专题03 中心对称与图形变化综合题七类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

专题03 中心对称与图形变化综合题七类题型 典例详解 类型一、成中心对称图形的识别 类型二、求图形的对称中心 类型三、利用中心对称的性质求解 类型四、平行四边形的中心对称性质求解 类型五、平面直角坐标系上求中心对称图形坐标 类型六、中心对称图形规律探究 类型七、过对称中心直线切割中心对称图形 压轴专练 类型一、成中心对称图形的识别 例1（24-25八年级下·浙江宁波·月考）两个全等的平行四边形，对角线的交点重合，若旋转其中一个，则两个四边形重叠部分的形状不可能是（    ） A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．八边形 变式1-1（25-26九年级下·北京·月考）下列中国风传统图腾的图案中，是中心对称图形的是（    ） A． B． B． C． D． 变式1-2（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）在数学中，有很多图形是以著名的数学家的名字命名的，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．笛卡尔心形线 B．斐波那契螺旋线 C．赵爽弦图 D．伯努利双纽线 类型二、求图形的对称中心 例2（24-25八年级下·甘肃白银·月考）如图，方格纸中的三个顶点均在格点上，将向右平移格得到再将绕点逆时针旋转得到． (1)在方格纸中画出和； (2)与是否成中心对称？若成中心对称，请指出对称中心． 变式2-1（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知顶点为． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)把向右平移4个单位长度，得到，画出． (3)与关于某点成中心对称，则该对称中心的坐标为________． 变式2-2（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，，线段均在由小正方形组成的方格纸中（点A，B，C，，均在方格纸的格点上）．按要求完成下列各小题． (1)若与关于点O成中心对称（点A，B的对称点分别为点，），在图中画出点O，并补全； (2)在（1）的基础上，在图中画出绕点O逆时针旋转90°的． 变式2-3（25-26九年级上·全国·课后作业）在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心． 类型三、利用中心对称的性质求解 例3（2025九年级上·全国·专题练习）如图，与关于点D中心对称，连接，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 变式3-1（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 变式3-2（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 类型四、平行四边形的中心对称性质求解 例4（2025·河北·一模）如图，四边形为平行四边形，点从点出发向点运动，为平行四边形的中心，射线和相交于点，若，，则四边形的面积为______． 变式4-1（24-25九年级上·黑龙江·期中）如图，与关于点O成中心对称，的平分线交于点D，若，，则的周长为______．    变式4-2（21-22八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将四边形ABCD分成阴影和空白部分，若阴影部分的面积8cm2，则四边形ABCD的面积为 _____cm2． 变式4-3（20-21八年级下·贵州六盘水·期末）如图，在中，，对角线相交于点O，．点P从A点出发沿方向匀速运动，速度为1，连接并延长交于点Q，设点P的运动时间为t（）． (1)当______时，； (2)当四边形的面积为面积的时，求t的值； (3)是否存在某一时刻t，使点O在线段的垂直平分线上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 类型五、平面直角坐标系上求中心对称图形坐标 例5（2026·陕西·模拟预测）将直线沿轴向下平移个单位长度，若点关于原点的对称点在平移后的直线上，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式5-1（2022·浙江杭州·模拟预测）已知点经变换后到点，下面的说法正确的是（    ） A．点先向上平移个单位，再向左平移个单位到点，则点的坐标为 B．点绕原点按顺时针方向旋转后到点，则点的坐标为 C．点与点关于原点中心对称，则点的坐标为 D．点与点关于轴对称，则点的坐标为 变式5-2（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是某设计师在坐标纸中设计方案图案的部分过程和设计步骤的说明（部分被污染）． (1)设计步骤说明中第一步被污染的部分是________（填“绕点顺时针旋转”，“作关于轴对称”）； (2)依据设计步骤说明中的第二步，帮设计师在坐标纸中补全图形，并写出点关于原点对称的点的坐标． 类型六、中心对称图形规律探究 例6（21-22七年级下·贵州遵义·期中）已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 变式6-1（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 变式6-2（22-23八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 变式6-3（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 类型七、过对称中心直线切割中心对称图形 例7（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，，，若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（    ） A． B． B． C． D． 变式7-1（25-26八年级上·山东淄博·期中）善于钻研的小聪同学发现，长方形也是中心对称图形，在一块大长方形铁皮上裁去一个小长方形得到了如图所示的直角铁皮，若用一条直线l将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线l有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 变式7-2（23-24八年级下·山东枣庄·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 1．（2025八年级上·山东·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（2022·湖南长沙·二模）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 3．（25-26七年级上·上海·期末）如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 5．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别为，，，点在边上，． (1)求线段所在直线的函数表达式； (2)点为线段上的一个动点，点与点关于点成中心对称，设点的坐标为． ①求关于的函数表达式； ②当点在的内部运动时（不包括边界），求的取值范围； (3)约定：如果点把线段分成两条线段和，且，则我们称点为线段的“邻分点”．在（2）的条件下，点为线段的“邻分点”，点为线段的“邻分点”，连接，，在点运动的过程中，的面积是否发生变化？若不变，请直接写出的面积；若改变，请说明理由． 参考公式：两点，，则它们中点的坐标为 6．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系的各顶点在网格线的交点处． (1)画出将绕原点顺时针旋转后得到的； (2)画出关于原点成中心对称的，并分别写出点的坐标． 7．（23-24七年级下·全国·课后作业）知识背景：任意一条过中心对称图形的对称中心的直线都将其分成面积相等的两个部分． (1)如图①，直线m经过平行四边形的两条对角线的交点O，则_______；（填“”“ ”或“”） (2)两个大小不等的正方形按图②摆放，O为小正方形的两条对角线的交点，求作一条过点O的直线，使整个图形分成面积相等的两部分； (3)十个大小相同的正方形按图③摆放，求作一条直线，使整个图形分成面积相等的两部分． 8．（2026·安徽宿州·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和点M均为格点（网格线的交点）． (1)画出关于y轴对称的； (2)画出关于点M成中心对称的． 9．（22-23九年级上·广西钦州·周测）如图，和是平行四边形外的两个等边三角形，用旋转的知识说明，和成中心对称． 10．（23-24八年级下·陕西西安·月考）如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．    (1)E是线段的 ，点A与点F关于点 成中心对称； (2)若，求证：是等腰三角形． 11．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）【情境】嘉淇同学利用几何软件画出如图1所示的箭头，箭头的顶点均在格点上，继续画出两条直线，作出箭头关于直线对称的箭头，再作出箭头关于直线对称的箭头，对应点的连线、分别与对称轴相交于点、． 【探究】 情形一：当直线与直线平行时，如图2． (1)箭头可以看作是箭头沿着射线方向平移而成的图形，平移的距离等于线段_____的长度； (2)试说明：； 情形二：当直线与直线相交于点时，如图3． (3)箭头可以看作是箭头绕着点_____旋转而成的图形，旋转角为_____，与的数量关系为_____； (4)【拓展】当直线与直线垂直时，箭头与箭头是否关于点成中心对称？_____（填“是”或“否”）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 中心对称与图形变化综合题七类题型 典例详解 类型一、成中心对称图形的识别 类型二、求图形的对称中心 类型三、利用中心对称的性质求解 类型四、平行四边形的中心对称性质求解 类型五、平面直角坐标系上求中心对称图形坐标 类型六、中心对称图形规律探究 类型七、过对称中心直线切割中心对称图形 压轴专练 类型一、成中心对称图形的识别 例1（24-25八年级下·浙江宁波·月考）两个全等的平行四边形，对角线的交点重合，若旋转其中一个，则两个四边形重叠部分的形状不可能是（    ） A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．八边形 【答案】A 【分析】两个全等平行四边形对称中心重合，重叠部分为中心对称图形，中心对称多边形的边数必为偶数，据此可判断出不可能的形状. 【详解】解：∵两个全等平行四边形对角线交点重合，即对称中心重合， ∴重叠部分关于该交点中心对称， ∵中心对称多边形的边数一定为偶数，三角形边数为奇数，不可能是中心对称图形， ∴重叠部分的形状不可能是三角形. 变式1-1（25-26九年级下·北京·月考）下列中国风传统图腾的图案中，是中心对称图形的是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、图案不是中心对称图形，不符合题意； B、图案不是中心对称图形，不符合题意； C、图案是中心对称图形，符合题意； D、图案不是中心对称图形，不符合题意． 变式1-2（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）在数学中，有很多图形是以著名的数学家的名字命名的，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．笛卡尔心形线 B．斐波那契螺旋线 C．赵爽弦图 D．伯努利双纽线 【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 类型二、求图形的对称中心 例2（24-25八年级下·甘肃白银·月考）如图，方格纸中的三个顶点均在格点上，将向右平移格得到再将绕点逆时针旋转得到． (1)在方格纸中画出和； (2)与是否成中心对称？若成中心对称，请指出对称中心． 【答案】(1)见解析 (2)是中心对称，点即为对称中心 【分析】（1）根据平移的性质、旋转的性质作图即可． （2）分别连接相交于点，则点即为对称中心． 【详解】（1）解：如图，和即为所求． （2）解：与成中心对称． 如图，分别连接，，相交于点， 则点即为对称中心． 变式2-1（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知顶点为． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)把向右平移4个单位长度，得到，画出． (3)与关于某点成中心对称，则该对称中心的坐标为________． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3) 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称、中心对称及平移的性质，熟练掌握点的坐标关于原点对称、中心对称及平移的性质是解题的关键； （1）分别得出点A、B、C关于原点对称的点，然后问题可求解； （2）根据平移方式可进行作图； （3）分别连接，然后根据坐标系可进行求解． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作如图所示； （3）解：分别连接，由坐标系可知：该对称中心的坐标为； 故答案为：． 变式2-2（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，，线段均在由小正方形组成的方格纸中（点A，B，C，，均在方格纸的格点上）．按要求完成下列各小题． (1)若与关于点O成中心对称（点A，B的对称点分别为点，），在图中画出点O，并补全； (2)在（1）的基础上，在图中画出绕点O逆时针旋转90°的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称图形，旋转作图，掌握中心对称图形的性质是解题的关键． （1）连接，，它们的交点即为对称中心O，进而可画出点C的对称点，即可解答； （2）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）解：所求图形，如图所示． （2）解：如图，为所求． 变式2-3（25-26九年级上·全国·课后作业）在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心． 【答案】，，中是中心对称图形，对称中心见解析 【分析】本题考查识别图形的中心对称性．要注意正确区分轴对称图形和中心对称图形，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合．根据中心对称图形的定义，抓住所给图案的特征，可找出图中成中心对称图形的字母，再标出它们的对称中心． 【详解】解：根据题意，上述汉字或字母是中心对称图形的有：，，中．“由”不是中心对称图形； 如图所示，，，中的对称中心为图形中的点． 类型三、利用中心对称的性质求解 例3（2025九年级上·全国·专题练习）如图，与关于点D中心对称，连接，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等． 根据中心对称图形的性质可得结论． 【详解】解：∵与关于点D中心对称， ∴，，，， ∴，， ∴选项A、C、D正确； 无法证明， ∴选项B错误； 故选：B． 变式3-1（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握中心对称的性质，勾股定理解直角三角形，中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等． 根据与关于点成中心对称，得到，并利用勾股定理求得的值，最后得到的值，完成求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， 故, 根据勾股定理，， 故． 故选：B． 变式3-2（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称及等边三角形的性质，熟知等边三角形的性质及中心对称的性质是解题的关键． 先求出及的长，进一步得出及的长，据此求出的长，最后用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形，O为的中点，， ∴，． 在中， ． ∵与关于点B中心对称， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 类型四、平行四边形的中心对称性质求解 例4（2025·河北·一模）如图，四边形为平行四边形，点从点出发向点运动，为平行四边形的中心，射线和相交于点，若，，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接，由得，所以，，由平行四边形的性质得，所以，，最后根据，即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是关于点的中心对称，为过中心的线段， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，、、三点在同一直线上， ， ， ， 故答案为：． 变式4-1（24-25九年级上·黑龙江·期中）如图，与关于点O成中心对称，的平分线交于点D，若，，则的周长为______．    【答案】16 【分析】题目主要考查平行四边形的性质及中心对称图形的性质，等角对等边等，根据平行四边形的性质和等角对等边得出，确定，结合中心对称图形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为：， ∵与关于点O成中心对称， ∴的周长为16， 故答案为：16． 变式4-2（21-22八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将四边形ABCD分成阴影和空白部分，若阴影部分的面积8cm2，则四边形ABCD的面积为 _____cm2． 【答案】16 【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵O是平行四边形两条对角线的交点，平行四边形ABCD是中心对称图形， ∴△OEF≌△OHM，四边形OFBG≌四边形OMDN，四边形OGCH≌四边形ONAE， ∴S平行四边形ABCD=2阴影部分的面积=2×8=16（cm2）． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了中心对称，平行四边形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半是解题的关键． 变式4-3（20-21八年级下·贵州六盘水·期末）如图，在中，，对角线相交于点O，．点P从A点出发沿方向匀速运动，速度为1，连接并延长交于点Q，设点P的运动时间为t（）． (1)当______时，； (2)当四边形的面积为面积的时，求t的值； (3)是否存在某一时刻t，使点O在线段的垂直平分线上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或0.7 (2) (3)存在， 【分析】（1）当时，由中心对称知，，，当时， 由，得 ，当，不平行时，过O作于点H，由的面积可得，得，由，得，可得 （2）过点O作于点H，知，由得，由，得，解得 （3）由线段垂直平分线性质得，由 ，，可得，可得时点O在线段的垂直平分线上． 【详解】（1）解：当时， ∵是中心对称图形， ∴， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 由中心对称知，， ∴， ∵点P匀速运动的速度为1，运动时间为t， ∴， ∵， ∴； 当，不平行时， 过O作于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或0.7 （2）过点O作于点H， 由（1）知，， ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 （3）若点O在线段的垂直平分线上， 则为的垂直平分线， ∴， 由（1）知，，， 在中， ∴， 解得或（舍去） ∴时，点O在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查平行四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形的判定与性质，中心对称性质，勾股定理，三角形面积公式，线段垂直平分线性质，是解题的关键． 类型五、平面直角坐标系上求中心对称图形坐标 例5（2026·陕西·模拟预测）将直线沿轴向下平移个单位长度，若点关于原点的对称点在平移后的直线上，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后直线的解析式，再求出点A关于原点的对称点坐标，将对称点坐标代入解析式即可求出m的值． 【详解】解：∵将直线沿轴向下平移个单位长度，根据一次函数平移规律，可得平移后的直线解析式为． ∵点关于原点对称，关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， ∴点A关于原点的对称点坐标为． ∵该对称点落在平移后的直线上， ∴将代入，得， 解得． 变式5-1（2022·浙江杭州·模拟预测）已知点经变换后到点，下面的说法正确的是（    ） A．点先向上平移个单位，再向左平移个单位到点，则点的坐标为 B．点绕原点按顺时针方向旋转后到点，则点的坐标为 C．点与点关于原点中心对称，则点的坐标为 D．点与点关于轴对称，则点的坐标为 【答案】B 【分析】根据点坐标的平移、旋转、中心对称、轴对称的变换规律，逐项判断即可得解． 【详解】解：A、点先向上平移3个单位，再向左平移4个单位后，点的坐标为，即，原说法错误，该选项不符合题意； B、将绕原点顺时针旋转后，坐标变为，说法正确，该选项符合题意； C、点关于原点中心对称的点坐标为，原说法错误，该选项不符合题意； D、点关于轴对称的点坐标为，原说法错误，该选项不符合题意． 变式5-2（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是某设计师在坐标纸中设计方案图案的部分过程和设计步骤的说明（部分被污染）． (1)设计步骤说明中第一步被污染的部分是________（填“绕点顺时针旋转”，“作关于轴对称”）； (2)依据设计步骤说明中的第二步，帮设计师在坐标纸中补全图形，并写出点关于原点对称的点的坐标． 【答案】(1)绕点O顺时针旋转 (2)见解析； 【分析】（1）根据变换前后的图形即可得到答案； （2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此结合图形和点的坐标可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，设计步骤说明中第一步被污染的部分是绕点顺时针旋转； （2）解：如图所示，即为所求： ∵关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数， ∴点关于原点对称的点的坐标为． 类型六、中心对称图形规律探究 例6（21-22七年级下·贵州遵义·期中）已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出前若干个对称点的坐标，总结循环周期，再根据计算结果确定的对应坐标． 【详解】解：设 ∵点关于点的对称点为，是的中点 ∴ ， ． 解得，， 即． 同理可得 ，，，，， ∴点的坐标每次循环一次． ∵ ，余数为， ∴ 的坐标与坐标相同，为． 故选：B． 变式6-1（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【详解】解：如图所示，作轴于点， ，， ， ， ，重合， ， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是； 同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是； 第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，， 故选：D． 变式6-2（22-23八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 变式6-3（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中的点的坐标以及中心对称的性质，解决该题型题目时，根据题意列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键． 根据中心对称的性质找出部分的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，当为奇数时，；当为偶数时，依此规律即可得出结论． 【详解】解： ，，是等腰直角三角形，且， ． 与关于点成中心对称， ． 同理可得，，，…． 设为自然数．当为奇数时，；当为偶数时． 故点的坐标为． 故答案为：． 类型七、过对称中心直线切割中心对称图形 例7（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，，，若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合中心对称图形的性质求解即可． 【详解】解：因为平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，且选项中各图形可看作是由两个平行四边形构成的， 所以只要直线经过两个平行四边形的对称中心，即可这个图形分成面积相等的两个部分，观察可得，选项BCD符合题意， 故选：A． 变式7-1（25-26八年级上·山东淄博·期中）善于钻研的小聪同学发现，长方形也是中心对称图形，在一块大长方形铁皮上裁去一个小长方形得到了如图所示的直角铁皮，若用一条直线l将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线l有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，掌握矩形是中心对称图形是解题的关键．根据矩形的性质画出符合要求的直线l即可解决问题． 【详解】解：如图，补全原图为两个矩形， ∵矩形是中心对称图形， 、分别是大小两个矩形的对称中心， ∴当直线经过点、时，必定平分该直角铁皮的面积， 设交左边长方形的边于点F，交右边长方形的边于点E，的中点为O，N，G为右边长方形的顶点， 当这条直线绕点O旋转时，直线只要经过内部，均平分直角铁皮的面积； 因此还能存在无数条直线将该直角铁皮分成面积相等的两部分， 故选：D ． 变式7-2（23-24八年级下·山东枣庄·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见解析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见解析 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【详解】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 1．（2025八年级上·山东·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：A． 2．（2022·湖南长沙·二模）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化，图形的旋转，要熟练掌握中心对称的两点坐标变化规律，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标各是多少．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【详解】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， ，，，，， 的横坐标是， 当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海·期末）如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【分析】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则 ， ， ， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别为，，，点在边上，． (1)求线段所在直线的函数表达式； (2)点为线段上的一个动点，点与点关于点成中心对称，设点的坐标为． ①求关于的函数表达式； ②当点在的内部运动时（不包括边界），求的取值范围； (3)约定：如果点把线段分成两条线段和，且，则我们称点为线段的“邻分点”．在（2）的条件下，点为线段的“邻分点”，点为线段的“邻分点”，连接，，在点运动的过程中，的面积是否发生变化？若不变，请直接写出的面积；若改变，请说明理由． 参考公式：两点，，则它们中点的坐标为 【答案】(1) (2)①；② (3)不变，的面积为6 【分析】（1）得到轴，从而，运用待定系数法即可求出直线函数表达式； （2）①设的坐标为，根据关于点成中心对称得到，再由在直线上，即可解答； ②分别求出点D在边上时，与当在边上时m的值，即可解答； （3）根据两点间距离公式求得，过点B作于点H，过点N作于点G，连接，根据的面积求得，证明，得到．根据“邻分点”的定义得到，，因此，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴轴， ∵，， ∴． 设直线函数表达式为：， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为． （2）解：①设的坐标为， ∵关于点成中心对称， ， ∵在直线上， ， 整理得：； ②当在边上时，此时，即， ， 当在边上时， ∵的顶点，，的坐标分别为，，， ∴ 设直线函数表达式为： ∵直线过两点， ∴，解得：， ∴直线的函数表达式为， 由得：， ∵不包含边界， ∴； （3）解：不变，的面积为 6．理由如下： 理由如下： ∵，，， ∴， ． 过点B作于点H，过点N作于点G，连接， ∴ ∵，即， ∴． ∵点B与点N关于点M对称， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵点为线段的“邻分点”，点为线段的“邻分点”， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴在点运动的过程中，的面积不变，为6． 【点睛】本题考查待定系数法，中心对称图形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质，新定义等，综合运用相关知识是解题的关键． 6．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系的各顶点在网格线的交点处． (1)画出将绕原点顺时针旋转后得到的； (2)画出关于原点成中心对称的，并分别写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）依据旋转的性质，确定各顶点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标，进而画出． （2）根据中心对称的性质，求出各顶点关于原点对称的点的坐标，画出，并得到的坐标． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示，由图可得． 7．（23-24七年级下·全国·课后作业）知识背景：任意一条过中心对称图形的对称中心的直线都将其分成面积相等的两个部分． (1)如图①，直线m经过平行四边形的两条对角线的交点O，则_______；（填“”“ ”或“”） (2)两个大小不等的正方形按图②摆放，O为小正方形的两条对角线的交点，求作一条过点O的直线，使整个图形分成面积相等的两部分； (3)十个大小相同的正方形按图③摆放，求作一条直线，使整个图形分成面积相等的两部分． 【答案】(1)= (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确找到对称中心是解题的关键； （1）根据知识背景及直线经过平行四边形的对称中心O即可得解； （2）作出大正方形的中心，作经过两正方形的中心的直线即可． （3）把整个图形看成上下两个长方形，分别作出两个长方形的对称中心，再作经过两中心的直线即可；或把整个图形看成左边一个正方形，右边一个长方形，分别作出它们的中心，再作经过两中心的直线即可． 【详解】（1）解：直线经过平行四边形的对称中心O， ， 故答案为：； （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， 8．（2026·安徽宿州·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和点M均为格点（网格线的交点）． (1)画出关于y轴对称的； (2)画出关于点M成中心对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先分别作点A，B，C关于y轴的对称点，，，再连接，，即可； （2）先分别作点A，B，C关于点M的对称点，，，再连接，，即可． 【详解】（1）解：如图，就是所求作的三角形； （2）解：如图，就是所求作的三角形． 9．（22-23九年级上·广西钦州·周测）如图，和是平行四边形外的两个等边三角形，用旋转的知识说明，和成中心对称． 【答案】证明见解析 【分析】连接、，设交点为点O，连接、，利用平行四边形的性质得到，，，，证明得到，再由等边三角形的性质推出，，，进而推出，证明，得到，，紧接着证明，得到，由，从而得出点三点共线，点E绕点O旋转能与点F重合，即绕点O旋转能与重合，最终证得结论． 【详解】证明：如图，连接、，设交点为点O，连接、， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点绕点O旋转能分别与点重合， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，和是等边三角形， ∴，，， ∴，，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴点三点共线，点E绕点O旋转能与点F重合， ∴绕点O旋转能与重合， 即和成中心对称． 10．（23-24八年级下·陕西西安·月考）如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．    (1)E是线段的 ，点A与点F关于点 成中心对称； (2)若，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)中点，E (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称． （1）利用中心对称的性质回答即可， （2）证得，利用等腰三角形的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称， ∴E是线段的中点，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴点A与点F关于点E成中心对称， 故答案为：中点，E； （2）证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形． 11．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）【情境】嘉淇同学利用几何软件画出如图1所示的箭头，箭头的顶点均在格点上，继续画出两条直线，作出箭头关于直线对称的箭头，再作出箭头关于直线对称的箭头，对应点的连线、分别与对称轴相交于点、． 【探究】 情形一：当直线与直线平行时，如图2． (1)箭头可以看作是箭头沿着射线方向平移而成的图形，平移的距离等于线段_____的长度； (2)试说明：； 情形二：当直线与直线相交于点时，如图3． (3)箭头可以看作是箭头绕着点_____旋转而成的图形，旋转角为_____，与的数量关系为_____； (4)【拓展】当直线与直线垂直时，箭头与箭头是否关于点成中心对称？_____（填“是”或“否”）． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)O，，； (4)是 【分析】本题考查了平移、轴对称，中心对称等知识，解题的关键是： （1）根据平移和轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质得出直线垂直平分，直线垂直平分，然后根据垂直平分线的性质即可得证； （3）根据旋转和轴对称的性质求解即可； （4）画出符合题意的图形，然后根据中心对称的定义判断即可． 【详解】（1）解：箭头还可以看作是箭头沿着方向平移而成的图形，平移的距离等于线段的长度， 故答案为：； （2）证明：∵箭头、箭头关于直线对称，箭头、箭头关于直线对称， ∴直线垂直平分，直线垂直平分， ∴，， 又，， ∴ （3）解：箭头可以看作是箭头绕着点O旋转而成的，旋转角为， ∵箭头、箭头关于直线对称，箭头、箭头关于直线对称， ∴， 又，， ∴， 即与的数量关系为， 故答案为：O，，； （4）解：如图， 箭头与箭头的对称关系是关于点O成中心对称， 故答案为：是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $