第六章平面向量及其应用 章末综合检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章《平面向量及其应用》章末综合检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 D 0 A A ABD ABC ABD 一 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1,已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2,且a1(a-b),则实数x等于 A.9 B.4 C.0 D.-4 【解折】Aa-万=(1-x,4),又a-6=0,故1-x+2×4=0,所以x=9. 2.设m,”是两个不共线的向量，若AB=m+5元，BC=-2m+8万，CD=4m+2元，则( A.B.C.D 三点共线 B.4B,C三点共线 c.4C,D 三点共线 D.4B,D 三点共线 【解析】D因为BC丰CD_5m+10n,=2AB,故4，B,D三点共线. 3在AABC中，已知角A'B的对边分别为a6'A=异，B= 6’a=2,则b=( ) A.1 B.V2 C.2V2 D.2V5 【解折1B在△C中，4-子.8-爱 b 6,a=2,由正弦定理得sin A sin B, 试卷第1页，共3页 2sinπ 1 2 b=- “6= 2=2 所以 sin- 4 4等题三角形ABC中，MB=AC,D,E在边BC上，满足BD=DE=EC,则下列各式 中正确的是() A.AD=AE B.BD=CE C.AB+AE=AC+AD D.AB+AC=AD+AE 【解析】D B D E C 对于A,如图，D与正方向不同，故A错误： 对于B,BD与CE方向相反，故B错误： 对于C,因D,E在边BC上，满足 BD=DE=EC 则B+A正=2D,AC+AD=2A正，由A项知D与AE不相等，故C错误： 对于D,由图知，AB+AC=AD+DB+AE+EC-AD+AE+(DB+EC), 因DB+EC=0,故有B+AC=AD+花，即D正确 3在△ABC中，若sinC-sinB=cos2 ,则△ABC是(） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 试卷第2页，共3页 【解析】A因为 inC.sinB=cos241+cos 2-2 ,整理得到 2sinC.sinB=1+cos A=1-cos(C+B)=1-cos Ccos B+sinC.sinB cos CcosB+sinC.sinB=cos(C-B)=1 又0<C<元，0<B<T,得到<C-B<元，所以C-B=0,即C=B, 3元 6.已知向量a与6的夹角为4，且1aV216则6-2a在a上的投影向量为() 3 B.2 2 D. 3π 【解析】C由向量ā与6的夹角为4，且a=V2b1, 肉26-a61cr-号=-. 则6-2)a=a-6-2a2=-16P416=-516P. ⑥-20aa=-5a 所以b-2a在a上的投影向量为ā下 2 7,如图，A,8,C为菜山脚两侧共线的三点，在山顶°处测得三点的俯角分别为 a=60°B=45°y=3 °，现需要沿直线4C开通穿山隧道DE,已知BC=150m D=30m,EB=20m,则隧道DE的长度为() A D EB 试卷第3页，共3页 A.100+100W3m B.150+100V5m c.150W2+150W6mD.100W2+100W6m AC PH =h 【解析】A过”向AC作垂线，垂足为尸，设 j… AD H EB 则在直角三角形PHB中可知BH=h,在直角三角形PHC中可知CH=VBh 在直角三角形PHM中可h=5, 3 图为C8=C,折以N3h-h=I50,即M50-755 因此可得DE=DH+EH=VBA-30+A-20=100N5+100. 8.在平面直角坐标系中，A3,0),B(0,4),集合M=P1OP=AOA+uOB,O阿≤2，下列 结论正确的是() 元_4 ①点C(3,1刂∈M;②若∠A0P=45°，则43：③ +μ 「557 6'6:④PA-PB∈-6,6. A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④ 试卷第4页，共3页 【解析】B对于O,若点C3,1∈M,则OP=oC=(3, 因为0P=01+u0B=3,0+u0,4)=(3,4u 「2=1 所以3=3，解得 1,此时 4u=1 μ=4 ,oP=32+P=10>21 不满足丽≤2，所以点C3,1gM,故①错误： 对于②，因为0F=201+40历=(3况，4圳，且∠10P=45,所以tan∠40P=1. ,24 根据正切函数的定义m∠A0P数=1，则：，故②正确： 3入 对于③，因为0F≤2，所以V3)+(4u2≤2，即92+162≤4. 令元+u=1,则μ=1-元，代入912+16u≤4可得912+16(t-)°≤4 252-32t2+16t2-4≤0 展开并整理得 因为关于元的一元二次不等式有解，所以其判别式△=(-32)°-4×25×162-4到≥0， s1s3 即10242-160r2+400≥0，化简得57612≤400，解得-6 61 「55 所以元+u66,故③正确： 对于@，因为P=(3-3,4知，P陌=(-32,4-4圳 所PAPB=-(3-3A刘-3+(-4j(4-4n=92-92+162-16u 由9+16≤4，令=3，y=4,则r+广≤4 所以PaP8=922-9A+16r2-16=x2+y）-3x+4划 令z=3x+4y,所以y=3 4 +4,所以当该直线与圆x2+y2=4相切时，取最值. 试卷第5页，共3页 联立直线与网的方程得-子+4化简得256 令判别式4=0，则36c-1002-64)=0,解得2=士10， 所u3+4y-10,10,而 +川-+亮+层新八a 所以P4PB=+y)-(3x+4-6,14,故④错误 二，多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知向量ā=(-2,3到，6=(1，-2，则下列说法正确的是(） Aa+=2 Bats L6 C.若a+6与a+kb的夹角为锐角，则k的取值范围为 0,3 5V26 D.a与a+b夹角的余弦值为26 【解折】ABD对于A,+6=(-2,3+(1,-2)=(-1山，则 a+b=V-1子+12=V2,故A正确： 对于B,因为a+6-司号5a+j小6=子+号-0 试卷第6页，共3页 a+b,故B正确： ,8 所以 5 对于C,ā+5=(k-2,3-2k),若a+b与d+历的夹角为锐角， 则得a+bā+5)>0，且a+万与a+6不共线（同向）， [5-3k>0 5 {-×3-2)-1x1k-2≠0：解得：k<亏k1 则的取值箱为：小到 故C错误； 对于D,a:a+b=-2×(-1)+3x1=5,ld=V-22+32=V13, a+=-+1P=2,所以a与a+6夹角的余弦值为： cos(a,a+B) aa+b 5 5W26 a.a+B √3×√226，故D正确。 10.在△ABC中，点D是AB边上的四等分点，且AD=3DB,AC边上存在点E满足 1=CE1>0,直线CD和直线E交于点F,若C=DF(>0),则(） B A.CD-C+CB B.2μ=4 164 C乎.EAs1 C.元4的最小值为8 D.CD.CA3 【解折】ABc对于A,CD-+而-C+=a+C历-C可列-a+CB, 试卷第7页，共3页 故A正确. 对于B,因为豆-正，所以aa,④=中a, 由AE,C三点共线可得，BE=BA+,1BC 1+2 '1+2 因为元=DF,所以FC=DC,DF=LDC. 1+4 1+4 由D,F,C三点共线可得， 原片面+c厨 1+41+4 11九4 而BF∥BE,所以有1+元1+41+元4(I+),整理得=4，故B正确。 对于c.因为，则丝-162291- 当且仅当分-162，即天-4时取等号，故C正确 对于.因为不a-(品m(可。 CF.EAH入_」 4 4 4 所以CD.Ca1+业1+21+u+入+“5+2+4下 ,249 +元5+2，. 4 4、1 当且仅当入=无即入=2时取等号.而)>行，故D错误， 1在△1BC中，内角，8，C的对边分别为”，6，C.若 A B C a b c2c-a=2bcosA ,则下列 选项正确的是() A.B=60° B.若D是4C边上的一点，且2CD=DA,BD=4,则△ABC的面积的最大值为 6W5 试卷第8页，共3页 C若△ABC是钝角三角形，则最大边与最小边比值的取值范围是山，2) 21 D.若0是△ABC的外心，OB=2mOA+nOC,则m+n最小值为 【解析】ABD对于A,2c-a=2 bcosA,由正弦定理，2sinC-sinA=2 sinBcosA 所 以 2sin(A+B)-sinA=2sinBcosA, 2sinAcos B+2cos Asin B-sinA=2sinBcosA, 所以2 cosBsinA-sinA=0,因为A∈(0，元，所以sinA>0, 所以CosB= 2B∈0，，所以B=号故A正确： 对于B.D是AC边上的一点，且2CD=DA, 则有2D-BC到=B1-D,即8D号8C+号B, 由BC=a,B=c,BD=4,B-, 而-c+}丽，所以16-音a+5c+号c 9 99 所以ac≤24，当且仅当a=2W3,c=4V5时等号成立， 4ABC的面积 所以 ac≤6V5,故B正确。 对 于C,不妨设 C最大， 则 试卷第9页，共3页 Sin 2sin 4+3 1 c=sinC sin(A+B) 43 -cos A 1 5 2 a sin A sin A sin A sin A 2 tan A 又因为A4BC是钝角三角形，所以C=2T 3 ,解得0<A<π A>π 3 3 1 所以 +2、1 tan 4<. 所以7anA2十3二2，故c错误： 3 2 对于n若o是AlBc的外d,有0丽-@网-0，Oi0C=2B=号 由OB=2mOA+n0c,所以OB=4m2OA+n2OC-2mnOA0C, 得1=4m2+n2-2mn=(n-m)2+3m2, 设 n-m=cos0, 3m sin0, 则 m+n=cose+smsv gsin(0+)≥-2团 3 其中tan6= 2,当sin(0+p)=-1取“”，所以D正确 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量ā=(2,0)，b=(1,4),则a+6= 【解析】a+6=(3,4),则a+6=V32+4=5 13.在△ABC中，AB=2AC=8,∠BAC=60°， BC=4BD,则AD= 【解析】在△ABC中，AB=8,AC=4,∠BAC=60°， 试卷第10页，共3页 第六章《平面向量及其应用》章末综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，向量，则实数x等于 A. 9 B. 4 C. 0 D. 2. 设是两个不共线的向量，若则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 3. 在中，已知角，的对边分别为，，，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 等腰三角形中，在边上，满足，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 6. 已知向量与夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（ ） A. B. B. D. 8. 在平面直角坐标系中，，，集合，下列结论正确的是（   ） ①点；②若，则；③；④． A. ①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若与的夹角为锐角，则的取值范围为 D. 与夹角的余弦值为 10. 在中，点是边上的四等分点，且，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（   ） A． B． C．的最小值为 D． 11. 在中，内角，，的对边分别为，，．若，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为 C. 若是钝角三角形，则最大边与最小边比值的取值范围是 D. 若是的外心，，则最小值为 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则________. 13. 在中，，，，则________. 14. 设向量，的夹角为，定义，若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，则的最大值为_________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求角A； （2）若，，求边c及的面积. 16. 已知，，. （1）求向量与的夹角； （2）若，且.求及. 17. 如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶4分钟后，到达处，此时测得仰角，且. （1）求此山的高的值； （2）求该车从到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值． 18. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知． （1）若，求； （2）求的取值范围； （3）设是边上一点，若，，记，的面积分别为，，求的值． 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数. （1）记的相伴函数为，当时，若，求的值； （2）已知动点满足，且的相伴函数在时取得最大值，求的最小值； （3）已知为函数的相伴向量，在中，，，且点为的外心，求的最大值. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $