精品解析：2026年四川绵阳市盐亭县初中中考第一次模拟监测数学试卷

初中2026届学业水平测试数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 在，，，四个数中，绝对值最小的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，绝对值，掌握绝对值的规律：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是是解题的关键．根据绝对值的定义分别求出这四个数的绝对值，再进行比较即可． 【详解】解：，，，，且， 绝对值最小的数是， 故选：A． 2. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 3. 下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握中心对称图形的判断方法． 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据该定义对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：根据中心对称图形的定义判断： 选项，该图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该图形是中心对称图形，符合题意，选项正确． 故选：． 4. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：它的俯视图是， 故选：C． 5. 为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是 A. 2.2，2.2 B. 2.1，2.2 C. 2．15，2.2 D. 1.7，2.7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数，理解众数和中位数的概念是解题的关键． 根据众数和中位数的概念求解． 【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，， 则中位数是，众数是．   故选：A ． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂乘除法、单项式乘多项式，掌握相关运算法则是解题关键．根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂乘除法、单项式乘多项式法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 7. 一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，通过根与系数的关系计算两根之和即可判断选项． 【详解】解：∵一元二次方程中，，， 又∵对于一元二次方程，两根之和， ∴， 故选：D． 8. 如图，在坡角为的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意可得，则米． 【详解】解：在中，， ∴米， 故选：A． 9. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象．根据一次函数与反比例函数图象找出、的正负，再根据抛物线的对称轴为，得出二次函数对称轴在轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第一、二、三象限， ∴， 对于二次函数， ∴对称轴为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧；排除选项A和B； ∵反比例函数的图象在第二象限内， ∴，则， ∴二次函数的图象与轴交点在轴下方， 满足上述条件的函数图象只有选项D． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由一次函数解析式可得，，得到，设与直线相切于点，连接，，可得，，由，可得，即可得解． 【详解】当时，；当时，， ，， ，， ， ， 如图，设与直线相切于点，连接，， ，， 设， ， ， 即， 解得：， ， ， ． 11. 如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿路线做匀速运动，那么的面积S与点运动的路程之间的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是分别判断出从点到点以及从点到点，的面积S与点运动的路程之间的函数关系，首先判断出从点到点，的面积与点运动的路程之间的函数关系是：（）；然后判断出从点到点，的面积一定，进而判断出的面积与点运动的路程之间的函数图象大致是哪一个即可． 【详解】解：从点到点，的面积与点运动的路程之间的函数关系是：； 从点到点，的面积一定，为：， 所以的面积与点运动的路程之间的函数图象大致是： 故选：B． 12. 如图，在正方形中，、分别为、的中点，连接、交于点，将沿对折，得到，延长线交延长线于点，下列结论正确的个数为（　　） ①；②；③；④； ⑤． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质易证，即可判断①；根据，，即可得到，从而推出为直角三角形，即可判断②；根据，得到，结合折叠的性质可知，即可判断③；由③可知，根据正方形的性质和折叠的性质可得到，，，不妨设，，则，，利用勾股定理可求得，从而用表示出和，即可判断④；设与交于点，根据①②所得和折叠的性质可证，，得到，，进而得到为的中位线，然后由三角形面积公式得到，结合即可判断⑤． 【详解】解：四边形为正方形，、分别为、的中点， ，，，， ， ， ，故①正确； 由①可知， ， ，即， ， 在中，，故②正确； 四边形为正方形， ， ， 将沿对折，得到， ， ，故③正确； 由③可知， 四边形为正方形，点、分别为、的中点， ，， ， 将沿对折，得到， ，，， ， 不妨设，，则，， 在中，，即， 解得， ，， ，故④错误； 设与交于点，如图所示： 由①②可知，，，， 将沿对折，得到， ，， ， ， ，， ，， 点为的中点， ， ， 为的中位线， ， ，， ， ，， ，故⑤正确； 综上所述，结论正确的有4个． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 把多项式分解因式的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 14. 如图，已知中，，平分交于点D，是的外角的平分线，交于点G．以下结论：①；②是等腰三角形；③．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 根据平行线＋角平分线得到，，故，故可判断②③，判断不了①． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形，故②正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，故③正确， 但是证明不出，只能得到，故①错误， ∴正确的为②③， 故答案为：②③． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要涉及等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形面积的计算．解题的关键思路是通过等边三角形的性质构造全等三角形，找出线段扫过的图形，进而计算其面积． 具体来说，利用是等边三角形和的条件，证明和全等，从而将线段的运动转化为线段的运动，进而确定线段扫过的图形，再计算其面积． 【详解】解：是边长为4的等边三角形， ，． ， 又线段绕点逆时针旋转得到线段， ，． ， 即． 在和中， ， ． ，， ，， ，， ，即点Q的运动轨迹在射线上， 作射线，在射线上截取，连接， ， 即点P从点C运动到点D的过程中，点Q从图中的点Q运动到点，点Q的运动轨迹是下图中的线段， ，，此时， ， 线段扫过的图形的面积等于的面积． 作于， ， ，  线段扫过的面积， 故答案为：． 16. 若关于x的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组，然后根据不等式组有解且最多有3个整数解求出；再解分式方程得到是整数，据此求出符合题意的a的值即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解且最多有3个整数解， ∴， ∴； 解得：， ∵分式方程有整数解， ∴是整数，且且，即 ∴， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 17. 如图，等边中，于D，，点P、Q分别为上的两个定点且，在上有一动点E使最短，则的最小值为__． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ∴， 的最小值为5． 故答案为：5． 18. 如图，已知在四边形中，，，点E、F分别在线段、上．如果，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】连过作于，交于点H，设与相交于点O，证明，即可得，设，则，由勾股定理可得，最后求出的值即可． 【详解】解：如图，过作于，交于点H，设与相交于点O， ，， ， ， ， 又． ． ， 设，则， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题． 三．解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算及化简 （1）； （2），再从中选一个适合的整数代入求值． 【答案】（1） （2），当时，所求值为 【解析】 【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可； （2）先根据分式的运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件，结合的取值范围，得到可以取0，，，，任取一值代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ， 由题意，、， 即、， ， 可以取0，，，， 当时，原式． 20. 为了启发学生的阅读自觉性，培养学生的学习毅力，学校决定开展“读书月”活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成五类:艺术、文学、科普、传记、其他．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图(每位同学必选且只选最喜欢的一类)，根据图中提供的信息，解答下列问题: （1）这次调查的学生共有________名，喜欢“文学”类的学生有_______名； （2）在扇形统计图中“科普”类所对应的圆心角的度数是________°，“其他”类所对应的百分比是_______； （3）如果要在这五类图书中任选两类进行调查，恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率是_________． 【答案】（1）300；75 （2）90；16% （3） 【解析】 【分析】（1）根据喜欢“艺术”类的学生人数和所占百分比可进行求解； （2）根据（1）中的数据可直接进行求解； （3）根据列表法可进行求解概率． 【小问1详解】 解：由统计图可知：这次调查的学生共有（名）；喜欢“文学”类的学生有（名）； 故答案为300；75； 【小问2详解】 解：由（1）可知：“科普”类所对应的圆心角的度数是； “其他”类所对应的百分比是； 故答案为90；16％； 【小问3详解】 解：由题意可列表如下： 艺术 文学 传记 科普 其他 艺术 / √ √ √ √ 文学 √ / √ √ √ 传记 √ √ / √ √ 科普 √ √ √ / √ 其他 √ √ √ √ / ∴在这五类图书中任选两类进行调查共有20种，其中恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的共有2种，则恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查扇形与条形统计图及概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图及概率的求解是解题的关键． 21. 某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． （1）求毛巾和扫把簸箕套装的单价； （2）如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】（1）毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元 （2）学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元，根据“买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾，分别按两种优惠方案购买，根据“总费用不超过480元，且购进扫把簸箕套装不少于50套”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的值（即购进扫把簸箕套装的数量），再将其代入中，即可求出购进毛巾的数量． 【小问1详解】 解：设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元， 根据题意得：， 解得． 答：毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元． 【小问2详解】 解：设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾， 按方案1购买时， ，解得， ∴（条）． 按方案2购买时， ， ∵该不等式组无解，∴不能按方案2购买． 答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾． 22. 如图正方形中，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F． （1）求证：； （2）若，，的长度为 ； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：过点E作于点M，的延长线交于点N，于点H，如图1所示： ∵四边形是正方形， ，，，， ， ∴四边形，四边形和四边形都是矩形， ，，， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）2； （3）的度数是或 【解析】 【分析】（1）过点E作于点M，的延长线交于点N，于点H，则可得四边形，四边形和四边形都是矩形，则可得，，．根据同角的余角相等可得，再证是等腰直角三角形，则可得，进而可得，根据证明，则可得． （2）四边形是正方形，且，可得，．由可得，进而可得，，，则可得，则F点与C点重合，因此． （3）分两种情况讨论：①当时，，在四边形中，根据四边形内角和等于，可求得．②当时，先根据三角形内角和定理求得，进而可得．由是的外角，且可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴F点与C点重合， ∴． 故答案为：2； 【小问3详解】 解：∵点E为对角线上一点， ∴线段与正方形的某条边的夹角是时，有以下两种情况： ①当与的夹角是时，即，如图3①所示： ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴； ②当与的夹角是时，即，如图3②所示： ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的度数是或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握以上知识，并且正确的作出辅助线是解题的关键． 23. 定义：点关于原点的对称点为，以为边作等边，则称点为的“完美三角点”． （1）若，求点的“完美三角点”的坐标． （2）若点是双曲线上一动点，当点的“完美三角点”点在第四象限时， ①如图1，请问点是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由． ②如图2，已知点，点是线段上的动点，点在轴上，若以、这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1）或； （2）①点在某一函数图象上运动，；②或． 【解析】 【分析】（1）则，可求；设，有，通过解方程可得，再进行运算即可； （2）①设则，可求；设，有，通过解方程可得，，据此求解即可； ②分三种情况讨论，求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 设， ∴等边， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 整理得， 解得， 当时，， 当时，， ∴点N的坐标是或； 【小问2详解】 解：①点在某一函数图象上运动，理由如下， 设， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N在第四象限，， ∴，， ∴ ∴，即； ②当为平行四边形的边时，C与B重合时， 通过平移可求得N的横坐标为1， ∵， ∴， ∴这一临界点通过平移可求得， ∴； 当为平行四边形的对角线时，C与B重合时， 通过平移可求得N的横坐标为3， ∵， ∴， ∴这一临界点通过平移可求得， ∴； C与A重合时，同理可得， 此时， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查反比例函数综合题，平行四边形的判定与性质，对新定义的理解是解题的关键. 24. 四边形是的内接四边形，是对角线，平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点E在线段上，连接，，连接，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作交于点H，交线段于点F，连接，请你探究线段、线段的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴可设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴． （3） 解：； 证明：连接，延长使，连接，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又， ∵， ∴ ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由圆的基本性质得，即可得证； （2）由等腰三角形的性质得可设，，可得，由圆的内接四边形的性质，即可得证； （3）连接，延长使，连接，由正方形的判定方法得矩形是正方形，由圆的基本性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可证，由勾股定理得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 【答案】（1）； （2），； （3） 证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【小问1详解】 解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中2026届学业水平测试数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 在，，，四个数中，绝对值最小的数是（　　） A. B. C. D. 2. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是 A. 2.2，2.2 B. 2.1，2.2 C. 2．15，2.2 D. 1.7，2.7 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在坡角为的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 6 11. 如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿路线做匀速运动，那么的面积S与点运动的路程之间的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，、分别为、的中点，连接、交于点，将沿对折，得到，延长线交延长线于点，下列结论正确的个数为（　　） ①；②；③；④； ⑤． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 把多项式分解因式的结果是________． 14. 如图，已知中，，平分交于点D，是的外角的平分线，交于点G．以下结论：①；②是等腰三角形；③．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为__________． 16. 若关于x的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 17. 如图，等边中，于D，，点P、Q分别为上的两个定点且，在上有一动点E使最短，则的最小值为__． 18. 如图，已知在四边形中，，，点E、F分别在线段、上．如果，，那么______． 三．解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算及化简 （1）； （2），再从中选一个适合的整数代入求值． 20. 为了启发学生的阅读自觉性，培养学生的学习毅力，学校决定开展“读书月”活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成五类:艺术、文学、科普、传记、其他．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图(每位同学必选且只选最喜欢的一类)，根据图中提供的信息，解答下列问题: （1）这次调查的学生共有________名，喜欢“文学”类的学生有_______名； （2）在扇形统计图中“科普”类所对应的圆心角的度数是________°，“其他”类所对应的百分比是_______； （3）如果要在这五类图书中任选两类进行调查，恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率是_________． 21. 某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． （1）求毛巾和扫把簸箕套装的单价； （2）如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 22. 如图正方形中，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F． （1）求证：； （2）若，，的长度为 ； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 23. 定义：点关于原点的对称点为，以为边作等边，则称点为的“完美三角点”． （1）若，求点的“完美三角点”的坐标． （2）若点是双曲线上一动点，当点的“完美三角点”点在第四象限时， ①如图1，请问点是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由． ②如图2，已知点，点是线段上的动点，点在轴上，若以、这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的纵坐标的取值范围． 24. 四边形是的内接四边形，是对角线，平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点E在线段上，连接，，连接，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作交于点H，交线段于点F，连接，请你探究线段、线段的数量关系，并证明你的结论． 25. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $