习6．如图所示，已知三棱锥中，，，，. (1)在棱AB上取点E使，证明：. (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 因为为三角形内角，所以， 在中，由余弦定理得， 因为为三角形内角，所以， 在中，且，所以是等边三角形， 取的中点，连接， 因为是等边三角形，所以， 在中，已知，所以是等腰三角形，故， 因为，且平面， 所以平面，又因为平面， 所以. （2）在棱上取点，连接，使得， 在中，， 由余弦定理得， 因为，所以， 在平面内，过作交于点，连接， 因为，且平面，平面， 所以为二面角的平面角， 在中，，，所以，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 在中， ， 所以二面角的余弦值为. 7．在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在棱长为1的正方体中，连接， 则几何体是棱长为的正四面体，， ， 设点到平面的距离为，则， 因此，所以. 故选：B 8．在三棱锥中，平面，若，则点到平面PBC的距离为______. 【答案】 【详解】解：如图所示： 因为， 由勾股定理可得， 又因为平面， 平面， 所以 所以为直角三角形， 又因为， 由勾股定可得，, 又因为, 所以为直角三角形，， 所以, 又因为, 设点到平面PBC的距离为， 因为, 即, 所以. 故答案为： 题型1 求异面直线的夹角 1．在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，所以， 设分别是的中点，连接，则， 所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角）， 在中，， 所以， 所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为. 2．在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 作交于，如图，连接，则， 又，所以，所以， 所以是与所成的角或其补角， 由，， 所以，，，所以， 在中，， 所以与所成角的余弦值为. 3．在三棱锥中，分别是的中点.则异面直线所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，取的中点，连接、，则，是异面直线，所成的角或其补角， ，，，， 又，， ， 异面直线，所成的角的余弦值为． 则其正弦值为 故选：C 4．如图，在圆锥中，已知的直径，点为的中点，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，则直线与所成的角为__________.    【答案】 【详解】由题知的周长为，设圆锥的母线长为，圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 设扇形的半径为，则，，解得，即， 所以，即. 又点为的中点，所以为等腰直角三角形，. 取的中点，连接，则，；取的中点，连接，则， 故（或其补角）即为与所成角，连接，则平面， 取的中点，连接，，则，故平面， 又平面，所以，其中，，，，，， 在中，由余弦定理得， 故，， 所以，则直线与所成的角为. 故答案为：.      5．已知正方体，棱长为2，线段、BD的中点分别为点M、P、N． (1)求证：平面平面； (2)求异面直线MN与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）连接、、、， 由线段、BD的中点分别为点M、P、N， 则、， 又平面，平面， 平面，平面， 故平面，平面， 又，、平面， 故平面平面； （2）连接、，由（1）知，， 则异面直线MN与所成角即为直线与所成角， ，，， 则，故为等边三角形，故， 即异面直线MN与所成角的大小为. 题型2 已知异面直线的夹角求其他 6．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【详解】如图，连接，由题设及中位线定理可得， 则为异面直线所成角或所成角补角，则或. 故答案为：或. 7．在正四棱台中，，，且异面直线与所成的角为60°，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，为异面直线与所成的角，即， 过作平面的投影，易知在上，过作，垂足为， 因为平面，故，同理， 而，平面， 平面，而平面，， ，，，， ，，，， ，，，， 该正四棱台的体积． 故选：B. 8．如图，正六棱柱的底面边长为5，点分别为线段的中点，若异面直线与所成角的余弦值是，则此正六棱柱的体积为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】在正六棱柱中，连接，则， （或其补角）为异面直线与所成的角，设此正六棱柱的高为， 在中，，， 则，即，解得或， 此正六棱柱的体积，所以或. 故选：D 9．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点，，直线与所成角的大小为，则四校锥的体积为__________. 【答案】 【详解】连接，如图所示： 因为，所以直线与所成角为（或其补角）， 因为平面，所以， 又底面为矩形，所以， 因为，平面，平面，而平面， 所以，所以均为直角三角形， 设，则，即， 因为点E为的中点，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四棱锥的体积. 故答案为：. 【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理、异面直线所成的角、锥体的体积公式，关键点点睛： （1）直线垂直平面，则这条直线垂直平面内任何一条直线； （2）锥体体积底面积高； （3）异面直线所成的角取值范围为. 10．如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，、分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，求的长.    【答案】或 【详解】如图，过点作垂直于上底面于点，则是母线，连接， 垂直于上下底面，，，    则四边形是平行四边形，， 与所成的角就是或其补角． 当时，是等边三角形，， 在中，； 当时，在中，， 在中，． 综上，或. 题型3 求线面夹角 11．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在长方体中，平面，则直线与平面所成的角为，且， 因为，，所以，则． 12．在正三棱台中，，则与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可将该正三棱台补成一个正四面体，平面即为平面． 正四面体进一步又可以放到一个正方体内研究， 设正方体棱长为2，， 设点到平面的距离为，则， 所以，则. 设与平面所成角为，则． 13．在棱长为2的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，连接，交于点，连接. 因为正方体底面是正方形，所以； 又平面，平面，故， 又因平面,故平面. 就是直线与平面所成的角. 正方体棱长为，则，. 在中：. 因此直线与平面所成角的正弦值为. 14．如图，在正方体中，． (1)作出过与平行的平面，并证明； (2)求直线和平面所成的角． 【答案】(1)作法：连接，如图所示： 则平面即为过与平行的平面. 证明：在正方体中，由且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面即为过与平行的平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）设与交于点，连接，如图所示： 在正方体中，因为平面，平面， 所以，在正方形中，由，且， 所以平面，即平面，平面， 所以为斜线在平面内的射影， 所以为直线和平面所成的角， 又，则，， 在直角三角形中，， 又，所以，即直线和平面所成的角为. 15．如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为底面是菱形，是的中点， 所以是中点，又因为是的中点， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知， 所以与平面所成的角就等于与平面所成的角， 因为是菱形，，， 所以，，是等边三角形. 因为底面，底面， 所以. 因为，，平面， 所以平面. 连接，则平面，， 所以就是与平面所成的角. 因为是等边三角形，， 所以，. 在中，，则. 在中，. 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 题型4 已知线面夹角求其它 16．已知正三棱台中，，，且与平面所成的角为，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为三棱台为正三棱台，且，， 则，， 如图，设和的中心分别为，连接，，， 则平面，，， 作平面交平面于点， 则即为直线与平面所成的角， 由几何体为正三棱台可知，点在上，且四边形为矩形， 所以，又，所以， 则棱台的体积为. 17．已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段在平面内的射影互相垂直，则的长为（    ） A．6cm B． C． D．8cm 【答案】D 【详解】令于，于， 则，， 依题意，， 因此， 在直角梯形中，. 故选：D.    18．在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 【答案】 【详解】∵ 正三棱台上底面边长，下底面边长， ∴ 上底面面积，下底面面积. 设上下底面的中心分别为，，则为正三棱台的高， 侧棱与底面所成角为. ∵ 正三角形外接圆半径， ∴下底面外接圆半径，上底面外接圆半径. 过作于点，则， 可得四边形为矩形，故. ∵ 在中，， ∴ . 代入棱台体积公式， 得， ∴ . 19．如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． (1)证明：平面； (2)若，且与底面所成角的余弦值为．求的长； 【答案】(1)连接，交于点，连接， 因为，所以， 因为四边形是菱形， 所以，又，平面， 所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略. （2） 取中点，连接， 因为，所以为正三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 由平面，所以，所以，又，即， 设，连接，显然是正三角形的中心， 所以平面，且即为直线与平面所成的角． 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以，则. 20．如图，在正方体中，，点为棱AB上的动点（不含端点），点为上一点，直线DH交平面于点. (1)求证平面； (2)若， （i）求证平面； （ii）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）证明：四点共面， 平面平面ABCD，平面平面，平面平面， 平面平面平面. （2）（i）证明：如图所示， 连接平面平面，， 又平面平面平面， 又平面平面. （ii）如图所示，在平面内作直线垂足为， 连接，设. 平面， 平面即为直线与平面所成角. 平面， 平面平面， ， 当时，直线与平面所成角的正弦值为. 题型5 求二面角 21．在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，连接，设，    因为正方体，所以，， 所以就是平面与平面所成二面角， 设正方体的边长为，则，，， 所以，故C正确. 22．如图，在长方体中，，，点P为棱中点. (1)求证：平面PAC； (2)求异面直线与CP所成角的大小； (3)求二面角的平面角的正切值. 【答案】(1)证明： 如图所示，连接正方形的对角线，交于点，则是的中点， 又是的中点，因此在中，是中位线，故. 又平面，平面，所以平面，得证. (2) (3) 【分析】 【详解】（1）略. （2）由（1）知，因此异面直线与所成角等于与所成的角. 正方形边长为2，故，则； ，，， 在中：； 是中位线，， 故. 在中， ， 因此是直角三角形，， 故： ，得， 即异面直线与所成角的大小为. （3）由，，，得平面，因此，，故就是二面角的平面角. 为中点，，， 在中，. 又，因此， 所以二面角的平面角的正切值为. 23．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求二面角所成角的余弦值. 【答案】(1)证明：因为，，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以平面. (2)证明：因为，所以， 又，所以在中，，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以平面，又平面， 所以平面平面. (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）平面，平面，所以， 又，所以为二面角所成角， 因为平面，平面，所以， 在中，由，则， 所以. 24．已知正方形，、分别是、的中点，将沿折起，如图所示． (1)求证：平面； (2)若翻折后当为等边三角形时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)设正方形边长为，由已知得，且， 所以四边形为平行四边形． 则，由，所以平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略. （2）设正方形边长为，则为边长为的等边三角形， 由为中点，得． 又，则平面，所以平面． 由平面，则平面平面． 过作于，则平面． 过作于，连接，则， 从而为二面角的平面角． 在中，，易知为直角三角形． 由，得． 在矩形中，易得．则中，可求得． 在中，． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 25．如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， 则，且， 又为的中点，在矩形中，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； （2）解：作交的延长线于点，连接， 则， 所以即为二面角的平面角， 由，则， 所以，故二面角的正切值为． 题型6 已知二面角求其它 26．某家用方形分装漏斗的主体结构可抽象成一个上大下小的正四棱台，若，，且侧面与上底面的夹角为，若不考虑材料厚度、接缝及裁剪损耗，制作该漏斗的侧面所需材料的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，分别取、、、的中点、、、， 连接、、、， 因为是正四棱台，所以、， 又侧面与上底面的夹角为，所以， 又，，所以、， 所以， 所以， 所以制作该漏斗的侧面所需材料的面积为. 27．庑殿顶是中国传统建筑中的一种屋顶形式，其顶盖几何模型如图所示，底面是矩形，侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成.若，，四个侧面与底面的夹角的正切值均为，则该五面体的体积为______，与平面所成的角的正弦值为______. 【答案】 120 【详解】取的中点，连接， 过点作平面于点，过点作平面于点， 作，与相交于点，作，与相交于点，连接， 因为底面是矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 因为梯形与梯形是两个全等的等腰梯形，为全等的三角形， 所以点在直线上，且，, ，， 所以为平面与平面所成的角，故, 由于平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又平面， 所以，所以为平面与平面所成的角，故, 进而可得, 所以. 则直三棱柱的体积, 四棱锥的体积为, 根据对称性可得四棱锥的体积也是24， 故该五面体的体积为. 由于平面，故即为与平面所成的角， 故 28．已知四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，，点E是SD上的点，且．若二面角的大小为，求的值． 【答案】 【详解】 如图，设，连接EO， 由平面，平面，得， 由四边形ABCD是正方形，得，而，平面， 则平面，又点E是上的点，于是在平面内的射影是， 在平面内的射影是，设的面积分别为S和， 设二面角的大小为，则，由， 得，， 则，， 因此，， 则，解得. 29．如图，在三棱锥中，平面平面为的中点. (1)证明：； (2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)由，为的中点，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面，又平面， 所以. (2). 【分析】 【详解】（1）略 （2）由是边长为1的等边三角形，得，则， 作交于点，由平面，得平面，而平面， 则，过作于，连接，平面， 因此平面，又平面，则，为二面角的平面角， 即，由，得， 而，则，，， ，， 所以三棱锥的体积. 30．如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 【答案】(1) 证明：在内任取一点P，过点P作于， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 又平面，所以. 过作于，同理可得， 又平面，平面，， 所以平面. (2)2 【分析】 【详解】（1）略 （2）过点作于，由平面平面， 平面平面知平面. 又平面，所以 再过点作于，连接， 因为 ， 平面， 则平面， 所以即为二面角的平面角. 所以， 又，故为等边三角形， 所以，， 故， 又中，，所以，故， 所以，又为等边三角形，故， 所以三棱锥的体积. 题型7 等体积法求点面距离 31．已知正方体的棱长为2，为的中点，则点到平面的距离等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示：    由题意可得：，， 则等腰底边上的高为， 则， 设点到平面的距离为， 因为，即，解得， 所以点到平面的距离等于. 故选：A 32．已知在中，斜边平面，，，分别与平面成和的角，已知，则到平面的距离为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】作于点，于点，则由，得， 且就是BC到平面α的距离，设， 连接、，则，，∴，， 在中，，， ∴，∴，即到平面的距离为. 33．某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】设点到平面的距离为， 根据正方体的性质可知：点到平面的距离为， 因为，所以， 由正方体可得， 所以， 解得，即点到平面的距离为， 又因为平面与平面平行，直绳索的长度为米， 所以点到平面的距离为． 34．在长方体中，为的中点，则直线与平面的距离为___________． 【答案】/ 【详解】    如图， 易知为的中位线，故平面，平面，所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， ， 在中，所以， 即， 设点到平面的距离为， 则根据， 解得， 所以直线与平面的距离为， 故答案为： 35．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． （2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． （3）由已知得，，， ， 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． 题型8 折叠问题中的夹角和距离 36．如图，四边形为矩形，，．是等边三角形，是等腰直角三角形，．将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面．当平面时，平面与平面的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示， 取中点，中点，连接，，，， 由是等边三角形，是等腰直角三角形，， 则，，， 又，， ，，平面， 所以平面， 所以平面平面，平面平面，平面平面， 又平面，且平面，平面平面， 所以， 又平面平面，且平面平面，平面平面， 所以， 则作出平面如图所示， 设， 则， 所以， 又，， 则， 由， 所以，，， 设过点作与，分别交于点，， 则即为两平面间距离， ， 故选：C. 37．已知矩形，如图．沿对角线把矩形翻折成二面角，并使点在平面内的射影落在上．    (1)求二面角的余弦值； (2)求翻折后的大小． 【答案】(1) (2)90° 【分析】 【详解】（1）折叠后，过点做于点，则平面，再做于点．因平面ABC，则，又平面， ，则平面，连接，因平面，则， 则为二面角的平面角. 设，由题可得，又，则. .因，则. 从而 （2）由（1）因为平面，平面，所以． 又，平面ABD，，所以平面． 又平面，所以．又，平面， ，所以平面，因平面，所以，即翻折后    38．边长为2的正，是的重心，剪去后沿把翻折到使（如图）．    (1)求与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的平面角的正切值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）翻折前，在等边中取是边的中点，则， 原图翻折后，取分别为的中点，如下图示：    易知，，平面， 所以平面，又平面，则，即， 又，，，又，则， ，，则， 又，，，， 所以为平行四边形，，且与所成角为或， 综上，， 故与所成角余弦值为； （2）由（1）平面，平面，则平面平面， 平面平面，且平面，则在平面上的射影在直线上， 则点与平面的距离即为点与直线的距离， 由，则， 所以， 故与平面所成角的正弦值； （3）若于，于，连接，则为的平面角，与对应平面角互补，    由（2）知，由，则，， 所以，故， 所以二面角的平面角的正切值. 39．如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题意知，所以， 即，所以， 又在矩形中，且平面， 所以平面， 而平面，故平面平面． （2）由可得，又由（1）知平面， 所以， 设点到平面的距离为，则， 又，所以，即． （3）在平面内作，垂足为；在平面内作，垂足为， 连接，由平面平面，故， 因为平面，所以平面， 由（2）知，因为平面，故，又，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 则为二面角的平面角， 又平面，故，所以． 由题意知直角三角形中，， 故， 又，则，所以， 故二面角的余弦值为． 40．如图，在菱形中，，，将沿翻折至，连接构成四棱锥． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为． ①求的长； ②设在平面上的射影为，直线与交于点，为的中点，证明：平面． 【答案】(1) 连接交于点，连接， 因为是菱形，所以，所以，， 因为沿翻折至，所以，且， 又平面，， 所以平面； (2)①； ②由（1）知平面，因为平面，所以平面平面， 因为在平面上的射影为，平面平面，所以． 过点作平面的垂线，垂足为，连接并延长交于点，连接， 由①知，，，故，从而，， 因为与相似，所以，故， 所以为的中点， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）①由（1）知，，平面，平面， 所以是二面角的平面角，故， 菱形中，，，， 所以在中，， 故，即； ②略 题型9 夹角的最值范围问题 41．如图，在长方体中，，，M为的中点，过点B作平面与平面平行，则平面与底面的交线l的长度为_________；若P为l上的动点，则动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是_________． 【答案】 【详解】 如图，设的中点为，连接，，分别为，的中点， 则, ,又， 所以四边形都是平行四边形， 所以，， 又平面， 所以平面，平面， 又平面， 所以平面平面，即平面为平面， 线段为平面与底面的交线， 易得； 连接，因为，所以为动直线AP与的夹角，，过作（H为垂足），则， 在中，由等面积法可得，得， 又, 所以． 即动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是. 42．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点（含端点），，设.若三棱锥的体积为，则x的值为__________；二面角正切值的取值范围为__________. 【答案】 1 【详解】由正方体的棱长为，分别为上的动点，且， 在正方体中，可得底面， 则， 即，即，解得； 过点作，垂足为， 因为底面，底面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 又由，可得 在直角中，可得， 所以， 设，可得，则， 设，可得函数在上单调递减， 当时，取得最大值，最大值为，即的最大值为； 当时，取得最小值，最小值为，即的最小值为， 所以，又由， 当时，可得；当时，可得， 所以由，即二面角正切值的取值范围为. 故答案为：；. 43．如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，为的中点． (1)若，证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）取中点，连接交于，连接， 是正三角形， 是中点，. ∵平面平面，平面平面， 平面， 与中 ， ， . 平面 平面，. （2）作于，连. ∵平面平面，平面平面，而， 平面. 又平面，平面平面， 平面. 到平面的距离即，则直线与平面所成角为， ∴直线与平面所成角的余弦值的取值范围为. 44．在四棱锥中，底面为矩形，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)记平面与平面的交线为，试证明：； (3)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）已知底面为矩形，故， 平面平面，为两平面的交线， 又平面，且， 平面， 平面，且平面， 平面平面． （2） 已知底面为矩形，故， 又平面平面， 平面， 已知平面，且平面平面， 由线面平行的性质定理得，． （3） 过作于，平面平面， 由面面垂直的性质定理得，平面， 过作，交于，是矩形， 则，且， 又平面， 平面，故， ， ， ， ， ， 平面，故， 综上，，， 故即为平面与平面所成锐二面角； 设，则，在中，， 则， ，当且仅当时等号成立， ， 在中，， ， 设，令， 当增大时，减小，故增加， 随着增大而递增， 故时，取最大值，最大值为 ． 45．如图1，是边长为4的正方形，点在的延长线，且，连接，将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时．求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）由是边长为4的正方形，且， 由都在平面内，则平面，平面， 所以，又，都在平面内，则平面， 由平面，则，又，为的中点，则， 由都在平面内，则平面，平面， 所以平面平面； （2）由，且，则， 所以，，， 所以， 故，故到的距离， 又到平面的距离，则二面角的正弦值， 又，则所求二面角的正弦值范围为； 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 2．（2026·全国一卷·高考真题）（多选）在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（     ） A． B． C．当时，平面 D．当平面时， 【答案】BC 【详解】不失一般性作图如下， 过点作，为垂足，过点作，为垂足， 过点作，，连接， 则，因为二面角为， 所以，由已知， 所以，所以， 故，，B正确； 当点与点的距离无限大时，，无限大，无限靠近， 此时趋向于，A错误； 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 若，不重合，结合，平面， 可得平面，平面， 所以，矛盾，所以重合， 因为，，，平面， 所以平面， 故平面，C正确； 因为平面，若平面， 则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合， 故与的夹角为，D错误， 3．（2025·上海·高考真题）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________． 【答案】 【详解】 如图，过作交底面圆锥于点，连接， 因为，则为异面直线与所成角， 所以， 又，所以，即， 因为，函数在上单调递减，所以， 故异面直线与所成角的最小值为. 故答案为：. 4．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．    (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题知，，即轴截面是等边三角形，故， 底面周长为，则侧面积为：; （2）由题知，则根据中位线性质，， 又平面，平面，则平面 由于，底面圆半径是，则，又，则， 又，则为等边三角形，则， 于是且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 又平面， 根据面面平行的判定，于是平面平面， 又，则平面，则平面    5．（2026·上海·高考真题）如图所示正四棱台，其中，. (1)当时，求和平面所成角； (2)证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2)证明见解析，体积为 【分析】 【详解】（1）过作平面ABCD于,连接， 过分别作于于,连接, 如图为在平面上的投影, 由于平面，所以， 由于平面， 所以平面.由于平面，所以. 所以,同理,,四边形为正方形, 所以，为在平面上的投影, 又因平面平面, 所以和平面所成角即，, 故和平面所成角为. （2）连接、交于,连接、交于, 如图,上下底面为正方形,由正棱台性质,可得,且, 所以四边形为平行四边形,所以， 因为平面,平面，所以平面. 由正棱台性质,与上下底面均垂直,则， 因为，平面， 所以平面,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和, 即: 6．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥为底面的中心． (1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）正四棱锥满足且平面，由平面，则， 又正四棱锥底面是正方形，由可得，， 故， 根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥， 即圆锥的高为，底面半径为， 根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是 （2）连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形， 由是中点，则，又平面， 故平面，即平面，又平面， 于是直线与平面所成角的大小即为， 不妨设，则，， 又线面角的范围是， 故.即为所求. 7．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得，，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）取的中点，连接，，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形， 可得， 又，所以，故. 又平面，所以平面， 易知. 在中，， 所以. 设点到平面的距离为，由， 得，得， 故点到平面的距离为. 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 9．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．    (1)证明：平面平面； (2)设，求四棱锥的高． 【答案】(1)证明：因为平面，平面, 所以, 又因为，即， 平面，, 所以平面， 又因为平面, 所以平面平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图，    过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的高为. 因为平面，平面, 所以,, 又因为，为公共边， 所以与全等，所以. 设，则， 所以为中点，, 又因为,所以, 即，解得， 所以， 所以四棱锥的高为． 10．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．    (1)证明：； (2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）如图，   底面，面， ，又，平面，, 平面ACC1A1，又平面， 平面平面， 过作交于，又平面平面，平面， 平面 到平面的距离为1，， 在中，， 设，则， 为直角三角形，且， ，，， ，解得， ， （2）， ， 过B作，交于D，则为中点， 由直线与距离为2，所以 ，，， 在，， 延长，使，连接， 由知四边形为平行四边形， ，平面，又平面， 则在中，，， 在中，，， , 又到平面距离也为1， 所以与平面所成角的正弦值为. 1．在正方体中，是的中点，则直线与所成角的余弦值为___________. 【答案】/ 【详解】将另一个与正方体中相等的正方体的一个棱与重合，如图， 连接，，，易知，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且，所以则为直线与所成角或其补角， 设正方体边长为， 则，，， 由余弦定理得：， 所以直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 2．如图，在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，且，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设F为的中点，连接，如图， 因为平面，平面， 所以，， 所以， ， 因为F是BC的中点，E是MC的中点， 所以，，， 则异面直线与所成角为或其补角， 而在正三角形中，， 所以在中，由余弦定理可知. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 3．某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF，    因为侧面是等腰直角三角形，所以， 又N为中点，所以，则， 因为平面，平面侧面，平面，则， 又底面是正方形，所以，则， 因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面， 又平面，则平面， 因为平面，所以平面与底面垂直， 作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离， 由已知，可得，所以， 则EF到平面ABCD的距离为． 故选：B. 4．如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，E，F分别是棱，的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角为， ①证明：平面平面； ②求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】 【详解】（1）取中点M，连接，，因为F为的中点，则且， 又由于E为的中点，且，∴四边形是平行四边形， ∴．又平面，而平面，∴平面；             （2）①连接，，因为，，而E为的中点，故，， 所以为二面角的平面角，在中，由，，可得， 在中，由，，可得， 在中，由，由余弦定理的，所以为直角， ，又，从而，且， 所以，平面，又平面，所以，平面；     ②连接，由①可知，平面，所以为直线与平面所成的角， 由以及已知，得到为直角， 而，可得，又， 故在直角三角形中，． 5．在三棱锥中，是的中点，且． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）连接，由为中点，得， 由，得，， 因此，而平面，则平面， 又平面，所以平面平面. （2）在平面内过点D作于F，连接， 由平面平面，平面平面，于是平面， 即为直线与平面所成角，在中，， 则，， 因此，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 6．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求与面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为底面为正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为是线段的中点，是线段的中点， 所以， 所以平面. （2） 取中点为，连接， 因为为正三角形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 设，，， 所以在中，， 由（1）得平面， 又因为，所以平面， 又因为平面， 所以， 所以，， 设到面的距离为，因为， 所以， 所以， 设与面所成角为， 则， 所以与面所成角的正弦值为. 7．如图，在四棱锥中，平面平面，，是线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)若是正三角形，，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）在上取一点，使得，连接， 因为，所以且， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，的中点，连接. 因为是正三角形，所以⊥ 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面. 因为平面，所以⊥. 设，则，， 又，由勾股定理得， ，故， 因为，所以，. 在三角形中，由余弦定理得 ， 故，故，则， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 所以即为二面角的平面角， 其中，， 由勾股定理得， 所以，即二面角的余弦值为. 8．已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知，是等边三角形. (1)求证：; (2)求点D到平面PBC的距离; (3)若点E是线段AD上的动点，设直线PE与平面PBC所成的角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】 【详解】（1）∵点在底面上的射影是与的交点， ∴平面， ∵平面，∴， ∵四边形为菱形，∴， ∵， 平面，∴平面， ∵平面，∴； （2）由题意可得、与都是边长为2的等边三角形， ，， ，， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 故点到平面的距离为. （3）设直线与平面所成的角为， ，平面，平面， 平面， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时， 由（2）易知，， ， 则的边上的高为， ，而， . 9．如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，. (1)求AD； (2)求点D到平面PBC的距离； (3)设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 【答案】(1)2； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，由点M为PB的中点， 得，点在菱形边上，则， 平面平面，而平面，平面， 因此，四边形为平行四边形，， 所以. （2）在菱形中，，则，由平面， 平面，得，， ，， ，设点D到平面的距离为，由， 得，即，解得， 所以点D到平面的距离为. （3）设直线PE与平面所成的角为，由，平面，平面， 得平面，则点到平面的距离等于点D到平面的距离， 因此，函数对锐角是递增的，要使最大，当且仅当最小，即， 而平面，平面，则，又， 平面，于是平面，而平面，则， ，， 所以当时，直线PE与平面所成的角最大. 10．已知在平面四边形中，，，．将沿BD翻折至，，点在线段BD上，且，． (1)求证：面； (2)求三棱锥外接球的半径； (3)求直线CF与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1），，是等边三角形． 又，，即，． ，，由勾股定理得，． 又BC，面，，面． （2）过等边三角形的外心作直线面， 设球心，连接OA，OB，过点作，交AB于． 设球的半径为R，，则，，解得，． （3）由（1）得，面，， 而在中，，得，， 由题意，所以， 所以， 设到面的距离为，则， ，，得． 在中，由余弦定理，得． 设CF与平面所成角为， 则， ，，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 空间夹角和空间距离的求解（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 异面直线所成角（平移法） 2 知识点02 直线与平面所成角 3 知识点03 二面角 4 知识点04 点到平面的距离 5 剖题型·讲技巧 5 题型1 求异面直线的夹角 5 题型2 已知异面直线的夹角求其他 6 题型3 求线面夹角 7 题型4 已知线面夹角求其它 9 题型5 求二面角 11 题型6 已知二面角求其它 13 题型7 等体积法求点面距离 15 题型8 折叠问题中的夹角和距离 16 题型9 夹角的最值范围问题 18 知高考·真题探源 20 练好题·提分培优 25 课标要点 1．理解异面直线所成角、线面角、二面角的定义与取值范围，掌握几何作图方法，能通过平移、作垂线等方式作出对应空间角，并结合解三角形完成计算。 2．理解点到平面距离的含义，熟练运用等体积法求解该类问题，掌握立体几何中常用的转化思路与解题步骤。 3．能结合几何体结构特征分析空间位置关系，规范书写推理与运算过程，提升空间想象和逻辑推理能力。 4．体会数形结合思想，能运用所学知识解决基础立体几何度量问题，夯实立体几何学习基础。 知识点01 异面直线所成角（平移法） 平移法解题步骤如下： （1）选取线段端点、中点等特殊点，平移其中一条或两条异面直线，使它们转化为相交直线，相交直线所形成的角（或其补角）就是异面直线所成角。 （2）将该角放入三角形中，利用解三角形知识计算角度大小。 （3）注意：异面直线所成角的取值范围是，若求出的夹角为钝角，必须取其补角作为最终结果。 练习1．如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 知识点02 直线与平面所成角 直线与平面所成角特指斜线和平面形成的角，当直线与平面垂直时，夹角为；直线与平面平行或在平面内时，夹角为。 解题时先在斜线上任选一点，向平面作垂线，确定垂足位置，连接垂足与斜线和平面的交点（斜足），得到斜线在平面内的射影。斜线和射影所形成的锐角或直角，就是直线与平面所成角，最后在对应三角形中计算角度。 练习3．在正方体中，直线与底面所成角的大小为__________． 4．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，，是正三角形，，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若是的中点，求直线与平面所成角的余弦值． 知识点03 二面角 1、定义法 在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角.一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法； 2、垂线法 过已知二面角的一个面内一点作另一个面的垂线,在另一个面内过垂足作二面角的棱的垂线,连接,则即为二面角的平面角或其补角.此种方法通用于求二面角的所有题目 练习5．如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则此三棱柱的体积为______． 6．如图所示，已知三棱锥中，，，，. (1)在棱AB上取点E使，证明：. (2)求二面角的余弦值. 知识点04 点到平面的距离 点到平面的距离，指从该点向平面作垂线，垂线段的长度。 常用等体积法求解，核心思路是将包含该点和对应平面的三棱锥，以不同面作为底面计算体积。利用三棱锥体积保持不变的特点，列出体积等式，结合已知棱长、三角形面积，反向求出垂线段长度，也就是点到平面的距离。 练习 7．在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，平面，若，则点到平面PBC的距离为______. 题型1 求异面直线的夹角 1．在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，分别是的中点.则异面直线所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在圆锥中，已知的直径，点为的中点，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，则直线与所成的角为__________.    5．已知正方体，棱长为2，线段、BD的中点分别为点M、P、N． (1)求证：平面平面； (2)求异面直线MN与所成角的大小． 题型2 已知异面直线的夹角求其他 6．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 7．在正四棱台中，，，且异面直线与所成的角为60°，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，正六棱柱的底面边长为5，点分别为线段的中点，若异面直线与所成角的余弦值是，则此正六棱柱的体积为（    ） A． B．或 C． D．或 9．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点，，直线与所成角的大小为，则四校锥的体积为__________. 10．如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，、分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，求的长.    题型3 求线面夹角 11．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 12．在正三棱台中，，则与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 13．在棱长为2的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在正方体中，． (1)作出过与平行的平面，并证明； (2)求直线和平面所成的角． 15．如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的余弦值. 题型4 已知线面夹角求其它 16．已知正三棱台中，，，且与平面所成的角为，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 17．已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段在平面内的射影互相垂直，则的长为（    ） A．6cm B． C． D．8cm 18．在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 19．如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． (1)证明：平面； (2)若，且与底面所成角的余弦值为．求的长； 20．如图，在正方体中，，点为棱AB上的动点（不含端点），点为上一点，直线DH交平面于点. (1)求证平面； (2)若， （i）求证平面； （ii）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为. 题型5 求二面角 21．在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 22．如图，在长方体中，，，点P为棱中点. (1)求证：平面PAC； (2)求异面直线与CP所成角的大小； (3)求二面角的平面角的正切值. 23．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求二面角所成角的余弦值. 24．已知正方形，、分别是、的中点，将沿折起，如图所示． (1)求证：平面； (2)若翻折后当为等边三角形时，求平面与平面夹角的余弦值． 25．如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 题型6 已知二面角求其它 26．某家用方形分装漏斗的主体结构可抽象成一个上大下小的正四棱台，若，，且侧面与上底面的夹角为，若不考虑材料厚度、接缝及裁剪损耗，制作该漏斗的侧面所需材料的面积为（   ） A． B． C． D． 27．庑殿顶是中国传统建筑中的一种屋顶形式，其顶盖几何模型如图所示，底面是矩形，侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成.若，，四个侧面与底面的夹角的正切值均为，则该五面体的体积为______，与平面所成的角的正弦值为______. 28．已知四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，，点E是SD上的点，且．若二面角的大小为，求的值． 29．如图，在三棱锥中，平面平面为的中点. (1)证明：； (2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 30．如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 题型7 等体积法求点面距离 31．已知正方体的棱长为2，为的中点，则点到平面的距离等于（   ） A． B． C． D． 32．已知在中，斜边平面，，，分别与平面成和的角，已知，则到平面的距离为（     ） A．4 B． C． D． 33．某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 34．在长方体中，为的中点，则直线与平面的距离为___________． 35．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 题型8 折叠问题中的夹角和距离 36．如图，四边形为矩形，，．是等边三角形，是等腰直角三角形，．将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面．当平面时，平面与平面的距离等于（    ） A． B． C． D． 37．已知矩形，如图．沿对角线把矩形翻折成二面角，并使点在平面内的射影落在上．    (1)求二面角的余弦值； (2)求翻折后的大小． 38．边长为2的正，是的重心，剪去后沿把翻折到使（如图）．    (1)求与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的平面角的正切值． 39．如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 40．如图，在菱形中，，，将沿翻折至，连接构成四棱锥． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为． ①求的长； ②设在平面上的射影为，直线与交于点，为的中点，证明：平面． 题型9 夹角的最值范围问题 41．如图，在长方体中，，，M为的中点，过点B作平面与平面平行，则平面与底面的交线l的长度为_________；若P为l上的动点，则动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是_________． 42．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点（含端点），，设.若三棱锥的体积为，则x的值为__________；二面角正切值的取值范围为__________. 43．如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，为的中点． (1)若，证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值的取值范围． 44．在四棱锥中，底面为矩形，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)记平面与平面的交线为，试证明：； (3)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值． 45．如图1，是边长为4的正方形，点在的延长线，且，连接，将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时．求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2026·全国一卷·高考真题）（多选）在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（     ） A． B． C．当时，平面 D．当平面时， 3．（2025·上海·高考真题）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________． 4．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．    (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 5．（2026·上海·高考真题）如图所示正四棱台，其中，. (1)当时，求和平面所成角； (2)证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 6．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥为底面的中心． (1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 9．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．    (1)证明：平面平面； (2)设，求四棱锥的高． 10．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．    (1)证明：； (2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值． 1．在正方体中，是的中点，则直线与所成角的余弦值为___________. 2．如图，在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，且，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 3．某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为（   ）    A． B． C． D． 4．如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，E，F分别是棱，的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角为， ①证明：平面平面； ②求直线与平面所成角的正弦值． 5．在三棱锥中，是的中点，且． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 6．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求与面所成角的正弦值． 7．如图，在四棱锥中，平面平面，，是线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)若是正三角形，，求二面角的余弦值. 8．已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知，是等边三角形. (1)求证：; (2)求点D到平面PBC的距离; (3)若点E是线段AD上的动点，设直线PE与平面PBC所成的角为，求的取值范围. 9．如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，. (1)求AD； (2)求点D到平面PBC的距离； (3)设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 10．已知在平面四边形中，，，．将沿BD翻折至，，点在线段BD上，且，． (1)求证：面； (2)求三棱锥外接球的半径； (3)求直线CF与平面所成角的正弦值的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $