精品解析：四川宜宾市第二中学校2025-2026这年下学期九年级第一次诊断性考试 数学试卷

宜宾市二中2026年春期九年级第一次诊断性考试 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题,每小题4分,共40分）在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（注意：在试题卷上作答无效） 1. 6的相反数的倒数是（ ） A. ﹣ B. C. ﹣6 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数与倒数的定义求解． 【详解】解：∵6的相反数是-6，-6的倒数是-， ∴6的相反数的倒数是-， 故选：A． 【点睛】本题考查相反数、倒数的概念．只有符号不同的两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0；乘积等于1的两个数互为倒数．掌握相反数、倒数的概念是解题的关键． 2. 下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不合题意； B、是中心对称图形，是轴对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项合题意； D、是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心． 3. 已知光速为300000000米/秒，则这个速度用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：300000000用科学记数法表示为． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项及完全平方公式，运用相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A．与的指数不同，无法直接相加，故A计算错误； B．，原计算正确，符合题意； C．，原选项计算错误，故不符合题意； D．，原选项缺少项，故D错误． 故选：B． 5. 劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动．李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班名学生，收集到如下数据： 时间 人数名 关于家务劳动时间的描述正确的是（ ） A. 众数是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 方差是 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义分别计算各选项，进而判断正误． 【详解】解：、∵参加家务劳动时间为和的人数均为名，人数最多， ∴众数为和，故该选项错误，不符合题意； 、∵平均数为， ∴故该选项正确，符合题意； 、∵将个数据从小到大排列，第个数据均为， ∴中位数为，故该选项错误，不符合题意； 、∵方差为， ∴故该选项错误，不符合题意． 6. 如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，连接，根据圆内接四边形的性质，得，再得到，再根据圆周角定理即可求解，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 某班准备购买篮球和足球作为期末奖品.据了解，8个篮球和10个足球的进价共计2000元；10个篮球和20个足球的进价共计3100元.该班恰好用4500元购进篮球和足球（两种均购买），该班共有（ ）种采购方案 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设每个篮球的进价是x元，每个足球的进价是y元，根据题意，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出篮球和足球每个进价；）设采购m个篮球，n个足球，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案． 【详解】解：设每个篮球的进价是x元，每个足球的进价是y元， 依题意得：， 解得：， 则每个篮球的进价是150元，每个足球的进价是80元， 设采购m个篮球，n个足球， 依题意得：， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴或或， 答：该班共有3种采购方案． 8. 如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，连接，，，由圆内接四边形的性质可得到，，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：连接，，， 正方形内接于， ，，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故选：D． 9. 如图，已知，P为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，，，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，,通过给出的条件得出直角三角形，假设出未知量，通过勾股定理列出二次函数，求出最值即可． 【详解】解：如图，连接，， 四边形，四边形是菱形，， ，， ，分别是对角线，的中点， ，， ， 设，则，，，由勾股定理得， ， 时，有最小值，最小值为． 10. 如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点在与之间（不包括这两点），抛物线的顶点为，对称轴为直线，有以下结论：①；②若点，点是函数图象上的两点，则；③；④可以是等腰直角三角形．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：①由开口可知：a＜0， ∴对称轴x=− ＞0， ∴b＞0， 由抛物线与y轴的交点可知：c＞0， ∴abc＜0，故①错误； ②由于＜2＜，且（，y1）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y1）， ∵＜， ∴y1＜y2，故②正确， ③∵−=2， ∴b=-4a， ∵x=-1，y=0， ∴a-b+c=0， ∴c=-5a， ∵2＜c＜3， ∴2＜-5a＜3， ∴，故③正确 ④根据抛物线的对称性可知，AB=6， ∴， 假定抛物线经过（0，2），（-1，0），（5，0）， 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5)，则a=-， ∴y=-(x-2)2+ ∵＞3 ∴不可以是等腰直角三形．故④错误． 所以正确的是②③，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型． 二、填空题：（本大题共6个小题,每小题4分,共24分）.请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】分解因式时先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】 ． 12. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到且，即可求出a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴且， 解得． 13. 如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积问题，掌握割补法求阴影部分的面积，是解题的关键．连接，则，由折叠得，则是等边三角形，可求得，则，根据勾股定理求出，即可由求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，则， 由折叠得， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是_________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、为直径的圆上的弧上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、、C三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出的长即可． 【详解】解：如图所示：∵是定值，长度取最小值时，即在上时， 过点M作于点F， ∵在边长为2的菱形中，，M为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，圆外一点到圆上一点距离的最值，含角直角三角形的性质，勾股定理等，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键． 15. 已知不等式无解,则a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求解不等式组，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则解答此题即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得： ∵不等式无解, ∴ ∴． 16. 如图，正方形ABCD中，点E在AB边上且AE＝2BE．连接CE，取CE边上中点G，作GH⊥CG且CG＝GH连接CH．将△CGH绕着点C逆时针旋转得到△CG'H'．当H'恰好落在AH的延长线上时连接HG'．CG′与HH'交于F，若AH＝2，则FH＝_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设交于点，证明四点共圆，，可得，求得，，过点作于点，作关于的对称点，连接交于点，过点作于点，则四边形是正方形，设，则，勾股定理求得，，，证明，设，则，，求得，证明，则，根据即可求得答案． 【详解】如图，连接，设交于点， 四边形是正方形 ， GH⊥CG且CG＝GH 是等腰直角三角形 是CE边上中点， 是等腰直角三角形， 四点共圆 在与中 正方形ABCD中，点E在AB边上且AE＝2BE． 是等腰直角三角形 ， 如图，过点作于点，作关于的对称点，连接交于点，过点作于点，则四边形是正方形 设，则 在中， 在中， 即 解得 ， 在与中 ， 设，则， ，四边形是正方形 将△CGH绕着点C逆时针旋转得到△CG'H' 在与中 ， 即 故答案为： 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，添加辅助线并求得正方形的边长是解题的关键． 三、解答题：（本大题共9个小题,共86分）解答题应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤（注意：在试题卷上作答无效） 17. 计算与化简 （1）. （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂，负整数指数幂，特殊三角函数值化简，算术平方根，最后计算加减，即可作答； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，点E在上，与交于点F，． （1）求证∶； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）利用证明即可，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据全等三角形的性质可得，再结合三角形内角和定理以及对顶角相等即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 19. 2025年1月8日第二十届中央纪委四次全会在北京胜利闭幕．某校为了了解七、八年级学生对的“四次全会”精神的认知程度，现从这两个年级（各800名学生）中各随机抽取m名学生进行有关知识测试，若将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：，D：，E：，F：．并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 七年级测试成绩频数分布直方图 八年级测试成绩扇形统计图 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下： 86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）_______，_______，八年级测试成绩的中位数是_______． （2）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对党的“四次全会”精神认知程度高．请估计该校七、八两个年级对党的“四次全会”精神认知程度高的学生一共有多少人． （3）甲、乙、丙、丁为七年级测试成绩在90分以上的四名同学，如果从这四名同学中随机选取两名作为社区宣讲员，恰好选中甲和丙的概率为多少？ 【答案】（1）20；4；86.5； （2）440人； （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图． （1）由扇形图可知八年级D组人数为7人，其中D占，八年级总人数为人，由于两个年级抽取人数均为m人，根据直方图可知七年级总人数为人，则可求得a的值；由于八年级共20个人，所以中位数应该是第10和第11两个数据的和的把D组的成绩从小到大排序后可得第十第11个数分别为86、87，则中位数为； （2）根据直方图知七年级90分以上的有4人，根据扇形图之八年级90分以上的有7人，两个年级共抽取40人，然后用800乘以样本中测试成绩不低于90分的人数所占的百分比即可；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出甲和丙两名男同学能分在同一组的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：由题意得（人）， 故． 解得． 把八年级测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为86，87，故中位数为． 故答案为：20；4；86.5． 【小问2详解】 解： （人）， 该校七、八两个年级对党的“二十大”精神认知程度高的学生一共约有440人． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种可能的结果，并且每种结果发生的可能性都相同，其中恰好选中甲和丙的结果有2种，． 所以恰好选中甲和丙的概率 20. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，E为的中点，连接并延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） ∵点E为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）8 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，解直角三角形： （1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得到四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线垂直，即可得证； （2）解，求出的长，勾股定理求出的长，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵菱形， ∴． ∵矩形， ∴，． 在中，， ∴， ∴， ∴． 21. 某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） （1）求两滑梯的高度差； （2）两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）通过解，求出，再通过即可求出两滑梯的高度差． （2）通过解，求出，通过解，求出，再通过 ，代入数值计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：在中， ，， ∴， ∴， 答：两滑梯高度差为 【小问2详解】 解：在中 ， ，， ∴， 在中， ，， ∴， ∴ 答：长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作的垂线l． （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）直线和反比例函数的另一个交点为C，求的面积； （3）P是直线l上一点，连接，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）解方程组求得，根据相似三角形的性质得到，根据平行线的判定定理得到，求得直线的解析式为，解方程组得到，则直线的解析式为，于是得到P． 【小问1详解】 解：令，则， ∴点A的坐标为， 将代入得，， ∴， ∴， 将代入反比例函数表达式得：， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线与x轴交于N， 把代入得：， 解得：， ∴， 令， 解得：（舍去）或， 把代入得：， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设直线l与y轴交于M，过点B作轴于点K，如图所示： ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线l的表达式为：，把，代入得： ， 解得：， 则直线l的解析式为， ∵位似图形的对应点与位似中心三点共线， ∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D， 令， 解得：（舍去）或， ∴， 画出图形如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线的一次项系数相等， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵点D在直线与双曲线的另一个交点， 则联立两个函数表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去） ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立上式和直线l的表达式得：， 解得：， 把代入得：， 则点． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 23. 为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． （1）分别求出A型和B型运动器材每件的价格； （2）购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 【答案】（1）A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元 （2）该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元，根据学校预算资金为1900元，若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件，根据A型运动器材按原价的八折销售，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，结合（1）的结果，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元； 【小问2详解】 设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件． 24. 如图，为圆O的直径，C为圆上一点，E为弦的中点，过C作圆O的切线交延长线于点P，交圆O于点D．连接． （1）证明：为圆O的切线； （2）过点D作，交于H，交于F，，求圆O的半径． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵E为弦的中点， ∴， ∵垂直平分，点P在的延长线上， ∴， ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴为的切线． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由得，由E为弦的中点，根据垂径定理可得垂直平分，则，所以，由切线的性质得，则，即可再证明结论； （2）由证明，则，推导出再证明得，而，所以，则，求得，则，于是得方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵E为弦的中点， ∴于点E， ∵于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴，解得：． ∴⊙O的半径长为． 25. 如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． （1）求直线对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】（1） （2） 不存在实数m使得， 理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ． （1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式． （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ，或．解答如下： 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市二中2026年春期九年级第一次诊断性考试 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题,每小题4分,共40分）在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（注意：在试题卷上作答无效） 1. 6的相反数的倒数是（ ） A. ﹣ B. C. ﹣6 D. 6 2. 下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知光速为300000000米/秒，则这个速度用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动．李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班名学生，收集到如下数据： 时间 人数名 关于家务劳动时间的描述正确的是（ ） A. 众数是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 方差是 6. 如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 某班准备购买篮球和足球作为期末奖品.据了解，8个篮球和10个足球的进价共计2000元；10个篮球和20个足球的进价共计3100元.该班恰好用4500元购进篮球和足球（两种均购买），该班共有（ ）种采购方案 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，正方形内接于．点为上一点，连接、，若，，则的长为( ) A. B. C. D. 9. 如图，已知，P为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，，，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 10. 如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点在与之间（不包括这两点），抛物线的顶点为，对称轴为直线，有以下结论：①；②若点，点是函数图象上的两点，则；③；④可以是等腰直角三角形．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题共6个小题,每小题4分,共24分）.请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效） 11. 分解因式：______． 12. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 13. 如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为______ ． 14. 如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是_________________ ． 15. 已知不等式无解,则a的取值范围是__________. 16. 如图，正方形ABCD中，点E在AB边上且AE＝2BE．连接CE，取CE边上中点G，作GH⊥CG且CG＝GH连接CH．将△CGH绕着点C逆时针旋转得到△CG'H'．当H'恰好落在AH的延长线上时连接HG'．CG′与HH'交于F，若AH＝2，则FH＝_________． 三、解答题：（本大题共9个小题,共86分）解答题应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤（注意：在试题卷上作答无效） 17. 计算与化简 （1）. （2）. 18. 如图，点E在上，与交于点F，． （1）求证∶； （2）若，求的度数． 19. 2025年1月8日第二十届中央纪委四次全会在北京胜利闭幕．某校为了了解七、八年级学生对的“四次全会”精神的认知程度，现从这两个年级（各800名学生）中各随机抽取m名学生进行有关知识测试，若将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：，D：，E：，F：．并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 七年级测试成绩频数分布直方图 八年级测试成绩扇形统计图 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下： 86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）_______，_______，八年级测试成绩的中位数是_______． （2）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对党的“四次全会”精神认知程度高．请估计该校七、八两个年级对党的“四次全会”精神认知程度高的学生一共有多少人． （3）甲、乙、丙、丁为七年级测试成绩在90分以上的四名同学，如果从这四名同学中随机选取两名作为社区宣讲员，恰好选中甲和丙的概率为多少？ 20. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，E为的中点，连接并延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21. 某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） （1）求两滑梯的高度差； （2）两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作的垂线l． （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）直线和反比例函数的另一个交点为C，求的面积； （3）P是直线l上一点，连接，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标． 23. 为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． （1）分别求出A型和B型运动器材每件的价格； （2）购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 24. 如图，为圆O的直径，C为圆上一点，E为弦的中点，过C作圆O的切线交延长线于点P，交圆O于点D．连接． （1）证明：为圆O的切线； （2）过点D作，交于H，交于F，，求圆O的半径． 25. 如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． （1）求直线对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $