精品解析：河南省驻马店市泌阳县2025—2026学年下期第一次质检测试题 九年级数学

2025-2026学年度下期第一次质检测试题 九年级数学 （注：请在答题卷上答题） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列四个图形中，不属于正方体的表面展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的表面展开图的每个面都有对面，可得答案． 【详解】解：A图中每个面都有对面，故A不符合题意； B图中每个面都有对面，故B不符合题意； C图中每个面都有对面，故C不符合题意； D图中中间层的中间的面没有对面，故D符合题意． 3. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米．则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．将用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，即可作答． 【详解】解：依题意，将用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 当光线从空气中进入水中，由于两种介质不同，光线会发生偏离，这种现象我们把它叫做折射现象．如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了邻补角，如图，先根据邻补角的定义得，再由可得答案． 【详解】解：如图， 由题意得，， ， 故选：C． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，通过计算判别式的值，根据其正负判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，． ∴判别式． ∵． ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选C． 7. 从，0，1三个数中，随机抽取两个不同的数相乘，积为负数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图的方法是解题的关键．画树状图计算即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： ∵一共有6种等可能性，负数有2种等可能性， ∴积为负数的概率是， 故选：B． 8. 如图，菱形中，，点是对角线的中点，点，分别在，上，将沿翻折，得到，当点与点重合时，的长是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质、图形翻折变换的性质以及等角对等边．解题的关键在于利用菱形性质得到相关线段和角的关系，结合翻折性质推出是中点，进而求出的长度．本题可利用菱形的性质，结合翻折的特点，找出线段之间的关系来求解的长度． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ． ∵点是的中点， ∴是、交点（菱形对角线互相平分）． 由于沿翻折得到，点与点重合， ∴， ． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴、 故选：C． 9. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是12，则四边形的面积为（ ） A. 16 B. 20 C. 36 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由题意可知：， ，， ， ，， ，， 阴影部分的面积是12， ， ， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，甲醛检测仪会报警 C. 当时，的阻值为 D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，理解题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式是解题的关键． 根据题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式为，再根据反比例函数的性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由图②得，的阻值与空气中甲醛质量浓度成反比例函数关系， 设反比例函数关系式为， 代入，得， ∴反比例函数关系式为， ∵， ∴的阻值随着空气中甲醛质量浓度的增大而减小， ∴空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大， 故A选项说法正确，不符合题意； 当时，则， 解得， ∵， ∴当时，甲醛检测仪不会报警， 故B选项说法错误，符合题意； 当时，则， 故C选项说法正确，不符合题意； 当时，则， ∴当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于， 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 二，填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式___． 【答案】y=x（答案不唯一） 【解析】 【详解】试题分析：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）， ∵此正比例函数的图象经过一、三象限，∴k＞0． ∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）． 12. 若的解集为，则a的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解一元一次不等式，根据题意可得不等式的两边同时除以时，不等号没有改变，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵，即的解集为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号没有改变， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 某校七年级学生参与“跑步、跳绳、篮球”三个课外活动小组的人数和比例如扇形统计图所示．若参加跑步小组的人数是30人，则全校七年级参加课外活动的总人数是 ______ 人． 【答案】100 【解析】 【分析】本题主要考查了根据扇形统计图求总数，根据参加跑步小组的人数是30人，占总人数的，求出结果即可． 【详解】解：全校七年级参加课外活动的总人数是： （人）， 故答案为：100． 14. 如图，正六边形的边长为3，B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的内角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长就是弧的长，求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，求解． 【详解】解：∵正六边形的边长为3， ∴，， ∴弧的长为：， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图， ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的内角，圆锥的侧面展开图的弧长与底面圆的关系，母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形的关系，勾股定理，弄清弧长与圆锥的底面圆的周长的关系及母线、底面圆的半径和高的关系是解题的关键． 15. 如图，正方形中，，M为对角线上一点，且，N是对角线上的一个动点，连接，则的最小值是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质及相似三角形的判定与性质．过点M作于点E，过点N作于点，利用正方形的性质及等腰直角三角形的性质得出，当M，N，三点共线且垂直于时，有最小值，最小值为的长，证明，利用相似三角形的性质得出，即可得解． 【详解】解：如图，过点M作于点E，过点N作于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴当M，N，三点共线且垂直于时，有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 故答案为：3． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】（1）原式利用算术平方根，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 泌阳花菇，河南省驻马店市泌阳县特产，中国国家地理标志产品．泌阳花菇朵圆、肉厚、质地细腻、色泽洁白、爆花自然、口感鲜嫩、菇香浓郁．另外，泌阳独特的自然环境也决定了“菇中之皇”的称谓．为检测泌阳花菇的质量，该县质量检测部门从甲、乙两农户的花菇中各随机抽取30粒，测量其伞盖直径（单位：mm），然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息． A．两农户的花菇的伞盖直径统计表： 花菇的伞盖直径（mm） 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 甲农户花菇个数 5 10 6 7 2 0 0 0 0 0 乙农户花菇个数 0 0 2 3 6 4 5 4 4 2 B．两农户的花菇的伞盖直径的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 甲农户花菇 46.5 1.4 乙农户花菇 50.5 49 3.9 根据以上信息，回答下列问题： （1）该县质量检测部门进行抽样时，以下操作正确的是______（填序号）； ①从数量足够多的两农户花菇中挑取颗粒大的各30粒； ②将数量足够多的两农户花菇分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒； （2）写出，，的值； （3）某外地客商准备从这两个农户的花菇中选购一批运回销售，根据客商要求，花菇大小要均匀，那么你应向该客商推荐选购______（填“甲”或“乙”）农户的花菇，理由是______． 【答案】（1）② （2），，的值分别为，， （3）甲；甲农户花菇的方差小，花菇大小均匀 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，众数，中位数，方差，抽样调查， 对于（1），根据数据要有代表性判断即可； 对于（2），根据加权平均数的定义求出a，再根据中位数，众数的定义解答即可； 对于（3），根据方差的性质解答． 【小问1详解】 解：抽样调查要有代表性，所以要将数量足够多的两农户花菇分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各抽取30粒. 故答案为：②； 【小问2详解】 解：甲农户花菇的伞盖直径的平均数， 乙农户花菇的伞盖直径的第15个和第16个数据是50和51，则中位数为， 甲农户花菇的伞盖直径的众数为， 答：，，的值分别为，，； 【小问3详解】 解：甲， 理由：甲农户花菇的方差小，花菇大小均匀． 故答案为：甲；甲农户花菇的方差小，花菇大小均匀． 18. 在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上． （1）确定反比例函数的关系式； （2）现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点的对应点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点B作轴于点D，证明，可得，，可求出点B的坐标，即可求解； （2）先求出时，可得此时点A移动了3个单位长度，即C也移动了3个单位长度，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点B作轴于点D， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点的坐标为，顶点的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴设反比例函数的关系式为， 将代入得：， ∴反比例函数的关系式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得：， 当顶点A恰好落在该双曲线上时， 此时点A向右移动了3个单位长度， ∴C也向右移动了3个单位长度， ∵点的坐标为， ∴点C的对应点的坐标为． 19. 如图，已知． （1）尺规作图：作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若的半径为10，点到BC的距离为6，求BC的长． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）16 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识， （1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心，然后以点O为圆心，以为半径画圆即可； （2）作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于． 在中，，， ， ， ， ． 20. “植树节”期间，我校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元． （1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元； （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 【答案】（1）购买一棵甲种树苗需要30元，一棵乙种树苗需要60元 （2）购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，才能使购买树苗的总费用最少 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设购买一棵甲种树苗需要元，一棵乙种树苗需要元，根据购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗棵，根据购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设总费用为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购买一棵甲种树苗需要元，一棵乙种树苗需要元， 由题意：， 解得：， 答：购买一棵甲种树苗需要30元，一棵乙种树苗需要60元； 【小问2详解】 解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 由题意得：， 解得：， 设总费用为元， 由题意得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时，， 答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，才能使购买树苗的总费用最少． 21. 如图①，河南省驻马店市泌阳县盘古山被誉为“中国盘古圣地”，盘古山拜祖广场中央矗立着一尊汉白玉盘古始祖像．某数学兴趣小组把“测量盘古始祖像高度”作为一项课题活动，制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量盘古始祖像高度 测量示意图 测量方案 盘古始祖像垂直于地面，基座及像高为，在地面点两处分别测得和的度数及两点间的距离．（在同一直线上，所有点均在同一平面内） 测量数据 ，，米 参考数据 ，， 解决问题 （1）请你帮助该兴趣小组同学根据表中的测量数据，求盘古始祖像的高度；（结果精确到0.1米） （2）该数学兴趣小组通过查阅资料，发现盘古始祖像高度约为9.51米，寓意“九五至尊，九九归一”，请计算本次测量值与真实值的偏差，并提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】（1）米 （2）本次测量值与真实值的偏差为米；建议：多次测量取平均值 【解析】 【分析】（1）首先求出，设，则，然后在中解直角三角形即可； （2）用测量值与真实值作差，然后提出建议即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴盘古始祖像的高度为米； 【小问2详解】 解：（米） ∴本次测量值与真实值的偏差为米； 建议：多次测量取平均值． 22. 二次函数的图象经过，两点，顶点为． （1）求二次函数的表达式和顶点的坐标． （2）如图1，将二次函数的图象沿轴方向向左平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最小值是，求的值． 【答案】（1），顶点G的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数图象的平移，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及平移规律． （1）利用待定系数法求解析式，将二次函数一般式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）根据平移规律可得新抛物线解析式为，根据对称轴与区间范围的中轴线之间的关系讨论即可． 【小问1详解】 解：将，代入， 则， 解得， ， ， 当时，取最小值，最小值为， 顶点G的坐标为． 【小问2详解】 解：根据平移规律可得新抛物线解析式为：， ∴对称轴为直线，最小值为， ， ， 新函数的最小值是， ∴，即， ∴当时，y取最小值是，代入解析式得：， 解得：（舍去），， 综上可知，． 23. 在中，，，，如图 1，将沿着进行翻折，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，射线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N，线段与交于点P． （1）在图 1 中，求证：； （2）在图 2 中，绕点D旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）在绕点D旋转的过程中， ①如图 3，当时，求的长； ②当经过点B时，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：由折叠的性质，得，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2） ， 证明如下：连接，如图所示． 由旋转的性质，得，， 在与中， ∴， ∴； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得，，，再根据推得，根据平行线的性质得出，，从而得，根据等角对等边即可证明； （2）连接，由旋转的性质得，，据此可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质可得出与的数量关系； （3）①先利用勾股定理求出，再由（1）得，根据三角形中位线的性质得出，根据勾股定理求出，根据矩形的判定和性质得出，根据三角形的面积求出，，利用勾股定理求得，再利用，求得，再用勾股定理求得； ②设，则．由旋转的性质得，，再根据得，根据等边对等角得出，从而得，根据等角对等边得出，然后根据勾股定理求出的值，从而可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①过点作于点，交于点，如图所示． 在中，，，， 由勾股定理，得． 由（1）可知，，，， ∴， ∴是的中位线， ∴． 在中，由勾股定理，得． 由旋转的性质，得，， ∴， 四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ ， ∴， 又， ， ， 解得：， ； ②． 理由：如图，设，则． 由旋转的性质，得，． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了旋转变换，轴对称的性质，直角三角形全等的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期第一次质检测试题 九年级数学 （注：请在答题卷上答题） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图形中，不属于正方体的表面展开图的是（ ） A. B. C. D. 3. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米．则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 当光线从空气中进入水中，由于两种介质不同，光线会发生偏离，这种现象我们把它叫做折射现象．如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 7. 从，0，1三个数中，随机抽取两个不同的数相乘，积为负数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，，点是对角线的中点，点，分别在，上，将沿翻折，得到，当点与点重合时，的长是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 9. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是12，则四边形的面积为（ ） A. 16 B. 20 C. 36 D. 40 10. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，甲醛检测仪会报警 C. 当时，的阻值为 D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 二，填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式___． 12. 若的解集为，则a的取值范围是_____________． 13. 某校七年级学生参与“跑步、跳绳、篮球”三个课外活动小组的人数和比例如扇形统计图所示．若参加跑步小组的人数是30人，则全校七年级参加课外活动的总人数是 ______ 人． 14. 如图，正六边形的边长为3，B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为___________． 15. 如图，正方形中，，M为对角线上一点，且，N是对角线上的一个动点，连接，则的最小值是___________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 泌阳花菇，河南省驻马店市泌阳县特产，中国国家地理标志产品．泌阳花菇朵圆、肉厚、质地细腻、色泽洁白、爆花自然、口感鲜嫩、菇香浓郁．另外，泌阳独特的自然环境也决定了“菇中之皇”的称谓．为检测泌阳花菇的质量，该县质量检测部门从甲、乙两农户的花菇中各随机抽取30粒，测量其伞盖直径（单位：mm），然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息． A．两农户的花菇的伞盖直径统计表： 花菇的伞盖直径（mm） 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 甲农户花菇个数 5 10 6 7 2 0 0 0 0 0 乙农户花菇个数 0 0 2 3 6 4 5 4 4 2 B．两农户的花菇的伞盖直径的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 甲农户花菇 46.5 1.4 乙农户花菇 50.5 49 3.9 根据以上信息，回答下列问题： （1）该县质量检测部门进行抽样时，以下操作正确的是______（填序号）； ①从数量足够多的两农户花菇中挑取颗粒大的各30粒； ②将数量足够多的两农户花菇分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒； （2）写出，，的值； （3）某外地客商准备从这两个农户的花菇中选购一批运回销售，根据客商要求，花菇大小要均匀，那么你应向该客商推荐选购______（填“甲”或“乙”）农户的花菇，理由是______． 18. 在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上． （1）确定反比例函数的关系式； （2）现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点的对应点的坐标． 19. 如图，已知． （1）尺规作图：作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若的半径为10，点到BC的距离为6，求BC的长． 20. “植树节”期间，我校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元． （1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元； （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 21. 如图①，河南省驻马店市泌阳县盘古山被誉为“中国盘古圣地”，盘古山拜祖广场中央矗立着一尊汉白玉盘古始祖像．某数学兴趣小组把“测量盘古始祖像高度”作为一项课题活动，制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量盘古始祖像高度 测量示意图 测量方案 盘古始祖像垂直于地面，基座及像高为，在地面点两处分别测得和的度数及两点间的距离．（在同一直线上，所有点均在同一平面内） 测量数据 ，，米 参考数据 ，， 解决问题 （1）请你帮助该兴趣小组同学根据表中的测量数据，求盘古始祖像的高度；（结果精确到0.1米） （2）该数学兴趣小组通过查阅资料，发现盘古始祖像高度约为9.51米，寓意“九五至尊，九九归一”，请计算本次测量值与真实值的偏差，并提出一条减小误差的合理化建议． 22. 二次函数的图象经过，两点，顶点为． （1）求二次函数的表达式和顶点的坐标． （2）如图1，将二次函数的图象沿轴方向向左平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最小值是，求的值． 23. 在中，，，，如图 1，将沿着进行翻折，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，射线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N，线段与交于点P． （1）在图 1 中，求证：； （2）在图 2 中，绕点D旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）在绕点D旋转的过程中， ①如图 3，当时，求的长； ②当经过点B时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $