专题05 解三角形常考21题型（期中专项训练）高一数学下学期人教A版

专题05 解三角形 题型1 余弦定理解三角形 题型12 三角形中线问题（重点） 题型2 正弦定理解三角形 题型13 三角形高的问题（重点） 题型3 正弦、余弦定理综合解三角形（重点） 题型14 三角形角分线的问题（重点） 题型4 判断三角形解的个数（易错点） 题型15 多三角形或四边形问题（难点） 题型5 求三角形外接圆半径 题型16 解三角形的范围与最值问题（难点） 题型6 边角互化（重点） 题型17 距离测量问题 题型7 判断三角形形状（重点） 题型18 高度测量问题 题型8 求三角形周长（常考点） 题型19 角度测量问题 题型9 求三角形周长的最值（范围）（常考点） 题型20 解三角形与向量的融合 题型10 三角形面积公式及应用（常考点） 题型21 解三角形大题汇编（重点） 题型11 求三角形面积的最值（范围）（重点） 题型一 余弦定理解三角形（共4小题） 1．（25-26高一下·广东·月考）在中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦定理可得 ，故． 2．（25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故. 故选：D. 3．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，则， 所以，又，可得. 故选：C 4．（25-26高一下·云南曲靖·月考）在中，角所对的边分别为，且，则___________． 【答案】4或 【详解】由，得，由余弦定理. 当时，，，此时三角形为直角三角形； 当时，，，此时三角形为钝角三角形. 题型二 正弦定理解三角形（共3小题） 5．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）在中，设角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】， 由正弦定理可得即，故， 故选：A. 6．（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由正弦定理，可得， 又，故或. 7．（25-26高一下·云南曲靖·月考）在中，角所对的边分别为．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理可得，所以或， 因，则，故为锐角，即. 题型三 正弦、余弦定理综合解三角形（共3小题） 8．（25-26高三上·山东青岛·期末）记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理，得： ， ， 所以 ， 再利用正弦定理：， 代入已知值：， 整理得：. 故选：A 9．（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由题意知，，所以. 由余弦定理知，，所以. 由正弦定理得，，则，，. 所以. 10．（25-26高三上·山东枣庄·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则a的值为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【详解】在中，因为， 所以由正弦定理可得. 因为，所以，所以. 将及，代入余弦定理 可得，即，解得， 因为是三角形的边长，所以. 故选：A 题型四 判断三角形解的个数（共4小题） 11．（25-26高三上·河北保定·月考）在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【详解】由正弦定理，得，所以，即，又， 所以，或， 所以解的个数为2． 故选：C． 12．（多选）（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【详解】由正弦定理可得， 若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解； 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解； 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故三角形有两个解； 若D 成立，，，，有， ∴，由于，故三角形有唯一解． 故选：AD． 13．（2025高一下·江苏南京·专题练习）在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是____． 【答案】 【详解】因为三角形有两个解，所以， 即，解得， 故答案为：. 14．（25-26高一上·上海宝山·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 【答案】 【详解】因为，，由正弦定理 得，即， 因为，要使三角形有唯一解， 所以或，所以或， 即或，解得或， 所以的取值范围为 故答案为：. 题型五 求外接圆半径（共4小题） 15．（25-26高一上·广东汕头·期末）在中，角的对边分别为，若，则外接圆半径为__________. 【答案】/ 【详解】因为， 所以外接圆半径为. 故答案为： 16．（24-25高一下·上海宝山·月考）在中，，则其外接圆的半径为___________． 【答案】/ 【详解】由题意，，所以是等边三角形，则， 所以其外接圆的半径为， 故答案为：. 17．（25-26高三上·河北衡水·期末）在中，内角所对边分别是，若，且，则外接圆的面积为__________. 【答案】 【详解】由且，可得， 则由正弦定理可得，， 则， 因为，所以，则， 设外接圆半径为，则，得， 则外接圆的面积为. 故答案为： 18．（25-26高一上·福建厦门·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的面积为：_____． 【答案】 【详解】由，及，根据正弦定理得 ，即， 由余弦定理得，又， 故， 设外接圆的半径为，根据正弦定理得， 解得， 则外接圆的面积为. 故答案为： 题型六 边角互化（共5小题） 19．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 20．（多选）（2026高一下·全国·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由已知条件及正弦定理得， 又在三角形中，． 又，或． 故选：BD． 21．（25-26高一上·广东深圳·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】在中，因为，所以由正弦定理得， 由及正弦定理得 ， 即，因为，所以，所以， 又，所以，所以，得，则， 所以由余弦定理可得，所以. 故选：D 22．（25-26高一下·全国·课后作业）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为_____________． 【答案】2 【详解】由余弦定理，得. 因为，所以，化简得. 由正弦定理，得． 故答案为：2. 23．（2026高一下·全国·专题练习）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，则_____________． 【答案】/ 【详解】因为，所以由正弦定理得． 因为， 所以． 因为，所以． 因为，所以， 故答案为： 题型七 判断三角形形状（共5小题） 24．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 25．（25-26高一下·上海普陀·月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理可得， 则，即， 所以，即， 又因为，则，即, 所以是等腰三角形. 26．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】由，则， 所以，可得，不能确定是否成立， 所以一定是直角三角形. 故选：B 27．（24-25高一下·北京朝阳·期中）在，若，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理可得，则， ．所以， 又因为，所以， 又，可得，故的形状是等腰直角三角形. 故选：C 28．（多选）（25-26高一下·江苏无锡·月考）的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是等腰直角三角形 【答案】AD 【详解】对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确； 对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误； 对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误； 对于D，由正弦定理，结合条件， 得，， ，，，，又，， 所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确. 题型八 求三角形周长（共4小题） 29．（25-26高三上·辽宁·期中）设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的周长为____________. 【答案】 【详解】因为，，， 由余弦定理，得，即， 故，解得， 故的周长为. 故答案为： 30．（25-26高一下·山西临汾·开学考试）在中，边分别为角的对边，满足的面积为，则的周长为_____． 【答案】 【详解】，则， ， 化简得，解得（负值舍去）， 则的周长为. 31．（25-26高一下·山西临汾·开学考试）在中，边分别为角的对边，满足的面积为，则的周长为_____． 【答案】 【详解】，则， ， 化简得，解得（负值舍去）， 则的周长为. 32．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为． (1)求的值； (2)若，求的周长. 【答案】(1)；(2)10 【详解】（1）由，正弦定理可得， ，， ， 因为，所以，两边同时除以得， 解得. （2）由，，得. 因为且，所以. 再由，得，即. 由余弦定理：，得. 因此的周长为. 题型九 求三角形周长的最值（范围）（共4小题） 33．（2023·陕西西安·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则周长的取值范围为_____． 【答案】 【详解】因为，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，整理可得， 所以，因为，所以． 由正弦定理得，所以，， 所以的周长为 ， 因为，则，所以， 所以，即周长的取值范围为． 故答案为：． 34．（25-26高一下·广西贵港·月考）中，. (1)求A； (2)若，求周长的最大值； (3)若，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由正弦定理可得：，， ，. （2）[方法一]：由余弦定理得：， 即.（当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]： 设，则，根据正弦定理可知， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 此时周长的最大值为. （3）由余弦定理得：， 即.（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， 面积的最大值为. 35．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）由正弦定理可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 36．（2026·浙江·模拟预测）已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且. (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)钝角三角形；(2) 【详解】（1）因为，由余弦定理得，即. 故，所以，故C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形. 另解：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 即，即， 因为，所以， 所以，故C为钝角， 所以为钝角三角形. （2）的外接圆半径为. 由题，由正弦定理， 得，即. 由（1）知C为钝角，所以. 又. 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值，取得最大值，即的最大值为4. 又， 所以的周长的最大值为. 题型十 三角形的面积公式及应用（共5小题） 37．（25-26高三下·安徽·月考）在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得，则， 故的面积为. 38．（25-26高三上·山西晋中·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】由，，，由余弦定理得， 又因为，所以， 所以. 故选：A 39．（25-26高一上·浙江湖州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 又，则，所以， 由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）， 所以，即角， 所以的面积. 故选：C 40．（多选）（2026·陕西咸阳·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 【答案】BD 【详解】因为，，，所以 由正弦定理可得：，即， 则，得，则， 所以， 所以的周长， 所以 的面积为, 由上可知AC错误，BD正确， 故选：BD 41．（25-26高一下·云南曲靖·月考）在中,角所对的边分别为 ,且满足 . (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由正弦定理得， 又，代入得. 由，得， 即，. 由，所以易得，故. （2），即，得. 由余弦定理，得，即. 联立，得，故. 题型十一 求三角形面积的最值（范围）（共4小题） 42．（多选）（25-26高一下·云南曲靖·月考）在中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为4 C．面积的最大值为3 D．若为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】AB 【详解】A选项，由余弦定理：，即，故A正确. B选项，由正弦定理，所以. 所以，故B正确. C选项，面积，由，得，当且仅当时等号成立，所以，故C错误. D选项，锐角三角形：，，得，，故D错误. 43．（多选）（2026高一·全国·专题练习）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，则面积的最大值为 B．若，，则面积的最大值为 C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D．若，为的中点，且，则面积的最大值为 【答案】BCD 【详解】对于A，由余弦定理可得， 即， 由基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，A错误； 对于B，由余弦定理可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即面积的最大值为，B正确； 对于C，设，，则，， 在和中，分别运用正弦定理，得和． 因为，所以， 即，所以，由余弦定理可得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为3，C正确； 对于D，设，则， 在中，由余弦定理得， 解得，则， 所以 ， 所以当即时，，D正确． 故选：BCD． 44．（2026高一下·福建莆田·专题练习）在中，，为中点，，则面积的最大值为______ 【答案】2 【详解】设，由于， 所以， 故， 所以 ， 故当即时，此时取最大值4，故面积的最大值为2. 45．（24-25高一下·重庆·月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求a； (3)若，求△ABC面积的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由及正弦定理得，． 因为，所以，则，即． 因为，所以． （2）根据余弦定理得，即， 解得或（舍去），故． （3）由余弦定理得， ∴， 解得，当且仅当时取等号， 的面积， 所以面积最大值为. 题型十二 三角形中线问题（共3小题） 46．（25-26高三上·浙江·期末）在中，为边上的中点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 故选：D 47．（2026·湖北孝感·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（    ） A． B． C．6 D．10 【答案】B 【详解】中，由余弦定理得， 又，所以，所以，记边上的中点为M， 因为，所以，所以. 故选：B 48．（2026·河南南阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为，且的面积为. (1)求； (2)若的外接圆半径为为AB的中点，求CD的长. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）在中，由的面积为，得，即， 由及余弦定理得，即， 因此，而，所以. （2）由的外接圆半径为，得，则， 由（1）知，由为AB的中点，得, 则， 所以CD的长为. 题型十三 三角形高的问题（共4小题） 49．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，. (1)求的值； (2)若，求边上的高. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得， 所以， . （2）由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为， 则， 则， 故边上的高为. 50．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知中，的对边分别为，且的面积. (1)求； (2)若，且为钝角，求边上的高. 【答案】(1)或；(2). 【详解】（1）在中，由的面积，得， 解得，而，因此或. （2）由为钝角，得必为锐角，即， 由余弦定理得， 此时，B为钝角，符合题意， 设边上高为，由，得. 51．（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由， 用正弦定理得， 化简得：， 又, 从而，， 得又. （2）由正弦定理得: , 所以 , 在 中， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． 题型十四 三角形角分线问题（共6小题） 52．（2026·河南·模拟预测）在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图： 因为平分，所以，又，所以. 在中，根据余弦定理，可得， 在中，根据余弦定理，， 所以. 53．（25-26高二上·安徽滁州·期末）已知的三个内角所对的边分别为的面积为，角的平分线交边于点，且，则为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】因为，且角的平分线交边于点， 所以，即， 又，所以，即， 由余弦定理得， 所以，即. 故选：C. 54．（多选）（25-26高三上·山西临汾·期末）已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（   ） A． B．当为中线时， C．当为高线时， D．当为角平分线时， 【答案】ABD 【详解】由以及正弦定理可得，，得，故A正确； 因为的面积为，所以，即， 因为，所以， 因为，所以，则，则， 在中利用余弦定理可得，， 则， 当为中线时，，则， 即，得，故B正确； 当为高线时，，得，故C错误； 当为角平分线时，则， 由，得， 则，故D正确. 故选：ABD 55．（2026高一下·全国·专题练习）中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________． 【答案】/ 【详解】设中角所对的边分别为， 依题知，则有， 由余弦定理， ， 即解得． 设，则由可得 ， 化简得，解得. 即角平分线的长为． 故答案为：. 56．（2026高一·全国·专题练习）已知的面积，角的平分线交于，，，则________． 【答案】1 【详解】依题知， 则有， 由角平分线定理可知：， 所以， 所以， 在中，， 所以， 在中，由余弦定理可得：, 即， 解得． 故答案为：1 57．（25-26高一下·江苏无锡·开学考试）在中，在边上，平分，若，，且，则______． 【答案】/ 【详解】由平分，所以，令，， 则， 在中，由正弦定理有：， 在中，由正弦定理有：， 所以，即， 在中，由余弦定理有：， 在中，由余弦定理有：， 又，所以，所以， 解得，所以，， 所以. 题型十五 多三角形或四边形问题（共5小题） 58．（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，已知，点在线段上，且满足，则的长度为__________. 【答案】 【详解】如图所示： 由余弦定理可得 , 所以，又因为， 所以，在中，, 在中，由余弦定理可得：, 所以. 59．（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值：. 故答案为：C 60．（25-26高一上·浙江温州·期末）在中，内角所对的边分别为，已知且. (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 由余弦定理得， 即，解得， 所以， 又，所以. （2）将，代入得， 因为点是线段BC上靠近点的三等分点， 所以， 在中，， 所以. 61．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）为助力第四届湖南旅游发展大会，提高游客舒适度，岳阳政府决定新增若干休闲区域.如图，某休闲区域是四边形，其四周是步道，中间是花卉种植区域，为方便观赏，中间穿插了步道，已知，，，. (1)求步道的长； (2)若________；求花卉种植区域总面积. 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）∵，∴， ∴. ∵，， ∴由余弦定理得： ， ∴. （2）若选①： 在中，由正弦定理得 ∵，∴. 由（1）知.代入上式可得， 解得， ∵ . ∴. ∵，∴. ∴. ∴花卉种植区域总面积为. 若选②：∵，∴. 在中，由余弦定理得： ∴① ∵，∴② ①-②得： ∴ ∵，∴. ∴. ∴花卉种植区域总面积为. 62．（25-26高一下·福建宁德·月考）如图，在中，，，，P为内一点，且. (1)若，求的长； (2)若，求. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）在中，，， 则，， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以. （2）设，则，， 在中，因为， 所以， 在中，， 所以，即， 所以即. 题型十六 解三角形的范围与最值问题（共6小题） 63．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）在中，其面积为1，的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则由题意可知，，， 则， 由余弦定理可得， ， 则， 即，其中， 则，得， 当时，，得，则，， 故的最小值为. 故选：D 64．（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知的面积为分别是的中点，若，则BC长度的最小值为__________. 【答案】 【详解】连接相交于点，则为的重心，连接并延长交于点， 则由重心的性质得为的中点，则， 而，且，得到， 设，则， 由三角形面积公式得， 则，解得， 由余弦定理得， 解得，化简可得， 由辅助角公式得， 则，解得，即长度的最小值为. 故答案为： 65．（24-25高一下·广西柳州·期末）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以. （2）因为，，，所以，解得. 由余弦定理得. （3）因为，， 结合正弦定理，得，所以，. 在中，, 所以. 因为为锐角三角形，所以，所以， 则，所以， 所以. 66．（25-26高一上·江苏南通·期末）的内角的对边分别为.已知. (1)求； (2)求的最大值（其中为的面积）. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，结合正弦定理可化简得， 又为三角形内角，所以， 所以， 因为，则， 所以，故. （2）由面积公式及余弦定理可得， 又，当且仅当时，取等号， 故最大值为. 67．（25-26高一·全国·假期作业）设锐角的内角所对边分别为，且 (1)若的面积为，求的周长； (2)求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，所以， 所以， 则， 即， 因为为锐角三角形，所以，得，所以， 因为，所以， 由余弦定理可得，即， 所以， 所以，即的周长为； （2）由（1）知，， 因为是锐角三角形，所以，，得， 此时， 因为，所以， 综上，的取值范围是. 68．（25-26高一上·广东深圳·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1），即， 由正弦定理得， 即， 因为，所以，所以， 又因为，所以. （2）因为，所以，     则， 所以 ， 因为三角形ABC是锐角三角形，所以，得， 所以，则，即， 所以的取值范围为. 题型十七 距离测量问题（共4小题） 69．（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】题意如图，    当甲船沿航行时，航行的里数最少. 由题意，，在中，根据余弦定理可得： ， 所以. 即甲船至少需要航行的海里数为. 故选：B. 70．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 【答案】D 【详解】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达， 则，，，， 由正弦定理可得：，即， ． 或， （1）若，则，为直角三角形， ； （2）若，则，为等腰三角形， 综上，的值为30或60. 故选：D． 71．（25-26高三下·上海·开学考试）若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则两点的距离为___________m 【答案】 【详解】如图，设与的交点为，则由题知为等腰三角形，所以， 又因为，所以，为等腰三角形，则， 又,所以，所以. 设，因为，所以，所以， 在中，由正弦定理可知，解得， 在中，由余弦定理可得, 代入、，有，代入 化简可得. 72．（25-26高一下·云南曲靖·月考）某渔轮在海上航行，在点A处测得灯塔C在北偏东方向，渔轮以每小时20海里的速度向正东方向航行，1小时后到达点B，此时测得灯塔C在北偏东方向．求灯塔C到航线的距离（结果保留根号）． 【答案】海里 【详解】如图，由题意海里，，， 故，由正弦定理，知 过C作于，则，， 即灯塔C到航线的距离为海里． 题型十八 高度测量问题（共4小题） 73．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设及图知：，则， 在中，可得， 又，可得. 故选：A 74．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，某同学为了测量长江对岸的武汉龟山电视塔塔高时，选取与龟山电视塔塔底B在同一水平面内蛇山上两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图： 在中，因为，，所以， 又，由正弦定理可得：（）. 因为平面，平面，所以， 又，所以为等腰直角三角形，且. 所以. 故选：C 75．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣.索菲亚教堂的高度约为. 故答案为：D. 76．（24-25高一下·广东深圳·月考）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图所示.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为、、，，米，则该建筑的高度______米. 【答案】 【详解】设，在直角三角形OAP中，由，得， 在直角三角形OBP中，由，得， 在直角三角形OCP中，由，得， 由，可得B是AC的中点，所以， 因为，则， 在，中，由余弦定理可得：， 解得，所以该建筑的高度OP为米． 故答案为： 题型十九 角度测量问题（共2小题） 77．（24-25高一下·山东淄博·期中）一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【详解】由已知可知（海里）， 则，故（海里）， 故选：A 78．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 题型二十 解三角形与向量的融合（共5小题） 79．（25-26高一下·陕西西安·月考）已知的面积为，，，则__________. 【答案】 【详解】设角所对的边分别为， 因为，所以， , 即，所以，① 又因为的面积为，，所以，得. 再由余弦定理，② 联立①②解得，即． 80．（24-25高一下·天津武清·月考）在中，角所对的边分别为．向量，，且． (1)求角； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1），，且， ， （其中为的外接圆的半径）， ， ， ，， ，，，； （2），，， ， ， ， 的周长为. 81．（24-25高一下·天津武清·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由已知，可以得到 再利用面积公式可以得到， 由余弦定理知，所以有 即. 因为，所以. （2）由数量积公式可知 由二倍角公式和辅助角公式可得. 所以. 由正弦定理可得， 所以,，因为,所以， 所以 ， 因为，所以. 所以， 所以的取值范围为. 82．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在锐角中，角所对的边分别为，记，，满足． (1)求角； (2)若，且满足，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先应用向量垂直的坐标公式计算，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）分析可得，，，求出角的取值范围，由正弦定理可得出，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）由，则，即， 结合正弦定理可得： ，则， 因为、，则，所以， 可得，故； （2）因为，所以， 是锐角三角形，则， 又，故， 在中，，， 由正弦定理可得， 所以， ， 因为，则，所以， 所以的取值范围是. 83．（25-26高一上·四川成都·月考）记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，求的周长的最大值． 【答案】(1)；(2)9 【分析】（1）本题可先根据向量数量积的定义将展开，再结合余弦定理进行化简，进而求出. （2）本题可根据正弦定理将用角表示，再结合三角形内角和为以及锐角三角形的条件，求出周长的最大值。 【详解】（1）因为 所以 所以由正弦定理得： 所以 又因为， 又因为所以，所以 又因为，所以,即 （2）由正弦定理得, 所以， 所以 又， 得 因为为锐角三角形，即 所以，， 即，， 则，所以的周长的最大值为9 题型二十一 解三角形大题汇编（共19小题） 84．（25-26高一下·河南·月考）已知锐角的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，，求的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由， 根据正弦定理可得， 在中，，则， 即， 又因为为锐角，所以． （2）由余弦定理可知， 即， 化简得，解得（舍去）或，则， 由正弦定理可知，即，得. 85．（2026·广东茂名·一模）中，角所对的边分别为. (1)若，求； (2)若，求的面积. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因为，，所以， 所以，由正弦定理得，解得. （2）因为，所以，即， 因为，所以，所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理得，即，解得， 所以. 86．（24-25高一下·四川泸州·月考）已知的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若外接圆的半径为，且，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：设外接圆的半径为，则， 因为， 所以，即， 因为，， 所以， 因为，， 所以，即， 因为，所以. （2）解：因为外接圆的半径为，， 所以， 因为，， 所以，解得， 所以的面积为 87．（25-26高一下·江苏镇江·月考）在中，角，，的对应边分别为，，，根据各小题条件分别求解. (1)，，，求最小的内角. (2)，是方程的两个根，，求边的长. (3)，，，求边的长. 【答案】(1)；(2)；(3)3 【详解】（1）由小边对小角知最小，且， 又，故； （2）由题设，， 所以， 则； （3）由题设，则， 所以，则（负值舍）. 88．（25-26高二上·贵州遵义·月考）在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若是锐角，且，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由以及正弦定理得，， 所以 因为，所以，所以； （2）因为，且是锐角，所以， 由余弦定理可得， 则， 因为，所以，得， 故的面积为. 89．（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，角，，的对边分别为，，，若，，. (1)求边； (2)求的面积. 【答案】(1)或；(2)或 【详解】（1）由余弦定理得， 整理得，解得. 所以边的值为或. （2）当时，； 当时，. 所以的面积为或. 90．（25-26高一下·广东·月考）在中，角，，所对的边分别为，已知，． (1)求的值； (2)若，求边上的高． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得， 得到，故. （2）由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为h，则，可得，   故边上的高为． 91．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)设的面积为，，判断的形状． 【答案】(1)；(2)为钝角三角形. 【详解】（1）由题意可得，，根据正弦定理可得， 即， 所以，由，可得， 因为，所以，可得. （2）因为的面积为，所以，所以，因为，， 所以，解得或，所以或， 当，时，根据余弦定理，即， 同理当，时，解得， 因为，可得为钝角三角形. 92．（25-26高一上·浙江湖州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若，求边c的值； (2)若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的面积. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）15 【详解】（1）， 由正弦定理，， 得. （2）（ⅰ）由正弦定理及， 得， 即， 又， 所以， 所以，即. （ⅱ）由余弦定理，， 把，，代入， 得， 即，解得， 所以， 所以. 93．（25-26高一上·云南昆明·期末）中，. (1)求； (2)若且，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为中，， 所以由正弦定理可得， 所以由余弦定理可得， 因为，所以. （2）由余弦定理得， 则， 即，解得， 所以面积， 即面积为. 94．（25-26高三上·江西赣州·期末）在中，内角、、的对边分别为、、，若. (1)求的大小； (2)若，为角的平分线，点在线段上，，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理得 ， 所以， 因为、，故，所以，故. （2）因为为角的角平分线，由， 所以，     因为，解得①.     又，由余弦定理知，从而②.     由①②解得，从而的面积为. 95．（25-26高一下·福建宁德·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. (1)求； (2)若，的面积为，且，求、； (3)在（2）的条件下，D为的中点，求中线的长. 【答案】(1)；(2)，.；(3) 【详解】（1）因为角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足， 根据正弦定理得，因为， 所以，所以， 化简得，又，所以. 又，所以. （2）由，，得. 由余弦定理，得. 则，所以.又则，. （3）由于，所以根据余弦定理得. 在中，，所以根据余弦定理得 所以. 96．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在中，内角，，的对边分别为，，，的外接圆的直径为，为锐角，. (1)求的面积的最大值； (2)若点为的内切圆的圆心，求的周长的最大值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：在中，由正弦定理得：，， 所以，又，所以， 由余弦定理得：，即， 又，所以，. 所以，当且仅当时，等号成立， 故的面积的最大值； （2）因为点为的三个内角的角平分线的交点， 所以. 设，， 在中，由余弦定理得：， 即，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以的周长的最大值为，当且仅当时，等号成立， 故周长的最大值为． 97．（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以； （2）因为， 所以， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当时，周长有最小值为； （3）由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 98．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知的角所对的边分别为，且． (1)判断的形状； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)直角三角形，且；(2)． 【详解】（1）由，得，即. 由余弦定理，故， 化简得，即， 所以为直角三角形，且. （2）由，，设，，则，， 周长. 令，， ， . 因 ，故 ，所以易得 . 分子分母同除以 ，并利用正切和角公式： ，由 时，得， 因此 ，故. 99．（25-26高一下·江苏苏州·月考）如图，线段都垂直于线段，， (1)求线段的长度； (2)点为线段上一个动点且点与点、点不重合，当长为多少时，最大？ 【答案】(1)6；(2) 【分析】（1）如图，作，设，由题设及正弦定理可得，据此可得答案； （2）设，其中，可得，，由基本不等式知识可得最小值，据此可得答案. 【详解】（1）如图，作，设，则. 因，则，又， 则，.又，则. 又，则. 由正弦定理：， 得： ，则； （2）设，其中 . 则，， ，令， 则， ，当且仅当时取等号. 则此时最小，从而最大. 100．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； (3)求的内切圆半径的最大值． 【答案】(1)；(2)面积最大值为；(3)内切圆半径最大值为 【详解】（1）依题意，， 整理得：， 由余弦定理：， 因为是锐角三角形，，故； （2）由（1）得，三角形的面积， 由基本不等式，结合， 得：当且仅当时等号成立， 代入得：； （3）三角形的面积，故， 代入得：， 由，得，代入化简：， 由正弦定理得，而，由是锐角三角形得， ， 当时，，，代入得：. 101．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）如图，某市在两条直线公路上修建地铁站和，，为了方便市民出行，要求公园到的距离为，设. (1)试求的长度关于的函数关系式（的面积）； (2)问当取何值时，才能使的长度最短，并求其最短距离. 【答案】(1)；(2)， 【分析】（1）设，作于点，在，中，分别表示出，再由三角形面积公式得到，将代入即可得解； （2）利用三角恒等变换将（1）中所得的的解析式化简变形，再利用三角函数的性质即可求出的最短距离. 【详解】（1） 设，如图所示，作于点. 在中，，即， 在中，同理可得. 由题意知，的面积，解得. 将代入上式可得； （2）由（1）知 ， 因为，所以， 所以当，即时，取到最大值1， 此时分母最大，值最小， 最短距离为. 故当时，的长度最短，最短距离为. 102．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某湿地公园为方便民众周末游玩，拟建造一个四边形的亲子游乐园，如图所示.为考虑亲子游玩的需求，在四边形区域中，将三角形区域等分为植物园和科学博览园，三角形区域建成游乐场，相互间修建游览小径，连接，其中米，米，．    (1)如果游乐园区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么小径需要修建多长？ (2)考虑到儿童游玩的安全性，在规划四边形区域时，首先保证游乐场的占地面积最大时，再使得植物园的面积尽可能大，求满足条件的的长度． 【答案】(1)米；(2)米 【分析】（1）由米，米，结合三角形面积公式求得，根据同角三角函数关系式求得，利用余弦定理求得； （2）由三角形的面积为，知当时，取得最大值，因此的面积取得最大值，求出.因为植物园和科学博览园等分区域，所以要使植物园的面积尽可能大，须使 区域面积尽可能大.由三角形面积公式知，由余弦定理及基本不等式可得的最大值，及此时的长度. 【详解】（1）（1）由题可知，所以. 因为，所以. 若，则由余弦定理得. 所以所以是锐角， 因为，所以是锐角三角形，与是钝角三角形矛盾，所以. 所以. 所以 所以小径BD需要修建米. （2）的面积为，当时，取得最大值，最大值为1， 因此的面积最大为平方米. 此时，. 因为植物园和科学博览园等分区域，所以要使植物园的面积尽可能大，须使 区域面积尽可能大. 的面积为. 由余弦定理，得， 所以，即. 当且仅当时，等号成立. 所以植物园面积最大值为平方米，此时米. 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05解三角形 题型归纳·内容导航 题型1余弦定理解三角形 题型12三角形中线问题（重点) 题型2正弦定理解三角形 题型13三角形高的问题（重点) 题型3正弦、余弦定理综合解三角形（重点） 题型14三角形角分线的问题（重点） 题型4判断三角形解的个数（易错点） 题型15多三角形或四边形问题（难点） 题型5求三角形外接圆半径 题型16解三角形的范围与最值问题（难点） 题型6边角互化（重点） 题型17距离测量问题 题型7判断三角形形状（重点） 题型18高度测量问题 题型8求三角形周长（常考点） 题型19角度测量问题 题型9求三角形周长的最值（范围）（常考点） 题型20解三角形与向量的融合 题型10三角形面积公式及应用（常考点） 题型21解三角形大题汇编（重点) 题型11求三角形面积的最值（范围）（重点） 题型通关·靶向提分 题型一余弦定理解三角形（共4小题）】 1.(25-26高一下广东·月考)在ABC中，若AB=1,AC=5,BC=3√2，则B=（) A.30 B.459 C.135° D.150° 2.(25-26高一上.北京东城期末)在ABC中，若A=120,AB=5,BC=7,则AC等于 () A.8 B.6 C.4 D.3 3.(24-25高一下.江苏南通期中)在ABC中，若(a+b+c)川a-b+c=ac,则B=() A.30 B.60° C.120° D.150 4.(25-26高一下·云南曲靖月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 a=3,b=5,sinC=4,则c= 题型二正弦定理解三角形（共3小题） 1/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5,(25-26高三上·内蒙古锡林郭勒期末)在ABC中，设角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 4=5x b=2V5,C=π 2,则c=() A.2W2 B.3 C.3√2 D.26 6.(25-26高一下江苏无锡月考)在ABC中，a=2,c=2V3,A=30°，则C=() A.30 B.60 C.120 D.60或120 7.(25-26高一下·云南曲靖·月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若 a=2,b=√6，B=60°，则A=() A.30 B.45 C.60 D.90 题型三正弦、余弦定理综合解三角形（共3小题） 8.(25-26高三上山东青岛·期末)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,B= 4 c=√2，a=3,则sinA=() A.3V10 B.10 C.v5 D.V10 10 5 5 10 9.(25-26高一下江苏无锡月考)在ABC中，若∠A=60°，b=2,其面积为2√3，则 a+b+c sin4+sinB+sinc=（) A.1 B.2 C.3 D.4 10.(25-26高三上山东枣庄·月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 c=25,C-号smB=2sn4,则a的值为《） A.2 B.3 C.5 D.4 题型四判断三角形解的个数（共4小题） 1.(25-26商三上河北保定月考)在4BC中，若4C-=6,C=晋，48=2，则48c解 的个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.不确定 12.(多选)(24-25高一下·云南曲靖·开学考试)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是() A.a=8,b=16,A=30 B.a=25,b=30,A=150° C.a=30,b=40,A=30° D.a=72,b=30,A=45 2/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(2025高一下江苏南京专题练习)在ABC中，已知BC=2,B=, 了，若该三角形有 两个解，则AC的取值范围是· 14.(25-26高一上·上海宝山期末)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C, 已知a=8，B-石要使该三角形有唯一解，则b的取值范围为 题型五求外接圆半径（共4小题） 15.(25-26高一上广东汕头期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 a=24=牙，则4BC外接圆半径为 16.(24-25商一下上海宝山，月考)在4BC巾，∠A=骨b=25=5,则其外接圆 的半径为 17.(25-26高三上河北衡水期末)在ABC中，内角A,B,C所对边分别是a,b,C,若 6sinB-acosC=ccosA,且b=3,则ABC外接圆的面积为 18.(25-26高一上福建厦门期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C, 已知a=2√5，(sinA-sinB)b+2V3]=c(sinB+sinC),则ABC外接圆的面积为： 题型六边角互化（共5小题） 19.(2025江西南昌·二模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 b=3,2acosC+2ccos A=3a,a=( A.2 B.3 c.4 20.(多选)(2026高一下.全国.专题练习)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b, c,若√2a=2 bsin A,则B=() A.π B.π C.5π D.3x 6 4 6 4 21.(25-26高一上广东深圳期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 2asin Bt =√3c,2sinB=3sinC,则a的值为() 3 A.2 B.3 C.3 D.7 22.(25-26高一下.全国课后作业)已知ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 且c-公=0，C-号则品的值为 23.(2026高一下.全国.专题练习)在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且 3/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ac0sB+56=e,则A 2 题型士判断三角形形状（共5小题） 24.(24-25高一下江苏南京，期中)在ABC中，其内角A,B,C的对边分别为a,b,C, 若a cos B-bcosA=c,则ABC的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 25.(25-26高一下.上海普陀·月考)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若c=2 bcos4,则ABC的形状为() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 26.(24-25高一下江苏盐城期中)在ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若 2sin=a-C,则该三角形一定是() 2 A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形 27.(24-25高一下.北京朝阳·期中)在ABC,若a cos B=bcosA,且a=bsinC,则ABC 的形状是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形 28.(多选)(25-26高一下江苏无锡月考)ABC的内角：A,B,C所对边分别为a,b,c,下 列说法中正确的是() A.若sinA>sinB,则A>B B.若sin2A=sin2B,则ABC是等腰三角形 C.若a2+b2-c2>0,则ABC是锐角三角形 D.若=b sincosBcosC,则ABC是等腰直角三角形 题型八求三角形周长（共4小题） 29.(25-26高三上辽宁期中)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为Q,b,C,若 C-胥ab:6,c=万，则4BC的周长为 30.(25-26高一下山西临汾开学考试)在ABC中，边a,b,c分别为角A,B,C的对边，满 足A=T,b+c=2a,△ABC的面积为25，则ABC的周长为· 3 31.(25-26高一下山西临汾开学考试)在ABC中，边a,b,c分别为角A,B,C的对边，满 4/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 足A=工，b+c=2a,△ABC的面积为25，则ABC的周长为一 3 32.(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 a+3c=hc0s4,且ABC的面积为5 2 (1)求cosB的值： (2)若bsinC=2√2，求ABC的周长， 题型九求三角形周长的最值（范围）（共4小题） 33.(2023陕西西安.一模)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且满 足a+2 bcos A-2c=0,若b=2√5，则ABC周长的取值范围为· 34.(25-26高一下，广西贵港.月考)ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C. (1)求A: (2)若a=3,求ABC周长的最大值； (3)若a=3,求ABC面积的最大值. 35.(24-25高一下.内蒙古锡林郭勒期中)锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知2cosA(ccos B+bcosC)=a. (1)求A; (2)若a=3,求ABC的周长的取值范围。 36.(2026浙江·模拟预测)己知△ABC的外接圆半径为2，△ABC的内角A,B,C的对边分 别为a,b,c,且a<ccosB. (1)试判断△ABC的形状： (2)若a cos B+bc0sA=2V5,求△ABC周长的最大值. 题型士三角形的面积公式及应用（共5小题） 37.（25-26高三下.安微月考)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 bc=6,b2+c2-a2=8V2,则ABC的面积为() A.1 B.√2 C.2 D.22 38.(25-26高三上山西晋中期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若 a=4,b=5,c=7,则ABC的面积为() A.4V6 B.2W6 C.4 D.8 5/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 39.(25-26高一上·浙江湖州·期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为α，b,c,若 A=2B,c=2b=2,则ABC的面积为() A.5 B.1 c.3 2 0. 40.(多选)(2026陕西咸阳.一模)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C, =23 已知a=2,c= A=120,则() 3 A.b=22 B.C=309 3 C.ABC的周长为2+5 D.ABC的面积为 3 41.(25-26高一下·云南曲靖月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 a cosC+3asin C-b-c=0. (1)求角A的大小； (2)若a=2,△ABC的面积为√5，求b,c的值. 题型十一求三角形面积的最值（范围）（共4小题） 42.(多选)(25-26高一下·云南曲靖·月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 且c=2C=行，则下列汽法正确的是() A.a2+b2-ab=4 B.a+b的最大值为4 C.ABC面积的最大值为3 D.若ABC为锐角三角形，则a的取值范围是1,2) 43.(多选)(2026高一全国.专题练习)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b, C,则下列说法中正确的有() A.若0=6，A=行，则48C面积的最大值为37 B.若a=6,b+c=8,则ABC面积的最大值为3万 C.若角4的内角平分线交BC于点D,且8C},a=3,则4BC面积的最大值为3 D.若4B=8C,M为sC的中点，且AM=2,则48C面积的最大值为 44.(2026高一下·福建莆田专题练习)在ABC中，AB=AC,D为AC中点，BD=√5， 则ABC面积的最大值为 45.(24-25高一下.重庆月考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知 bsin A-a cos B=0. 6/17 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求角B的大小； (2)若c=√2，b=√5，求a: (3)若b=2,求△4BC面积的最大值， 题型土二三角形中线问题（共3小题） 46.(25-26高三上浙江期末)在ABC中，∠BAC=60°，BC=4,D为BC边上的中点，且 AD=3,则ABC的面积为() A.3 B.5v5 c.33 D.53 2 4 2 47.(2026湖北孝感一模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 AB.AC=-22,a=12,则边BC上的中线长为() A.11 B.4 C.6 D.10 48.(2026河南南阳模拟预测)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,a2+b2=c2+4,且ABC的面积为V5. (1)求C: (2)若ABC的外接圆半径为√5，D为AB的中点，求CD的长 题型土三三角形高的问题（共4小题） 49.(25-26高三上湖南长沙月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C, 已知c=2b,A=120°. (1)求cosB的值； (2)若a=4√7，求BC边上的高 50.(25-26高二上广东汕头期末)己知ABC中，A、B、C的对边分别为a、h、c,且ABC的 面积5=5b 4 (1)求C: (2)若a=2,b=5,且B为钝角，求ABC边AB上的高. 51.(25-26高三上河南三门峡，期末)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且2a+ccosB+bcosC=0, (1)求B的大小： 7/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知b=√5，BD为AC边上的高，求BD的取值范围. 题型土四三角形角分线问题（共6小题） 52.(2026河南模拟预测)在ABC中，AB=4,BC=5,AC=√21，D为边AC上一点， 且BD平分∠ABC,则BD=() A.20W3 B.②1 9 3 c.9 0.4 53.(25-26高二上·安徽滁州期末)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为 C的面积为NB,角A的平分线交边BC于点D,且BD A.√5 B.√10 c.4 D.4 54.(多选)(25-26高三上山西临汾期末)已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的 对边，D为BC边上一点，ABC的面积为5，且满足2sinC=csinB,bcos4:-l,则() A.b=2 B.当AD为中线时，4D= 2 C.当AD为高线时，AD= 8 D.当AD为角平分线时，AD=? 3 55.(2026高一下.全国.专题练习)ABC中，BC=2√3，A=60°，ABC的面积等于 2√3，则角平分线AD的长等于 56.(2026高一.全国.专题练习)已知ABC的面积S=b2sinA,角A的平分线AD交BC于 D,AD=25,4=5,则b= 3 57.(25-26高一下.江苏无锡开学考试)在ABC中，D在边AB上，CD平分∠ACB,若 AC=3,BC=1,且CD=√2，则AB=· 题型土五多三角形或四边形问题（共5小题） 58.(25-26高一下江苏无锡·月考)在ABC中，己知AB=12,AC=9,∠BAC=120°，点E在 线段BC上，且满足2BE=EC,则AE的长度为 59.(24-25高一下·吉林松原，期末)在ABC中，已知B=45°，D是BC边上一点，如图， ∠BAD=75°，DC=1,AC=√5，则AB=() 8/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.5 B.5 c.6 D.6 2 60.(25-26高一上浙江温州期末)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,己知 b=2,c=3 Hacos B=4cosA. (1)求A: (2)点D是线段BC上靠近点B的三等分点，求AD 61.(24-25高一下.湖南岳阳期末)为助力第四届湖南旅游发展大会，提高游客舒适度，岳 阳政府决定新增若干休闲区域.如图，某休闲区域ABCD是四边形，其四周是步道，中间是 花卉种植区域，为方便观赏，中间穿插了步道AC,已知∠D=2∠B,AD=1,CD=4, cosB=4 B (1)求步道AC的长； (2)若 ；求花卉种植区域总面积 从①∠BCA=T,②AB-BC=√6这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 4 62.(25-26高一下福建宁德月考)如图，在ABC中，∠ABC=90°，AB=23,BC=2, P为ABC内一点，且∠BPC=90° (1)若PB=1,求PA的长： (2)若∠APB=150°，求tan∠PBA. 题型土六解三角形的范围与最值问题（共6小题） 9/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 63.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨期末)在ABC中，其面积为1，AB=2AC,BC的最小值 为() A.2 B.√2 C.3 D.5 64.(25-26高三上湖南长沙期末)已知ABC的面积为6，D,E分别是AB,AC的中点，若 2CD=3BE,则BC长度的最小值为 65.(24-25高一下广西柳州期末)在△ABC中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c, HbcosC+ccos B=2a cos A. (1)求角A的大小； (2)若b=2,S.4c=3V3，求a (3)若△ABC为锐角三角形，a=√5，求b+c的取值范围. 66.(25-26高一上江苏南通·期末)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知 asin A+B -csin A. 2 (1)求C: 2迷，，”。的最大值其中S为△BC的面秘 67.(25-26高一，全国假期作业)设锐角ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且 sin(B-4)+3cosB sinC. (1)若a=2,△ABC的面积为√5，求ABC的周长； (2)求cosB+cosC的取值范围. 68.(25-26高一上广东深圳期末)在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b ，c,且cos4_2c-a cosB b (1)求角B的大小： (2)若b=2√5，求a2+c2的取值范围. 题型土士距离测量问题（共4小题） 69.（24-25高一下.浙江杭州·期中)位于P处的雷达接收到在其正东方向相距20√2海里的 B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东严且与P处雷达 相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为() 10/17