第02讲 三角形（2命题点+19题型+2突破）（复习讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦三角形核心考点，涵盖基础概念、相关线段、相关角三大模块，构建“考情剖析-知识网络-考点解析-题型预测”的系统架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练突破重难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于分层练习设计与重难突破策略，如网格求面积用割补法培养几何直观，角平分线性质证明强化推理能力，配合基础到提升的三级训练，助力学生高效掌握考点，教师可据此精准把控复习节奏，提升应考能力。

第三章 三角形 第02讲 三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 三角形的基础概念 题型01三角形的认识与分类 题型02三角形的稳定性 命题点二 三角形相关的线段 题型01画三角形的五线 题型02与三角形高有关的计算 题型03利用网格求三角形面积 题型04与三角形中线有关的计算 题型05与三角形重心有关的计算 题型06与三角形中位线有关的计算 题型07利用角平分线的性质求解 题型08角平分线的判定 题型09利用垂直平分线的性质求解 题型10垂直平分线的判定 题型11三角形的三边关系 命题点三 三角形相关的角 题型01三角形内角和定理的证明 题型02与平行线有关的三角形内角和问题 题型03与角平分线有关的三角形内角和问题 题型04三角形折叠中的角度问题 题型05三角形内角和定理的应用 题型06三角形的外角性质 05·重难突破·思维进阶难 36 突破一与三角形有关的线段综合 突破二与三角形有关的角综合 06·优题精选·练能提分 39 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 三角形的基础概念 掌握三角形的基础概念，认识三角形的分类，掌握三角形的稳定性特征； 三角形相关的线段 广东卷 T5 广州卷 T14 广东卷 T17 广州卷 T19 深圳卷T6 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性； 证明三角形的任意两边之和大于第三边； 了解三角形重心的概念； 探索并证明角平分线的性质定理； 理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理. 三角形相关的角 广州卷T15 探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论； 命题预测 在初中几何数学中，三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础. 所以，在中考中，与其它几何图形结合考察的几率比较大，特别是全等三角形的性质和判定的综合应用.考生在复习该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和应用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考察. 针对广东2026年中考数学来说，三角形的考查一般还是与其他知识点一起综合考查为主，关键在于知识点之间的关联性，要会灵活运用； 考点一 三角形的相关概念 知识点01 三角形的相关概念 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”. 知识点02 三角形的分类 1、三角形按边分类：三角形 2、三角形按角分类：三角形 知识点03 三角形的稳定性 三角形的稳定性: 三角形三条边确定之后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 【补充】四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了. 三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边． 三角形三边关系的应用： 1、判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 2、已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3、所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 1．（2025·广东中山·一模）若中，锐角A、B满足，则是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2．（2025·山东青岛·一模）在中，，，则的形状（    ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．无法确定 3．（2025·广东汕头·一模）在中，如果，根据三角形按角进行分类，这个三角形是 三角形． 度． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其运用的数学知识是（　　） A．三角形三个内角的和等于180° B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．三角形具有稳定性 考点二 三角形相关的线段 知识点01 与三角形有关的线段 类型 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 用途举例 1）线段垂直．2）角度相等． 1）线段相等．2）面积相等． 角度相等． 类型 三角形的中位线 三角形的垂直平分线 文字语言 连接三角形两边中点的线段 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线 图形语言 性质 ∵DE是∆ABC的中位线 ∴DE=BC DE∥BC ∵直线l是AB的垂直平分线 ∴PA=PB, AC=BC, ∠PCA=∠PCB=90° 用途举例 1）线段平行．2）线段关系． 1）线段相等．2）角度相等． 5．（2025·广东江门·一模）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上 根木条． 6．（2024·广东·模拟预测）如图，是的角平分线． (1)用直尺和圆规过点作，垂足为（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，，求的长． 7．（2024·广东·模拟预测）如图，平行四边形中，对角线，相交于点，点是的中点，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，是的中线，是的中线，是的中线．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 考点三 三角形相关的角 知识点01 与三角形相关的角 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 9．（2023·广东深圳·中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（    ）    A．70° B．65° C．60° D．50° 10．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在四边形中，点E在上，，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 11．（2024·广东清远·二模）如图，，，，则的度数是 ． 12．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在线段上，，与交于点，若，，则的长为 ． 命题点一 三角形的相关概念 ►题型01 三角形的认识与分类 【典例1】（2025·福建·模拟预测）如图是由18根完全相同的火柴棒摆成的图形，如果拿掉其中的3根，剩下的图形中恰好有7个三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 【变式2】（2025·陕西延安·三模）如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3】（2024·广东潮州·模拟预测）如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有A、B、C、D四个格点，下面四个结论中，正确的是（　　） A．A、B、C三点在一条直线上 B．连接、，则是直角三角形 C．连接， D．连接、，则 ►题型02 三角形的稳定性 1、 三角形具有稳定性. 2、四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了. 【典例1】（2025·广东潮州·一模）下列图形具有稳定性的是（ ） A．菱形 B．三角形 C．正方形 D．圆形 【变式1】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学原理是（    ） A．三角形的内角和为 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 【变式2】（2025·上海·模拟预测）如图，建筑工地上的塔吊机的框架由数个三角形拼接而成，其数学依据是（    ）    A．两点之间线段最短 B．三角形内角和为 C．三角形具有稳定性 D．三角形两边的和大于第三边 【变式3】（2024·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于 命题点二 三角形相关的线段 ►题型01 画三角形的五线 【典例1】（2025·广东佛山州·一模）下列图形中，作的边上的高，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东东莞·一模）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能 【变式2】（2025·安徽六安·模拟预测）如图，在由边长为个单位长度的正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的． (1)将绕点逆时针旋转得到（其中A与，与是对应点），在网格中画出； (2)直接写出的面积； (3)用无刻度的直尺画出的高线，保留画图痕迹． 【变式3】（2024·江西·一模）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，均在格点上，在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图．（不要求写出画法，保留作图痕迹） (1)在图1中作的中线． (2)在图2中作的高． ►题型02 与三角形高有关的计算 ①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线. ②高相等，面积之比等于底边之比. 【典例1】（2024·广东广州·模拟预测）如图，已知，M为中点，于D，求和的长度． 【变式1】（2025·广东汕头·一模）如图，在中，． (1)实践与操作：利用尺规作的高．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)问题与解决：在（1）的条件下，若，求． 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）如图，点C是线段上一点（），分别以为直角边在同侧作等腰和等腰，连结．记，，，，若，则（    ） A．10 B．15 C．20 D．40 【变式3】（2025·安徽安庆·一模）如图，在四边形中，，，交于点O，：，则（　　）    A． B． C． D． ►题型03 利用网格求三角形面积 1、利用割补法求三角形的面积. 2、皮克定理：三角形的面积=内点数+边点数÷2-1 【典例1】（2025·广东韶关·三模）如图，在平面直角坐标系中，点、、、，通过平移得到． (1)若点与点相对应，请画出平移后的； (2)若点在坐标轴上，且满足，直接写出点的坐标． 【变式1】（2025·广东清远·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点A，B，C均在网格上． (1)作关于y轴对称的图形； (2)在x轴上找一点P，使得点P到B，C两点的距离之和最小，并标出P点所在位置； (3)求的面积． 【变式2】（2025·广东茂名·一模）为了弘扬爱国主义精神，实验中学在五四青年节，组织了唱红歌活动，八（3）班选定了三人合唱小组，排练时歌手，，的站位如图所示： (1)如果点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______； (2)在（1）的坐标系下，连接，，，求出的面积； (3)在（1）的坐标系下，歌手保持不动，将歌手向上平移个单位后再向右平移个单位到，将歌手向上平移个单位到，请判断由，，三点构成的三角形是否为直角三角形？为什么？ 【变式3】如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高是（    ）    A． B． C． D． ►题型04 与三角形中线有关的计算 【典例1】（2025·广东·二模）如图， 在中， D， E分别是的中点． 若的面积是1，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2025·广东珠海·二模）如图，的中线，相交于点F，点M，N分别是，的中点，连接MN，已知的面积为4，则的面积为 ． 【变式2】（2025·广东清远·一模）如图，在中，延长至点，使，连接，取的中点，连接．当的面积为12时，的面积为（　　） A．1．5 B．3 C．3．5 D．6 【变式3】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在菱形中，两条对角线相交于点O，，过 点C 作，交的延长线于点E， 连接， 则的面积是 ►题型05 与三角形重心有关的计算 【典例1】（2025·广东东莞·一模）如图，在中，，点E为此三角形的重心，连接并延长交于点D，过点E作于点F，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【变式1】（2025·广东韶关·二模）综合与实践 【主题】悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线相反方向竖直向下的重力的作用线； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心． 【实践探索】 (1)根据实践操作步骤，画出题图2中不规则形状硬纸板的重心； (2)我们在八年级学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，如图3，在中，、、分别是的三条中线，点是的重心； ①若的面积是6，则的面积是____________； ②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍，请用你所学的数学知识进行证明． 【变式2】（2025·广东惠州·三模）如图，在中，点D为边的中点，点G为的重心，则的值为 ． 【变式3】（2025·广东肇庆·一模）综合与实践主题：确定筝形的重心位置． 素材：如图（1），筝形薄板中，，，． 实践操作一：如图（2），过悬挂点A将薄板用细线悬挂起来，静止后，过点A沿细线所在直线画一条射线；然后将悬挂点换成B，用同样的方法画出过点B的射线，两射线的交点就是筝形薄板的重心G，已知筝形的重心在其对称轴上． （1）连接，求证：点G在上． 实践操作二：如图（3），连接，分别作出的重心和的重心J，连接，则与的交点就是筝形薄板的重心G．已知三角形的重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍． （2）判断与的位置关系并证明． （3）求的值． ►题型06 与三角形中位线有关的计算 【典例1】（2025·广东深圳·三模）如图，在中，对角线与相交于点O，E是延长线上的一点，连接交于点F．已知，，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，连接，点O是的中点，连接，则长（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东·三模）如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点，点、分别为、的中点，连接，则长度的最大值为 ． 【变式3】（2025·广东阳江·模拟预测）如图，矩形中，，，点在边（不包含端点）上运动，点在边（包含端点）上运动，连接，，分别为，的中点，则长度的最大值与最小值的差为 ． ►题型07 利用角平分线的性质求解 【典例1】（2025·广东云浮·一模）如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：． 【变式1】（2023·广东佛山·三模）如图，在中，，按如下步骤作图． 第一步：作的平分线交于点； 第二步：作的垂直平分线，交于点，交于点； 第三步：连接．则下列结论正确的是（    ） A． B．平分 C． D． 【变式2】（2023·广东深圳·二模）如图，在中，，，，点M、N分别在、上，连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分，则长为 ．    【变式3】课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． ►题型08 角平分线的判定 【典例1】（2025·广东潮州·一模）如图，已知，垂足为，，垂足为，，．求证：平分． 【变式1】（2023·广东惠州·二模）如图，，，于． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【变式2】（2024·广东揭阳·一模）如图，在中，点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则（　　）    A． B． C． D． 【变式3】（2025·广东潮州·一模）如图，的内角和外角的平分线相交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 ►题型09 利用垂直平分线的性质求解 已知垂直平分线，立马得到以下三个结论: 1、 垂直； 2、 平分； 3、连垂直平分线上某点和线段两端，那么这两个距离相等. 【典例1】（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则 ．    【变式1】（2023·青海海东·二模）如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，平分交于点，且，交的延长线于点，若，，则 ． 【变式3】（2025·广东·模拟预测）若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为60°，则称该三角形为“完美三角形”． (1)______直角三角形是“完美三角形（填“存在”或“不存在”）； (2)如图1，在中，，，，则 ______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (3)如图2，在“完美三角形”中，，，，求证：是等边三角形． ►题型10 垂直平分线的判定 1、根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直，二是平分； 2、可以证明直线上有两个点在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可以判定这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线. 【典例1】已知：如图，，点、分别在、上，且，、相交于点．求证：点在线段的垂直平分线上． 【变式1】（2025·江苏扬州·一模）下面是“过直线外一点作直线的垂线”的尺规作图方法． 上述方法通过构造直线上线段的垂直平分线，得到直线的垂线其中判定点在线段的垂直平分线上的依据可以是（   ） （1）任取一点，使得点和点在直线的两旁； （2）以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点和点； （3）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； （4）作直线直线就是所求作的垂线 A．点与点关于直线对称 B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【变式2】（2025·山西长治·二模）下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ 【变式3】（2024·广东·模拟预测） 阅读与思考 下面的文段是小红同学的学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 没有直角尺也能作出直角 今天，在综合实践课上，老师和同学们讨论了一个数学问题：不用直角尺直接画直角，你还有其它方法作出直角吗？同学们给出了很多有趣的方法，现选择一些记录如下： 方法一：拿出一根细长的麻绳团，在这段麻绳上取12段相等的“绳段”，然后剪断，再把绳子的两端系在一起，形成一个环状，再通过多次折叠，每段端点用彩笔做好标记(如图①)； 如图②，把从B到C之间的5段绳子拉成直线，然后在A点处将段和段的绳子都拉紧，于是得到了直角； 方法二：在平面内过点A作直线，作射线，然后按照如图所示的尺规作图方法作出射线和射线， 于是得到了直角； 方法三：以点O为圆心画一个圆，在圆周上任取一点C (不与点A，B重合)，连接，，于是得到了直角； 方法四：画一条线段，分别以A，B为圆心，适当长为半径画圆，两圆相交于C，D，连接交于点E， 于是得到了直角． 任务： (1)填空：“方法一”依据的一个数学定理是 ； “方法二”中与互余的角有 ； “方法三”依据的一个数学定理是 ； (2)请根据证明方法四的作图方法， 证明． ►题型11 三角形的三边关系 若满足：最短的线段长+中间的线段长＞最长的线段长，即可构成三角形. 【典例1】（2025·广东深圳·模拟预测）已知三角形的两边，，第三边是，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有4根木棒供他选择，其长度分别为，小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（     ） A． B． C． D．1 【变式2】（2025·广东惠州·二模）如图，等腰中，点P为斜边中点，点D在上且，将绕点C在平面内旋转，点D的对应点为点Q，连接．则的最大值为 ． 【变式3】（2025·广东深圳·二模）【项目式学习】 问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题． 问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形的概率是多少？ 理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是，，．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：，，，等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将，代入，这就是一个一元一次不等式，可以得到的取值范围是． 解决问题： 任务1： （1）同理可得，的取值范围是______，的取值范围是______． （2）如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点，连接，，，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现，，，与存在数量关系：，请给出证明． 任务2：根据以上构造，设，，，则，，，只需要满足以上的不等式即可．请在图3的中，用阴影部分标记出，，满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识） 任务3：阴影部分的面积与面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是______． 命题点三 三角形相关的角 ►题型01 三角形内角和定理的证明 【典例1】（2025·浙江嘉兴·二模）如图，在中，，点分别在边上，且，连接． (1)当时，求的度数． (2)若，求的度数． 【变式1】（2025·安徽亳州·二模）综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围； (2)如图2，，，，D为的中点，求证，； (3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于两点，连接直线，交于点，交于点． (1)求证：直线垂直平分线段； (2)若，连接，求的度数． 【变式3】已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② ►题型02 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例1】（2024·四川成都·三模）如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【变式1】（2025·河南周口·三模）如图，将一个含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·浙江台州·二模）将一个含角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中，若，则的度数是(    ) A．1 B． C． D． ►题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例1】（2026·陕西·一模）如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，． (1)作的平分线交于；（用尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）题的条件下，求证：． 【变式3】如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ．   ►题型04 三角形折叠中的角度问题 【典例1】（2024·湖北·模拟预测）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 【变式2】（2025·湖北·模拟预测）如图，矩形纸片ABCD中，，，点E是BC的中点，连接AE，将矩形纸片沿直线折叠，使点B落在点处，连接，则 ， ． 【变式3】（2025·广东东莞·三模）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则 ． ►题型05 三角形内角和定理的应用 【典例1】（2026·湖北襄阳·二模）如图，将绕点C旋转得到，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·上海长宁·一模）如图，在中，，，分别是边上的点，满足，若为的中点，且，那么的值为 ． 【变式2】（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，D为内一点，，其中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点F． (1)求的度数； (2)用等式表示的数量关系，并证明． 【变式3】（2024·海南·三模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点、；②作直线交于点． 若，，，则的面积等于（   ） A．15 B．12 C．14 D．28 ►题型06 三角形的外角性质 【典例1】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，点在线段上，，且，．连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式1】（2025·重庆·模拟预测）在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，，连接，取上一点G，使，延长交于点H．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东·一模）如图1，已知直线，且和之间的距离为，小明同学制作了两块直角三角形硬纸片和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上 ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2；求的度数 ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形如图3放置，若点在直线上，点在和之间（不含，上），边和与直线分别交于点，．在绕着点旋转的过程中，设，，则的取值范围为 ． 【变式3】如图，在，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，求的度数为（ ） A． B． C． D． 突破一 与三角形有关的线段综合 【典例1】（2024·广东广州·二模）如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的面积． 【变式1】在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，连接交于点H，连接，若点H为线段的中点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点P，连接，直接写出线段长度的最小值． 【变式2】（2025·广东深圳·二模）如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．    (1)观察猜想： 图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______； (2)探究证明： 把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由； (3)拓展延伸： 把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【变式3】（2023·广东佛山·一模）如图，已知的三个内角的平分线交于点，点在的延长线上，且，，连接． (1)求证：； (2)若，求的长度． 突破二 与三角形有关的角综合 【典例1】（2025·广东潮州·二模）如图，在中，D是延长线上的一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式1】如图，在等边中，点、分别是、上的点，，与交于点． (1)填空：_____度； (2)如图，以为边作等边，与相等吗？并说明理由； (3)在（）的条件下，如图，若点是的中点，连接，请写出与的数量关系：__________．（不需要说明理由） 【变式2】（2025·广东广州·二模）以线段、为底，在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． (1)如图1，当点、、三点共线时，求证： (2)如图2，当点、、三点不共线时，若，连接，点为中点，连接、，求证：； (3)如图3，当点在线段上运动且点在直线的下方时（点与、不重合），请直接写出与的数量关系． 【变式3】（2025·广东珠海·二模）如图1，在中，的平分线交于点E， (1)求的度数； (2)如图2，延长分别交于M，N，在的延长线取一点D，使，交于点F． ①当时，求的长； ②证明：． 1．（2025·广东惠州·一模）以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·一模）对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是（   ） A．至少存在一个钝角三角形 B．至多存在一个直角三角形 C．至少存在一个锐角三角形 D．至多存在一个钝角三角形 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，点D是边上的一个动点（不与点A，B重合），连接，当时，则的面积为（   ） A． B． C．2 D． 4．（2025·甘肃武威·一模）小明将一副直角三角板按如图所示摆放，点在边上，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州遵义·一模）如图，在一块不规则余料上，连接，若，，，则的面积为 ． 6．（2025·吉林松原·三模）如图，在中，点是边的中点，点在边上，且平分，已知，则的长为 ． 7．（2025·山东济南·模拟预测）将一副直角三角板如图放置，已知，，则 8．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第个；在边上任取一点，延长到，使，得到第个，按此做法继续下去，第个三角形的底角度数是 ． 9．（2025·河南驻马店·三模）如图，是的中线． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上取点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若点A到直线的距离是1，求点B到直线的距离． 10．（2025·吉林四平·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹．    (1)在图①中，以为边画一个面积为6的，使点C在格点上（画一个即可）； (2)在图②中，以为边画一个面积为12的平行四边形，使点D、E均在格点上； (3)在图③中，以为边画一个面积为18的四边形，且四边形是轴对称图形，使点F、G均在格点上． 11．（2025·江苏无锡·二模）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 12．（2025·浙江宁波·三模）已知：如图，是的一条对角线．延长至点，反向延长至点，使得． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 13．（2025·辽宁抚顺·一模）在“综合与实践”活动课上，老师提出问题：将绕点B顺时针旋转得到，其中，． (1)如图1，当点E落在外部，且时，延长交于点G，求证：四边形是正方形； (2)如图2，当点E落在内部，且时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N，求证：； (3)将绕点B顺时针旋转的过程中，当时，连接．若，，求的面积． 14．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画的中线； (2)在（1）的基础上，在线段上画点E， 使； (3)在图（2）中，E 为格点，在线段上画点F， 使； (4)在（2）的基础上，在线段上画点G， 使． 15．（2025·天津·一模）如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在边上，点，，在一条直线上，连接，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 16．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕点C逆时针旋转至， 点 D 落在边上，连接．若，平分，则的度数为（  ） A． B． C． D． 17．（2025·北京·三模）中，，，点D在边上（不与A，B重合），过点D作交于E，将绕点A旋转得到，下列结论一定正确的是（   ） ① ②只有当时，成立； ③当D与重合时； ④旋转过程中的度数与旋转角，有一定数量关系； ⑤旋转过程中的度数与有一定数量关系； A．①③⑤ B．①②④ C．①③④ D．④⑤ 18．（2025·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，点E，F分别是，边上的动点，连接， 分别与对角线交于点G，H，且．若，则用含α的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 20．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 22．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 23．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 24．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 25．（2025·山东德州·中考真题）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 27．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 28．（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是 ．（写出一个即可） 29．（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为 ． 30．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则 度． 31．（2025·四川·中考真题）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为 °． 32．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是 33．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求点到线段的距离． 34．（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 35．（2025·江西·中考真题）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作出的中点； (2)在图2中作出的重心． 36．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 37．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 38．（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1． (1)求的度数； (2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长． 39．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的点（在同一水平线上）测得点，点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 三角形 第02讲 三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 三角形的基础概念 题型01三角形的认识与分类 题型02三角形的稳定性 命题点二 三角形相关的线段 题型01画三角形的五线 题型02与三角形高有关的计算 题型03利用网格求三角形面积 题型04与三角形中线有关的计算 题型05与三角形重心有关的计算 题型06与三角形中位线有关的计算 题型07利用角平分线的性质求解 题型08角平分线的判定 题型09利用垂直平分线的性质求解 题型10垂直平分线的判定 题型11三角形的三边关系 命题点三 三角形相关的角 题型01三角形内角和定理的证明 题型02与平行线有关的三角形内角和问题 题型03与角平分线有关的三角形内角和问题 题型04三角形折叠中的角度问题 题型05三角形内角和定理的应用 题型06三角形的外角性质 05·重难突破·思维进阶难 95 突破一与三角形有关的线段综合 突破二与三角形有关的角综合 06·优题精选·练能提分 116 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 三角形的基础概念 掌握三角形的基础概念，认识三角形的分类，掌握三角形的稳定性特征； 三角形相关的线段 广东卷 T5 广州卷 T14 广东卷 T17 广州卷 T19 深圳卷T6 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性； 证明三角形的任意两边之和大于第三边； 了解三角形重心的概念； 探索并证明角平分线的性质定理； 理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理. 三角形相关的角 广州卷T15 探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论； 命题预测 在初中几何数学中，三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础. 所以，在中考中，与其它几何图形结合考察的几率比较大，特别是全等三角形的性质和判定的综合应用.考生在复习该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和应用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考察. 针对广东2026年中考数学来说，三角形的考查一般还是与其他知识点一起综合考查为主，关键在于知识点之间的关联性，要会灵活运用； 考点一 三角形的相关概念 知识点01 三角形的相关概念 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”. 知识点02 三角形的分类 1、三角形按边分类：三角形 2、三角形按角分类：三角形 知识点03 三角形的稳定性 三角形的稳定性: 三角形三条边确定之后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 【补充】四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了. 三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边． 三角形三边关系的应用： 1、判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 2、已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3、所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 1．（2025·广东中山·一模）若中，锐角A、B满足，则是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的性质求出和的度数，即可判断的形状． 【详解】解：∵， ∴，且， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、三角形的分类、等边三角形的判定，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 2．（2025·山东青岛·一模）在中，，，则的形状（    ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了由三角函数值求锐角、三角形的内角和，根据特殊角的三角函数值得、，再利用三角形的内角和即可求解，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：由，得， ，得， ， 故是锐角三角形， 故选：A． 3．（2025·广东汕头·一模）在中，如果，根据三角形按角进行分类，这个三角形是 三角形． 度． 【答案】 直角三角形 ． 【分析】根据内角和定理求解的度数，再进行判断即可． 【详解】解：设三角分别是，，． 则， 解． 所以三角分别是，，． 故这个三角形是直角三角形，． 故答案为：直角三角形，． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握以上知识是解题的关键． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其运用的数学知识是（　　） A．三角形三个内角的和等于180° B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的性质，熟练掌握三角形的稳定性是解决问题的关键；根据三角形具有稳定性一一判定即可； 【详解】解：A．主要说明三角形的内角和，与稳定性无关，故错误； B．垂线段最短，与稳定性无关，故错误； C．两点之间，线段最短，与稳定性无关，故错误； D．三角形具有稳定性，故正确； 故选：D． 考点二 三角形相关的线段 知识点01 与三角形有关的线段 类型 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 用途举例 1）线段垂直．2）角度相等． 1）线段相等．2）面积相等． 角度相等． 类型 三角形的中位线 三角形的垂直平分线 文字语言 连接三角形两边中点的线段 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线 图形语言 性质 ∵DE是∆ABC的中位线 ∴DE=BC DE∥BC ∵直线l是AB的垂直平分线 ∴PA=PB, AC=BC, ∠PCA=∠PCB=90° 用途举例 1）线段平行．2）线段关系． 1）线段相等．2）角度相等． 5．（2025·广东江门·一模）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上 根木条． 【答案】2 【分析】本题考查三角形具有稳定性，多边形的对角线．要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 【详解】解：∵过五边形的一个顶点作对角线，有2条对角线， ∴至少要钉上2根木条， 故答案为：2． 6．（2024·广东·模拟预测）如图，是的角平分线． (1)用直尺和圆规过点作，垂足为（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图—基本作图，角平分线的性质， （1）利用基本作图，过点作于； （2）如图，过点作于，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式得，可得答案； 解题的关键是熟练掌握种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，过点作于， ∵是的角平分线，于， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 7．（2024·广东·模拟预测）如图，平行四边形中，对角线，相交于点，点是的中点，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，再由点是的中点得出，从而得出，即可得解，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴与的面积比为， 故选：A． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，是的中线，是的中线，是的中线．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了利用三角形的中线求线段，熟练掌握三角形的中线等分线段是解题的关键． 根据三角形的中线等分线段得到，，，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：B． 考点三 三角形相关的角 知识点01 与三角形相关的角 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 9．（2023·广东深圳·中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（    ）    A．70° B．65° C．60° D．50° 【答案】A 【分析】根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 10．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在四边形中，点E在上，，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理． 根据两直线平行，同位角相等，据此可求出，然后根据三角形内角和进行解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：A． 11．（2024·广东清远·二模）如图，，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与三角形外角的性质，解题的关键是利用平行线的性质和三角形外角的性质进行角度计算． 利用平行线的性质得到与相等的角，再结合三角形外角的性质，通过角的差求出的度数． 【详解】解：如图： ∵， ， ， ， ∵是的一个外角， ． 故答案为：． 12．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在线段上，，与交于点，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是正确的应用等边三角形的性质． 先根据等边三角形的性质得到三个内角是，再根据角度的计算用表示出相关的角，得到，进而证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，在 上截取，连接． 设，则， ∵是等边三角形， ∴,， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 命题点一 三角形的相关概念 ►题型01 三角形的认识与分类 【典例1】（2025·福建·模拟预测）如图是由18根完全相同的火柴棒摆成的图形，如果拿掉其中的3根，剩下的图形中恰好有7个三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据各选项画出相应图形，再数三角形的个数即可得． 【详解】A、拿掉，，后，剩下的图形如下： 图形中恰好有7个三角形，此项符合题意； B、拿掉，，后，剩下的图形如下： 图形中有4个三角形，此项不符题意； C、拿掉，，后，剩下的图形如下： 图形中有6个三角形，此项不符题意； D、拿掉，，后，剩下的图形如下： 图形中有9个三角形，此项不符题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的概念，正确画出剩下的图形是解题关键． 【变式1】（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式，整式的加减，勾股定理的逆定理及应用，理解三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形． 由三角形的三边长是连续偶数，分三边为2，4，6；4，6，8；6，8，10；8，10，12；逐一判断，再当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，再根据三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：由三角形的三边长是连续偶数， 当三边为2，4，6时， ∵， ∴2，4，6不能组成三角形； 当三边为4，6，8时， ∵， ∴最大角为钝角，则三边为4，6，8时三角形是钝角三角形； 当三边为6，8，10， ∵， ∴三边为6，8，10时三角形是直角三角形； 当三边为8，10，12， ∵， ∴三边为8，10，12时，三角形是锐角三角形（最大角为锐角）； 当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，有 ，解得， ∵， ∴最小边为8且三边长是连续偶数的三角形都是锐角三角形； 综上，只有1个钝角三角形． 故选A． 【变式2】（2025·陕西延安·三模）如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的定义，垂线的定义，平行线的性质，根据得、是直角三角形，再根据，得，即可得、是直角三角形，进而可得结论． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，， ∵于点， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∴、是直角三角形， 综上，直角三角形有、、、、，一共5个， 故选：C． 【变式3】（2024·广东潮州·模拟预测）如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有A、B、C、D四个格点，下面四个结论中，正确的是（　　） A．A、B、C三点在一条直线上 B．连接、，则是直角三角形 C．连接， D．连接、，则 【答案】D 【分析】本题考查了直线、三角形的分类、平移的性质，垂直的定义，理解网格的特点，掌握相关知识点是解题关键． 【详解】解：A、连接并延长，点不在直线上，即A、B、C三点不在一条直线上，结论错误，不符合题意； B、连接、，取格点，，而，即是钝角三角形，结论错误，不符合题意； C、连接，将点向上平移三个单位，再将点向上平移三个单位，点不在直线上，即不平行，结论错误，不符合题意； D、由网格可知，，结论正确，符合题意； 故选：D． ►题型02 三角形的稳定性 1、 三角形具有稳定性. 2、四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了. 【典例1】（2025·广东潮州·一模）下列图形具有稳定性的是（ ） A．菱形 B．三角形 C．正方形 D．圆形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 三角形具有稳定性，菱形，正方形，圆形不具有稳定性， 故选：B． 【变式1】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学原理是（    ） A．三角形的内角和为 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据利用三角支架可以固定平板电脑的位置，得出这样做的数学原理是三角形具有稳定性，即可作答． 【详解】解：利用三角支架可以固定平板电脑的位置的数学原理是三角形具有稳定性， 故选：C． 【变式2】（2025·上海·模拟预测）如图，建筑工地上的塔吊机的框架由数个三角形拼接而成，其数学依据是（    ）    A．两点之间线段最短 B．三角形内角和为 C．三角形具有稳定性 D．三角形两边的和大于第三边 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，根据三角形具有稳定性即可得到答案． 【详解】解：塔吊机的框架由数个三角形拼接而成，其数学依据是三角形具有稳定性， 故选：C ． 【变式3】（2024·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于 【答案】C 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，根据四边形的不稳定性求解即可． 【详解】解：升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是：四边形的不稳定性， 故选：C． 命题点二 三角形相关的线段 ►题型01 画三角形的五线 【典例1】（2025·广东佛山州·一模）下列图形中，作的边上的高，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板作三角形高的基本操作方法，解决本题的关键在于理解如何利用三角板的直角边确保所作的高与底边垂直． 作的边上的高，需由点A向边上做垂线，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，需由点A向边上做垂线，故A错误； B选项，是点A向边上做垂线，故B正确； C选项，是的边上的高，故C错误； D选项，是的边上的高，故D错误． 故选：B ． 【变式1】（2025·广东东莞·一模）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的高，钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点据此判断即可． 【详解】解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形． 故选C． 【变式2】（2025·安徽六安·模拟预测）如图，在由边长为个单位长度的正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的． (1)将绕点逆时针旋转得到（其中A与，与是对应点），在网格中画出； (2)直接写出的面积； (3)用无刻度的直尺画出的高线，保留画图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)7 (3)见解析 【分析】本题考查图形的旋转、根据网格求图形面积、三角形高的作图方法，解题的关键是： （1）画出绕点逆时针旋转得到的点，连接即可； （2）将置于矩形网格内部，使得三个顶点均在矩形的边上，其面积为矩形面积减去三个直角三角形的面积，即采用割补法求解； （3）借助，过A作的平行线即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）； （3）取格点，连接交于点，则即为所求，理由如下： 由（1）可得：， 由题意和网格可得：， ∴，即为的高． 【变式3】（2024·江西·一模）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，均在格点上，在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图．（不要求写出画法，保留作图痕迹） (1)在图1中作的中线． (2)在图2中作的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——三角形的中线和高线，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）由矩形对角线互相平分可知，点是中点，连接即为的中线； （2）由等腰直角三角形的性质可知，，即为的高． 【详解】（1）解：如图1，中线即为所求作； （2）解：如图2，高即为所求作． ►题型02 与三角形高有关的计算 ①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线. ②高相等，面积之比等于底边之比. 【典例1】（2024·广东广州·模拟预测）如图，已知，M为中点，于D，求和的长度． 【答案】， 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，与三角形高有关的计算． 根据勾股定理逆定理判定出为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再利用三角形面积求出的长即可． 【详解】解：， ， ， 为直角三角形， 为的中点， ， ， ， ，． 【变式1】（2025·广东汕头·一模）如图，在中，． (1)实践与操作：利用尺规作的高．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)问题与解决：在（1）的条件下，若，求． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，熟悉掌握尺规作图高的做法是解题的关键． （1）根据高的尺规作图方法作图即可； （2）先求解，证明，进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求： ； （2）解：∵， 为的高， ∴， ∵， ∴， ∴. 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）如图，点C是线段上一点（），分别以为直角边在同侧作等腰和等腰，连结．记，，，，若，则（    ） A．10 B．15 C．20 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积，设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b，则，分别表示出和即可求解． 【详解】设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b， 则， ∴， ∵， ∴． 故选C． 【变式3】（2025·安徽安庆·一模）如图，在四边形中，，，交于点O，：，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形面积公式的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键； 先根据相似三角形的判定和性质求出对应边的比例关系，再利用三角形面积公式求出比值． 【详解】解：根据题意，， ∴ ∵ ∴ 则 所以． 故选：A． ►题型03 利用网格求三角形面积 1、利用割补法求三角形的面积. 2、皮克定理：三角形的面积=内点数+边点数÷2-1 【典例1】（2025·广东韶关·三模）如图，在平面直角坐标系中，点、、、，通过平移得到． (1)若点与点相对应，请画出平移后的； (2)若点在坐标轴上，且满足，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】本题考查了平移作图，求一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据平移的性质画出图形，即可求解； （2）待定系数法得出解析式为，设与轴交于点，得出，分点在轴上两种情况讨论，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：设解析式为，代入， 得， 解得：， ∴解析式为， 设与轴交于点， 当时，，则， ∵， ∴， 当在轴上时，设， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴或， 当在轴上时，如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 设，当在点下方时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当在直线的左侧时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当在点上方时，不存在， 综上所述，或或或 【变式1】（2025·广东清远·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点A，B，C均在网格上． (1)作关于y轴对称的图形； (2)在x轴上找一点P，使得点P到B，C两点的距离之和最小，并标出P点所在位置； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查轴对称，利用轴对称求最短路径，利用格点求三角形面积等，掌握轴对称的特点是解题的关键． （1）先作三个顶点关于y轴的对称点，再顺次连接； （2）作点B关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，点P即为所求； （3）用所在长方形网格的面积减去四周小三角形的面积即为所求． 【详解】（1）解：如图1，即为所求作的三角形． （2）解：如图2，作点B关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，点P即为所求．             （3）解：． 【变式2】（2025·广东茂名·一模）为了弘扬爱国主义精神，实验中学在五四青年节，组织了唱红歌活动，八（3）班选定了三人合唱小组，排练时歌手，，的站位如图所示： (1)如果点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______； (2)在（1）的坐标系下，连接，，，求出的面积； (3)在（1）的坐标系下，歌手保持不动，将歌手向上平移个单位后再向右平移个单位到，将歌手向上平移个单位到，请判断由，，三点构成的三角形是否为直角三角形？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系，点的平移，勾股定理及其逆定理，解题的关键是数形结合，能够利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形． （1）根据题意建立直角坐标系即可求解； （2）根据面积的和差即可求解； （3）先根据平移的性质得到对应点的位置，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，建立如图所示的直角坐标系， 可得点的坐标为， 故答案为：； （2）如图，连接，，， ； （3）是直角三角形， 理由：如图所示： ，，， ， 是直角三角形． 【变式3】如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用网格计算出的面积，再根据勾股定理求出边长，根据三角形面积公式即可求出边上的高． 【详解】解：， ， 边上的高的长度为：， 故选A． 【点睛】本题考查利用网格计算三角形的面积，勾股定理，解题的关键是计算出的面积． ►题型04 与三角形中线有关的计算 【典例1】（2025·广东·二模）如图， 在中， D， E分别是的中点． 若的面积是1，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，据此可求出的面积，进而可得的面积． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∵D为的中点， ∴， 故选；B． 【变式1】（2025·广东珠海·二模）如图，的中线，相交于点F，点M，N分别是，的中点，连接MN，已知的面积为4，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形中线的性质，重心的性质，能够准确地找到所求图形面积与已知图形面积之间的联系是快速解决本题的关键．先根据，是的中线，得出点F为的重心，，，得出，，然后根据三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，进行解答即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，是的中线， ∴点F为的重心，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵M为的中点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式2】（2025·广东清远·一模）如图，在中，延长至点，使，连接，取的中点，连接．当的面积为12时，的面积为（　　） A．1．5 B．3 C．3．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，掌握三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分成为解题的关键． 根据三角形中位线的性质可得，同理可得即可解答． 【详解】解：， ∴是的中线， ∴， 又是的中点， ． 故选D． 【变式3】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在菱形中，两条对角线相交于点O，，过 点C 作，交的延长线于点E， 连接， 则的面积是 【答案】 【分析】根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出，证明，得到，求出，求出，再根据点O是中点，即可求解． 【详解】解：菱形中，两条对角线相交于点O，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点O是中点， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形中线的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． ►题型05 与三角形重心有关的计算 【典例1】（2025·广东东莞·一模）如图，在中，，点E为此三角形的重心，连接并延长交于点D，过点E作于点F，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形重心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，合理作图是关键． 根据三角形的重心得到，证明，求出，再证明即可求解． 【详解】解：如图1所示，连接并延长交线段于点，与交于点，连接， ∵点为三角形的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2所示，过作于， ∵是的中线， ， ，，， ， ， ， ， ，即， ， ，， ， ， ，即， ． 故选：． 【变式1】（2025·广东韶关·二模）综合与实践 【主题】悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线相反方向竖直向下的重力的作用线； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心． 【实践探索】 (1)根据实践操作步骤，画出题图2中不规则形状硬纸板的重心； (2)我们在八年级学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，如图3，在中，、、分别是的三条中线，点是的重心； ①若的面积是6，则的面积是____________； ②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍，请用你所学的数学知识进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)①2；②见解析 【分析】本题考查了重心的概念、根据三角形中线求面积、三角形中位线定理、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）延长交于点，则重心即为所求； （2）①根据三角形中线的性质推出，，得到，即可求解； ②根据、、是的中线，可证明、、，通过等面积法可得，再次利用等面积法进行证明即可． 【详解】（1）解：如图所示，重心即为所求： （2）①解：∵、、分别是的三条中线， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； 故答案为：2； ②证明： ∵、、是的中线， ∴、，， 、、 同理可证 被三条中线分成六个面积相等的小三角形 令到的高为 ， ∴三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍． 【变式2】（2025·广东惠州·三模）如图，在中，点D为边的中点，点G为的重心，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 连接，并延长交于点E，连接，根据点G为的重心，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，并延长交于点E，连接， ∵点G为的重心， ∴点E为的中点， ∵为边上的中线， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2 【变式3】（2025·广东肇庆·一模）综合与实践主题：确定筝形的重心位置． 素材：如图（1），筝形薄板中，，，． 实践操作一：如图（2），过悬挂点A将薄板用细线悬挂起来，静止后，过点A沿细线所在直线画一条射线；然后将悬挂点换成B，用同样的方法画出过点B的射线，两射线的交点就是筝形薄板的重心G，已知筝形的重心在其对称轴上． （1）连接，求证：点G在上． 实践操作二：如图（3），连接，分别作出的重心和的重心J，连接，则与的交点就是筝形薄板的重心G．已知三角形的重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍． （2）判断与的位置关系并证明． （3）求的值． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）证明得到筝形关于直线对称，再根据点是筝形的重心得到结论即可； （2）由得到，再证明，得到，根据重心的性质得到，则，最后利用等腰三角形“三线合一”得到； （3）根据重心和勾股定理得到，，， ，，设，则，根据勾股定理得到，据此列方程求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴筝形关于直线对称， ∵点是筝形的重心， ∴点在上； （2）． 证明：∵， ∴， 由重心可知点分别是的中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点分别是和的重心， ∴，即， ∴， ∴（依据：等腰三角形“三线合一”）； （3）解：∵，由重心可知点是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形重心的定义和性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，理解重心的概念是解答本题的关键． ►题型06 与三角形中位线有关的计算 【典例1】（2025·广东深圳·三模）如图，在中，对角线与相交于点O，E是延长线上的一点，连接交于点F．已知，，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．取的中点H，连接，则，由平行四边形的性质得，，则，，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：取的中点H，连接， ∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，，， ∴，，， ∴，， ∵点E在的延长线上，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，连接，点O是的中点，连接，则长（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，先求出，则可证明，可得到，由三线合一性质可得，解直角三角形可得的长，延长到F使得，连接，由三角形中位线定理可得；证明，可得，则． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，延长到F使得，连接， ∵点O是的中点，， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（2024·广东·三模）如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点，点、分别为、的中点，连接，则长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．连接，证明是的中位线，则，根据题意得到当点M与点B重合时，最大，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：连接，    ∵，分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点，分别在边，上， ∴当点M与点B重合时，最大， ∵ ∴此时， ∴长度的最大值为， 故答案为：． 【变式3】（2025·广东阳江·模拟预测）如图，矩形中，，，点在边（不包含端点）上运动，点在边（包含端点）上运动，连接，，分别为，的中点，则长度的最大值与最小值的差为 ． 【答案】2 【分析】通过连接辅助线、，利用三角形中位线定理得出与的数量关系，再根据矩形性质确定的最值，进而求出的最值差． 【详解】解：连接、． ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 在矩形中，，． 当与重合时，，此时最小，； 当与重合时，，此时最大，． ∴长度的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理的应用，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． ►题型07 利用角平分线的性质求解 【典例1】（2025·广东云浮·一模）如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图——垂直平分线，垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）分别以点和为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过两点作直线即可； （2）根据角平分线的性质和垂直平分线的性质可得，，结合，即可证，进而得到． 【详解】（1）解：如下图所示即为所求， （2）证明：是的角平分线， ， 垂直平分，交于点， ， 又， ， ． 【变式1】（2023·广东佛山·三模）如图，在中，，按如下步骤作图． 第一步：作的平分线交于点； 第二步：作的垂直平分线，交于点，交于点； 第三步：连接．则下列结论正确的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】A 【分析】如图，由角平分线和垂直平分线的性质可得，进而得到，最后运用平行线的判定定理即可说明B选项正确． 【详解】解：如图： ∵是的角平分，是的中垂线， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、垂直平分线的性质以及平行线的判定，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 【变式2】（2023·广东深圳·二模）如图，在中，，，，点M、N分别在、上，连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分，则长为 ．    【答案】/ 【分析】根据翻折的性质可得，，证明，可得，设，则，可得，进行求解即可． 【详解】解：在中，, ∵将沿翻折得到， ∴，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、解一元一次方程、翻折的性质、角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 【变式3】课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论； （2）在上截取，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论． 【详解】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则， ∴， ∵平分 ∴，   ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）证明：如图3，在上截取，使，连接 ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴， ∴， ∴． （3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，即平分． 【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键． ►题型08 角平分线的判定 【典例1】（2025·广东潮州·一模）如图，已知，垂足为，，垂足为，，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 首先由垂直得到，然后证明出，得到，进而证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点D在的角平分线上， ∴平分． 【变式1】（2023·广东惠州·二模）如图，，，于． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形． （1）过点作，交的延长线于点．由证明，可得，结论得证； （2）证明，可得，可求出． 【详解】（1）证明：过点作，交的延长线于点． ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 又∵ 平分； （2）解：由（1）可得， 在和中， ， ∴， ， ． 【变式2】（2024·广东揭阳·一模）如图，在中，点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形内角和定理的应用．由题意可知点O为的三条角平分线的交点，可得，，根据三角形内角和定理求出，可得的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵点O到三边距离相等， ∴点O为的三条角平分线的交点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】（2025·广东潮州·一模）如图，的内角和外角的平分线相交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①根据角平分线的定义得到，，根据外角的性质即可得到结论； ②与只有三对角是相等的，但不能得出相等的边，所以不能得出全等的结论，； ③由，结合线段的代换．即可得到结论； ④由于是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点到、、的距离相等，从而得出为外角平分线，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可得出结论． 【详解】解：①平分， ， 平分， ， ，， ， ，故①正确； ②与只有三对角是相等的，但不能得出相等的边，所以不能得出全等的结论，故②错误． ③平分， ， ， ， ， ， 同理， ，故③正确． ④过点作于，于，于，如图， 平分， ， 平分， ， ， 平分， 设，，，如图， 则，， ， ， ， ， ， ， 即，故④正确； 故选：C．    【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理、三角形外角性质等多个知识点，具有一定难度．判断出是外角平分线是关键． ►题型09 利用垂直平分线的性质求解 已知垂直平分线，立马得到以下三个结论: 1、 垂直； 2、 平分； 3、连垂直平分线上某点和线段两端，那么这两个距离相等. 【典例1】（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2023·青海海东·二模）如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质，由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，平分交于点，且，交的延长线于点，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 延长至点，使，连接，由线段垂直平分线得到，然后导角证明，最后对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接， ∵ ∴垂直平分， ， ． ， ， ． 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（2025·广东·模拟预测）若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为60°，则称该三角形为“完美三角形”． (1)______直角三角形是“完美三角形（填“存在”或“不存在”）； (2)如图1，在中，，，，则 ______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (3)如图2，在“完美三角形”中，，，，求证：是等边三角形． 【答案】(1)不存在； (2)不是； (3)证明见解析． 【分析】（1）根据特殊三角形三边之比，可得结论． （2）如图1中，过点作于．求出，，可得结论． （3）如图2中，过点作于．通过计算证明，推出，即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，，，则三角形的三边之比，因此不存在直角三角形是完美三角形． 故答案为：不存在． （2）如图1中，过点作于． 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，不是整数， ∴不是完美三角形． 故答案为：不是． （3）证明：如图2中，过点作于． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了含的直角三角形、特殊三角形的三角函数、垂直平分线的性质和等边三角形的判定，熟练掌握含的直角三角形的三边之比、、、垂直平分线上任意一点到线段端点的距离相等、有一个角是的等腰三角形是等边三角形是解题的关键． ►题型10 垂直平分线的判定 1、根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直，二是平分； 2、可以证明直线上有两个点在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可以判定这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线. 【典例1】已知：如图，，点、分别在、上，且，、相交于点．求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．先证明，得到，再由等边对等角可得，从而推出，进而得出，即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ． ， ， ，即， ， 点在线段的垂直平分线上． 【变式1】（2025·江苏扬州·一模）下面是“过直线外一点作直线的垂线”的尺规作图方法． 上述方法通过构造直线上线段的垂直平分线，得到直线的垂线其中判定点在线段的垂直平分线上的依据可以是（   ） （1）任取一点，使得点和点在直线的两旁； （2）以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点和点； （3）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； （4）作直线直线就是所求作的垂线 A．点与点关于直线对称 B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是关键．根据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可求解． 【详解】解：根据作图可得，依据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，得到点在线段的垂直平分线上． 故选：． 【变式2】（2025·山西长治·二模）下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的判定，两点确定一条直线，先结合作图过程，得出都在的垂直平分线上，两点所在直线即为的垂直平分线，故这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意，， 即都在的垂直平分线上， ∴两点所在直线即为的垂直平分线， ∴这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线 故选：C 【变式3】（2024·广东·模拟预测） 阅读与思考 下面的文段是小红同学的学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 没有直角尺也能作出直角 今天，在综合实践课上，老师和同学们讨论了一个数学问题：不用直角尺直接画直角，你还有其它方法作出直角吗？同学们给出了很多有趣的方法，现选择一些记录如下： 方法一：拿出一根细长的麻绳团，在这段麻绳上取12段相等的“绳段”，然后剪断，再把绳子的两端系在一起，形成一个环状，再通过多次折叠，每段端点用彩笔做好标记(如图①)； 如图②，把从B到C之间的5段绳子拉成直线，然后在A点处将段和段的绳子都拉紧，于是得到了直角； 方法二：在平面内过点A作直线，作射线，然后按照如图所示的尺规作图方法作出射线和射线， 于是得到了直角； 方法三：以点O为圆心画一个圆，在圆周上任取一点C (不与点A，B重合)，连接，，于是得到了直角； 方法四：画一条线段，分别以A，B为圆心，适当长为半径画圆，两圆相交于C，D，连接交于点E， 于是得到了直角． 任务： (1)填空：“方法一”依据的一个数学定理是 ； “方法二”中与互余的角有 ； “方法三”依据的一个数学定理是 ； (2)请根据证明方法四的作图方法， 证明． 【答案】(1)勾股定理的逆定理，，直径所对的圆周角是直角 (2)见详解 【分析】（1）“方法一”根据勾股定理的逆定理即可解答；“方法二”根据尺规作图和余角定义解答即可；“方法三”根据圆周角定理解答即可； （2）证明是的垂直平分线，即可解答． 【详解】（1）解：在中，，则， 则是直角三角形， 故“方法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理； 根据作图可知平分，平分， ∴， 又∵， ∴， 故“方法二”中与互余的角有； ∵是的直径，点在上， ∴， 则是直角三角形， 故“方法三”依据的一个数学定理是直径所对的圆周角是直角； 故答案为：勾股定理的逆定理，，直径所对的圆周角是直角． （2）证明：根据题意可得， ∴是的垂直平分线， ∴， 即． 【点睛】该题考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质和判定，尺规作图等知识点，解题的关键是理解题意． ►题型11 三角形的三边关系 若满足：最短的线段长+中间的线段长＞最长的线段长，即可构成三角形. 【典例1】（2025·广东深圳·模拟预测）已知三角形的两边，，第三边是，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合的条件确定的范围．本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” 是解题的关键． 【详解】解：∵ 三角形三边为，，， ∴ ，即． 又∵ ，也就是， ∴ 综合可得． 故选：． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有4根木棒供他选择，其长度分别为，小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，求概率．设第三根木棒的长度为，根据三角形三边关系，可得，从而得到符合条件的为，共2根，再由概率公式计算即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 由三角形的三边关系得：， 即， 所以符合条件的为，共2根． 所以恰好能够组成一个三角形的概率为． 故选B． 【变式2】（2025·广东惠州·二模）如图，等腰中，点P为斜边中点，点D在上且，将绕点C在平面内旋转，点D的对应点为点Q，连接．则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线，旋转的性质，三角形三边关系，根据斜边中点得到，根据旋转得到，再根据三角形三边关系得到，即可求出，求出的最大值即可． 【详解】解：连接， ∵等腰中，点P为斜边中点， ∴， ∵将绕点C在平面内旋转，点D的对应点为点Q，， ∴， ∴中，，当、、三点共线时，不构成三角形时取等号， ∴，即， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式3】（2025·广东深圳·二模）【项目式学习】 问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题． 问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形的概率是多少？ 理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是，，．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：，，，等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将，代入，这就是一个一元一次不等式，可以得到的取值范围是． 解决问题： 任务1： （1）同理可得，的取值范围是______，的取值范围是______． （2）如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点，连接，，，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现，，，与存在数量关系：，请给出证明． 任务2：根据以上构造，设，，，则，，，只需要满足以上的不等式即可．请在图3的中，用阴影部分标记出，，满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识） 任务3：阴影部分的面积与面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是______． 【答案】任务1：（1），；（2）见解析；任务2：见解析；任务3： 【分析】（1）同题干中的方法求解即可； （2）首先得到，然后利用代入求解即可； 任务2：根据题意得到，，，然后作三边中点D，E，F，连接，，，进而求解即可； 任务3：根据题意得到即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴； ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴； （2）∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 任务2：设，，， ∵，，， ∴，，， ∴如图所示，作三边中点D，E，F，连接，，， ∴内部即为所求范围． 任务3：根据题意得， ∵是等边三角形，D，E，F分别是，，的中点 ∴ ∴一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是． 【点睛】此题考查了几何概率，等边三角形的性质，三角形三边关系的应用，不等式的性质等知识，解题的关键是正确分析题意构造图形． 命题点三 三角形相关的角 ►题型01 三角形内角和定理的证明 【典例1】（2025·浙江嘉兴·二模）如图，在中，，点分别在边上，且，连接． (1)当时，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，求出； （2）根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，求出． 【详解】（1）解：，， ， ， ． （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（2025·安徽亳州·二模）综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围； (2)如图2，，，，D为的中点，求证，； (3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于两点，连接直线，交于点，交于点． (1)求证：直线垂直平分线段； (2)若，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图，线段的垂直平分线的性质． （1）根据线段的垂直平分线的作法证明即可； （2）由垂直平分线的性质得，进而得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，，，， 由作图可知， ∴M，N在线段的垂直平分线上， ∴直线垂直平分线段； （2）解：∵直线垂直平分线段，点D是直线和的交点，即点D在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【分析】本题考查反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此进行判断即可．也考查了等边对等角． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： ③假设在中，， ④由，得，即， ①∴，这与三角形内角和为矛盾， ②因此假设不成立，∴， ∴这四个步骤正确的顺序应是③④①②． 故选：D． ►题型02 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例1】（2024·四川成都·三模）如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1】（2025·河南周口·三模）如图，将一个含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 由三角形外角的性质以及对顶角的性质可得，如图：过F作，则，易得；再根据余角的定义可得，最后根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图：由三角形的外角的性质可得：，即； 由对顶角相等可得：， 如图：过F作，则， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选C． 【变式2】（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式3】（2024·浙江台州·二模）将一个含角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中，若，则的度数是(    ) A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角和三角形内角和定理，由平行线的性质可得，根据邻补角求得，由三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故选：C． ►题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例1】（2026·陕西·一模）如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线、三角形内角和、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、角平分线的性质，从而完成求解．利用角平分线性质得出，结合三角形外角性质推出，即；在中由内角和求出，借助对顶角相等得；最后在中算出，最后根据角平分线定义得出． 【详解】解：∵是的外角的平分线，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 设交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，掌握相关知识是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出的度数． 【详解】解：是的中线，，， ， ， 是的角平分线， ， 故选：B． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，． (1)作的平分线交于；（用尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）题的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）证明为等腰直角三角形，得到，角平分线结合三角形的内角和定义，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 【变式3】如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ．   【答案】 【分析】连接，过点作于，交于，交于，根据角平分线的性质定理和线段垂直平分线的定理可得，，证明三角形全等得出，最后再由角平分线的定义结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作于，交于，交于， ， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． ►题型04 三角形折叠中的角度问题 【典例1】（2024·湖北·模拟预测）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和、折叠的性质以及三角形外角性质，熟练掌握正多边形内角和公式与折叠性质是解题的关键． 先求出正五边形的内角，再根据折叠性质得出相关角的度数，最后利用三角形外角性质求出的度数． 【详解】解：∵正五边形内角和为， ∴． ∵折叠使点与点重合，折痕为， ∴平分，． ∵折叠使边落在线段上，折痕为， ∴平分，． 在中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，翻折的性质，分类讨论的数学思想，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． 分类讨论，当时和当时，分别利用翻折的性质即可求解． 【详解】解：当时，则， 根据翻折的性质得，； 当时，， ， 根据翻折的性质得，； 故答案为：或． 【变式2】（2025·湖北·模拟预测）如图，矩形纸片ABCD中，，，点E是BC的中点，连接AE，将矩形纸片沿直线折叠，使点B落在点处，连接，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形、折叠的性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 通过折叠和点E是的中点可得，则、易得；在运用勾股定理可得，进而得到，然后在中运用勾股定理求得即可． 【详解】解：如图：设与相交于点O， ∵将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接，点E是的中点， 点是点B关于直线的对称点，垂直平分， ∴，,， ∴，， 又∵三内角之和为， ∴， ∴， ∴， 解得：； 在中，由，可得： ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，． 故答案为：． 【变式3】（2025·广东东莞·三模）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质．由三角形的内角和定理可求解，折叠可知： ，进而得出，再根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 由折叠可知：， 当时，则 ∴ 故答案为：． ►题型05 三角形内角和定理的应用 【典例1】（2026·湖北襄阳·二模）如图，将绕点C旋转得到，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理．根据三角形内角和定理求出，由旋转的性质得，，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 由旋转的性质得，， ∴． 故选B． 【变式1】（2026·上海长宁·一模）如图，在中，，，分别是边上的点，满足，若为的中点，且，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据三角形的内角和定理得到，进而得到，根据，得到，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴； 故答案为： 【变式2】（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，D为内一点，，其中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点F． (1)求的度数； (2)用等式表示的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用， （1）证明即可得出； （2）过点C作交于点H，证明得出，再求出，，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴．即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点C作交于点H， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 【变式3】（2024·海南·三模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点、；②作直线交于点． 若，，，则的面积等于（   ） A．15 B．12 C．14 D．28 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法与性质，等腰三角形与直角三角形的判定，三角形面积公式，判断出为的垂直平分线是解题关键． 根据题意可知为的垂直平分线，可得，由等边对等角和可得，根据勾股定理求出、，再根据三角形面积公式可求出的面积． 【详解】解：如图，连接，与交于点， 根据题意可知垂直平分， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：． ►题型06 三角形的外角性质 【典例1】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，点在线段上，，且，．连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据，得到，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质求出，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ； （2）解：∵，，， ， 又， ． 【变式1】（2025·重庆·模拟预测）在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，，连接，取上一点G，使，延长交于点H．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．先根据邻补角求出，再由等腰三角形“等边对等角”得，最后利用三角形外角性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 故选：B． 【变式2】（2025·山东·一模）如图1，已知直线，且和之间的距离为，小明同学制作了两块直角三角形硬纸片和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上 ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2；求的度数 ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形如图3放置，若点在直线上，点在和之间（不含，上），边和与直线分别交于点，．在绕着点旋转的过程中，设，，则的取值范围为 ． 【答案】(1)；的度数为或 (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质，则，；根据平行线的性质，则，再根据三角形的外角求解； 根据以，，为顶点的三角形是直角三角形，则当，分类讨论求解； （2）先根据四边形的内角和为，则，求出，根据旋转的性质，当点在直线上时，点，，重合，；当点在直线上时，点，，重合，则；点在直线和之间，，综合即可解答． 【详解】（1）∵三角形和三角形是直角三角形，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵以，，为顶点的三角形是直角三角形， 当时， ∵， ∴点A与点E重合， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的度数为或． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点在直线上时，点，，重合，； 当点在直线上时，点，，重合则； ∵点在直线和之间（不含，上），即， ∴， ∴， ∴的取值范围为：． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，四边形内角和定理，掌握平行线的性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 【变式3】如图，在，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，求的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 突破一 与三角形有关的线段综合 【典例1】（2024·广东广州·二模）如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及三角形中线的性质是解题的关键． （1）先根据的余弦求出的长，再利用勾股定理即可解决问题． （2）根据为边上的中线可知，的面积是面积的一半，据此可解决问题． 【详解】（1）， ． 在中， ， ， ． （2）为边上的中线， ． 又， ． 【变式1】在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，连接交于点H，连接，若点H为线段的中点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点P，连接，直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)证明，见解析 (3)最小值为 【分析】（1）延长，过点作于点，过点作于点，过点作于点，于点，根据题意，则是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质，则，，推出，是等腰直角三角形；根据全等三角形的判定，则，则，，求出；根据矩形的判定，则四边形是矩形，求出，，最后根据勾股定理，即可． （2）将绕点旋转，得到，连接、，、，， 证明，推出点在的延长线上，得到，根据全等三角形的判定，则，则；再根据平行四边形的判定，则四边形是平行四边形，推出；根据全等三角形的判定，则，得，再根据是等腰直角三角形，则，最后根据，即可； （3）连接、、、，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，则，根据勾股定理，求得，根据，即可． 【详解】（1）解：延长，过点作于点，过点作于点，过点作于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，，，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转为线段， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． （2）将绕点旋转，得到，连接、，、，， 则：，， ∵线段绕点顺时针旋转为线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴三点共线，， ∴三点共线， ∴点在的延长线上， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）连接，，，， 由（2）得，，点为的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵（当且仅当点在线段上时等号成立）， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形，全等三角形，平行四边形的知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的运用，矩形的判定和性质． 【变式2】（2025·广东深圳·二模）如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．    (1)观察猜想： 图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______； (2)探究证明： 把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由； (3)拓展延伸： 把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)为等腰直角三角形，理由见解析； (3)． 【分析】（）根据，，得 ，再根据三角形中位线定理可知， ，，，利用平行线的性质可证得； （）先通过证明，得 ，，再由()同理可证； （）由三角形三边关系可知：，由() 知：是等边三角形，，则最大值为，即可求得的最大面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点分别为的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∵∠， ∴， 故答案为：，； （2）解：为等腰直角三角形，理由如下： 由旋转可知：， 又∴，， ∴， ∴，， ∵点分别为的中点， ∴，，，， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）解：由三角形三边关系可知：，即， ∴的最大值为， 由()知，是等腰直角三角形， ， ∴时，最大，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边性质，等腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质证明是解题的关键． 【变式3】（2023·广东佛山·一模）如图，已知的三个内角的平分线交于点，点在的延长线上，且，，连接． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质； （1）由“”可证，可得，即可得结论； （2）根据，得，由角平分线可得，从而得出，根据，可得出，即可得出，则，最后算出． 【详解】（1）解：证明：三个内角的平分线交于点， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 突破二 与三角形有关的角综合 【典例1】（2025·广东潮州·二模）如图，在中，D是延长线上的一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等，熟记定理是解答此题的关键． （1）根据可得，由定理可得结论； （2）利用全等三角形的性质定理可得，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， ； （2）解：， ． ，， ． ． 【变式1】如图，在等边中，点、分别是、上的点，，与交于点． (1)填空：_____度； (2)如图，以为边作等边，与相等吗？并说明理由； (3)在（）的条件下，如图，若点是的中点，连接，请写出与的数量关系：__________．（不需要说明理由） 【答案】(1)； (2)相等，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，平行线的判定和性质，掌握知识点的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （）由是等边三角形，得，，证明，然后通过全等三角形性质可得结论； （）由，都是等边三角形，则，，，证明，然后通过全等三角形性质可得结论； （）延长到，使得，连接，，证明，则有，，，再证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：如图中， ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：相等，理由，如图中， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：，理由， 如图中，延长到，使得，连接，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（2025·广东广州·二模）以线段、为底，在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． (1)如图1，当点、、三点共线时，求证： (2)如图2，当点、、三点不共线时，若，连接，点为中点，连接、，求证：； (3)如图3，当点在线段上运动且点在直线的下方时（点与、不重合），请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或． 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，，进而得，得到，即可求证； （）延长至，使，连接，证明可得，，再证明，得到，进而根据等腰三角形的性质即可求证； （）取的中点，连接，由（）知，即得，即可得，得到，再分点在上方和下方两种情况，分别画出图形解答即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长至，使，连接， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：取的中点，连接， 由（）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 当点在上方时，如图， ∵， ∴， ∴， 即； 当点在下方时，如图， ∵， ∴， ∴， 即； 综上，或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理和外角性质，线段垂直平分线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式3】（2025·广东珠海·二模）如图1，在中，的平分线交于点E， (1)求的度数； (2)如图2，延长分别交于M，N，在的延长线取一点D，使，交于点F． ①当时，求的长； ②证明：． 【答案】(1) (2)①，②见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线和三角形内角和定理进行解答即可； （2）①证明，则，代入数值求值即可；②作的角平分线交于点W，证明，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴ （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ②如图，作的角平分线交于点W， 由（1）知，，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ 1．（2025·广东惠州·一模）以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键，根据两边之和大于第三边逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴，，不能组成三角形，该选项不符合题意； B、∵， ∴，，不能组成三角形，该选项不符合题意； C、∵， ∴能组成三角形，该选项符合题意； D、∵， ∴不能组成三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025·四川成都·一模）对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是（   ） A．至少存在一个钝角三角形 B．至多存在一个直角三角形 C．至少存在一个锐角三角形 D．至多存在一个钝角三角形 【答案】A 【分析】根据若为直角三角形，那么两个较小边的平方和等于最大边的平方；若为钝角三角形，那么两个较小边的平方和小于最大边的平方；若为锐角三角形，那么两个较小边的平方和大于最大边的平方；分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设三个连续正整数，，为三角形的三边长， ∴， ∴， ，且为正整数， 若所构成的三角形是钝角三角形，当且仅当， 即， ， ， 又， ， ，， 即至多存在一个钝角三角形，三边长为，，，故选项A符合题意，选项D不符合题意； 若所构成的三角形是直角三角形，当且仅当， 即， 解得：，不符合题意，舍去， ，， 即至多存在一个直角三角形，三边长为，，，故选项B不符合题意； 若所构成的三角形是锐角三角形，此时， 即， ， ， 又， 的最小值为， 即至少存在一个锐角三角形，故选项C不符合题意； 故选：A． 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，点D是边上的一个动点（不与点A，B重合），连接，当时，则的面积为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，同高的两个三角形的面积关系，先求解，，再结合即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故选：D 4．（2025·甘肃武威·一模）小明将一副直角三角板按如图所示摆放，点在边上，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中求角度，涉及平行线的性质、直角三角形两锐角互余、三角形外角性质等知识，数形结合，准确找到相关角度关系是解决问题的关键． 先由平行线的性质得到，再由直角三角形两锐角互余得到，最后根据外角性质表示出即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 点在边上，，， ， 在中，，，则， 是的一个外角， ， 故选：B． 5．（2025·贵州遵义·一模）如图，在一块不规则余料上，连接，若，，，则的面积为 ． 【答案】18 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质，三角形的面积，过A作于O，根据含角的直角三角形的性质得到，利用三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：过A作于O， ∵， ∴， ， 则的面积为． 故答案为：18． 6．（2025·吉林松原·三模）如图，在中，点是边的中点，点在边上，且平分，已知，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，得到，得出点为中点，利用中位线的性质确定，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点为中点， ∵点是边的中点， ， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·山东济南·模拟预测）将一副直角三角板如图放置，已知，，则 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的外角定理，平行线的性质等知识点． 由直角三角形的性质得出，由平行线的性质得出，再由三角形外角性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第个；在边上任取一点，延长到，使，得到第个，按此做法继续下去，第个三角形的底角度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律探索，等腰三角形的性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握等边对等角．先根据等腰三角形的性质，得出，然后求出，，从而得出一般规律，最后得出答案即可． 【详解】解：，， ， ∵， ， ， ， ． ． ． 同理可得：． 以此类推，以为顶点的内角度数是． 以为顶点的内角度数是． 故答案为：． 9．（2025·河南驻马店·三模）如图，是的中线． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上取点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若点A到直线的距离是1，求点B到直线的距离． 【答案】(1)图见解析 (2)点到直线CE的距离是1 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，求三角形的高，尺规作图—作与已知角相等的角，平行线分线段成比例定理，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）由三角形中线的定义得到，证明，得到，即，则，据此可得点到直线的距离是1． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：是的中线， ， ∵，， ， ， 即， ， 又∵和同底，点A到直线的距离是1， 点到直线的距离是1． 10．（2025·吉林四平·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹．    (1)在图①中，以为边画一个面积为6的，使点C在格点上（画一个即可）； (2)在图②中，以为边画一个面积为12的平行四边形，使点D、E均在格点上； (3)在图③中，以为边画一个面积为18的四边形，且四边形是轴对称图形，使点F、G均在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了网格中求三角形面积，平行四边形的性质与判定，轴对称图形的识别，熟知相关知识是解题的关键． （1）画一个底为3，高为4的三角形即可； （2）如图所示，取格点D、E，连接，可证明，则四边形是平行四边形，利用割补法可得四边形的面积为12； （3）如图所示，取格点，连接，利用割补法可得四边形的面积为18． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求；    （2）解：如图所示，即为所求；    （3）解：如图所示，即为所求；    11．（2025·江苏无锡·二模）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质可得，，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中   ， ； （2）解：， ，， ， ， ． 12．（2025·浙江宁波·三模）已知：如图，是的一条对角线．延长至点，反向延长至点，使得． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）用证明即可； （2）根据，得出，根据三角形外角性质求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 13．（2025·辽宁抚顺·一模）在“综合与实践”活动课上，老师提出问题：将绕点B顺时针旋转得到，其中，． (1)如图1，当点E落在外部，且时，延长交于点G，求证：四边形是正方形； (2)如图2，当点E落在内部，且时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N，求证：； (3)将绕点B顺时针旋转的过程中，当时，连接．若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的面积为或 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形； （2）由已知可得，再由等积方法，结合已知即可证明结论； （3）分类讨论当点E落在内部时，当点E落在外部时，分别根据已知条件计算即可． 【详解】（1）证明：∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， 即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：当点E落在内部时，如答图3∶ 过点A作，垂足为F， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 当点E落在外部时，如答图4． ∵，，， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定，含的直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 14．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画的中线； (2)在（1）的基础上，在线段上画点E， 使； (3)在图（2）中，E 为格点，在线段上画点F， 使； (4)在（2）的基础上，在线段上画点G， 使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）找到以为对角线的矩形，连接另一条对角线，利用矩形对角线互相平分即可找到的中点； （2）连接，可证为边中线，则与的交点为三角形的重心，利用重心的性质可知此点即为所求点； （3）连接，可证明四边形为平行四边形，所以，则与交点即为点； （4）因为，所以，若使，即使，即使，利用平行线分线段成比例定理作图即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点，连接即为所求； ∵四边形为矩形， ∴为的中点， 连接即为△ABC的中线； （2）解：如图，连接与交于点，点即为所求； 为中点， ∴为边中线， 则与的交点为三角形的重心， 根据重心性质可知， ∴点即为所求； （3）解：如图，连接交于，即为所求； ， ∴四边形为平行四边形， ∴， 则与交点即为点， 故即为所求； （4）解：如图，连接，与交于点，点即为所求； ∵， ∴四边形为平行四边形， ， ， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点即为所求． 【点睛】本题考查方格纸作图，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，重心的性质，平行线分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 15．（2025·天津·一模）如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在边上，点，，在一条直线上，连接，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，由旋转的性质得出，，，，，，即可判断A；由等边对等角即可判断C；由等腰三角形的判定与性质结合三角形内角和定理即可判断D，由已知条件不能推出，即可判断B，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：把以点为中心逆时针旋转得到， ，，，，，，故A错误，不符合题意； ，，故C错误，不符合题意； ，， ， ， ， ，故D正确，符合题意； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定平行，，故B错误，不符合题意； 故选：D． 16．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕点C逆时针旋转至， 点 D 落在边上，连接．若，平分，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质，两直线平行的性质，根据相关性质得到是解题的关键． 由旋转可得，可得，即可得，进而得到，设，利用根据内错角及同旁内角可解得，再根据，得到即可求解． 【详解】由题知， ， 即， ， 又平分， 所以， 则，设 ，，， ，， 则，解得， ， ， ， ， ． 故选：C． 17．（2025·北京·三模）中，，，点D在边上（不与A，B重合），过点D作交于E，将绕点A旋转得到，下列结论一定正确的是（   ） ① ②只有当时，成立； ③当D与重合时； ④旋转过程中的度数与旋转角，有一定数量关系； ⑤旋转过程中的度数与有一定数量关系； A．①③⑤ B．①②④ C．①③④ D．④⑤ 【答案】A 【分析】根据三角形相似的判定，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，角的和差计算解答即可. 本题考查了三角形相似的判定，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，角的和差计算，熟练掌握判定和性质是解题的关键. 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点A旋转得到， ∴， ∴， 故①正确； 当时，根据题意， ，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 也成立； 故②错误； 当D与重合时， 根据题意，得， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 故③正确； ∵如图，根据旋转的性质，得，， ∴，同理可证，， ， ∴， ， ∴， ∴， 故旋转过程中的度数与旋转角，没有关系；旋转过程中的度数与有一定数量关系正确； 故④错误；⑤正确； 故选：A. 18．（2025·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，点E，F分别是，边上的动点，连接， 分别与对角线交于点G，H，且．若，则用含α的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长到M，使，连接，则，先依据“SAS”判定和全等得进而依据“SSS”判定和全等得进而得，由此根据三角形内角和定理得，再根据三角形外角性质即可求出的度数． 【详解】解：延长到M，使，连接，如图所示： ， ， ， 四边形是正方形， 在和中， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 是的外角， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 19．（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 20．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义可得，再利用三角形外角的性质可得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由三角形的外角性质，得：， ∴． 故选：C． 21．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：C 22．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 23．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 24．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 25．（2025·山东德州·中考真题）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出和的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数，最后通过求出的度数． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 26．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的翻折问题，垂直的定义，等腰三角形的判定与性质以及直角三角形中正弦值的求解，在翻折过程中由边长和角度不变，可求解翻折前后的角度是解决本题的关键．根据是由翻折得到可求解的度数，由此判断C选项；根据翻折前后角度的求解，可求解与的度数，由“等角对等边”可判断A选项，求解的度数可判断B选项；假设结论成立，根据直角三角形中的正弦值求解边长即可判断D选项． 【详解】解：C选项，在中，，， ∴， ∵是由翻折得到， ∴，故C选项错误； A选项，∵是由翻折得到，， ∴， ∴， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，故A选项正确； B选项，∵， 即， ∴与不垂直，故B错误； D选项，过点G作交于点M，如图， 假设， ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 又∵，与已知不符，故D选项错误． 故选：A． 27．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 28．（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是 ．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，熟知等腰三角形的性质及三角形三边关系是解题的关键．可令等腰三角形的腰长为，底长为，结合等腰三角形的性质及三角形三边的关系即可解决问题． 【详解】解：设腰长为，底长为， 则， ∴． 根据三角形三边的关系可知，， 解得：， 又，即， 解得：， ∴， 故答案为：5（答案不唯一）． 29．（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 30．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则 度． 【答案】40 或60 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 根据题意分两种情况，当点D在射线上时，当点D在线段上时，作出图形，然后根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当点D在射线上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在射线上，且在点B之外， ∴，即， ∴， ∴； 当点D在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在线段上，且在点B之内， ∴， ∴； 故答案为：40 或60． 31．（2025·四川·中考真题）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为 °． 【答案】 【分析】本题考查了基本尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出，由作图过程可知垂直平分线段，得到，再根据等腰三角形的性质求出，由三角形外角的性质即可求得． 【详解】，， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． 32．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是 【答案】或或 【分析】本题主要考查矩形的性质和折叠的性质，解题的关键是要分情况讨论与，的夹角情况，再利用矩形的性质和折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：①当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; ②当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; 或，如图： ，, , , ; 综上，的度数可以是或或． 故答案为：或或． 33．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求点到线段的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作的垂线，垂足为，先解求出，再得到为等腰直角三角形，最后再运用勾股定理求解； （2）过点作于点，对运用等面积法得到，即可求解． 【详解】（1）解：过点作的垂线，垂足为，则， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点到线段的距离为． 34．（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解；如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 35．（2025·江西·中考真题）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作出的中点； (2)在图2中作出的重心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，矩形的性质，以及三角形重心的定义． （1）利用矩形的性质即可作出的中点； （2）根据的重心就是三边中线的交点，即可作出图形． 【详解】（1）解：如图，点即为所作； ； （2）解：如图，点即为所作； ． 36．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 【答案】(1) (2)①四边形是矩形，理由见解析；② 【分析】（1）由是等腰三角形，，，分别讨论：当时和当时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可； （2）①利用，，得出四边形是平行四边形，再利用，即可判定四边形是矩形；②过点作于点，利用，得出是直角三角形，且，证明，得出，，利用勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等腰三角形，，， ∴当时，此时满足三角形三边关系，符合题意； 当时，，此时不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上，， 故答案为：； （2）解：①四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ②过点作于点， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 37．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证； （2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合 ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）， 证明：如图，在上取一点，使得 ∵ ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 38．（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1． (1)求的度数； (2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了三角形的外角性质，垂直平分线的作法和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）由角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可； （2）由作图知是线段的垂直平分线，求得，求得，，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：由作图知是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 39．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的点（在同一水平线上）测得点，点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）过点C作于H，则，利用三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）过点E作于T，则，求出，则可求出；解得到，解得到，，则解可得，则，解可得；再证明四边形是矩形， 得到 ，则. 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于H，则， 由题意得，， ∴，， ∴； （2）解：如图所示，过点E作于T，则， ∴， ∴； 在中，， 在中，， ， 在中，， ∴， 在中，； ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∴； 答：建筑物的高度为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $