4.1～4.2 线段、角度问题 专项训练 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

线段、角度问题专项训练 类型1 与线段有关的计算 类型2 与角度有关的计算 类型1 与线段有关的计算 1．点，，在同一条直线上，，． (1)用直尺和圆规在射线上作线段，使．（尺规作图，保留作图痕迹） (2)若，．根据题意画出示意图，并求的长． 2．如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点． (1)若，且，求的长； (2)若线段，，求的长． 3．如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求作图．（用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)作射线； (2)作直线与射线相交于点； (3)作线段，并延长线段到点，使； (4)连接、，我们容易判断出线段与的大小关系是_____， 理由是_____ 4．阅读感悟： 数学课上，老师给出了如下问题，如图1，一条直线上有四点，线段，点为线段的中点，线段，请你补全图形，并求的长度． 以下是小华的解答过程： 解：如图2，线段，点为线段的中点， __________． ， _____， 小夏说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点在线段上，事实上，点还可以在线段的延长线上． 完成以下问题： (1)请填空：将小华的解答过程补充完整； (2)请你在备用图上画出小夏所说的另一种情况的示意图，并求出此时的长度； (3)由以上解答可知，的长度为_____． 5．A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 6．如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上． (1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点． ①若，，则的长为______； ②若，，求的长； (2)如图2，当，时，，求的值． 7．观察下图，并解决下列问题： 【模型构建】 (1)图中共有__________条线段； (2)若线段上标记了个点（含线段的两个端点），则该线段中共有___________条线段； (3)【模型应用】 某社团组织若干名成员参加趣味活动，活动设置了多项互动环节．已知每两名成员之间要合作完成一次双人游戏，总共完成了次双人游戏．若每个成员都送给其他成员一枚自制徽章，求总共要送出多少枚徽章？ 8．如图，平面内有四个点，，，，根据下列语句用尺规画图（保留画图痕迹，不写画法）： (1)画直线、线段、射线； (2)在平面内确定一个点，使到，，，的距离之和最小，请在图中画出点的位置，并说明理由：_________________________； (3)在直线上取点，使，请画出点；若，则___________． 9．已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 10．数轴上，点A、B表示的数分别是a、b，先阅读范例，再用刻度尺或圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【范例】如图，在数轴上画出点P，使得点P表示的数是； 作图痕迹： 文字说明：以A为圆心，为半径作弧交数轴于点P，则点P即为所求． 【解决问题】 (1)请利用刻度尺或圆规在图①的数轴上画出原点并用字母表示． 文字说明：________________________ (2)如图，若，在数轴上作出原点O的位置，并写出必要的文字说明； 文字说明：________________________ (3)如图，点C表示的数是，在数轴上作出原点O，并写出必要的文字说明． 文字说明：________________________ 11．如图，点在同一条直线上，线段，点为线段的中点，在直线上用尺规作出点，使得，并求的长度． 小乐给出了以下解答： 解：如图为所作图形，， ，点C为线段的中点， ______________________， ___________． 小欢说： 我觉得小乐的解答不完整，可能还有别的情况… (1)请将小乐的解答过程补充完整； (2)请在备用图中用尺规作出其它满足条件的点，并求出的长度． 12．我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！ 【问题探究】： 如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域． （1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线． （2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域． 【解决问题】： 该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数） 13．综合与实践 问题情境：图1为一款可伸缩自拍杆，自拍杆共三段，三段可近似看作三条线段（线段、线段和线段），长分别为，设计时为防止脱落，两段自拍杆之间有重叠． 问题探究：如图2，当自拍杆延伸至最长状态时，． （1）自拍杆延伸至最长状态时，__________．（填“”“”或“”） （2）求自拍杆延伸至最长状态时的总长度（的长）． 问题拓展： （3）如图3，固定第一段不动，收缩自拍杆第二段和第三段，使其总长度为55，此时点恰好为中点，求的长． 14．按要求完成下列问题： (1)①作直线、相交于点F； ②连接AC与线段BD相交于点G； ③在平面上找到点K，使其到、、、四点距离之和最小．（保留作图痕迹） (2)在数轴上表示下列各数，并将各数按照从小到大的顺序，用“”连接． ，，， 15．如图：已知数轴上A，B两点所表示的数分别是和8． (1)线段的长是__________； (2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由； (3)在第（2）问的条件下，当点P在什么位置时，的长度等于的长度的2倍？直接写出此时点P所表示的数． 16．已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 17．如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 18．解答下列各题 (1)探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为______；数轴上表示数3和的两点距离为______； 则的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离； (2)探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在______才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在______才能使P到三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在______才能使P到四点的距离之和最小？ (3)结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时x的范围是______； ②代数式的最小值是______． 19．如图，直线l上有两个定点A、B，一个动点P，点M、N分别为线段、的中点． (1)若点P在线段上，且，，则线段________，________ (2)探究：当点P在直线l上运动，与有何数量关系． 张同学在探究时发现：点P与线段的位置关系也有不同情况，并且他猜想：．但张同学只做出以下一种情况的解答过程，请你帮他完成其它情况的解题过程，验证他的猜想是否正确． 解：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以： 20．若点，，在数轴上对应的数分别为，，，其中是最小的正整数，，满足，请回答问题： (1)请直接写出________，________； (2)设点在数轴上对应的数为． （Ⅰ）若点为线段的中点，则________； （Ⅱ）若点为线段上的一个动点，化简． 21．如图，数轴上三点、、表示的数分别是20，80，90，点P从原点O出发，向右以的速度匀速运动，点Q从点C出发向左匀速运动，两点同时出发，运动时间为t． (1)若点Q运动的速度为， ①运动过程中点P在数轴上对应的数是______，点Q在数轴上对应的数是______．（用含t的代数式表示） ②经过多长时间、两点相距． (2)当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求出此时点Q运动的速度． 类型2 与角度有关的计算 22．如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点． (1)若，则________cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化．如果不变，请求出EF的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现，角的很多规律和线段一样． ①如图2，已知在的内部转动，，分别平分和．若，，求的度数． ②由此，请猜想，和之间的数量关系：________． 23．解答以下问题 (1)数学课上，王老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如、、、等，小明利用三角板画出了一个的角，小乐利用三角板画出了一个的角，你还能用一副三角板画出多少度的角？_______（写出个即可，要求小于） (2)小明将一个角的直角三角板的一边与直线重叠，在直线上方，，另一个的直角三角板与三角板共顶点，，并且，平分． ①当两个三角板如图1所示放置时，用含的代数式表示的度数_______； ②如果三角板固定不动，三角板可以绕点转动（角的大小可以变化），当三角板的一边平分时，求的度数． 24．将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． (1)图1中的度数为 ； (2)在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． (3)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 25．【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 26．如图，，，，分别是，的角平分线． (1)若，，当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图），则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时（如图），求的大小并说明理由； (3)在绕点逆时针旋转过程中， ．（用含，的式子表示）． 27．爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 28．综合与实践 【动手操作】 (1)如图，用一副三角尺中的和这两个角，就可以通过拼接或者叠合的方法画出，的角，如图中，．只用和这两个角（可以多次重复使用），你还可以画出以下哪些度数的角：________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【思考表达】 (2)现有，角的两种模板，只能用这两种模板和铅笔画角，小红和小亮各有发现： 小红：因为，所以我可以画出的角． 小亮：因为，，我是先画出的角，画四次得到的角，再减去的角得到的角，所以我可以画出的角．利用，角的两种模板和铅笔，你可以画出的角吗？请说明理由． 29．综合与探究 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探究过程． 【探究发现】(1)课上，老师提出问题：如图1，点是线段上一点，点，分别是线段，的中点．若，求线段的长．下面是小泽根据老师的问题进行的分析及解答过程，请你将其补全． 未知线段 已知线段 …… 因为点，分别是线段，的中点． 所以，________． 所以________________． 因为． 所以________． 【知识迁移】(2)小泽举一反三，发现有些角的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2．已知，是内部的一条射线，、分别是，的平分线，求的度数．请尝试解决该问题． 【拓展延伸】(3)有一种面积为的正方形餐垫． ①如图3，两张这样的餐垫部分重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，那么这两张餐垫重叠部分的面积是________（用含的代数式表示）； ②如图4，三张这样的餐垫两两重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，图中两个阴影部分的面积的和是，那么这三张餐垫共同重叠部分的面积是________（用含，，的代数式表示）． 30．综合与实践 在第六章《几何图形初步》的学习中，我们类比线段的研究内容和方法研究了角的有关问题．下面我们继续由特殊到一般类比探究以下问题： 已知点，在线段上，，分别是，的中点． (1)特例感知：如图①，点在点的左侧，如果，，那么 ①线段的长为__________； ②若，求线段的长； (2)规律探索：如果，，则线段的长为__________；（用含，的代数式表示，结果最简） (3)迁移应用：已知，射线在内部． ①如图②，如果，那么为____________________； ②如果射线也在内部，，射线在内部，且，射线在内部，且，请你直接写出的度数． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 线段、角度问题专项训练 类型1 与线段有关的计算 类型2 与角度有关的计算 类型1 与线段有关的计算 1．点，，在同一条直线上，，． (1)用直尺和圆规在射线上作线段，使．（尺规作图，保留作图痕迹） (2)若，．根据题意画出示意图，并求的长． 2．如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点． (1)若，且，求的长； (2)若线段，，求的长． 3．如图，在同一平面内有四个点、、、，请按要求作图．（用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)作射线； (2)作直线与射线相交于点； (3)作线段，并延长线段到点，使； (4)连接、，我们容易判断出线段与的大小关系是_____， 理由是_____ 4．阅读感悟： 数学课上，老师给出了如下问题，如图1，一条直线上有四点，线段，点为线段的中点，线段，请你补全图形，并求的长度． 以下是小华的解答过程： 解：如图2，线段，点为线段的中点， __________． ， _____， 小夏说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点在线段上，事实上，点还可以在线段的延长线上． 完成以下问题： (1)请填空：将小华的解答过程补充完整； (2)请你在备用图上画出小夏所说的另一种情况的示意图，并求出此时的长度； (3)由以上解答可知，的长度为_____． 5．A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 6．如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上． (1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点． ①若，，则的长为______； ②若，，求的长； (2)如图2，当，时，，求的值． 7．观察下图，并解决下列问题： 【模型构建】 (1)图中共有__________条线段； (2)若线段上标记了个点（含线段的两个端点），则该线段中共有___________条线段； (3)【模型应用】 某社团组织若干名成员参加趣味活动，活动设置了多项互动环节．已知每两名成员之间要合作完成一次双人游戏，总共完成了次双人游戏．若每个成员都送给其他成员一枚自制徽章，求总共要送出多少枚徽章？ 8．如图，平面内有四个点，，，，根据下列语句用尺规画图（保留画图痕迹，不写画法）： (1)画直线、线段、射线； (2)在平面内确定一个点，使到，，，的距离之和最小，请在图中画出点的位置，并说明理由：_________________________； (3)在直线上取点，使，请画出点；若，则___________． 9．已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 10．数轴上，点A、B表示的数分别是a、b，先阅读范例，再用刻度尺或圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【范例】如图，在数轴上画出点P，使得点P表示的数是； 作图痕迹： 文字说明：以A为圆心，为半径作弧交数轴于点P，则点P即为所求． 【解决问题】 (1)请利用刻度尺或圆规在图①的数轴上画出原点并用字母表示． 文字说明：________________________ (2)如图，若，在数轴上作出原点O的位置，并写出必要的文字说明； 文字说明：________________________ (3)如图，点C表示的数是，在数轴上作出原点O，并写出必要的文字说明． 文字说明：________________________ 11．如图，点在同一条直线上，线段，点为线段的中点，在直线上用尺规作出点，使得，并求的长度． 小乐给出了以下解答： 解：如图为所作图形，， ，点C为线段的中点， ______________________， ___________． 小欢说： 我觉得小乐的解答不完整，可能还有别的情况… (1)请将小乐的解答过程补充完整； (2)请在备用图中用尺规作出其它满足条件的点，并求出的长度． 12．我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！ 【问题探究】： 如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域． （1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线． （2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域． 【解决问题】： 该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数） 13．综合与实践 问题情境：图1为一款可伸缩自拍杆，自拍杆共三段，三段可近似看作三条线段（线段、线段和线段），长分别为，设计时为防止脱落，两段自拍杆之间有重叠． 问题探究：如图2，当自拍杆延伸至最长状态时，． （1）自拍杆延伸至最长状态时，__________．（填“”“”或“”） （2）求自拍杆延伸至最长状态时的总长度（的长）． 问题拓展： （3）如图3，固定第一段不动，收缩自拍杆第二段和第三段，使其总长度为55，此时点恰好为中点，求的长． 14．按要求完成下列问题： (1)①作直线、相交于点F； ②连接AC与线段BD相交于点G； ③在平面上找到点K，使其到、、、四点距离之和最小．（保留作图痕迹） (2)在数轴上表示下列各数，并将各数按照从小到大的顺序，用“”连接． ，，， 15．如图：已知数轴上A，B两点所表示的数分别是和8． (1)线段的长是__________； (2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由； (3)在第（2）问的条件下，当点P在什么位置时，的长度等于的长度的2倍？直接写出此时点P所表示的数． 16．已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 17．如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 18．解答下列各题 (1)探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为______；数轴上表示数3和的两点距离为______； 则的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离； (2)探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在______才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在______才能使P到三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在______才能使P到四点的距离之和最小？ (3)结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时x的范围是______； ②代数式的最小值是______． 19．如图，直线l上有两个定点A、B，一个动点P，点M、N分别为线段、的中点． (1)若点P在线段上，且，，则线段________，________ (2)探究：当点P在直线l上运动，与有何数量关系． 张同学在探究时发现：点P与线段的位置关系也有不同情况，并且他猜想：．但张同学只做出以下一种情况的解答过程，请你帮他完成其它情况的解题过程，验证他的猜想是否正确． 解：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以： 20．若点，，在数轴上对应的数分别为，，，其中是最小的正整数，，满足，请回答问题： (1)请直接写出________，________； (2)设点在数轴上对应的数为． （Ⅰ）若点为线段的中点，则________； （Ⅱ）若点为线段上的一个动点，化简． 21．如图，数轴上三点、、表示的数分别是20，80，90，点P从原点O出发，向右以的速度匀速运动，点Q从点C出发向左匀速运动，两点同时出发，运动时间为t． (1)若点Q运动的速度为， ①运动过程中点P在数轴上对应的数是______，点Q在数轴上对应的数是______．（用含t的代数式表示） ②经过多长时间、两点相距． (2)当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求出此时点Q运动的速度． 类型2 与角度有关的计算 22．如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点． (1)若，则________cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化．如果不变，请求出EF的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现，角的很多规律和线段一样． ①如图2，已知在的内部转动，，分别平分和．若，，求的度数． ②由此，请猜想，和之间的数量关系：________． 23．解答以下问题 (1)数学课上，王老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如、、、等，小明利用三角板画出了一个的角，小乐利用三角板画出了一个的角，你还能用一副三角板画出多少度的角？_______（写出个即可，要求小于） (2)小明将一个角的直角三角板的一边与直线重叠，在直线上方，，另一个的直角三角板与三角板共顶点，，并且，平分． ①当两个三角板如图1所示放置时，用含的代数式表示的度数_______； ②如果三角板固定不动，三角板可以绕点转动（角的大小可以变化），当三角板的一边平分时，求的度数． 24．将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． (1)图1中的度数为 ； (2)在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． (3)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 25．【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 26．如图，，，，分别是，的角平分线． (1)若，，当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图），则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时（如图），求的大小并说明理由； (3)在绕点逆时针旋转过程中， ．（用含，的式子表示）． 27．爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 28．综合与实践 【动手操作】 (1)如图，用一副三角尺中的和这两个角，就可以通过拼接或者叠合的方法画出，的角，如图中，．只用和这两个角（可以多次重复使用），你还可以画出以下哪些度数的角：________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【思考表达】 (2)现有，角的两种模板，只能用这两种模板和铅笔画角，小红和小亮各有发现： 小红：因为，所以我可以画出的角． 小亮：因为，，我是先画出的角，画四次得到的角，再减去的角得到的角，所以我可以画出的角．利用，角的两种模板和铅笔，你可以画出的角吗？请说明理由． 29．综合与探究 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探究过程． 【探究发现】(1)课上，老师提出问题：如图1，点是线段上一点，点，分别是线段，的中点．若，求线段的长．下面是小泽根据老师的问题进行的分析及解答过程，请你将其补全． 未知线段 已知线段 …… 因为点，分别是线段，的中点． 所以，________． 所以________________． 因为． 所以________． 【知识迁移】(2)小泽举一反三，发现有些角的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2．已知，是内部的一条射线，、分别是，的平分线，求的度数．请尝试解决该问题． 【拓展延伸】(3)有一种面积为的正方形餐垫． ①如图3，两张这样的餐垫部分重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，那么这两张餐垫重叠部分的面积是________（用含的代数式表示）； ②如图4，三张这样的餐垫两两重叠放在桌面上，如果它们盖住桌面的总面积是，图中两个阴影部分的面积的和是，那么这三张餐垫共同重叠部分的面积是________（用含，，的代数式表示）． 30．综合与实践 在第六章《几何图形初步》的学习中，我们类比线段的研究内容和方法研究了角的有关问题．下面我们继续由特殊到一般类比探究以下问题： 已知点，在线段上，，分别是，的中点． (1)特例感知：如图①，点在点的左侧，如果，，那么 ①线段的长为__________； ②若，求线段的长； (2)规律探索：如果，，则线段的长为__________；（用含，的代数式表示，结果最简） (3)迁移应用：已知，射线在内部． ①如图②，如果，那么为____________________； ②如果射线也在内部，，射线在内部，且，射线在内部，且，请你直接写出的度数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)如图，线段即为所求； (2)或 【分析】（1）在射线上先作，则作，即可； （2）分两种情况：当点B在点A，C之间时；当点C在点A，B之间时，即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：如图，当点B在点A，C之间时， ∵， ∴； 如图，当点C在点A，B之间时， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 2．(1)2 (2)6 【分析】（1）已知，可得的长，因为点C为线段的中点，点D为线段的中点，可得的长，因为，可得的长； （2）因为点C为线段的中点，可得的长，因为，求得的长，可得的长，因为点D为线段的中点，可得的长． 【详解】（1）解：， ， ∵点C为线段的中点，点D为线段的中点， ， ； （2）解：，点C为线段的中点， ， ∵， ， ， ∵点D为线段的中点， ． 3．(1)射线如图所示： (2)如图所示：直线、点即为所求， (3)如图所示：线段、线段即为所求， (4)，两点之间线段最短 【分析】（1）根据射线的定义作图即可； （2）根据直线的定义作图即可； （3）根据线段的定义作图即可； （4）根据两点之间，线段最短解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：如图所示： 根据两点之间线段最短可得，． 4．(1) ；5；2 (2)另一种情况的示意图如下，； (3)或 【分析】本题主要考查了线段中点的定义和线段的和差计算，熟练掌握分类讨论思想（点在线段上和在线段延长线上两种情况）是解题的关键． （1）先根据中点定义求出的长度，再利用线段差计算． （2）先画出点在线段延长线上的示意图，再根据线段和计算． （3）综合前两问的结果，写出的所有可能长度． 【详解】（1）略 （2）解：线段，点为线段AB的中点， ， ， ； （3）解：由以上解答可知，的长度为或． 5．(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了线段中点的性质、线段的和差计算，以及动态行程问题中的方程思想．掌握中点公式的运用，并能根据运动过程的不同阶段（相遇前、相遇后、追及等）准确建立方程是解题的关键． （1）直接利用M、N分别为和中点的条件，将的长度表示为与之和，再通过等量代换转化为的一半，即可求解； （2）本问在（1）的基础上增加了线段，解题关键在于将的长度通过中点公式转化为与之和，并注意减去重叠部分，经过代数化简最终得到； （3）本问为综合行程问题．核心是根据甲、乙不同的运动阶段（相向而行、相遇后、乙在B地休息后返回）及甲先到达终点C的情况，分类讨论两人相距的条件．需分别针对“未相遇”、“已相遇”、“乙返回后未追上甲”及“乙返回后追上甲”等多种情形建立方程求解，并检验解是否符合对应阶段的时空范围． 【详解】（1）解：∵地恰好位于A、B中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴（）， 故答案为：． （2）解：∵P地恰好位于A、C中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（）． 故答案为：． （3）解：∵甲从P地出发，以的速度步行去C地， ∴甲走的路程为， ∵乙从地出发，以的速度骑车去B地， ∴乙走的路程为， ① 若甲乙未碰面， 则有 解得 若甲乙已经碰面， ∵AB两地相距， 即， ∴， ∴， ∴， ∴甲从P地走到C地用时为（）， ∴乙从Q地走到B地用时为（）， ②   则有 解得； ③  若乙从B地再出发后未追上甲， ， 解得：； ④若乙从B地再出发后追上甲，甲乙之间相距， 即， 解得：， 综上所述，当或或或时，两人相距． 6．(1)①５；②５； (2)． 【分析】本题考查线段中点定义，线段的和差倍分，熟练掌握相关结论，会设未知数利用数形结合思想是解题的关键． （1）①先求的长，再由中点定义得, , ，最后根据线段组合得的长； ②设，得，，再由线段组合得，抵消即可得长度． （2）设，得，设，得，，设，由，推出，代入 整理后约分即得结果． 【详解】（1）解：①∵,, ∴, ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴, ∴． ②设， 则，， ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴． （2）解：∵，，， ∴设，则， 设，则，， 设， 则，，， ∵， ∴， 整理得， ∴． 7．(1)； (2)； (3)枚徽章． 【分析】（）根据线段的定义求解即可； （）根据线段的定义求解出线段条数的规律即可； （）设共有名成员参加活动，由题意得，则要送出的徽章总数为，从而求解． 【详解】（1）解：图中线段为：，，，，，，，，，，共条， 故答案为：； （2）解：该线段中共有， 故答案为：； （3）解：设共有名成员参加活动，由题意得，， 所以要送出的徽章总数为， 答：总共要送出枚徽章． 8．(1)直线、线段、射线如图所示． (2)如图，点即为所求．理由为：两点之间，线段最短． (3)点如图所示，或， 【分析】（1）根据直线、线段及射线的定义画图即可； （2）连接、，交于点，根据两点之间，线段最短解答即可； （3）根据求出，分点在点右侧和左侧两种情况求解即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 （3）解：∵，， ∴， 如图，当点在点右侧时，， 当点在点左侧时，． 9．(1)线段的长为 (2)的值是定值，定值为 (3)存在，使得 【分析】本题考查了线段中点性质与线段长度计算，解题的关键是用字母表示线段长度，结合中点定义建立代数关系． （1）当点B、C重合时，先利用中点表示出和，再相加得到； （2）设，分别用表示和，计算判断是否为定值； （3）根据移动距离分两种情况表示和，代入列方程求解． 【详解】（1）解：当点、重合时，，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 答：线段的长为． （2）解：设， 则， ． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 故的值是定值，定值为． （3）解：当线段向左移动距离（）时，分两种情况讨论： 情况一：如图，当线段的两个端点运动到点B的两侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：． 但，故该情况不存在． 情况二：如图，当线段全部运动到点B的左侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：．符合题意． 综合以上三种情况可知，故存在，使得． 10．(1)； 设表示数字的点为，表示数字的点为，以表示数字的点为圆心，以的长度为半径向右侧作弧，交数轴于点，即为所求． (2)； 以点为圆心，以的长度为半径作弧，在点右侧交数轴于点，即为所求． (3)； 以点为圆心，以的长度为半径向左作弧，交数轴于点，即为所求． 【分析】（1）设表示数字的点为，表示数字的点为，易得，然后作图即可； （2）根据数轴可知，，且原点距离点的长度为个单位长度，即的长度，据此作图即可； （3）由数轴可知，即原点在点左侧，且的长度为原点到点的距离，据此作图即可． 【详解】（1）解：作图略，设表示数字的点为，表示数字的点为， 则， ∵原点在表示数字的点的右侧1个单位长度的位置， ∴以表示数字的点为圆心，以的长度为半径向右侧作弧，交数轴于点，即为所求； （2）作图略， ∵，且点在点左侧， ∴， ∴， ∴， ∴原点位于点右侧，且距离点的长度为个单位长度，即的长度， ∴以点为圆心，以的长度为半径作弧，在点右侧交数轴于点，即为所求； （3）作图略， 由数轴可知，， ∵， ∴，即原点在点左侧， ∵， ∴的长度为原点到点的距离， ∴以点为圆心，以的长度为半径向左作弧，交数轴于点，即为所求． 11．(1) ；2；； (2)；6 【分析】（1）根据中点的定义及线段的和差关系补充即可； （2）在点左侧作，则． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在点左侧作，则， ∴点即为所求， ，点为线段的中点， ， ， ． 12．（1）4 （2）9或10或11 解决问题：14，8 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，解题的关键是掌握分类讨论的思想和空间想象的思维． （1）根据要求构造出四边形，确定直线条数即可； （2）分类讨论，确定分割成的区域即可； 解决问题：根据要求画出图形，确定分割的区域，以及最少的交点即可． 【详解】解：（1）分割成的区域有四边形，则至少要画4条直线， 故答案为：4； （2）①如图所示，， 此时，4条直线可以把平面分割成9个区域； ②如图所示，， 此时，4条直线可以把平面分割成10个区域； ③如图所示， 此时，4条直线可以把平面分割成11个区域； 故答案为：9或10或11； 解决问题：如图所示，， 这些道路会分割出14个区域，至少需要建设8个红绿灯， 故答案为：14，8． 13．（1）；（2）66；（3）5 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， 对于（1），根据，可得，即可得出答案； 对于（2），先求出，同理可得，然后根据得出答案； 对于（3），先根据中点的定义得，再求出，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】解：（1）． 因为， 所以， 即． 故答案为：； （2）因为， 所以， 同理可得， 所以． （3）因为为中点， 所以， 所以， 所以， 所以． 14．(1)见解析 (2)数轴表示见解析 【分析】（1）①根据直线的定义作图即可；②根据线段的定义作图即可；连接，其交点K即为所求； （2）先在数轴上表示各数，将数轴上的数从左到右排列，并用“”连接即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：将，，，在数轴上表示如下： ；． 15．(1)； (2) 解：线段的长度不发生变化，其值为， 分下面两种情况， 当点在、两点之间运动时， ， ， ， ， ②当点在点的左侧运动时， ， ， ， ， 综上所述，线段的长度不发生变化，其值为． (3)点所表示的数为或． 【分析】（1）由已知先得出和，即可求出的长． （2）此题可分两种情况讨论，即分和两种情况求得的长即可得到答案． （3）分当点在、两点之间运动和点在点的左侧运动两种情况求得的长，从而求得点所表示的数． 【详解】（1）解：、两点所表示的数分别为和， ，， ． （2）略 （3）解：当点在、两点之间运动时，， 即， ， 解得：， 此时点所表示的数为； 当点在点的左侧运动时，， 即， ， 解得：， 此时点所表示的数为． 16．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意算出 ，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线 上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段 上时和当点N在线段 的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与 的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ． （3）解：当点N在线段 上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段 的延长线上时，如图： ， 又， ，即． 综上所述的值为或． 17．(1)①； ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． (2)或 【分析】（1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①由题意可知， ． 因为， 所以， 所以． ② 略 （2）当时， ． ①当点在点的右边时，如图， 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 18．(1)3，4，6， ，x， ． (2)①点A和点B之间；②点B上；③点B和点C之间． (3)①7，；②8． 【分析】（1）利用求绝对值和数轴上两点间距离公式求解即可； （2）①②③分情况讨论点P的位置，使点P到其他点的距离之和最小； （3）根据探索材料2得出的结论填写即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为； 的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离． （2）解：①a．如图：当点P在点A左边时，； b．如图：当点P在点A和点B之间时，； c．如图：当点P在点B右边时， ∴当点P在点A和点B之间，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小 ②a．如图：当点P在点A左边时，； b．当点P在点A和点B之间时，； c．当点P在点B和点C之间时，； d．如图：当点P在点C右边时， ∴最小值为，当点P在点B上时，值最小为． ∴当点P在点B时，才能使到三点的距离之和最小 ③a．当点P在点A左边时； b．如图：当点P在点A和点B之间时， ； c．当点P在点B和点C之间时， ； d．如图：当点P在点C和点D之间时， ； e．当点P在点D右边时． ∴当点P在点B和点C之间时，才能使P到四点的距离之和最小，最小距离为． （3）解：①∵， ∴表示数轴上表示数x到、4两点的距离和， 由探索材料2得，当时，有最小值，最小值为． ②∵， ∴表示数轴上表示数x到、、2三点的距离和， 由探索材料2得，当时，有最小值，最小值为． 19．(1)10 (2)不变， (3)①；② 【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．由，分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题； （2）与（1）同理解答即可； （3）①欲求，需求．已知，需求．由，分别平分和，得，，进而解决此题；②与①同理解答即可． 【详解】（1）解：分别是，的中点， ， 又 ． （2）解：不变， ，分别是，的中点， ，， ， ，，， ， ． （3）解：①分别平分和， ， ， 又， ， ， ， ②由①得：， ， ， ． 20．(1)5； (2)解：猜想正确， 理由：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：； ②点P在的左侧， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：； ③点P在的右侧， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：， 综上，. 【分析】（1）根据线段的和差关系求出，根据线段中点的定义求出、，由即可求解； （2）由点M是中点，点N是中点，得，分三种情况讨论：①点P在之间，由即可求解；②当P在A左边，由即可求解；③当P在B右边；由即可求解. 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为M是的中点，N是的中点， 所以，， 所以，即； （2）略 21．(1)， (2)（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）根据最小的正整数是，可得，再利用非负数的性质可得，求解即可； （Ⅰ）利用中点的意义可求得的值； （Ⅱ）确定的取值范围，再化简绝对值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数，，满足， ∴ ， 即， ； （2）解：（Ⅰ）由（1）知， ∵点为线段的中点， ∴； （Ⅱ）由题知，，， ∵点为线段上的一个动点， ∴， ∴， ，， ∴． 22．(1)①； ②或 (2)或 【分析】（1）①根据“路程速度时间”得点P的运动路程为，由点P从原点O出发，向右以的速度匀速运动得点P在数轴上对应的数为，根据“路程速度时间”得点Q的运动路程为，点Q从点C出发,向左以的速度匀速运动得点Q在数轴上对应的数为； ②分两种情况讨论：当点P在点Q的左侧处，当点Q在点P的左侧处，分别列关于的方程求解即可； （2）由点Q运动到的位置恰好是线段的中点得点Q在数轴上对应的数是，进而计算点Q运动路程为，由题意得长度为，设点P在数轴上对应的数为，根据，按照点P在点A的左侧、点P在点A与点B之间、点P在点B的右侧，分三种情况讨论点P的位置，根据点P的速度确定运动时间，进而计算点Q运动的速度． 【详解】（1）①略 ②解：当点P在点Q的左侧处， ， 解得，， 当点Q在点P的左侧处， ， 解得，， 综上所述，经过或，、两点相距； （2）解：点Q运动到的位置恰好是线段的中点， 点Q在数轴上对应的数是：， 点Q运动路程为：， 由题意得，， 设点P在数轴上对应的数为， 根据分情况讨论点P的位置： 情况1：点P在点A的左侧， ， 将代入得：， 解得，，不符合实际，舍去； 情况2：点P在点A与点B之间， ， 将代入得：， 解得，， 点P在数轴上对应的数为：， 运动时间为：， 点Q运动的速度为：； 情况3：点P在点B的右侧， ， 将代入得：， 解得，， 点P在数轴上对应的数为：， 运动时间为：， 点Q运动的速度为：； 综上所述，点Q运动的速度为或． 23．(1)、 (2)①；②的度数为或 【分析】（1）运用角的和与差的计算即可得出答案，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）分平分和平分两种情况，利用角平分线的定义及角的和差关系分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，一副三角板中有、、、的角， ∵，，，，，， ∴还能用一副三角板画出、、、、、的角． （2）解：①∵，，， ∴， ∵平分， ∴． ②如图，当平分时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 如图，当平分时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 24．(1) (2)30； (3)在旋转过程中，的度数不发生变化，恒为 【分析】（1）根据三角板度数和角平分线的定义求解即可； （2）根据图2中的度数，结合角平分线的定义分别求出的度数即可得到答案； （3）根据角平分线的定义表示出的度数，再根据角的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：∵、、三点在同一条直线上， ∴，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴； （2）解：在图1中，． 在图2中，， ∴三角形的旋转角的度数为． ∴的值为30； 在图2中， ∵，平分， ∴． ∵，平分． ∴． ∴； （3）解：的度数在旋转过程中不会变化，恒为， 理由：∵平分， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数在旋转过程中不会变化，恒为． 25．(1)①，，；②， (2)解：当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴上述②中你发现的结论依然成立． 【分析】（1）①根据角的和差关系及直角的定义分别求解即可； ②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用可得；利用周角定义得，根据，即可得到． 【详解】（1）解：①由题意可知，， ∵， ∴，， ∴． ②，．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：略 26．(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义、角的和差关系进行解答即可； （2）根据角平分线的定义、角的和差关系进行解答即可； （3）根据题意，分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴． 又∵，，即， ∴． （2）解：如图， ∵，平分， ∴． ∵，平分， ∴， ∴． ∴． （3）解：如图，，， ∵，，，分别是，的角平分线， ∴易得； 同理，当是钝角且的两边都不在内部时， ； 故答案是：或． 27．(1)①，② (2)或 (3)①；②存在，或 【分析】（1）分类讨论，根据线段的和差关系，即可求解； （2）分类讨论，当时，当时，分别画出图形，根据角度的和差关系，即可求解； （3）①先求出，根据，，最后求出； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）①当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，   ∴，       ∵，， ∴；              ②如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，                   ∴                    ∵，， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴ ； ②存在； 当时，如图所示： 根据类比（1）可得：此时， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∵此时， ∴此时不可能是的2倍； 综上，当或时，． 28．(1)①④⑥ (2)可以画出的角．理由如下： 先画三个角，拼接得到角，再在这个角内部叠放一个角（使一边重合），剩余部分即为 【分析】（1）和这两个角都是的倍数，因此它们的和差以及它们若干倍的和差也是的倍数，据此求解即可； （2）根据即可得解； 【详解】（1）解：和这两个角都是的倍数，因此它们的和差以及它们若干倍的和差也是的倍数， （先拼两个得到，再减去得到）， （先拼两个得到，再减去得到）， （先拼两个和一个，拼接得到）， 其它角度无法由和的整数倍计算得到； ∴可以画出的角为①；④；⑥． （2）略 29．(1)，，，8 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据中点的意义，结合推理即可完成填空； （2）根据角平分线的定义及角的和差关系，即可完成求解； （3）①根据覆盖的面积为两张餐垫面积的和减去两张餐垫重叠部分的面积即可计算； ②设从上往下三张餐垫分别记为，上下两个阴影部分的面积分别为，三张餐垫的共同部分面积为，求出餐垫A、B的盖住桌面的面积，求出加上C餐垫后增加的面积，两式相加即可求解． 【详解】（1）解：因为点，分别是线段，的中点． 所以，． 所以． 因为． 所以． （2）解：∵、分别是，的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①； ②如图，设从上往下三张餐垫分别记为，上下两个阴影部分的面积分别为，三张餐垫的共同部分面积为，则， 餐垫A、B的盖住桌面的面积为，则， 加上C餐垫后增加的面积为， 两式相加得， ∴． 30．(1)①6；②5 (2) (3)①23；36；②的度数为或. 【分析】（1）①根据线段的和差关系进行求解即可；②根据线段的和差关系结合线段中点的定义，进行求解即可； （2）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可； （3）①根据角的和差关系进行求解即可；②分射线在内部和射线在内部两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②由①知：， ∵， ∴， ∵，，分别是，的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①，射线在内部，， ∴； ②解：设，则； 当射线在内部时，则， ∵，， ∴ ，， ∴； 当射线在内部时，则， ∵，， ∴ ，， ∴； 综上：的度数为或. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $