精品解析：辽宁辽阳市第一中学（西藏班）2025-2026学年 暑假学业水平质量监测 九年级 数学学科试卷

2025-2026学年度暑假学业水平质量监测 九年级 数学学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分 ） 一．选择题（共10小题 每题3分 共30分） 1. 若式子有意义，则的取值范围为（　　　） A. B. C. 且 D. 2. 给出下列各式：．其中二次根式的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 若实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各数不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在长方形 中，在数轴上．若以点为圆心，对角线 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 中， ， 的垂直平分线 交 于E，交 于点D，若，，则 的周长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 7. 直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ） A. 5 B. 5或 C. D. 无法确定 8. 如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A. 8米 B. 9米 C. 10米 D. 11米 9. 如图， 的对角线相交于点O，的平分线与边 相交于点P，E是 的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.5 10. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S△ABE=S△CEF其中正确的是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题 每题3分 共24分） 11. 如图所示，的顶点P坐标是，顶点M坐标是，则顶点N坐标是_____________； 12. 若一组数据 1，1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的众数是__． 13. 如图， 中， ， 的中垂线 交 于E，交 于点D，若 ，，则 的周长为________________； 14. 若是整数，则正整数n的最小值为______． 15. 如图，在矩形 中，对角线 、相交于点 ，于点， ，则______． 16. 如图，在菱形 中，交于O点，，点P为线段 上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为______________． 17. 已知在平行四边形 中，，E是 上一点， 的周长是平行四边形 周长的一半，且，连接，则的长为 _________________； 18. 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE＝____． 三．解答题（共6小题19题16分 20题21题22题23题24题各6分 25题8分 26题12分） 19. 计算题： （1）． （2）． （3）． （4） 20. 由四条线段 、 、、所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量，、、、． （1）求这块四边形空地的面积； （2）现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？ 21. 如图，在平行四边形 中，、 是对角线 上的两点，且，求证： ． 22. 如图，在 中， 平分 ，于点，为 的中点，连接 ．求证：． 23. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题： （1）甲车的速度是； （2）求乙车出发后多少时间追上甲车？ （3）求相遇后乙车出发多少时间，两车相距50千米？（直接写出结果） 24. 物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（）与所挂物体质量x（）满足函数关系．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系． x 0 2 5 y 15 19 25 （1）求y与x的函数关系式； （2）当弹簧长度为20时，求所挂物体的质量． 25. 中考体育测试前，金川区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中a＝ %，并补全条形统计图． （2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 个、 个． （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 26. 如图，在四边形 中， ，， ，，，点E是 的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿 向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）线段 ； ； （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度暑假学业水平质量监测 九年级 数学学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分 ） 一．选择题（共10小题 每题3分 共30分） 1. 若式子有意义，则 的取值范围为（　　　） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件和分式分母有意义的条件即可解得． 【详解】∵式子有意义 ∴， 解得且 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是列出不等式求解． 2. 给出下列各式：．其中二次根式的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 【详解】解：①∵，∴是二次根式； ②6不是二次根式； ③∵，∴不是二次根式； ④∵，∴，∴是二次根式； ⑤∵，∴是二次根式； ⑥是三次根式，不是二次根式． 所以二次根式有3个． 3. 若实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，整式的加减，化简绝对值；根据数轴可得，则进而根据二次根式以及绝对值的性质化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：D． 4. 下列各数不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、， 能与合并，故A不符合题意； B、， 不能与合并，故B符合题意； C、， 能与合并，故C不符合题意； D、， 能与合并，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 5. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点 为圆心，对角线 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用． 先利用勾股定理求出 ，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形 是长方形， ， ， ∵以点 为圆心，对角线 的长为半径作弧交数轴的正半轴于表示的数为 ， ， ， ∴点表示的数为， 故选：D． 6. 如图， 中， ， 的垂直平分线 交 于E，交 于点D，若，，则的周长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴． 7. 直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ） A. 5 B. 5或 C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况：当边长为4的边是斜边时，当边长为4的边为直角边时，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方进行讨论求解即可． 【详解】解：当边长为4的边是斜边时，则第三边的长为， 当边长为4的边为直角边时，则第三边的长为； 综上所述，第三边长为5或． 8. 如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A. 8米 B. 9米 C. 10米 D. 11米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接 ， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行 米， 故选：C． 9. 如图， 的对角线相交于点O，的平分线与边 相交于点P，E是 的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由平行线的性质，角平分线定义，推出，由三角形中位线定理推出． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵O是 中点，E是 中点， ∴ 是的中位线， ∴． 故选：D． 10. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S△ABE=S△CEF其中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，由AE平分∠BAD，可得∠BAE=∠DAE，可得∠BAE=∠BEA，得AB=BE，由AB=AE，得到△ABE是等边三角形，②正确；则∠ABE=∠EAD=60°，由SAS证明△ABC≌△EAD，①正确；由△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），得出S△FCD=S△ABC，由△AEC与△DEC同底等高，所以S△AEC=S△DEC，得出S△ABE=S△CEF．④正确；③无法证明得到． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠EAD=∠AEB， 又∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠BEA， ∴AB=BE， ∵AB=AE， ∴△ABE是等边三角形； ②符合题意； 在△ABC和△EAD中 ∴△ABC≌△EAD（SAS）； ①符合题意； ∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等）， ∴S△FCD=S△ABC， 又∵△AEC与△DEC同底等高， ∴S△AEC=S△DEC， ∴S△ABE=S△CEF；④符合题意． 若AD与AF相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC 即EC=CD=BE 即BC=2CD， 题中未限定这一条件 ∴③不符合题意； ∴①②④符合题意， 故选B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析． 二．填空题（共8小题 每题3分 共24分） 11. 如图所示，的顶点P坐标是，顶点M坐标是，则顶点N坐标是_____________； 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得，，再根据顶点O、P、M坐标可知，线段向右平移4个单位后与 重合，其中点M是点O的对应点，点N是点P的对应点，最后由平移的坐标特征即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴线段向右平移4个单位后与 重合，其中点M是点O的对应点，点N是点P的对应点， ∴顶点N的坐标是． 12. 若一组数据 1，1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的众数是__． 【答案】1和3 【解析】 【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义求出这组数的众数即可． 【详解】解：利用平均数的计算公式，得（1+1+2+3+x）=2×5，求得x=3， 则这组数据的众数即出现最多的数为1和3． 故答案为：1和3． 【点睛】本题主要考查了平均数和众数，正确理解众数的概念是解题的关键． 13. 如图， 中， ， 的中垂线 交 于E，交 于点D，若，，则的周长为________________； 【答案】14 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出 的长，再由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案． 【详解】解：∵ 中， ，，， ∴， ∵ 是线段 的垂直平分线， ∴， ∴，即， ∴的周长． 14. 若是整数，则正整数n的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据n是正整数，则也是正整数，则20n一定是一个完全平方数，首先把20n分解因数，确定20n是完全平方数时，正整数n的最小值即可． 【详解】解：∵， ∴正整数n的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，理解是正整数的条件是解题的关键． 15. 如图，在矩形 中，对角线 、 相交于点 ，于点 ， ，则______． 【答案】 ##30度 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 由矩形的性质得出 ，得出，由直角三角形的性质求出的度数，即可得出答案； 【详解】解：∵四边形 是矩形， ， ， ，， ， ， ∵ ， ， ∴， ； ， ； 故答案为： 16. 如图，在菱形 中，交于O点，，点P为线段 上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵四边形 是菱形， ∴ 与 互相垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 17. 已知在平行四边形 中，，E是 上一点， 的周长是平行四边形 周长的一半，且，连接，则的长为 _________________； 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和 的周长是平行四边形 周长的一半，可证明 是线段 的垂直平分线，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴互相平分， ∴O是 的中点． ∴， ∵ 的周长是平行四边形 周长的一半， ∴ 的周长， ∴， ∵， ∴， ∴ 是线段 的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴． 18. 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE＝____． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据菱形的求得边长AD=5，由勾股定理求OD=4，则BD=8，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求OE的长． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=AC=×6=3，OB=OD，AD=AB=5， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=， ∴BD=2OD=8， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB=90°， ∵OD=OB， ∴OE=BD=×8=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是关键：①菱形的四边相等；②菱形的对角线互相垂直且平分． 三．解答题（共6小题19题16分 20题21题22题23题24题各6分 25题8分 26题12分） 19. 计算题： （1）． （2）． （3）． （4） 【答案】（1） （2）4 （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 由四条线段 、 、、所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量，、、、． （1）求这块四边形空地的面积； （2）现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？ 【答案】（1） （2）4800（元）． 【解析】 【分析】（1）连接 ，根据勾股定理求出 ，再利用勾股定理逆定理证得 是直角三角形， ，进而利用求出四边形 的面积； （2）根据面积乘以单价即可得到答案． 【小问1详解】 解：连接 ， ∵，、， ∴， ∵，， ∴， ∴ 是直角三角形， ， ∴四边形 的面积 ； 【小问2详解】 解：在该空地上种植草皮共需（元）． 21. 如图，在平行四边形 中， 、 是对角线 上的两点，且，求证： ． 【答案】 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴， 在 和 中，， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，结合平行线的性质得出 ，，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出 ． 【详解】略 22. 如图，在 中， 平分 ，于点， 为 的中点，连接 ．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质得到，再结合直角三角形斜边中线性质得出线段关系，进而得到角的关系，通过内错角相等证明两直线平行． 【详解】证明：∵ 平分 ， ∴， ∵， ∴， ∵ 为 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题： （1）甲车的速度是； （2）求乙车出发后多少时间追上甲车？ （3）求相遇后乙车出发多少时间，两车相距50千米？（直接写出结果） 【答案】（1） （2）1.5 （3）相遇后乙车出发2.75小时或小时时，甲、乙两车相距50千米 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象可以解答本题； （2）根据题意求出乙车的速度，再列方程解答即可； （3）根据题意列方程解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得，甲车的速度是：． 故答案为：； 【小问2详解】 解：乙车的速度为：， 设乙车出发后x小时追上甲车，根据题意得： ， 解得， 答：乙车出发后1.5小时追上甲车； 【小问3详解】 解：设甲车出发小时，两车相距50千米，根据题意得： 或， 解得3.75或． 乙车比甲车晚出发1小时， 此时乙车出发的时间为2.75小时或小时 答：相遇后乙车出发2.75小时或小时时，甲、乙两车相距50千米 24. 物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（）与所挂物体质量x（）满足函数关系．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系． x 0 2 5 y 15 19 25 （1）求y与x的函数关系式； （2）当弹簧长度为20时，求所挂物体的质量． 【答案】（1） （2）所挂物体的质量为2.5kg 【解析】 【分析】（1）由表格可代入x=2，y=19进行求解函数解析式； （2）由（1）可把y=20代入函数解析式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可把x=2，y=19代入解析式得： ， 解得：， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：把y=20代入（1）中函数解析式得： ， 解得：， 即所挂物体的质量为2.5kg． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是得出一次函数解析式． 25. 中考体育测试前，金川区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中a＝ %，并补全条形统计图． （2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 个、 个． （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 【答案】（1）25， 条形统计图补充如下： （2）5，5 （3）810名 【解析】 【分析】（1）用1减去其他天数所占的百分比即可得到a的值，用360°乘以它所占的百分比，即可求出该扇形所对圆心角的度数； （2）根据众数与中位数的定义求解即可； （3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1800即可． 【小问1详解】 解：扇形统计图中a=1-30%-15%-10%-20%=25%， 设引体向上6个的学生有x人，由题意得 ，解得x=50． 故答案为：5； 【小问2详解】 解：由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5； 共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为（5+5）÷2=5． 故答案为：5，5． 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名． 【点睛】本题考查了众数与中位数的意义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．也考查了条形统计图、扇形统计图与用样本估计总体． 26. 如图，在四边形 中，，， ，，，点E是 的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿 向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）线段 ； ； （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1）；；或 （2）当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． （1），，点E是 的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案； （2）由 ，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，再分两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可． 【小问1详解】 解：∵，，点E是 的中点，点P在 上，点Q在 上， ∴，， ∴或， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿 向点D运动， ∴， ∴； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动， ∴， 若点Q与点E重合，则， 解得； 若点P与点D重合，则， 当时，则， 当时，则， 故答案为：；；或； 【小问2详解】 解：， ∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， 是的中点， ， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $