专题07 二次函数（复习讲义）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题07 二次函数 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 二次函数图象与性质（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：二次函数的图象与系数 题型二：二次函数的顶点、对称轴、单调性问题 题型三：二次函数的最值 题型四：二次函数与方程 题型五：二次函数与不等式 必备知识 知识1 解析式求对称轴、顶点坐标 知识2 求解析式 知识3 二次函数的字母系数 知识4 图象平移 知识5 二次函数图象与坐标轴的交点问题 命题预测 考点二 二次函数的实际应用（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：图形问题 题型二：销售问题 题型三：投球问题 题型四：喷水问题 题型五：图形中的动点问题 必备知识 知识点1 常见等量关系 命题预测 命题 透视 命题形式： 以选择、填空为主要考查形式，解答题常与一次函数综合命题，以图象、表格、实际情境为载体，突出对数形结合、运算求解、建模应用能力的考查，是山东中考中档题与小压轴题的高频命题点。 命题内容： 基础题核心考查反比例函数图象与性质、k 的几何意义、解析式求解；中档题侧重与一次函数、方程不等式的综合，及实际应用建模；创新考法聚焦与几何图形结合的动点、面积、存在性问题，常融合相似、勾股定理考查。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 二次函数的图象与性质 T9：动点选二次函数的图象 T23：二次函数的图象+平移+交点 T24：顶点+最值+线段的相交问题； T9：由函数增减性选择解析式； T16：由图象判断参数； T11：二次函数的图象与方程、不等式的综合； T12：动点选二次函数的图象； T8：动点选二次函数的图象 T10：由图象判断参数范围； T11：由图象判断参数范围； 二次函数的实际应用 T19：图形的最值； T24：投球问题； T24：利润的最值问题； T19：经济的最值问题； T15：喷水问题； T20：图形的最值； T16:利润的最值问题； T21：函数模型选择+最值 T23：经济问题； T22：炮弹问题； 二次函数的综合 T25：动点+最值+特殊四边形的存在 T22：动点+角相等+图象平移 T22：图象的交点问题+最值+面积； T23：动点角相等+线段的和最小； T25：动点求距离+面积； T23：面积问题+特殊四边形 T24：图象平移+面积； T24：动点最值+四边形面积 T25：图象平移+交点求参数； T25：图形翻折+面积 命题预测 1. 考情预测 基础题仍以二次函数图象与性质、系数符号判断、解析式求解为必考点；中档题聚焦销售、图形、运动场景的实际应用建模，及与方程、不等式的综合考查；压轴题延续动点、图象平移、特殊图形存在性问题，常融合相似、勾股定理，强化数形结合与逻辑推理能力考查。 2. 备考建议 夯实基础，吃透图象性质与解析式求法；强化建模思维，总结实际最值问题解题模板；突破综合题型，提炼动点、存在性问题通法，强化数形结合与分类讨论思想训练。 题型一 二次函数的图象与系数 以 “数形结合 + 符号口诀” 为核心，由开口方向定 a 符号，对称轴 “左同右异” 定 b，与 y 轴交点定 c；结合 x=±1、±2 等特殊点的函数值、判别式△判断结论，复杂结论用赋值法验证。 忽略对称轴对系数的联动影响，特殊点赋值计算错误；误判△与抛物线和 x 轴交点个数的关系；对含等号的不等式结论，忽略顶点最值的边界情况。 1．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 2．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型二 二次函数的顶点、对称轴、单调性问题 先通过顶点式或对称轴公式​确定对称轴与顶点坐标；以对称轴为界，开口向上左减右增、开口向下左增右减；比较函数值大小，优先看点到对称轴的水平距离。 混淆开口方向对增减性的影响，忽略对称轴不在自变量区间内的情况；比较函数值时仅看横坐标大小，未结合开口方向；顶点坐标公式的符号、分子分母记混。 4．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 6．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 题型三 二次函数的最值 先化顶点式确定顶点最值，再结合自变量取值范围判断：顶点在区间内，顶点处取最值；顶点在区间外，依单调性在区间端点取最值；实际问题先建模，再结合定义域求解。 忽略自变量取值范围，直接套用顶点最值；实际问题中未验证自变量取值是否符合实际意义；区间含参数时，未对顶点与区间的位置关系分类讨论。 7．（2025·山东潍坊·中考真题）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图象的开口向上 B．关于的方程的两个根是和4 C．点在一次函数的图象上 D．代数式的最大值为 8．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 9．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 题型四 二次函数与方程 紧扣 “抛物线与 x 轴交点↔一元二次方程的根” 的对应关系，交点横坐标即方程的根；用判别式△分析根的个数，韦达定理简化根与系数的计算，交点式可快速求解方程相关问题。 忽略二次项系数 a≠0 的前提，误用韦达定理与判别式；求抛物线与 x 轴交点时，因式分解、求根公式计算错误；对 “方程有解” 与 “抛物线和直线有交点” 的转化理解偏差。 10．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 11．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是_____（填写序号） 12．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五 二次函数与不等式 以数形结合为核心，不等式ax2+bx+c＞（＜0）的解集，对应抛物线在 x 轴上方（下方）部分的 x 取值范围；两函数大小比较，先找交点横坐标，再结合图象上下位置定解集。 忽略开口方向对不等号解集方向的影响；漏看等号条件，解集边界空心 / 实心点判断错误；两函数综合时，未找全交点，导致解集范围缺失或多算。 13．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 知识1 求对称轴、顶点坐标 (1)若二次函数的解析式为y=a(x−h)2+k(a≠0)的形式，则二次函数图象的对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)； (2)若二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)的形式，则二次函数图象的对称轴是直线 x=,顶点坐标是 ( ,   )。 知识2 求解析式 (1)设一般式 y=ax2+bx+c(a≠0)：若已知二次函数图象上的三点的坐标时，通常设二次函数的解析式为一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解。 (2)设交点式 y=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)：若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，通常设二次函数的解析式为交点式，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式。 (3)设顶点式 y=a(x−h)2+k(a≠0)：若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值（最小值），通常设二次函数的解析式为顶点式，然后代入另一点的坐标，即可列出关于a的一元一次方程，最后将所求出的抛物线的解析式化为一般形式。 知识3 二次函数的字母系数 抛物线的开口方向决定了a的符号：若开口向上，则a>0；若开口向下，则a<0。 抛物线对称轴的位置决定了a，b的符号：若对称轴在y轴左侧，则a，b同号；若对称轴在y轴上，则b=0；若对称轴在y轴右侧，则a，b异号。 抛物线与y轴的交点位置决定了c的符号：若交点在y轴正半轴上，则c>0；若交点在原点上，则c=0；若交点在y轴负半轴上，则c<0。 知识4 图象平移 抛物线的平移，应关注的是顶点位置的改变，也就是说，抛物线的平移，实际上是抛物线顶点的平移。通常把抛物线的解析式化成顶点式后，再求其平移后的解析式，此时平移遵循的规律为“左加右减，上加下减”。由于抛物线平移后的形状不变，故a不变。 知识5 二次函数图象与坐标轴的交点问题 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根之间的关系：△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数，当△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；当△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；当△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。 1．（2025·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，抛物线与某一直线交于，两点，其中抛物线的对称轴为直线，设点坐标为，点坐标为，则对于过平面直角坐标系上的两点、的直线一定不过（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·山东枣庄·二模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值 4．（2025·山东潍坊·一模）如图是二次函数的部分图象，顶点坐标为．下列结论正确的是(　　) A． B．方程有两个相等的实数根 C． D． 5．（2025·山东枣庄·模拟预测）已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是___________． 6．（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，该抛物线的顶点为C．点P为该抛物线上一点，其横坐标为m．当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最低点和最高点到x轴的距离分别为d、n，当时，则m的取值范围为______． 7．（2025·山东济宁·三模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围． 8．（2025·山东日照·模拟预测）平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交直线于，求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得与的面积之比为，请直接写出满足条件的所有点的横坐标，并写出其中一个横坐标的求解过程． 9．（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)一个二次函数的图象经过B，C，三点，其中，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O，B不重合）． ①若D点的坐标为，求t的值； ②用t表示和，并求的最大值． 10．（2025·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点B的横坐标为，点A的横坐标为m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转90°后得到线段，连结，当（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出n的取值范围． 11．（2025·山西忻州·一模）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： (1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； (2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； (3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 12．（2025·山东·模拟预测）已知二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点． (1)若该函数图象经过点． ①直接写出抛物线与x轴的交点坐标； ②在图中画出该二次函数的图象，借助图象，求当时，自变量x的取值范围； (2)对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； (3)当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是，求n和b的值以及m的取值范围． 13．（2025·山东青岛·二模）三月樱桃花满山，五月樱桃红满市．5月1日起，某超市每天从水果批发市场购进樱桃进行销售，樱桃的进价y元/千克与第x天满足一次函数关系如图(且x为整数)，5月1日樱桃的进价为25元/千克，5月3日樱桃的进价为24元/千克．超市先按照售价为45元/千克时，能销售8千克，售价每天比前一天降低1元/千克时，销售量会增加2千克． (1)求出与的关系式； (2)写出销售过程中每天的利润(元)与的关系式；并求第几天可获得的利润最大？最大利润是多少元？ (3)在销售过程中，共有几天总进价不少于元？ 14．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发沿方向匀速运动，速度为，连接、、．若设运动时间为． (1)求的长度； (2)当时，求t的值； (3)设的面积为S，求S关于t的函数关系式． 15．（2025·山东·二模）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标． 题型一 图形问题 先根据几何图形的边长、角度关系，用自变量表示出目标图形的邻边长度，建立面积关于自变量的二次函数解析式；结合边长为正的实际要求确定自变量范围，利用二次函数顶点式或单调性求最值。 忽略自变量的实际取值限制，直接套用顶点最值；几何关系推导错误，导致函数解析式列错；未验证最值是否在自变量取值区间内。 16．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 17．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 18．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 题型二 销售问题 紧扣 “总利润 = 单件利润 × 销售量” 核心公式，根据售价与销量的变化关系，用售价 / 调价幅度表示出单件利润和销量，建立利润的二次函数模型；结合售价限制条件，利用二次函数性质求最大利润。 单件利润与销量的数量关系对应错误，解析式列错；忽略利润率上限、售价为整数等实际限制；顶点最值不在取值范围内时，误判最值点。 19．（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 20．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 21．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 题型三 投球问题 以击球点、地面为参照建立平面直角坐标系，根据已知的击球点、落地点、最高点坐标，用待定系数法求抛物线解析式；结合顶点式求最大飞行高度，利用函数交点求水平距离。 坐标系建立不当导致点坐标对应错误；忽略飞行高度非负的实际场景限制；待定系数法求解解析式时计算错误，影响后续结果。 22．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 23．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 24．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 题型四 喷水问题 以喷水柱为 y 轴、水平地面为 x 轴建立坐标系，根据喷头位置、水流最高点、落地点坐标，设顶点式求抛物线解析式；利用二次函数性质求最大喷水高度，代入函数值求解对应水平距离。 混淆顶点坐标与已知点的对应关系，解析式设错形式；忽略水流高度非负的实际限制；解方程时计算错误，导致落地点、最大高度结果偏差。 25．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 26．（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 27．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 题型五 图形中的动点问题 根据动点运动速度和时间，表示出对应线段长度；结合相似、勾股定理、面积公式，建立目标量关于运动时间的函数解析式；分阶段讨论动点位置，确定函数定义域与增减性。 未对动点的不同运动阶段分类讨论，导致解析式缺失；相似三角形对应边比例写错，线段长度表示错误；忽略运动时间的取值范围，误判函数图象趋势。 28．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 29．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在四边形中，，点在边上运动（不含），过点作，垂足为点．设的长度为的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．边的长为6 B．在上时， C．在上时， D．随的增大而增大 30．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 知识1 常见等量关系  图形问题：以自变量表示目标图形的边长，结合几何关系建立面积的二次函数解析式，紧扣边长为正的要求确定自变量范围，通过顶点式或函数单调性求最值。  销售问题：紧扣总利润 = 单件利润 × 销售量核心公式，用售价 / 调价幅度表示单件利润与销量，建立利润的二次函数模型，结合售价、利润率限制条件求最值。  投球 / 喷水问题：以参照点建立平面直角坐标系，根据击球点 / 喷头、最高点、落地点坐标，优先用顶点式求抛物线解析式，结合函数性质求最大高度、水平距离。  图形动点问题：用运动时间表示对应线段长度，结合相似、勾股定理、面积公式建立目标量的函数解析式，分阶段讨论动点位置，确定函数定义域与增减性。 1．（2025·山东青岛·模拟预测）七月中旬正值青岛旅游旺季，青岛旅游纪念品深受大家喜爱．某公司销售一种纪念品，每件成本为50元，经过市场调查发现，该商品的日销售量(件)与销售单价(元)是一次函数关系，销售单价、日销售量的3组对应数值如下表： 销售单价/元 日销售量/件 (1)求关于的函数表达式． (2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，求公司销售该商品获得的最大日利润． 2．（2025·山西忻州·一模）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： (1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； (2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； (3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 3．（2025·山东青岛·二模）三月樱桃花满山，五月樱桃红满市．5月1日起，某超市每天从水果批发市场购进樱桃进行销售，樱桃的进价y元/千克与第x天满足一次函数关系如图(且x为整数)，5月1日樱桃的进价为25元/千克，5月3日樱桃的进价为24元/千克．超市先按照售价为45元/千克时，能销售8千克，售价每天比前一天降低1元/千克时，销售量会增加2千克． (1)求出与的关系式； (2)写出销售过程中每天的利润(元)与的关系式；并求第几天可获得的利润最大？最大利润是多少元？ (3)在销售过程中，共有几天总进价不少于元？ 4．（2025·山东潍坊·二模）春节期间、《哪吒》热映；某文创公司推出一款成本价为每卷元的哪吒贴纸投放到市场、售价范围为元至元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足如图所示的函数关系．    (1)求与的函数表达式； (2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到元？ (3)当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 5．（2025·山东青岛·三模）已知，如图①，在中，，，，沿AC的方向匀速平移得到，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为（），连接，解答下列问题． (1)当t为何值时，； (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 6．（2025·山东临沂·一模）“当你背单词时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你算数学时，南太平洋的海鸥正掠过海岸当你晚自习时，地球的极圈正五彩斑斓；但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现．”这是直播带货新平台“东方甄选”货王董宇辉在推销鳕鱼时的台词．所推销鳕鱼的成本为每袋50元，当售价为每袋90元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售10袋． (1)每袋鳕鱼的售价为多少元时，每分钟的销量为150袋？ (2)“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润达到5500元，且要最大限度让利消费者，求此时鳕鱼的销售单价为多少元？ (3)当销售售价为多少元时，每分钟的利润最大，最大利润是多少？ 7．（2025·山东日照·三模）油纸伞（图1）是汉族古老的传统用品之一，后传至亚洲各地如朝鲜、越南、泰国、日本等．如图2，油纸伞中轴截面可看作抛物线的一部分，已知锁扣为C点，抛物线的最高点为P，点P到水平面的距离．，伞边离水平面的距离为，伞面直径为．     (1)求抛物线的函数解析式． (2)为了牢固，需在伞杆的左右两侧安装对称的固定支架，若点A到点B的直线距离为，且，求油纸伞锁扣到地面的距离的长．（参考数据：；结果精确到） 8．（2025·山东潍坊·二模）如图，有一张边长为的菱形纸片，现用它裁出一个矩形纸片，矩形纸片的四个顶点、、、分别位于菱形的四条边上，且，．如何裁剪才能使裁出的矩形纸片的面积最大？最大面积是多少？ 9．（2025·山东烟台·二模）某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品试销期间，为促销，企业决定：商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． (1)商家一次性购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ (2)设商家一次性购买这种产品件，该企业所获的利润为元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，若企业一次获利不低于11250元，请直接写出商家需一次性购买数量的范围． 10．（2025·山东淄博·二模）潭溪山风景区特色旅游项目是水上漂流，该项目每天可接待游客400人，每位体验的游客为景区带来10元的利润．为增加盈利，景区准备提高票价，经调查发现，在其他条件不变的情况下，票价每涨1元，参与体验的游客就减少10人． (1)现该项目要保证每天盈利6000元，同时又要使游客得到实惠，那么每张门票应涨价多少元？ (2)若单纯从经济角度看，每张门票涨价多少元，才能使该项目获利最多？ 11．（2025·山东威海·二模）某公司研发了一款产品投放市场，已知每件产品的成本为元，试销售一段时间后统计每天的销售量（件）与售价（元件）间的部分数据如下表： 售价（元/件） 销售量（件） (1)根据表中数据，求出与之间满足的函数关系式； (2)物价部门规定单件利润率不得超过，售价定为多少元公司每天获得的利润最大？ 12．（2025·山东枣庄·三模）乒乓球被誉为中国国球，2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图2，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方的高度（的长度），将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度      33 45 49 45 33 0 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象． (2)①乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______；乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______． ②求满足条件的抛物线解析式． (3)如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，如图2，乒乓球台长为，球网高为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计 ）． 13．（2025·山东青岛·二模）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果按每件25元出售，那么每天可销售250件，经调查发现，这种日用品的销售单价每提高5元，其销售量就减少50件．设销售单价为x（元），销售利润为（元），解答下列问题： (1)求销售利润与销售单价x的关系式； (2)为了扩大利润，该商店决定开辟线上网店销售渠道，线上和线下售价保持一致，经过调研，线上每天所获销售利润（元）与销售单价x（元）的关系可以近似地用二次函数来刻画，其图象如图所示．物价部门规定，售价不得高于40元，当售价为多少元时，线上和线下的利润之和最大？最大利润是多少？ 14．（2025·山东潍坊·一模）某企业信息部对，两种产品进行市场调研，数据信息分析如下： 信息1：如果单独投资种产品，所获利润（万元）与投资金额（，单位：万元）之间存在如图所示的关系； 信息2：如果单独投资种产品，则所获利润（万元）与投资金额（万元）之间存在如下表所示的关系： （万元） 0 1 2 3 5 …… （万元） 0 1.8 3.2 4.2 5 …… (1)求出与的函数关系式； (2)从所学过的一次函数（）、二次函数（）或反比例函数（）中选择一种适当函数模型，模拟种产品所获利润的变化趋势．请说明选择该模型的理由，并求出与的函数表达式； (3)如果该企业同时对、两种产品共投资16万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案所获得的最大利润． 15．（2025·山东潍坊·一模）杂技是一项古老的传统民间艺术．起源于春秋，兴盛于明清，以功力深厚、技艺精湛著称于世．特别是，“空中飞人”表演惊险刺激，极具观赏性，深受好评（如图1）． 【建立模型】 如图2，演员从旋转木梯点处抛出（将身体看成一点，身体摆动忽略不计）飞到平行于地面的悬吊的平台上，其飞行路线可看作是抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护表演的演员安全．建立如图所示的平面直角坐标系，所在的直线为轴，所在直线为轴，点，点，，，，，． 【解决问题】 (1)当抛物线过点，且与轴交于点时，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米？ (2)设该抛物线的关系式为，抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上，请求出的取值范围； (3)连接，求点到的距离． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次函数 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 二次函数图象与性质（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：二次函数的图象与系数 题型二：二次函数的顶点、对称轴、单调性问题 题型三：二次函数的最值 题型四：二次函数与方程 题型五：二次函数与不等式 必备知识 知识1 解析式求对称轴、顶点坐标 知识2 求解析式 知识3 二次函数的字母系数 知识4 图象平移 知识5 二次函数图象与坐标轴的交点问题 命题预测 考点二 二次函数的实际应用（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：图形问题 题型二：销售问题 题型三：投球问题 题型四：喷水问题 题型五：图形中的动点问题 必备知识 知识点1 常见等量关系 命题预测 命题 透视 命题形式： 以选择、填空为主要考查形式，解答题常与一次函数综合命题，以图象、表格、实际情境为载体，突出对数形结合、运算求解、建模应用能力的考查，是山东中考中档题与小压轴题的高频命题点。 命题内容： 基础题核心考查反比例函数图象与性质、k 的几何意义、解析式求解；中档题侧重与一次函数、方程不等式的综合，及实际应用建模；创新考法聚焦与几何图形结合的动点、面积、存在性问题，常融合相似、勾股定理考查。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 二次函数的图象与性质 T9：动点选二次函数的图象 T23：二次函数的图象+平移+交点 T24：顶点+最值+线段的相交问题； T9：由函数增减性选择解析式； T16：由图象判断参数； T11：二次函数的图象与方程、不等式的综合； T12：动点选二次函数的图象； T8：动点选二次函数的图象 T10：由图象判断参数范围； T11：由图象判断参数范围； 二次函数的实际应用 T19：图形的最值； T24：投球问题； T24：利润的最值问题； T19：经济的最值问题； T15：喷水问题； T20：图形的最值； T16:利润的最值问题； T21：函数模型选择+最值 T23：经济问题； T22：炮弹问题； 二次函数的综合 T25：动点+最值+特殊四边形的存在 T22：动点+角相等+图象平移 T22：图象的交点问题+最值+面积； T23：动点角相等+线段的和最小； T25：动点求距离+面积； T23：面积问题+特殊四边形 T24：图象平移+面积； T24：动点最值+四边形面积 T25：图象平移+交点求参数； T25：图形翻折+面积 命题预测 1. 考情预测 基础题仍以二次函数图象与性质、系数符号判断、解析式求解为必考点；中档题聚焦销售、图形、运动场景的实际应用建模，及与方程、不等式的综合考查；压轴题延续动点、图象平移、特殊图形存在性问题，常融合相似、勾股定理，强化数形结合与逻辑推理能力考查。 2. 备考建议 夯实基础，吃透图象性质与解析式求法；强化建模思维，总结实际最值问题解题模板；突破综合题型，提炼动点、存在性问题通法，强化数形结合与分类讨论思想训练。 考点一 二次函数的图象与性质 题型一 二次函数的图象与系数 以 “数形结合 + 符号口诀” 为核心，由开口方向定 a 符号，对称轴 “左同右异” 定 b，与 y 轴交点定 c；结合 x=±1、±2 等特殊点的函数值、判别式△判断结论，复杂结论用赋值法验证。 忽略对称轴对系数的联动影响，特殊点赋值计算错误；误判△与抛物线和 x 轴交点个数的关系；对含等号的不等式结论，忽略顶点最值的边界情况。 1．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】由二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧，，，，可得①符合题意；结合当时，最大，当时，，可得②不符合题意；由，，可得，可得③符合题意；由，记的横坐标分别为，可得，结合，可得，可得④符合题意. 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∵顶点的坐标为， ∴当时，最大， 当时，， ∴， ∴，故②不符合题意； ∵二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，对称轴为直线， ∴，， ∴，， ∴，故③符合题意； 如图，为等边三角形， ∴，，，， ∴， 记的横坐标分别为， ∴， ∴， 当，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，熟练的利用等边三角形的性质结合二次函数的图象解题是关键. 2．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 3．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 题型二 二次函数的顶点、对称轴、单调性问题 先通过顶点式或对称轴公式​确定对称轴与顶点坐标；以对称轴为界，开口向上左减右增、开口向下左增右减；比较函数值大小，优先看点到对称轴的水平距离。 混淆开口方向对增减性的影响，忽略对称轴不在自变量区间内的情况；比较函数值时仅看横坐标大小，未结合开口方向；顶点坐标公式的符号、分子分母记混。 4．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 5．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 6．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 题型三 二次函数的最值 先化顶点式确定顶点最值，再结合自变量取值范围判断：顶点在区间内，顶点处取最值；顶点在区间外，依单调性在区间端点取最值；实际问题先建模，再结合定义域求解。 忽略自变量取值范围，直接套用顶点最值；实际问题中未验证自变量取值是否符合实际意义；区间含参数时，未对顶点与区间的位置关系分类讨论。 7．（2025·山东潍坊·中考真题）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图象的开口向上 B．关于的方程的两个根是和4 C．点在一次函数的图象上 D．代数式的最大值为 【答案】BCD 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据表格数据，待定系数法求出函数解析式，根据二次函数图象和性质，二次函数的增减性，对称性，逐一进行判断即可． 【详解】解：把代入，得： ，解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴， ∴抛物线的开口向下，故A选项错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴与的函数值相同，均为， ∴关于的方程的两个根是和4，故B选项正确； ∵， ∴为， ∴在直线上，故C选项正确； ∵， ∴当时，代数式的最大值为；故D选项正确； 故选BCD． 8．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 9．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 题型四 二次函数与方程 紧扣 “抛物线与 x 轴交点↔一元二次方程的根” 的对应关系，交点横坐标即方程的根；用判别式△分析根的个数，韦达定理简化根与系数的计算，交点式可快速求解方程相关问题。 忽略二次项系数 a≠0 的前提，误用韦达定理与判别式；求抛物线与 x 轴交点时，因式分解、求根公式计算错误；对 “方程有解” 与 “抛物线和直线有交点” 的转化理解偏差。 10．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 11．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是_____（填写序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，把代入函数解析式，求出值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，图象法确定⑤即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴该函数图象经过点；故①正确； 当时，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； ∵， ∴， ∴抛物线与轴有1个或2个交点，故③错误； 当时， ∵函数图象经过点， ∴的一个根为， ∴由根与系数的关系可知：方程的另一个根为， ∵， ∴，即：关于的方程有一个根大于0且小于1；故④正确； ∵， ∴当时，， 由④可知，当时，抛物线与轴的两个交点分别为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧， ∴当时，抛物线与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限， 故有一个正根， 当时，抛物线与直线有两个交点，一个为，一个在对称轴的左侧，即在第三象限， 故，则关于的方程的正数根只有一个；故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 12．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 题型五 二次函数与不等式 以数形结合为核心，不等式ax2+bx+c＞（＜0）的解集，对应抛物线在 x 轴上方（下方）部分的 x 取值范围；两函数大小比较，先找交点横坐标，再结合图象上下位置定解集。 忽略开口方向对不等号解集方向的影响；漏看等号条件，解集边界空心 / 实心点判断错误；两函数综合时，未找全交点，导致解集范围缺失或多算。 13．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质及二次函数与一次函数的交点，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线与x轴的交点及开口方向确定系数符号，结合对称轴公式和交点坐标分析各结论的正确性即可． 【详解】解：∵抛物线过点和（）， ∴设抛物线为， ∴， ∴，， ∵且， ∴，， ∴，结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，结论②错误； 由题意，第一种情况，若， ∵对称轴直线， ∴对称点的横坐标为， ∴两点间的横向距离为， ∵， ∴，即， 第二种情况，若， ∵该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）如图，     ∴，故结论③不正确； 当时，方程的根为和， 即， ∵， ∴不等式的解集为，结论④正确． 综上，正确结论为①④，共2个， 故选：B． 14．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标， ∵， ∴若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确； ⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴可化为， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∴关于的不等式的解集为或不是故⑤错误 故正确的有①②④，共3个， 故选：B 15．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，② (3)存在，， 【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等． （1）将、代入得方程组，解方程组即可； （2）①令，则，解方程即可求出点A的坐标； ②根据图象可知，当时，即抛物线在轴下方的部分，根据A，B两点的坐标即可得出结论； （3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则； 当为斜边时，则；分别解方程即可． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； ②根据图象可知，当时，x的取值范围为， 故答案为：； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 知识1 求对称轴、顶点坐标 (1)若二次函数的解析式为y=a(x−h)2+k(a≠0)的形式，则二次函数图象的对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)； (2)若二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)的形式，则二次函数图象的对称轴是直线 x=,顶点坐标是 ( ,   )。 知识2 求解析式 (1)设一般式 y=ax2+bx+c(a≠0)：若已知二次函数图象上的三点的坐标时，通常设二次函数的解析式为一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解。 (2)设交点式 y=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)：若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，通常设二次函数的解析式为交点式，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式。 (3)设顶点式 y=a(x−h)2+k(a≠0)：若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值（最小值），通常设二次函数的解析式为顶点式，然后代入另一点的坐标，即可列出关于a的一元一次方程，最后将所求出的抛物线的解析式化为一般形式。 知识3 二次函数的字母系数 抛物线的开口方向决定了a的符号：若开口向上，则a>0；若开口向下，则a<0。 抛物线对称轴的位置决定了a，b的符号：若对称轴在y轴左侧，则a，b同号；若对称轴在y轴上，则b=0；若对称轴在y轴右侧，则a，b异号。 抛物线与y轴的交点位置决定了c的符号：若交点在y轴正半轴上，则c>0；若交点在原点上，则c=0；若交点在y轴负半轴上，则c<0。 知识4 图象平移 抛物线的平移，应关注的是顶点位置的改变，也就是说，抛物线的平移，实际上是抛物线顶点的平移。通常把抛物线的解析式化成顶点式后，再求其平移后的解析式，此时平移遵循的规律为“左加右减，上加下减”。由于抛物线平移后的形状不变，故a不变。 知识5 二次函数图象与坐标轴的交点问题 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根之间的关系：△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数，当△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；当△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；当△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。 1．（2025·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移变换的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键．根据已知条件求出和的相关边长和角度等信息．然后，分不同阶段分析沿x轴平移过程中与重叠部分的形状和面积计算方法，进而得到S与x的函数关系，最后根据函数关系判断函数图象． 【详解】解：①当时，与重叠部分为，如图1， 由平移得：， ， ， 图象为开口向上的抛物线，A选项不符合题意； ②当时，与重叠部分为四边形，如图2， 由平移得：，，， ， ， ， 在中，， ； 图象为开口向下的抛物线；C选项不符合题意； ③当时，与重叠部分为，如图3， 则，且， 是等边三角形，作于， ， ， ， 图象为开口向上的抛物线，B选项符合题意； 故选：B． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，抛物线与某一直线交于，两点，其中抛物线的对称轴为直线，设点坐标为，点坐标为，则对于过平面直角坐标系上的两点、的直线一定不过（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查一次、二次函数图像问题，熟悉图像与各系数间的关系是解题的关键． 先由二次函数图像可得，，，再根据点，坐标得到，最后确定点的位置即可． 【详解】由图可知，，对称轴，即， 又抛物线与轴无交点，所以， 时，，综上，，，； 又，，， ， 即点在轴的负半轴， ， 在第一象限， 则直线大致图像如下： 所以直线一定不过第二象限， 故选：B． 3．（2025·山东枣庄·二模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性，求出函数值的范围即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最小值为； 当时，函数有最大值为； 故选A． 4．（2025·山东潍坊·一模）如图是二次函数的部分图象，顶点坐标为．下列结论正确的是(　　) A． B．方程有两个相等的实数根 C． D． 【答案】ABCD 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与系数的关系，二次函数与方程以及不等式的关系．由抛物线的开口方向以及对称轴的位置可判断①，由抛物线顶点坐标为可判断④，由当时，及抛物线的对称轴可得当时，，从而判断③． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线顶点坐标为， ∴， ∵，A正确， ∵方程可以看作是函数与的交点， 又抛物线的顶点坐标为， ∴函数与有一个交点， 即方程有两个相等的实数根，B正确， 由图象可得，当时，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴当时，，C正确， ∵抛物线顶点坐标为， ∴， ∴，D正确， 故选：ABCD． 5．（2025·山东枣庄·模拟预测）已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的对称性与二次函数的最值，解题的关键是利用抛物线的对称性确定对称轴，再结合函数取值范围分析自变量的范围． 先根据点、纵坐标相同，确定抛物线对称轴；代入顶点式得到最小值，再结合的取值范围，求出对应的值，进而确定的范围． 【详解】解：∵点、在抛物线上且纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为，即，得． ∴抛物线为，其最小值为（当时取得）． 当时，，解得或． ∵当时，的取值范围是， ∴需满足． 故答案为：． 6．（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，该抛物线的顶点为C．点P为该抛物线上一点，其横坐标为m．当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最低点和最高点到x轴的距离分别为d、n，当时，则m的取值范围为______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的最值，函数的增减性与最值，掌握二次函数图象的性质，数形结合思想是解题的关键． 过点B作轴交抛物线于点E，分三种情况讨论：①当点P在点B和点C之间时，②当点P在点C和点E之间时，③当点P在点E上方时，分别根据列式求解即可． 【详解】解：过点B作轴交抛物线于点E， ∵， ∴抛物线对称轴为，顶点坐标为， ∴点E与点B关于对称轴对称，，如图所示： ①当点P在点B和点C之间时，即时，抛物线在点与点之间的部分最低点为点，最高点为点， ∴，， ∵， ∴， 解得：（不合题意）； ②当点P在点C和点E之间时，即时，抛物线在点与点之间的部分最低点为点，最高点为点， ∴，， ∴符合题意， ∴， ③当点P在点E上方时，即时，最低点为点，最高点点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或或， ∵， ∴． 综上所述，m的取值范围为或． 7．（2025·山东济宁·三模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，与x轴的交点问题，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入，得到，再由对称轴公式即可求解； （2）当时，；当时，．根据对称性，可得和时，y值相等，即可求解； （3）根据题意可得，从而得到，再由时，，可得关于a的不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：当时，； 当时， 根据对称性，和时，y值相等， （3）解：，对称轴为， ， ， ， 时，， 时，， 即， 解得： 8．（2025·山东日照·模拟预测）平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交直线于，求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得与的面积之比为，请直接写出满足条件的所有点的横坐标，并写出其中一个横坐标的求解过程． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)最大为，此时点 (3)，，或 【分析】（1）利用交点式即可求解； （2）利用铅垂法，过点作轴交于，设，表示出，，将转化为，最后利用二次函数最值问题求解即可； （3）关键是将与的面积之比为，转换为点到直线和直线的距离相等，再分当点在的角平分线上时；点在的外角平分线上时，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴设抛物线表达式为， ∵抛物线表达式为， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）如图，过点作轴交于， ∵当时，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得， 解得， ∴直线：， 同理得直线：， 设， 则， 对于直线：，当时， 得， ∴， ∴，， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，开口向下， ∴当时，最大为，此时点； （3）过点作于，于， ∵抛物线向右平移2个单位得， ∴， 由与的面积之比为，且， ∴， ∴点到直线和直线的距离相等， ①当点在的角平分线上时，如图： 作的平分线交轴于，交于，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， 即， 同理求出直线：， ∴， 解得或， 即点横坐标为或； ②当点在的外角平分线上时，如图： 同理可得，直线：， ∴， 解得或， 即点横坐标为或； 综上所述，点横坐标为、、或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法求二次函数解析式，三角函数，二次函数的最值，直线与二次函数交点，三角形角平分线性质与判定，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． 9．（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)一个二次函数的图象经过B，C，三点，其中，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O，B不重合）． ①若D点的坐标为，求t的值； ②用t表示和，并求的最大值． 【答案】(1)，， (2)①；②，，的最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性和最值是解题关键． （1）令，求出的值即可得点，的坐标，再根据二次函数的顶点式即可得顶点的坐标； （2）①先求出二次函数的对称轴为直线，再根据点，关于对称轴对称可得，由此即可得； ②设点的坐标为，根据二次函数的对称性可得，则，再求出，的值，然后求出，利用二次函数的性质求最值即可得． 【详解】（1）解：令，则 解得或， 二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）， ，， 二次函数的顶点为， ； （2）解：①由（1）可知，，， 这个二次函数的图象经过点，， 这个二次函数的对称轴为直线， 又这个二次函数的图象经过点，， 点，关于对称轴对称， 解得； ②由题意，设点的坐标为， 这个二次函数的图象经过点，， 这个二次函数的对称轴为直线， 又这个二次函数的图象经过点，， ， ， ， 点在线段上（与点O，不重合）， ，， 又点在线段上（与点O，不重合）， ， ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为， 综上，，，的最大值为． 10．（2025·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点B的横坐标为，点A的横坐标为m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转90°后得到线段，连结，当（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2)①m的值为；②或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）根据对称轴求出b的值，再由抛物线与y轴的交点坐标求出c的值； （2）①首先推导出A、B的坐标为，当时，，求出m的值，当时，，求出m的值，再结合题意确定符合条件的m值即可； ②分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别根据（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，求得n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点坐标为， ∴， ∴此抛物线对应的函数表达式为； （2）①抛物线解析式为， 令，得：， 解得：或， 故抛物线与x轴的交点为,对称轴为直线,顶点坐标为， 由题意得：， 当时，如图1， , 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，如图2， ， 解得：m（不合题意，舍去）， 综上所述：图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，m的值为； ②当时，如图3， ∵，， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴直线的解析式为， 联立方程组得：， 整理得：， ∵（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴， ∴； 当时，如图4，（不含内部）和二次函数在范围上的图象没有公共点； 当时，如图5，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∵，，， ∵点F在抛物线上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，如图6，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有两个公共点，（舍去） 综上所述：当或时，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点． 11．（2025·山西忻州·一模）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： (1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； (2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； (3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 【答案】(1)函数表达式为 (2) (3)小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设，则小树顶端点的坐标为，将其代入解方程即可； （3）建立新的函数，设铅直高度为，由题意得，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设小球飞行的高度与水平距离的函数表达式为， 由表格得：， 解得：， ∴函数表达式为； （2）解：由题意得，设， ∴小树顶端点的坐标为， 将其代入得，， 解得：， ∵在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：设铅直高度为，由题意得， ∴； ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 12．（2025·山东·模拟预测）已知二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点． (1)若该函数图象经过点． ①直接写出抛物线与x轴的交点坐标； ②在图中画出该二次函数的图象，借助图象，求当时，自变量x的取值范围； (2)对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； (3)当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是，求n和b的值以及m的取值范围． 【答案】(1)①抛物线与x轴的交点坐标为和；②图见解析，或 (2) (3)， 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的最值问题，画二次函数图象等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）①利用待定系数法求出二次函数解析式，再求出函数值为0时的自变量的值即可得到答案；②先列表，再描点和连线画出对应的函数图象，再根据函数图象可得增减性，进而可得答案； （2）先求出c，再把解析式化为顶点式得到顶点坐标，进而可得答案； （3）根据题意可得直线与抛物线的两个交点为和，且直线在抛物线的下方，根据对称性结合对称轴计算公式可得b的值，进而得到二次函数解析式和顶点坐标，据此可求解． 【详解】（1）解：①∵二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点，且二次函数的函数图象经过， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， 在中，当时，， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和； ②列表如下： x … 1 3 4 … y … 5 0 0 5 … 画函数图象如下所示： 由函数图象可知，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当时，或； （2）解：∵二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴二次函数开口向上， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， ∵对于一切实数x，函数值总成立， ∴； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是， ∴直线与抛物线的两个交点为和，且直线在抛物线的下方， ∴点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵抛物线顶点坐标为，直线在抛物线的下方， ∴． 13．（2025·山东青岛·二模）三月樱桃花满山，五月樱桃红满市．5月1日起，某超市每天从水果批发市场购进樱桃进行销售，樱桃的进价y元/千克与第x天满足一次函数关系如图(且x为整数)，5月1日樱桃的进价为25元/千克，5月3日樱桃的进价为24元/千克．超市先按照售价为45元/千克时，能销售8千克，售价每天比前一天降低1元/千克时，销售量会增加2千克． (1)求出与的关系式； (2)写出销售过程中每天的利润(元)与的关系式；并求第几天可获得的利润最大？最大利润是多少元？ (3)在销售过程中，共有几天总进价不少于元？ 【答案】(1) (，x为整数) (2)(0<x<30且x为整数)，第19天可获得的利润最大，最大利润是484元 (3)在销售过程中，共有5天总进价不少于725元 【分析】（1）利用待定系数法计算即可； （2）分别将第天的售价和销量用含的代数式表示出来，再写出关于的函数关系式，根据二次函数的图象特征及的取值范围，确定当取何值值最大，求出其最大值即可； （3）根据总进价进价单价进货量这里进货量销量，表示出第天的总进价，根据题意列出关于的不等式并求其解集，符合条件的的取值个数即为答案． 【详解】（1）解：设与的关系式为、为常数，且， 将（1，25）和（3，24）分别代入， 得， 解得， 与的关系式为(且x为整数）， （2）解：根据题意得，第天的售价为元，第天的销量为千克， 则， 销售过程中每天的利润元与的关系式为(，x为整数）， ， 该二次函数开口向下，对称轴为直线，且为整数， 当时值最大，， 第天可获得的利润最大，最大利润是元． （3）解：第天的总进价为元， 根据题意，得， 整理，得， 令， ∵， ∴函数图象开口向上， ∵函数与x轴的交点为，， ∴当时，， 即当时，， 在销售过程中，共有天总进价不少于元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、二次函数求最值的方法及一元二次不等式的解法是解题的关键． 14．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发沿方向匀速运动，速度为，连接、、．若设运动时间为． (1)求的长度； (2)当时，求t的值； (3)设的面积为S，求S关于t的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，证明四边形为平行四边形，得到，设，在中，根据勾股定理进行求解即可； （2）勾股定理求出的长，根据题意，得到，进而得到，根据平行线分线段成比例，得到，进行求解即可； （3）作于点，于点，易得四边形为矩形，根据三角函数求出的长，根据，列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：过点作，则：， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发沿方向匀速运动，速度为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3）作于点，于点， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由（2）可知：，，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解直角三角形，二次函数与图形动点问题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 15．（2025·山东·二模）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）分两种情况：若点B恰好落在轴上；若点C恰好落在轴上，利用平移的性质解答即可； （3）分三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：若点B恰好落在轴上， ∵， ∴线段向下平移个单位， ∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，， 解得：（不符合题意）， 此时点C的坐标为； 若点C恰好落在轴上， ∵， ∴线段向下平移4个单位， ∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，， 解得：， 此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：∵， ∴可设，则， ∴点F的坐标为或 设直线的解析式为， ∴，或 解得：或 ∴直线的解析式为或， ∴， 由旋转的性质得：， 如图，过点E作，交直线于点P，过点A，P作分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，则，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点E的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点E的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用，难度较大． 考点二 二次函数的实际应用 题型一 图形问题 先根据几何图形的边长、角度关系，用自变量表示出目标图形的邻边长度，建立面积关于自变量的二次函数解析式；结合边长为正的实际要求确定自变量范围，利用二次函数顶点式或单调性求最值。 忽略自变量的实际取值限制，直接套用顶点最值；几何关系推导错误，导致函数解析式列错；未验证最值是否在自变量取值区间内。 16．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 【答案】（1）窗户框架的宽为； （2）该窗户框架的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 【分析】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值． （1）依据题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，由“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，则，结合长宽之比为，可得，再将代入得，进而计算可以得解； （2）依据题意，设窗户框架的长为，则宽为，则，即，从而要使窗户框架的面积最大，则，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为， ∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为， ∴． ∵长宽之比为， ∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：． 将代入得，． ∴． 答：窗户框架的宽为． （2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为， ∴，即， ∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为． ∴当时，最大值为． ∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 17．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 18．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值， 即当时，矩形桌面面积最大． 故答案为：5． 题型二 销售问题 紧扣 “总利润 = 单件利润 × 销售量” 核心公式，根据售价与销量的变化关系，用售价 / 调价幅度表示出单件利润和销量，建立利润的二次函数模型；结合售价限制条件，利用二次函数性质求最大利润。 单件利润与销量的数量关系对应错误，解析式列错；忽略利润率上限、售价为整数等实际限制；顶点最值不在取值范围内时，误判最值点。 19．（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 【答案】(1) (2)10元或30元 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数解析式的求解，解决本题的关键是正确求解出一次函数与二次函数的解析式． （1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法代值求解即可； （2）先表示出日销售额的函数表达式，再令求解x的值即可． 【详解】（1）解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系， ∴设函数表达式为， ∵当时，；当时，； ∴，解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：由（1）知，， ∴日销售额， ∵玩具日销售额为300元， ∴令，即， 整理可得， 解得，， ∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元． 20．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元 (2) 【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解； （2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 21．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； (2)至少需要购进B款纪念品200个 (3)，W的最大值为4500 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 题型三 投球问题 以击球点、地面为参照建立平面直角坐标系，根据已知的击球点、落地点、最高点坐标，用待定系数法求抛物线解析式；结合顶点式求最大飞行高度，利用函数交点求水平距离。 坐标系建立不当导致点坐标对应错误；忽略飞行高度非负的实际场景限制；待定系数法求解解析式时计算错误，影响后续结果。 22．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 23．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，化成顶点式的方法是解题的关键． ①当时，求出的值即可判断；②把函数解析式化为顶点式求出最大值即可判断；③根据函数的性质即可判断． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，故②错误； ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，高度随着时间的增大而减小，故③正确， ∴正确的个数有 2 个， 故选：C． 24．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型四 喷水问题 以喷水柱为 y 轴、水平地面为 x 轴建立坐标系，根据喷头位置、水流最高点、落地点坐标，设顶点式求抛物线解析式；利用二次函数性质求最大喷水高度，代入函数值求解对应水平距离。 混淆顶点坐标与已知点的对应关系，解析式设错形式；忽略水流高度非负的实际限制；解方程时计算错误，导致落地点、最大高度结果偏差。 25．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 26．（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 27．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． （2）解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 题型五 图形中的动点问题 根据动点运动速度和时间，表示出对应线段长度；结合相似、勾股定理、面积公式，建立目标量关于运动时间的函数解析式；分阶段讨论动点位置，确定函数定义域与增减性。 未对动点的不同运动阶段分类讨论，导致解析式缺失；相似三角形对应边比例写错，线段长度表示错误；忽略运动时间的取值范围，误判函数图象趋势。 28．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用． 29．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在四边形中，，点在边上运动（不含），过点作，垂足为点．设的长度为的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．边的长为6 B．在上时， C．在上时， D．随的增大而增大 【答案】AC 【分析】本题考查矩形的判定和性质，解直角三角形，动点的函数表达式，作，易得四边形为矩形，得到，进而得到，在中，求出的长，分点在和点在上两种情况，进行讨论，求出函数关系式，进行判断即可． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，故A正确； 当点在上时， ∵，，， ∴，， ∴；故B错误； 当点在上时，如图， 则：， ∴；故C正确； 当时，随着的增大而减小，故D错误； 故选AC． 30．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式是解题的关键．首先推导出，设，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式为，再结合函数图象求出的值即可得出结论． 【详解】解：矩形， ， ， ，， ． ， ． ． ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，关于的函数图象经过， 代入得，， ， ． 故选：A． 知识1 常见等量关系  图形问题：以自变量表示目标图形的边长，结合几何关系建立面积的二次函数解析式，紧扣边长为正的要求确定自变量范围，通过顶点式或函数单调性求最值。  销售问题：紧扣总利润 = 单件利润 × 销售量核心公式，用售价 / 调价幅度表示单件利润与销量，建立利润的二次函数模型，结合售价、利润率限制条件求最值。  投球 / 喷水问题：以参照点建立平面直角坐标系，根据击球点 / 喷头、最高点、落地点坐标，优先用顶点式求抛物线解析式，结合函数性质求最大高度、水平距离。  图形动点问题：用运动时间表示对应线段长度，结合相似、勾股定理、面积公式建立目标量的函数解析式，分阶段讨论动点位置，确定函数定义域与增减性。 1．（2025·山东青岛·模拟预测）七月中旬正值青岛旅游旺季，青岛旅游纪念品深受大家喜爱．某公司销售一种纪念品，每件成本为50元，经过市场调查发现，该商品的日销售量(件)与销售单价(元)是一次函数关系，销售单价、日销售量的3组对应数值如下表： 销售单价/元 日销售量/件 (1)求关于的函数表达式． (2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，求公司销售该商品获得的最大日利润． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法解一次函数的解析式，二次函数的实际应用，利用二次函数的图象性质求最值，解题的关键是理解题意找到题目中的数量关系，并熟练掌握待定系数法解一次函数和二次函数的图象与性质． （1）待定系数法求解析式，即可； （2）根据利润(单价成本)销量，列出函数关系式，并根据题意求出的取值范围，然后根据二次函数的性质求出此区间的增减性，进而求出的最大值即可． 【详解】（1）解：设，把和代入， 得，解得， ． （2）解：设公司销售该商品获得的日利润为元， 则． 由题意知， 解得． 对称轴为直线， 顶点不在取值范围内． ， 抛物线开口向下， 在对称轴左侧随的增大而增大， 当时，． 答：该公司销售该商品获得的最大日利润为元． 2．（2025·山西忻州·一模）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： (1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； (2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； (3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 【答案】(1)函数表达式为 (2) (3)小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设，则小树顶端点的坐标为，将其代入解方程即可； （3）建立新的函数，设铅直高度为，由题意得，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设小球飞行的高度与水平距离的函数表达式为， 由表格得：， 解得：， ∴函数表达式为； （2）解：由题意得，设， ∴小树顶端点的坐标为， 将其代入得，， 解得：， ∵在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：设铅直高度为，由题意得， ∴； ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 3．（2025·山东青岛·二模）三月樱桃花满山，五月樱桃红满市．5月1日起，某超市每天从水果批发市场购进樱桃进行销售，樱桃的进价y元/千克与第x天满足一次函数关系如图(且x为整数)，5月1日樱桃的进价为25元/千克，5月3日樱桃的进价为24元/千克．超市先按照售价为45元/千克时，能销售8千克，售价每天比前一天降低1元/千克时，销售量会增加2千克． (1)求出与的关系式； (2)写出销售过程中每天的利润(元)与的关系式；并求第几天可获得的利润最大？最大利润是多少元？ (3)在销售过程中，共有几天总进价不少于元？ 【答案】(1) (，x为整数) (2)(0<x<30且x为整数)，第19天可获得的利润最大，最大利润是484元 (3)在销售过程中，共有5天总进价不少于725元 【分析】（1）利用待定系数法计算即可； （2）分别将第天的售价和销量用含的代数式表示出来，再写出关于的函数关系式，根据二次函数的图象特征及的取值范围，确定当取何值值最大，求出其最大值即可； （3）根据总进价进价单价进货量这里进货量销量，表示出第天的总进价，根据题意列出关于的不等式并求其解集，符合条件的的取值个数即为答案． 【详解】（1）解：设与的关系式为、为常数，且， 将（1，25）和（3，24）分别代入， 得， 解得， 与的关系式为(且x为整数）， （2）解：根据题意得，第天的售价为元，第天的销量为千克， 则， 销售过程中每天的利润元与的关系式为(，x为整数）， ， 该二次函数开口向下，对称轴为直线，且为整数， 当时值最大，， 第天可获得的利润最大，最大利润是元． （3）解：第天的总进价为元， 根据题意，得， 整理，得， 令， ∵， ∴函数图象开口向上， ∵函数与x轴的交点为，， ∴当时，， 即当时，， 在销售过程中，共有天总进价不少于元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、二次函数求最值的方法及一元二次不等式的解法是解题的关键． 4．（2025·山东潍坊·二模）春节期间、《哪吒》热映；某文创公司推出一款成本价为每卷元的哪吒贴纸投放到市场、售价范围为元至元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足如图所示的函数关系．    (1)求与的函数表达式； (2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到元？ (3)当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)公司将该贴纸每卷售价定为元时，每天销售该贴纸的利润可达到元 (3)当每卷售价为元时，每天获利最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的应用，解一元二次方程，二次函数的图象与性质，理解题意、根据等量关系列出相应方程是解题关键． （1）设，利用待定系数法即可求解； （2）设该贴纸每卷售价定为元，则每卷利润为元，根据每卷利润乘以销售量等于总利润，可得，解方程即可； （3）设利润为元，则，根据二次函数的图象和性质，求得当时的最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意，设， 将和代入， 得：，解得：， 与的函数表达式为． （2）解：设该贴纸每卷售价定为元，则每卷利润为元， 由（1）得：每天销售量， 根据题意，得：， 解得：（舍去），， 答：公司将该贴纸每卷售价定为元时，每天销售该贴纸的利润可达到元． （3）解：设利润为元， 根据题意，得：， ，对称轴， 超出售价范围，且在这个范围内，随的增大而增大， 时，取最大值， 最大值为元， 答：当每卷售价为元时，每天获利最大，最大利润为元． 5．（2025·山东青岛·三模）已知，如图①，在中，，，，沿AC的方向匀速平移得到，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为（），连接，解答下列问题． (1)当t为何值时，； (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时， (2) (3)当时， 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据，得出关于t的比例式，求解即可； （2）过点 作 于点 ，根据，列出关于t的比例式，表示出 的长，再根据 ，进行计算即可； （3）过点 作 的延长线于点，根据，得出 ， ，再根据，得到 ，，进而得到方程，求得 或（舍去），即可得出当时，. 【详解】（1）解：如图所示， ∴在中，根据勾股定理得， 若，则有 ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 解得 ， 当时，； （2）如图所示，过点作 于点 ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∵ ∴ ∵ ∴（） （3）存在时刻，使，理由如下：如图所示，过点 作 的延长线于点 ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ ，即 ∵ ， ， 在中，根据勾股定理得： ， 在中，根据勾股定理得： ， ∴ ， ∴ ， 即 ∴ 或（舍去） ∴当时， 【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积计算的综合应用，解决问题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造相似三角形． 6．（2025·山东临沂·一模）“当你背单词时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你算数学时，南太平洋的海鸥正掠过海岸当你晚自习时，地球的极圈正五彩斑斓；但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现．”这是直播带货新平台“东方甄选”货王董宇辉在推销鳕鱼时的台词．所推销鳕鱼的成本为每袋50元，当售价为每袋90元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售10袋． (1)每袋鳕鱼的售价为多少元时，每分钟的销量为150袋？ (2)“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润达到5500元，且要最大限度让利消费者，求此时鳕鱼的销售单价为多少元？ (3)当销售售价为多少元时，每分钟的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)每袋鳕鱼的售价为85元时，每分钟销量为150袋； (2)此时鳕鱼的销售单价为70元 (3)当销售单价为75元时，能获得最大利润，最大利润为6250元 【分析】本题考查一元一次方程、一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，列函数式，进行解答． （1）设每袋鳕鱼的售价为x元，根据题意，则，解出x，即可； （2）设此时鳕鱼的销售单价为y元，根据题意，则方程为，解出方程，根据最大限度让利消费者，取值即可． （3）设鳕鱼的销售单价为a元，每分钟的利润为w，根据题意得， 根据，得当时，w取得最大值，最大值为6250． 【详解】（1）解：设每袋鳕鱼的售价为x元时，每分钟的销量为150袋， ， ∴， 答：每袋鳕鱼的售价为85元时，每分钟销量为150袋； （2）解：设鳕鱼的销售单价为y元，根据题意得： ， 解得 ∵让消费者获得最大的利益， ∴， 答：此时鳕鱼的销售单价为70元． （3）解：设鳕鱼的销售单价为a元，每分钟的利润为w，根据题意得： ， ∵， ∴当时，w取得最大值， 最大值为6250． 故当销售单价为75元时，能获得最大利润，最大利润为6250元． 7．（2025·山东日照·三模）油纸伞（图1）是汉族古老的传统用品之一，后传至亚洲各地如朝鲜、越南、泰国、日本等．如图2，油纸伞中轴截面可看作抛物线的一部分，已知锁扣为C点，抛物线的最高点为P，点P到水平面的距离．，伞边离水平面的距离为，伞面直径为．     (1)求抛物线的函数解析式． (2)为了牢固，需在伞杆的左右两侧安装对称的固定支架，若点A到点B的直线距离为，且，求油纸伞锁扣到地面的距离的长．（参考数据：；结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了二次函数的应用，解直角三角形，解题的关键是理解题意． （1）根据待定系数法求解即可； （2）连接交于点．由抛物线的对称性可知，．将代入解析式求出，再解直角三角形求出，即可解答． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点坐标为，且过点． 设抛物线的函数解析式为， 将代入，得，解得． 抛物线的函数解析式为； （2）解：如图，连接交于点． 由抛物线的对称性可知，． 点的横坐标为． 当时，， ． ， ． 又， ， ． 答：油纸伞锁扣到地面的距离的长约为． 8．（2025·山东潍坊·二模）如图，有一张边长为的菱形纸片，现用它裁出一个矩形纸片，矩形纸片的四个顶点、、、分别位于菱形的四条边上，且，．如何裁剪才能使裁出的矩形纸片的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】当、、、为菱形各边的中点时，才能使裁出的矩形纸片的面积最大，最大值为 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，二次函数的应用，根据题意设，则，进而分别求得，根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 设，则 ∵，则 ∴是等边三角形，则 过点作于点 ∴， ∴ 设矩形纸片的面积为， ∴ ∴当时，矩形纸片的面积最大为 答：当、、、为菱形各边的中点时，才能使裁出的矩形纸片的面积最大，最大值为 9．（2025·山东烟台·二模）某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品试销期间，为促销，企业决定：商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． (1)商家一次性购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ (2)设商家一次性购买这种产品件，该企业所获的利润为元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，若企业一次获利不低于11250元，请直接写出商家需一次性购买数量的范围． 【答案】(1)50件 (2)当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元 (3)或 【分析】本题考查了二次函数，一次函数和一元一次不等式的实际应用，理解利润、售价、销售量之间的关系是解本题的关键． （1）设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元，据此列出方程即可求解； （2）根据：利润等于售价减成本，分，，三种情况考虑，列出y关于x的函数式，求出最大值即可； （3）分，两种情况考虑，解不等式、函数的图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元， 由题意得：， 解得：； 答：设商家一次性购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元； （2）解：当时，， 当时，y有最大值，最大值为； 当时，， 即； 由于，当时，y有最大值12250； 当时，， 当时，y有最大值，最大值为； 综上，当时，y有最大值12250； 答：当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元； （3）解：当时，最大值为6000，不符合题意； 当时，由题意知； 考虑二次函数，当时，解得， 由二次函数的图象与性质，当时，； 当时，， 解得：， 由于x为正整数，且不超过60件，则； 综上，或． 10．（2025·山东淄博·二模）潭溪山风景区特色旅游项目是水上漂流，该项目每天可接待游客400人，每位体验的游客为景区带来10元的利润．为增加盈利，景区准备提高票价，经调查发现，在其他条件不变的情况下，票价每涨1元，参与体验的游客就减少10人． (1)现该项目要保证每天盈利6000元，同时又要使游客得到实惠，那么每张门票应涨价多少元？ (2)若单纯从经济角度看，每张门票涨价多少元，才能使该项目获利最多？ 【答案】(1)10元 (2)15元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设每张门票应涨价元，则每名游客带来的利润为元，游客数为名，据此建立方程求解即可； （2）设每张门票涨价元，能获利元，用游客数乘以每名游客带来的利润列出W关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每张门票应涨价元， 根据题意，得：， 解得，． ∵该项目要保证每天盈利6000元，同时又要使游客得到实惠， ∴， 答：每张门票应涨价10元； （2）解：设每张门票涨价元，能获利元， 根据题意，得， ∵， 时，获利最多． 答：纯从经济角度看，每张门票涨价15元，才能使该项目获利最多． 11．（2025·山东威海·二模）某公司研发了一款产品投放市场，已知每件产品的成本为元，试销售一段时间后统计每天的销售量（件）与售价（元件）间的部分数据如下表： 售价（元/件） 销售量（件） (1)根据表中数据，求出与之间满足的函数关系式； (2)物价部门规定单件利润率不得超过，售价定为多少元公司每天获得的利润最大？ 【答案】(1)； (2)售价定为元，公司每天获得的利润最大． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表格可知与之间之间满足一次函数关系，设其关系式为，然后把和代入求解即可； （）设获利为元，由题意得，由 物价部门规定单件利润率不得超过，售价不低于成本，则，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据表格可知与之间之间满足一次函数关系，设其关系式为， 选取和代入上式，得， 解得， ∴， 经检验，和均满足上式， ∴与之间满足的函数关系式是； （2）解：设获利为元，由题意得， ∵物价部门规定单件利润率不得超过，售价不低于成本， ∴，解得：， ∵， ∴当，时，随的增大而增大， ∴售价定为元，公司每天获得的利润最大． 12．（2025·山东枣庄·三模）乒乓球被誉为中国国球，2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图2，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方的高度（的长度），将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度      33 45 49 45 33 0 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象． (2)①乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______；乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______． ②求满足条件的抛物线解析式． (3)如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，如图2，乒乓球台长为，球网高为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计 ）． 【答案】(1)画函数图象见解答过程 (2)①49；230；② (3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值为 【分析】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据描点法画出函数图象即可求解； （2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，；②待定系数法求解析式即可求解； （3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，当时，，代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：描出各点，画出图象如下： （2）解：①观察表格数据，可知当和时，函数值相等， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线开口向下， ∴最高点时，乒乓球与球台之间的距离是， 当时，， ∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是； 故答案为：； ②设抛物线解析式为， 将代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为； （3）解：当时，抛物线的解析式为， 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值为，则平移距离为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当时，， 解得：； 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值为． 13．（2025·山东青岛·二模）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果按每件25元出售，那么每天可销售250件，经调查发现，这种日用品的销售单价每提高5元，其销售量就减少50件．设销售单价为x（元），销售利润为（元），解答下列问题： (1)求销售利润与销售单价x的关系式； (2)为了扩大利润，该商店决定开辟线上网店销售渠道，线上和线下售价保持一致，经过调研，线上每天所获销售利润（元）与销售单价x（元）的关系可以近似地用二次函数来刻画，其图象如图所示．物价部门规定，售价不得高于40元，当售价为多少元时，线上和线下的利润之和最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价为40元时，线上和线下销售的利润之和最大，最大利润是8200元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解题的关键． （1）根据利润等于数量乘以每件的利润建立与销售单价x的关系式即可； （2）先用待定系数法求出的解析式，再建立与销售单价x的函数解析式，由函数的性质和的最大值确定取值范围． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：把代入得： ， 解得：， 设利润之和为w元， ∴抛物线开口向下 对称轴为 ∴当时，w随x增大而增大 时，， 答：当售价为40元时，线上和线下销售的利润之和最大，最大利润是8200元． 14．（2025·山东潍坊·一模）某企业信息部对，两种产品进行市场调研，数据信息分析如下： 信息1：如果单独投资种产品，所获利润（万元）与投资金额（，单位：万元）之间存在如图所示的关系； 信息2：如果单独投资种产品，则所获利润（万元）与投资金额（万元）之间存在如下表所示的关系： （万元） 0 1 2 3 5 …… （万元） 0 1.8 3.2 4.2 5 …… (1)求出与的函数关系式； (2)从所学过的一次函数（）、二次函数（）或反比例函数（）中选择一种适当函数模型，模拟种产品所获利润的变化趋势．请说明选择该模型的理由，并求出与的函数表达式； (3)如果该企业同时对、两种产品共投资16万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案所获得的最大利润． 【答案】(1) (2)由表中数据可知，随的增大而增大，所以不能选反比例函数，且随的变化未呈现均匀的特性，所以不能选一次函数，应选择二次函数模型； (3)投资、产品分别为12万元、4万元，利润最大为9.8万元 【分析】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键． （1）由待定系数法求出与的函数关系式即可； （2）由表中数据可知，随的增大而增大，所以不能选反比例函数，且随的变化未呈现均匀的特性，所以不能选一次函数，应选择二次函数模型，运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （3）求出最大利润为W万元的函数关系式，运用二次函数最值解答即可得到答案． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为 由图1可知，点及点在图象上， 所以， 解得. 所以； （2）解：由表中数据可知，随的增大而增大，所以不能选反比例函数，且随的变化未呈现均匀的特性，所以不能选一次函数，应选择二次函数模型. 设， 将点及代入得， ， 解得， 所以， 将点及代入后适合； （3）解：设总利润万元，投资产品万元，则投资产品万元， 由题可知，. 即，配方得，. 所以当（满足）时，利润最大为9.8万元， 此时投资、产品分别为12万元、4万元. 15．（2025·山东潍坊·一模）杂技是一项古老的传统民间艺术．起源于春秋，兴盛于明清，以功力深厚、技艺精湛著称于世．特别是，“空中飞人”表演惊险刺激，极具观赏性，深受好评（如图1）． 【建立模型】 如图2，演员从旋转木梯点处抛出（将身体看成一点，身体摆动忽略不计）飞到平行于地面的悬吊的平台上，其飞行路线可看作是抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护表演的演员安全．建立如图所示的平面直角坐标系，所在的直线为轴，所在直线为轴，点，点，，，，，． 【解决问题】 (1)当抛物线过点，且与轴交于点时，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米？ (2)设该抛物线的关系式为，抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上，请求出的取值范围； (3)连接，求点到的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设抛物线的关系式为，作轴，垂足为点，作，垂足为点，点的坐标为，再求出点在抛物线上，利用待定系数法求解即可； （2）求出当演员恰好落在点时，求出当演员恰好落在点时，，即可得解； （3）连接，，，求出，作，垂足为点，由勾股定理求出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：因为抛物线过点， 所以设抛物线的关系式为， 作轴，垂足为点，作，垂足为点， 则， 所以四边形为矩形， 所以， 因为， 所以， 所以是等腰直角三角形， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以点的坐标为， 因为，与轴平行，， 所以点在抛物线上， 所以， 所以， 所以抛物线的关系式为， 令，得或（舍去）， 所以的长度至少为； （2）解：当演员恰好落在点时， 因为点的坐标为， 所以， 所以， 把，，代入得到 解得 所以为保证演员表演时落在平台上，的取值范围是； （3）解：连接，，， 因为点的坐标为，点， 所以轴，，，. 作，垂足为点， 所以，， 所以在中，， 设点到的距离为， 因为， 所以， 解得， 所以点到的距离为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2 / 97 学科网（北京）股份有限公司 $