专题08 解直角三角形实际应用（复习讲义）（安徽专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题08解直角三角形实际应用 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 ►题型01 仰角俯角问题 ►题型02 方位角问题 ►题型03 坡度坡比问题 ►题型04 解直角三角形的其他问题 必备知识 知识1 统计 知识2 概率 命题预测 命题 透视 命题形式：解直角三角形在安徽中考中每年以解答题形式出现，位置稳定在第19~20题左右，属于中档题，是实际应用题的主力题型，必须确保不丢分。 命题内容： 安徽中考对解直角三角形的考查始终坚持 “实际情境+三角函数+方程求解” 的模型，几乎每年都是这样一套组合拳。题目会明确提供参考数据（如sin37°≈0.60等），计算器使用不再成为障碍。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 解直角三角形 T17：仰角、俯角、正切、方程思想 T19：仰角、正切、方程思想 T19：仰角、俯角、正切、方程思想面积综合 T20：方向角、正切、方程思想 T17：坡度、勾股定理、三角函数 命题预测 1. 考情预测 必考无疑：解直角三角形每年必考，分值稳定在 8~10分，解答题位置约在第19题左右。 题型稳定：以实际应用为主，背景可能是测量高度、测量距离、坡度问题或物理情境。 难度中等：通常设1~2问，第1问往往需要构建直角三角形，第2问设未知数列方程求解。 背景预测： 仰俯角测量（如无人机测楼高、测山高）仍是首选； 方向角问题（如海上航行、河对岸距离）可能回归； 坡度问题（如斜坡、堤坝）偶有出现； 物理背景（如折射、投影）可能延续创新。 计算要求：会提供参考数据，但计算过程仍需仔细，最后按要求精确到指定小数位数。 2. 备考建议 每日一题：坚持每天做一道解直角三角形的应用题，保持手感。 模型分类：按仰俯角、方向角、坡度分类训练，总结各类题型的解题通法。 真题精做：近五年安徽中考真题必须反复做，每道题都要能复述完整解题过程 仰角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角。 俯角：视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角。 解题步骤 根据题意画出示意图，标注已知角度和长度。 确定直角三角形：通常过观测点作水平线，构造包含仰角或俯角的直角三角形。 选择合适的三角函数（正弦、余弦、正切）建立方程。 解直角三角形，求出未知量。 常见模型 单点观测：一个观测点看一个目标（如测楼高）。 两点观测：在两个不同位置观测同一目标（常需设未知数列方程）。 涉及两个观测点的高度差时，需作水平线，将仰角、俯角转化为直角三角形中的角。 混淆仰角与俯角：把向上的角当成俯角，向下的角当成仰角。 忽视水平线的作用：未过观测点作水平线，导致角度位置放错。 示意图标注错误：角度标错位置，或未明确哪条边是已知的。 计算时单位不统一：如高度用米，距离用千米，未换算。 多步计算时中间结果保留不当：过早四舍五入导致最终误差过大。 忽略实际背景中的近似要求：如题目要求精确到0.1米，最后结果未按要求取近似 题型01仰角俯角问题 1． （2025·安徽·中考真题）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气 氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为，测得点D的仰角为．已知，求的长（精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作，垂足为点E，则四边形为矩形，可得，解求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：过点A作，垂足为点E． ∵线段和都与地面垂直， ∴四边形为矩形， ∴． 在中，， ∴． 在中，， ． 答：的长为． 2．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 3．（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求． 【详解】解：如解图，延长交于点，则， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 河宽约为． 4．（2025·四川·中考真题）为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 【制作仪器】 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．    【测量高度】 小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）    【答案】树的高度为16.5 米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． 由题意得，，，解求出，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，，，， 在中，， ∴， ∴ 答：树的高度为16.5 米． 题型02 方位角问题 方法点拨 概念理解 方位角：从正北方向顺时针（或按指定方向）转到目标方向线的水平角。常用“北偏东30°”“南偏西45°”等形式表示。 解题步骤 根据方位角描述画出方位图，通常以观测点为原点，建立方向坐标（上北下南，左西右东）。 将方位角转化为直角三角形中的锐角，注意在哪个三角形中使用。 构造直角三角形：常需作垂线，将斜三角形转化为直角三角形。 利用三角函数或勾股定理求解。 常见模型 已知两点的方位角和距离，求另一位置（如海上航行、飞机航线）。 涉及两个观测点的方位角，求距离或高度（常需解两个直角三角形）。 动态问题：如轮船航行中改变方向，求到达时间等。 易错点总结 方向混淆：北偏东30°与东偏北30°混淆；南偏西与北偏西方向颠倒。 画图时方向坐标错误：未按“上北下南”画图，导致角度关系错乱。 未将方位角正确转化为直角三角形的内角：如“北偏东30°”在直角三角形中对应哪个角，需仔细分析。 忽略正北方向的一致性：多个观测点使用不同正北方向时，需统一参照。 计算时三角函数用错：如用正弦求邻边，余弦求对边。 航行问题中忽略速度、时间与距离的对应：未正确建立行程与距离的关系。 1.（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 2．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 【答案】 【分析】延长，交点为，过点作于点，过作交于点．设，根据题意可得，解方程得出答案． 【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点． 由题意得，，，， ，之间的距离为，在的中点处， ， ∵中，， ，， ，为中点， ∴， 为的中点， 即，， 设， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴, , ， ， 解得， 答：甲航行的距离约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键． 3．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）由题意可得，．从而得出，根据即可求解． （2）根据，得出．由（1）得．则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出．再根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可得，． ． ． （2）解：， ． 由（1）得． ． 又， ． 在中，，， ， ． ． ， ． ． ∴景点C与景点D之间的距离为． 4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离； (2)求． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据作辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，证明，得出，结合，，求出，再在中利用三角函数即可求解； （2）在中，利用三角函数求出，利用，得出，则可求出，再在中利用三角函数即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 得：， 在中，由， 得． 答：岛与港口之间的距离为； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，． 题型03 坡度坡比问题 概念理解 坡度（坡比）：坡面的铅直高度 hh 与水平宽度 ll 的比，记作 i=h:li=h:l，常写作 i=hli=lh​。 坡角：坡面与水平面的夹角 αα，满足 tan⁡α=itanα=i。 解题步骤 根据坡度定义，将坡度转化为坡角的正切值。 画出坡面示意图，标注铅直高度、水平宽度、坡面长度。 利用勾股定理或三角函数求解。 常见模型 已知坡度与水平距离（或铅直高度），求坡长或另一量。 已知坡长和坡度，求铅直高度与水平距离。 多个坡面组合（如梯形、三角形）求面积或体积。 修路、筑坝等实际问题。 坡度与坡角混淆：坡度是比值，坡角是角度，二者通过正切联系，但不等同。 坡度的表示形式理解错误：如 i=1:3​ 误以为坡角是30°（实际 i=13，tanα=3​，α=30°）。 铅直高度与水平宽度对应错误：在直角三角形中，铅直高度是坡角对边，水平宽度是邻边。 计算时未将坡度化为最简比：直接用比例值列方程时出错。 多个坡面组合时忽略衔接点的高度关系：如堤坝横截面中，上底、下底与坡面高度需正确对应。 实际应用中忽略单位：如坡度1:2表示高度与水平距离之比，但实际长度单位需统一。 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是________． 【答案】/米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记勾股定理是解题的关键． 根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵坡的斜坡坡度， ∴，而， 即， 解得，， 经检验符合题意， 由勾股定理得，（米）， 故答案为：． 3.（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 【答案】(1)10米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质． （1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中，， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． （2）解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 题型04 解直角三角形的其他问题 题型范围：包括但不限于： 测量问题（如测量河宽、塔高）。 物体影子问题（利用太阳光线平行）。 动态几何中的解直角三角形（如点运动到特定位置）。 与圆、四边形结合的问题。 方程思想：设未知数，利用勾股定理或三角函数列方程求解。 解题策略 准确画出几何图形，将实际问题转化为数学模型。 识别可解的直角三角形，必要时作辅助线（高、垂线、平行线）。 灵活运用三角函数、勾股定理、相似三角形等知识。 对于非直角三角形，通常通过作高将其分解为两个直角三角形。 常用技巧 设未知数：当图形中有多个未知量时，选择合适的未知数，利用等量关系列方程。 双直角三角形模型：已知公共边或与公共角的关系，设未知数解两个三角形。 化归思想：将复杂图形通过切割、补形转化为基本图形。 作辅助线不当：作的高不能同时为两个直角三角形服务，或垂足不在合适位置。 未正确选择三角函数：在已知一边一角求另一边时，混淆正弦、余弦、正切的适用条件。 忽略勾股定理与三角函数的综合运用：只使用三角函数，忽略直角三角形的边长关系。 方程列错：等量关系找不准，或方程两边单位不一致。 多解情况遗漏：如已知两边，求第三边时可能有两个解（但实际中常只有一解符合）。 结果未按要求取近似或化简：如根号未化简，或未保留指定精度。 实际背景中的合理性验证：如求出的高度为负数或超出合理范围，需舍去。 1．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    【答案】（1）； （2），不会影响一楼的采光 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1） 根据正切的定义求出； （2）延长交延长线于点F，先根据正切的定义和的长求出，进一步求出，再使用一次正切的定义求出，根据结果进行判断即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， 在Rt中，，，， ∵， ∴， ∴楼房的高度为； （2）如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴ 在Rt中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在Rt中， ∵一楼窗户下端距离地面的高度为， ∴不会影响一楼的采光． 2．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）可以，的最小值为． 【分析】本题主要考查实际情景中的数学问题，涉及解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构建直角三角形进行求解． （1）①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直接三角形求解； （2）延长交于点，先求出相关角，再利用，接着可得，延长交于点，过作交于，为保证头部不被淋湿，即，建立不等式求解即可； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时的值，再判断此时头部是否被淋湿即可． 【详解】解：（1）①由题意知，米，米， 米， 即点到地面的距离是米， 故答案为：； ②米，点为中点， 米， ， ， ， ， 在中，米， 米， 故答案为：； （2）如图，延长交于点， 则， 米， ， ， ， ， 在中，米， ， 即， 延长交于点，过作交于， 则（米），，， 为使头部不被淋湿， 所以， 解得，又， 所以； ； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，如图， 延长交于点，过作交于， 延长交于，过作交于， 则，，， ， 所以在中，，， 在中，， 所以， 在中，， 又， 所以此时头部不会被淋湿， 综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，的最小值为． 3．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 【答案】(1)米 (2) (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米），即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴（米）； （2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米） ∵涉及安全问题， ∴（米）． 4．（2025·甘肃兰州·中考真题）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得和的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作于点H，连接，． 数据 万千米，，． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离．（结果精确到1万千米） （参考数据：，，，，，） 【答案】月球与地球之间的近似距离万千米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设万千米．在和中，分别用表示和的长，再根据万千米，列式计算即可求解． 【详解】解：设万千米． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵万千米， ∴， 整理得， 解得， ∴月球与地球之间的近似距离为38万千米． 知识1 坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识2.俯角、仰角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识3.方向角 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 一、单选题 1．（2025·安徽合肥·三模）如图，在Rt中，，点在边上，若，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，由得，由勾股定理得，根据即可作答． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·安徽合肥·二模）在中，，点D为边上一动点，以为边作等边，点C与点E位于的同一侧，连接，则线段长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，直角三角形的性质等等，取的中点M，连接，则由直角三角形的性质可得，由三角形内角和定理可得，解直角三角形可得，据此证明为等边三角形，得到，进一步证明，得到，则当时，有最小值，即此时有最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点M，连接． ， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， 此时在中，， ∴的最小值为， 故选：A． 3．（2025·安徽亳州·一模）如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识，熟悉三角函数的定义并灵活运用是关键． 过点A作于点D，在中利用三角函数分别求得，在中由余弦函数值，设，由勾股定理得，从而求得x的值，即可求得，则． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 设， 由勾股定理得， ∴， 解得： ∴， ∴． 故选：B． 4．（2025·安徽池州·模拟预测）在中，，点为边的中点，连接．点为边上一点，满足．连接交于点，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据点为边的中点，设，则，如图2，作于点，则，故，作交于点，交的延长线于点，证明，由，解得，根据，得，，再运用，得，，即，故，即可作答． 【详解】解：如图1， ∵点为边的中点， 设， ∵ 则，排除C选项； 如图2，作于点， ∴是等腰直角三角形， ∴ 则， 故，排除D选项； 如图3，作交于点，交的延长线于点 ∴， ∴， ∴， ∵， ， 由， 则， 解得， ， ， ， 则，排除B选项 如图3， ， ， 故选：A 5．（2025·安徽合肥·二模）正方形的边长为，点、分别在边、上，将正方形沿折叠，使点落在边上的处（点不与点、点重合），点落在处，交于．连接、交对角线于、点现有以下结论：平分；；当点为中点时，；．上述结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正确，利用平行线的性质以及翻折的性质证明即可． 正确，过点作于点证明，推出，，可得，可得结论； 正确，设，则，构建方程求出，可得结论，由即可求解正切值； 正确，证明是等腰直角三角形可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点． 四边形是正方形， ，，， ， 由翻折变换的性质可知， ， 平分，故正确； ，， ， ，， ∴， ，， ，故正确； 垂直平分线段， ， ， 是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：，故正确； 为中点，正方形的边长为， ，， 正方形沿折叠， ， 设，则， 在中， ， 解得：， ，， ， 由折叠得， ∴， ∴， ，故错误． 故选：B． 【点睛】考查了正方形的性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键． 6．（2025·安徽淮北·三模）如图，在四边形中，，，，动点，Q同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒4个单位长度沿线段向终点运动，直到两个点都到达终点才停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与的函数关系的图象是（　　）     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．分当时，点在上，当时，点在上，当时，点在上，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ∴． 分三种情况： （1）如图1，当时，点在上，过点作于点， 则， ， ， ， ， 函数图象是开口向上的抛物线位于轴右侧的一部分； （2）如图2，当时，点在上， ， 函数图象是平行x轴的直线的一部分； （3）如图3，当时，点在上，过点作于点， 则， ， ， ， ， 函数图象是一条直线的一部分； 只有选项C的图象符合条件． 故选：C． 二、填空题 7．（2025·安徽亳州·模拟预测）在锐角中，，若，则_____． 【答案】2 【分析】该题考查了解直角三角形和勾股定理，过点作，则，得出，勾股定理求出，，得出，结合，即可求出． 【详解】解：如图，过点作， 则， 解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 8．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，入射光线与轴正方向的夹角为，且，则的值是______． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，图形与坐标，过点作轴，则，解直角三角形得点的坐标为，点关于直线对称的点的坐标为，进而求得直线的解析式为，代入的坐标及可求解，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作轴，则， ，，则，， ∴, ， 点的坐标为，点关于直线对称的点的坐标为， 设直线的解析式为，代入，， 得，解得： 直线的解析式为， 代入的坐标可得， ， ． 故答案为：． 9．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，，，则的长为_____．    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键，过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用勾股定理求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，    在中，， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 10．（2025·安徽滁州·二模）如图，在四边形中，，点E在上，且， （1）若，则______（用含的式子表示）. （2）若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形． （1）过点E作于点F，过点C作，交的延长线于点G，根据得，再根据，得，由此即可得出答案； （2）设，，，由勾股定理得，设，根据平行线分线段成比例定理得，则，进而得，证明和相似得，则，然后在中，根据正切函数的定义即可得出的值． 【详解】解：（1）过点E作于点F，过点C作，交的延长线于点G，如图所示： ，， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）， 设，，， 在中，由勾股定理得：， ， 设， ，，， ， 根据平行线分线段成比例定理得：， ， ， ， ，， ， 由（1）可知：， ∽， ， ， ， 在中，. 三、解答题 11．（2025·安徽·模拟预测）如图是合肥某商场的扶梯示意图．已知为，为，，求长（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，分别解和，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， 在中，， ． 故的长为 12．（2025·安徽淮南·二模）某铁路路基的横断面是四边形，其中，路基顶宽，路基底宽，斜坡的坡度，斜坡的坡度，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡进行加固，使得改造后的坡角（）减小，求改造后的路基底宽长．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题．分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G．设，则，根据的坡度， 可得，，，从而得到．在中，利用锐角三角函数解答即可． 【详解】解：分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G． 由题意知，． 的坡度， ， 可设，则． 的坡度， ，，， ，解得， ． 在中，， ． 答：改造后的路基底宽长约为． 13．（2025·安徽马鞍山·三模）学生深入工厂劳动实践，要利用一块三角形钢板余料加工出一块矩形零件，如图，点，分别在，边上，在边上，，，，，求矩形零件的长和宽（参考数据：，，，，）． 【答案】矩形零件的长为，宽为 【分析】本题考查了锐角三角函数的实际应用，熟练掌握在直角三角形中（正弦，对边比斜边）、（余弦，邻边比斜边）和（正切，对边比邻边）的定义，在中利用的长度，结合余弦值，可以求出的长，即矩形的宽，其次，作辅助线，且垂足为点，构造和，利用的长，结合正弦值和正切值，可以分别得到与的长度，即矩形的长． 【详解】解：过点A作于H， 在中，， ， ， 四边形为矩形， ， ，， ，， 在中，，，， ，， 在中，， ，， ． 矩形零件的长和宽分别约为和． 【点睛】本题的关键是作辅助线于点，在和中，利用长度和锐角三角函数正弦值与正切值，导出和的长度，即可得出矩形的长． 14．（2025·安徽·模拟预测）小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度．在居民楼前方有一斜坡，坡长米，斜坡的坡比，小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为，求楼高．（点A，B，C，D在同一平面内，结果精确到， 【答案】居民楼的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，设，则，在中，由勾股定理求得，求得，据此得出，过点作，垂足为，根据题意可得：，然后设，则，分别在 和中，利用锐角三角函数定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵斜坡的坡比， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得：， ， 过点作，垂足为， 由题意得：， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ∴居民楼的高度约为． 15．（2025·安徽·模拟预测）百年蚌埠，美誉珠城，缘起于古采珠之地．如图1，蚌埠市张公山南门前“珍珠女”巨型雕塑的设计就是借鉴了蚌埠“珍珠城”的美称．珍珠女为汉白玉加工而成，双手捧持珍珠，站在形似水浪的底盘上，动态优美，充满青春气息．身高米的小明同学，想测量珍珠顶的总高度，站在B点仰头正好平视到珍珠顶，向前走了米后，站在C点仰头正好平视到珍珠顶．帮小明算算珍珠女雕塑的总高度大约是多少（精确到米）．（参考数据：） 【答案】米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．设珍珠顶为点M，小明站在C点处头顶为点D，过点A作交于点E，则，且点D在上，设米，分别在和中，用x表示出的长，再由，求出x的值即可． 【详解】如图，设珍珠顶为点M，小明站在C点处头顶为点D，过点A作交于点E，则，且点D在上， 由题意可知米，米，， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∵， ∴， 解得：， ∴总高度米， 答：珍珠女雕塑的总高度大约是米． 16．（2025·安徽滁州·二模）如图，在一次户外探险活动中，探险队在基地A处的正东方向设置了两个相距的补给点B，C．一支探险小队从基地A处出发，沿北偏东方向行进至D处，此时在补给点B，C处分别测得，．求探险小队行进的距离．（结果取整数，参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作，垂足为，通过解和得和，根据求得，再解求得即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 因此，探险小队行进的距离为． 17．（2025·安徽亳州·一模）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，点O，C在同一水平线上，无人机从点O竖直上升到点A，在点A测得点C的俯角为，A，C两点的距离为． (1)求无人机从点O到点A的上升高度；（结果精确到） (2)若无人机从点A处继续竖直上升到达点B处，求B，C两点之间的距离．（结果精确到）（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了与俯角、仰角有关的解直角三角形的应用及勾股定理的应用，理解题意，正确求解是解题的关键； （1）由正弦函数关系即可求解； （2）在中，由勾股定理求得，在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，且， ∴， 答：无人机从点O到点A的上升高度为； （2）解：在中，由勾股定理得： ， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 答：B，C两点之间的距离为． 18．（2025·安徽淮南·一模）下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量合肥渡江战役纪念馆胜利塔高度”之后撰写的项目报告． 项目主题 测量合肥渡江战役纪念馆胜利塔高度 项目背景 合肥渡江战役纪念馆胜利塔作为重要的红色文化地标，其高度是一项关键数据．为了让大众更深入地了解胜利塔，某中学数学兴趣小组开展了测量胜利塔高度的实践活动 测量工具 测角仪 测量示意图      测量过程 1．在距离胜利塔底部一定距离的地面C处放置测角仪，测角仪高度为，测得胜利塔顶部A的仰角为 2．在与C处水平距离为的地面E处放置另一测角仪，测角仪EF高度同样为，测得胜利塔顶部A的仰角为 请根据表中的测量数据，计算胜利塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】胜利塔的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点D、F分别作的垂线，垂足分别为G、H，则四边形和四边形都是矩形，则可得到，即点G与点H重合，再解和求出的长，最后根据建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D、F分别作的垂线，垂足分别为G、H，则四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴，即点G与点H重合， 设， 在中，，则， 在中，，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：胜利塔的高度约为． 2 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08解直角三角形实际应用 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 ►题型01 仰角俯角问题 ►题型02 方位角问题 ►题型03 坡度坡比问题 ►题型04 解直角三角形的其他问题 必备知识 知识1 统计 知识2 概率 命题预测 命题 透视 命题形式：解直角三角形在安徽中考中每年以解答题形式出现，位置稳定在第19~20题左右，属于中档题，是实际应用题的主力题型，必须确保不丢分。 命题内容： 安徽中考对解直角三角形的考查始终坚持 “实际情境+三角函数+方程求解” 的模型，几乎每年都是这样一套组合拳。题目会明确提供参考数据（如sin37°≈0.60等），计算器使用不再成为障碍。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 解直角三角形 T17：仰角、俯角、正切、方程思想 T19：仰角、正切、方程思想 T19：仰角、俯角、正切、方程思想面积综合 T20：方向角、正切、方程思想 T17：坡度、勾股定理、三角函数 命题预测 1. 考情预测 必考无疑：解直角三角形每年必考，分值稳定在 8~10分，解答题位置约在第19题左右。 题型稳定：以实际应用为主，背景可能是测量高度、测量距离、坡度问题或物理情境。 难度中等：通常设1~2问，第1问往往需要构建直角三角形，第2问设未知数列方程求解。 背景预测： 仰俯角测量（如无人机测楼高、测山高）仍是首选； 方向角问题（如海上航行、河对岸距离）可能回归； 坡度问题（如斜坡、堤坝）偶有出现； 物理背景（如折射、投影）可能延续创新。 计算要求：会提供参考数据，但计算过程仍需仔细，最后按要求精确到指定小数位数。 2. 备考建议 每日一题：坚持每天做一道解直角三角形的应用题，保持手感。 模型分类：按仰俯角、方向角、坡度分类训练，总结各类题型的解题通法。 真题精做：近五年安徽中考真题必须反复做，每道题都要能复述完整解题过程 仰角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角。 俯角：视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角。 解题步骤 根据题意画出示意图，标注已知角度和长度。 确定直角三角形：通常过观测点作水平线，构造包含仰角或俯角的直角三角形。 选择合适的三角函数（正弦、余弦、正切）建立方程。 解直角三角形，求出未知量。 常见模型 单点观测：一个观测点看一个目标（如测楼高）。 两点观测：在两个不同位置观测同一目标（常需设未知数列方程）。 涉及两个观测点的高度差时，需作水平线，将仰角、俯角转化为直角三角形中的角。 混淆仰角与俯角：把向上的角当成俯角，向下的角当成仰角。 忽视水平线的作用：未过观测点作水平线，导致角度位置放错。 示意图标注错误：角度标错位置，或未明确哪条边是已知的。 计算时单位不统一：如高度用米，距离用千米，未换算。 多步计算时中间结果保留不当：过早四舍五入导致最终误差过大。 忽略实际背景中的近似要求：如题目要求精确到0.1米，最后结果未按要求取近似 题型01仰角俯角问题 1． （2025·安徽·中考真题）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气 氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为，测得点D的仰角为．已知，求的长（精确到）．参考数据：，，，，，． 2．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 3．（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，） 4．（2025·四川·中考真题）为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 【制作仪器】 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．    【测量高度】 小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）    题型02 方位角问题 方法点拨 概念理解 方位角：从正北方向顺时针（或按指定方向）转到目标方向线的水平角。常用“北偏东30°”“南偏西45°”等形式表示。 解题步骤 根据方位角描述画出方位图，通常以观测点为原点，建立方向坐标（上北下南，左西右东）。 将方位角转化为直角三角形中的锐角，注意在哪个三角形中使用。 构造直角三角形：常需作垂线，将斜三角形转化为直角三角形。 利用三角函数或勾股定理求解。 常见模型 已知两点的方位角和距离，求另一位置（如海上航行、飞机航线）。 涉及两个观测点的方位角，求距离或高度（常需解两个直角三角形）。 动态问题：如轮船航行中改变方向，求到达时间等。 易错点总结 方向混淆：北偏东30°与东偏北30°混淆；南偏西与北偏西方向颠倒。 画图时方向坐标错误：未按“上北下南”画图，导致角度关系错乱。 未将方位角正确转化为直角三角形的内角：如“北偏东30°”在直角三角形中对应哪个角，需仔细分析。 忽略正北方向的一致性：多个观测点使用不同正北方向时，需统一参照。 计算时三角函数用错：如用正弦求邻边，余弦求对边。 航行问题中忽略速度、时间与距离的对应：未正确建立行程与距离的关系。 1.（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 2．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 3．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离； (2)求． （参考数据：，，） 题型03 坡度坡比问题 概念理解 坡度（坡比）：坡面的铅直高度 hh 与水平宽度 ll 的比，记作 i=h:li=h:l，常写作 i=hli=lh​。 坡角：坡面与水平面的夹角 αα，满足 tan⁡α=itanα=i。 解题步骤 根据坡度定义，将坡度转化为坡角的正切值。 画出坡面示意图，标注铅直高度、水平宽度、坡面长度。 利用勾股定理或三角函数求解。 常见模型 已知坡度与水平距离（或铅直高度），求坡长或另一量。 已知坡长和坡度，求铅直高度与水平距离。 多个坡面组合（如梯形、三角形）求面积或体积。 修路、筑坝等实际问题。 坡度与坡角混淆：坡度是比值，坡角是角度，二者通过正切联系，但不等同。 坡度的表示形式理解错误：如 i=1:3​ 误以为坡角是30°（实际 i=13，tanα=3​，α=30°）。 铅直高度与水平宽度对应错误：在直角三角形中，铅直高度是坡角对边，水平宽度是邻边。 计算时未将坡度化为最简比：直接用比例值列方程时出错。 多个坡面组合时忽略衔接点的高度关系：如堤坝横截面中，上底、下底与坡面高度需正确对应。 实际应用中忽略单位：如坡度1:2表示高度与水平距离之比，但实际长度单位需统一。 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是________． 3.（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 题型04 解直角三角形的其他问题 题型范围：包括但不限于： 测量问题（如测量河宽、塔高）。 物体影子问题（利用太阳光线平行）。 动态几何中的解直角三角形（如点运动到特定位置）。 与圆、四边形结合的问题。 方程思想：设未知数，利用勾股定理或三角函数列方程求解。 解题策略 准确画出几何图形，将实际问题转化为数学模型。 识别可解的直角三角形，必要时作辅助线（高、垂线、平行线）。 灵活运用三角函数、勾股定理、相似三角形等知识。 对于非直角三角形，通常通过作高将其分解为两个直角三角形。 常用技巧 设未知数：当图形中有多个未知量时，选择合适的未知数，利用等量关系列方程。 双直角三角形模型：已知公共边或与公共角的关系，设未知数解两个三角形。 化归思想：将复杂图形通过切割、补形转化为基本图形。 作辅助线不当：作的高不能同时为两个直角三角形服务，或垂足不在合适位置。 未正确选择三角函数：在已知一边一角求另一边时，混淆正弦、余弦、正切的适用条件。 忽略勾股定理与三角函数的综合运用：只使用三角函数，忽略直角三角形的边长关系。 方程列错：等量关系找不准，或方程两边单位不一致。 多解情况遗漏：如已知两边，求第三边时可能有两个解（但实际中常只有一解符合）。 结果未按要求取近似或化简：如根号未化简，或未保留指定精度。 实际背景中的合理性验证：如求出的高度为负数或超出合理范围，需舍去。 1．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    2．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 3．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 4．（2025·甘肃兰州·中考真题）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得和的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作于点H，连接，． 数据 万千米，，． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离．（结果精确到1万千米） （参考数据：，，，，，） 知识1 坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识2.俯角、仰角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识3.方向角 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 一、单选题 1．（2025·安徽合肥·三模）如图，在Rt中，，点在边上，若，，则为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·二模）在中，，点D为边上一动点，以为边作等边，点C与点E位于的同一侧，连接，则线段长的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽亳州·一模）如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽池州·模拟预测）在中，，点为边的中点，连接．点为边上一点，满足．连接交于点，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·二模）正方形的边长为，点、分别在边、上，将正方形沿折叠，使点落在边上的处（点不与点、点重合），点落在处，交于．连接、交对角线于、点现有以下结论：平分；；当点为中点时，；．上述结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽淮北·三模）如图，在四边形中，，，，动点，Q同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒4个单位长度沿线段向终点运动，直到两个点都到达终点才停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与的函数关系的图象是（　　）     A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·安徽亳州·模拟预测）在锐角中，，若，则_____． 8．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，入射光线与轴正方向的夹角为，且，则的值是______． 9．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，，，则的长为_____．    10．（2025·安徽滁州·二模）如图，在四边形中，，点E在上，且， （1）若，则______（用含的式子表示）. （2）若，则的值为______． 三、解答题 11．（2025·安徽·模拟预测）如图是合肥某商场的扶梯示意图．已知为，为，，求长（结果精确到，参考数据：，，） 12．（2025·安徽淮南·二模）某铁路路基的横断面是四边形，其中，路基顶宽，路基底宽，斜坡的坡度，斜坡的坡度，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡进行加固，使得改造后的坡角（）减小，求改造后的路基底宽长．（参考数据：，，） 13．（2025·安徽马鞍山·三模）学生深入工厂劳动实践，要利用一块三角形钢板余料加工出一块矩形零件，如图，点，分别在，边上，在边上，，，，，求矩形零件的长和宽（参考数据：，，，，）． 14．（2025·安徽·模拟预测）小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度．在居民楼前方有一斜坡，坡长米，斜坡的坡比，小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为，求楼高．（点A，B，C，D在同一平面内，结果精确到， 15．（2025·安徽·模拟预测）百年蚌埠，美誉珠城，缘起于古采珠之地．如图1，蚌埠市张公山南门前“珍珠女”巨型雕塑的设计就是借鉴了蚌埠“珍珠城”的美称．珍珠女为汉白玉加工而成，双手捧持珍珠，站在形似水浪的底盘上，动态优美，充满青春气息．身高米的小明同学，想测量珍珠顶的总高度，站在B点仰头正好平视到珍珠顶，向前走了米后，站在C点仰头正好平视到珍珠顶．帮小明算算珍珠女雕塑的总高度大约是多少（精确到米）．（参考数据：） 16．（2025·安徽滁州·二模）如图，在一次户外探险活动中，探险队在基地A处的正东方向设置了两个相距的补给点B，C．一支探险小队从基地A处出发，沿北偏东方向行进至D处，此时在补给点B，C处分别测得，．求探险小队行进的距离．（结果取整数，参考数据：，，，，，） 17．（2025·安徽亳州·一模）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，点O，C在同一水平线上，无人机从点O竖直上升到点A，在点A测得点C的俯角为，A，C两点的距离为． (1)求无人机从点O到点A的上升高度；（结果精确到） (2)若无人机从点A处继续竖直上升到达点B处，求B，C两点之间的距离．（结果精确到）（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，） 18．（2025·安徽淮南·一模）下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量合肥渡江战役纪念馆胜利塔高度”之后撰写的项目报告． 项目主题 测量合肥渡江战役纪念馆胜利塔高度 项目背景 合肥渡江战役纪念馆胜利塔作为重要的红色文化地标，其高度是一项关键数据．为了让大众更深入地了解胜利塔，某中学数学兴趣小组开展了测量胜利塔高度的实践活动 测量工具 测角仪 测量示意图      测量过程 1．在距离胜利塔底部一定距离的地面C处放置测角仪，测角仪高度为，测得胜利塔顶部A的仰角为 2．在与C处水平距离为的地面E处放置另一测角仪，测角仪EF高度同样为，测得胜利塔顶部A的仰角为 请根据表中的测量数据，计算胜利塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $