7.3.5 已知三角函数值求角 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

1．若α是三角形内角，且sin α＝，则α＝(　　) A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 解析：选B.因为sin 30°＝，sin 150°＝sin (180°－30°)＝sin 30°＝，所以α＝30°或150°. 2．方程cos x＝a(|a|≤1)在[0，2π]上有(　　) A．一解　　　　　　　 B．两解 C．三解 D．一解或两解 解析：选D.当a＝1时，方程有两解；当a＝－1时，方程有一解；当|a|<1时，方程有两解．故选D. 3．已知tan x＝，则x的取值集合为(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C． D．(k∈Z) 解析：选D.由tan x＝，得x＝kπ＋，k∈Z，即x的取值集合为(k∈Z).故选D. 4．使不等式－2sin x≥0成立的x的取值集合是(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由－2sin x≥0解得sin x≤，进一步利用单位圆解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，故选C. 5．(多选)若sin x＝(x∈[0，2π))，则x＝(　　) A．arcsin B．π－arcsin C． D． 解析：选AB.因为sin x＝(x∈[0，2π))， 所以x＝arcsin 或x＝π－arcsin ， 所以方程的解集为. 6．(多选)设sin θ，cos θ是方程4x2－4mx＋2m－1＝0的两个根，<θ<2π，则(　　) A．m＝ B．m＝ C．θ＝ D．θ＝ 解析：选BC.因为Δ＝16m2－16(2m－1)＝16(m－1)2≥0， 所以由根与系数的关系， 得 ②代入①的平方，得1＋2×＝m2， 解得m＝或m＝. 因为<θ<2π，所以sin θcos θ<0， 即<0， 所以m<，故m＝， 则原方程变为4x2－2(1－)x－＝0， 解得x1＝，x2＝－， 由<θ<2π，可知sin θ<0，cos θ>0， 所以cos θ＝，sin θ＝－，所以θ＝. 7．若tan α＝，且α∈，则α＝ ． 解析：因为tan ＝，又α∈， 所以α＝π＋＝. 答案： 8．已知cos x＝－，当x∈R时，则x＝ ． 解析：因为cos x＝－，则x是第二、三象限角． 当x∈时，x＝；当x∈时，x＝. 因此x＝2kπ＋，k∈Z或x＝2kπ＋，k∈Z. 因为的终边与－的终边重合， 所以x＝2kπ±(k∈Z). 答案：2kπ±(k∈Z) 9．若集合M＝，N＝，则M∩N＝ ． 解析：首先作出正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的图象，以及直线y＝，如图1，2所示． 结合图象可得集合M， N分别为M＝， N＝，则M∩N＝. 答案： 10．(13分)已知sin x＝. (1)当x∈时，求x的取值集合；(4分) (2)当x∈[0，2π]时，求x的取值集合；(4分) (3)当x∈R时，求x的取值集合．(5分) 解：(1)因为y＝sin x在上单调递增， 且sin ＝. 所以满足条件的角只有x＝. 所以x的取值集合为. (2)因为sin x＝>0， 所以x为第一或第二象限角且 sin ＝sin ＝. 所以在[0，2π]上符合条件的角有x＝或x＝. 所以x的取值集合为. (3)当x∈R时，x的取值集合为 . 11．函数y＝arctan －的值域是(　　) A．　　　　　 B． C． D． 解析：选B.因为≥0，所以arctan ∈， 所以arctan －∈，故选B. 12．在△ABC中，sin －cos ＝0，则A＝(　　) A． B． C．或 D．或 解析：选D.sin ＝cos ， 若cos ＝0，则sin ＝0， 与sin2＋cos2＝1矛盾， 所以cos≠0，所以tan ＝1， 所以2A－＝＋kπ，k∈Z， 所以A＝＋，k∈Z， 又A∈(0，π)，所以A＝或A＝. 13．方程cos 2x＝0在区间[0，100]内的解的个数是 . 解析：因为cos 2x＝0，所以2x＝＋kπ(k∈Z)， 所以x＝＋(k∈Z)， 因为x∈[0，100]，所以k＝0，1，2，…，63， 因此所有解的个数是64. 答案：64 14．(13分)已知sin (π－x)－cos (π＋x)＝，x是第二象限角．求： (1)sin x，cos x的值；(6分) (2)x的取值集合．(7分) 解：sin (π－x)－cos (π＋x)＝sin x＋cos x＝， 且x为第二象限角． (1)因为sin x＋cos x＝，① 所以①两边平方得sin x cos x＝－.② 因为x为第二象限角， 由①②解得sin x＝，cos x＝－. (2)由(1)得，当x∈时，x＝. 若x∈R，则x＝2kπ＋(k∈Z). 所以x的取值集合为. 15．(15分)已知θ为锐角，在以下三个条件中任选一个，并解答以下问题． ①＝； ②2sin2θ－cosθ－1＝0； ③·sin ·cos ＝. (1)若选 (填序号)，求θ的值；(4分) (2)在(1)的条件下，求函数f(x)＝tan (2x＋θ)的定义域和最小正周期；(5分) (3)求(2)中满足f(x)>－1的x的取值集合．(6分) 解：(1)若选①，因为 ＝＝＝cos θ＝， 又θ为锐角，所以θ＝. 若选②，由2sin2θ－cosθ－1＝0，得2cos2θ＋cosθ－1＝0， 即(2cos θ－1)(cos θ＋1)＝0， 解得cos θ＝或cos θ＝－1， 因为θ为锐角，所以cos θ＝，即θ＝. 若选③，因为·sin ·cos ＝·(－cos θ)·(－sin θ)＝cos2θ＝， 解得cosθ＝±，又θ为锐角，所以cos θ＝，即θ＝. (2)由(1)知θ＝，则函数的解析式f(x)＝tan . 由2x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z， 所以函数f(x)的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}． 函数的最小正周期T＝. (3)由(2)知f(x)＝tan . 因为tan >－1， 所以kπ－<2x＋<kπ＋，k∈Z， 解得－<x<＋，k∈Z， 所以满足f(x)>－1的x的取值集合为 . 学科网（北京）股份有限公司 $