专题02 解三角形与几何量计算（6大题型专项训练）数学人教B版必修第四册

专题02解三角形与几何量计算（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形面积问题 1 题型二、三角形外接圆与内切圆问题 7 题型三、中线、角平分线、高问题 20 题型四、几何图形计算 29 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角形面积问题 1．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，，， ， ， ， ． 故选：D． 2．在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理得，所以， 因为，所以， 又，所以， 因为，所以，所以， 所以的面积. 故选：B 3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A．14 B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由，可得， 又，， 所以的面积为. 故选：B 4．已知是锐角三角形，，且，则的最大内接正方形的面积为（   ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【详解】设，则， 则， 如图：当正方形的一边在直线AB上时，为，过作于，交于， 设正方形的边长为，则，故， 由相似可得，即，故，则， 故，因此正方形的面积为； 同理，当正方形的一边在直线AC或BC上时，不妨设在AC上，可得, 因为,所以,； 则的最大内接正方形的面积为. 故选：A 5．莱洛三角形是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围成的曲边三角形．莱洛三角形在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用．如图所示，等边的边长，则该莱洛三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】等边三角形的面积为，扇形面积为， 则对应的弓形面积为， 所以该勒洛三角形的面积为. 故选：B. 6．已知的面积和外接圆半径都为1，且，则边长度为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为的外接圆半径为1，所以根据正弦定理得. 所以，代入得， 即，这说明必然是直角三角形. 若，则为斜边，，代入得， 即，与三角形定义矛盾，同理，因此只能是， 此时为斜边，，由勾股定理，与前述结论相符. 因为的面积为1，所以， 得， 又，解得. 故选：B. 7．在中，，且，则的最小边长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】由以及正弦定理可得，故， ，又，解得（舍）， 又因为最小的边长为，故. 故选：B 8．记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以 9．已知的面积为1，，，则_______． 【答案】 【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式求出的正弦和余弦值，再利用诱导公式求出， 最后利用正弦定理及三角形的面积公式求出三角形的外接圆半径，即可求解. 【详解】，，，. ，，，. ， 设的外接圆半径为，则由正弦定理得，，， ， 即，化简得，. . 10．设的内角，，所对的边分别为，，，且.若边上的高，则的值为________. 【答案】 【详解】，移项可得，即， 因为，所以. 由，则， 所以，利用正弦定理得， 又因为，则. 11．已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为，面积为.若，，则______. 【答案】2 【详解】因为，由正弦定理得， 故， 即， 所以， 又由正弦定理及三角形面积公式，可得， 又因为，所以，解得. 12．在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，，，且，则的面积为______. 【答案】/ 【详解】由及正弦定理可得，又， 所以， 由知，故，所以，即， 所以，， 所以. 13．在中，，D为的中点，，，则的面积_____________． 【答案】 【详解】因为，，， 所以. 又D是的中点，所以． 故答案为：. 14．在中，若，，，则__________，的面积__________． 【答案】 / 【详解】由正弦定理得， 又，， 则， ． 故答案为：，. 15．在中，，，且，则的面积为______. 【答案】 【详解】由及正弦定理可得，, 由知，故，所以，即， 所以，, 所以， 故答案为： 16．已知为锐角三角形，. (1)求； (2)求； (3)若外接圆的周长为，求的面积. 【答案】(1) (2) (3)7 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 联立得； （2）因为，且三角形为锐角三角形， 所以，， 由（1）可得，即， 所以， 所以， 解得或， 因为角为锐角，所以， （3）因为外接圆的周长为.即. 由，得， 因为，所以，解得， 由（2）可知，且角为锐角，所以，, 所以的面积为 17．在中，角所对的边分别是，且． (1)求边长的值； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由正弦定理得，， 则； （2）由（1）得， 由可得 ， 则， 故． 题型二、三角形外接圆与内切圆问题 1．在中，内角所对的边分别为，若，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的外接圆的半径为, 则， 解得，所以的外接圆的面积为. 故选：D. 2．在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以. 设外接圆的半径为，则， 所以外接圆的半径为. 故选：D 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的外接圆半径为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】设的外接圆半径为，由正弦定理， 又，所以， 故，解得. 故选：C. 4．在 中， 角 的对边分别为，已知，若，则的外接圆半径等于（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 可得，即，因为，所以， 又由，所以的外接圆的直径，可得， 所以的外接圆的半径为. 故选：B. 5．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 得，所以． 又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径）， 所以，解得， 则的外接圆的面积为． 故选：B 6．如图，等腰是BC上一点，、的外接圆半径分别为、，则的值为（    ）． A．1 B． C． D．由D点的位置确定 【答案】A 【详解】在中， ， 在中， ， 因为，， 所以， 所以， 所以， 故选：A 7．正三角形的外接圆和内切圆半径的比值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】解：设正三角形的边长为，外接圆的半径为，内切圆的半径为， 则根据正弦定理得：，解得， 根据等面积法得：，解得， 所以. 故选：B. 8．在平面直角坐标系中，坐标原点为，A（1，0），B（3，0），，则的内切圆圆心到点O的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设内切圆圆心为，，， 由等面积法可得内切圆半径 ， 所以，， 故选：B 9．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设的三个内角，，的对边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为，若，，，则的内切圆半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由已知条件可知：，因为，，，所以，又，则，则. 故选：D. 10．几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点．在中，已知，，，现以边AB，BC，CA向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为D，E，F，则DE的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中， 由题意可知：，， 且，可知， 所以. 故选：B. 11．在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】设外接圆的半径， 外接圆面积为，，解得：， 由正弦定理, ，， ，即， ， ，即， ，， ，则， ，. 故选：B 12．在外接圆半径为的中，，，分别为角，，的对边，若，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】由题得，又由正弦定理，，故. 所以，又，得， 又，所以或， 故选：C． 13．已知，，点为动点，点为线段上的点且满足，当取最小值时，的外接圆的面积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 以为坐标原点，所在的直线为轴， 过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，∵，∴所在的直线为，设， 则，，所以， 当时，最小，此时点， 又∵，所以，∴点的坐标为， ∴， 设外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以，所以， 故选：D 14．在锐角中，，为的垂心，，则的外接圆周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为外接圆的外心，连接并延长交于点，连接、、，如图所示， 由为外接圆的外心可知，， 又因为为垂心，所以， 所以，同理：， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为， 所以在中，，即， 所以，所以外接圆周长为. 故选：D. 15．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】. , 设该三角形外接圆的半径为 由正弦定理得 故选：A. 16．如图，四边形四点共圆，其中为直径，，，，则的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，故，， 中，中， 又，故， 所以，即， 所以外接圆直径，则. 故选：B 17．在中，分别为三边所对的角.若且满足关系式，则外接圆直径为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【详解】，，可得， 又，，即. ， 根据正弦定理可得，， ，， ，， . 令外接圆的半径为，根据正弦定理可得， 即外接圆的直径为. 故选：B. 18．已知为的内心，且满足，若内切圆半径为2，则其外接圆半径的大小为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【详解】在中，取边的中点，连接，      则，而，有，因此点共线， 由为的内心，得平分，即有， 因此，，有，，令内切圆与边切于点，连接， 则，，， ，， 在中，， 令外接圆半径为，由正弦定理得. 故选：A 19．克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：由托勒密定理，得． 因为，所以． 设圆的半径为，由正弦定理，得． 又，所以． 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，则，故． 故选：B 20．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名．如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，AB的长约为，则该月牙泉模型的面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设外接圆圆心为，如图，半径为，则，， 因此，中弓形面积为， 从而阴影部分面积为． 故选：A． 21．如图所示，在ABC中，AB=AC，A=，记ABC外接圆的面积为S1，取ABC三边的中点分别为D，E，F，记DEF外接圆的面积为S2，再取DEF三边的中点分别为P，Q，R，记PQR外接圆的面积为S3，...，依次类推，若ABC的内切圆半径为，则S3=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设ABC的内切圆半径为，则 因为在ABC中，AB=AC，A=，所以, 则，解得, ， 由三角形中位线性质可知，, , 故，则， 由正弦定理知，，即，所以， 故选：A 22．在等腰中，内角所对应的边分别为，，，则此三角形的外接圆半径和内切圆半径分别是（   ） A．4和2 B．4和 C．2和 D．2和 【答案】C 【详解】等腰中，，，可得，故，解得. 设外接圆半径和内切圆半径，由正弦定理可得 ，由面积相等，可得. 故选：C 23．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为，已知，，，求外接圆半径与内切圆半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 即 ， 由余弦定理，得， ，， 在三角形中，则 或(舍)，故， 由余弦定理，，所以， 由正弦定理，，则， 因为， 所以，所以 . 故选:B 24．已知梯形的外接圆直径为，，，，则梯形的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】如图：    若梯形有外接圆，则梯形为等腰梯形. 设梯形的外接圆半径为， 则由正弦定理得，解得. 在中，由余弦定理可得： ，且， 解得， 则梯形的高为：；； . 设梯形的内切圆半径为， 根据等面积法，有，解得. 故选：B. 25．海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式，这里，a，b，c分别为的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知中，，则该三角形内切圆半径（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ，又 ， ， ， 故选：D. 26．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，a＝7，c＝5．则该三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦正理可知： ， 根据余弦定理得， ， ； 由余弦定理得， 或 (舍)， 设△ABC内切圆半径、外接圆半径，三角形周长分别为：， 根据正弦定理得，， 又， ∴﹒ 其中与内切圆半径有关的三角形面积公式证明如下： △ABC内切圆圆心为O，半径为r，OA、OB、OC将△ABC分为三部分， ∴， 其中为三角形周长﹒ 故选：A﹒ 27．已知的外接圆半径为2，内切圆半径为1，，则的面积为（    ） A． B． C．4或 D．或 【答案】A 【详解】解： ，即，又的外接圆半径为2， 由正弦定理（为的外接圆半径），得， 或 （为内切圆半径）    ① （1）当时，由余弦定理有，即   ② 由①②联立解得，所以 所以； （2）当时，由余弦定理有，即   ② 由①②联立解得，方程组无解，所以这种情况不成立. 故选：A. 28．在中，，，边上的高为2，则的内切圆半径（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 又，所以，又，由余弦定理有： ， 所以， 因为， 所以.故A，C，D错误. 故选：B. 题型三、中线、角平分线、高问题 1．在锐角中，的角平分线交BC于D，则AD为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】在中由正弦定理得，， 即， 因为， 且为锐角三角形， 所以，， 因为为的角平分线，所以，， 则在中由正弦定理得， 即. 2．在中，的角平分线交于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可作图如下： 因为的角平分线为，则， 由，则， 代入数据可得，化简可得， 解得. 故选：B 3．（多选）在中，，，，点为边上一动点，则（   ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角的角平分线时， 【答案】AC 【详解】对于A，由余弦定理有，故A正确； 对于B，当为边上的高线时，由等面积法有， 即，解得，故B错误； 对于C，当为边上的中线时， ，故C正确； 对于D，当为角的角平分线时，设， 由三点共线可知，，解得， 所以，故D错误. 故选：AC. 4．（多选）在中，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．边上的高为 B． C．边上的中线为 D． 【答案】ABC 【详解】由题设，则，即， 又且，则，故， 又，则，故， ，，则，B对， 边上的高为，A对， ，D错， 边上的中线为，C对. 故选：ABC 5．（多选）在中，，，分别是角，，的对边．若，，且，边上的高为，则（    ） A． B．是钝角 C． D． 【答案】ACD 【详解】，则为锐角，所以，. 由正弦定理得，故选项A正确. 由余弦定理，代入、， 得，整理得. 解得，舍去负根得，故选项C正确. ， 由余弦定理， 故角为锐角，选项B错误. 三角形面积. 边上的高为，则， 得，故选项D正确. 故选：ACD 6．在中，，，，则BC边上的高为______. 【答案】 【详解】由余弦定理得， 则. 设BC边上的高为，由等面积法可得， 则. 故答案为： 7．的三边之比为，则最大角的余弦值为__________，较大锐角的角平分线分三角形的面积比是__________． 【答案】 （或） 【详解】不妨设，，，则最大角为， 且． 因为，故为钝角，则为较大锐角．设的平分线交于， 设的面积为，的面积为， 则． 故答案为：；（或） 8．已知的面积为，，，的角平分线交于点，则的长度为_____. 【答案】 【详解】，的角平分线交于点， 故， 由三角形面积公式得， 所以， 由余弦定理得，即， 解得， 所以， 又， ， 其中，故， 所以，，解得. 故答案为： 9．在中，. (1)求A; (2)若的周长为20，面积为，D是BC边上一点，从条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段AD 的长. 条件①:AD 是BC 边上的中线；条件②:AD 是的平分线. 【答案】(1)； (2)选择条件，答案见解析. 【详解】（1）在中，由， 得， 整理得，由正弦定理得， 由余弦定理得，而，所以. （2）令的内角所对边长分别为， 由的面积为，得，则， 由的周长为20，得，由，得， 即，解得， 选择条件①：AD 是BC 边上的中线，则， 所以. 选择条件②：AD 是的平分线，由， 得，则， 所以. 10．如图，已知在中，，，，是的中点，中线，求的解析式．    【答案】 【详解】将延长至点，使，连结，如图．    因为（是的中点），，满足对角线互相平分， 所以四边形是平行四边形， 故，，， 则． 在中，由余弦定理得  ①， 在中，由余弦定理得：   ②， ①②得， 即  ③． ③式表明，平行四边形两条对角线的平方和等于其四条边的平方和． 由③式得， 即，这就是三角形的中线长定理． 11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 又因为 所以，，得， 所以，由余弦定理得， 又B为三角形内角， 所以， （2）因为的面积为，，， 所以，，所以，又， 因为BD为的中线，所以，， 所以，， 所以 12．的内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线．若，，． (1)求的长； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由 所以，又，所以 . 因为为中点，所以， 所以 . 所以，即. （2）因为平分，所以. 设， 由 . 所以 . 故. 13．在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)已知，求边上的中线的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 因为，所以. （2）在中，由余弦定理得， 代入数值得，解得（舍去）或， 因为是的中点，所以， 所以， 所以，即边上的中线的长为. 14．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求； (2)若的面积为，求AB边上的中线CD的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，因为，根据正弦定理得： ，因为，所以. 根据余弦定理. （2）由（1）知，因为， 所以. 因为的面积为，所以， 解得，进而.    根据余弦定理可得. 所以根据余弦定理. 因为为线段，其长度取正值，所以. 所以边上的中线的长为. 15．在中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 根据正弦定理得，. 因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）根据余弦定理得，， 将，代入上式整理得，， 又因为且，解得，， 所以，所以为以AB为斜边的直角三角形， 所以斜边AB上的高为. 16．在中，，，. (1)求； (2)求的角平分线的长. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由得， 由正弦定理得，即. 因为，所以， 又，故. （2）在中，由余弦定理，， 得，解得（舍去负值）， 所以. 在中，， 则有 即，解得.    题型四、几何图形计算 1．在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，边上的高为，，且， 所以，则， 则，， 所以，则. 故选：B 2．在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】令，则， 由题设，有，， 所以，则， 所以，可得（负值舍）. 故选：B 3．平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题，很多数学定理以费马的名字命名．对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点．在中，已知，设为的费马点，，的外接圆半径长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，则， 中，由正弦定理得，， 的外接圆半径长为，由正弦定理，， .    故选：C. 4．冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD（如图乙），测得，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，在中，由余弦定理可得，， 因为，所以， 在中，由得， 故选：C 5．如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】在中，由余弦定理得， 即，得①， 在中，由余弦定理得， 即，得②， 又， 所以③， 由②①，得，由， 得，代入③得. 故选：B 6．在平面四边形中，，，，对角线与交于点，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图： 由余弦定理 ，所以， 的面积， 又 ， 所以，解得， 又，所以. 7．已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为，且角A的平分线交边BC于D，且， 所以，即， 又，所以，所以，， 由余弦定理得， 所以，即， 故选：A． 8．在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值： . 故答案为：C 9．如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由余弦定理得， 即，则， 又，，所以， 设，由正弦定理得，即， 从而， 在中，由余弦定理得：， 即，则． 故选：A． 10．如图，在扇形中，半径，圆心角，是弧上的动点，矩形内接于扇形，下列说法正确的是（    ） A．当时，矩形为正方形 B．当时， C．面积的最大值为 D．矩形面积的最大值为 【答案】C 【详解】对于A，当时，，， 又，， 四边形不是正方形，A错误； 对于B，当时，，， 又， ，B错误； 对于C，设， 由B知：，，， ，， 当，即时，取得最大值，C正确； 对于D，设， 由B知：，， 矩形的面积 ， ，， 当，即时，矩形的面积取得最大值，D错误. 故选：C. 11．在中，为的中点，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】如图，设，由题意得，   为中线，利用余弦定理和， 则，所以， 在中，由余弦定理得，由正弦定理得， 所以， 在中由正弦定理得，则， 因为，所以，得， 所以，解得，即. 故选：C. 12．已知中，是上的点，平分，且面积是面积的2倍，，则的长度为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】设的三个内角对应的边分别为 由题可知，平分，所以，即， 又面积是面积的2倍，所以， 由，所以，， 又，则，又， 所以， 故选：A 13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】在中，， 即，， 因为是的平分线，所以即，所以 在中， 即即，解得. 在中，， 所以 故选：A. 14．在中，若，，边上的中线长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知边上的中线, 故,进而, 故，解得(负值舍去)， 又，则, 故，解得， 在中，由正弦定理可得， 故, 故选：C 15．如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由余弦定理得：， 又因为，所以， 在中，由正弦定理得：，即，解得. 故选：D 16．如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，则， 设，则，， 在中，，，故， 由正弦定理可得，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，故. 故选：C. 17．已知四边形的外接圆半径为，若，四边形的周长记为，则当取最大值时，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，， （当且仅当时取等号）， ； ，， 在中，， （当且仅当时取等号）， ； ； 当取得最大值时，且， 为弦的垂直平分线，为四边形外接圆的直径， ，， 又此时， ，， 当取得最大值时，四边形的面积. 故选：A. 18．如图是某人设计的产品图纸，已知四边形ABCD的三个顶点A，B，C在某圆上，且，，，，，则该圆的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接AC， 在中，，，， 则， 所以，， 因为，所以， 所以，， 所以， 所以， 设该圆的半径为R，则， 所以该圆的面积为． 故选：B． 19．如图所示，已知圆的半径为2，且与正方形ABCD的两条边相切，过作圆的两条切线，切点分别为，，若，则对角线长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设与相交于，过作于， ，则， 在中，，则， 在中，，在中，，则， 所以. 故选：D 1．赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”．亦称“赵爽弦图”．如图1，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若图2中，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，，而， 所以， ， 由正弦定理得，， 即，解得，所以， 在中由余弦定理， 即， 所以，， 所以. 故选：C 2．记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意及正弦定理，得， 又，所以，则， 因为 ， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以 ，又， 所以当且仅当时，， 又，且，所以，， 所以，则， 故的面积 ． 故选:C 3．已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设是内切圆圆心，、分别是内切圆半径、外接圆半径， 则，，，， 在中，，即，， ，即，， ， 即. 故选：D. 4．某中学开展结合学科知识的动手能力大赛，参赛学生甲需要加工一个外轮廓为三角形的模具，原材料为如图所示的是边上一点，，要求分别把的内切圆裁去，则裁去的圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，，设， 显然有，，， 在中，，由正弦定理得， 即，即， 则，而，于是，所以， 因此为等边三角形，为等腰三角形，, 在中，设圆的半径为，则有， 即，解得， 所以裁去的圆的周长为. 故选：C 5．在中，角、、所对的边分别为、、且，，，下面说法正确的个数是 ①；②是锐角三角形；③的最大内角是最小内角的倍；④内切圆半径为. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于①，，，，，，故①正确； 对于②，由于，则中最大角为角， ，，是钝角三角形，故②错； 对于③，假设的最大内角是最小内角的倍，则， 即，又，即，，不符合题意，故③错； 对于④，，， ， 设的内切圆半径为，则， ，故④错． 故选：A. 6．（多选）在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则以下说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】已知在锐角中，，其中面积， ，因为，所以，即，选项A正确； 由余弦定理，，代入得：， 由正弦定理，，，代入得：， 继续化简得， 因为是锐角三角形，所以，，故，即，选项B正确； 因为是锐角三角形，且，所以：，解得：，选项C错误； ，而，代入得： ，因为，所以， 令，则，该函数是开口向上，对称轴为的二次函数， 因为区间在对称轴右侧，所以函数在该区间上单调递增， 而，，所以，选项D正确. 7．（多选）已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．的外接圆半径为1 D． 【答案】ACD 【详解】在中，，故， 代入原式得： ， 又，，将其代入 式得 ， 因为三角形中，又由， 而在三角形中，故， 即为钝角，故，因此只能，即，得，， 所以 ，， 将上述等式代入得， 解得，得，，，因此，故选项A正确，B错误； 设外接圆半径为，由正弦定理得，，， 面积，得，选项C正确； ，选项D正确. 8．在平面四边形中，，，，，和的面积分别为，，则的最小值为______. 【答案】 【详解】设，，则，， 因为，所以，， 在中，即，所以， 所以， ， 所以 ， 因为，所以，所以， 则， 所以当，即，时取得最小值. 故答案为： 9．若三角形三条中线长度分别为9、12、15，则该三角形的面积为________． 【答案】72 【详解】给定三角形中线面积定理：任意一个三角形的面积皆为其三边中线长构成的新的三角形， 即三角形面积的倍．即， 定理证明：如下图所示，，，是的三边中点、是重心， 过作、过作，直线与交于点， 显然四边形是平行四边形，易说明是的中点， 故而有，同理可得． 另一方面，易说明且， 故而四边形亦是平行四边形，因而可得，且． 至此可说明与的三条中线即、、， 通过平移之后所形成的三角形一定相似，且相似比为． 于是有， 因为的三条中线，又， 所以由上述定理可知：由的三条中线长度构成的新的三角形为直角三角形， 且面积， 所以. 故答案为：72. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解三角形与几何量计算（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形面积问题 1 题型二、三角形外接圆与内切圆问题 2 题型三、中线、角平分线、高问题 6 题型四、几何图形计算 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角形面积问题 1．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A．14 B． C． D． 4．已知是锐角三角形，，且，则的最大内接正方形的面积为（   ） A． B．1 C． D．4 5．莱洛三角形是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围成的曲边三角形．莱洛三角形在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用．如图所示，等边的边长，则该莱洛三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知的面积和外接圆半径都为1，且，则边长度为（    ） A．2 B． C．1 D． 7．在中，，且，则的最小边长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 8．记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 9．已知的面积为1，，，则_______． 10．设的内角，，所对的边分别为，，，且.若边上的高，则的值为________. 11．已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为，面积为.若，，则______. 12．在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，，，且，则的面积为______. 13．在中，，D为的中点，，，则的面积_____________． 14．在中，若，，，则__________，的面积__________． 15．在中，，，且，则的面积为______. 16．已知为锐角三角形，. (1)求； (2)求； (3)若外接圆的周长为，求的面积. 17．在中，角所对的边分别是，且． (1)求边长的值； (2)求的面积． 题型二、三角形外接圆与内切圆问题 1．在中，内角所对的边分别为，若，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 2．在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的外接圆半径为（    ） A． B．1 C． D． 4．在 中， 角 的对边分别为，已知，若，则的外接圆半径等于（    ） A． B．2 C． D．4 5．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，等腰是BC上一点，、的外接圆半径分别为、，则的值为（    ）． A．1 B． C． D．由D点的位置确定 7．正三角形的外接圆和内切圆半径的比值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 8．在平面直角坐标系中，坐标原点为，A（1，0），B（3，0），，则的内切圆圆心到点O的距离为（    ） A． B． C． D． 9．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设的三个内角，，的对边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为，若，，，则的内切圆半径为（    ） A． B． C． D． 10．几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点．在中，已知，，，现以边AB，BC，CA向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为D，E，F，则DE的长为（    ） A． B． C． D． 11．在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 12．在外接圆半径为的中，，，分别为角，，的对边，若，则（    ） A． B． C．或 D． 13．已知，，点为动点，点为线段上的点且满足，当取最小值时，的外接圆的面积为（    ）. A． B． C． D． 15．在锐角中，，为的垂心，，则的外接圆周长为（    ） A． B． C． D． 16．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 17．如图，四边形四点共圆，其中为直径，，，，则的长度为（   ）    A． B． C． D． 18．在中，分别为三边所对的角.若且满足关系式，则外接圆直径为（    ） A． B．2 C．4 D． 19．已知为的内心，且满足，若内切圆半径为2，则其外接圆半径的大小为（    ） A． B．3 C． D．4 20．克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（    ） A．4 B．2 C． D． 21．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名．如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，AB的长约为，则该月牙泉模型的面积约为（    ） A． B． C． D． 22．如图所示，在ABC中，AB=AC，A=，记ABC外接圆的面积为S1，取ABC三边的中点分别为D，E，F，记DEF外接圆的面积为S2，再取DEF三边的中点分别为P，Q，R，记PQR外接圆的面积为S3，...，依次类推，若ABC的内切圆半径为，则S3=（    ） A． B． C． D． 23．在等腰中，内角所对应的边分别为，，，则此三角形的外接圆半径和内切圆半径分别是（   ） A．4和2 B．4和 C．2和 D．2和 24．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为，已知，，，求外接圆半径与内切圆半径之比为（    ） A． B． C． D． 25．已知梯形的外接圆直径为，，，，则梯形的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D． 26．海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式，这里，a，b，c分别为的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知中，，则该三角形内切圆半径（    ） A． B． C． D． 27．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，a＝7，c＝5．则该三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为(    ) A． B． C． D． 28．已知的外接圆半径为2，内切圆半径为1，，则的面积为（    ） A． B． C．4或 D．或 29．在中，，，边上的高为2，则的内切圆半径（    ） A． B． C． D． 题型三、中线、角平分线、高问题 1．在锐角中，的角平分线交BC于D，则AD为（   ） A． B．2 C． D． 2．在中，的角平分线交于，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）在中，，，，点为边上一动点，则（   ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角的角平分线时， 4．（多选）在中，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．边上的高为 B． C．边上的中线为 D． 5．（多选）在中，，，分别是角，，的对边．若，，且，边上的高为，则（    ） A． B．是钝角 C． D． 6．在中，，，，则BC边上的高为______. 7．的三边之比为，则最大角的余弦值为__________，较大锐角的角平分线分三角形的面积比是__________． 8．已知的面积为，，，的角平分线交于点，则的长度为_____. 9．在中，. (1)求A; (2)若的周长为20，面积为，D是BC边上一点，从条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段AD 的长. 条件①:AD 是BC 边上的中线；条件②:AD 是的平分线. 10．如图，已知在中，，，，是的中点，中线，求的解析式．    11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 12．的内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线．若，，． (1)求的长； (2)求的长. 13．在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)已知，求边上的中线的长. 14．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求； (2)若的面积为，求AB边上的中线CD的长． 15．在中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 16．在中，，，. (1)求； (2)求的角平分线的长. 题型四、几何图形计算 1．在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 2．在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（   ） A． B． C． D．1 3．平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题，很多数学定理以费马的名字命名．对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点．在中，已知，设为的费马点，，的外接圆半径长为，则（    ） A． B． C． D． 4．冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD（如图乙），测得，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 6．在平面四边形中，，，，对角线与交于点，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（    ） A． B． C． D．1 8．在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在扇形中，半径，圆心角，是弧上的动点，矩形内接于扇形，下列说法正确的是（    ） A．当时，矩形为正方形 B．当时， C．面积的最大值为 D．矩形面积的最大值为 11．在中，为的中点，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 12．已知中，是上的点，平分，且面积是面积的2倍，，则的长度为（    ） A． B．2 C． D．3 13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 14．在中，若，，边上的中线长为，则（    ） A． B． C． D． 15．如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（    ） A． B． C． D． 16．如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 17．已知四边形的外接圆半径为，若，四边形的周长记为，则当取最大值时，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 18．如图是某人设计的产品图纸，已知四边形ABCD的三个顶点A，B，C在某圆上，且，，，，，则该圆的面积为（    ）． A． B． C． D． 19．如图所示，已知圆的半径为2，且与正方形ABCD的两条边相切，过作圆的两条切线，切点分别为，，若，则对角线长度为（    ） A． B． C． D． 1．赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”．亦称“赵爽弦图”．如图1，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若图2中，，则（    ）    A． B． C． D． 2．记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4．某中学开展结合学科知识的动手能力大赛，参赛学生甲需要加工一个外轮廓为三角形的模具，原材料为如图所示的是边上一点，，要求分别把的内切圆裁去，则裁去的圆的周长为（   ） A． B． C． D． 5．在中，角、、所对的边分别为、、且，，，下面说法正确的个数是 ①；②是锐角三角形；③的最大内角是最小内角的倍；④内切圆半径为. A． B． C． D． 6．（多选）在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则以下说法正确的有（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．的外接圆半径为1 D． 8．在平面四边形中，，，，，和的面积分别为，，则的最小值为______. 9．若三角形三条中线长度分别为9、12、15，则该三角形的面积为________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $