第4单元长方体（二）应用题（专项训练）-2025-2026学年数学五年级下册北师大版

第4单元长方体（二）应用专练-2025-2026学年数学五年级下册北师大版 1．一个从里面量长是16厘米，宽是8厘米的长方体容器中，水深8厘米。这时把一个铁块完全浸没在水中（水未溢出），水面上升到13厘米。这个铁块的体积是多少立方厘米？ 2．王师傅需要把一个48立方分米的正方体铁块锻造成一个长方体，长是6分米，宽是4分米，那么这个长方体的高是多少分米？ 3．一个游泳池长50米，宽20米，高1.8米，在游泳池的墙壁和底面铺上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？如果在池中注水到120厘米高，应注水多少升？ 4．乐乐在一个长8厘米、宽8厘米、高12厘米的长方体容器中加满水后，把一块石头放入容器中，水往外溢出，再把石头取出后，这时水位高度10厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？ 5．惠阳体育馆有一个长50米、宽25米、深2米的游泳池。 （1）在它的四周和底面贴瓷砖，一共需要贴多少平方米的瓷砖？ （2）水池建好后，向池里放水，水面距池口0.5米。池里有水多少立方米？ 6．做一种礼盒（如图，单位：厘米） （1）至少需要多大面积的硬纸板？ （2）这种礼盒的体积是多少？ 7．如下图，现有空的长方体容器A和水深24厘米的长方体容器B（单位：厘米）。如果将容器B中的水倒一部分给容器A，使两容器中水的体积相等。这时容器A中的水深是多少厘米？ 8．一根长方体木料，它的横截面积是0.36平方米，长是8米，12根这样的木料的体积是多少立方米？ 9．下图是某品牌的牛奶盒。请你灵活思考，解决下面的问题。 （1）你认为饮料厂向牛奶盒中装多少牛奶合适？ （2）如图所示，用一张大塑料纸将4盒牛奶包起来。至少需要多大面积的塑料纸？ （3）饮料厂将12盒牛奶装在一个纸箱里，请你设计出两种不同的包装箱，并给出设计方案。（设计时不计纸板厚度但要考虑实用性） 10．一个正方体铁块的棱长总和是72厘米，现将它铸造成底面积是54平方厘米的长方体铁块。长方体铁块的高是多少厘米？ 11．如图，观察玻璃缸中水的变化情况，计算出大正方体的体积。 12．方方家有一透明的长方体容器，里面装了一部分水。方方想知道里面水的体积，一时找不到尺子。他通过尝试，发现当如图摆放时，水没有溢出。长方体容器中的水有多少升？ 13．欢欢和乐乐用棱长为1厘米的小正方体木块玩游戏，如图。假设他们这样一直层层重叠的摆下去，当重叠到五层时，有多少个小正方体？此时这个立体图形的体积是多少立方厘米？ 14．下图为粮店售米用的木箱（无盖）。 （1）制作这个木箱至少要用木板多少平方分米？ （2）木箱里面的大米离箱口还有1分米，现在这个木箱装了多少立方分米的大米？（木箱的厚度忽略不计） 15．李叔叔用五块玻璃制作了一个无盖玻璃缸，五块玻璃的大小如下图（单位：cm）。    （1）这个鱼缸的容积是多少升？（先画出鱼缸的示意图，再尝试解答）（玻璃厚度忽略不计） （2）在鱼缸里面放入50条小鱼，鱼缸内的水面高度从28厘米上升到了30厘米，平均每条小鱼的体积是多少立方厘米？ 16．淘气用橡皮泥捏了一个正方体，然后又拿出一些橡皮泥，沿这个正方体一个面的方向加长1厘米，得到一个长方体（如下图），这个长方体比原正方体的表面积增加了12平方厘米，求这个长方体的表面积和体积。 17．如图，将一个正方体的高增加3厘米，它的表面积就增加了84平方厘米，原来正方体的体积是多少？ 18．在环保书屋里，设置了几项操作活动，其中一项是测量玻璃球的体积。现有一个从里面量得棱长为8厘米的正方体容器，装了深4厘米的水，把玻璃球完全浸没在水中（水没有溢出），这时量得水深为7.5厘米，请问玻璃球的体积是多少立方厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第4单元长方体（二）应用专练-2025-2026学年数学五年级下册北师大版》参考答案 1．640立方厘米 【分析】根据题意可知，把铁块完全浸没水中后，上升的这部分水的体积就是铁块的体积。根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，进行计算即可。 【详解】16×8×（13－8） ＝128×5 ＝640（立方厘米） 答：这个铁块的体积是640立方厘米。 2．2分米 【分析】根据题意，将一个正方体铁块锻造成一个长方体，则铁块的体积不变；根据长方体的体积＝长×宽×高可知，长方体的高＝体积÷长÷宽，代入数据计算即可求出这个长方体铁块的高。 【详解】48÷6÷4 ＝8÷4 ＝2（分米） 答：这个长方体的高是2分米。 3．1252平方米；1200000升 【分析】已知游泳池贴砖的表面积只有底面、左面、右面、前面和后面的表面积，则游泳池的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据即可求出贴砖的面积；先把120厘米化为1.2米，然后根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据即可求出水的体积，然后把单位换算成升。 【详解】50×20＋50×1.8×2＋20×1.8×2 ＝1000＋180＋72 ＝1252（平方米） 120厘米＝1.2米 50×20×1.2 ＝1000×1.2 ＝1200（立方米） 1200立方米＝1200000升 答：至少需要1252平方米的瓷砖；应注水1200000升。 4．128立方厘米 【分析】在装满水的状态下，放入石头后溢出水的体积就是石头的体积。由取出石头，水位高度是10厘米可知，溢出水的高度为12－10＝2（厘米）。可将这部分水看作是长为8厘米，宽为8厘米，高为2厘米的长方体，根据长方体体积公式求出这部分水的体积，即石头的体积。据此解答。 【详解】8×8×（12－10） ＝64×2 ＝128（立方厘米） 答：这块石头的体积是128立方厘米。 5．（1）1550平方米 （2）1875立方米 【分析】（1）由题可知，在它的四周和底面贴瓷砖，根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式解答； （2）求这时池中有多少立方米水，长是50米，宽是25米，水深是（2－0.5）米，根据长方体的体积＝长×宽×高进行解答即可。 【详解】（1）50×25＋（25×2＋50×2）×2 ＝1250＋（50＋100）×2 ＝1250＋150×2 ＝1250＋300 ＝1550（平方米） 答：一共需要贴1550平方米的瓷砖。 （2）50×25×（2－0.5） ＝1250×1.5 ＝1875（立方米） 答：池里有水1875立方米。 6．（1）700平方厘米 （2）1200立方厘米 【分析】（1）求需要的硬纸板的面积就是求长方体表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式解答即可； （2）根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。 【详解】（1）（10×15＋10×8＋15×8）×2 ＝（150＋80＋120）×2 ＝350×2 ＝700（平方厘米） 答：至少需要700平方厘米的硬纸板。 （2）10×15×8＝1200（立方厘米） 答：这种礼盒的体积是1200立方厘米。 7．6厘米 【分析】根据公式：长方体体积＝长×宽×高，求出容器B中水的体积，倒入容器A的水应该水的总体积的一半。求容器A中的水深即为长方体的高度，根据长方体体积（容器A中水的体积）÷长÷宽＝高，代入数据进行计算即可。 【详解】30×20×24÷2 ＝600×24÷2 ＝14400÷2 ＝7200（立方厘米） 7200÷40÷30 ＝180÷30 ＝6（厘米） 答：这时容器A中的水深是6厘米。 8．34.56立方米 【分析】长方体木料看作立体图形长方体，它的底面积是0.36平方米，高是8米，它的体积＝底面积×高，12根木料的总体积＝每个木料的体积×木料的数量，据此代入数据解答。 【详解】0.36×8×12 ＝2.88×12 ＝34.56（立方米） 答：12根这样的木料的体积是34.56立方米。 9．（1）240立方厘米 （2）592平方厘米 （3）一行放6盒，放2行；一行放4盒，放3行（答案不唯一） 【分析】（1）求牛奶盒中装多少牛奶，就是求这个长方体牛奶盒的容积。长方体的容积＝长×宽×高，据此代入数据计算即可。 （2）图中4个牛奶组成一个大长方体，大长方体的长是6×2＝12（厘米），宽是4×2＝8（厘米），高是10厘米。至少需要多大面积的塑料纸，就是求大长方体的表面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此解答。 （3）一共有12盒牛奶，可以一行放6盒，放2行，6×2＝12（盒）；也可以一行放4盒，放3行，4×3＝12（盒）。 【详解】（1）6×4×10＝240（立方厘米） 答：饮料厂向牛奶盒中装240立方厘米牛奶合适。 （2）6×2＝12（厘米） 4×2＝8（厘米） （12×8＋12×10＋8×10）×2 ＝（96＋120＋80）×2 ＝296×2 ＝592（平方厘米） 答：至少需要592平方厘米的塑料纸。 （3）通过分析可得：可以一行放6盒，放2行；也可以一行放4盒，放3行。 10．4厘米 【分析】根据正方体的棱长和＝棱长×12，用72÷12即可求出正方体铁块的棱长，再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，即可求出铁块的体积，然后根据长方体的高＝体积÷底面积，用铁块的体积除以54平方厘米，即可求出长方体铁块的高度。 【详解】72÷12＝6（厘米） 6×6×6＝216（立方厘米） 216÷54＝4（厘米） 答：长方体铁块的高是4厘米。 11．192立方厘米 【分析】图三与图二的体积差是两个小正方体的体积，正好对应水面上升（12－10）厘米部分水的体积，据此可求出小正方体的体积。图二与图一的体积差是一大一小正方体的体积和是水面上升（10－6）厘米部分水的体积，结合小正方体的体积，可求出大正方体的体积。 【详解】小正方体体积： 8×8×（12－10）÷2 ＝8×8×2÷2 ＝128÷2 ＝64（立方厘米） 大正方体体积： 8×8×（10－6）－64 ＝8×8×4－64 ＝256－64 ＝192（立方厘米） 答：大正方体的体积是192立方厘米。 12．10升 【分析】当如图摆放时，水没有溢出，可知水的容积是长方体容器的一半，先把长宽高换算成分米单位，根据V＝abh计算出水的体积，再根据1立方分米＝1升，直接得出水的容积是多少升，据此解答。 【详解】 （立方分米） （升） 答：长方体容器中的水有10升。 13．35个；35立方厘米 【分析】第1个图形有1个小正方体，第2个图形有（1＋3）个小正方体，第3个图形有（1＋3＋6）个小正方体，第4个图形有（1＋3＋6＋10）个小正方体，第5个图形有（1＋3＋6＋10＋15）个小正方体，立体图形的体积＝一个小正方体的体积×小正方体的个数；据此解答。 【详解】1＋3＋6＋10＋15 ＝4＋6＋10＋15 ＝10＋10＋15 ＝20＋15 ＝35（个） 1×35＝35（立方厘米） 答：当重叠到五层时，有35个小正方体，此时这个立体图形的体积是35立方厘米。 14．（1）360平方分米 （2）504立方分米 【分析】（1）求制作这个木箱至少要用木板的面积，就是求这个无盖木箱的表面积，根据长方体表面积公式：无盖木箱的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （2）求现在这个木箱装大米的体积，就是求长是12分米，宽是6分米，高是（8－1）分米的长方体的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】（1）12×6＋（12×8＋6×8）×2 ＝72＋（96＋48）×2 ＝72＋144×2 ＝72＋288 ＝360（平方分米） 答：制作这个木箱至少要用木板360平方分米。 （2）12×6×（8－1） ＝72×7 ＝504（立方分米） 答：现在这个木箱装了504立方分米的大米。 【点睛】熟练掌握长方体表面积公式和长方体体积公式是解答本题的关键。 15．（1）示意图见详解；28升 （2）32立方厘米 【分析】（1）从五块玻璃的大小可以看出，长40厘米、宽20厘米的玻璃是玻璃缸的底面，则这个无盖玻璃缸长40厘米，宽20厘米，高35厘米，据此画出示意图；长方体的容积＝长×宽×高，据此代入数据计算。 （2）根据题意，上升的水的体积等于50条小鱼的体积，即50条小鱼的体积等于长40厘米，宽20厘米，高（30－28）厘米的长方体的体积。根据长方体的体积公式，求出上升的水的体积，再除以50即可求出平均每条小鱼的体积。 【详解】（1） 40×20×35＝28000（立方厘米）＝28升 答：这个鱼缸的容积是28升。 （2）40×20×（30－28）÷50 ＝800×2÷50 ＝1600÷50 ＝32（立方厘米） 答：平均每条小鱼的体积是32立方厘米。 【点睛】本题主要考查了长方体的容积、不规则物体的体积算法。熟练掌握长方体的体积公式，明确“上升的水的体积等于50条小鱼的体积”是解题的关键。 16．表面积：66平方厘米；体积36立方厘米 【分析】根据题意可知，增加部分面积等于4个长等于正方体棱长，宽是1厘米的长方形面积和，用增加部分的面积÷4，求出一个长方形的面积；再根据长方形面积公式：面积＝长×宽；长＝面积÷宽，代入数据，求出正方体的棱长，进而求出增加后长方体的长、宽、高，再根据长方体表面积公式：面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】正方体的棱长： 12÷4÷1 ＝3÷1 ＝3（厘米） 长方形的长：1＋3＝4（厘米），宽是3厘米，高是3厘米。 表面积：（4×3＋4×3＋3×3）×2 ＝（12＋12＋9）×2 ＝（24＋9）×2 ＝33×2 ＝66（平方厘米） 体积：4×3×3 ＝12×3 ＝36（立方厘米） 答：这个长方体的表面积66平方厘米，体积36立方厘米。 【点睛】本题考查长方体表面积公式、长方体体积公式的应用，关键明确增加部分的面积与正方体棱长之间的关系是解答本题的关键。 17．343立方厘米 【分析】由于高增加3厘米，那么相当于增加了4个侧面的面积，由于长和宽相等，说明4个侧面的面积一样，4个侧面的面积是84平方厘米，则一个面的面积是：84÷4＝21（平方厘米），由于宽是3厘米，那么长是：21÷3＝7（厘米），再根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，把数代入公式即可求解。 【详解】84÷4＝21（平方厘米） 21÷3＝7（厘米） 7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 答：原来正方体的体积是343立方厘米。 【点睛】本题主要考查正方体的体积以及长方体的表面积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。 18．224立方厘米 【分析】根据求不规则物体体积的公式：容器的底面积×水面上升的高度＝物体的体积，由于玻璃球完全浸没在水中，此时水面上升了：7.5－4＝3.5（厘米），之后代入公式即可求解。 【详解】8×8×（7.5－4） ＝64×3.5 ＝224（立方厘米） 答：玻璃球的体积是224立方厘米。 【点睛】本题主要考查不规则物体体积的求法，熟练掌握它的公式并灵活运用。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $