2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（面积问题）

2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（面积问题） 1．已知，如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标，点C坐标为，另外抛物线过点，M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积． 2．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是直线下方抛物线上的动点，连接和，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点． (1)_______，_______； (2)若点在该二次函数的图象上，且，求点的坐标； 4．已知，是一元二次方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点，如图所示． (1)求这个抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，若的面积等于面积的一半，求点的坐标． 5．如图，已知抛物线经过点，，其中、为抛物线上的两个动点． (1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标； (2)若是抛物线上的一点，当且最大时，求点的坐标； (3)若轴，点到的距离大于个单位长度，求的取值范围． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若，第二象限内有一动点，满足，求周长的最小值； (3)抛物线上有一个动点，记的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值． 7．如图，已知二次函数的图像与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求该二次函数的图像与轴的交点坐标； (2)求的面积． 8．记二次函数的图像为抛物线，一次函数的图像为直线，与交于点、． (1)设与轴交于点，点在上运动，求的最小值及此时点的坐标； (2)作点关于轴的对称点，记为，连接交轴于点． （I）求点的坐标； （II）设坐标原点为，记与的面积之和为，求的最小值． 9．如图，某二次函数的图象交坐标轴于、、三点，点是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求点的坐标，使面积最大，最大面积是多少？ (3)直接写出对称轴上点的坐标，使的周长最小． 10．已知抛物线（a为常数）经过点 ，过点作两条直线、分别交抛物线于点A、B和C、D，如图所示（点A、C在y轴左侧）． (1)求抛物线的表达式； (2)若点 、，求的值； (3)当直线垂直于y轴时，若四边形 的面积为，求的解析式． 11．已知抛物线与轴交于，两点（点在的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线上方的抛物线上一点，过点作轴，交直线于点，若，求点的横坐标； (3)如图2，点为抛物线对称轴上一点，作直线分别交抛物线于点（点在轴的左侧），连接．若的面积比的面积大，求点的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求点和点的坐标； (2)若点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，若平分，求抛物线的表达式； (3)若点是抛物线第四象限上一动点，连接、、、，线段与线段交于点，与轴交于点，当时，求的值． 13．学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 14．已知二次函数． (1)若，求函数的对称轴和顶点坐标． (2)若函数图象向上平移6个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值． (3)在（1）的条件下，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点P为直线上方抛物线上的一动点，求点P到直线的距离最大时，点P的坐标． 15．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上一点，若，试求点的坐标； (3)教材中对投影是这样描述的：一般的，用光线照射物体，在某平面上得到的影子，叫做物体的投影．同样，我们也可以得到图象在直线上的投影．如图，用光线沿水平方向左右照射，抛物线，两点之间的部分在轴上的投影就是线段．如图，点是抛物线上两点．设抛物线上，两点间的部分在轴上的投影为， ①当线段时，试求的值：②当线段时，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（面积问题）》参考答案 1．(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）先求出点M、点B的坐标，根据即可解决问题． 【详解】（1）解： 二次函数的图象经过，，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解： ，点M为二次函数的顶点， ∴，二次函数图象的对称轴为直线， 二次函数的图象与x轴交于A，B两点，， ∴， ∴， ∴． 2．(1) (2)；面积的最大值为4 【分析】考查二次函数解析式（交点式）、一次函数解析式、三角形面积最值（铅垂高法）；核心技巧是用铅垂高表示面积，转化为二次函数求最值；易错点是铅垂高计算时符号错误，或配方时符号出错． （1）利用交点式设抛物线，代入C点求 a；（2）作铅垂线，将面积拆分为两个小三角形面积之和，转化为二次函数求最大值． 【详解】（1）由题意得：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线解析式得，又． 设直线的解析式为，将、代入： ​ 将代入，得． 故直线的解析式为：． 过点P作轴交于点H， 设点，则点， 则， 则， 将代入面积公式： 即的面积的最大值为4，此时，则点 3．(1)， (2)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由（）可求出二次函数解析式，得到点坐标，然后根据求出点的纵坐标，再求出点的横坐标即可求解． 【详解】（1）解：把点和代入得， ， 解得，； （2）解：∵，， ∴二次函数， 当时，， ∴，即， ∵，, ∴ ∴ 当时，， 解得，， ∴或； 当时，， 整理得， ∴ ∴方程无解，不符合题意； 综上，点的坐标为或． 4．(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）解方程，可得：，，利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴交于点，设，则，可得，根据的面积等于面积的一半，可得方程，解方程即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，， ，是一元二次方程的两个实数根，且， ，， 抛物线的图象经过点，， ， 解得：， 抛物线解析式为； （2）解：如下图所示，过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线BC的解析式为， 设，则， ， ， ， 即， 整理得：， 即， 或， 当时，， 当时，， 点的坐标为或． 5．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将两点坐标代入，用待定系数法解方程组求出，得到解析式；抛物线 的顶点为； （2）过作轴于，交于，过作于，求出直线解析式，设点并表示出长度，将面积表示为关于的二次函数，利用二次函数的开口方向和对称轴得到坐标； （3）由点到的距离大于，得出所在直线的纵坐标，然后令抛物线解析式等于，解方程求出临界值，结合抛物线开口方向，确定的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入， 可得：， 解得：， 则抛物线的解析式为， 顶点坐标为． （2）解：如图，过作轴于，交于，过作于，则， 设直线的解析式为，将，，代入， 可得， 解得， 则直线解析式为， 设为，为， 则， 可得， 由，抛物线开口向下，可知当时，S△ABC最大， 此时的坐标为． （3）解：∵当过顶点时，点到的距离为， ∴必在点的下方， 可得，即， 当时，解得或， 结合图象可知，的取值范围是或． 6．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合，灵活运用两点之间，线段最短求最小值，熟练掌握一次函数、二次函数的交点与三角形面积问题的解决方法是解题的关键． （1）代入点、坐标，用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，为定值，则根据当取得最小值时，有最小值即可求解； （3）根据条件判断出符合条件的点的其中一个位置在与直线平行，且和抛物线只有一个交点的直线上，求出该直线再通过平行线间的距离相等进行面积转化，即可求出答案． 【详解】（1）解：将点，代入，得， 解得， ∴． （2）解：，， ∴， ∵，，则，， ∴为定值， ∴当取得最小值时，有最小值， 当点在线段上时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为． （3）解：由题意得，存在两条直线与抛物线有且只有3个交点且与直线平行，其中一条与抛物线有且只有1个交点， 设该直线的解析式为， 联立方程，得，整理得，， 有且只有一个交点， ∴， 解得， ∴点符合条件的位置之一在直线上， 设直线与轴交于点，则， ∴． 7．(1) (2)15 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数的性质、二次函数与面积的综合、坐标与图形等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）令得到关于x的方程求得x的值，再结合点在点左侧即可解答； （2）先求得、，如图：过点D作轴于点E，则，再根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， ∵点在点左侧， ． （2）解：在中，令，则， ， ∵，点是抛物线的顶点 ， 如图：过点D作轴于点E，则， ． 8．(1)的最小值为，点的坐标为或 (2)（I）；（II） 【分析】（1）设，则 ，令，则，利用二次函数的最值解答即可； （2）（I）设，，则，得到，， 设直线的解析式为，得到直线的解析式为， 令，则，解答即可； （II）根据题意，得，， 得，结合 ，继而得到，解答即可． 本题考查了二次函数的最值，待定系数法，勾股定理，一元二次方程的根与系数关系定理，基本不等式的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，令，则， ， 设， ，令，则， 当，即时，取得最小值，故的最小值为， 此时，， 点的坐标为或； （2）解：（I）设，，则， 联立，得， ，， 设直线的解析式为，将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 在中，令，则， ； （II）解：设，， 联立，得， ，， 设一次函数与y轴的交点为C， 根据题意，得， ， ， ， ， ， ，， ， 故的最小值为． 9．(1) (2)； (3) 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解函数解析式、二次函数的图象与性质、三角形的面积、方程思想等知识． （1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）过作轴，交轴于点，交直线于点，用点坐标可表示出的长，则可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得面积的最大时点的坐标； （3）可得对称轴为直线，而，故，那么当共线时，即点为对称轴与直线的交点时，的周长取得最小值，再将代入即可求解坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，把，，三点坐标代入可得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：由题意可设， 过作轴于点，交直线于点，如图2， 设直线解析式为，则有： ，解得：， ∴直线解析式为， ， ∴， ∵ ， ∵ ∴当时，最大值为8，此时， ∴点坐标为． （3）解：对于抛物线，则对称轴为直线 ∵抛物线与轴交于点， ∴点关于对称轴对称， ∴， ∵ ∴当共线时，即点为对称轴与直线的交点时，的周长取得最小值， 将代入得，， ∴的周长最小时，． 10．(1) (2)1 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线为，联立方程组得，进而得，再由，即可求解； （3）把代入求得，，设直线的解析式为，联立方程组求得，，再根据得，，再利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：把点代入得，， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵点过直线， 设直线为， 联立方程组得， 消去y整理得：， ∴， ∴； （3）解：∵轴，直线与抛物线交于点A、B， 把代入得，， 解得，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 联立方程组得， 消去y整理得， 解这个方程得，， ∴，， 由得，， 整理得， 解得：或（舍去）， ∴， ∴的解析式为或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、一次函数与二次函数、解一元二次方程、一元二次方程的根与系数之间的关系，熟练掌握一次函数与二次函数是解题的关键． 11．(1) (2)点的横坐标1或2 (3)点的坐标为 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式中即可求解； （2）求出直线的解析式，设点P的坐标为，则可得点D的坐标，从而由得到关于t的方程，解方程即可求解； （3）设直线交y轴于点N，过点B作轴交直线于点M，设，分别求出直线的解析式，则可求得点M、N的坐标及点E、F的横坐标，利用的面积比的面积大建立关于m的方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：令， 解得：， ∴； 令，， ∴； 设直线解析式为， 则，解得：， ∴直线解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴， ∴点D的坐标为， ∵，点为直线上方的抛物线上， ∴， 解得：， ∴点的横坐标1或2； （3）解：如图，设直线交y轴于点N，过点B作轴交直线于点M， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线； 设， 设直线的解析式为， 得，解得：， ∴直线的解析式为； 同理可得直线的解析式为， 当时，， 则， ∴； 当时，， 则； 当时，即， 解得：， 即点E的横坐标为， ∴； 当时，即， 解得：， 即点F的横坐标为； ∵的面积比的面积大， ∴， 即， ∴， 整理得：， 解得：， 由于，与点在轴的左侧不相符， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，面积问题等知识，掌握二次函数的图象与性质是关键． 12．(1)，； (2)； (3) 【分析】本题综合考查二次函数图象与几何性质，涉及一元二次方程解法、等腰三角形判定、三角形面积转化、相似三角形判定与性质等，融合代数运算与几何推理． （1）令，得，消去因式分解得，结合点在左侧，得、； （2）将抛物线化为顶点式得对称轴，令得，与关于对称，故，由轴得，又平分，故，即，用勾股定理列出方程求即可； （3）由，得，因两三角形共边，故，求得直线方程，联立抛物线方程解得，过、作轴垂线得，，由相似比得． 【详解】（1）解：令，则， ∵，两边除以得， 因式分解得， 解得或， ∵点在点左侧， ∴，； （2）解：如图，连接． ∵， ∴抛物线的对称轴为， 令，得，故， ∵点与关于对称， ∴， ∴，． ∵轴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，解得(舍去正值)， 故抛物线的表达式为； （3）解：由（1）（2）知，，，如图，过点作轴，过点作轴，连接． 设直线的方程为， 将代入得：，解得． ∵， ∴，即， ∵与有公共边，面积相等， ∴点、到直线的距离相等，故， 设直线的方程为， 将代入得：，解得， 所以直线的方程为． 联立，得， 整理得，解得(对应点)或， 将代入得，故， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题核心是数形结合与转化思想，（1）侧重函数与方程转化，（2）巧用角与线段关系转化，（3）通过面积转化推导平行关系，最终利用相似求比值，需注意的符号细节． 13．(1)； (2)点为线段中点 (3)直线过线段中点，证明见解析 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数有关面积的问题，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． （1）设点，结合题意求出点，得到的值，再联立二次函数和一次函数得到交点坐标，根据三角形面积公式，得到面积关于的二次函数，求解即可； （2）由（1）得出点的坐标，再求出点的中点坐标，比较即可得出关系； （3）设抛物线解析式为，直线，点，求出点，得到为关于的二次函数，再根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴ ∵直线与抛物线交于两点， ∴， 解得：，， 当时，；当时，， ∴，． ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大为， ∵把代入点中， ∴点； （2）由（1）得，当时，有最大值， ∴将代入点得：点， ∵，， 点的中点坐标为点，即点， ∴点和点重合， ∴当面积最大时，点为线段的中点； （3）猜想：当直线过线段中点时（或），最大． 证明：设抛物线解析式为：，直线：， 直线与抛物线交于两点，设， ∴则方程的解为：，， ∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴，即为关于的二次函数， ∵当时，，， 由二次函数对称性知，当时，有最大值， ∵ ∴当时，有最大值， ∴，即点为线段中点． ∴当直线过线段中点时（或），最大． 14．(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移，二次函数图象与三角形面积综合，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入二次函数解析式，再将二次函数化为顶点式即可得到答案； （2）根据二次函数平移的性质得到平移后的函数，再根据新函数与轴只有一个交点建立方程，解方程即可得到答案； （3）由二次函数解析式可求得点B、点C的坐标，设点P的坐标，根据的面积两种计算方式建立点P到直线的距离的函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数解析为， ∴函数的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：二次函数图象向上平移6个单位后得， ∵恰好与x轴只有一个交点， ∴， 解得，， ∴的值为或． （3）解：在（1）的条件下，令，则， 解得，， ∴，，则， 令，则， ∴，则， ∴， 如图，设，连接，，过点P作轴于点E，交于点F，作于点D，过点C作于点G， 设直线解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， ∵轴， ∴，则， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴当时，点P到直线的距离最大，此时点P的坐标为， ∴点P到直线的距离最大时，点P的坐标为． 15．(1) (2) (3)①或；②或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，面积问题，投影的定义；理解物体的投影、熟练利用二次函数的性质进行求解是解题关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解； （3）①根据投影的定义结合题意，分别求得的表达式，根据，建立方程，解方程，即可求解； ②同①可得，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴ 解得： ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， ∴ 如图，设交轴于点， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，则 ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： 直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ （3）①∵点在抛物线上， ∴， ∵ ∴顶点坐标为 情形一，当即时，当时，随的增大而减小， ∴ ∵ ∴，解得： 情形二，当时，则时，随的增大而增大， ∴ 解得： 情形三，当时，即，，同理解得： （舍去）（舍去）， 综上所述，或 ②同①可得 ∵ ∴ 解不等式或或 解得：或 综上所述：或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $