专题03 平行四边形6大考点（期中真题汇编，新疆专用）八年级数学下学期新教材人教版

学科网 www .zxxk.com 专题03 平行四边形 ☆6大高频考点概览 考点01利用平行四边形的性质求解 考点02利用平行四边形的性质证明 考点03判断能否构成平行四边形 考点04证明四边形是平行四边形 考点05平行四边形判定与性质的求解与证明 考点06三角形中位线的有关求解与证明 目目 考点01 利用平行四边形的性质求解 1.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐期中)如图，在平行四边形ABCD中，AE 接AC.若AB=AE,∠EAC=20°，则LACD的度数为() D B E A.50° B.60° C.70° D.80° 2.(24-25八年级下·新疆阿克苏·期中)平行四边形ABCD中，∠A:∠B=1:2 A.30° B.45° C.60° D.120° 3.(24-25八年级下·新疆伊犁期中)如图，在平行四边形ABCD中，AB=6 交AD于E,交CD的延长线于点F,则DF=() E A.2 B.4 C.6 D.8 4.(24-25八年级下·新疆期中)在口ABCD中，∠BAD与∠ABC的角平分线 AE=12,BE=9,则ABCD的周长是() 1/11 让教与学更高效 平分∠BAD交BC于点E,连 则∠C的度数为()》 AD=10,∠ABC的平分线 交于CD边上一点E,若 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E B A.39 B.45 C.54 D.63 5.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中)如图，平行四边形ABCD中，∠1=70°，则∠A等于(). A 入1 B C A.120° B.110° C.70 D.30° 6.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中)如图，在▣ABCD中，AB≠AD,对角线AC与BD相交于点0， OE⊥BD交AD于E,若△ABE的周长为12cm,则▣ABCD的周长是() A E D A.24cm B.40cm C.48cm D.无法确定 7.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中)如图，平行四边形ABCD中以点D为圆心，适当长为半径作弧， 交DA、DC于E、F,分别以点E、F为圆心，大于号EF长为半径作弧，两弧交于点P,连接DP并延长， 与BC交于点G,若AD=5,AB=3,则BG的长为 E D B G 8.(24-25八年级下，新疆乌鲁木齐·期中)如图，在口ABCD中，E是BC边上一点，AB=AE,AD=DE, 若∠B=68°，则∠CDE的度数为 B4 E 9.(24-25八年级下·新疆期中)如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E,AB=8, BC=6,则EC的长等于 2/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E B 10.(24-25八年级下·新疆阿克苏期中)平面直角坐标系中，平行四边形ABCD中A1,2),B(2,1), C(5,4),则D点的坐标为 11.(2021江苏扬州·中考真题)如图，在口ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED,若∠EBC=30°， BE=10,则口ABCD的面积为 E D 12.(24-25八年级下·新疆期中)如图，在海面上有两个疑似漂浮月标A、B,接到消息后，两艘搜救艇同 时从港口O出发赶往目的地.一艘搜救艇以6海里/时的速度沿北偏东60°的方向向目标A前进，同时另一艘 搜救艇以8海里时的速度向目标B前进，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B，此时，他们相距15海 里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？ 北个 D 东 13.(24-25八年级下·新疆喀什期中)如图，在四边形ABCD中，AD=6,BC=16,AD∥BC,∠B=60 ,E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点？同时以每秒2个 单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也停止运动.设运动时间为s. 3/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)PD= CO= ; OE= (用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，以P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形？ 目目 考点02 利用平行四边形的性质证明 1.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐期中)如图，口ABCD的对角线AC、BD交于点O,AE平分∠BAD交 BC于点E,且∠4DC=60，B=AC,连接0B,下列第论：①AE>CE:②Sc=4B:4C;® S.:=2Se;④0E=4D,其中成立的有（) A.①②③ B.②③ C.②③④ D.②④ 2.(24-25八年级下·新疆吐鲁番期中)如图，在平行四边形ABCD中，BC=7,AB=4,BE平分∠ABC 交AD于点E,求DE的长， A E D 3.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中)如图在平行四边形ABCD中，DE=CE连接AE并延长交BC的延 长线于点F. D (1)求证：BC=CF (2)若AB=2BC,∠F=36°，求∠B的度数， 4.(24-25八年级下·新疆喀什期中)如图所示，已知口ABCD和口EBFD,且点A,E,F,C在同一条直 线上.求证：AE=CF. 4/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 目目 考点03 判断能否构成平行四边形 1.(江苏省南通市田家炳中学2024一2025学年下学期第一次月考八年级数学试题)根据所标数据，不能判 断下列四边形是平行四边形的是() 3 A B 6 Q40° Q40° D 40° 35 40° 2.(24-25八年级下·新疆喀什期中)如图，四边形ABCD的对角线相交于点0，下列条件能判定四边形 ABCD是平行四边形的是() O B A.AD=BC,OB=OD B.AB=CD,AC=BD C.AB∥CD,OA=OC D.AB=CD,BC∥AD 3.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,要使四边形ABCD成为平 行四边形，则应增加的条件是() D A. ∠BAD=∠DCBB.AC=BD C.∠ABC+∠BAD=180°D.AB=CD 目目 考点04 平证明平行四边形是平行四边形 1.(24-25八年级下·新疆喀什·期中)如图，在平行四边形ABCD中，E,F是对角线BD上两个点，且 BE=DF· 5/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B E F D C (1)求证：AE=CF; (2)若AD=AE,∠DFC=140°，求∠DAE的度数. 2.(24-25八年级下·新疆阿克苏期中)如图，点A,D,C,B在同一条直线上， AD=BC,AE=BF,AE I BF.求证： B (1)△ADE≌△BCF; (2)四边形DECF是平行四边形. 3.(24-25八年级下·新疆阿克苏期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点0， AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,连接AF,CE. A D F B4 (1)求证：四边形AECF为平行四边形； (2)若AB⊥AC,BD=8,∠ABD=30°，求四边形AECF的面积 目目 考点05 平行四边形判定与性质的求解与证明 1.(2022新疆中考真题)在ABC中，点D,F分别为边AC,AB的中点.延长DF到点E,使DF=EF ,连接BE. 6/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D B (I)求证：△ADF≌△BEF; (2)求证：四边形BCDE是平行四边形. 2.（黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷)如图，四边形ABCD 中，M,N是BD上两点，AM∥CN,AN∥CM,若BM=DN,求证：四边形ABCD是平行四边形. 3.(北京市密云区2019-2020学年八年级下学期期末数学试题)已知：如图，口ABCD中，E,F是AB,CD 上两点，且AE=CF.求证：DE=BF, D A E B 4.(湖北省武汉市江夏区湖北华宜寄宿学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题)如图，在 口ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形DEBF是平行四边形 D E B 5.(24-25八年级下·新疆喀什期中)如图，在口ABCD中，点O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长 线于点E,连接AE,BD,，∠BDC=90°. E D (I)求证：四边形ABDE是矩形； 7/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)连接0C.若AB=2,BD=2√2，求0C的长. 6.(【校级联考】天津市和平区2017-2018学年第二学期八年级期中数学试题)如图，在D4BCD中，点E, F分别在边BC,AD上，且AF=CE. 求证：四边形AECF是平行四边形. 7.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中)如图.己知点P、Q是口ABCD对角线BD上的两点，且BP=DQ, 连接AP、CP、CQ、AQ. (I)求证：四边形APCQ是平行四边形； (2)若Q为DP的中点，△AD2的面积为2，则口ABCD的面积为 8.(24-25八年级下·新疆期中)如图1，在平面直角坐标系中，点A(6,0),C(3,4).平移0A至CB(点0 与点C对应，点A与点B对应)，连接OC、AB, D (图1) (图2) (1)点B的坐标为 (2)点D,E分别是OA,AB边上的动点，连接DC,DE,M,N分别为DC,DE的中点，连接MN.当 D,E分别在OA,AB上运动时，MN是否存在最小值？若存在，求出MN的最小值；若不存在，请说明 理由； (3)如图2，三角形C0F是等腰直角三角形，P为线段OF上一点，以CP为直角边作等腰直角三角形CPQ, 其中∠PCQ=90°，试猜想PO,PF2,PQ三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想. 8/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点06 利三角形中位线的有关求解与证明 1.(24-25八年级下·新疆吐鲁番期中)如图，在ABC中，D和E分别为所在边的中点，若DE=3,则 AC的长为() D A.6 B.5 C.4 D.3 2.(2024四川巴中.中考真题)如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点0，点E是BC的中点，AC=4.若 口ABCD的周长为12，则△C0E的周长为() 0 A.4 B.5 C.6 D.8 3.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐期中)如图，在口ABCD中，AD=8,E为AD上一动点，M,N分别为 BE,CE的中点，则MN的长为() A D M B A.4 B.3 C.2 D.不确定 4.(24-25八年级下·新疆期中)如图，在RtA ABC中，∠ACB=90°，延长BC至点E,使BE=BC,点F 为DE的中点，连结BF,若AB=I0,则BF的长为 9/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中)如图，在口ABCD中，∠ABC=45°，AB=122,CB=28,点M, N分别是边AB,AD的中点，连接CM,BN,并取CM,BN的中点，分别记为点E,F,连接EF,则EF的 长为 D B 6.(24-25八年级下·新疆伊犁.期中)如图，要测量池塘的宽度BC,选取点A,使D、E分别是AB、AC中 点，现测得DE的长为25米，则池塘的宽BC是米 D 7.(24-25八年级下·新疆阿克苏·期中)如图，在平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F 分别是AD,OD的中点，若EF=2,则AC的长是 B 8.(24-25八年级下·新疆喀什期中)如图，在△ABC中，E、D、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=10, AC-8,求四边形AEDF的周长. E B D 9.(2024新疆中考真题)如图，ABC的中线BD,CE交于点O,点F,G分别是OB,OC的中点. 10/11丽学科网 www.zxxk.com 专题03平行四边形 目目 考点01 利用平行四边形的性质求解 2 3 4 5 D B B 7.2 8.24° 9.2 10.4,5) 11.50 12.北偏西30° 【详解】(1)解：：AD=6,BC=16,点E是BC的中点，点P在AD上， PD=6-AP BE=CE=BC=8, OE=8-CO OE=CO-8 或 ,点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动， ..AP=t, .PD=6-t: ,点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动， C0=2t 若点Q与点E重合，则2t=8, 解得1=4： 若点P与点D重合，则t=6, 当0≤t≤4时，则QE=8-2t, 当4<1≤6时，则QE=2t-8, 故答案为：6-t:2t:8-2t或2t-8: (2)解：AD∥BC, PD=EO ·点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形时， 1/13 让教与学更高效 6 A 点Q在BC上， 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :E是BC的中点， ∴BE=CE=5BC=8, 21 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：2t-8=6-1, 解得：1=14 3, ②当Q运动到E和C之间，则得：8-2t=6-t, 解得：t=2, 14 综上所述，当运动时间t为2秒或3秒时，以点P,QE,D为顶点的四边形是平行四边形. 13. 【详解】(1)解：AD=6,BC=16,点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上， 六PD=6-AP, BE=CE=1BC=8, 2 :2E=8-C00E=c0-8 或 :点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动， ∴.AP=t, .PD=6-t: ,点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动， CO=21 若点Q与点E重合，则2t=8, 解得t=4: 若点P与点D重合，则t=6, 当0≤t≤4时，则QE=8-2t, 当4<t≤6时，则0E=2t-8, 故答案为：6-t;2t;8-2t或2t-8: (2)解：AD∥BC, PD-EO ∴点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形时， E是BC的中点， 2/13 命学科网 www.zxxk.com BECE BC=8, 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：2t-8=6-t, 14 解得：t=3 ②当Q运动到E和C之间，则得：8-21=6-t, 解得：t=2, 14 综上所述，当运动时间t为2秒或3秒时，以点P,Q,E, 目目 考点02 利用平行四边形的性质证明 C 2.3 【详解】(I)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AD=BC, .∴.∠D=∠ECF 在△ADE和△FCE中， ∠D=∠ECF DE=CE ∠AED=∠FEC' .∴△ADE≌AFCE ASA .AD=CF .BC=CF (2)由(1)知，AD=BC=CF .AB=2BC, ∴.AB=FB, 3/13 让教与学更高效 D为顶点的四边形是平行四边形. 丽学科网 www.zxxk.com .∠BAF=∠F=36°， .∴.∠B=180°-2×36°=108° 4. 【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD, ∴.∠BAE=∠DCF, ,四边形EBFD是平行四边形， DF∥BE, ∴.∠BEF=∠DFE, ∴.∠AEB=∠CFD, 在△ABE和△CDF中， 「∠AEB=∠CFD ∠BAE=∠DCF AB=CD :△1BE≌CDF(AAS) ∴.AE=CF 目目 考点03 判断能否构成平行四边形 2 3 目目 考点04 证明四边形是平行四边形 1.【详解】(1)证明：，平行四边形ABCD, ABI∥DCAB=CD .∠ABE=LCDF, 在△ABE和△CDF中， 4/13 教与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让 AB=CD ∠ABE=∠CDF BE=DF :△MBE≌ACDF(SAS) ∴.AE=CF (2)解：：△ABE≌△CDF,∠DFC=140°， ∴.∠AEB=∠CFD=140°， .∠AED=180°-∠AEB=40°， AD=AE, ∴.∠AED=∠ADE=40°， ∴.∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=100° 2. 【详解】(1)证明：：AE∥BF, ∠A=∠B, AD=BC,AE=BF, ∴.△ADE≌△BCF. (2)证明：由(1)得△ADE≌△BCF, ∴.DE=CF,∠ADE=∠BCF, ∴.∠EDC=∠DCF, .DE∥CF, .四边形DECF是平行四边形. 3. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,AB∥CD, .∠ABE=∠CDF, AE⊥BD,CF⊥BD, .∠AEB=∠CFD=90°，AE/1CF, 在△ABE和△CDF中， 5/13 教与学更高效 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠AEB=∠CFD ∠ABE=∠CDF AB=CD aABE≌aCDF(AAS) .AE=CF, 又：AE/1CF, ∴.四边形AECF为平行四边形： (2)解：四边形ABCD是平行四边形，BD=8, OB=。BD=4 AB⊥AC, .∠BAC=90°， ∠ABD=30°， 1 ∴OA=OB=2, ∠A0B=90°-30°=60°， AE⊥BD .∠AE0=90° ∴∠OAE=90°-∠AOE=30°， :0E=0A=1, 2 .AE=VOA2-0E2=V22-12=√5 .S.or =OE.AE-x1x 5u=45E=4x5-25 目目 考点05 平行四边形判定与性质的求解与证明 1. 【详解】(1)证明：，点F为边AB的中点， 6/13 命学科网 .'BF=AF, 在△ADF与△BEF中， AF=BF ∠AFD=∠BFE DE=EF △ADF≌△BEF(SAS) (2)证明：，点D为边AC的中点， :'AD=DC, 由(I)得△ADF≌△BEF, ∴.AD=BE,∠ADF=∠BEF, .DC=BE,DC//BE ∴.四边形BCDE是平行四边形. 2. 【详解】证明：AW∥CM, .∴∠CMD=∠ANB .∠CMB=∠AND :AM∥CN,AN∥CM ∴四边形AMCN是平行四边形， ..CM=AN, 又BM=DN, .ABCM≡△DAN(SAS) ∴.BC=AD,∠MBC=∠ADN .AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 3. 【详解】在平行四边形ABCD中， ABlCD,AB=CD, .AE=CF, BE=DF,BE DF ∴.四边形DEBF是平行四边形. ww.zxxk.com 让 7/13 教与学更高效 丽学科网 www.zxxk.com ir ..DE=BF. 4. 【详解】证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD,AB=CD 又因为E、F分别是AB、CD的中点， 所以BE= B,DF=CD】 2 则BE=DF 又BE∥DF, 所以四边形DEBF是平行四边形 5. 【详解】(1)证明：，O为AD的中点， .AO=DO, ,四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD, ∴.∠BAO=∠EDO, 又：∠AOB=∠DOE, ÷△1OB≌aDOE(ASA) ∴AB=DE, .四边形ABDE是平行四边形， ,∠BDC=90° ∴.∠BDE=90°， ∴.平行四边形ABDE是矩形： (2)解：如图，过点O作OF⊥DE于点F, B E F D 四边形ABDE是矩形， CDE=B=2,OD月 2D,0B=OE=号E,AD=BE 2 8/13 教与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教与 ..OD=OE, OF⊥DE, .DF EF = DE=1, 21 ∴.OF为△BDE的中位线， 0r号nE :四边形ABCD是平行四边形， ∴.CD=AB=2, ∴.CF=CD+DF=3. 在Rt△OCF中，由勾股定理得： 0C=V0F2+CF2=VW2)}+32=i 的长为面 O 6. 【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.ADIBC, AF=CE, .四边形AECF是平行四边形. 7. 【详解】(1)证明：连接AC交BD于点O, B 、O 四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,OB=OD, .DO=BP, ∴.OB-BP=OD-DQ, 即OP=O0, ..OA=OC. 9/13 学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 APCO 四边形 是平行四边形. (2):Q为DP的中点， DO=BP DO=OP=BP △ADO 的面积为2， :5e=54m=2So=6 、口ABCD的面积为 SADP=2×6=12 8【详解】()解：：点0与点C对应，点A与点8对应，点C(3,4), :0(0,0向右平移3个单位，再向上平移4个单位得C(3,4) :46,0向右平移3个单位，再向上平移4个单位得(94， 故答案为： (9,4) 12 (2)解：MN存在最小值，MN的最小值为5，理由： 连接CE,过C作CF⊥x轴于点F,如图， FD A M,N分别为DC,DE的中点， .MN为△DCE的中位线， MN∥DE' MN=CE, 2 .CE取得最小值时，即CE⊥AB时，MN的值最小， 由(1)知：AB=0C=NOF2+CF2=V32+4=5 10/13 专题03 平行四边形 6大高频考点概览 考点01 利用平行四边形的性质求解 考点02 利用平行四边形的性质证明 考点03 判断能否构成平行四边形 考点04 证明四边形是平行四边形 考点05 平行四边形判定与性质的求解与证明 考点06 三角形中位线的有关求解与证明 地 城 考点01 利用平行四边形的性质求解 1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在平行四边形中，平分交于点，连接．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，，推出，，证是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由可得，即可求解． 【详解】解：平分， ， 平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）平行四边形中，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形得出两直线平行，同旁内角互补，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25八年级下·新疆伊犁·期中）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于点，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，以及平行线的性质，等角对等边．首先根据平行四边形的性质可得，，，再根据平行线的性质与角平分线的性质证明，根据等角对等边可得，再用即可算出的长． 【详解】解：如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级下·新疆·期中）在中，与的角平分线交于边上一点，若，，则的周长是（    ） A．39 B．45 C．54 D．63 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键．根据题意可得，勾股定理求得，根据等腰三角形的性质可得，进而求得平行四边形的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，，，， ， 平分与 是直角三角形 在中，， ， 的周长为． 故选：B． 5．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，平行四边形中，，则等于（    ）．      A．120° B．110° C．70° D．30° 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，，求出，再代入求出答案即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质，注意：平行四边形的对边分别平行． 6．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，对角线与相交于点，交于，若的周长为，则的周长是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，及交于可以证明是线段的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质，可以得到，再利用线段间的关系可以证明的周长为周长的两倍. 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴，； ∵交于； ∴是线段的垂直平分线， ∴； ∴； ∴的周长为 ∴的周长为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和垂直平分线的性质，具有一定的综合性，属于中等题型. 7．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，，则的长为___________． 【答案】2 【分析】由作图过程可知，平分，结合平行四边形性质，推出，进而得到，最后结合平行四边形性质求解，即可解题． 【详解】解：由作图过程可知，平分， ， 四边形为平行四边形， ，， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线作图，角平分线定义，平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于根据角平分线，平行线性质得到等腰三角形． 8．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，E是边上一点，，，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，结合等腰三角形“等边对等角”的性质以及“两直线平行，内错角相等”可得，进而由三角形内角和定理解得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·新疆·期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长等于________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键．利用平行四边形性质得出，，，利用平行结合角平分线可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）平面直角坐标系中，平行四边形中，，，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标平移，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的特点，列出方程． 用平移点的坐标的方法，求点的坐标即可． 【详解】解：设点的坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴经过平移可以与重合， ∵，，， ，， 解得：，， ∴点的坐标为； 故答案为： 11．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在中，点E在上，且平分，若，，则的面积为________．    【答案】50 【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F， ∵∠EBC=30°，BE=10， ∴EF=BE=5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DEC=∠BCE， 又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC， ∴∠BCE=∠BEC， ∴BE=BC=10， ∴四边形ABCD的面积===50， 故答案为：50．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键． 12．（24-25八年级下·新疆·期中）如图，在海面上有两个疑似漂浮目标，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口出发赶往目的地．一艘搜救艇以海里/时的速度沿北偏东的方向向目标前进，同时另一艘搜救艇以海里/时的速度向目标前进，小时后，他们同时分别到达目标，此时，他们相距海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？ 【答案】北偏西 【分析】根据题意可得海里，海里，海里，即可得，则，进而可得，从而可得出答案，本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、方向角是解答本题的关键． 【详解】解：一艘搜救艇以海里/时的速度沿北偏东的方向向目标前进，同时另一艘搜救艇以海里/时的速度向目标前进，行驶时间为小时， ∴（海里），（海里）， ∴， ∵（海里）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴第二艘搜救艇的航行方向是北偏西． 13．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，在四边形中，，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也停止运动．设运动时间为． (1)________；_________；________．（用含t的代数式表示） (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)；；当时，则，当时，则， (2)当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． （1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案； （2）由，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，再分两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可． 【详解】（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上， ∴，， ∴或， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动， ∴， ∴； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动， ∴， 若点Q与点E重合，则， 解得； 若点P与点D重合，则， 当时，则， 当时，则， 故答案为：；；或； （2）解：， ∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， 是的中点， ， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 地 城 考点02 利用平行四边形的性质证明 1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④ 【答案】C 【分析】利用平行四边形的性质及角平分线的定义易证是等边三角形，再根据等边三角形的性质及线段的数量关系即可判断①；根据等腰三角形的性质及角的和差即可得出，再根据三角形的面积公式即可判断②；根据线段的关系及三角形面积公式即可判断③；根据平行四边形的性质及含30度的直角三角形的性质得出，再根据线段间的关系即可判断④ 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故①错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故④正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 2．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期中）如图，在平行四边形中，，，平分交于点，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的定义得出．根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，然后根据已知可求得的长度． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ，， ． 3．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图在平行四边形中，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证： (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用平行四边形性质和全等三角形证明线段关系，再结合等腰三角形性质求角度． （1）利用平行四边形对边平行且相等，结合全等三角形判定证明，得出，再根据平行四边形，证得； （2）由（1）结论及推出，得到等腰三角形，结合，利用三角形内角和求出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ， （2）由（1）知， ， ∴， ∴， ， 4．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图所示，已知和，且点，，，在同一条直线上．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．利用四边形和是平行四边形，证明，，，则可得，继而证得结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 地 城 考点03 判断能否构成平行四边形 1．（江苏省南通市田家炳中学2024—2025学年下学期第一次月考八年级数学试题）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识，掌握平行四边形的判定条件是解题的关键．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A．根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故不符合题意； B．根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故不符合题意； C．根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，符合题意； D．根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 结合全等三角形的性质，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故C符合题意， 但是A、B、D条件均不能证明，故不符合题意， 故选：C． 3．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A符合题意； B、现有条件无法判断四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当时，，与已知条件重复，不能判定平行四边形，故不符合题意； D、当，时，四边形为平行四边形或等腰梯形，故不符合题意； 故选：A． 地 城 考点04 平证明平行四边形是平行四边形 1．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，在平行四边形中，E，F是对角线上两个点，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得、即，然后证得即可证明结论； （2）由可得，进而求得，再根据可得，最后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键． 2．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，点A，D，C，B在同一条直线上，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定，解题关键是根据题意，熟练运用全等三角形的判定和平行四边形的判定进行推理证明； （1）根据平行得出，再根据“边角边”证明三角形全等即可； （2）证明一组对边平行且相等即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴． （2）证明：由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 3．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证≌，得，再由，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由含角的直角三角形的性质得，，则，然后求出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ≌， ， 又， 四边形为平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 地 城 考点05 平行四边形判定与性质的求解与证明 1．（2022·新疆·中考真题）在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE． (1)求证：； (2)求证：四边形BCDE是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用SAS直接证明； （2）利用和已知条件证明，即可推出四边形BCDE是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵点F为边AB的中点， ∴， 在与中， ， ∴； （2）证明：∵点D为边AC的中点， ∴， 由（1）得， ∴，， ∴，， ∴四边形BCDE是平行四边形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定方法，难度较小，根据所给条件正确选用平行四边形的判定方法是解题的关键． 2．（黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷）如图，四边形中，，是上两点，，．若，求证：四边形是平行四边形．    【答案】证明见解析 【分析】根据平行四边形的性质推出对应的边和角相等，即可证明，从而推出相应的边和角相等，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】证明：， ， ． ，， 四边形 AMCN是平行四边形， ， 又， ． ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质和判定、三角形的全等，解题的关键在于熟练掌握判定三角形全等的方法以及相关平行四边形的性质． 3．（北京市密云区2019-2020学年八年级下学期期末数学试题）已知：如图，□ABCD中，E，F是AB，CD上两点，且AE=CF．求证：DE=BF．    【答案】见解析 【分析】要证DE=BF，只需证四边形DEBF是平行四边形，证得BE=DF，BE∥DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证． 【详解】在平行四边形ABCD中， AB∥CD，AB=CD， ∵AE=CF， ∴BE=DF，BE∥DF． ∴四边形DEBF是平行四边形． ∴DE=BF． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质．利用平行四边形的性质证明线段相等是解题的关键． 4．（湖北省武汉市江夏区湖北华宜寄宿学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题）如图，在中，、分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．由四边形是平行四边形，即可得，，又由、分别为边、的中点，可得四边形是平行四边形，进而得出答案． 【详解】证明：因为四边形是平行四边形， 所以，． 又因为、分别是、的中点， 所以，， 则． 又， 所以四边形是平行四边形． 5．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）证，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （）过点作于点，由矩形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，则为的中位线，得，然后由平行四边形的性质得，进而由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 6．（【校级联考】天津市和平区2017-2018学年第二学期八年级期中数学试题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且AF＝CE． 求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【分析】只要证明AF＝CE，AF∥CE即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判断方法 7.（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图．已知点P、Q是对角线上的两点，且，连接、、、．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若Q为的中点，的面积为2，则的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点并能够添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接交于点，由平行四边形的性质可得，，结合已知可得，即可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明． （2）先证明，，再利用平行四边形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：连接交于点，    ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， ， ∴四边形是平行四边形． （2）∵Q为的中点，， ∴， ∵的面积为2， ∴，， ∴的面积为． 8．（24-25八年级下·新疆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，．平移至（点与点对应，点与点对应），连接． (1)点的坐标为______； (2)点，分别是，边上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．当，分别在，上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图，三角形是等腰直角三角形，为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)存在最小值，的最小值为； (3)，理由见解析． 【分析】（）根据点平移到点的方式与点平移到点的方式相同，只需要求出点平移到点的方式即可求出点的坐标； （）连接，由中位线定理可得，，当取得最小值时，即时，的值最小，然后通过勾股定理和等面积法即可求解； （）连接，由三角形是等腰直角三角形和三角形是等腰直角三角形得，证明，然后通过全等三角形的性质和勾股定理即可求证． 【详解】（1）解：∵点与点对应，点与点对应，点， ∴向右平移个单位，再向上平移个单位得， ∴向右平移个单位，再向上平移个单位得， 故答案为：； （2）解：存在最小值，的最小值为，理由： 连接，过作轴于点，如图， ∵，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴取得最小值时，即时，的值最小， 由（）知：， ∴当时，， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：，，三者之间有怎样的数量关系为：，理由： 连接，如图， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形变化—平移，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 地 城 考点06 利三角形中位线的有关求解与证明 1．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期中）如图，在中，D和E分别为所在边的中点，若，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，掌握“三角形中位线平行且等于底边的一半”是解题关键．利用中位线的性质求解即可． 【详解】解：在中，D和E分别为所在边的中点， 是的中位线， ， ， ， 故选：A． 2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质和三角形的中位线的性质可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴O是中点， 又∵E是中点， ∴OE是的中位线， ∴，， ∵的周长为12，， ∴， ∴的周长为． 故选：B. 3．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．不确定 【答案】A 【分析】由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得即可解答． 【详解】解：如图，在平行四边形中，． ，分别为的中点， 是的中位线， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度是解答本题的关键． 4．（24-25八年级下·新疆·期中）如图，在中，，延长至点E，使，点F为的中点，连结．若，则的长为________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度，结合题意知线段是的中位线，即可求解． 【详解】 解：在中，， ∵为中线， ∴． ∵F为中点，， ∴点B是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，点M，N分别是边的中点，连接，并取的中点，分别记为点E，F，连接，则的长为 _____． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键． 连接交于点G，连接，过点G作于点H，证得，则，再利用勾股定理可得的长，然后由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接交于点G，连接，过点G作于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点M，N分别是边的中点， ， ， ， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， 故答案为：5． 6．（24-25八年级下·新疆伊犁·期中）如图，要测量池塘的宽度，选取点A，使D、E分别是中点，现测得的长为25米，则池塘的宽是______米． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线的性质，根据题意知是的中位线，所以由三角形中位线定理来求的长度即可． 【详解】解：∵D、E分别是中点， ∴是的中位线， ∴． ∵米， ∴米． 故答案为：50． 7．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，在平行四边形的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是，的中点，若，则的长是__________．    【答案】8 【分析】根据三角形中位线定理，得，由平行四边形性质，得． 【详解】解：∵点E，F分别是，的中点， ∴． 平行四边形中， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查三角形中位线性质，平行四边形性质；由相关性质得出线段间数量关系是解题的关键． 8．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，在△ABC中，E、D、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=10，AC=8，求四边形AEDF的周长． 【答案】四边形AEDF的周长为18 【分析】根据线段中点的性质和中位线的性质，得出DE、DF、AE、AF的长，然后相加，即可得出四边形的周长． 【详解】解：∵E、D、F分别是AB、BC、CA的中点， ∴AE=AB=5，AF=AC=4， ∴DEAC，DFAB， ∴DE=AC=4，DF=AB=5，    ∴四边形AEDF的周长为：DE+DF+AE+AF=4+5+5+4=18． 【点睛】本题考查了线段中点的性质和中位线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关性质．线段中点的性质：中点平分该线段；三角形中位线的性质：平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 9．（2024·新疆·中考真题）如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判断，三角形中位线定理等知识，解题的关键是： （1）利用三角形中位线定理可得出，，然后利用平行四边形的判定即可得证； （2）利用平行四边形的性质得出，，结合点G是的中点，可得出，同理，则可得出，，然后利用矩形判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵的中线，交于点O， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵G是中点， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是矩形． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $