重难点02 点与圆、直线与圆、三角形与圆、正多边形与圆的关系（复习讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第六章 圆 重难点02 点与圆、直线与圆、三角形与圆、正多边形与圆的关系 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 3 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 点与圆 1.点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d． (1)d<r⇔点在⊙O内； (2)d=r⇔点在⊙O上； (3)d>r⇔点在⊙O外． 2. 如图，圆外一点到圆上各点连线的最小值为; 如图最大值为。 如图，圆内一点到圆上各点连线的最小值为; 如图最大值为。 题型01判断点与圆的位置关系 用点到圆心的距离和半径比较大小，别把距离公式算错，注意是比较 d 与 r，不是坐标直接代入圆方程。 【典例】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，是的半径，弦于点D，，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 【变式1】（2025·广东江门·一模）如图，在中，弦的长为，点在上，．若所在的平面内有一点，且，则点与的位置关系是（   ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【变式2】（2025·广东广州·一模）某数学兴趣小组在探究矩形的折叠问题．如图9，他们把矩形的边折叠，折叠后点与边上的点重合． (1)怎么找出这条直线折痕呢？兴趣小组发现可以通过尺规作图，准确地找到这条折痕．请你利用尺规作图帮他们确定折痕所在的直线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)折痕与边的交点为，连结，以为直径作，兴趣小组进一步探究点与的位置关系，请你与兴趣小组一起思考分析，确定点与的位置关系并说明理由； (3)如果折痕，，通过探究，兴趣小组发现可以求出矩形的周长．请你帮助兴趣小组写出详细的求解过程． 题型02根据点与圆的位置关系求半径范围 看清点在圆内、圆上还是圆外，正确列出 d＜r、d＝r、d＞r 的不等式，容易搞反不等号方向，多端点时要注意是否取等号。 【典例】（2025·广东深圳·一模）如图，在中，，，，点在边BC上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东江门·一模）在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是______． 【变式2】（2023·上海·一模）如图，矩形中，，，以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是________．    题型03点与圆上一点的最值问题 最值都在点与圆心的连线上，最大值是 d+r，最小值是 |d−r|，别忘记加绝对值，也别把加减搞反。 【典例】（2025·广东深圳·一模）如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式】（2025·广东广州·模拟预测）如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是__________ 重难点二 直线与圆 1. 直线和圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d>r d=r d<r 由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况． 2．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点； （2）切线到圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于经过切点的半径． 方法点拨： 利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题． 3．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）． （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 图形语言： 符号语言： 方法点拨：切线判定常用的证明方法： 1 知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； 2 不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 题型01 根据切线的性质计算与证明 见切线就连圆心和切点得垂直，别忘这个关键直角，证明时要先证切线再用垂直，计算多用勾股定理，别把半径、切线长、线段关系搞混。 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，为的直径，点C为圆周上一点，的延长线交的切线于点D，的延长线交的切线于点E． (1)若，求的度数； (2)证明：； (3)若，，求的长． 【变式1】（2025·山东济南·一模）如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求线段的长． 【变式2】（2025·广东深圳·三模）如图所示，在中，，以为直径的交于点； (1)尺规作图：过点作的切线，并交于于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的值． 题型02 证明某直线与圆相切 【典例】（2024·北京·模拟预测）如图，为的直径，C、D为上不同于A、B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与相交于F点． (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的长． 【变式1】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若的半径长为5，，求的长． 【变式2】（2025·广东深圳·三模）如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接，过点D作的平行线与的延长线相交于点 (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型03 切线长定理 从圆外一点引的两条切线长相等，这点与圆心的连线平分夹角，别把切线长和半径、弦长混淆，计算时常忘构造直角三角形。 【典例】（2025·广东·二模）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 【变式1】（2023·广东梅州·一模）如题图所示，在中存在一面积为的内切圆，其圆心为点，连接，若满足，，，则实数的值为________． 【变式2】（2025·广东东莞·一模）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】 （1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】 （2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】 （3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 重难点三 三角形与圆 1．三角形的外接圆相关概念 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等． 2．三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等． 题型01 与三角形内切圆相关的计算 【典例】（2023·广东深圳·二模）如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，是的外接圆，为的直径，点I为的内心，连接并延长交于D点，连接并延长至E，使得，连接．    (1)求证：； (2)求证：直线为的切线； (3)若，求的长． 【变式2】（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，点I是的内心，的延长线与的外接圆交于点D，与交于点E，延长、相交于点F，的平分线交于点G．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型02 与三角形外接圆相关的计算 【典例】（2025·广东广州·二模）已知等边三角形边长为6，点P为平面内一点，连接． (1)如图1．若点P在内部，，请作出的外接圆，并找出圆心O． (2)如图1，求证：为的切线． (3)如图2，若点P在内部，以边作等边三角形，若，求的最小值． 【变式1】（2025·广东广州·二模）正方形的边长为6，E为边上的动点（点E不与点B、C重合），连接． (1)尺规作图，作交边于F； (2)作的角平分线，直线交线段于点H． ①当点E从点B运动到点C的过程中，的外接圆圆心随之运动，求该圆心离边的最大值； ②设一点K在线段上，且线段长为1，当点E从点K运动到点C的过程中，求点H运动的路径长度． 【变式2】（2025·广东清远·二模）已知正方形和等边三角形，点在直线上，三点在直线上方，． (1)当点在点右侧，如1图，连接和，分别与正方形的边交于点和． ①当时，___________，___________； ②若，设，求与的关系式； (2)当点在点左侧，且的外接圆刚好经过正方形的一个顶点（点除外）时，请直接写出此时的值． 重难点四 正多边形与圆 1.正多边形与圆的关系 2.基本概念 · 正多边形定义、中心、半径、边心距、中心角 · 正多边形与圆的关系：外接圆、内切圆 3.角度计算（必考） · 中心角：360°÷ 边数 · 内角：((n-2)×180°)÷n · 外角：360°÷n · 中心角 = 外角 4.边长、半径、边心距的关系 · 构造直角三角形（半径、半边长、边心距） · 勾股定理、三角函数（sin、cos、tan） · 常见：正三角形、正方形、正六边形 5.周长与面积 · 周长 = 边长 ×n · 面积 = 1/2× 周长 × 边心距 · 正六边形面积：6 个等边三角形面积和 方法点拨： 有关正多边形的计算问题，通常都要构造以正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的半个边围城的直角三角形借助勾股定理和三角函数来解决。 （4）检验：检验答案是否符合实际生活． 题型01 正多边形与圆的综合问题 【典例】（2025·广东广州·一模）（1）如图1，平行四边形中有一点．请仅用无刻度的直尺，作直线交于点，且将平行四边形分成形状大小完全相同的两部分． （2）如图2，五边形中，，，，，，，． ①求证：； ②如果经过动点的直线交线段于点，且将五边形分成面积相等的两部分，且，求的最小值． 【变式1】（2025·广东韶关·一模）综合与实践 【主题】圆形纸片与剪纸艺术 【素材】图1中半径为2的圆形纸片（）若干． 【实践操作】活动一：如图2，在该圆形纸片（）上剪出一个圆周角为90°的扇形． 活动二：如图3，在另一圆形纸片（）内剪出一个内接正六边形，设该正六边形的面积为，再连接，，剪出，设的面积为． 活动三：在活动二的基础上，装饰粘贴上六个弧形花瓣，中心为点，所在圆的圆心恰好是的内心． 【实践探索】 (1)根据剪纸要求，计算图2中的扇形的面积． (2)请直接写出的值：______． (3)求弧形花瓣总的周长（图4中实线部分的长度）．（结果保留） 【变式2】（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长； （4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值． 1．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，点在上，且，过点作的切线，交 的延长线于点，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·二模）如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 3．（2024·广东广州·二模）如图，是的直径，直线与相切于点C，过A，B分别作，，垂足为点D，E，连接，若，，则的面积为（    ） A．4 B． C．6 D． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形内接于，为 的直径，，连接，过点D作，，垂足分别为E，F，则下列结论正确的是_________． ①；②；③与相切；④若，，则． 6．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接，且，若，则的长为______． 7．（2023·广东深圳·一模）如图，在中，，过点作外接圆的切线交的垂直平分线于点的垂直平分线交于点．若，，则______． 8．（2024·广东广州·三模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为______；（2）周长的最小值是_____． 9．（2025·广东深圳·三模）如图，是的直径，点在上，分别连接，，的切线与的延长线交于点，是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求四边形的面积． 10．（2025·广东佛山·一模）（1）小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图1，若是圆内接正三角形的外接圆的上任一点，则，在上截取，连接，可证明是_______（填“等腰”、“等边”或“直角”）三角形，从而得到，再进一步证明_______，得到，可证得：． （2）小迪同学对以上推理进行类比研究，发现：如图2，若是圆内接正四边形的外接圆的上任一点，则 °，分别过点作于、于． （3）写出与之间的数量关系，并说明理由． 11．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，是的直径，点C为上一点，平分与⊙O交于点D，连接，，，，与相交于点E，过点D作交的延长线于点P． (1)求线段的长； (2)求证：是的切线； (3)求证：； (4)求线段的长度． 12．（2024·广东·模拟预测）如图，半径为5的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分． (1)求证：与轴相切； (2)若，求； (3)在（2）的条件下，延长交于另一点，求直线的解析式． 13．（2025·广东韶关·一模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中项点”． (1)如图，的顶点是网格图的格点，每个单元格的边长相等，点在格点上，连接交于点，求证：点是边上的一个“中项点”． (2)如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”． 求证：； 若，的半径为，且，求的值． 14．（2024·广东中山·三模）如图1，在中，直径，，点D是半圆上的一个动点，过点D作∥交直径于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，若点A是弧的中点，请判断四边形的形状，并证明； (3)如图3，当点D在半圆的中点时，求的长． 15．（2025·广东江门·三模）综合与运用 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图，若点P是第四象限内抛物线上一点，连接，当是直角三角形时，求点P的横坐标； (3)如图，点D是x轴上方抛物线上一动点，作的外接圆，过D作轴，交于点F，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 圆 重难点02 点与圆、直线与圆、三角形与圆、正多边形与圆的关系 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 3 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 点与圆 1.点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d． (1)d<r⇔点在⊙O内； (2)d=r⇔点在⊙O上； (3)d>r⇔点在⊙O外． 2. 如图，圆外一点到圆上各点连线的最小值为; 如图最大值为。 如图，圆内一点到圆上各点连线的最小值为; 如图最大值为。 题型01判断点与圆的位置关系 用点到圆心的距离和半径比较大小，别把距离公式算错，注意是比较 d 与 r，不是坐标直接代入圆方程。 【典例】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，是的半径，弦于点D，，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，判断点与圆的位置关系．利用垂径定理求出半径的长，比较的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点在内； 故选：A． 【变式1】（2025·广东江门·一模）如图，在中，弦的长为，点在上，．若所在的平面内有一点，且，则点与的位置关系是（   ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】设与交于点，圆周角定理得到，勾股定理求出的长，进而判断与的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在上． 故选A． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，判断点与圆的位置关系，解题的关键是求出半径的长． 【变式2】（2025·广东广州·一模）某数学兴趣小组在探究矩形的折叠问题．如图9，他们把矩形的边折叠，折叠后点与边上的点重合． (1)怎么找出这条直线折痕呢？兴趣小组发现可以通过尺规作图，准确地找到这条折痕．请你利用尺规作图帮他们确定折痕所在的直线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)折痕与边的交点为，连结，以为直径作，兴趣小组进一步探究点与的位置关系，请你与兴趣小组一起思考分析，确定点与的位置关系并说明理由； (3)如果折痕，，通过探究，兴趣小组发现可以求出矩形的周长．请你帮助兴趣小组写出详细的求解过程． 【答案】(1)见解析 (2)点在上，理由见解析 (3)72，见解析 【分析】（1）利用轴对称的性质和尺规作角平分线的方法作图即可； （2）连接，利用折叠的性质得到，再利用全等三角形的性质得到，最后由点与圆的位置关系求解； （3）利用矩形的性质得到，根据相似三角形的性质，全等三角形的性质，解直角三角形的知识、勾股定理来求出和的长度即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，射线为所求． （2）解：点在上． 理由如下： ∵沿折叠得到， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， 连接， 则， ∴点在上． （3）解：由（2）知， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴设，则， 由勾股定理得． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 设，则， 在中，， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点晴】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，基本作图，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，点与圆的位置关系，熟练掌握相关知识是解答关键． 题型02根据点与圆的位置关系求半径范围 看清点在圆内、圆上还是圆外，正确列出 d＜r、d＝r、d＞r 的不等式，容易搞反不等号方向，多端点时要注意是否取等号。 【典例】（2025·广东深圳·一模）如图，在中，，，，点在边BC上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据勾股定理得到，根据圆与圆的位置关系得到， 由点在外，于是得到，即可得到结论． 【详解】解：连接AD， ∵，，， ∴ ∵的半径长为3，与相交， ∴， ∵， ∴， ∵点在外， ∴， ∴的半径长的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当时，点在圆上；当时，点在圆外；当时，点在圆内． 【变式1】（2024·广东江门·一模）在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是______． 【答案】3或8 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴， ∴， ∴半径为8； 当点在外，如图2， ∴， ∴， ∴半径为3； 综上所述，的半径是3或8； 故答案为：3或8． 【变式2】（2023·上海·一模）如图，矩形中，，，以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是________．    【答案】 【分析】首先利用勾股定理得出的长，利用以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，得出r的取值范围即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵矩形矩形中，，， ∴， ∵以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外， ∴半径r的取值范围是：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用图形得出r的取值范围是解题关键． 题型03点与圆上一点的最值问题 最值都在点与圆心的连线上，最大值是 d+r，最小值是 |d−r|，别忘记加绝对值，也别把加减搞反。 【典例】（2025·广东深圳·一模）如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的轨迹与等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理．取的中点，取的中点，连接，，，则，故的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧，据此求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接，， ∴为的中位线， ∵在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∵， ∴当点在同一直线上时，有最小值，的最小值是， ∵在等腰中，，点斜边的中点， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：A． 【变式】（2025·广东广州·模拟预测）如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，点与圆上一点的最值问题，勾股定理等；作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于，由轴对称的性质得，此时取得最小值，，由勾股定理即可求解；能由对称的性质及圆外一点到圆上一点距离最小值的典型解法找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于， ， 此时取得最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 取得最小值为， 故选：A． 【变式2】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是__________ 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，直角三角形的性质，，取的中点，连接，则，可得点在以为直径的上，连接，则当点在线段上时，取得最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：， ． 如图所示，，取的中点，连接，则， 点在以为直径的上，的半径为， 连接，则当点在线段上时，取得最小值， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ，即的最大值为， 故答案为：． 重难点二 直线与圆 1. 直线和圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d>r d=r d<r 由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况． 2．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点； （2）切线到圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于经过切点的半径． 方法点拨： 利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题． 3．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）． （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 图形语言： 符号语言： 方法点拨：切线判定常用的证明方法： 1 知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； 2 不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 题型01 根据切线的性质计算与证明 见切线就连圆心和切点得垂直，别忘这个关键直角，证明时要先证切线再用垂直，计算多用勾股定理，别把半径、切线长、线段关系搞混。 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，为的直径，点C为圆周上一点，的延长线交的切线于点D，的延长线交的切线于点E． (1)若，求的度数； (2)证明：； (3)若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由圆周角定理可得，易得，由圆的切线的性质可得，然后根据直角三角形两锐角互余即可解答； （2）先证明，然后根据相似三角形的性质即可证明结论； （3）根据圆的基本性质以及解直角三角形可得，进而得到、，再证明，运用相似三角形的性质列比例可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴的长是． 【变式1】（2025·山东济南·一模）如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质定理得到，根据平行线的判定定理得到，得到，得到，即可得到结论； （2）证明，求出，证明，求出． 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （2）解：， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式2】（2025·广东深圳·三模）如图所示，在中，，以为直径的交于点； (1)尺规作图：过点作的切线，并交于于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长，在延长上取一点Q，使得，作垂直平分线即可； （2）连接，证明，，得到，，根据等腰三角形三线合一可得，，根据计算即可 【详解】（1）连接并延长，在延长上取一点Q，使得，作垂直平分线即可； （2）连接， ∵，， ∴ ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质，尺规作图，等腰三角形三线合一，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型02 证明某直线与圆相切 【典例】（2024·北京·模拟预测）如图，为的直径，C、D为上不同于A、B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与相交于F点． (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的判定方法，解直角三角形是解决问题的关键． （1）连接，由圆周角定理结合已知得出，得出，由平行线的性质得出，即可证明为的切线； （2）连接，由圆周角定理得出，由，得出，由三角形内角和定理及，得出，利用解直角三角形求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若的半径长为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定． （1）连接，证明，则，即可证明是的切线； （2）设，求出，根据等角对等边得到，求出，根据等角对等边得到，由（1）知，证明，得到，进而计算即可． 【详解】（1）证明：连接， 则，又， ， ，， ， 又是直径， 是的半径； 与相切； （2）解：设， ，，， 在中，， ， ， ，，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， 故的长为． 【变式2】（2025·广东深圳·三模）如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接，过点D作的平行线与的延长线相交于点 (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长是． 【分析】（1）如图：连接，由是的直径，得，则，所以，由交的延长线于点P，得即可证明结论； （2）由、、，求得，则，所以，再证明得，再代入数据即可解答 【详解】（1）证明：如图：连接， 是的外接圆，点O在边上， 是的直径， ， 的平分线交于点D， ， ， 交的延长线于点P， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：，，， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ，， ， ∽， ， ， 的长是． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、平行线的性质、切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 题型03 切线长定理 从圆外一点引的两条切线长相等，这点与圆心的连线平分夹角，别把切线长和半径、弦长混淆，计算时常忘构造直角三角形。 【典例】（2025·广东·二模）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题可根据切线长定理，将的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长．本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将的周长转化为与相关的表达式来求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 又∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 同理，∵，是的切线，切点分别为，， ∴． ． ∴． 又∵， ∴． ∵的周长为，即， ∴，可得， 解得． 故选：C 【变式1】（2023·广东梅州·一模）如题图所示，在中存在一面积为的内切圆，其圆心为点，连接，若满足，，，则实数的值为________． 【答案】4 【分析】连接，过点分别向作垂线，垂足分别为，如图所示，则有，，，再由内切圆的面积为，得到其半径为1，从而根据得到，设，根据已知条件及切线长定理求出各个切线长，从而列方程求解即可得到答案． 【详解】解：连接，过点分别向作垂线，垂足分别为，如图所示： 由三角形内切圆性质，根据切线长定理可知，，， 该内切圆的面积为， 由圆面积公式可知该内切圆的半径为1，即， ，，在中，， ，则， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，解得或（舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内切圆性质，涉及切线长定理、圆面积公式、三角函数值求线段长、解方程等知识，熟练掌握三角形内切圆性质及切线长定理是解决问题的关键． 【变式2】（2025·广东东莞·一模）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】 （1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】 （2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】 （3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 【答案】（1）（2）（3）①6②的值为或 【分析】（1）由题可知，再利用中建立勾股方程求解即可； （2）由相切可知，再由，代入求解即可； （3）①由与直线相切可得四边形是正方形，所以，再利用切线长定理，，从而的周长； ②证出，进而得到，代入，解得，则可得出答案． 【详解】解：（1）连接， 四边形是矩形， ，，， 过点， ， ， ， 在中，， 即， 解得； （2）过作于点， 当与直线相切时，为半径，此时， ， ， ，， ， ， 即， 解得； （3）①如图，过作于点， 当与直线相切时，为半径，此时， ， 四边形是正方形， ， 与圆相切，与圆相切，与圆相切， 由切线长定理可得，，， 的周长 ； ②在和中， ， 同理可证， ， ， ， ， 整理得， 解得或（舍）， 当时，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得， 解得，； 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 重难点三 三角形与圆 1．三角形的外接圆相关概念 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等． 2．三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等． 题型01 与三角形内切圆相关的计算 【典例】（2023·广东深圳·二模）如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】过点I作，垂足分别为G，F，可得，，设，，再由，即可求解． 【详解】如图，过点I作，垂足分别为G，F，    ∵点I为的内心， ∴以为半径的圆I是的内切圆， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理，熟练掌握三角形的内心的性质，切线长定理是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，是的外接圆，为的直径，点I为的内心，连接并延长交于D点，连接并延长至E，使得，连接．    (1)求证：； (2)求证：直线为的切线； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先证明，再证明，即可证明； （2）欲证明直线为的切线，只要证明即可； （3）要根据，求的长，只要求得的长即可， 【详解】（1）点I为的内心 又 ∴ ； ； （2）连接，如图所示．    由（1）得： 则 ∵为的直径， ∴ ∴ ，即 又为的直径 直线为的切线； （3）为的直径 为直角三角形 不妨设 则有， 解得： ∴ 过点I作交于点H，连接，如图所示．    ∵点I为的内心， ∴点I到三边的距离相等， ∵， ∴， ∴ 由（2）得： 同理可得： 故的长为． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线． 【变式2】（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，点I是的内心，的延长线与的外接圆交于点D，与交于点E，延长、相交于点F，的平分线交于点G．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)3 【分析】（1）根据三角形内心的性质得，再利用圆内接四边形的性质得，则，从而得到，即可得出结论； （2）证明，利用相似比得到，则，再计算即可． 【详解】（1）证明：∵点I是的内心， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；    （2）解；∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵点I是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及平行线的判定、内接四边形的性质，熟练掌握三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个角是解题的关键． 题型02 与三角形外接圆相关的计算 【典例】（2025·广东广州·二模）已知等边三角形边长为6，点P为平面内一点，连接． (1)如图1．若点P在内部，，请作出的外接圆，并找出圆心O． (2)如图1，求证：为的切线． (3)如图2，若点P在内部，以边作等边三角形，若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点的性质解答即可； （2）连接并延长，交于点M，连接，利用圆的内接四边形的性质，圆周角定理和直角三角形的性质得到，利用等边三角形的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （3）过点A作于点F，过点D作于点G，过点E作于点H，利用等边三角形的性质和三角形的面积公式分别求得三个三角形的面积，利用已知条件化简得到，则为直角三角形，，利用点的轨迹的性质得到点P的运动轨迹为以为直径的圆中在的内部的一段弧，当三点共线时的值最小，即可得出结论． 【详解】（1）解：1．作的垂直平分线， 2．作的垂直平分线，与交于点O， 3．以点O为圆心，以为半径画圆O，如图， 则为的外接圆，点O为圆心； （2）证明：连接并延长，交于点M，连接，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴． ∵为圆的直径， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的半径， ∴为的切线． （3）解：过点A作于点F，过点D作于点G，过点E作于点H，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，， ∴点P的运动轨迹为以为直径的圆中在的内部的一段弧，如图， 当三点共线时的值最小， 由题意得：， ∵， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，圆的切线的判定定理，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积公式，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 【变式1】（2025·广东广州·二模）正方形的边长为6，E为边上的动点（点E不与点B、C重合），连接． (1)尺规作图，作交边于F； (2)作的角平分线，直线交线段于点H． ①当点E从点B运动到点C的过程中，的外接圆圆心随之运动，求该圆心离边的最大值； ②设一点K在线段上，且线段长为1，当点E从点K运动到点C的过程中，求点H运动的路径长度． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆，配方法求最值等知识点，解题关键是找准相似三角形求出相关线段． （1）利用作一个角等于已知角求解； （2）①设，利用相似三角形的性质与判定得到，求出的最大值，设的外接圆圆心为点，过点作于点，通过证明得到，求出的最大值即可解答； ②先探索出点H的运动路径，再求出路径长即可． 【详解】（1）解：如图，作交边于F，即为所求作； （2）解：①平分， ， ，， ， ， 四边形是正方形，正方形的边长为6， ，， ，的中点为的外接圆圆心， ， ， ， 设，则， ， 解得：， 当时，有最大值， 过点作于点， ∵，，为的外接圆圆心， ，， ， ， ， 当有最大值时，有最大值，此时的最大值为， 该圆心离边的最大值为； ②当点E在点K处时，， 与①同理可证：， ， ∵线段长为1， ∴， ， ，解得：， 当点E从点K运动到的中点时，达到最高，由①可知此时， 当点E从运动到点C时，． 所以点E的运动路径为从到点C的距离为处到最高点（），再返回点C（），路径的长为． 【变式2】（2025·广东清远·二模）已知正方形和等边三角形，点在直线上，三点在直线上方，． (1)当点在点右侧，如1图，连接和，分别与正方形的边交于点和． ①当时，___________，___________； ②若，设，求与的关系式； (2)当点在点左侧，且的外接圆刚好经过正方形的一个顶点（点除外）时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)①；；② (2)4或或 【分析】（1）①过点E作于M，则，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出的长；利用勾股定理求出的长，求出即可得到答案； ②过点E作于M，则，，证明，得到；证明，得到，则； （2）分的外接圆恰好经过点A或点B或点C，三种情况画出示意图讨论求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，过点E作于M， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，过点E作于M， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴，即， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴； （2）解：如图2-1所示，当点F与点A重合，的外接圆一定经过点A，此时满足题意，则； 如图2-2所示，当的外接圆恰好经过点B时，过点O分别作的垂线，垂足分别为P、Q， ∵， ∴点O在线段的垂直平分线上，即点O在线段， ∴此时平分， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图2-3所示，当的外接圆恰好经过点C时，则， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴ ∴三点共线， ∴， ∴ 综上所述，m的值为4或或． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的性质，解直角三角形，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 重难点四 正多边形与圆 1.正多边形与圆的关系 2.基本概念 · 正多边形定义、中心、半径、边心距、中心角 · 正多边形与圆的关系：外接圆、内切圆 3.角度计算（必考） · 中心角：360°÷ 边数 · 内角：((n-2)×180°)÷n · 外角：360°÷n · 中心角 = 外角 4.边长、半径、边心距的关系 · 构造直角三角形（半径、半边长、边心距） · 勾股定理、三角函数（sin、cos、tan） · 常见：正三角形、正方形、正六边形 5.周长与面积 · 周长 = 边长 ×n · 面积 = 1/2× 周长 × 边心距 · 正六边形面积：6 个等边三角形面积和 方法点拨： 有关正多边形的计算问题，通常都要构造以正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的半个边围城的直角三角形借助勾股定理和三角函数来解决。 （4）检验：检验答案是否符合实际生活． 题型01 正多边形与圆的综合问题 【典例】（2025·广东广州·一模）（1）如图1，平行四边形中有一点．请仅用无刻度的直尺，作直线交于点，且将平行四边形分成形状大小完全相同的两部分． （2）如图2，五边形中，，，，，，，． ①求证：； ②如果经过动点的直线交线段于点，且将五边形分成面积相等的两部分，且，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）根据平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点，经过平行四边形对称中心的直线将平行四边形分成形状大小完全相同的两部分．连接平行四边形的对角线、，交于点，连接，作直线，与交于点 ，则直线即为所求． （2）①连接，利用等边对等角，三角形内角和定理及平行线的判定即可得证；②过点作交于点，则四边形是平行四边形，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，求出、、、，得平分即可平分五边形，连接，，交于点，则过点，进而得到点在以为直径的圆上，连接，以为直径作，连接交于点，直线交于点，利用中位线定理及勾股定理即可解答． 【详解】解：（1）如图：直线即为所求． （2）①证明：如图：连接， ， ， ，，，分 ②解：过点作交于点，则四边形是平行四边形． 过点作交的延长线于， 过点作交的延长线于． ，， ，，． ， ， 平分即可平分五边形， 连接，，交于点，则过点， ， 点在以为直径的圆上， 连接，以为直径作，连接交于点，直线交于点， ，，，， 是的中位线， ，， 的最小值是． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，平行线的判定与性质，作图，掌握平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，平行线的判定与性质是解题的关键． 【变式1】（2025·广东韶关·一模）综合与实践 【主题】圆形纸片与剪纸艺术 【素材】图1中半径为2的圆形纸片（）若干． 【实践操作】活动一：如图2，在该圆形纸片（）上剪出一个圆周角为90°的扇形． 活动二：如图3，在另一圆形纸片（）内剪出一个内接正六边形，设该正六边形的面积为，再连接，，剪出，设的面积为． 活动三：在活动二的基础上，装饰粘贴上六个弧形花瓣，中心为点，所在圆的圆心恰好是的内心． 【实践探索】 (1)根据剪纸要求，计算图2中的扇形的面积． (2)请直接写出的值：______． (3)求弧形花瓣总的周长（图4中实线部分的长度）．（结果保留） 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，圆周角定理，三角形的内心的性质以及直角三角形的边角关系，弧长的计算方法是正确解答的关键． （1）连接，根据圆周角定理可得为的直径，即可求得的长，利用扇形面积公式即可解答； （2）连接，证明，即可解答； （3）根据正六边形的性质，三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出所对应的圆心角的度数及半径，由弧长公式求出弧的长，再计算长的6倍即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ， 为的直径，即， ， ， 扇形的面积为； （2）解：如图，连接， 六边形为正六边形， ，, ， 等边三角形， ，， ， ， 同理可得， ， 故答案为：2； （3）解：如图，过点作于点， 六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点， ， ， 是等边三角形， ， ， 点是的内心， ，， 在中，，， ， 的长为， 花窗的周长为． 【变式2】（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长； （4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值． 【答案】（1）2（2）（3）（4） 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，再将沿方向平移，使与重合，如图，得，由（2）可得：，当三点共线时，最短，再进一步解答即可. 【详解】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接， ∴，， 再将沿方向平移，使与重合，如图，得， 由（2）可得：， ∴当三点共线时，最短， ∵，， ∴，， ∴； ∴的最小值为； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 1．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，点在上，且，过点作的切线，交 的延长线于点，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，连接，由可得，由圆周角定理可得，即得，又由切线的性质可得，最后根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：．    2．（2024·湖北武汉·二模）如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质等知识，利用切线的性质得出，证明，进而得出，即可得到，同理可证，由得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，切点分别为，如图，连接， 则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·广东广州·二模）如图，是的直径，直线与相切于点C，过A，B分别作，，垂足为点D，E，连接，若，，则的面积为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的定义，解直角三角形，直径所对的圆周角，解题的关键是掌握切线的定义，熟记各个特殊角度的三角函数值，以及直径所对的圆周角是直角． 连接，得出，易得，，推出，则是等边三角形，进而得出，再根据圆周角定理得出，根据勾股定理得出，即可得出． 【详解】解：连接， ∵直线与相切于点C， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴的面积， 故选：D． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，弧长公式，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接，，过作于点，由正六边形内接于，则，，所以，是等边三角形，然后通过弧长公式求出，由等边三角形性质可得，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，过作于点， ∵正六边形内接于， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故选：． 5．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形内接于，为 的直径，，连接，过点D作，，垂足分别为E，F，则下列结论正确的是_________． ①；②；③与相切；④若，，则． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质与判定，切线的判定，熟练掌握以上性质是解题关键． 根据已知条件得出，根据圆内接四边形得出，进而得出，根据圆周角定理即可判断①，不能确定，即可判断②，证明得出，根据三线合一得出，进而根据是直径，得出，结合已知条件即可判断③，证明， ，得出，，进而即可求解． 【详解】如图，连接， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 故①正确， ∵不能确定， ∴不一定成立，故②错误， 如图，连接， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴与相切，故③正确， ∵， ， ， ∴． ∴， ， 在和中， ∵， ， ∴， ∴ ∵， ， ∴， 故④正确 故答案为：①③④． 6．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接，且，若，则的长为______． 【答案】 【分析】根据圆周角定理及切线的性质结合，证明是等腰直角三角形，再根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， 又， ， 是等腰直角三角形， 为的中线， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 7．（2023·广东深圳·一模）如图，在中，，过点作外接圆的切线交的垂直平分线于点的垂直平分线交于点．若，，则______． 【答案】3 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据余角的性质得到，得到，设，求得，根据勾股定理列方程即可得到结论． 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，垂直的定义，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：3． 8．（2024·广东广州·三模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为______；（2）周长的最小值是_____． 【答案】 4 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握圆的相关性质及正方形的相关性质、准确的辅助线及计算是本题的解题关键． （1）利用圆的面积公式计算出半径即可求出直径； （2）连接，，以、为边作，连接，证明出，，当、、共线时，最小，即为的最小值，利用勾股定理求出即可解答此问． 【详解】解：（1）的面积为， ， 的直径长为， 故答案为：； （2）如图，连接，，以、为边作，连接， 四边形为正方形， ，， 四边为平行四边形， ， ， ， 当、、共线时，最小，即为的最小值， 在中，，， ， ， ， 周长的最小值为， 故答案为：4． 9．（2025·广东深圳·三模）如图，是的直径，点在上，分别连接，，的切线与的延长线交于点，是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线性质得出，根据圆周角定理得出，根据直角三角形性质得出，根据等腰三角形的性质得出，，求出，即可得出结论； （2）根据切线的性质得出，解直角三角形得出，根据勾股定理求出，解直角三角形得出，根据，，求出结果即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ， 为直径， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线． （2）解：是的切线， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，解直角三角形的相关计算，圆周角定理，勾股定理，三角形面积计算，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 10．（2025·广东佛山·一模）（1）小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图1，若是圆内接正三角形的外接圆的上任一点，则，在上截取，连接，可证明是_______（填“等腰”、“等边”或“直角”）三角形，从而得到，再进一步证明_______，得到，可证得：． （2）小迪同学对以上推理进行类比研究，发现：如图2，若是圆内接正四边形的外接圆的上任一点，则 °，分别过点作于、于． （3）写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）等边，；（2）45；（3）． 【分析】（1）由是正三角形；可得，即可判定是等边三角形；再根据AAS可判定，由此得解； （2）根据圆周角和弧的关系即可得出； （3）由（2）得、均为等腰直角三角形，即，；再由AAS定理可判定，可知，继而可得，由此即可得出结论． 【详解】解：（1）∵是正三角形；， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； ∴，， ∵， 又∵； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（AAS） ∴， ∵，即， 故答案为：（1）等边，； （2）∵四边形是圆内接正四边形， ∴， ∴， 故答案为45； （3）∵、，， ∴ 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴（AAS） ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了圆的综合知识、全等三角形性质和判定、勾股定理等知识点，熟练利用构造全等三角形是解题的关键． 11．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，是的直径，点C为上一点，平分与⊙O交于点D，连接，，，，与相交于点E，过点D作交的延长线于点P． (1)求线段的长； (2)求证：是的切线； (3)求证：； (4)求线段的长度． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）因为是的直径，所以，因为平分，所以，利用同弧所对的圆周角相等，可以证得，证得是等腰直角三角形，由于，，可以求得的长度，在等腰直角中，利用勾股定理，求出的长度； （2）要证明是圆O的切线，连接，因为是半径，只需要证明即可，因为，所以只需要证即可，由即可证明； （3）要证明，只需要证明，又由于公共，所以只需要证明，因为，所以，则，所以，又公共，所以，即可解决； （4）先由勾股定理求出的长度，由（1）可得的长度，又，所以过A作于N，如图2，利用勾股定理，求出和，求出的长度，因为，所以，则，设，则，代入到，求出y，即可解决． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 在中，， ∴； （2）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D在上， ∴是的切线； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）解：在中，， 过A作于N，如图2， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（3）可得，， ∴， 设，则， 由（3）可得，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，连接经过切点的半径是解决此题的关键． 12．（2024·广东·模拟预测）如图，半径为5的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分． (1)求证：与轴相切； (2)若，求； (3)在（2）的条件下，延长交于另一点，求直线的解析式． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，角平分线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理解三角形，解直角三角形，一次函数解析式的求解，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，再根据，即可求为，由此可证； （2）先证明四边形是矩形，设，再利用勾股定理，即求解x的值，即可求解． （3）先由勾股定理求解和的长，再求解点D的坐标，根据待定系数法将点C和点D的坐标代入求解即可． 【详解】（1）如图1所示，连结， ， ， 平分， ， ， ， ， 是的半径，点在轴上， 与轴相切． （2）解：如图2所示，过点作于， 由（1）知，， 于， ，， 又， 四边形是矩形， ，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得（舍）， ， ， 在中，由勾股定理得， 即，解得， ∴在中，． （3）解：如图3所示，连结，过点作于， 由（2）知，，， ， 在中，由勾股定理得， 是的直径， ，， 在中，， 由勾股定理，得， 即， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ，解得， ， ，即点横坐标为， ， 设直线解析式为，代入，， 得，解得， 故直线的解析式为． 13．（2025·广东韶关·一模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中项点”． (1)如图，的顶点是网格图的格点，每个单元格的边长相等，点在格点上，连接交于点，求证：点是边上的一个“中项点”． (2)如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”． 求证：； 若，的半径为，且，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； ． 【分析】利用网格图证明，得出，利用直角三角形中角的关系可以证明，利用相似三角形对应边成比例可证点是边上的一个“中项点”； 利用圆周角定理可证，根据相似三角形的性质可证，根据点是中边上的“中项点”，可证，利用垂径定理可证结论成立； 由可知，，根据平行线的性质可证是直角，根据圆周角定理可证是的直径，设，则，，利用勾股定理可以求出，，又因为，可得：，从而可求． 【详解】（1）证明：如下图所示， ∵，，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 点是边上的一个“中项点”； （2）证明：如下图所示，连接， ， 又， ， ， ， 点是中边上的“中项点”， ， ， ， ； 解：如下图所示，连接， 由可知，， 又， ， ， 是的直径， ， 设，则， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形相似的判定与性质、垂径定理、圆周角、勾股定理等知识点．解题的关键与难点在于理解新定义与所学知识的连接，灵活运用已有知识． 14．（2024·广东中山·三模）如图1，在中，直径，，点D是半圆上的一个动点，过点D作∥交直径于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，若点A是弧的中点，请判断四边形的形状，并证明； (3)如图3，当点D在半圆的中点时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形．证明见解析 (3) 【分析】（1）利用圆内接四边形的对角互补和平行线同旁内角互补，说明同角的补角相等； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明它是菱形； （3）先证明，然后在直角三角形中即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是圆内接四边形， ， ， ， ； （2）四边形是菱形． 证明：， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （3）解：连接， 点是半圆的中点， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的性质，结合了三角形全等、菱形的判定、解直角三角形等知识，难度不大． 15．（2025·广东江门·三模）综合与运用 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图，若点P是第四象限内抛物线上一点，连接，当是直角三角形时，求点P的横坐标； (3)如图，点D是x轴上方抛物线上一动点，作的外接圆，过D作轴，交于点F，求的长． 【答案】(1)， (2)点P的横坐标为1或 (3) 【分析】本题考查的是二次函数的性质，相似三角形判定与性质及圆内接四边形性质， （1）根据二次函数性质分别求出坐标即可； （2）分三种情况：当时或当时，分别根据相似三角形判定与性质求出，当时，此种情况不合题意； （3）连接，结合圆内接四边形性质得出，设，根据相似三角形性质求出即可． 【详解】（1）解：二次函数，当时，， 解得：， ， 当时，， ； （2）解：设， 当时，如下图，过点P作轴于点Q， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：（不合题意舍去）， 经检验，是原方程的解， 点P的横坐标是1； 当时，如下图，过点P作轴于点Q，过点B作轴交延长线于点M， 同理可证：， ，即， 解得：（不合题意舍去）， 经检验，是原方程的解， 点P的横坐标是； 当时，点P不在第四象限，舍去； 综上所述，点P的横坐标为1或； （3）连接， 由题意得：四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ， ， ， ， 设， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $