专题11 二次函数压轴题（复习讲义）（安徽专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题11 二次函数压轴题 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型01 二次函数中线段周长问题 题型02 二次函数中的面积问题 题型03 二次函数中的角度问题 题型04 二次函数中的特殊三角形问题 题型05 二次函数中的特殊四边形问题 题型06 二次函数中的相似三角形问题 必备知识 知识01 二次函数中线段周长问题 知识02 二次函数中的面积问题 知识03 二次函数中的角度问题 知识04 二次函数中的特殊三角形问题 知识05 二次函数中的特殊四边形问题 知识06 二次函数中的相似三角形问题 命题预测 命题 透视 命题形式：第23题（最后一道解答题），分值为14分（2021略有不同但本质相同）。第(1)问为基础（求参数、解析式），第(2)问为中等（面积、最值、大小比较），第(3)问为综合（存在性、定值、参数范围）。融合代数运算、方程、不等式、几何图形（三角形、四边形面积）、最值、存在性等。 命题内容： 实际应用型（2022）隧道截面（抛物线+矩形）→ 求解析式 → 栅栏总长与横坐标的函数 → 最大值 → 方案选择（面积最大时的横坐标范围）。 纯代数综合型（2021、2024、2025）含参二次函数 → 求对称轴 → 比较函数值大小 → 线段比或定值条件 → 求参数。 代数与几何融合型（2023）二次函数与一次函数、坐标轴交点 → 构造三角形 → 面积和 → 是否存在点使面积为定值。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 二次函数综合 T23：求对称轴、比较函数值大小、求定值时的参数 T23：求b、已知函数值相等求h、h最大值合求值 T23：求参数、面积和、存在性问题 T22：求解析式、栅栏总长最值、矩形面积最值（方案选择） T22：求参数、比较函数值、线段比 命题预测 1. 考情预测 趋势延续：近三年更偏重含参二次函数的代数推理（2024、2025），2026年可能继续强化：已知顶点横坐标关系或函数值相等，求参数。比较函数值大小（利用对称轴和增减性）。与参数无关的定值问题。 几何结合可能回调：2022年考查实际应用（隧道、栅栏），2023年考查面积存在性，2024、2025偏向纯代数。预测2026年可能再次回归几何综合（如与平行四边形、三角形面积最值结合），但代数推理仍是核心。新动向：与二次函数相关的“新定义”问题（如2025第23题虽未新定义，但含参讨论类似）可能升温。 2. 备考建议 第(1)问是送分题，必须拿稳，避免计算失误。 第(2)问是得分题，常考面积、最值、比较大小，方法固定，要熟练掌握。 第(3)问是拉分题，含参讨论、存在性、定值问题需要较高的代数变形能力和分类讨论意识。 回归近五年真题，每道题至少做三遍，第一遍独立完成，第二遍分析思路，第三遍总结方法。 强化计算能力：二次函数压轴题计算量大，特别是含参数时，必须细致，避免符号错误。 题型01 二次函数中线段周长问题 线段长：设点坐标 → 利用两点间距离公式（或坐标差绝对值）→ 建立二次函数 → 求最值（顶点处） 线段和（差）最值：将军饮马模型（对称转化）→ 化折为直；或利用二次函数求最值 周长最值：将周长表示为含参二次函数 → 配方求最值，注意自变量范围 线段相等：列方程 → 解一元二次方程，注意检验根的合理性 距离公式符号遗漏：未加绝对值或平方，导致表达式错误 将军饮马对称点选错：应作定点关于对称轴的对称点 自变量范围忽略：点在线段或抛物线上运动时有范围限制，最值可能在端点取到 周长表达式漏加线段：只考虑部分线段 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 2．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； （3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行四边形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，正确作出分类讨论是解答本题的关键． 3．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 【答案】(1)①；②最大值为9；③见解析 (2)不发生变化，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的判定和性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键． （1）①利用待定系数法代入计算求解即可； ②设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后结合图形得出，然后利用二次函数的性质求解即可； ③根据二次函数的性质结合图象求解即可； （2）根据题意重新确定二次函数的解析式为，得出，然后即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②设直线的解析式为，将点A、B代入得： ，解得：， ∴， ∵点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． ∴，， ∴， 由题意得：， ∴当时，取得最大值为9； ③∵，， ∴当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； （2）解：不发生变化，理由如下： ∵抛物线经过、两点． ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵点是线段上的动点， ∴， ∵点Q在抛物线上， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致， ∴问题（1）中③的结论未发生变化． 4．（2025·湖北武汉·中考真题）抛物线与直线交于两点（在的左边）． (1)求两点的坐标． (2)如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标． (3)如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）联立两函数解析式，并求出对应的解即可得到答案； （2）设，则，，可得，，根据，可得，解方程即可得到答案； （3）设，设直线解析式为，利用待定系数法可得，进而可得；求出直线解析式为，得到，同理可得，进一步可得，则，根据，可得，据此可得，，，即直线解析式为． 【详解】（1）解：联立，解得或， ∴； （2）解：设， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为y轴， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴点P的横坐标为2或； （3）解：设， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（此时的面积相等，不符合题意）， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∴直线解析式为． 题型02 二次函数中的面积问题 三角形面积：① 铅垂高×水平宽；② 公式法（坐标）；③ 割补法（补成矩形或梯形） 四边形面积：分割成两个三角形；或用大减小 面积最值：将面积表示为二次函数 → 顶点处取最值，注意定义域 等面积问题：设未知点 → 列面积方程 → 解一元二次方程，注意多解 面积比问题：利用相似比平方或等高三角形面积比等于底边比 铅垂高公式用错：铅垂高是纵坐标差绝对值，水平宽是横坐标差 分割不共底：分割的两个三角形需有公共底边 面积方程漏解：解一元二次方程时忽视两个解，需结合图形取舍 坐标系中面积取绝对值：未考虑点位置导致面积为负，忘记取绝对值 1．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】(1)三边长分别为 (2)三边长分别为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． （2）解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 2．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 4．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ． （1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式． （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． （2）不存在实数m使得，理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． （3），或．解答如下： 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 题型03 二次函数中的角度问题 相等角：① 构造全等或相似三角形；② 利用三角函数（斜率）相等；③ 转化为直线平行或垂直 特殊角（45°、90°等）：① 利用等腰直角三角形；② 勾股定理逆定理；③ 斜率积为-1（垂直） 二倍角：构造等腰三角形外角；或利用正切二倍角公式 锐角三角函数：将角度转化为直角三角形边之比 垂直条件误用：两直线垂直斜率积为-1，需排除水平垂直特殊情况 角度相等未考虑方向：锐角与钝角混淆，多解时漏解 构造辅助线不当：未正确构造直角三角形导致三角函数关系错误 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 2．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． 即． 3．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)点E的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在下方时，可证明点P与点C关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性可得点P坐标；当点P在上方时，设直线交x轴于H，则可证明，设，利用两点距离计算公式可得，解得，则；求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式求出点P的坐标即可； （3）先由对称性求出由对称性可得，求出，，则；则可推出将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，据此打得到新抛物线解析式为；再分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解；把代入到中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；如图2-1所示，当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为； 如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H， ∵， ∴， ∴ 设， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， ∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为， 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，两点距离计算公式等等，解（2）的关键在于分两种情况讨论求解，解（3）的关键在于利用平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解． 4．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． 【答案】(1) (2)抛物线上存在点，使，的坐标为， (3)的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据抛物线的对称轴为直线，得出则二次函数解析式为代入，得出，即可求解； （2）设，根据点的坐标可得，，分量种情况讨论，①当在直线的下方时，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设关于的对称点为，则，验证可得点与点重合，得出，当在的上方时，作点关于的对称点，即，进而联立直线与抛物线解析式，即可求解； （3）在上取一点，使得，得出，在上取一点，使得，垂足为，则，作关于的对称点，连接交于点，根据轴对称的性质可得当在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法求得，则，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即 ∴二次函数解析式为 将代入得， 解得：， ∴二次函数关系式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， 当时，，则 ∴，， 设，则 ①当在直线的下方时， 如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ∴，， 设关于的对称点为，则， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴点与点重合， ∴ 当在的上方时，作点关于的对称点 ∵都是等腰直角三角形， ∴在轴上， 同理可得直线解析式为 联立 解得：或 ∴ 综上所述，抛物线上存在点，使，的坐标为， （3）解：如图，在上取一点，使得 ∴ 设，则 在中， ∴，即 解得： ∴ ∴ ∵， 在上取一点，使得，垂足为， ∴ ∴ 即, 如图，作关于的对称点，连接交于点 ∴ ∴当在上时取得最小值，最小值为的长， 在中， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴的最小值为． 题型04 二次函数中的特殊三角形问题 等腰三角形：设未知点 → 用距离公式表示两边相等 → 列方程 → 解方程，注意分类（哪两边相等） 直角三角形：① 勾股定理逆定理（两直角边平方和=斜边平方）；② 斜率积为-1；③ 构造直角（如直径所对圆周角） 等腰直角三角形：先满足等腰，再满足直角（或45°角） 等边三角形：边长相等且夹角60°，常用设坐标法结合勾股定理 等腰三角形分类讨论不全：未讨论哪条边为腰，导致漏解 直角三角形未确定直角顶点：需分三种情况（每个顶点为直角顶点） 距离公式开方后忘记正负：平方后解方程产生增根，需检验 动点范围限制：解出的点需在抛物线上或线段上，不满足需舍去 1．（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)点的横坐标为 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）把代入可得，再进一步求解即可. （2）先求解，，结合，，再进一步计算即可. （3）先求解，，，可得，，，再分三种情况讨论即可. 【详解】（1）解：∵二次函数图象过点， ∴， 解得：， ∴二次函数为， ∴， ∴点的横坐标为. （2）解：∵点和在函数图象上， ∴，， ∵， ， ∴. （3）解：在函数中， 当时，， ∴， ∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点 ∴，， ∴，，， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，∴，，则和重合，舍去， 当时，则， 解得：（舍去），，， 综上：或. 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形定义，两点间的距离公式等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 2．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，② (3)存在，， 【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等． （1）将、代入得方程组，解方程组即可； （2）①令，则，解方程即可求出点A的坐标； ②根据图象可知，当时，即抛物线在轴下方的部分，根据A，B两点的坐标即可得出结论； （3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则； 当为斜边时，则；分别解方程即可． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； ②根据图象可知，当时，x的取值范围为， 故答案为：； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）． (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，P点坐标为，或，或 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得； （2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答； （3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵中，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 当时， ，， ∵， ∴， 解得（舍去），或（舍去）， ∴点P不存在； 当时，， ∴， 解得解得，或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，点P不存在； 当时，，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 故点坐标为， （3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，， ∴P坐标为，或； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，（舍去）， ∴P坐标为； 故P坐标为，或，或． 【点睛】本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 4．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 题型05 二次函数中的特殊四边形问题 平行四边形：① 对角线互相平分（中点坐标公式）；② 对边平行且相等（向量相等） 矩形：在平行四边形基础上加一个直角（对角线相等或垂直） 菱形：在平行四边形基础上加邻边相等（或对角线垂直） 正方形：矩形+菱形（对角线相等且垂直） 解题策略：设动点坐标 → 分类讨论（以哪条边为对角线或边）→ 列方程求解 → 验证顺序 中点坐标公式记错 分类讨论遗漏：已知三个点求第四个点构成平行四边形时，需分三种对角线情况 顶点顺序混淆：四边形顶点有顺序要求，无顺序时需考虑多种排列 解出点未验证是否共线：三点共线不能构成四边形 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；， 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； （2）∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 2．（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据，得出抛物线解析式为，点在第四象限，过点作轴于点，证明，进而得出点的坐标为，代入解析式，解方程，即可求解； ②在轴上点的左侧取点，使，连接．在中，根据勾股定理，，得出,根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．根据平行四边形的性质得出当点在线段上时，取得最小值，即，勾股定理可得，进而代入，求得点，可得直线的解析式为．求得点的坐标为，根据平移的性质即可得出点的坐标为． 【详解】（1）解： ， ∴该抛物线的解析式为， ， ∴该抛物线顶点的坐标为； （2）①∵点在抛物线上， ∴，即， 又，点， ， ∴抛物线解析式为， 如图，点在第四象限，过点作轴于点， ， ∴， ， ∴． ∴， 又， ∴， ， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 整理得，， 解得 ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴点的坐标为； ②∵， ∴， 在轴上点的左侧取点，使，连接． ，得． ， ． ∴，则． 在中，根据勾股定理，， ． ∴． ． 又点，得． ．即 根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得． 又中，．得． ． 当点在线段上时，取得最小值，即． 在中，， ． 将代入，得． 解得（舍）． ∴． 点． 直线的解析式为． 设点的横坐标为，则．得． 点的坐标为． 线段可以看作是由线段经过平移得到的， 点的坐标为． 3．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【答案】(1) (2)①，②5 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式， 解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 4．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，先求出，进而求出；由正方形的性质可得，证明，得到；设，则；导角证明，得到，解得到，则，据此可求出，再由在直线上，得到，解方程即可得到答案； （3）分别求出，，令 ，可得，则二次函数的对称轴为直线，且开口向上，再分，，，三种情况根据当时，的最小值为3进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，抛物线经过点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， 令 ∴ ， ∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上， 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）； 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去） 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于构造全等三角形，从而用点F的横坐标表示出点D的坐标；解（3）的关键在于构造新二次函数，通过讨论对称轴的位置求解． 题型06 二次函数中的相似三角形问题 判定相似：① 两角对应相等（常利用平行、垂直、公共角）；② 两边成比例且夹角相等；③ 三边成比例 对应边成比例：设未知点坐标 → 用距离公式表示边长 → 列比例方程 → 求解 对应角相等：转化为直线平行、垂直或斜率关系 动态相似：分类讨论对应点对应关系（如△ABC∽△DEF，顶点对应顺序不同有多解） 对应顺序未分类：相似三角形对应顶点有顺序，需分多种情况讨论 比例式列错：对应边成比例时写错比例顺序，导致方程错误 距离公式计算复杂易错：带根号时平方去根号，注意等式两边同平方 忽略相似比不为0：解出的边长应为正数，负值舍去 动点相似中漏解：随时间或位置变化，相似对应关系可能改变 1．（2025·湖南·中考真题）如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当时，求证：； ②当时，求证：； (3)如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)时，的最大值为 【分析】（1）将代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，，，①当时，，因式分解得出，根据得出；②当时，，因式分解得出，根据，得出； （3）延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，，得出，进而证明，得出，结合已知可得，勾股定理求得，进而证明，可得，则，则，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得： ∴ （2）证明：设直线的解析式为，代入得， ∴ ∴直线为， ∵，，过点作轴交线段于点．直线、都平行于轴，在上， ∴，，， ①当时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②当时，， ∴， ∵，即， ∴，即， （3）解：如图，延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为 ∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时，即 又∵ ∴ ∵的解析式为 ∴， 又∵ ∴ ∴，即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________； (4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）代入点的坐标，求得系数，即可得抛物线的解析式； （2）过点作的平行线，进行等面积转化，由面积求得线段长度，可得点的坐标，从而可求直线方程，与抛物线的解析式联立，即可解得点的坐标； （3）将以点为中心，逆时针旋转，由图形旋转的性质，可得点的坐标，从而可得直线方程，由等腰三角形的性质，结合已知角度可知，点为直线与抛物线的交点，联立直线方程和抛物线的解析式，结合点所在象限，即可得出点的坐标； （4）根据题设条件所描述的运动过程，结合三角形相似的判定和性质，分析取最大值和最小值时，点所在的位置，用勾股定理解直角三角形，求出相应的最大值和最小值，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为 （2）解：作，交轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵，， ∴所在直线的解析式为， 又∵点在抛物线上， ∴， 解得，，， ∴， （3）解：如图，将以点为中心，逆时针旋转，得到，连接，则为等腰直角三角形， ∴， ∵点是第四象限内抛物线上的一点，， ∴点为延长线与抛物线的交点， 由旋转可知，，，，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 设所在直线的解析式为，则 ， 解得，， ∴所在直线的解析式为， 由得，或， ∵点在第四象限， ∴点的横坐标为正数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴ 故答案为： （4）解：如图，连接，交于点，连接， ∵点和点关于轴对称，点在轴上，， ∴点在轴上，， ∵过点，且平行于轴，， ∴， 又∵于点， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， 取中点记为，连接，则 又∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当点、点、点共线时，取得最小值， 作于点，作于点，交于点，连接，则四边形为矩形， ∴，， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点到达点时，点、点、点重合，此时取得最大值， ∵， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数，旋转的性质，平行线的性质，平行线间的距离，等面积转化，一次函数，矩形的性质，轴对称，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 知识01：二次函数中线段、周长问题 1)核心思路 将几何线段或周长问题转化为函数最值问题（通常利用二次函数顶点公式或配方法）。 2）常见类型及解法 类型 模型 解法要点 竖直线段 点在抛物线上，横坐标相同 水平线段 点在抛物线上，纵坐标相同 利用对称轴或解方程求横坐标差 斜线段 两点间距离 勾股定理转化为二次函数（或用相似、三角函数） 周长最值 三角形、四边形周长 利用“将军饮马”对称点转化，或用二次函数求最值 3）关键技巧 铅垂高法：将斜线段转化为竖直线段与水平距离的组合。 将军饮马：求两线段和最小值，作对称点化折为直。 配方法：二次函数y=a(x−h)2+k顶点处取最值。 知识2：二次函数中的面积问题 1)常用面积公式 图形 面积公式 三角形 S=水平宽×铅垂高 四边形 分割成两个三角形或利用坐标公式 2)核心方法 铅垂高法（最常用） 过动点作xx轴垂线，将三角形分成左右两部分。 S=水平宽×铅垂高，其中水平宽为两定点横坐标差，铅垂高为动点纵坐标与直线纵坐标之差。 面积割补法 将不规则图形补成矩形、梯形，再减去多余部分。 等积变形 利用平行线（等底等高）将面积转化为易求图形。 3)常见题型 已知面积求点坐标 → 建立方程，注意多解（分类讨论）。 面积最大值 → 将面积表示成二次函数，求顶点。 知识3：二次函数中的角度问题 1)核心转化 角度问题通常转化为斜率关系（一次函数）或相似三角形。 2)常见模型 角度条件 转化方法 两角相等 构造相似三角形（对应边成比例） tanθ=k 利用直线斜率（倾斜角正切） 直角（90∘） 两直线垂直⇒k1⋅k2=−1 特殊角（45°、30°、60°） 构造等腰直角三角形、30°角直角三角形 3)解题步骤 设动点坐标（通常用一个参数表示）。 用坐标表示两条直线的斜率。 根据角度关系列方程（斜率积为 -1，或两角正切值相等）。 解方程并检验。 知识4：二次函数中的特殊三角形问题 1）常见特殊三角形 三角形类型 判定条件（代数法） 等腰三角形 两边相等（用距离公式列方程） 直角三角形 勾股定理 或 斜率积 = -1 等腰直角三角形 等腰 + 直角（两者同时满足） 等边三角形 三边相等（通常较少出现） 2)解题要点 分类讨论：不确定哪两边相等时，需分情况。 设动点坐标：通常设P(t,at2+bt+c)。 列方程：利用距离公式d=√(x1－x2)2＋(y1－y2)2​，两边平方消去根号。 验证：所求点是否在抛物线上，是否与已知点重合（舍去）。 3)典型例题模型 抛物线上找一点，使与两个定点构成等腰三角形 → 作两定点的中垂线与抛物线求交点。 抛物线上找一点，使与两个定点构成直角三角形 → 分别以三条边为斜边，利用垂直关系列方程。 知识5：二次函数中的特殊四边形问题 1)常见特殊四边形 四边形 判定条件（坐标法） 平行四边形 对角线互相平分（中点坐标公式） 或 对边平行且相等 矩形 平行四边形 + 一个内角为直角 菱形 平行四边形 + 邻边相等 正方形 矩形 + 邻边相等 2)核心方法 利用中点坐标公式（最常用） 若A,B,C,D构成平行四边形，且已知三点，则第四点满足： A+C=B+D（向量加法，即中点重合）。 分类讨论 以哪条边为对角线通常有 3 种情况（已知三个定点，找第四个动点）。 设动点坐标→ 列方程 → 解出参数 → 验证。 3)解题步骤（以平行四边形为例） 设动点P(m,am2+bm+c)。 分别以AB、AC、BC为对角线，利用中点公式建立方程。 解方程，求m。 代入检验，排除重合或无效点。 知识6：二次函数中的相似三角形问题 1）利用相似三角形的对应边成比例或对应角相等建立方程。 2）常见模型 模型 特征 A字型 平行线 8字型 交叉线 K型（一线三等角） 三个等角 直角三角形相似 一个锐角相等 3）解题步骤 找对应角：观察图形中已知相等角（公共角、对顶角、已知角）。 分类讨论对应边：不确定哪两边对应时，需分情况列出比例式。 列方程：用坐标表示线段长度（注意加绝对值，可能需平方）。 解方程并验证：检验所得点是否满足题意（如在线段上、不与已知点重合）。 一、单选题 1．（2026·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N．若M是的中点，则的值是（） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】由抛物线的对称性可知点的坐标，可得，将代入两个抛物线方程即可求得的关系． 【详解】解：由题意可知，抛物线的对称轴为y轴，抛物线的对称轴为直线． 抛物线与抛物线相交于点，M是的中点， 由抛物线的对称性可知，，即． 将点代入，可知，，， 则， ， ， ． 2．（2019·安徽·一模）如图，在四边形ABCD中,AB∥CD，∠A=90°，AB=1，AD=3，DC=5.点S沿A→B→C运动到C点停止，以S为圆心，SD为半径作弧交射线DC于T点，设S点运动的路径长为x，等腰△DST的面积为y，则y与x的函数图象应为() A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论S在AB边时和BC边时，y与x的函数关系式，结合选项得出结论. 【详解】如图：①当S在AB边时，即0≤x≤1时，则AS=x，过S作SE⊥DT于E， ∵∠A=90°，AB//CD ∴四边形ADES是矩形， ∴S△ADS=S△ESD， ∵SD=ST，SE⊥DT ∴S△ESD=S△EST ∴y=S△DST=2S△ESD=2S△ADS=2××3x=3x， ∴0≤x≤1时，y与x是正比例函数关系，图像是过原点的直线，且x=1时，y=3， ②如图：当S在BC边时，即1<x≤6时，则BS=x-1 过B作BF⊥CD，过S作SN⊥CD，延长NS交AB延长线于M， ∵AB=1，CD=5， ∴CF=4， ∴BC==5， ∵AM//CD， ∴∠MBC=∠BCF， ∵∠BFC=∠BMS=90°，∠MBC=∠BCF， ∴△BMS∽△BFC， ∴， 解得：MS=(x-1)，BM=(x-1)， ∴NS=MN-MS=3-(x-1)=，DN=AB+BM=1+(x-1)=， ∴y=S△DST=×2×DNNS=（）（）=-x2+x+， ∴1<x≤6时，y与x是二次函数关系，图像是抛物线， 综上所述，只有A选项符合题意， 故选A. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质及二次函数解析式和图像的综合，熟练掌握相关的判定定理及图像特点是解题关键 二、填空题 3．（2026安徽六安·一模 ）【概念认识】已知m是实数，若某个函数图象上存在点，则称点M是该函数图象上的“固定点”． 【数学理解】 （1）一次函数的图象上的“固定点”的坐标是______． （2）将二次函数：的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象在x轴上方的部分组成一个类似“W”形状的新图象．若新图象上恰好存在3个“固定点”，则______． 【答案】 【分析】（1）根据“固定点”的定义直接计算即可； （2）先根据二次函数变换得到翻折到x轴上方的函数解析式为，可知这个新函数的图象与有一个交点，即有两个相等的实数根，再根据判别式即可解得b的值． 【详解】解：（1）存在点为一次函数的图象上的“固定点”， ∴，解得， ∴一次函数的图象上的“固定点”的坐标是； （2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则在x轴上方的图象的函数表达式为 ． ∵ 新图象上恰好存在3个“固定点”， ∴ 的图象与的图象恰好有一个公共点． ∴ 有两个相等的实数根． ∴． ∴ （舍去），． ∴ b的值是． 故答案为：（1）；（2） 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，二次函数的性质，轴对称的性质，能够理解题意中“固定点”的概念，熟悉二次函数的性质是解题关键． 4．（2026·安徽芜湖·一模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点，在抛物线的图象上，连接，． （1）________； （2）若将抛物线向下平移个单位长度，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界），则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）将点代入抛物线方程可得，再将点代入方程可求得，从而得到的值； （2）先求出原抛物线的顶点坐标，再写出向下平移n个单位后的顶点坐标，该顶点需在内部，根据三角形边界直线的方程和顶点坐标满足的不等式组求解n的范围即可． 【详解】解：（1）∵点在抛物线上， ∴． ∵点在抛物线上， ∴， 解得． ∴． 故答案为：． （2）抛物线向下平移n个单位后， 表达式为． ∴平移后抛物线顶点坐标为． ∵的顶点为， 设直线的解析式为，则有，解得：， ∴直线的解析式为． 平移后抛物线的顶点坐标在内部（不包括边界），需满足： ①横坐标在和0之间，即，成立； ②纵坐标小于5，即，解得； ③纵坐标大于直线在处的函数值，即，解得． ∴n的取值范围为． 故答案为：． 三、解答题 5．（2026·安徽合肥·一模）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)设点Q是线段上的动点，作直线轴于点D，交抛物线于点E，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）求出直线解析式为，设点，则点，根据二次函数的最值求法，可求的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴点， 设直线解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设点，如图， 则点， ， ∵， 当时，有最大值，最大值为． 6．（2026·安徽芜湖·一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点在点的左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意，先求出点的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据（1）中的二次函数表达式，求出点的坐标，结合、两点利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，易得，根据的长度表达式计算出的最大值，由此即可得出四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴点的坐标为， 将点代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令，解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为． 将点代入， 得，解得， ∴直线的解析式为． （3）解：过点作轴，交于点，如下图所示： 由（2）知， ∴， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大值为， ∴四边形面积的最大值为． 7．（2026·安徽淮北·一模）如图，二次函数的图象的顶点的横坐标为，直线与该二次函数的图象交于，两点，其中点的坐标为，点在轴上． (1)求的值及二次函数的表达式； (2)求的面积； (3)在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）利用三角形面积的和差求法即可求解； （）设点，分两种情况：当时， 当时求解即可， 本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的对称性并灵活运用分类讨论得思想是解题的关键． 【详解】（1）∵直线过点， ∴，解得， ∴， 令，则， ∴点， 设二次函数的表达式为， 由题意，可得，解得， ∴二次函数的表达式为， （2）由（）知，直线的表达式为，二次函数的对称轴为直线， 设直线与二次函数图象的对称轴交于点，则点， 把代入，得， ∴点， ∴的面积； （3）存在． 设点， ∵点，， ∴，，， 分两种情况： 当时，，解得， ∴点的坐标为或， 当时，，解得， ∴点的坐标为或， 综上所述，点的坐标为或或或． 8．（2025·安徽芜湖·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点P是第一象限中抛物线上一动点，连接，分别交对称轴于点E、F． ①在点P的运动过程中，这三条线段能否相等？若相等，求出点P的坐标；若不相等，请说明理由； ②如图2，连接与相交于点H，若的面积为的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)①存在，；② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）写出顶点式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①假设能相等，求出的坐标，进而求出直线的解析式，联立后求出交点坐标，进而代入抛物线进行判断即可；②求出点坐标，进而求出直线的解析式，作轴，交的延长线于点，作轴，交于点，设设，则：，求出，证明，得到，根据同高三角形的面积比等于底边比得到，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：，解得：， ∴； （2）①存在，理由如下： 假设存在， ∵， ∴， ∴当时，， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，，代入，得： ，解得：， ∴； 同法可得：直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴两条直线的交点坐标为， 对于，当时，， 故两条直线的交点在抛物线上， ∴存在，； ②令，解得：， ∴， 同①法可得：直线的解析式为直线， 作轴，交的延长线于点，作轴，交于点， 则：， ∵， ∴当时，， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是同高三角形， ∴， ∴当时，的值最大，为． 9．（2026·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 10．（2026·安徽淮北·一模）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． (1)当、时，求此函数图象的对称轴； (2)当时，若该函数在时，随的增大而减小；在时随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，，均在该函数的图象上，若常数满足，求的值． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）将，代入化简，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）将代入化简可得，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出的表达式，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：当，时，二次函数 ， ∴此函数图象的对称轴为直线 （2）当时，二次函数 ， ∴抛物线对称轴为直线 ∵， ∴抛物线开口向上 ∵在时，y随x的增大而减小，∴ ，即； ∵在时，y随x的增大而增大，∴，即， ∴ （3）若点，，均在该函数的图象上， ∵， ∴ ∴ ， ∴； ∵， ∴， 即， ∵，为两个不相等的实数， ∴， ∴ 解得 11．（2026·安徽阜阳·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，经过、两点的抛物线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的函数关系式； (2)求抛物线的函数关系式； (3)如图2，点为第一象限内抛物线上一点，作于点，设的长为，点的横坐标为，求的最大值，及取得最大值时点的坐标． 【答案】(1)直线的函数关系式为 (2)抛物线的函数关系式为 (3)的最大值为，当取得最大值时，点的坐标为 【分析】（1）由一次函数和抛物线的图象都与轴交于点，则由抛物线解析式求出点的坐标代入一次函数解析式求出即可； （2）由一次函数求出点的坐标，再由可得点的坐标，把点，的坐标代入抛物线解析式即可求解； （3）过点作于点，交于点，由点的横坐标为，可得点，的坐标，可得，再证明，则，可得，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点， ∴当时，，即点， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数关系式为． （2）解：当时，，解得， ∴点， ∵，且点在轴负半轴上， ∴，即点， ∵抛物线过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数关系式为． （3）解：如图，过点作于点，交于点， ∵点的横坐标为， ∴点，． ∴， ∵点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，代入，得， ∴的最大值为，当取得最大值时，点的坐标为． 12．（2026·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中． (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)当时，求的长； (3)若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）先将二次函数解析式化为顶点式，然后写出顶点坐标即可； （2）根据时，，解方程得出，求出即可； （3）根据抛物线对称轴及，结合条件，都有，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：当时，即， ， ， ， ． ． （3）解：， ， ． ， ． ， ， ． ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． 13．（2026·安徽铜陵·一模）某工厂的产品传送带的形状可近似看作抛物线，其解析式为，在传送带旁边有一个机械臂，机械臂端点的运动轨迹可近似看作直线，已知抛物线的顶点是传送带的最低点，机械臂端点与传送带在顶点和另一点处相遇． (1)求的值； (2)工厂为了优化传送带和机械臂的配合，对传送带进行平移改造得到新传送带，新传送带的形状对应的抛物线与轴的交点为，与轴的其中一个交点的横坐标为1，有一个监测设备在直线上移动，且分别与直线、原抛物线、新抛物线相交于点． （i）当时，若，求点、的坐标； （ii）当时，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2)（i）点的坐标为，或， （ii）或 【分析】（1）先将抛物线的顶点坐标代入直线求出k,再将点代入直线关系式可得点的坐标，然后将点代入抛物线关系式可得答案； （2）（i）先设新抛物线的解析式为，再将点代入，并得出关系式，即可表示出点，进而得出，然后根据自变量取值范围，及得出方程，求出解即可； （ii）联立两个函数关系式求出交点横坐标，即，再分两种情况当时，点在点上方，当时，点在点下方，然后根据求出取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意，知抛物线的顶点为，将点代入直线，得，解得． 直线的解析式为， 将点代入，得． 点的坐标为． 将点代入，得，解得，则抛物线的关系式为； （2）解：（i）由（1）知，原抛物线的解析式为，设新抛物线的解析式为． 将点代入，得，解得， 新抛物线的解析式为． 直线分别交直线、原抛物线、新抛物线于点， ． 点，，， 点在线段上，且， 则，． ， 解得． 当时，点； 当时，点． 综上，点的坐标为，或，． （ii）联立 ，得，解得． 当时，点在点上方，当时，点在点下方． 由（i）知． 当时，，解得； 当时，，解得：． 综上，的取值范围为或． 14．（22026·安徽合肥·一模）抛物线（）与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的面积； （3）若是对称轴上一定点，是抛物线上的动点，求的最小值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）4；（3） 【分析】（1）与轴相交于点，得到，再根据抛物线对称轴，求得，代入即可． （2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，可知、两点关于对称轴对称，是等腰直角三角形得到，设，根据等腰直角三角形的性质求得E点坐标，从而求得的面积． （3），根据距离公式求得，注意到的范围，利用二次函数的性质，对进行分类讨论，从而求得的最小值． 【详解】解：（1）由抛物线（）与轴相交于点得到 抛物线的对称轴为，即，解得 ∴抛物线的方程为 （2）过点E作交AB于点M，过点F作，交AB于点N，如下图： ∵是等腰直角三角形 ∴， 又∵轴 ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ 设，则， ∴ 又∵ ∴ 解得或 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意 综上所述：． （3）设，在抛物线上，则 将代入上式，得 当时，，∴时，最小，即最小 = 当时，，∴时，最小，即最小 ， 综上所述 【点睛】此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公式等知识，熟练掌握距离公式和对代数式的计算是解决本题的关键． 15．（2026·安徽合肥·一模）如图，抛物线y＝x2＋2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC． (1)求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式． (2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D． ①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长． 【答案】(1)A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣6），直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6 (2)①存在，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）；②3 【分析】（1）将y＝0代入x2+2x﹣6＝0中可得函数与横轴的交点坐标，为A（﹣6，0），B（2，0）， 当x＝0时，y＝﹣6，进而可得直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，则B（2，0），C（0，﹣6），从而可得直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6； （2）当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，可分两种情况：当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，以及当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，从而可求E的坐标； ②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，根据抛物线与横轴的交点坐标可得抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，进而可知直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC，设直线l的解析式为y＝3x+b，根据点D的坐标（m，﹣m﹣6），可知b＝﹣4m﹣6，进而可得M（﹣2，﹣4m﹣12），由抛物线的对称轴与直线AC交于点N．可知N（﹣2，﹣4），进而可知MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，因为S△DMN＝S△AOC，可得（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）＝×6×6，整理得m2+4m﹣5＝0，从而解得m1＝﹣5，m2＝1（舍去），进而可知点D的坐标为（﹣5，﹣1），由点D坐标和M坐标可知DM长度． 【详解】（1）解：当y＝0时，x2+2x﹣6＝0， 解得x1＝﹣6，x2＝2， ∴A（﹣6，0），B（2，0）， 当x＝0时，y＝﹣6， ∴C（0，﹣6）， ∵A（﹣6，0），C（0，﹣6）， ∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6， ∵B（2，0），C（0，﹣6）， ∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6； （2）解：①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0， ∵B（2，0），C（0，﹣6）， ∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2， ∵DE∥BC， ∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形， ∴BD2＝BC2， ∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40， 解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去）， ∴点D的坐标为（﹣4，﹣2）， ∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）； 如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形， ∴CD2＝CB2， ∴2m2＝40， 解得：m1＝，m2＝2（舍去）， ∴点D的坐标为（，）， ∵点D向右移动2各单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为（，）； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（，）； ②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0， ∵A（﹣6，0），B（2，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， ∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC， ∴设直线l的解析式为y＝3x+b， ∵点D的坐标（m，﹣m﹣6）， ∴b＝﹣4m﹣6， ∴M（﹣2，﹣4m﹣12）， ∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N． ∴N（﹣2，﹣4）， ∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8， ∵S△DMN＝S△AOC， ∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）＝×6×6， 整理得：m2+4m﹣5＝0， 解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去）， ∴点D的坐标为（﹣5，﹣1）， ∴点M的坐标为（﹣2，8）， ∴DM＝， 答：DM的长为． 【点睛】本题考查二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数的图象的相关性质，直角坐标系中两点之间的距离，菱形的性质，掌握数形结合思想是解决本题的关键． 16．（2025·安徽蚌埠·二模）已知二次函数图象的顶点是，且经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点． ①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解； ②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②的值为定值，且该定值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①首先求出一次函数的解析式为，然后和抛物线联立求出点横坐标为，得到，进而求解即可； ②设，，则，，将代入，得，求出，，然后表示出，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）依题意，， 解得 二次函数的解析式为． （2）①依题意，即该一次函数的解析式为． 将代入，得， 即点的坐标为， 代入，得， 即一次函数的解析式为， 由， 解得点横坐标为 依题意，C，D横坐标分别与A，B横坐标相同， 所以， 由图像可知不等式解为． ②设，，则，． 将代入，得， 则， 解得， ，， 依题意得， ， ， ． 而 ． ，， ，． 故 所以，， 即的值为定值，且该定值为． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数和三角形面积综合运用，解一元二次方程以及根与系数的关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 17．（2026·安徽·一模）已知抛物线的对称轴在y轴左侧，若将此抛物线向上平移4个单位后，顶点刚好在x轴上． (1)求b的值； (2)当时，原函数y的最大值等于12，求m的值； (3)原抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P为第三象限内抛物线上一点，连接AC，BP交于点D．判断：是否有最大值，如有请求出最大值，如没有请说明理由． 【答案】(1)1 (2)或1 (3)有最大值，最大值为，理由见解析 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴与顶点坐标，根据对称轴在y轴左侧得到b的取值范围．求出抛物线平移后顶点的坐标，根据顶点在x轴上列出方程，求解即可； （2）抛物线的开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，相应的函数值越大，分两种情况：①若，即，当时，原函数y取得最大值为12；②若，即，当时，原函数y取得最大值为12，分别求解即可； （3）对于抛物线，分别令，，求得，，．运用待定系数法求出直线的解析式为．设，过点P作轴，交于点M，过点B作轴，交于点N，则，，得到，，根据 ，得到，根据相似三角形的性质，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵对称轴在y轴左侧， ∴，即． ∵将抛物线向上平移4个单位后，新抛物线顶点为，即， ∵平移后顶点在x轴上， ∴，解得，， ∵， ∴． （2）解：由（1）知，则抛物线为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越远，相应的函数值越大， ①若，即， 当时，原函数y取得最大值为12， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； ②若，即， 当时，原函数y取得最大值为12， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 综上所述，m的值为或1． （3）解：有最大值，最大值为．理由如下： 对于抛物线， 当时，，解得，， ∴，， 当时，， ∴． 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． ∵点P是第三象限抛物线上的一点， ∴设， 过点P作轴，交于点M，过点B作轴，交于点N， ∴， ∵把代入函数，得， ∴， ∴，， ∵轴， 轴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为． 18．（2026·安徽阜阳·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、C两点，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小，求的取值范围． (3)P为抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形且三点不共线?若存在，求出的面积；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在符合题意的点，且的面积为 或 【分析】（1）通过已知三点坐标代入抛物线方程可解出系数； （2）利用抛物线的对称性分析区间内的增减性，确定对称轴位置关系从而求出范围； （3）结合动点在抛物线上，结合对称轴上的点，构造以为顶点的平行四边形，利用平行四边形性质列出坐标关系，排除共线情况后计算三角形面积． 【详解】（1）解：令，得， ∴点C的坐标为． 令，得， ∴点A的坐标为． ∵抛物线经过三点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小． ∵当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小， ∴ 解得． （3）解：存在点Q，设 ①当为平行四边形的边时， 若四边形是平行四边形，如图1所示． ， ， ， ， ∴点Q的坐标为 又， ∴此时的面积为． 若四边形是平行四边形，如图2所示． ， ， ， ∴ ， ， ∴点Q的坐标为 又， ∴此时的面积为． ②当为平行四边形的对角线时，如图3所示． ， ， ， ， ， ， ∴点Q的坐标为， ∴此时三点共线，不符合题意． 综上所述，存在符合题意的点Q，且的面积为或． 19．（2026·安徽阜阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于． (1)求的值； (2)若抛物线的开口向下，与x轴的另一个交点B的横坐标为t． （i）若，求a的取值范围； （ii）已知，P、Q两点均在第一象限的抛物线上，且点P在点Q的左侧，过点P作轴于N，交于M，设P、Q的横坐标分别为、，、的面积分别为、，若，，求的值． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据抛物线与y轴交于，则，再把代入解析式可得，即可求解； （2）（i）由（1）知，则，所以抛物线，再根据，得不等式组，解之即可； （ii）当时，求出抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为．再由的边上的高为和，得．然后由点M的坐标为，点N的坐标为，点P的坐标为，求得，，则，，从而求，根据，得出，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于， ∴， ∵抛物线与x轴交于， ∴， ∴； （2）解：（i）由（1）知， ∴， ∴抛物线， ∵， ∴， 解得， ∴a的取值范围是； （ii）当时，则， 由（i）知， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 如图， 设直线的函数表达式为， 把，代入得 ，解得：， ∴直线的函数表达式为． 设P、Q的横坐标分别为、，、的面积分别为、， ∴的边上的高为， ∵， ∴． ∵点M的坐标为，点N的坐标为，点P的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得， 此时． ∵点P，Q在第一象限的抛物线上，且点P在点Q的左侧， ∴， ∴符合题意． 20．（2026·安徽蚌埠·一模）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，． (1)求的面积． (2)点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为a． ①当抛物线上P，C两点之间的部分（含点P，C）的高度（最高点与最低点的纵坐标之差）为10时，求点P的坐标． ②当点P位于第四象限时，过点P分别作于点E，轴于点F，当取得最大值时，求a的值． 【答案】(1)10 (2)①点P的坐标为或，② 【分析】（1）先求抛物线与x轴、y轴交点坐标，再用三角形面积公式计算； （2）①分点P在y轴左侧和对称轴右侧两种情况，根据高度差列方程求坐标； ②先求直线方程，用点到直线距离公式表示，为横坐标，求和后用二次函数性质求最值． 【详解】（1）解：对于，令，则， 解得，， ∴，， ∴， 对于，令，则， ∴， ∴， ∴． （2）解：①， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵点C的纵坐标为，顶点纵坐标为， ∴两者高度差为， 分两种情况讨论： a.当点P位于y轴左侧时，令， 解得，（舍去）， ∴； b.当点P位于抛物线的对称轴右侧时，令 ， 解得，（舍去）， ∴， 综上，点P的坐标为或． ②设点， 设直线的函数表达式为， 将，分别代入， 得，解得， ∴直线的函数表达式为， 如图，过点P作y轴的平行线，交直线于点M，则， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴是，， ∴当时，取得最大值． 21．（2026·安徽·一模）已知抛物线（a，b为常数，其中）． (1)求证：抛物线与轴必有交点． (2)点在抛物线上，点在抛物线上．当时，是一个与无关的定值． （i）求的值． （ii）若点是经由点向右平移个单位，向上平移个单位得到，且满足，求的最小值． 【答案】(1)见详解 (2)（i）（ii） 【分析】本题考查了二次函数的性质，点的平移，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数的性质，得出，得，即可作答． （2）（i）理解题意，先得出，又因为，整理得，故，又因为是一个与无关的定值，得出，即可作答． （ii）因为点是由点向右平移个单位，向上平移个单位得到，得又因为，得，点在抛物线上，点在抛物线上．得出， 整理得，结合二次函数的性质，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴， ∴抛物线与轴必有交点； （2）解：（i）∵点在抛物线上，点在抛物线上． ∴， ∵ ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴（当无意义）， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵是一个与无关的定值． ∴， ∴， ∴． （ii）∵点是经由点向右平移个单位，向上平移个单位得到， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点在抛物线上，点在抛物线上． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的开口方向向上，在时，函数的最小值为． 22．（2026·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． (1)若“友好二次函数”的图象与直线的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； (2)若二次函数是“友好二次函数”，点，，抛物线的对称轴与交于点； ①当时，点在线段上，设点的横坐标为，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 【答案】(1)这个“友好二次函数”的表达式为：或 (2)① ②当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，或 【分析】（1）根据“友好二次函数”的定义求解即可； （2）首先根据“友好二次函数”的定义求解二次函数的解析式，①当时，，，即可得到，设出可以表示出与的长度，进而利用分为和两种情况分别求解即可；②首先利用“友好二次函数”的定义求解顶点坐标，再利用在直线上运动，当时，与抛物线只有一个交点，当运动到点的上方但在点的下方时，与抛物线只有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：∵是“友好二次函数”，且顶点坐标为， ∴，得：， ∵的图象与直线的交点是“友好点”，且交点为， ∴，得：， 联立，解得：或， ∴这个“友好二次函数”的表达式为：或； （2）解：二次函数是“友好二次函数”，且顶点坐标为， ∴，解得：， ∴该二次函数的表达式为：， ①当时，，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 如图，当时，； 如图，当时，； 综上所述，； ②二次函数的表达式为：， ∴顶点坐标为， 如图，在直线上运动，当时，与抛物线只有一个交点，当运动到点的上方但在点的下方时，与抛物线只有一个交点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，或． 【点睛】本题主要考查“友好二次函数”的定义、二次函数的综合、图形的平移，正确的理解“友好二次函数”的定义是解题的关键． 23．（2026·安徽合肥·一模）如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作轴交直线l于点C，以为直径作，当与y轴相切时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最大值为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，则，根据与y轴相切圆的直径等于点D横坐标的2倍列方程求解即可； （3）先求出，，，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大．证明求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得 ， 解得， ∴； （2）解：设， ∵轴， ∴， ∴． ∵与y轴相切， ∴， 解得，（舍去）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵以为直径作，， ∴， ∵把向上平移，使圆心落在x轴上，得到， ∴， ∵过点作轴， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴． 如图2，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大． ∵，与y轴相切， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即面积的最大值为． 2 / 128 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 二次函数压轴题 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型01 二次函数中线段周长问题 题型02 二次函数中的面积问题 题型03 二次函数中的角度问题 题型04 二次函数中的特殊三角形问题 题型05 二次函数中的特殊四边形问题 题型06 二次函数中的相似三角形问题 必备知识 知识01 二次函数中线段周长问题 知识02 二次函数中的面积问题 知识03 二次函数中的角度问题 知识04 二次函数中的特殊三角形问题 知识05 二次函数中的特殊四边形问题 知识06 二次函数中的相似三角形问题 命题预测 命题 透视 命题形式：第23题（最后一道解答题），分值为14分（2021略有不同但本质相同）。第(1)问为基础（求参数、解析式），第(2)问为中等（面积、最值、大小比较），第(3)问为综合（存在性、定值、参数范围）。融合代数运算、方程、不等式、几何图形（三角形、四边形面积）、最值、存在性等。 命题内容： 实际应用型（2022）隧道截面（抛物线+矩形）→ 求解析式 → 栅栏总长与横坐标的函数 → 最大值 → 方案选择（面积最大时的横坐标范围）。 纯代数综合型（2021、2024、2025）含参二次函数 → 求对称轴 → 比较函数值大小 → 线段比或定值条件 → 求参数。 代数与几何融合型（2023）二次函数与一次函数、坐标轴交点 → 构造三角形 → 面积和 → 是否存在点使面积为定值。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 二次函数综合 T23：求对称轴、比较函数值大小、求定值时的参数 T23：求b、已知函数值相等求h、h最大值合求值 T23：求参数、面积和、存在性问题 T22：求解析式、栅栏总长最值、矩形面积最值（方案选择） T22：求参数、比较函数值、线段比 命题预测 1. 考情预测 趋势延续：近三年更偏重含参二次函数的代数推理（2024、2025），2026年可能继续强化：已知顶点横坐标关系或函数值相等，求参数。比较函数值大小（利用对称轴和增减性）。与参数无关的定值问题。 几何结合可能回调：2022年考查实际应用（隧道、栅栏），2023年考查面积存在性，2024、2025偏向纯代数。预测2026年可能再次回归几何综合（如与平行四边形、三角形面积最值结合），但代数推理仍是核心。新动向：与二次函数相关的“新定义”问题（如2025第23题虽未新定义，但含参讨论类似）可能升温。 2. 备考建议 第(1)问是送分题，必须拿稳，避免计算失误。 第(2)问是得分题，常考面积、最值、比较大小，方法固定，要熟练掌握。 第(3)问是拉分题，含参讨论、存在性、定值问题需要较高的代数变形能力和分类讨论意识。 回归近五年真题，每道题至少做三遍，第一遍独立完成，第二遍分析思路，第三遍总结方法。 强化计算能力：二次函数压轴题计算量大，特别是含参数时，必须细致，避免符号错误。 题型01 二次函数中线段周长问题 线段长：设点坐标 → 利用两点间距离公式（或坐标差绝对值）→ 建立二次函数 → 求最值（顶点处） 线段和（差）最值：将军饮马模型（对称转化）→ 化折为直；或利用二次函数求最值 周长最值：将周长表示为含参二次函数 → 配方求最值，注意自变量范围 线段相等：列方程 → 解一元二次方程，注意检验根的合理性 距离公式符号遗漏：未加绝对值或平方，导致表达式错误 将军饮马对称点选错：应作定点关于对称轴的对称点 自变量范围忽略：点在线段或抛物线上运动时有范围限制，最值可能在端点取到 周长表达式漏加线段：只考虑部分线段 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 2．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 3．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 4．（2025·湖北武汉·中考真题）抛物线与直线交于两点（在的左边）． (1)求两点的坐标． (2)如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标． (3)如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式． 题型02 二次函数中的面积问题 三角形面积：① 铅垂高×水平宽；② 公式法（坐标）；③ 割补法（补成矩形或梯形） 四边形面积：分割成两个三角形；或用大减小 面积最值：将面积表示为二次函数 → 顶点处取最值，注意定义域 等面积问题：设未知点 → 列面积方程 → 解一元二次方程，注意多解 面积比问题：利用相似比平方或等高三角形面积比等于底边比 铅垂高公式用错：铅垂高是纵坐标差绝对值，水平宽是横坐标差 分割不共底：分割的两个三角形需有公共底边 面积方程漏解：解一元二次方程时忽视两个解，需结合图形取舍 坐标系中面积取绝对值：未考虑点位置导致面积为负，忘记取绝对值 1．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 2．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 4．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 题型03 二次函数中的角度问题 相等角：① 构造全等或相似三角形；② 利用三角函数（斜率）相等；③ 转化为直线平行或垂直 特殊角（45°、90°等）：① 利用等腰直角三角形；② 勾股定理逆定理；③ 斜率积为-1（垂直） 二倍角：构造等腰三角形外角；或利用正切二倍角公式 锐角三角函数：将角度转化为直角三角形边之比 垂直条件误用：两直线垂直斜率积为-1，需排除水平垂直特殊情况 角度相等未考虑方向：锐角与钝角混淆，多解时漏解 构造辅助线不当：未正确构造直角三角形导致三角函数关系错误 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 2．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 3．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 4．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． 题型04 二次函数中的特殊三角形问题 等腰三角形：设未知点 → 用距离公式表示两边相等 → 列方程 → 解方程，注意分类（哪两边相等） 直角三角形：① 勾股定理逆定理（两直角边平方和=斜边平方）；② 斜率积为-1；③ 构造直角（如直径所对圆周角） 等腰直角三角形：先满足等腰，再满足直角（或45°角） 等边三角形：边长相等且夹角60°，常用设坐标法结合勾股定理 等腰三角形分类讨论不全：未讨论哪条边为腰，导致漏解 直角三角形未确定直角顶点：需分三种情况（每个顶点为直角顶点） 距离公式开方后忘记正负：平方后解方程产生增根，需检验 动点范围限制：解出的点需在抛物线上或线段上，不满足需舍去 1．（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 2．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）． (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 题型05 二次函数中的特殊四边形问题 平行四边形：① 对角线互相平分（中点坐标公式）；② 对边平行且相等（向量相等） 矩形：在平行四边形基础上加一个直角（对角线相等或垂直） 菱形：在平行四边形基础上加邻边相等（或对角线垂直） 正方形：矩形+菱形（对角线相等且垂直） 解题策略：设动点坐标 → 分类讨论（以哪条边为对角线或边）→ 列方程求解 → 验证顺序 中点坐标公式记错 分类讨论遗漏：已知三个点求第四个点构成平行四边形时，需分三种对角线情况 顶点顺序混淆：四边形顶点有顺序要求，无顺序时需考虑多种排列 解出点未验证是否共线：三点共线不能构成四边形 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 3．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 4．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 题型06 二次函数中的相似三角形问题 判定相似：① 两角对应相等（常利用平行、垂直、公共角）；② 两边成比例且夹角相等；③ 三边成比例 对应边成比例：设未知点坐标 → 用距离公式表示边长 → 列比例方程 → 求解 对应角相等：转化为直线平行、垂直或斜率关系 动态相似：分类讨论对应点对应关系（如△ABC∽△DEF，顶点对应顺序不同有多解） 对应顺序未分类：相似三角形对应顶点有顺序，需分多种情况讨论 比例式列错：对应边成比例时写错比例顺序，导致方程错误 距离公式计算复杂易错：带根号时平方去根号，注意等式两边同平方 忽略相似比不为0：解出的边长应为正数，负值舍去 动点相似中漏解：随时间或位置变化，相似对应关系可能改变 1．（2025·湖南·中考真题）如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当时，求证：； ②当时，求证：； (3)如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________； (4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________． 知识01：二次函数中线段、周长问题 1)核心思路 将几何线段或周长问题转化为函数最值问题（通常利用二次函数顶点公式或配方法）。 2）常见类型及解法 类型 模型 解法要点 竖直线段 点在抛物线上，横坐标相同 水平线段 点在抛物线上，纵坐标相同 利用对称轴或解方程求横坐标差 斜线段 两点间距离 勾股定理转化为二次函数（或用相似、三角函数） 周长最值 三角形、四边形周长 利用“将军饮马”对称点转化，或用二次函数求最值 3）关键技巧 铅垂高法：将斜线段转化为竖直线段与水平距离的组合。 将军饮马：求两线段和最小值，作对称点化折为直。 配方法：二次函数y=a(x−h)2+k顶点处取最值。 知识2：二次函数中的面积问题 1)常用面积公式 图形 面积公式 三角形 S=水平宽×铅垂高 四边形 分割成两个三角形或利用坐标公式 2)核心方法 铅垂高法（最常用） 过动点作xx轴垂线，将三角形分成左右两部分。 S=水平宽×铅垂高，其中水平宽为两定点横坐标差，铅垂高为动点纵坐标与直线纵坐标之差。 面积割补法 将不规则图形补成矩形、梯形，再减去多余部分。 等积变形 利用平行线（等底等高）将面积转化为易求图形。 3)常见题型 已知面积求点坐标 → 建立方程，注意多解（分类讨论）。 面积最大值 → 将面积表示成二次函数，求顶点。 知识3：二次函数中的角度问题 1)核心转化 角度问题通常转化为斜率关系（一次函数）或相似三角形。 2)常见模型 角度条件 转化方法 两角相等 构造相似三角形（对应边成比例） tanθ=k 利用直线斜率（倾斜角正切） 直角（90∘） 两直线垂直⇒k1⋅k2=−1 特殊角（45°、30°、60°） 构造等腰直角三角形、30°角直角三角形 3)解题步骤 设动点坐标（通常用一个参数表示）。 用坐标表示两条直线的斜率。 根据角度关系列方程（斜率积为 -1，或两角正切值相等）。 解方程并检验。 知识4：二次函数中的特殊三角形问题 1）常见特殊三角形 三角形类型 判定条件（代数法） 等腰三角形 两边相等（用距离公式列方程） 直角三角形 勾股定理 或 斜率积 = -1 等腰直角三角形 等腰 + 直角（两者同时满足） 等边三角形 三边相等（通常较少出现） 2)解题要点 分类讨论：不确定哪两边相等时，需分情况。 设动点坐标：通常设P(t,at2+bt+c)。 列方程：利用距离公式d=√(x1－x2)2＋(y1－y2)2​，两边平方消去根号。 验证：所求点是否在抛物线上，是否与已知点重合（舍去）。 3)典型例题模型 抛物线上找一点，使与两个定点构成等腰三角形 → 作两定点的中垂线与抛物线求交点。 抛物线上找一点，使与两个定点构成直角三角形 → 分别以三条边为斜边，利用垂直关系列方程。 知识5：二次函数中的特殊四边形问题 1)常见特殊四边形 四边形 判定条件（坐标法） 平行四边形 对角线互相平分（中点坐标公式） 或 对边平行且相等 矩形 平行四边形 + 一个内角为直角 菱形 平行四边形 + 邻边相等 正方形 矩形 + 邻边相等 2)核心方法 利用中点坐标公式（最常用） 若A,B,C,D构成平行四边形，且已知三点，则第四点满足： A+C=B+D（向量加法，即中点重合）。 分类讨论 以哪条边为对角线通常有 3 种情况（已知三个定点，找第四个动点）。 设动点坐标→ 列方程 → 解出参数 → 验证。 3)解题步骤（以平行四边形为例） 设动点P(m,am2+bm+c)。 分别以AB、AC、BC为对角线，利用中点公式建立方程。 解方程，求m。 代入检验，排除重合或无效点。 知识6：二次函数中的相似三角形问题 1）利用相似三角形的对应边成比例或对应角相等建立方程。 2）常见模型 模型 特征 A字型 平行线 8字型 交叉线 K型（一线三等角） 三个等角 直角三角形相似 一个锐角相等 3）解题步骤 找对应角：观察图形中已知相等角（公共角、对顶角、已知角）。 分类讨论对应边：不确定哪两边对应时，需分情况列出比例式。 列方程：用坐标表示线段长度（注意加绝对值，可能需平方）。 解方程并验证：检验所得点是否满足题意（如在线段上、不与已知点重合）。 一、单选题 1．（2026·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N．若M是的中点，则的值是（） A． B．2 C． D．3 2．（2019·安徽·一模）如图，在四边形ABCD中,AB∥CD，∠A=90°，AB=1，AD=3，DC=5.点S沿A→B→C运动到C点停止，以S为圆心，SD为半径作弧交射线DC于T点，设S点运动的路径长为x，等腰△DST的面积为y，则y与x的函数图象应为() A． B． C． D． 二、填空题 3．（2026安徽六安·一模 ）【概念认识】已知m是实数，若某个函数图象上存在点，则称点M是该函数图象上的“固定点”． 【数学理解】 （1）一次函数的图象上的“固定点”的坐标是______． （2）将二次函数：的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象在x轴上方的部分组成一个类似“W”形状的新图象．若新图象上恰好存在3个“固定点”，则______． 4．（2026·安徽芜湖·一模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点，在抛物线的图象上，连接，． （1）________； （2）若将抛物线向下平移个单位长度，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界），则的取值范围为________． 三、解答题 5．（2026·安徽合肥·一模）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)设点Q是线段上的动点，作直线轴于点D，交抛物线于点E，求线段长度的最大值． 6．（2026·安徽芜湖·一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点在点的左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 7．（2026·安徽淮北·一模）如图，二次函数的图象的顶点的横坐标为，直线与该二次函数的图象交于，两点，其中点的坐标为，点在轴上． (1)求的值及二次函数的表达式； (2)求的面积； (3)在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2025·安徽芜湖·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点P是第一象限中抛物线上一动点，连接，分别交对称轴于点E、F． ①在点P的运动过程中，这三条线段能否相等？若相等，求出点P的坐标；若不相等，请说明理由； ②如图2，连接与相交于点H，若的面积为的面积为，求的最大值． 9．（2026·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 10．（2026·安徽淮北·一模）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． (1)当、时，求此函数图象的对称轴； (2)当时，若该函数在时，随的增大而减小；在时随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，，均在该函数的图象上，若常数满足，求的值． 11．（2026·安徽阜阳·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，经过、两点的抛物线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的函数关系式； (2)求抛物线的函数关系式； (3)如图2，点为第一象限内抛物线上一点，作于点，设的长为，点的横坐标为，求的最大值，及取得最大值时点的坐标． 12．（2026·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中． (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)当时，求的长； (3)若对于，都有，求a的取值范围． 13．（2026·安徽铜陵·一模）某工厂的产品传送带的形状可近似看作抛物线，其解析式为，在传送带旁边有一个机械臂，机械臂端点的运动轨迹可近似看作直线，已知抛物线的顶点是传送带的最低点，机械臂端点与传送带在顶点和另一点处相遇． (1)求的值； (2)工厂为了优化传送带和机械臂的配合，对传送带进行平移改造得到新传送带，新传送带的形状对应的抛物线与轴的交点为，与轴的其中一个交点的横坐标为1，有一个监测设备在直线上移动，且分别与直线、原抛物线、新抛物线相交于点． （i）当时，若，求点、的坐标； （ii）当时，求的取值范围． 14．（22026·安徽合肥·一模）抛物线（）与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的面积； （3）若是对称轴上一定点，是抛物线上的动点，求的最小值（用含的代数式表示）． 15．（2026·安徽合肥·一模）如图，抛物线y＝x2＋2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC． (1)求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式． (2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D． ①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长． 16．（2025·安徽蚌埠·二模）已知二次函数图象的顶点是，且经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点． ①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解； ②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 17．（2026·安徽·一模）已知抛物线的对称轴在y轴左侧，若将此抛物线向上平移4个单位后，顶点刚好在x轴上． (1)求b的值； (2)当时，原函数y的最大值等于12，求m的值； (3)原抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P为第三象限内抛物线上一点，连接AC，BP交于点D．判断：是否有最大值，如有请求出最大值，如没有请说明理由． 18．（2026·安徽阜阳·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、C两点，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小，求的取值范围． (3)P为抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形且三点不共线?若存在，求出的面积；若不存在，说明理由． 19．（2026·安徽阜阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于． (1)求的值； (2)若抛物线的开口向下，与x轴的另一个交点B的横坐标为t． （i）若，求a的取值范围； （ii）已知，P、Q两点均在第一象限的抛物线上，且点P在点Q的左侧，过点P作轴于N，交于M，设P、Q的横坐标分别为、，、的面积分别为、，若，，求的值． 20．（2026·安徽蚌埠·一模）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，． (1)求的面积． (2)点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为a． ①当抛物线上P，C两点之间的部分（含点P，C）的高度（最高点与最低点的纵坐标之差）为10时，求点P的坐标． ②当点P位于第四象限时，过点P分别作于点E，轴于点F，当取得最大值时，求a的值． 21．（2026·安徽·一模）已知抛物线（a，b为常数，其中）． (1)求证：抛物线与轴必有交点． (2)点在抛物线上，点在抛物线上．当时，是一个与无关的定值． （i）求的值． （ii）若点是经由点向右平移个单位，向上平移个单位得到，且满足，求的最小值． 22．（2026·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． (1)若“友好二次函数”的图象与直线的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； (2)若二次函数是“友好二次函数”，点，，抛物线的对称轴与交于点； ①当时，点在线段上，设点的横坐标为，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 23．（2026·安徽合肥·一模）如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作轴交直线l于点C，以为直径作，当与y轴相切时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $