专题4.6 立体几何中的线线角、线面角、二面角、距离问题8大题型（期中复习讲义）高一数学下学期人教A版

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题4.6立体几何中的线线角、线面角、二面角、距离问题 (期中复习讲义) 内容导航 明期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01定义法求线线角 题型02定义法求线面角 题型03体积法求线面角 题型04定义法求二面角 题型05三垂线、垂面法求二面角 题型06射影面积、补形法求二面角 题型07线面角与二面角综合 题型08求点到平面的距离 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 求线线角 掌握平移法将异面直线转化为相交直 基础题型，常与平行、垂直结合考查，平移 线；能利用几何性质求夹角； 法是核心，坐标法更通用，注意异面直线所 成角与向量夹角的区别 求线面角 理解线面角是直线与它在平面内射影的 高频考点，常在解答题中出现，关键是确定 夹角；能找出或作出射影线；掌握公式法 斜线在平面内的射影位置 求二面角 掌握作二面角平面角的方法（棱上一点作 核心必考，常在解答题第二问出现，是立体 垂线、三垂线法、垂面法)；能利用几何 几何的难点，需根据图形特征选择作角方法， 性质求二面角； 向量法可避免作角过程 求点到平面的距 掌握等体积法（三棱锥等体积反求高）； 中等难度，常与线面角、二面角结合考查， 1/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 离 能利用几何性质（线面垂直）直接找距离； 等体积法最常用 记·必备知识 邑知识点1异面直线所成角 1、定义：异面直线所成角是空间中两条不共面直线的夹角，通过“空间问题平面化”转化为两条相交直线的 夹角， 其取值范围为(0，]（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。 2、利用平行去平移，分别作两条异面直线的平行直线，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随 后在由平行线构成的三角形中，利用边角关系（如余弦定理、正弦定理）求解角度。 同知识点02线面角 1、定义：平面上的一条斜线PA与它在平面α的射影AB所成的角即为斜线与平面的线面角，范围为 [0:90找线面角的方法有两种定义法与体积法。 2、找线面角的方法 (1)定义法：能直接找到P点在心平面的射影B点，能计算出PB或者AB,则线面角的正弦或余弦可求。 Q (2)体积法：如果没法直接找到P点在平面的射影B点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信 息，通过体积求出P点到平面的高度h,则线面角的正弦可求。 曼知识点03二面角 1、三垂线定理 (1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线 垂直。 (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该 2/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 平面内的射影垂直。 三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的重要依据。 2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两 个半平面叫做二面角的面在两个半平面作两条与棱垂直的射线，如图a,b则它们组成的角为二面角的平面 角，范围为[0：180] 3、二面角的求法 (1)定义法：如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱1垂 直的两条线 (2)三垂线法：当无法直接找到与棱1垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面α找 一点P点，过P点作平面的垂线PA(注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面B垂直的平面，在平面上 作垂线)，然后过A或者P作棱的垂线交于B点，连接成直角三角形PAB,即可求二面角的平面角。 D ... A (3)垂面法：若题月条件中能找到棱1垂直的平面，则找出该平面与α，B的交线即可。若题目中有与棱！垂 直的直线，如图如果AP与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 (4)射影面积法：已知平面内的△ABP在平面a的投影为△ABP,则平面α和平面3所成的二面角 的平面角大小为6，则c0s日=宁 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可 以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 3/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (5)补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交 线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题.补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 局知识点4求空阃距离 求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解 破·重难题型 巴题型一 定义法求线线角 :解|题|技巧 1、做出平移构造异面角的平面角 :2、注意异面直线所成的角有范围限制，若是钝角，则需要求其补角。 【典例1】(25-26高一上？河北唐山？月考)在直三棱柱ABC-A,B,C,中， AB=AC=2,AA,=3,∠BAC=60°，则异面直线AB与AC,所成角的余弦值为() A号 B. 13 D.② 2 【典例2】(25-26高二上？广东汕尾？期末)在棱长为2的正四面体ABCD中，M,N分别为BC,AD的中 点，则直线AM和CN夹角的正弦值为() A.⑤ 3 2-3 B. D. 2√2 3 【变式1】(25-26高一下？全国？课后作业)在平行四边形ABCD中，AD=3,AC=4,c0s∠ADC=3 现将△DAC沿AC折叠至△PAC,使得PB=√34，则AB与平面PBC所成的角的正弦值为() 4/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B. 12 25 【变式2】(25-26高一下？全国？课后作业)己知正三棱柱ABC-A,B,C,的侧棱长与底面边长相等，则AB, 与侧面ACC,A所成角的正弦值等于() A. V6 B. V10 2 C. 3 4 4 2 D. 2 题型二 定义法求线面角 答|题模|板 1、过斜线上的点作平面的垂线，通过垂线、射影，直线本身构成的直角三角形来求角度 2、注意线面角的角度范围 【典例1】(2026高一？全国？专题练习)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且 PA=PB=Y5AB,记直线PC与底面ABCD所成的角为a,则sina的最大值为一 【典例2】（25-26高二上贵州遵义·月考)如图，在四面体ABCD中，ABC是等边三角形，平面ABC⊥平 面ABD,点M为棱AB的中点，AB=2,AD=2V5,∠BAD=90°. M D (I)求证：AD⊥BC; (2)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值 【变式1】(25-26高三上·河北衡水月考)如图，在三棱台ABC-A,B,C,中，AA,⊥平面ABC,ABC是 等腰直角三角形，且AB=AC=AA=2,G,E,F,D分别是AA,AB,AC,BC的中点 A B E D B (I)证明：A,D∥平面GEF; 5/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求直线AD与平面ABC所成角的正切值 【变式2】(25-26高二上·上海月考)如图，长方体ABCD-A,B,CD中，AB=AD=1,AA,=2,点P为 DD的中点 D P D A B (I)求证：直线AC⊥平面BDD (2)求直线AP与平面DDB所成角的大小 它题型三 体积法求线面角 答|题模|板 如果没法直接找到P点在平面的射影B点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求 出P点到平面的高度h,则线面角的正弦可求。 【典例1】(2025高三全国.专题练习)在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，M,N分别是棱 AB,BC上的动点，且BN=AM,当三棱锥B,-MNB的体积最大时，直线AB与平面B,MN所成角的正弦值 为() A B. 3 C.5 D.22 3 3 【典例2】(25-26高二上·北京期末)在正四棱锥P-ABCD中，0为顶点P在底面内的射影，Q为侧棱 PD的中点，且P0=4,AB=2V2,则直线BD与平面QAC所成角的正弦值为 【变式1】(2025高三·全国.专题练习)如图，已知四面体A-BCD的∠DAB=60°，∠BAC=45°， ∠CAD=45°，AB=4,AC=3,AD=4 6/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求四面体A-BCD的体积： (2)求AB与平面ACD所成角的大小 【变式2】(2025·山东·模拟预测)如图，AB是⊙0的直径，PA与⊙0所在的平面垂直，PA=AB=2,C 是OO上的一动点（不同于A,B),M为线段PB的中点，点N在线段PC上，且AN⊥PC. B (I)求证：AN⊥MN (②)当AC=BC时，求直线PC与直线AM所成角的余弦值 (3)当三棱锥P-AMN的体积最大时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值. 它题型四 定义法求二面角 答|题模|板 找与棱垂直的两条线，如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。 【典例1】(25-26高一下·全国·课后作业)如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,BD⊥CD. (I)求证：平面ABD⊥平面ACD; (2)若AB=2BD,求二面角A-DC-B的正弦值. 【典例2】(2026高一下·全国·专题练习)矩形ABCD中，AB=2AD=2,P为线段DC的中点，将△ADP沿 7/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AP折起，使得平面ADP⊥平面ABCP.在新构造的四棱锥D-PABC中，求解以下问题： C B (I)在DC上是否存在点E使得AD//平面PBE?若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由： (2)求二面角P-AD-B的余弦值. 【变式1】(25-26高二上·四川自贡·期中)如图，正四棱锥P-ABCD中，AC∩BD=0,P0=AD=6.点 E在PD上，PE:ED=2:1. B (I)证明：PD⊥平面EAC; (2)求二面角A-PD-C的余弦值； 【变式2】(2026高一下·全国.专题练习)如图，在四边形ABCD中，AD1/BC,AD=AB,∠BCD=45°， ∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD 中，下列判断正确的个数() ①平面ABD⊥平面ABC ②直线BC与平面ABD所成角是45° ③平面ACD⊥平面ABC ④二面角C-AB-D余弦值为 3 B B4-------- C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型五三垂线、垂面法求二面角 8/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 答|题模|板 作垂线找二面角是几何法求二面角题目的主要思路，若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与 《,B的交线即可。若题目中有与棱！垂直的直线，如图如果AP与棱！垂直，则可以构造出与棱垂直的平面， 即可求出二面角的平面角。 【典例1】(25-26高三下·安徽月考)如图，在ABC中，AC⊥BC,AC=2V5,BC=V5.将ABC以AB为 轴旋转至△ABP,动点P与原来的ABC形成三棱锥P-ABC,点M在棱AB上，且BM=1 D M (I)证明：AB⊥平面PCM (2)记二面角P-AC-B为a,二面角P-BC-A为B (i)证明： anB为定值： tan o (i)当tanB-a取最大值时，求cos∠PMC 【典例2】(2026高一·全国·专题练习)已知圆锥的顶点为S,O为底面圆心，母线S4,SB互相垂直且 △SAB的面积为3，直线S4与圆锥底面所成角为工，则二面角S-AB-0的大小为一 6 B 【变式1】（云南昭通市2025-2026学年高三下学期3月第二次统一测试数学试题）如图，在四棱锥 P-ACD中，AD/BCAB=BC=CD=4D=2PA=PB=PC=PD-5 D B C (1)求证：平面ABCD⊥平面PAD; 9/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若PM=PD,求平面MAB与平面ABCD的夹角的正弦值. 【变式2】(2026高一下全国：专题练习)如图，正三棱柱ABC-ABC,的底面边长为3，侧棱A4=5, 点D是CB延长线上一点，且BD=BC,求二面角B,-AD-B的大小. B 它题型六 射影面积、补形法求二面角 答|题模|板 射影面积法：已知平面内的△ABP在平面α的投影为△ABP,则平面a:和平面P所成的二面角的平 面角大水为8，那s0=器 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可 以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称 为补形)，然后借助前述的定义法与三垂线法解题.补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 【典例1】(25-26高一下·浙江·开学考试)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PA⊥底面ABCD,PA=AB=2.过点A作AE⊥PB于E,作AF⊥PC于F,连EF D (I)证明：EF⊥PC: (②)求平面AEF与底面ABCD所成角的余弦值 【典例2】(2025上海黄浦一模)如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC, BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点. 10/19 专题4.6 立体几何中的线线角、线面角、二面角、距离问题（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01定义法求线线角 题型02定义法求线面角 题型03体积法求线面角 题型04定义法求二面角 题型05三垂线、垂面法求二面角 题型06射影面积、补形法求二面角 题型07线面角与二面角综合 题型08求点到平面的距离 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 求线线角 掌握平移法将异面直线转化为相交直线；能利用几何性质求夹角； 基础题型，常与平行、垂直结合考查，平移法是核心，坐标法更通用，注意异面直线所成角与向量夹角的区别 求线面角 理解线面角是直线与它在平面内射影的夹角；能找出或作出射影线；掌握公式法 高频考点，常在解答题中出现，关键是确定斜线在平面内的射影位置 求二面角 掌握作二面角平面角的方法（棱上一点作垂线、三垂线法、垂面法）；能利用几何性质求二面角； 核心必考，常在解答题第二问出现，是立体几何的难点，需根据图形特征选择作角方法，向量法可避免作角过程 求点到平面的距离 掌握等体积法（三棱锥等体积反求高）；能利用几何性质（线面垂直）直接找距离； 中等难度，常与线面角、二面角结合考查，等体积法最常用 知识点01 异面直线所成角 1、定义：异面直线所成角是‌空间中两条不共面直线‌的夹角，通过“空间问题平面化”转化为‌两条相交直线的夹角‌，其取值范围为（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。 2、利用平行去平移，分别作两条异面直线的‌平行直线‌，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随后在由平行线构成的三角形中，利用‌边角关系‌（如余弦定理、正弦定理）求解角度。 知识点02 线面角 1、定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的角即为斜线与平面的线面角，范围为. 找线面角的方法有两种定义法与体积法。 2、找线面角的方法 （1）定义法：能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可求。 （2）体积法：如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 知识点03 二面角 1、三垂线定理 （1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直。 三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的重要依据。 2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.在两个半平面作两条与棱垂直的射线，如图则它们组成的角为二面角的平面角，范围为 3、二面角的求法 （1）定义法：如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱垂直的两条线 （2）三垂线法：当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面找一点点，过点作平面的垂线（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面垂直的平面，在平面上作垂线），然后过或者作棱的垂线交于点，连接成直角三角形，即可求二面角的平面角。 （3）垂面法: 若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 （4）射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 （5）补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 知识点04 求空间距离 求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解． 题型一 定义法求线线角 解｜题｜技｜巧 1、做出平移构造异面角的平面角 2、注意异面直线所成的角有范围限制，若是钝角，则需要求其补角。 【典例1】（25-26高一上�河北唐山�月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使，连接,可得（或其补角）就是异面直线 与所成的角. 【详解】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在 中， 由余弦定理： 【典例2】（25-26高二上�广东汕尾�期末）在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接MD，取其中点Q，连接，由得到是直线AM和CN的夹角或补角，接着在中由余弦定理求出即可求解. 【详解】连接MD，取其中点Q，连接， 由题意可得， ，且， 所以是直线AM和CN的夹角或补角，， 所以. 所以，即直线AM和CN夹角的正弦值为. 故选：A 【变式1】（25-26高一下�全国�课后作业）在平行四边形中，，，，现将沿折叠至，使得，则与平面所成的角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理计算求解，结合线面垂直判定定理得出平面，最后应用线面角的定义结合边长关系得出正弦值即可. 【详解】在中，， 即，解得（舍负），故，可得， 在中，，可得， 等腰中，， 所以中，， 在中，，所以，可得， 因为，，是平面内的相交直线， 所以平面，可得， 在中，，所以，可得， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 若与平面所成的角为，则． 故选：B． 【变式2】（25-26高一下�全国�课后作业）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，取中点，连接， 由题知，又为中点，所以. 又因为侧棱垂直于上下底面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. 则为与侧面所成的角， 令各棱长为1，则． 题型二 定义法求线面角 答｜题｜模｜板 1、过斜线上的点作平面的垂线，通过垂线、射影，直线本身构成的直角三角形来求角度 2、注意线面角的角度范围 【典例1】（2026高一�全国�专题练习）在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】分别取、中点、，过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出平面，可知，设，，利用线面角的定义结合基本不等式可求得的最大值. 【详解】分别取、中点、，因为，则， 在正方形中，且， 因为、分别为、的中点，所以且， 故四边形为平行四边形，故， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设，， 因为，所以，故， 又因为为的中点，所以， 则，， ， 所以， 令，所以， 当且仅当，即时，的最大值为. 【典例2】（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明过程详见解析. (2) 【分析】（1）根据面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直. （2）根据面面垂直得到线面垂直，得到即为直线与平面所成的角，在直角三角形中求正弦值即可. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 又平面，所以. （2）连接. 因为是等边三角形，点为棱的中点，所以，. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 在中，. 在中，. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【变式1】（25-26高三上·河北衡水·月考）如图，在三棱台中，平面，是等腰直角三角形，且，，，，分别是，，，的中点.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，说明为的中点，从而可得，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）由平面，可得为直线与平面所成的角，再解即可. 【详解】（1）如图，连接交于点，连接， 因为分别是的中点，所以， 因为是的中点，所以为的中点，    又因为是的中点，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 则，又，，平面， 则平面，又平面， 所以， 所以为直线与平面所成的角， 在等腰直角中，， 所以，又，所以， 即直线与平面所成角的正切值为. 【变式2】（25-26高二上·上海·月考）如图，长方体中，，，点为的中点. (1)求证:直线平面 (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得、，再由线面垂直判定定理即可得证； （2）设和交于点，连接，即可得到，则为直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）在长方体，因为， 所以四边形是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2）如图所示，设和交于点，则为的中点，连接 是的中点，. 由（1）知为在平面内的射影，故为直线与平面所成角， 且， ， 又， 直线与平面所成角的大小. 题型三 体积法求线面角 答｜题｜模｜板 如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）在棱长为2的正方体中，，分别是棱上的动点，且，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定三棱锥的体积最大时，，的位置，利用等体积法可以求出B点到平面的垂线段的长度，设斜线与平面所成的角为，斜线长为，则根据即可求解. 【详解】如图，设，则， 正方体中，平面，    则，所以当最大时，最大． 而，当且仅当， 即时取等号，则取最大值时，分别是的中点， 此时，，则． 设到平面的距离为，由得，即，解得． 设直线与平面所成的角为，则． 故选：A． 【典例2】（25-26高二上·北京·期末）在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为________． 【答案】/ 【分析】由题设利用求出点D到平面的距离为d，即可由线面角定义计算得解. 【详解】由题意可得点Q到平面的距离为2，， 且，即， 所以正四棱锥的侧棱长为， 所以，由正四棱锥结构特征可得，则， 所以， 设点D到平面的距离为d， 由，得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：.    【变式1】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知四面体的，，，，，.    (1)求四面体的体积； (2)求与平面所成角的大小. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）取的中点，易证平面，根据已知求相关线段长度，由四面体的体积等于，即可得解； （2）应用等体积法求到平面的距离，再由线面角的定义求角的大小即可. 【详解】（1）由题设，同理可得，所以. 由题意知，是边长为4的正三角形，取的中点，则， 由，平面，则平面，    所以，， 所以，则， 所以， 所以四面体的体积为； （2）设到平面的距离为，则，而， 所以，故与平面所成角正弦值为， 结合线面角的范围知，与平面所成角大小为. 【变式2】（2025·山东·模拟预测）如图，是的直径，与所在的平面垂直，，是上的一动点（不同于），为线段的中点，点在线段上，且．    (1)求证： (2)当时，求直线与直线所成角的余弦值 (3)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）应用线面垂直判定定理得出平面，平面 进而得出线面垂直； （2）应用异面直线所成角结合余弦定理计算求解； （3）先根据线面垂直得出点到平面的距离，进而结合基本不等式得出正弦值为． 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为在平面内，所以   又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以． （2）因为，所以，所以   又因为为等腰直角三角形，为的中点，所以   取的中点为，连接，则，且， 所以为异面直线，所成的角或其补角   在直角中，，所以， 在中，， 所以， 直线与直线所成角的余弦值为． （3）设，则，    设，则． 过点作的垂线，垂足为， 由于是确定的， 所以当三棱锥的体积最大时， 即为点到平面的距离最大， 即点到平面的距离最大． 过点向作垂线，垂足为，又因为平面， 所以，平面，所以平面， 所以为点到平面的距离． 故， ， 当，即时等号成立   此时，，则点到平面的距离为 ， 故直线与平面所成角的正弦值为． 题型四 定义法求二面角 答｜题｜模｜板 找与棱垂直的两条线，如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。 【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先由线面垂直的性质得，结合已知及线面垂直判定定理证得平面，再由面面垂直的判定定理推出平面平面； （2）先确定为二面角的平面角，再在中结合用勾股定理求出，最后利用正弦的定义求得二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：平面，平面， ，又且． 平面．又平面平面平面． （2）由（1）知为二面角的平面角． 在Rt中，，，． 即二面角的正弦值为． 【典例2】（2026高一下·全国·专题练习）矩形中，，P为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题： (1)在上是否存在点使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)存在，E是线段上靠近点C的三等分点． (2)． 【分析】（1）设交于点F，可证，因此只要，就有，进而可得平面； （2）先证，平面，得，计算，从而证明，得出为二面角的平面角，然后由余弦定理计算． 【详解】（1）存在．如图所示： 连接，，设交于点F， ，且， ． 取的三等分点，使，连接，，，则． 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． （2）在矩形中，，， ，． 又平面平面，平面，平面平面 平面， 平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． 【变式1】（25-26高二上·四川自贡·期中）如图，正四棱锥中，，．点在上，． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）应用正四棱锥的几何特征计算边长，应用余弦定理得出，进而得出，同理得出，最后应用线面垂直判定定理证明即可； （2）应用二面角定义结合（1）得出二面角的平面角为，最后应用余弦定理计算求解. 【详解】（1）因为四棱锥是正四棱锥，且， 则底面，则， 又，所以， 所以， 又因为点在上，，所以， 在中，， 在中，， 所以，所以， 同理， 平面， 所以平面； （2）因为，， 所以二面角的平面角为， 又由（1）知，， 所以在中，， 所以二面角的余弦值. 【变式2】（2026高一下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列判断正确的个数（  ） ①平面平面 ②直线与平面所成角是 ③平面平面 ④二面角余弦值为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据面面垂直的性质及线面垂直的性质定理，可证平面，结合图象，分析证明，即可判断①的正误；根据平面结合线面角的定义，分析求解，即可判断②的正误；根据面面垂直的判定定理，可判断③的正误；分析可得为二面角的平面角，设，求出各个长度，结合三角函数定义，即可判断④的正误. 【详解】对于①：因为，，所以， 又，，所以， 则，即， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 若平面平面，则平面或平面， 由图象得平面于点C，则平面不垂直平面，故①错误； 对于②：在四边形中，由①得平面， 则为直线与平面所成角，且为，故②正确； 对于③：因为平面，平面， 所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故③正确； 对于④：由③得，平面，则为二面角的平面角， 设，则， 因为，所以，所以，故④正确. 故选：C. 题型五 三垂线、垂面法求二面角 答｜题｜模｜板 作垂线找二面角是几何法求二面角题目的主要思路，若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 【典例1】（25-26高三下·安徽·月考）如图，在中，.将以为轴旋转至，动点与原来的形成三棱锥，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)记二面角为，二面角为. （i）证明：为定值； （ii）当取最大值时，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析 （ii） 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）（i） 根据线面垂直的性质定理证明，由此可得，同理，再计算即可； （ii）根据均值不等式计算，设，可得，表示，根据计算即可. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以∽， 所以，即. 由已知可得≌，同理，在中可证. 又，且两直线在平面内，所以平面. （2）（i）由（1）知平面，所以平面平面， 则点在平面内的射影在直线上. 如图，过点分别向引垂线，垂足分别为， 连接，则四边形是矩形. 由于，且两直线在平面内，所以平面， 从而，因此，同理. 因此， 从而，为定值. （ii）由题意可知，由（i）知. 所以， 当且仅当时等号成立. 设此时（为钝角时，在的延长线上，为负）. 计算可得，则，， .由，得， 解得（舍去），所以. 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为____. 【答案】/ 【分析】 根据二面角的平面角的概念，做出二面角的平面角，求出各边长，在求出二面角的平面角的正弦值，可求得二面角的大小. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得，所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 所以，则，，， 因为平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以， 因为，故，即二面角的大小为. 【变式1】（云南昭通市2025-2026学年高三下学期3月第二次统一测试数学试题）如图，在四棱锥中， (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点为，根据等腰三角形性质可得；根据勾股定理，证明；进而通过证明面，再证面面； （2）过作垂足为，过作垂足为，连接，先证即为所求平面与平面的夹角，再结合几何关系求得长度，即可求得结果. 【详解】（1）取的中点为，连接，如下图所示： 在四边形中，，又//，故四边形为平行四边形，故； 在三角形中，，又为中点，故，； 在三角形中，，故； 又面，故面，又面，故面面. （2）因为，故为上靠近的三等分点， 过作垂足为，过作垂足为，连接，如下所示： 由（1）知，，又，故//，又面，故面，又面， 则，又，面，故面，又面，故； 又面面，，面面， 故即为平面与平面的夹角； 在三角形中，因为为上靠近的三等分点，又//，故；； 由（1）知，，故三角形为等边三角形，； 在三角形中，，又，故； 又面面，故，故三角形为直角三角形； 故.，故， 故平面与平面的夹角的正弦值为. 【变式2】（2026高一下·全国·专题练习）如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，点是延长线上一点，且．求二面角的大小． 【答案】60° 【分析】过点作于，连接，由条件证明是的中点，求得，利用三垂线定理证明，即得是二面角的平面角，借助于，即可求得其大小. 【详解】如图，过点作于，连接， 在正三棱柱中，平面，所以是在平面内的射影， 结合，可得，所以是二面角的平面角， 因为，所以是的中点，所以是的中位线， 所以，在中，， 所以，即二面角的大小为60°． 题型六 射影面积、补形法求二面角 答｜题｜模｜板 射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 【典例1】（25-26高一下·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； (2)求平面与底面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而利用线面垂直得线线垂直，即可求证平面，即可得证； （2）根据三角形的边角关系求解长度，进而分别求解,即可根据面积之比求解. 【详解】（1）已知底面，底面，所以， 又，平面， 故平面. 又平面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，平面, 平面， 又平面，， （2）如图，设点在底面的投影分别是， 由题意知分别在上， 由（1）知平面，平面，则， 由于，故是的中点，则是的中点， 在中，，， ， ， 故， 由于，， 则，故， 在中，，， ， 记平面与底面所成角为，. 【典例2】（2025·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点． (1)求证：平面ADE； (2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取的中点，通过平行的传递性得到，由题中条件得到四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理得到平面； （2）设平面与平面所成的锐二面角的大小为，由平面和平面，得到在平面上的射影为，利用余弦定理求出，利用同角关系式求，从而得到和，则，代入数值求解，从而得到二面角的余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，，即， ，G，F分别是线段BE，DC的中点， ，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面； （2）设平面与平面所成的锐二面角的大小为， 平面，平面， 在平面上的射影为， ，， 由可得，，所以. 分别是线段BE，DC的中点，，， ，， ，， 又，， 二面角A-l-B的余弦值为. 【变式1】（2025高二上·江苏南京·专题练习）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理证明，然后由面面垂直的性质定理可证； （2）取中点，连接，，证明为二面角的平面角，然后利用余弦定理求解可得； （3）先作出平面与平面的交线，然后作出二面角的平面角，令，，用表示出，然后可得. 【详解】（1）在梯形中， ，，， ，， ，， 平面平面，平面平面， 平面，平面． （2）取中点，连接，， ，，， ，，为二面角的平面角． 由（1）知平面，平面，， ，， ，， ．    （3）当与，都不重合时，令，， 延长交的延长线于，连接， 在平面与平面的交线上， 在平面与平面的交线上， 平面平面， 过作交于，连接， 由（1）知，， 又，平面，， 平面，平面，． 又，平面，， 平面，，． 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，整理得， 所以 因为为直角三角形，为斜边上的高，所以， 所以， ，， ，．    【变式2】（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在正三棱柱中，为的中点，点在棱上，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：根据题意先求的长，可得，利用，可得，再根据线面垂直的判定证明即可； 方法二：以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直； （2）方法一：延长交于点，过点作，垂足为，连结，又易得，则即为平面与平面的夹角，再解三角形求其余弦值即可； 方法二：以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求平面与平面夹角即可； 方法三：根据射影面积法求平面与平面夹角． 【详解】（1）方法一：在直三棱柱中，， 所以， 所以，所以， 又，所以，，， 则，所以， 所以， 即，又平面， 所以平面． 方法二：如图，以为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以 所以，即 又平面，所以平面． （2）方法一：如图，延长交于点，过点作，垂足为，连结， 则由平面得， 所以即为平面与平面的夹角． 在中，， 所以，即， 又，所以， 所以，所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 方法二：如图，以为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则， 取得，又平面的一个法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 方法三：由（1）知， 记平面与平面的夹角为，则 即平面与平面夹角的余弦值为． 题型七 线面角与二面角综合 答｜题｜模｜板 线面角与二面角一起出现时，通常情况下会共高线，这时，线面角与二面角的正弦值就会有关系。通过这个给出其中一个，求另外一个 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）所在平面外有一点S，已知，与底面所成角为，二面角的大小为，且，求二面角的大小． 【答案】． 【分析】通过作平面于点O，连接并延长交于点D，连接．确定线面角和二面角的平面角，即可求解. 【详解】如图，作平面于点O，连接并延长交于点D，连接． 则是与平面所成的角， ． 平面，平面， ． 又，，平面，平面， 平面． ，平面，，． 是二面角的平面角，即． ，． 又，，平面，平面， 平面． 又平面，∴平面平面， ∴二面角的大小为． 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】比较三个角,,的大小，直接比较角度很困难，但我们可以比较它们的正切值，因为这三个角都在之间，正切函数在这个范围内是单调递增的，所以比较正切值的大小就等同于比较角度的大小． 【详解】解：正三棱柱中，， 正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1， 如图，过作，垂足点为，连接，则， 与所成的角为，且， 又，， 与平面所成的角为，且， ，①， 再过点作，垂足点为，连接， 又易知底面，底面， ，又，平面， 平面， 二面角的平面角为，且，又， ，，②， 又，，③， 由①②③得，又，，，在单调递增， ． 【变式1】（2026·四川成都·二模）在四棱锥中，底面为矩形，，且，记二面角为，直线与底面所成的角为，若，则的值的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】取、中点E、F，证得平面，过点P在平面内作垂足为点O，证得平面，结合线面角、二面角的定义及已知求出相关边，进而列方程求. 【详解】 分别取、中点E、F，因为，则， 在矩形中，，，平面， 所以平面，则， 过点P在平面内作垂足为点O， 所以，，平面，则平面， 连接，所以直线与平面所成角为，于是． 设，则，，于是，，， 所以，则， 所以，解得或． 【变式2】（25-26高二上·上海·月考）如图，在长方形中，，设，将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长； (3)设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)3 (3)证明见解析 【分析】（1）由面面垂直的性质，进而可得平面； （2）在（ii）图中过点作，垂足为，进而得到二面角的平面角为，设，再由二面角的平面角的余弦值为，求出即可求解； （3）利用定义法将所求角的余弦值表示为一元函数，再利用基本不等式求解即可． 【详解】（1）因为四边形为长方形，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面； （2）如图所示，在（ii）图中过点作，垂足为， 交于点，连接．由翻折知 所以二面角的平面角为， 在（ⅱ）图中设，因为中，， 又因为相似，所以，所以， 可得，，， 又平面，所以平面，平面， 所以，又因为平面，平面，所以， 是相交直线，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以， 所以，解得； （3）如图所示，由（2）知， 所以平面平面，所以． 由（1）问，知平面且，所以平面， 又平面，所以，又， 且平面，所以平面， 又平面，所以． 在（ii）图中过点作交于点， 过点作，连接． 由（2）知平面， 又平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以平面， 所以在平面的射影为，所以为直线与平面所成角． 注意到，即， 解得． 又， ，所以， 即，所以， 由（2）知，所以 （当且仅当时等号成立）． 题型八 求点到平面的距离 答｜题｜模｜板 等体积法——将点与平面内三个点构成三棱锥，利用不同底面计算体积相等，反推出点到平面的高。 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由平面，得到，再结合，即可求证； （2）过点A作于点D，通过证明平面，得到即为点A到平面的距离，进而可求解. 【详解】（1）证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． （2）如图所示，过点A作于点D， 平面，平面， ， 又平面 平面． 即为点A到平面的距离． ∴依题意知为与平面所成角， 即，，， 可得． ， 即点A到平面的距离为． 【变式1】（25-26高二上·云南普洱·期末）如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)192； (3). 【分析】（1）利用线面垂直的判定及性质，结合圆锥的结构特征推理得证. （2）利用锥体的体积公式求解即可. （3）证明平面，再利用等体积法求出距离. 【详解】（1）在圆锥中，正方形内接于圆O，则，， 而平面，平面，则，又平面， 因此平面，而平面，所以. （2）由（1）得，由，得， 正方形的面积，而平面， 所以四棱锥的体积为. （3）由正方形，得，而平面，平面， 则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， 在中，，则边上的高， 的面积，由（2）得， 又，因此， 所以直线到平面的距离为. 【变式2】（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接DE，推导四边形BEDF是平行四边形，从而得到，再得到，从而平面BFG，平面BFG，进而得到平面平面BFG，因此得证平面； （2）根据平行线的性质，利用等积法进行求解即可. 【详解】（1）连接， ∵是正方形，，分别是棱，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵是的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面，平面， ∵，直线平面， ∴平面平面，∵平面， ∴平面．    （2）设点到平面的距离为， 因为分别是的中点， 所以， 因为底面， 所以底面，因为底面， 所以， 因为底面为正方形，，分别是的中点 所以，，     因为， 所以， . 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下�全国�课后作业）如图，是平面外的一点，，，D，E分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点F，连接，，根据异面直线定义计算即可求解. 【详解】取的中点F，连接，， 在中，是的中点，F是的中点，． 同理可得． 为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，，又，， ， ，即异面直线与所成的角为． 故选：C． 2．（2026·江苏·二模）已知二面角的大小为，且为内异于的任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出二面角的平面角，根据最小角定理，利用线面角求最小值即可. 【详解】过作，垂足为，于，连接，如图， 则，平面， 所以平面，平面，所以, 所以为二面角的平面角，故， 由最小角定理知，当为与所成线面角时，最小， 此时，重合，取得最小值， 设，则，又，则， 所以，即的最小值为. 3．（25-26高一下�全国�课后作业）如图，在空间四边形中，，，，的长和两条对角线，都相等，且E为的中点，F为的中点，则直线和平面所成的角的正弦值为______________，正切值为______________． 【答案】 / / 【分析】由线面垂直的判定定理证明平面．再由线面角的定义得是与平面所成的角，解三角形即可求解. 【详解】由已知得，和是全等的等边三角形且F是的中点，所以，．又，故平面． 连接，则是在平面内的射影，所以是与平面所成的角． 设空间四边形的边长为a，则在等边三角形中； 在中，． 故． ，故． 故答案为：，. 4．（25-26高二上·上海·月考）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，.    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意可证，，进而证明平面，即可得面面垂直； （2）分析可知是二面角的平面角，结合长度关系运算求解. 【详解】（1）如图所示，连接，    因为是菱形且知，则是等边三角形， 且是的中点，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以平面平面. （2）由（1）可知：平面，平面，则. 且，可知是二面角的平面角， 在中，，， 故二面角的大小为. 5．（2026·上海·高考真题）如图所示正四棱台，其中，. (1)当时，求和平面所成角； (2)证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2)证明见解析，体积为 【分析】（1）作到下底面的垂线，确定线面角的平面角，再通过边长计算该角的大小. （2）连接上下底面对角线的交点，利用正棱台性质证得线线平行，进而证明线面平行；利用线面垂直将三棱锥拆分为两个小棱锥，结合棱台的高计算其体积. 【详解】（1）过作平面ABCD于,连接， 过分别作于于,连接, 如图为在平面上的投影, 由于平面，所以， 由于平面， 所以平面.由于平面，所以. 所以,同理,,四边形为正方形, 所以，为在平面上的投影, 又因平面平面, 所以和平面所成角即，, 故和平面所成角为. （2）连接、交于,连接、交于, 如图,上下底面为正方形,由正棱台性质,可得,且, 所以四边形为平行四边形,所以， 因为平面,平面，所以平面. 由正棱台性质,与上下底面均垂直,则， 因为，平面， 所以平面,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和, 即: 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在三棱锥中，两两垂直，，.    (1)求三棱锥外接球的表面积. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体，得到三棱锥外接球即为长方体的外接球即可求解； （2）设点O到平面的距离为d，由求出d即可由求解. 【详解】（1）由题可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体，    所以三棱锥外接球即为长方体的外接球， 所以所求外接球半径为， 三棱锥外接球的表面积为； （2）设点O到平面的距离为d，， 所以，， 则由， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2．（2025·上海虹口·一模）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点为中点.    (1)若点是线段上的动点，求证：直线与直线不相交； (2)若平面，，，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）先证明平面，然后分析直线与直线交点情况即可证明； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 如图所示：    因为四边形为菱形，所以为的中点， 所以在中有，由分别是的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以直线与直线没有公共点， 即直线与直线不相交. （2）因为平面，点为中点， 所以平面即平面， 所以为三棱锥的高，且， 因为四边形为菱形，且， 所以菱形为边长是2正方形， 所以， 且，即， 又， 在中，， 即为的高， 所以， 设点到平面的距离为， 由等体积法得：， 即， 解得：， 所以点到平面的距离为. 3．（25-26高三下·上海黄浦·开学考试）如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥.已知圆锥 的底面半径为，圆锥的侧面积 ．设是底面圆周上的两点，线段不经过点 O ． (1)求圆锥的体积； (2)二面角 的大小为 ，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由侧面积公式求得母线长，进而得到圆锥高，结合体积公式即可求解； （2）过点作于，连接，确定为直线与平面所成角，进而可求解． 【详解】（1）设圆锥的母线长为，底面半径为， 由题意可得：， 所以， 所以圆锥的体积； （2）因为二面角的大小为， 由圆锥的结构可知：， 所以即为二面角的平面角， 所以，又， 所以， 过点作于，连接， 因为，为平面两条相交直线， 所以平面 所以即为直线与平面所成角， 又， 又平面，在平面内， 所以， 所以， 所以， 即直线与平面所成角大小为． 4．（25-26高二上·辽宁·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证： (1)平面； (2)若平面与平面的交线，求与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接 ，交于点，即证，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）延长交于，连接，则面，面，又面，面，即证 ，得为与平面所成的角，即可求. 【详解】（1）连接 ，交于点， 可知四边形是平行四边形，可得为 中点， 又是的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2） 延长交于，连接，则平面，平面， 又平面，平面， 则直线即为直线．由，且，则， 又且，所以且， 则四边形为平行四边形，故， 所以与平面所成的角与与平面所成的角相等， 因为，又平面，平面， 故，又，平面， 所以平面， 故为与平面所成的角． 因为，所以． 即与平面所成的角为． 5．（25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形． (1)求点到平面的距离； (2)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长． 【答案】(1) (2)点E在线段AD上靠近点D的四等分点处，最大角的正弦值， 【分析】（1）由求距离； （2）设直线与平面所成的角为，则，当时最大. 【详解】（1）点在底面上的射影是与的交点， 平面， 由题意可得､与都是边长为2的等边三角形，，， ，， ， 设点D到平面PBC的距离为， 由得，解得． 故点D到平面PBC的距离为． （2）设直线与平面所成的角为， ∵，平面，不在平面内，∴， ∴E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离． 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使PE最小，此时． 由题意可知：，，平面，且， ，， 在中，， ， 由面积相等， 即，解得：， ，点E在线段AD上靠近点D的四等分点处． 即点E在线段AD上靠近点D的四等分点处时，直线与平面所成的角最大， 最大角的正弦值是，此时. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高二上·贵州遵义·月考）将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接，得到三棱锥，且是棱的中点. (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取棱的中点，连接，先证明平面，再由线面垂直的定义即可得到； （2）先得到是二面角的平面角，再由余弦定理求解即可； （3）设，直线与平面所成的角为，先得到，利用换元法设，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）取棱的中点，连接， 因为，且是线段的中点，所以， 因为，且是线段的中点，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以； （2）连接. 因为，且是棱的中点，所以， 因为，且是棱的中点，所以， 则是二面角的平角， 因为，且是棱的中点，所以， 因为，所以， 因为，且，所以. 在中，由余弦定理可得： ， 即二面角的余弦值为. （3）设， 在中，，， 则， 故， 作，垂足为，则， 由（1）知平面，则， 因为平面，平面，且， 所以平面，即点到平面的距离为， 因为是棱的中点，所以点到平面的距离， 设直线与平面所成的角为， 则， 设，则， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值是. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知是的直径，点是上异于、的一点．设过点的直线垂直于所在的平面，且． (1)若为中点，为线段的中点，为线段上一点，且平面．求证：为线段中点，并求三棱锥的体积； (2)记二面角的平面角为，求的最小值，并指出其取得最小值时点的位置． 【答案】(1)证明见解析， (2)， 为中点. 【分析】（1）由线面平行的性质定理得到，即可求证，由平面，得到到平面的距离即为到平面的距离，结合体积公式即可求解; （2）过作，垂足为，确定即为二面角的平面角，结合通过确定的最大值即可求解. 【详解】（1）因为平面，在平面内，所以没有交点， 又因为都在平面内，所以， 在三角形中，因为为线段的中点， 所以为线段中点， 因为平面， 所以到平面的距离即为到平面的距离， 又平面，， 所以到平面的距离为， 又为等腰直角三角形， 所以， 所以三棱锥的体积; （2） 过作，垂足为， 因为平面，在平面内， 所以，又为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内， 所以， 所以即为二面角的平面角， 在直角三角形中， ， 又为到距离， 所以，当为中点时取得最大值， 所以，当为中点时取得最小值， 即，当且仅当为中点时取得最小值. 3．（25-26高一下·全国·期末）如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． (1)求证：平面；平面平面； (2)若二面角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，利用线面平行的判定定理，证得平面，再利用线面垂直的判定定理，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面． （2）取中点，连接，证得平面，得到，进而证得平面，得到，得到为二面角的平面角，在直角中，求得，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为、分别为、中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面，且平面，所以， 在正方形中，， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）解：取中点，连接， 因为为中点，为的中位线，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为是正方形，， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，， 所以，所以， 即四棱锥的高为， 所以四棱锥的体积为. 4．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图1，在直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转180°后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，且∥. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的余弦值等于，求P到平面的距离； (3)若平面与平面夹角的正切值为，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直得线线垂直，再由线线垂直得线面垂直； （2）连接，由平面，得到，由∥平面，将问题转化为到平面的距离，再利用，即可求解. （3）分别取的中点，连接，利用平面∥平面，将问题转化为平面与平面夹角的正切值为，过点作，得到则为平面与平面夹角，结合等面积法和射影定理，即可求解. 【详解】（1）∵为上底面圆的直径，点在上底面圆周上， ∴，∵∥，∴， 又∵平面，且平面，∴， ∵，且平面， ∴平面. （2）连接，由（1）平面， ∴就是直线与平面所成的角， 即， ∴且，∴，， ∴为直角三角形，∴为弧的中点，∴ 又，∴， 又∵平面平面，且交线为，， ∴平面 ∴点到平面的距离为， ∵∥平面， ∴点到平面的距离等于点到平面的距离，设为， ∵，∴， ∵， ∴ ∴，∴点到平面的距离为. （3）分别取，的中点，，连接，，，则∥，∥， ∵且平面，，且平面， ∴平面∥平面， ∵平面与平面夹角正切值为， ∴平面与平面夹角的正切值为， ∵为的中点，， ∴，， 又∵且平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面， 连接，过点作于点， ∵平面平面，且平面， ∴平面， 平面，, 过点作于点，连接， ，平面， 平面，又平面，， ∴为平面与平面夹角，即， 设，则， ∵，∴， 直角三角形中，， 又∵∥，∴， 在中，由射影定理知，∴， 在直角中，，∴， 在直角中，， 整理得，解得，即， ∴. 5．（25-26高二上·上海·月考）图①是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿折起使得与重合，连接，如图②． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法一：由线面平行的判定定理证明；法二：由面面平行的性质证明； （2）过作交的延长线于点，连接，再根据线面角的定义，作出线面角的平面角，利用边角关系即可求解． 【详解】（1）法一：由题意可知，， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 法二：因为，平面，平面，所以平面， ，平面，平面，所以平面， ，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）过作交的延长线于点，连接， 因为平面平面，且交线为，平面， 所以平面， 所以在平面内的射影为， 所以与平面所成的角为， 因为，所以， 在中，， 在中，，所以， 所以， 所以与平面所成角的正切值为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $