专题07 两角和差的余弦、正弦、正切九大题型（高效培优专项训练）数学人教B版高一必修第三册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题07两角和差的余弦、正弦、正切九大题型 题型归纳 题型一：两角和与差余弦公式正用 题型二：两角和与差余弦公式逆用 题型三：两角和与差正弦公式正用 题型四：两角和与差正弦公式逆用 题型五：两角和与差正切公式正用 题型六：两角和与差正切公式逆用 题型七：给值求值问题 题型八：给值求角问题 题型九：综合化简问题 题型专练 题型一：两角和与差余弦公式正用 1.c0sl5°=() A.2-5 B.√6-V5 c.6-2 D.6+V2 4 【答案】D 【详解】由题意可得：cosl5°=cos45°-30)=cos45°c0s30°+sin45°sin30° =5x5+巨x！-6+2 22224 所以cos15°=6+V2 4 故选：D 2.已知锐角a满足osa号，钝角P满足smB=名测casa-)=— 【答案】-16 65 【详解】因为a为锐角，B为钝角，所以sina>0,cosB<0, 因为osa=子simB- 3 13 所以sna看owa多o=mB=号 13 1/24 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以cos(a-B)=+sinn=2x-12）+5x4.-l6 5^(13135-651 故答案为：-16 5 3已a,0引若+引-c2x--音则oe-j={) A.56 B. 63 65 c.16 65 0.3 65 【答案】A 【详解】因为sina+ 2 号cos2a-j=音所以aosa-手cosB π4 13 又因为a,B∈ 所以sma=1-owa-子s如B=一-osB-号 所以cos(a-β)=cosa cos阝+sina sin B= 45312_56 51351365 4.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(-4,3). )求co 的值； tanπ+】 a若如B= 5 π3π B2'2】 求cosa+B)的值. 【答案】仙5 (2)cos(a+B)= 33 65 【分析】 3 【详解】(1)法一：由角a终边上一点P(-4,3),得sina= 5'tana=- 3 4 3 故c0s2 sina = 5 33=5 tanπ+a tano 4 法二：由角a终边上一点P(-4,3),得cos0= 4 5 cos -a 故 (2 sina sina 4 =cosa=- tanπ+a tana sina cosa (2)由角a终边上一点P-4,3),得sima=,cosa= 4 2/24 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 因为simB= 经) 则cosa+p)=cosa cos B-sina sinβ ) 5.已知角8的终边过点P(-12,5),将角θ的终边按顺时针方向继续旋转到点Q,则0Q终边与单位圆交 点的横坐标为() A.-l2+5V3 B.-12-55 26 26 c.5-125 D.5+12V5 26 26 【答案】A 【详解】由题可知cos0= V-122+513,sin0=y -12 -12 5 5】 r r V-122+5213, 角的终边按顺时针旋转亚到点Q,因此0Q对应的角为“=日-？ 3 所以c0--co0cas+sm0n-(-)5-255 in313213226 故选：A 6,如图所示，ABC中，cosC=2y5,D是4C上一点，且cos∠DBC-55.求∠BDA的大小 7 14 B D 【答案】60° 【详解】由已知得cos∠DBC-5V万，。 4·cosC=2V7∠DBC,∠Ce(0,180)y 7 14'sinc=21 则sin∠DBC=V2i, 7 .cos/BDA cos(DBC+C)=cos/DBC cos C-sin /DBC sin C 57x2721x2i_1 1471472 3/24 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又∠BDA∈(0°，180）， ∠BDA=60°. 题型二：两角和与差余弦公式逆用 7.c0s65°.c0sl25°+c0s25°.sin125°= 【答案】05 【详解】cos65°.cos125°+cos25°.sin125°=cos65°.cos125°+sin65°.sin125° =c0s(65°-125)=c0s(-609)=c0s60°=1. 2 故答案为：2 8.化简cos(2π-0)cos20-sin0sin(π+20)所得的结果是() A.cose B.-cos0 C.cos30 D.-cos30 【答案】A 【详解】易知cos2π-0)cos20-sin0sinπ+20=cos-0)cos20-sin0(-sin20) cosecos20 +sinesin20 cos(0-20]=cos0. 故选：A. 9. tan23o-cos37 √ =() 2 sin67° A.-V3 B.2 1 C. D. 2 2 【答案】B 【详解】 2 an23°、cos37o sin67° V3sin23°cos37° √3sin23°-2c0s37° 2c0s23° cos230 2cos23° √3sin23°-2cos(60°-23)√5sin23°-2cos60°cos23°-2sin60°sin230 2c0s239 2c0s230 -V5sin23°-c0s23°-V5sin23°.1 2c0s23° 2 故选：B. 10.已知a,B,Y∈0,5 若sina+siny=sinB,cosB+cosy=cosa,则a-B=() 2 A. 3 B.π C.-π 6 D.π 6 【答案】A 4/24 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由sina+siny=sinp,cos阝+cosy=cosa,得sina-sinβ=-siny,cosa-cosp=cosy, .(sina-sin B)+(cosa-cos B)=(-siny)+cos2y=1,2-2sina sin B-2cosa cos B=1, 2-2 of-B)=l,解得osa-B]=号 又a,Be0 .sina-sinβ=-siny<0, .sina<sinβ， 0<a<月<经 -x<u-B<0, 2 a-B=骨 故选：A. 11.已知a,B,Y满足a-B-y=π，且sina=2 cos B cosy,tan B tany=-3,则tana的值为() A.-2 C.7 D.2 【答案】B 【详解】由tanB1any=-3,即sin Bsin=-3,可得sin Bsiny=-3 co7, cosβcosy 则cosβcosy-sin B siny=4 cos B cosy, 可得cosB+Y)=4 cos B cosy, 因为a-B-y=π，即B+y=a-π， 可得cosβ+y）=cosa-π=-cosa=4 cos B cosy, 又因为sina=2 cos B cosy,即sin= osa,所以ana=-号 故选：B. 12.已知a,,ye0,2 ,sinβ+siny=sina,cosa+cosy=cosβ，则阝-a= 【答案1号 【详解】由sinβ+siny=sina,cosa+cosy=cos, 可得siny=sina-sinβ，cosy=cosβ-cosa, 两式平方相加，可得：1=(sina-sinβ)2+(cosβ-cosa)=2-2(sin B sina+cos B cosa)=2-2cos(B-a), 5/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 即cos(B-a)= 2 又由y∈0,2 可得siny=sina-sinB>0,所以sina>sinB,所以a>B 因为a,Be0 且coB-a)-=分：所以B-a=号 放餐案为灯：青 题型三：两角和与差正弦公式正用 13.sin交=() 12 A.25 B 2+ C. 2-V3 D.V2-5 2 【答案】D 【详解】sin文=sin π 46 -sin cos-cos sin 4 6 4 “62222 6-2 6-2 6+2-4V5 8-45_2-5_V2-5 4 16 16 V16=V4 2 故选：D. 14.若5sina=2sima+2 ,则tana=· 3 【答案】55 44 【i详解】由5sina=2sma+=sina+5cosa,所以5cosa=5sina-sina=4sina,所以 tana sina3 cosa 4 3 15.若cosa=行且ow是第四象限角，则sina+ 4 等于() A.② B.72 10 10 c.-7v2 D.-2 10 10 【答案】D 【详解】因为cosa,且a是第四象限角，则sina=-cosa二 6/24 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以sina+ 4 2 (sina +cosa)=- 10 16,(多选)若普5x≤骨则函数， 6的值可以为() y= cOSx A.5 B.√5 C.3 D.4 【答案】CD 【详解】 2sinx+ V= 6 cOSx π 2sinxcos cosxsin- 6 6 cosx √3sinx+cosx=√3tanx+l, COSx 因为函数)=ianr在区间 22 上单调递增， [引= 所以y=√3tanr+1在 ππ 4'3 上单调递增， 故V3tan元+1≤V3tanx+1≤√3tan文+l,即函数的值域为V5+l,41, 4 故选：CD 17.已知c0s0= e则m0-引-() A.-V2 B.-2 c.2 D. 10 10 5 【答案】B 【详解】由于0e（0引 3 则sin0=V1-cos20= 于s如0-引 -sin0 cos-cos0sin 4 4 10 1 8已知sina+3,sima-=则R= tanB B.3 C. D.2 【答案】D 【详解】：sina+)=行sina-j=) 7/24 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .sinacosB+cosasinB=.sinacosB-cosasinB= 3 9 2 :①+②化简得：sinacosB= 9 1 ①-②化简得：cosasinβ= 9’ sina 2 两式相除有amc-cos及-sincosB-9-2 tanB sin B cosasinβ1 cos B 9 题型四：两角和与差正弦公式逆用 19.求值：sin50°c0s20°-c0s50°sin20°= 【答案】as 【详解】sin50°cos20°-cos50°sin20°=sin(50°-20°)=sin30°= 2 故答案为：号 20.图①②是斜边为1，一个锐角为α的两个全等的直角三角形，图③④是斜边为1，一个锐角为B的两个 全等的直角三角形，下图是由①②③④这四个直角三角形与一个矩形（图⑤）无缝拼接而成，且AG=cosB ，则①②③④⑤这五个图形的面积之和为( 丁B ③ ② ⑤ ① ① E ④ ③ ④ B D A.cosa+β）B.sina+β) C.cosa-β D.sin(a-β 【答案】B 【分析】 【详解】方法一：①②两个直角三角形的两条直角边分别为sina和cosa, ③④两个直角三角形的两条直角边分别为sinB和cosB,过F作CD的垂线，垂足为H, 因为AG=cosB,所以HD=cosa, 如图一，则①②③④⑤这五个图形的面积之和为矩形ABHG与矩形HDEF面积的和， 设矩形ABHG的面积为S,,矩形HDEF的面积为S2, 而S,=sinacosβ，S2=cosasinβ， 则S,+S2=sina cosB+cosasinβ=sina+阝， 故所求五个图形的面积之和为sin(a+B), 8/24 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ←cosB G ⑤ C F ② ⑤ ① sina ① E ③ ④ sinB ③ D C H cosa 图一 图二 方法二：将这五个图形重新组合得到一个边长为1，一个内角为a+B的菱形， 如图二，菱形的高h=1sin(a+B)=sin(a+B),则该菱形的面积为sin(a+B). 故选：B. 21.在ABC中，A是锐角，且cosB=1-sinB, ,则ABC的形状一定为() tanC A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【答案】B 【详解】由题意可得cosB=1-sinB.cosC nC,整理得sinCcosB=cosC-cosCsinB 移项得sinCcosB+cosCsinB=cosC,故sinB+C)=cosC. 因为在ABC中，A+B+C=x,C∈0，，A∈0， （2 所以ma+C=m4=o任4小cosc,即号4=C.故B-号 故选：B. 22.已知sin(a-B)cosa-cos(B-a)sina= B是第三象限角，测sm(B+好）的值为（) A.② B.7W2 c.-2 D.-7W2 10 10 10 10 【答案】B 【详解】sina-R)cosa--cosB-asna=sn[a-)-a]=-sn8-} sn8=又B是第三象限角，c0sB=-手 4 故选：B 23.已知sna-cosB=行cosa+sn月=分则sn(a-)=（) 9/24 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.5 B.、S c.59 D.- 59 72 72 2 72 【答案】C 【详解】由题意得(sina-cosB)=sina+cos2B-2 sina cosB= 9 (cosa+sin B)=cosa+sinB+2cosasinB= 1 -2(sina cos B-cosa sin B)sin(a 721 故选：C 24.求证： sin(2a+β) -2cos(a+B)=sinB sina sina 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为sin&≠0，要证si(2a+B】-2cosa+P)=s1nB,即要证 sina sina sin2a+β)-2cosa+β)sina_sinp sina sina sin(2a+B)-2cos(a+B)sina =sin(a+B)+a-2cos(a+B)sin a =sin(a+B)cosa+cos(a+B)sina-2cos(a+B)sina sin(a+B)cosa-cos(a+B)sina =sin(a+β）-a=sinp, 故in(2a+B1-2cos1a+B)=smB成立 sina sina 题型五：两角和与差正切公式正用 25.tan555的值为 【答案】2-√5/-√5+2 0痒解】am55=am3x80+15aml5=am60-45060m4g 5-1 5-2 1+5不5+6-2-5 故答案为：2-V3 五.已sna=a小者如a》-4,则ma+B-() 3 cosB A.I6 C.16 8 7 0:3 【答案】c 10/24 专题07 两角和差的余弦、正弦、正切九大题型 题型一：两角和与差余弦公式正用 题型二：两角和与差余弦公式逆用 题型三：两角和与差正弦公式正用 题型四：两角和与差正弦公式逆用 题型五：两角和与差正切公式正用 题型六：两角和与差正切公式逆用 题型七：给值求值问题 题型八：给值求角问题 题型九：综合化简问题 题型一：两角和与差余弦公式正用 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知锐角满足，钝角满足，则______． 3．已知，若，则＝（    ） A． B． C． D． 4．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求的值； (2)若，，求的值． 5．已知角的终边过点，将角的终边按顺时针方向继续旋转到点，则OQ终边与单位圆交点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，中，，是上一点，且．求的大小． 题型二：两角和与差余弦公式逆用 7．____________． 8．化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 9．（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知，，满足，且，，则的值为（    ） A．－2 B． C． D．2 12．已知，则__________. 题型三：两角和与差正弦公式正用 13．（    ） A． B． C． D． 14．若，则______． 15．若，且是第四象限角，则等于（   ） A． B． C． D． 16．（多选）若，则函数的值可以为（   ） A． B． C．3 D．4 17．已知，，则（   ） A． B． C． D． 18．已知，则（   ） A． B．3 C． D．2 题型四：两角和与差正弦公式逆用 19．求值：______． 20．图①②是斜边为1，一个锐角为的两个全等的直角三角形，图③④是斜边为1，一个锐角为的两个全等的直角三角形，下图是由①②③④这四个直角三角形与一个矩形（图⑤）无缝拼接而成，且，则①②③④⑤这五个图形的面积之和为（ ）           A． B． C． D． 21．在中，A是锐角，且，则的形状一定为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 22．已知，是第三象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 23．已知，，则（    ） A． B． C． D． 24．求证：. 题型五：两角和与差正切公式正用 25．的值为___________． 26．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 27．已知为锐角，，角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 28．若，则（    ） A． B． C． D． 29．已知都是锐角，且，则________. 30．如图，三个相同的正方形相接，则__________. 题型六：两角和与差正切公式逆用 31．化简（    ） A． B． C．1 D． 32．已知，，，则__________. 33．_______． 34．______． 35．_______. 36．已知分别为第一象限角和第三象限角，，则__________. 题型七：给值求值问题 37．已知，则（   ） A． B． C． D． 38．已知，，则（    ） A． B． C． D． 39．设，且，则______． 40．已知均为锐角，则（   ） A． B． C． D．或 41．已知是方程的根. (1)求的值； (2)若是第四象限角，，求的值. 42．已知，，． (1)求的值； (2)若，求的值． 43．已知，，，则（    ） A． B． C．3 D． 题型八：给值求角问题 44．若，，且，，则______ 45．已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D．或 46．已知． (1)求的值，并证明； (2)若，求的值． 47．已知，，且，，求，及的值. 48．已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 题型九：综合化简问题 49．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，将角的终边按照顺时针方向旋转后得到角，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 50．已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴，将的终边绕原点逆时针旋转后，其终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 51．已知，，，，则 （    ） A． B． C． D． 52．已知满足，则（    ） A． B． C． D． 53．已知，为锐角，若，，则______； 54．已知，则__________． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $