专题02 勾股定理及其逆定理11大考点（期中真题汇编，新疆专用）八年级数学下学期新教材人教版

专题02 勾股定理及其逆定理 11大高频考点概览 考点01 两点之间的距离 考点02 勾股定理解三角形 考点03 直角三角形三边的面积问题 考点04 以弦图为背景的计算 考点05 勾股定理与无理数 考点06 梯子问题 考点07 勾股定理应用-求旗杆高度 考点08 勾股定理应用-小鸟飞行距离 考点09 判断能否构成直角三角形 考点10 网格中判断直角三角形 考点10 利用勾股定理的逆定理求解 考点11 勾股定理逆定理的实际应用 地 城 考点01 两点之间的距离 1．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）在直角坐标系中，点到原点的距离是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，任意两点，之间的距离为．据此求解即可． 【详解】解：点到原点的距离是． 故选D． 2．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）点到原点的距离是________． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的点与点的距离，勾股定理，依题意，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴点到原点的距离是， 故答案为：． 地 城 考点02 勾股定理解三角形 1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设荷花入水部分长，则荷花的高，因荷花偏离原位置，那么水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设荷花入水部分长，则荷花的高， 根据题意得， 解得， 答：水的深度为． 2．（24-25八年级下·新疆·期中）如图，在中，，则的长是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）四条线段的长分别为1，x，5，9（其中x为正数），用它们拼成两个直角三角形，且与是其中的两条线段（如图），则x可能取值的个数为（   ） A．2 B．3 C．6 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用．首先过作交的延长线于，根据题意即可得，，，可得是最长边，长为9或，然后由勾股定理可得，然后分别从，为9或5或1；，或5或1去分析求解，即可求得答案．此题难度很大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解． 【详解】解：如图，过作交的延长线于， 根据题意得：，，， ， 是最长边，长为9或， 若，，则， 若，，则， 若，，则， 若，，则， 若，，则， 若，，则， 共6个， 故选：C． 4．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期中）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（    ）    A．6 B．8 C．10 D．11 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】在中，由勾股定理得， （米， （米， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．（24-25八年级下·新疆·期中）已知直角三角形两条边长为3和4，则第三条边长为__________ 【答案】5或 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理以及分类讨论的思想是解决本题的关键．由题意，需分类讨论，再根据勾股定理解决此题． 【详解】解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况： ①边长为4的边为斜边，此时，则，得； ②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则，得． 综上，或5． 故答案为：5或． 6．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离，），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是________ 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解决本题的关键． 设，求出的长度，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：设，则， 又， ， 在中，， 得：， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）直角三角形的两条直角边的长分别为1，3，则斜边的长在_________和_________这两个连续的正整数之间． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了勾股定理，无理数的大小估算，直接利用勾股定理求出斜边的长，进而估算的大小，即可求解． 【详解】由勾股定理得，斜边长为：， ∵ ∴ 故答案为：3，4． 8．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，若，表示直角三角形的两直角边长（），给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______．    【答案】①②③ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式，算术平方根的应用，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．本题利用算术平方根的含义可判断②，再利用勾股定理可判断①，利用等面积法可判断③，结合完全平方公式可判断④，从而可得答案． 【详解】解：如图，    ∴，故②符合题意， ∵为直角三角形， ∴根据勾股定理：，故①符合题意， 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 可得：， 即；故③符合题意； ∵， ∴， 整理得，， ∵， ∴；故④不符合题意， ∴正确结论有①②③． 故答案为：①②③． 9．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，在中，于点D，．求： (1)的长； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积计算，熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：在中，． 根据勾股定理可知：， ； （2）解：∵， ． ． 10．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期中）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷在镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面1，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原地4（如图），请问水深多少？ 【答案】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的应用这一知识点的理解和掌握，此题的关键是会用勾股定理解决问题．设水深为，则荷花的高，且水平距离为，那么水深与水平组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设水深为，则荷花的高，且水平距离为， 则， 解得． 答：水深． 11．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，工作人员在某山峰上适当的位置确定一点修建索道口，经测量的垂直高度，在山下点处也修建一个索道口，，从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走，那么多少分钟后才能到达山顶？ 【答案】大约13分钟后才能达到山顶 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出索道的长度，再根据时间=路程速度求解． 先在，根据勾股定理求出的长度，此长度即为从山下到山顶的路程，再用路程除以速度得出到达山顶所需时间． 【详解】解∶在中，，，           （分钟）                             答：大约13分钟后才能达到山顶． 地 城 考点03 直角三角形三边的面积问题 1．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）三个正方形按如图所示的方式摆放，围成了一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形的面积为（   ） A．120 B．100 C．64 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，根据正方形面积计算公式可得两个小正方形的边长，再利用勾股定理求出正方形A的边长即可得到答案． 【详解】解：根据正方形的面积与边长的平方的关系得，图中面积为64和36的正方形的边长是8和6；解图中直角三角形得A正方形的边长为， 故正方形的面积为， 故选：B ． 2．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2025 B．2024 C．22023 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：A． 3．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，三角形为直角三角形，字母A、B、C表示正方形的面积，B的值为289，C的值为64，那么_______． 【答案】225 【分析】本题主要考查了勾股定理，由勾股定理和正方形的面积计算公式可得A的面积加C的面积等于B的面积，据此求解即可． 【详解】解：由勾股定理和正方形的性质可得正方形A的面积加上正方形C的面积等于正方形B的面积， ∵B的值为289，C的值为64， ∴A的值为， 故答案为：225． 4．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为7和22，则c的面积为_______． 【答案】15 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，由勾股定理可得c的面积b的面积a的面积即可得到答案． 【详解】解：如图， 三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，即， 根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积． 故答案为：． 地 城 考点04 以弦图为背景的计算 1．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）【背景介绍】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请你用“双求法”解决下面两个问题： (1)如图2，在中，，是边上的高，，求的长度； (2)如图3，在中，是边上的高，，设，求的值； 【答案】(1) (2)9 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）由勾股定理得到，根据等面积法即可求解； （2）在中，由勾股定理，得 ，在中，由勾股定理，得，由此列式即可求解． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， 解得，； （2）解：在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得， ∴， 整理得，， 解得，． 地 城 考点05 勾股定理与无理数 1．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，数轴上点A的坐标是4，于点A．，以原点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据，得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∵以原点为圆心，长为半径画弧交数轴于点， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是利用勾股定理计算出OB的长． 地 城 考点06 梯子问题 1.（广东省深圳实验学校初中部2024-2025学年上学期八年级期末数学试卷）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1)绳子的总长度为； (2)滑块向左滑动的距离为． 【分析】本题主要考查了勾股定理．解决本题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的未知边的长度． 根据直角三角形中直角边的长度是，的长度是，利用勾股定理求出斜边的长度，绳子的长度就是斜边与直角边的长度之和； 物体升高，则斜边的长度增加，斜边的长度增加为，利用勾股定理求出的长度，用的长度减去的长度，就是滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ， ， 答：绳子的总长度为； （2）解：如下图所示， ： 根据题意得，，，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 2．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，再加上即可； （2）勾股定理求出此时的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，得，． ∴在中，， ∴． 答：此时风筝的铅直高度为． （2）解：∵风筝沿方向下降，     ∴． 在中，∵， ， ∴． 答：他应该收线． 地 城 考点07 勾股定理应用-求旗杆高度 1．（24-25八年级下·新疆伊犁·期中）小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为______米． 【答案】12 【分析】根据题意画出示意图，利用勾股定理可求出旗杆的高即可． 【详解】解：如图所示：    设旗杆米，则米， 在中，， 即， 解得：． 旗杆的高为12米 故答案为：12． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是画出示意图，熟练运用勾股定理． 地 城 考点08 勾股定理应用-小鸟飞行距离 1.（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（   ）米． A．17 B．15 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：两棵树的高度差为（米，间距为15米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米． 故选：A． 2．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】(1)米 (2)小鸟下降的距离为米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 地 城 考点09 判断能否构成直角三角形 1．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．5，12，23 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，由勾股定理的逆定理，判断各组数是否满足“较小两数的平方和等于最大数的平方”即可得到答案，熟记勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 【详解】解：A：三边为5、12、23，最大边23，计算得：，而， ∵ ， ∴ 不能构成直角三角形，符合题意； B：三边为7、24、25，最大边25，计算得：，而， ∵等式成立， ∴ 能构成直角三角形，不符合题意； C：三边为6、8、10，最大边10，计算得：，而， ∵ 等式成立， ∴ 能构成直角三角形，不符合题意； D：三边为9、12、15，最大边15，计算得：，而， ∵ 等式成立， ∴ 能构成直角三角形，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）已知中，a、b、c分别为的对边，则下列条件中：①；②；③；④．其中能判断是直角三角形的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，解题关键是熟练掌握利用角或边的关系判断是否构成直角三角形，逐项判断即可． 【详解】解：①； ∵， ∴， ∴是直角三角形； ②， ∴， ∴是直角三角形； ③； ∴，最大角是锐角， ∴不是直角三角形； ④， ∴， ∴是直角三角形； 故能判断是直角三角形的有3个， 故选：C． 3．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．1，1， C．4，5，6 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可 【详解】解：A、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意； C、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、，故是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 地 城 考点10 利用勾股定理的逆定理求解 1．（24-25八年级下·新疆·期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．以格点为顶点按下列要求画图： (1)请你在图1中画一个直角三角形满足它是轴对称图形； (2)请你在图2中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形； (3)若点A的坐标为．请你在图3中建立平面直角坐标系，找出格点D，使以四个点为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的D点的坐标是：_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点的坐标是：或或 【分析】本题考查作图-轴对称变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）画一个等腰直角三角形即可； （2）根据要求作出图形即可； （3）根据点的坐标，确定平面直角坐标系，画出平行四边形，可得结论． 【详解】（1）解：如图1中，取格点，依次连接三点， 由格点可知，，， ∴是等腰直角三角形，又是轴对称图形， ∴就是所求的三角形． （2）解：如图2中，取格点，依次连接三点， 由格点可知，，，， ∵， ∴是为直角边的直角三角形， ∴就是所求的三角形． （3）解：如图3， 以为邻边，取格点，则为平行四边形，点的坐标为：， 以为邻边，取格点，则为平行四边形，点的坐标为：， 以为邻边，取格点，则为平行四边形，点的坐标为：， ∴点的坐标是：或或． 地 城 考点11 勾股定理逆定理的实际问题 1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，点D为内一点，且，，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． （1）直接根据勾股定理求出的长即可； （2）先根据勾股定理判断出是直角三角形，再根据解答即可． 【详解】（1）解：，，． ； （2），，，， 即， 是直角三角形，， ． 2．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，在一条东西走向的河道的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因．由村庄到取水点的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），并新修一条路，测得，，．是否为从村庄到河边最近的路？（即与是否垂直？）请通过计算加以说明． 【答案】是，理由见解析 【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用、垂线段最短，熟练掌握勾股逆定理是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； 【详解】解：是，理由如下： 在中，∵，， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∴由点到直线的距离垂线段最短可知，是从村庄到河边的最近路； 3．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，， (1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)证明： 【答案】(1)无人机飞行路径的长为 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 答：无人机飞行路径的长为； （2）证明：，， ， 是直角三角形，且， 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02勾股定理及其逆定理 ☆11大高频考点概览 考点01两点之间的距离 考点02勾股定理解三角形 考点03直角三角形三边的面积问题 考点04以弦图为背景的计算 考点05勾股定理与无理数 考点06梯子问题 考点07勾股定理应用-求旗杆高度 考点08勾股定理应用-小鸟飞行距离 考点09判断能否构成直角三角形 考点10网格中判断直角三角形 考点10利用沟股定理的逆定理求解 考点11勾股定理逆定理的实际应用 目目 考点01 两点之间的距离 1.(24-25八年级下·新彊阿克苏期中)在直角坐标系中，点P(2,-3)到原点的距离是() A.5 B.V万 C.2 D.3 2.(24-25八年级下·新疆阿克苏期中)点(-3,5)到原点的距离是 目目 考点02 勾股定理解三角形 1.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中)古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香.”平静的湖面上，一朵 荷花亭亭玉立，露出水面10©m,忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面.仔细观察，发现荷花偏离原位置 50cm(如图)，则水的深度BC为() A.90cm B.100cm C.120cm D.125cm 2.(24-25八年级下新疆期中)如图，在ABC中，∠C=90°，BC=2,AC=1,则AB的长是() 1/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C A.√2 B.3 C.2 D.√5 3.(24-25八年级下新疆乌鲁木齐期中)四条线段的长分别为1，x,5,9(其中x为正数)，用它们拼成 两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如图），则x可能取值的个数为() A B A.2 B.3 C.6 D.4 4.(24-25八年级下·新疆吐鲁番期中)课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从A处快速到 达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过.为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？” 如图，若AB=17米，BC=8米，则标牌上■处的数字是() C A B A.6 B.8 C.10 D.11 5.(24-25八年级下新疆期中)已知直角三角形两条边长为3和4，则第三条边长为 6.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐期中)如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m,将它往前 推4m至C处时（即水平距离CD=4m,CD⊥AB),踏板离地的垂直高度CF=DE=3m,它的绳索始终拉 直，则绳索AC的长是 B E 2/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25八年级下，新疆阿克苏期中)直角三角形的两条直角边的长分别为1,3，则斜边的长在 和 这两个连续的正整数之间. 8.(24-25八年级下·新疆喀什期中)用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，己知大正方形 的面积为25，小正方形的面积为4，若x,y表示直角三角形的两直角边长(x>y),给出下列四个结论： ①x2+y2=25;②x-y=2;③2y=21；④x+y=7.其中正确的结论有· 9.(24-25八年级下，新疆喀什期中)如图，在ABC中，LACB=90°，CD1AB于点D,AC=8,BC=6.求： C A D B (1)AB的长： (2)CD的长. 10.(24-25八年级下·新疆吐鲁番·期中)古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷在镜里香.”平静的湖面上，一朵荷 花亭亭玉立，露出水面1m,忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面.仔细观察，发现荷花偏离原地4m（如 图)，请问水深多少？ D 11.(24-25八年级下·新疆阿克苏·期中)如图，工作人员在某山峰上适当的位置确定一点A修建索道口，经 测量A的垂直高度AC=0.5km,在山下点B处也修建一个索道口，BC=1.2km,从山下索道口坐缆车到山 顶，已知缆车每分钟走0.1km，,那么多少分钟后才能到达山顶？ 3/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 直角三角形三边的面积问题 1.(24-25八年级下·新疆喀什期中)三个正方形按如图所示的方式摆放，围成了一个直角三角形，图中的 数据是它们的面积，则正方形A的面积为() 64 36 A A.120 B.100 C.64 D.10 2.(24-25八年级下·新疆阿克苏期中)有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上 生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1 所示.如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2024次后，形成的图形中所有 的正方形的面积和是() 图1 图2 A.2025 B.2024 C.22023 D.22021-1 3.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中)如图，三角形为直角三角形，字母A、B、C表示正方形的面积， B的值为289，C的值为64，那么A= 4/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 4.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中)如图，直线1上有三个正方形a,b,c,若a,b的面积分别为7 和22，则c的面积为 a 目目 考点04 以弦图为背景的计算 1.(24-25八年级下·新疆阿克苏期中)【背景介绍】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼 成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角 三角形与一个小正方形的面积之和，abx4+b-a2,从而得到等式c2=ab×4+(b-a2,化简便得结论 a2+b2=c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为双求法”. b a ▣ D B D 图1 图2 图3 请你用“双求法”解决下面两个问题： (1)如图2，在RtAABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=3,BC=4,求CD的长度； (2)如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=15,AC=13,BC=14,设BD=x,求x的值； 目目 考点05 勾股定理与无理数 1.（24-25八年级下·新疆喀什期中)如图，数轴上点A的坐标是4，AB10A于点A.AB=2,以原点0为 圆心，OB长为半径画弧交数轴于点C,则点C的坐标是 5/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 01234C 目目 考点06 梯子问题 1.(广东省深圳实验学校初中部2024-2025学年上学期八年级期末数学试卷)物理课上，老师带着科技小组 进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑 块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降.实验初始状态如图1所示， 物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm,物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm.(实验 过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计) B C B 图1 图2 (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高7dm,求滑块B向左滑动的距离. 2.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐期中)小强和小伟都喜欢放风筝.一天放学后他们互相配合又放起了风 筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度CE，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的 水平距离BD为15m;②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线BC(假设BC是直的线)的长为39m；③ 小强牵线的手离地面的距离DE为1.5m. B D AK E 77777777 (1)求此时风筝的铅直高度CE. 6/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若小强想使风筝沿CD方向下降16m(不考虑其他因素)，则他应该收线多少米？ 目目 考点07 勾股定理应用-求旗杆高度 1.(24-25八年级下·新疆伊犁期中)小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1米， 当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为 米 目目 考点08 勾股定理应用-小鸟飞行距离 1.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米， 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行(）米. 10米 下2米 15米 A.17 B.15 C.10 D.8 2.(24-25八年级下，新疆喀什期中)如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=8米，A点 到地面C点(B,C两点处于同一水平面)的距离AC=10米. B (I)求出BC的长度； (2)若小鸟竖直下降到达D点(D点在线段AB上)，此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟 下降的距离。 目目 考点09 判断能否构成直角三角形 1.（24-25八年级下·新疆喀什期中)下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是() A.5,12,23B.7,24,25 C.6,8,10 D.9,12,15 7/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25八年级下·新疆阿克苏·期中)己知ABC中，α、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件 中：①a=3,b=4,c=5;②a2:b2:c2=1:2:3;③LA:LB:LC=3:4:5;④∠A=2LB=2LC.其中能判 断ABC是直角三角形的有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 3.(24-25八年级下·新疆阿克苏·期中)下列各组数中，能构成直角三角形的是() A.5,√4，√5B.1,1,5 C.4,5,6 D.5,12,13 目目 考点10 利用勾股定理的逆定理求解 1.(24-25八年级下·新疆期中)如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格 点.以格点为顶点按下列要求画图： C B 图1 图2 图3 (1)请你在图1中画一个直角三角形满足它是轴对称图形： (2)请你在图2中画一个以格点为顶点，√5为直角边的直角三角形： (3)若点A的坐标为(01).请你在图3中建立平面直角坐标系，找出格点D,使以A、B、C、D四个点为顶 点的四边形为平行四边形，则满足条件的D点的坐标是： 目目 考点11 勾股定理逆定理的实际问题 1.(24-25八年级下新疆乌鲁木齐期中)如图，在ABC中，AB=5√2，AC=5,点D为ABC内一点， 且∠BDC=90°，CD=3,BD=4. B 8/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求BC的长； (2)求图中阴影部分的面积. 2.(24-25八年级下·新疆喀什期中)如图，在一条东西走向的河道的一侧有一村庄C,河边原有两个取水 点A,B,由于某种原因.由村庄C到取水点A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新 建一个取水点H(点A,H,B在同一条直线上)，并新修一条路CH,测得CB=13km,CH=12km, HB=5km,CH是否为从村庄C到河边最近的路？（即CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明. 北 个 A H B 二河 3.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中)“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节.如 图，四边形ABCD为某林场种植树林的区域，AB⊥BC.经测量AB=9km,BC=I2km,CD=8km, AD =17km. D B (1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径AC的长； (2)证明：AC1CD. 9/9丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02勾股定理及其逆定理 目目 考点01 两点之间的距离 1 D 2.V34 目目 考点02 勾股定理解三角形 1 2 3 4 C D C A 5.5或√7 6.5m 7.34 8.①②③ 9. 【详解】(1)解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6. ∴.根据勾股定理可知：AB=AC2+BC, AB=VAC2+BC2=V82+6=10 ∠ACB=90°，CD⊥AB (2)解： S.w-CC-AB-CD QAC=8,BC=6,AB=10 ∴CD=4.8 10. 【详解】解：设水深为hm,则荷花的高 h+1) m,且水平距离为4m, 则(h+刂=42+ 解得h=7.5 1/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 答：水深7.5m 11. 【详解】解：在Rt△ACB中，AC=0.5km,BC=1.2km, ∴AB=VAC2+BC2 =√0.52+1.52=1.3km 1.3÷0.1=13(分钟) 答：大约13分钟后才能达到山顶 目目 考点03 直角三角形三边的面积问题 2 B A 3.225 4.15 目目 考点04 以弦图为背景的计算 1. 【详解】()解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=VAC+BC=V32+4=5. .w-CBC-AB-CD. x3x4=1x5xCD :. 2 解得，CD=12 ； t△ABD AD2=AB2-BD2=152-x2 (2)解：在 中，由勾股定理，得 在RIAACD AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2 中，由勾股定理，得 .152-x2=132-14-x}2, 2/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 28x=152+27 整理得， 解得，x=9 目目 考点05 勾股定理与无理数 1.25 目目 考点06 梯子问题 BD=15m,BC=39m,CD L BD AB=DE =1.5m 【详解】(1)解：由题意，得 .在Rt△BCD中， CD=VBC2-BD2=V392-152=√39+15(39-15)=V54×24=36m ∴.CE=CD+DE=36+1.5=37.5m 答：此时风筝的铅直高度CE为37.5m. (2)解：风筝沿CD方向下降16m, ∴.CD=36-16=20m 在Rt△BCD中，，BD=15m, :.BC=VCD2+BD2=V202+152=25m .39-25=14m 答：他应该收线14m. 目目 考点07 勾股定理应用一求旗杆高度 【详解】解：如图所示： B 3/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设旗杆AB=x米，则AC=(c+)米， 在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2, 即r+02=x2+52 解得：x=12 ∴·旗杆的高为12米 故答案为：12. 目目 考点08 勾股定理应用-小鸟飞行距离 2. 【详解】(1)由题意知DB=90°， :AB=8米，AC=10米. 在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2 .BC=V102-82=6米， (2)设AD=x, :到达D点(D点在线段AB上)，此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，AB=8 则CD=AD=x,BD=8-x, 在Rt△BDC中，DC2=BD2+BC2, .x2=(8-x)2+62 解得x25 4 25 :小鸟下降的距离为年米. 目目 考点09 网格中判断直角三角形 2 3 A D 目目 考点10 利用勾股定理的逆定理求解 【详解】(1)解：如图1中，取格点A、B、C,依次连接A、B、C三点， 4/7 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图1 由格点可知，∠ABC=90°，BA=BC, .△ABC是等腰直角三角形，又是轴对称图形， .△ABC就是所求的三角形 (2)解：如图2中，取格点DE、F,依次连接D、E、F三点， D F 图2 由格点可知，DE=F+2=V5,DF=VP+2=5EF=F+3=0 .DE2+DF2=EF2, ..ADEF 为直角边的直角三角形， ∴，△DEF就是所求的三角形. (3)解：如图3， (4) 5/7 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 YA A B O 以1B、BC为邻边，取格点D,则BCD为平行四边形，点D的坐标为：(-2，)， 以CM、1B为邻边，取格点D,则4BCD为平行四边形，点D的坐标为：(4,2， 以BCC1为邻边，取格点D',则BC1D为平行四边形，点D”的坐标为：(2，-2) ∴.D点的坐标是 (-2,4或4,2或2,2 目目 考点11 勾股定理逆定理的实际问题 1. 【详解】(1)解：~∠BDC=90°，CD=3,BD=4. .BC=VBD2+CD2=V42+32=5 (2):AB=5W2,AC=5.BC=552+5=(52Y 即AC2+BC2=AB2, ∴.△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， ∴.S阴影=S△ABc-SABCD 1 x5x5-x4x3 1 2 13 2· 2. 6/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：是，理由如下： 在aCHB中，，CB=13km,CH=12km,HB=5km :CH+BH2=53+122=25+14=169,BC2=132=169 .CH+BH=BC2 ,∴.aCHB为直角三角形，且∠CHB=90°， .CH⊥AB, ∴由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路： 3. 【详解】(1)解：：AB1BC, ∴.DB=90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得： AC=√AB2+BC2=V92+122=15(km), 答：无人机飞行路径AC的长为15km: (2)证明：D=172=289km),CD2+4C2-82+152=289km） .AD2 CD2+AC2, aACD是直角三角形，且∠ACD=90°， .AC⊥CD 7/7