专题04 平行四边形（暑假复习讲义）新九年级数学新教材浙教版

专题04 平行四边形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构→ 系统讲解核心重难点，整合为专题知识体系 03 题型突破→ 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 平行四边形的判定 题型2 平行四边形的性质求解 题型3 平行四边形的证明 题型4 平行四边形中的面积与最值问题 题型5 三角形中位线与平行四边形综合 题型6 平行四边形中的规律探究与新定义 题型7 平行四边形实际综合问题 04综合通关→ 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕→ 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1．平行四边形的判定：掌握平行四边形的五种常用判定方法：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两条对角线互相平分、两组对角分别相等。 2.平行四边形的性质：掌握平行四边形对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分等基本性质，并能灵活运用于求线段长和角度。 3.平行四边形的判定与性质综合应用：结合图形条件进行推理证明，通过判定建立平行四边形，再利用性质解决相关问题，是本章最核心的考点。 4.平行四边形中的线段计算问题：利用对边相等、对角线互相平分、中点关系等性质求线段长度，常与方程思想结合考查。 5.平行四边形中的角度计算问题：利用平行线性质、邻角互补、对角相等等关系进行角度求解，是选择题和填空题中的高频题型。 6.平行四边形中的证明问题：通过边、角、对角线等条件证明平行四边形，或证明线段相等、角相等、平行关系等几何结论。 7.三角形中位线及其应用：掌握中位线平行于第三边且等于第三边一半的性质，并能结合平行四边形模型解决综合问题。 8.多边形内角和与外角和：掌握内角和公式、外角和定理及其应用，能够解决正多边形及相关角度计算问题。 9.尺规作图与几何作图问题：掌握平行线、角平分线、中点等基本作图方法，理解作图依据及其对应的几何性质。 10.平行四边形的实际应用与综合探究：结合平移、铺砖、建筑结构等实际背景，利用平行四边形性质建立模型解决问题，并关注规律探究与图形变换类题目。 1．判定与性质综合应用是核心考点：试题常以复杂图形为背景，将平行四边形的判定与性质结合考查，要求先证明平行四边形，再利用其性质解决线段、角度或面积问题。 2.几何证明题占比较高：证明平行、相等、中点及平行四边形成立等问题是本章重点，考查学生的逻辑推理能力和规范书写能力。 3.对角线问题频繁出现：围绕“对角线互相平分”这一核心性质设计题目，常与中点、线段倍分关系及证明问题结合考查。 4.中位线与平行四边形模型深度融合：三角形中位线问题常通过构造平行四边形进行转化，是综合题中的重要解题思路。 5.多边形角度计算逐渐综合化：多边形内角和、外角和问题不再局限于公式计算，常结合图形变换、规律探究和实际情境进行考查。 6.尺规作图与几何作图持续出现：重点考查基本作图方法及作图依据，要求学生理解作图过程背后的几何原理。 7.图形变换与动态探究成为命题热点：平移、折叠、旋转等图形变换常与平行四边形结合，考查图形观察、推理分析和综合建模能力。 8.实际背景与综合应用逐年增多：试题常结合建筑结构、地砖铺设、道路规划等生活情境，考查利用平行四边形及多边形知识解决实际问题的能力。 考情解码：平行四边形是初中几何的重要内容，也是后续学习特殊平行四边形、相似三角形及圆等知识的重要基础。中考主要围绕平行四边形的判定与性质展开考查，重点关注线段、角度计算以及几何证明问题。三角形中位线、中心对称及旋转变换等内容常与平行四边形模型相结合，考查学生对图形性质的理解和运用能力。 试题由基础性质应用逐步向综合探究转变，常通过添加辅助线、构造平行四边形、转化为三角形等方法解决问题。动态几何、图形变换、规律探究及实际情境应用是近年命题热点。反证法虽然单独考查较少，但常作为几何证明的重要思想渗透其中，重点考查学生的直观想象、逻辑推理、图形转化和综合分析能力。 知识点一 多边形与内角和、外角和 多边形的定义：在平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段（不少于3条）首尾顺次相接形成的图形叫作多边形。 多边形中相关概念： 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角。 多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫作多边形的外角。 多边形每一个内角的顶点叫作多边形的顶点。 连结多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线。 多边形的内角和与外角和： 定理1：四边形的内角和等于。 定理2：n边形的内角和为 定理3：任何多边形的外角和为。 正n边形： 若正n边形的每个内角为α， 若正n边形的每个外角为β，则 【易错提醒】 （1）内角和公式易误用：多边形内角和公式为，切勿误写为；已知内角和求边数时，需先通过公式列方程，再解出边数 n，避免直接用内角和除以得到边数。 （2）多边形外角和恒等于360°，与边数无关。正多边形可直接用360°÷单个外角度数快速求边数，无需先算内角再转换。 （3）对角线与内外角关系易错：多边形对角线条数公式为，计算时切勿忘记除以2；正多边形中，内角与外角互为邻补角（和为），可通过此关系快速转换求解，切勿混淆两者的定义。 即时即练如图，，是四边形的外角，若，，则的度数为______． 知识点二 平行四边形及其性质 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”。 平行四边形的性质： 平行四边形的性质1：对边平行且相等； 平行四边形的性质2：对角相等； 平行四边形的性质3：邻角互补； 平行四边形的性质4：对角线互相平分； 平行四边形的性质5：中心对称图形（两条对角线的交点就是它的对称中心）。 平行四边形的对角线将其分成 4 个面积相等的三角形，且相对的两个三角形全等。 过平行四边形对角线交点的任意直线，都能将平行四边形分成面积相等的两部分。 四边形的不稳定性：与三角形的稳定性相反，四边形具有不稳定性的特点。平行四边形的不稳定性在日常生活和生产实际中有许多应用，如衣帽架、伸缩门、可伸缩的遮阳篷等。 平行线间的距离：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离。 性质定理：夹在两条平行线间的平行线段相等。 推论：夹在两条平行线间的垂线段相等。 【易错提醒】 （1）性质概念易混淆：普通平行四边形是中心对称图形（仅对角线交点为对称中心），不是轴对称图形；对角线仅互相平分，不相等也不垂直（矩形对角线才相等，菱形对角线才垂直），切勿混用特殊平行四边形的性质。 （2）平行线间距离的易错点：夹在两条平行线间的线段，只有平行线段或垂线段才相等，任意斜线段长度不一定相等；垂线段的长度才是平行线间的距离，不能把线段本身当作距离。 （3）邻角与对角关系易记反：平行四边形的对角相等、邻角互补，切勿错误认为 “对角互补、邻角相等”；解题时需先确认图形为平行四边形，再套用对边平行且相等、对角线互相平分等性质，不可随意套用在普通四边形上。 即时即练如图，四边形是平行四边形，下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 知识点三 图形的旋转 旋转的定义：在平面内，一个图形变为另一个图形的运动过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫作图形的旋转。这个固定的点叫作旋转中心。 旋转的性质： 图形经过旋转所得的图形和原图形全等。 对应点到旋转中心的距离相等。 任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。 中心对称图形的定义：如果一个图形绕着一个点旋转后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫对称中心。 中心对称的性质：对称中心平分连结两个对称点的线段。 坐标系中的中心对称：在直角坐标系中，点A(x,y)与点B(−x,−y)关于原点成中心对称。 【易错提醒】 （1）旋转核心要素与性质易错：旋转必须同时具备旋转中心、旋转方向、旋转角度三个要素，缺一不可；旋转前后图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，只有对应点与旋转中心连线的夹角才等于旋转角，切勿误将图形上的其他角当作旋转角，也不要忽略旋转方向（顺时针/逆时针）。 （2）中心对称相关概念易混淆：区分中心对称（两个图形的位置关系）与中心对称图形（单个图形自身的性质）。 （3）直角坐标系中，点(x,y)关于原点对称的点坐标为(-x,-y)，易与关于x轴、y轴对称的坐标规律混淆。 （4）中心对称是旋转角为的特殊旋转，其对称中心平分两个对称点连线的线段，解题时可利用该性质快速求对称中心或线段长度。 即时即练如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 知识点四 平行四边形的判定定理 定义判定法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 判定定理（边） 判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 判定定理（对角线） 判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 两组对角：四边形中两组对角相等，能利用“四边形内角和”和“同旁内角互补”推出两组对边分别平行，进而证明该四边形是平行四边形。 【易错提醒】 （1）条件混淆：“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定平行四边形（等腰梯形为反例），仅“一组对边平行且相等”可判定。 （2）对角线判定易错：只有“对角线互相平分”能判定平行四边形，对角线相等/垂直不是普通平行四边形的判定条件。 （3）表述不严谨：使用“两组对边分别平行/相等”“两组对角分别相等”判定时，必须强调“分别”，避免条件缺失。 即时即练如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 知识点五 三角形的中位线 三角形中位线的定义：连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 定理的两个作用：①判断平行关系；②求线段长度。 【易错提醒】 （1）三角形中位线必须连接两边的中点，缺少“中点”条件不能使用中位线定理。 （2）证明中位线问题时，首先检查图中是否出现“中点条件”。 （3）中位线定理经常与平行四边形判定、全等三角形、面积计算等知识综合考查，是初中几何综合题的重要基础模型。 即时即练如图，平行四边形中，对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 知识点六 反证法 反证法的定义：在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫作反证法。 反证法证明的一般步骤： ①假设结论不成立； ②根据假设和已知条件进行推理； ③推出与已知条件、定义、定理或公理相矛盾的结果； ④否定原假设，得出原命题成立。 反证法的核心思想：假设错误结论成立⟹推出矛盾⟹假设错误⟹原结论正确。 【易错提醒】 （1）反证法不是随意假设，而是先假设所要证明结论的反面成立。 （2）推导过程中必须出现明确的矛盾，否则反证法不成立。 常见矛盾有： 与已知条件矛盾； 与定义矛盾； 与定理性质矛盾； 同一个量出现两个不同结果。 （3）反证法中的“矛盾”必须是逻辑上的矛盾，而不是计算复杂或图形不美观。 （4）证明结束时要写出：“这与题意（或已知条件）矛盾，故假设不成立，因此原命题成立。” （5）反证法常用于证明“不存在”“不能”“不可能”“唯一”等问题，当直接证明较困难时，应优先考虑反证法。 即时即练如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（ ） A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④① 题型1 平行四边形的判定 例1．如图，四边形的四边长已标注，，求证：四边形是平行四边形． 例2．如图，在中，，相交于点O，点E在上，点F在上，经过点O．求证：四边形是平行四边形． 【易错提醒】 （1）在原有平行四边形中证明新的平行四边形，容易忘记使用原图形对边平行、对角线互相平分的隐含条件；同时易混淆三角形全等的判定方法，推理依据不严谨。 （2）判定定理使用不规范：证明时只证一组线段相等或一组线段平行，就直接判定四边形为平行四边形，未凑齐对应判定定理的全部条件，属于典型逻辑漏洞。 【变式训练1-1】如图，在中，点，分别在边，上，连接，，，，添加下列条件后不能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，直线交直线于点，交轴于点．在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型2 平行四边形的性质求解 例3．如图，在平行四边形中，，点E、F分别为的中点，连接交于点O，点M为的中点，点N为的中点，则的长为（ ） A．5 B．4 C．3 D．不确定 例4．如图，已知的对角线，相交于点， ，．若，，则四边形的周长为________． 【技巧总结】 （1）中点+平行四边形性质联用 平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分是核心依据；遇到线段中点，可直接得到线段等分、对应线段相等的关系，再利用一组对边平行且相等判定新的平行四边形，以此完成线段等量代换，快速求解线段长度。 （2）平行四边形+角平分线的固定结论 平行四边形邻角互补，搭配内角平分线，可直接推出直角三角形；角平分线与平行线组合，又能得到等腰三角形。这两个结论是解题关键，常结合勾股定理求边长。 【变式训练2-1】如图，在四边形中，，点E在边上，已知，，，，求线段的长． 【变式训练2-2】如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 题型3 平行四边形的证明 例5．如图，在中，的平分线交于点E，若，则的长为（ ） A．4 B．8 C．12 D．16 例6．如图，在中，⊥，⊥，垂足分别为点，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 【变式训练3-1】如图，E、F是的对角线上两点，且，，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 【变式训练3-2】如图，，分别为中，的中点，分别连结，交于点，连结，交于点，连结，．求证：与互相平分． 【易错提醒】 （1）角平分线结合平行四边形：平行四边形对边平行，角平分线会构造出等腰三角形，易无法识别该模型，推不出“等角对等边”；计算边长时，忽略平行四边形对边相等的性质，梳理线段和差关系出现失误。 （2）含垂线、勾股定理的综合：多条线段垂直于对角线时，易忽略“垂直于同一直线的两条直线互相平行”。 （3）多层嵌套平行四边形证明：证明两条线段互相平分时，将问题转化为证明四边形是平行四边形，混淆平行四边形的性质与判定定理。 题型4 平行四边形中的面积与最值问题 例7．如图，在中，相交于点O． (1)求的长； (2)求面积． 例8．如图，在中，，连接，，点G，H分别是，，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的面积为20，，则四边形的面积是______． 【变式训练4-1】在中，于点，于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、，若的面积等于四边形面积的3倍，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使每个三角形的面积等于四边形的面积． 【变式训练4-2】轴对称和平移变换是在解决有关最值问题时常用的思维方法，请利用所学知识解决下列问题： (1)如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，当的值最小时，点的坐标为_____． (2)如图，直线，且，之间的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且．在直线和直线上分别找点，，使得，且的值最小，并求出的最小值． 【易错提醒】 （1）计算平行四边形面积时，需严格遵循底与对应高相乘的公式，切勿用邻边长度直接相乘；涉及中点、线段比例、嵌套图形的面积推导，易混淆图形间的面积倍数关系，也难以借助全等三角形、同底等高的性质准确判断等面积图形。 （2）解决最短路径最值问题时，容易混淆轴对称与平移两类经典模型，辅助线构造出现偏差；在结合一次函数、勾股定理求解坐标与线段长的过程中，计算失误频发，面对含定长垂线段的题型，也无法熟练利用平移完成线段等价转化。 题型5 三角形中位线与平行四边形综合 例9．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边的中点，对角线，则四边形的周长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 例10．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【变式训练5-1】如图，在平面直角坐标系中，，点，．为的中点，连接．把线段沿射线平移至，使点落在轴上，则四边形的面积是（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】如图，在中，D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．求证： (1)四边形是平行四边形； (2)． 【技巧总结】 （1）抓中点条件，直接运用三角形中位线定理 题目出现多个线段中点时，优先联想三角形中位线的两大核心结论：中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。对于任意四边形各边中点依次连接形成的中点四边形，可借助中位线性质推出两组对边分别平行且相等，快速判定其为平行四边形，同时利用该定理完成边长、周长的计算。 （2）合理构造辅助线，串联多知识点综合推导 当题目同时出现中点、角平分线、垂线等条件时，可通过延长线段等方式补全图形，先证明全等三角形或等腰三角形，从而得到新的中点；再结合中位线推出平行线，搭配平行四边形的判定定理完成证明。涉及长度、面积计算时，利用中位线实现线段等量转化后，再结合勾股定理、平面直角坐标系相关知识求解。 题型6 平行四边形中的规律探究与新定义 例11．下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ ） A．39 B．40 C．41 D．42 例12．对于直线，新定义：点为直线的“专属点”．而直线称为关于点的“专属直线”．如：直线的“专属点”为，关于点的“专属直线”的解析式为． (1)直线的专属点是__________； (2)如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，轴，，，，点的坐标为，求关于点的“专属直线”直线的解析式； (3)若关于点的“专属直线”经过点，求点的坐标． 【变式训练6-1】如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的正方形网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上； (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请求出的长度． 【易错提醒】 （1）图形规律计数时，容易漏数、重复统计平行四边形个数；探究循环变换类规律时，周期计算、余数判断易出错，进而导致坐标、图形状态判断错误。 （2）新定义题型中，常无法准确理解题干给出的新概念、新规则，盲目套用常规几何知识，解题方向出现偏差；结合平行四边形性质推理时，逻辑推导不严谨。 （3）涉及新定义几何图形且需要分类讨论的题目，易遗漏讨论情形，最终造成答案不全。 题型7 平行四边形实际综合问题 例13．六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三角形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形外角和为__________． 例14．四边形的不稳定性在实际生活中有着广泛的应用，即四边形的边长一定时，可以发生改变的是（ ） A．内角和 B．内角大小 C．周长 D．外角和 【变式训练7-1】如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】如图，在的方格中，请按以下要求画图： (1)将线段绕点顺时针旋转，画对应线段． (2)以为边画一个格点（顶点均在格点上的四边形），使所在的直线能平分的面积． 【易错提醒】 （1）处理生活实景类问题时，不能顺利将实物抽象为平行四边形几何模型，混用平行线、角平分线的性质，导致角度推导、计算出错。 （2）图形变换与网格作图题中，旋转、轴对称的对应点定位易出现偏差；对“过平行四边形对称中心的直线平分图形面积”这一性质理解不到位，作图不符合题目要求。 （3）易混淆多边形内角和、外角和定理，同时分不清四边形稳定性与不稳定性的特点，基础概念判断失误。 A组 基础过关 1．如图，在四边形中，，，设，则（ ） A． B． C． D． 2．已知正多边形的一个内角为，则这个多边形是（ ） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 3．已知一个多边形的内角和为，则这个多边形的对角线的总条数为（ ） A．40 B．30 C．20 D．5 4．生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ____． 5．如图，在六边形中，． (1)求证：． (2)求的度数． 6．如图，直线，点在直线上，过点向直线引直线，与的交点分别是、D，若测得，并且其中有一条是表示直线与直线之间的距离，那么你认为直线与直线之间的距离应该是（ ） A． B． C． D． 7．如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E在上，点F在上，连接，使恰好经过点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 8．随着航天、人工智能、精密制造等现代科技飞速发展，对称美学已经成为设计的核心语言．现有四幅源自前沿科技领域的设计图标，均体现了科技产品的视觉美感，请根据对称性判断下列图标是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 9．要用反证法证明：“如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形．”，第一步应假设__________． 10．如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于直角坐标系的原点．若点A的坐标为（－2，3），则点C的坐标为___________． B组 综合提升 11．如图，在平行四边形中，点和点在对角线上，且．求证：． 12．如图，E、F是平行四边形的对角线上的点，．求证：． 13．用反证法证明命题“在中，若，则．”时，应先假设，则所得结论与下列选项相矛盾的是（） A． B． C． D． 14．如图，在中，对角线，相交于点，，分别是，的中点，点，在对角线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 15．如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC． (1)求证：O是线段AC的中点： (2)连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形． 16．已知：如图，在中，于点H，D，E，F分别是，，的中点．求证：． C组 挑战突破 17．如图，在平面直角坐标系中，绕某个点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（ ） A． B． C． D． 18．在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 19．如图，O是等边三角形内任意一点，，点D，E，F分别在，，上．求证：． 20．如图： (1)如图1，平行四边形ABCD中，于M，于N．求证：． (2)如图2，平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，求证：． (3)如图3，PT是的中线，已知：，，．求：PT的长度． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平行四边形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构→ 系统讲解核心重难点，整合为专题知识体系 03 题型突破→ 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 平行四边形的判定 题型2 平行四边形的性质求解 题型3 平行四边形的证明 题型4 平行四边形中的面积与最值问题 题型5 三角形中位线与平行四边形综合 题型6 平行四边形中的规律探究与新定义 题型7 平行四边形实际综合问题 04综合通关→ 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕→ 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1．平行四边形的判定：掌握平行四边形的五种常用判定方法：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两条对角线互相平分、两组对角分别相等。 2.平行四边形的性质：掌握平行四边形对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分等基本性质，并能灵活运用于求线段长和角度。 3.平行四边形的判定与性质综合应用：结合图形条件进行推理证明，通过判定建立平行四边形，再利用性质解决相关问题，是本章最核心的考点。 4.平行四边形中的线段计算问题：利用对边相等、对角线互相平分、中点关系等性质求线段长度，常与方程思想结合考查。 5.平行四边形中的角度计算问题：利用平行线性质、邻角互补、对角相等等关系进行角度求解，是选择题和填空题中的高频题型。 6.平行四边形中的证明问题：通过边、角、对角线等条件证明平行四边形，或证明线段相等、角相等、平行关系等几何结论。 7.三角形中位线及其应用：掌握中位线平行于第三边且等于第三边一半的性质，并能结合平行四边形模型解决综合问题。 8.多边形内角和与外角和：掌握内角和公式、外角和定理及其应用，能够解决正多边形及相关角度计算问题。 9.尺规作图与几何作图问题：掌握平行线、角平分线、中点等基本作图方法，理解作图依据及其对应的几何性质。 10.平行四边形的实际应用与综合探究：结合平移、铺砖、建筑结构等实际背景，利用平行四边形性质建立模型解决问题，并关注规律探究与图形变换类题目。 1．判定与性质综合应用是核心考点：试题常以复杂图形为背景，将平行四边形的判定与性质结合考查，要求先证明平行四边形，再利用其性质解决线段、角度或面积问题。 2.几何证明题占比较高：证明平行、相等、中点及平行四边形成立等问题是本章重点，考查学生的逻辑推理能力和规范书写能力。 3.对角线问题频繁出现：围绕“对角线互相平分”这一核心性质设计题目，常与中点、线段倍分关系及证明问题结合考查。 4.中位线与平行四边形模型深度融合：三角形中位线问题常通过构造平行四边形进行转化，是综合题中的重要解题思路。 5.多边形角度计算逐渐综合化：多边形内角和、外角和问题不再局限于公式计算，常结合图形变换、规律探究和实际情境进行考查。 6.尺规作图与几何作图持续出现：重点考查基本作图方法及作图依据，要求学生理解作图过程背后的几何原理。 7.图形变换与动态探究成为命题热点：平移、折叠、旋转等图形变换常与平行四边形结合，考查图形观察、推理分析和综合建模能力。 8.实际背景与综合应用逐年增多：试题常结合建筑结构、地砖铺设、道路规划等生活情境，考查利用平行四边形及多边形知识解决实际问题的能力。 考情解码：平行四边形是初中几何的重要内容，也是后续学习特殊平行四边形、相似三角形及圆等知识的重要基础。中考主要围绕平行四边形的判定与性质展开考查，重点关注线段、角度计算以及几何证明问题。三角形中位线、中心对称及旋转变换等内容常与平行四边形模型相结合，考查学生对图形性质的理解和运用能力。 试题由基础性质应用逐步向综合探究转变，常通过添加辅助线、构造平行四边形、转化为三角形等方法解决问题。动态几何、图形变换、规律探究及实际情境应用是近年命题热点。反证法虽然单独考查较少，但常作为几何证明的重要思想渗透其中，重点考查学生的直观想象、逻辑推理、图形转化和综合分析能力。 知识点一 多边形与内角和、外角和 多边形的定义：在平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段（不少于3条）首尾顺次相接形成的图形叫作多边形。 多边形中相关概念： 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角。 多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫作多边形的外角。 多边形每一个内角的顶点叫作多边形的顶点。 连结多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线。 多边形的内角和与外角和： 定理1：四边形的内角和等于。 定理2：n边形的内角和为 定理3：任何多边形的外角和为。 正n边形： 若正n边形的每个内角为α， 若正n边形的每个外角为β，则 【易错提醒】 （1）内角和公式易误用：多边形内角和公式为，切勿误写为；已知内角和求边数时，需先通过公式列方程，再解出边数 n，避免直接用内角和除以得到边数。 （2）多边形外角和恒等于360°，与边数无关。正多边形可直接用360°÷单个外角度数快速求边数，无需先算内角再转换。 （3）对角线与内外角关系易错：多边形对角线条数公式为，计算时切勿忘记除以2；正多边形中，内角与外角互为邻补角（和为），可通过此关系快速转换求解，切勿混淆两者的定义。 即时即练如图，，是四边形的外角，若，，则的度数为______． 【答案】/180度 【分析】根据多边形内角和得到，根据，可知的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 知识点二 平行四边形及其性质 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”。 平行四边形的性质： 平行四边形的性质1：对边平行且相等； 平行四边形的性质2：对角相等； 平行四边形的性质3：邻角互补； 平行四边形的性质4：对角线互相平分； 平行四边形的性质5：中心对称图形（两条对角线的交点就是它的对称中心）。 平行四边形的对角线将其分成 4 个面积相等的三角形，且相对的两个三角形全等。 过平行四边形对角线交点的任意直线，都能将平行四边形分成面积相等的两部分。 四边形的不稳定性：与三角形的稳定性相反，四边形具有不稳定性的特点。平行四边形的不稳定性在日常生活和生产实际中有许多应用，如衣帽架、伸缩门、可伸缩的遮阳篷等。 平行线间的距离：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离。 性质定理：夹在两条平行线间的平行线段相等。 推论：夹在两条平行线间的垂线段相等。 【易错提醒】 （1）性质概念易混淆：普通平行四边形是中心对称图形（仅对角线交点为对称中心），不是轴对称图形；对角线仅互相平分，不相等也不垂直（矩形对角线才相等，菱形对角线才垂直），切勿混用特殊平行四边形的性质。 （2）平行线间距离的易错点：夹在两条平行线间的线段，只有平行线段或垂线段才相等，任意斜线段长度不一定相等；垂线段的长度才是平行线间的距离，不能把线段本身当作距离。 （3）邻角与对角关系易记反：平行四边形的对角相等、邻角互补，切勿错误认为 “对角互补、邻角相等”；解题时需先确认图形为平行四边形，再套用对边平行且相等、对角线互相平分等性质，不可随意套用在普通四边形上。 即时即练如图，四边形是平行四边形，下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据平行四边形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等，故A，B，D选项正确，C选项不一定正确． 知识点三 图形的旋转 旋转的定义：在平面内，一个图形变为另一个图形的运动过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫作图形的旋转。这个固定的点叫作旋转中心。 旋转的性质： 图形经过旋转所得的图形和原图形全等。 对应点到旋转中心的距离相等。 任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。 中心对称图形的定义：如果一个图形绕着一个点旋转后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫对称中心。 中心对称的性质：对称中心平分连结两个对称点的线段。 坐标系中的中心对称：在直角坐标系中，点A(x,y)与点B(−x,−y)关于原点成中心对称。 【易错提醒】 （1）旋转核心要素与性质易错：旋转必须同时具备旋转中心、旋转方向、旋转角度三个要素，缺一不可；旋转前后图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，只有对应点与旋转中心连线的夹角才等于旋转角，切勿误将图形上的其他角当作旋转角，也不要忽略旋转方向（顺时针/逆时针）。 （2）中心对称相关概念易混淆：区分中心对称（两个图形的位置关系）与中心对称图形（单个图形自身的性质）。 （3）直角坐标系中，点(x,y)关于原点对称的点坐标为(-x,-y)，易与关于x轴、y轴对称的坐标规律混淆。 （4）中心对称是旋转角为的特殊旋转，其对称中心平分两个对称点连线的线段，解题时可利用该性质快速求对称中心或线段长度。 即时即练如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∵， ∴． 知识点四 平行四边形的判定定理 定义判定法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 判定定理（边） 判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 判定定理（对角线） 判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 两组对角：四边形中两组对角相等，能利用“四边形内角和”和“同旁内角互补”推出两组对边分别平行，进而证明该四边形是平行四边形。 【易错提醒】 （1）条件混淆：“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定平行四边形（等腰梯形为反例），仅“一组对边平行且相等”可判定。 （2）对角线判定易错：只有“对角线互相平分”能判定平行四边形，对角线相等/垂直不是普通平行四边形的判定条件。 （3）表述不严谨：使用“两组对边分别平行/相等”“两组对角分别相等”判定时，必须强调“分别”，避免条件缺失。 即时即练如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可以判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、，可能是等腰梯形，不能判定四边形为平行四边形，符合题意； D、，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形为平行四边形，不符合题意。 知识点五 三角形的中位线 三角形中位线的定义：连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 定理的两个作用：①判断平行关系；②求线段长度。 【易错提醒】 （1）三角形中位线必须连接两边的中点，缺少“中点”条件不能使用中位线定理。 （2）证明中位线问题时，首先检查图中是否出现“中点条件”。 （3）中位线定理经常与平行四边形判定、全等三角形、面积计算等知识综合考查，是初中几何综合题的重要基础模型。 即时即练如图，平行四边形中，对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】①先根据角平分线和平行四边形的性质推出，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算和的长，可得的长；③因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断． 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ②，， ，， ， 中，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 中，， ，故②正确； ③由②知：， ，故③正确； ④由②知：是的中位线， ， ， ，故④错误； 知识点六 反证法 反证法的定义：在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫作反证法。 反证法证明的一般步骤： ①假设结论不成立； ②根据假设和已知条件进行推理； ③推出与已知条件、定义、定理或公理相矛盾的结果； ④否定原假设，得出原命题成立。 反证法的核心思想：假设错误结论成立⟹推出矛盾⟹假设错误⟹原结论正确。 【易错提醒】 （1）反证法不是随意假设，而是先假设所要证明结论的反面成立。 （2）推导过程中必须出现明确的矛盾，否则反证法不成立。 常见矛盾有： 与已知条件矛盾； 与定义矛盾； 与定理性质矛盾； 同一个量出现两个不同结果。 （3）反证法中的“矛盾”必须是逻辑上的矛盾，而不是计算复杂或图形不美观。 （4）证明结束时要写出：“这与题意（或已知条件）矛盾，故假设不成立，因此原命题成立。” （5）反证法常用于证明“不存在”“不能”“不可能”“唯一”等问题，当直接证明较困难时，应优先考虑反证法。 即时即练如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（ ） A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④① 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理以及反证法的应用，理解并掌握反证法的一般步骤是解题关键．反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： 1、假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点； 2、则，； 3、在中，，这与三角形内角和为相矛盾； 4、因此假设不成立，故过E点只有一条直线垂直于l． 则证明步骤正确的是②③①④， 故选：B． 题型1 平行四边形的判定 例1．如图，四边形的四边长已标注，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】勾股定理求出的值，进而得到，，即可得证. 【详解】证明：， ，即，解得：， ∴， ，， 四边形是平行四边形． 例2．如图，在中，，相交于点O，点E在上，点F在上，经过点O．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：四边形为平行四边形， ，， ，． ， ， 四边形是平行四边形． 【分析】根据四边形为平行四边形，得到，，证明，得到，由此证得四边形是平行四边形． 【详解】解：略． 【易错提醒】 （1）在原有平行四边形中证明新的平行四边形，容易忘记使用原图形对边平行、对角线互相平分的隐含条件；同时易混淆三角形全等的判定方法，推理依据不严谨。 （2）判定定理使用不规范：证明时只证一组线段相等或一组线段平行，就直接判定四边形为平行四边形，未凑齐对应判定定理的全部条件，属于典型逻辑漏洞。 【变式训练1-1】如图，在中，点，分别在边，上，连接，，，，添加下列条件后不能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可得，，，分别分析每个选项，根据平行四边形的判定和全等三角形的判定和性质进行求证即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，故，，， A. 添加，则，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 故添加该选项的条件能使四边形成为平行四边形； B. 添加，则又∵， ∴四边形是平行四边形， 故添加该选项的条件能使四边形成为平行四边形； C. 添加，则，，， ∴ ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 故添加该选项的条件能使四边形成为平行四边形； D. 添加，无法证明四边形是平行四边形， 故添加该选项的条件不能使四边形成为平行四边形； 故选：D． 【变式训练1-2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，直线交直线于点，交轴于点．在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、以及平行四边形的性质，关键是利用平行四边形对角线互相平分求点的坐标；分别以为对角线这三种情况，求出点的坐标． 【详解】解：对于直线，当时，， ∴， 解方程组得， ∴， 对于直线，当时，， ∴， ∴，，． 设， 若使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况讨论： ①当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得， 的坐标为； ②当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 题型2 平行四边形的性质求解 例3．如图，在平行四边形中，，点E、F分别为的中点，连接交于点O，点M为的中点，点N为的中点，则的长为（ ） A．5 B．4 C．3 D．不确定 【答案】A 【分析】先推导出，证明出四边形是平行四边形，得到，继而推导出，得到四边形是平行四边形，则，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，， ∵点E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 例4．如图，已知的对角线，相交于点， ，．若，，则四边形的周长为________． 【答案】16 【分析】根据平行四边形对角线互相平分得出、的长，再证明四边形是平行四边形即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长． 【技巧总结】 （1）中点+平行四边形性质联用 平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分是核心依据；遇到线段中点，可直接得到线段等分、对应线段相等的关系，再利用一组对边平行且相等判定新的平行四边形，以此完成线段等量代换，快速求解线段长度。 （2）平行四边形+角平分线的固定结论 平行四边形邻角互补，搭配内角平分线，可直接推出直角三角形；角平分线与平行线组合，又能得到等腰三角形。这两个结论是解题关键，常结合勾股定理求边长。 【变式训练2-1】如图，在四边形中，，点E在边上，已知，，，，求线段的长． 【答案】6 【分析】证明四边形是平行四边形，得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：， ， ，即， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【变式训练2-2】如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用平行四边形性质与角平分线证明为直角三角形，求出的长度；再证明、，通过证明得，证明四边形是平行四边形，从而求出的长度． 【详解】解：如图，延长交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，平分，， ∴， ∴， 同理可得， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 题型3 平行四边形的证明 例5．如图，在中，的平分线交于点E，若，则的长为（ ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得出，确定，再由角平分线及等量代换得出，利用等角对等边即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，． ， ， ∵是的平分线， ， ， ， ． 例6．如图，在中，⊥，⊥，垂足分别为点，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ， ∴ ∴四边形是平行四边形； (2)11 【分析】（1）根据平行四边形的性质以及已知条件，可得，证明 得出，即可得证； （2）在中，勾股定理求得，根据（1）可得，则，在中，根据勾股定理求得长，由此即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴在中，， 由（1）可得 ∴， 在中，， ∴， ∴． 【变式训练3-1】如图，E、F是的对角线上两点，且，，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． ，， ，， 在和中，， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2)10 【分析】（1）先证明，得到，再利用一组对边平行且相等即可证明四边形是平行四边形； （2）利用平行四边形的性质得到，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，四边形为平行四边形， ，． ， ， ， ． 【变式训练3-2】如图，，分别为中，的中点，分别连结，交于点，连结，交于点，连结，．求证：与互相平分． 【答案】见解析 【分析】可证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质可判定四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】证明：∵E为的中点，F为的中点， ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 【易错提醒】 （1）角平分线结合平行四边形：平行四边形对边平行，角平分线会构造出等腰三角形，易无法识别该模型，推不出“等角对等边”；计算边长时，忽略平行四边形对边相等的性质，梳理线段和差关系出现失误。 （2）含垂线、勾股定理的综合：多条线段垂直于对角线时，易忽略“垂直于同一直线的两条直线互相平行”。 （3）多层嵌套平行四边形证明：证明两条线段互相平分时，将问题转化为证明四边形是平行四边形，混淆平行四边形的性质与判定定理。 题型4 平行四边形中的面积与最值问题 例7．如图，在中，相交于点O． (1)求的长； (2)求面积． 【答案】(1) (2)48 【分析】本题主要考查对平行四边形的性质，勾股定理等知识： （1）根据平行四边形的性质得到，根据勾股定理求出的长，即可求出的长； （2）根据平行四边形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，由勾股定理得：， ∴； （2）解：的面积是． 例8．如图，在中，，连接，，点G，H分别是，，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的面积为20，，则四边形的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行四边形的面积公式等知识，证明四边形是平行四边形是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，而，所以，则四边形是平行四边形，所以，因为，，所以，则四边形是平行四边形； （2）连接，设与之间的距离为，则，由，得，所以，因为，，所以，于是得到问题的答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：连接，如图， 设与之间的距离为，则， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【变式训练4-1】在中，于点，于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、，若的面积等于四边形面积的3倍，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使每个三角形的面积等于四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了平行四边形性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）结合平行四边形性质证明，再利用全等三角形性质即可证明； （2）结合平行四边形性质得到四边形面积，再结合全等三角形性质得到，即可推出与四边形面积相等的三角形． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，． ． ，， ． ． ． （2）解： 的面积等于四边形面积的3倍， 的面积等于面积的3倍，的面积等于面积的3倍， ， ， ， 四边形面积， 又，， 等于四边形面积的三角形有，，，． 【变式训练4-2】轴对称和平移变换是在解决有关最值问题时常用的思维方法，请利用所学知识解决下列问题： (1)如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，当的值最小时，点的坐标为_____． (2)如图，直线，且，之间的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且．在直线和直线上分别找点，，使得，且的值最小，并求出的最小值． 【答案】(1) (2)、位置见解析，的最小值为 【分析】（1）作点关于轴的对称点，连接，交轴于，连接，根据轴对称的性质得出当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，，利用待定系数法求出直线的解析式，求出与轴的交点坐标即可； （2）将点竖直向上平移个单位到，连接，交直线于，过点作于，连接，可得四边形是平行四边形，得出点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为，过点作，交延长线于，利用勾股定理求出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于，连接， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为． （2）解：如图，将点竖直向上平移个单位到，连接，交直线于，过点作于，连接， ∵，，之间的距离为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∴点、即为所求， 过点作，交延长线于， ∵，之间的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【易错提醒】 （1）计算平行四边形面积时，需严格遵循底与对应高相乘的公式，切勿用邻边长度直接相乘；涉及中点、线段比例、嵌套图形的面积推导，易混淆图形间的面积倍数关系，也难以借助全等三角形、同底等高的性质准确判断等面积图形。 （2）解决最短路径最值问题时，容易混淆轴对称与平移两类经典模型，辅助线构造出现偏差；在结合一次函数、勾股定理求解坐标与线段长的过程中，计算失误频发，面对含定长垂线段的题型，也无法熟练利用平移完成线段等价转化。 题型5 三角形中位线与平行四边形综合 例9．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边的中点，对角线，则四边形的周长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、的长，根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】解：、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ，， 四边形的周长． 例10．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）因为，所以是的中点，而是的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形； （2）由是的中点，是的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）略； （2）解：∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的长是． 【变式训练5-1】如图，在平面直角坐标系中，，点，．为的中点，连接．把线段沿射线平移至，使点落在轴上，则四边形的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，，，，根据平行四边形的判定和性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出点是的中点，，根据三角形中位线的定义和性质得出，结合平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即点是的中点，， ∴是的中位线。 ∴， ∴平行四边形的面积为． 【变式训练5-2】如图，在中，D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．求证： (1)四边形是平行四边形； (2)． 【答案】(1)证明：延长交于点G， ∵，平分， ∴，， 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． (2)证明：由（1）可知，四边形是平行四边形， ． ，E分别是，的中点， ． ∴， ， ， ． 【分析】（1）延长交于点G，利用平行四边形的定义，证明四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形，可得．证明．结合，可得，进一步可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【技巧总结】 （1）抓中点条件，直接运用三角形中位线定理 题目出现多个线段中点时，优先联想三角形中位线的两大核心结论：中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。对于任意四边形各边中点依次连接形成的中点四边形，可借助中位线性质推出两组对边分别平行且相等，快速判定其为平行四边形，同时利用该定理完成边长、周长的计算。 （2）合理构造辅助线，串联多知识点综合推导 当题目同时出现中点、角平分线、垂线等条件时，可通过延长线段等方式补全图形，先证明全等三角形或等腰三角形，从而得到新的中点；再结合中位线推出平行线，搭配平行四边形的判定定理完成证明。涉及长度、面积计算时，利用中位线实现线段等量转化后，再结合勾股定理、平面直角坐标系相关知识求解。 题型6 平行四边形中的规律探究与新定义 例11．下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ ） A．39 B．40 C．41 D．42 【答案】B 【分析】观察图形的变化可得10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，即可得结果． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第①个图形中一共有10个平行四边形， 第②个图形中一共有14个平行四边形， 第③个图形中一共有19个平行四边形， 第④个图形中一共有25个平行四边形， 第⑤个图形中一共有32个平行四边形， 则第⑥个图形中平行四边形的个数为40． 故选：B． 例12．对于直线，新定义：点为直线的“专属点”．而直线称为关于点的“专属直线”．如：直线的“专属点”为，关于点的“专属直线”的解析式为． (1)直线的专属点是__________； (2)如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，轴，，，，点的坐标为，求关于点的“专属直线”直线的解析式； (3)若关于点的“专属直线”经过点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义即可求解； （2）作BE⊥x轴，AF⊥BE，根据平行四边形的性质可求得D的坐标，从而求D的“专属直线”； （3）设“专属直线”：，将点代入得，，由 即可求解； 【详解】（1）解：根据题意，的专属点是． （2）作BE⊥x轴，AF⊥BE， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴关于点的“专属直线”直线的解析式为：． （3）设“专属直线”：， 将点代入得，， ∵是的“专属点”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练6-1】如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意可得每次轴对称变换重复一轮，据此即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，点的坐标为， 所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，点的坐标为， 第三次轴对称变换，点的坐标为， 第四次轴对称变换，点的坐标为， ∴每次轴对称变换重复一轮， ∵， ∴经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为，故选：． 【变式训练6-2】类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的正方形网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上； (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或． 【分析】（1）根据勾股定理和“等邻边四边形”的定义求解即可； （2）根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）如图所示，过点B作交于点G，首先求出，得到，求出，然后根据题意分3种情况讨论，然后分别根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示， 图（甲）和图（乙）中，； 图（丙）中； ∴四边形是等邻边四边形； （2）∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴ ∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是“等邻边四边形”； （3）如图所示，过点B作交于点G ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当四边形是“等邻边四边形”，且时， ∴； 如图所示，当时，过点F作交于点H，连接 ∴ ∵， ∴， ∵，即 ∴ ∴， ∴ ∴此时四边形是“等邻边四边形”； ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴， 如图所示，当时，过点M作交于点M ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，当四边形是“等邻边四边形”时，的长度为或或． 【易错提醒】 （1）图形规律计数时，容易漏数、重复统计平行四边形个数；探究循环变换类规律时，周期计算、余数判断易出错，进而导致坐标、图形状态判断错误。 （2）新定义题型中，常无法准确理解题干给出的新概念、新规则，盲目套用常规几何知识，解题方向出现偏差；结合平行四边形性质推理时，逻辑推导不严谨。 （3）涉及新定义几何图形且需要分类讨论的题目，易遗漏讨论情形，最终造成答案不全。 题型7 平行四边形实际综合问题 例13．六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三角形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形外角和为__________． 【答案】360° 【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案． 【详解】解：正六边形的外角和是． 故选：． 例14．四边形的不稳定性在实际生活中有着广泛的应用，即四边形的边长一定时，可以发生改变的是（ ） A．内角和 B．内角大小 C．周长 D．外角和 【答案】B 【分析】结合四边形的不稳定性，四边形的外角和为360度，周长即为四边形的边长之和，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、四边形内角和恒为，故该选项不符合题意； B、内角大小可以发生改变，故该选项符合题意； C、周长为四条边长之和，当四边形的边长一定时，四边形的周长固定，不会改变，故该选项不符合题意； D、任意多边形外角和恒为，故四边形外角和不会改变，故该选项不符合题意． 【变式训练7-1】如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形为平行四边形，得到，再结合平行线性质，角平分线性质，三角形内角和定理分析求解，即可解题． 【详解】解： ，， 四边形为平行四边形，， ， 平分， ， ， ， ， ． 【变式训练7-2】如图，在的方格中，请按以下要求画图： (1)将线段绕点顺时针旋转，画对应线段． (2)以为边画一个格点（顶点均在格点上的四边形），使所在的直线能平分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作出点A，B的对应点，，连接即可解答； （2）在直线上取格点，连接，并在的延长线上取格点C，使得，连接，并在的延长线上取格点D，使得，连接，，，即可解答． 【详解】（1）解：如图，线段为所求． （2）解：如图，为所求． 由作图可得，， ∴四边形是平行四边形， 设直线交于点E，交于点F， ∵在中，，， 又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴直线平分的面积． 【易错提醒】 （1）处理生活实景类问题时，不能顺利将实物抽象为平行四边形几何模型，混用平行线、角平分线的性质，导致角度推导、计算出错。 （2）图形变换与网格作图题中，旋转、轴对称的对应点定位易出现偏差；对“过平行四边形对称中心的直线平分图形面积”这一性质理解不到位，作图不符合题目要求。 （3）易混淆多边形内角和、外角和定理，同时分不清四边形稳定性与不稳定性的特点，基础概念判断失误。 A组 基础过关 1．如图，在四边形中，，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了四边形内角和360度，根据，，以及四边形内角和360度进行列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：在四边形中，，， ∴ 则 解得， 故选：C 2．已知正多边形的一个内角为，则这个多边形是（ ） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角的关系，先求出正多边形的一个外角是，再用外角和除以外角即可得到边数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴正多边形的一个外角是， ∴这个正多边形的边数为， 即正多边形是正十二边形， 故选D． 3．已知一个多边形的内角和为，则这个多边形的对角线的总条数为（ ） A．40 B．30 C．20 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线计算公式，先根据多边形内角和计算公式求出这个多边形是八边形，再根据多边形对角线计算公式求解即可，熟知n边形的对角线条数是是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形为n边形， 由题意得，， ∴， ∴这个多边形为八边形， ∴这个多边形可连对角线的条数是 故选：C． 4．生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ____． 【答案】平行四边形具有不稳定性 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行四边形的不稳定性求解可得． 【详解】解：因为平行四边形具有不稳定性， 所以可以灵活的开关窗户， 故窗户的支撑装置（四边形被设计成平行四边形． 故答案为：平行四边形具有不稳定性． 5．如图，在六边形中，． (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，连接，根据平行线的性质得到，再根据四边形内角和定理可证即可证明； （2）先证明，再根据六边形内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 6．如图，直线，点在直线上，过点向直线引直线，与的交点分别是、D，若测得，并且其中有一条是表示直线与直线之间的距离，那么你认为直线与直线之间的距离应该是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，即可得出结果. 【详解】解：直线 ，且其中有一条线段表示直线与直线之间的距离， 该线段即为点到直线的垂线段， 从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短， 该距离应为中的最小值， ， ， 直线与直线之间的距离是. 7．如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E在上，点F在上，连接，使恰好经过点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)8 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，可证明，则可证明； （2）根据（1）的结论可证明，即，由平行四边形的对角线互相平分得到，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， ∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．随着航天、人工智能、精密制造等现代科技飞速发展，对称美学已经成为设计的核心语言．现有四幅源自前沿科技领域的设计图标，均体现了科技产品的视觉美感，请根据对称性判断下列图标是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转度后与自身重合． 【详解】解：对于选项A：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A不符合题意； 对于选项B：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B不符合题意； 对于选项C：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C不符合题意； 对于选项D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D符合题意． 9．要用反证法证明：“如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形．”，第一步应假设__________． 【答案】这个三角形是直角三角形 【分析】根据反证法的解题步骤，首先对结论进行否定，即可得到答案． 【详解】解：由题意得，用反证法证明“如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形．”，第一步应假设这个三角形是直角三角形， 故答案为：这个三角形是直角三角形． 10．如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于直角坐标系的原点．若点A的坐标为（－2，3），则点C的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A与点C关于原点对称，所以C的坐标为（2，-3）. 【详解】∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称， ∴C点坐标为（2，-3）． 故答案为：（2，-3）． B组 综合提升 11．如图，在平行四边形中，点和点在对角线上，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴． 【分析】根据平行四边形的性质可得，可得，利用线段的和差可得，进而可得结论． 12．如图，E、F是平行四边形的对角线上的点，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ． 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，证明，可知． 13．用反证法证明命题“在中，若，则．”时，应先假设，则所得结论与下列选项相矛盾的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反证法先假设原结论不成立，经过推导推出矛盾，即可证明原结论成立． 【详解】解：∵假设，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得， ∴该结论与原命题已知条件相矛盾， 因此矛盾对应的选项为． 14．如图，在中，对角线，相交于点，，分别是，的中点，点，在对角线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握平行四边形的性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质，易证，得到，，进而推出，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质证明是的中位线，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ． ，分别是，的中点， ，， ． 又， ， ，， ，． 又， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ，． ，， ，． ， ， ． 又是的中点， 是的中位线， ． 15．如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC． (1)求证：O是线段AC的中点： (2)连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）证明四边形ABCD是平行四边形，则结论得出； （2）证明△OAE≌△OCF，则OE＝OF，可得出结论． 【详解】（1）证明：∵∠E＝∠F， ∴ADBC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC，BD互相平分， 即O是线段AC的中点； （2）证明：如图， ∵AD BC， ∴∠EAC＝∠FCA， 在△OAE和△OCF中， ， ∴△OAE≌△OCF， ∴OE＝OF， 又AO=CO， ∴四边形AFCE是平行四边形． 16．已知：如图，在中，于点H，D，E，F分别是，，的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得，再判断和为的中位线得到，则，然后根据“”判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴， ∵D，E，F分别是，，的中点， ∴和为的中位线， ∴， ∴， 在△DEF和△HFE中 ， ∴． C组 挑战突破 17．如图，在平面直角坐标系中，绕某个点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，结合对称点解答即可．本题考查了旋转的性质，旋转中心的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，连接、，分别作、的垂直平分线，相交于点G，如下图 在坐标系中描下选项中的点，判断到对应点的距离，到两组对应点距离分别相等的点，就是旋转中心，本题旋转中心是图中的点G，坐标为． 18．在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可知，，据此即可证明结论； （2）容易证明，，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 19．如图，O是等边三角形内任意一点，，点D，E，F分别在，，上．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】如图所示，延长交于G，分别证明都是等边三角形，得到，则，再证明四边形是平行四边形，得到，即可证明． 【详解】证明：如图所示，延长交于G， ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 20．如图： (1)如图1，平行四边形ABCD中，于M，于N．求证：． (2)如图2，平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，求证：． (3)如图3，PT是的中线，已知：，，．求：PT的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）用AAS证明即可； （2）作于M，于N，利用勾股定理和平行四边形的性质即可证明； （3）倍长中线补全图形，证明四边形PQSR是平行四边形，将第二问结论代入数值计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴ ， ∴． （2）证明：作于M，于N，如图所示， 在和中， 根据勾股定理得，， ∴， 同理，在和中， 根据勾股定理得，， ∴， ∴， 联系第一问，易证：， ∴, ∴， 又∵， ∴． （3）延长PT至S，使得，连接QS，RS，如图所示， ∵PT是的中线， ∴， ∴四边形PQSR为平行四边形， ∴，， 由（2）得， ∴， 解得， ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识点，第2问运用勾股定理，第3问用倍长中线构造平行四边形是解题的关键． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $