专题4.7 立体几何中大题综合8大题型（期中复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题4.7 立体几何中大题综合（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01求异面直线夹角 题型02求线面角 题型03求二面角 题型04求点到平面距离 题型05求体积问题 题型06立体几何中最值问题 题型07立体几何中折叠问题 题型08立体几何中存在性问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 求异面直线夹角 掌握平移法将异面直线转化为相交直线；能利用中位线、平行四边形找平行线；熟练运用坐标法求向量夹角 基础题型，常在选择题或解答题第一问出现，注意夹角范围为锐角或直角，平移时需找准对应点 求线面角 理解线面角是斜线与射影的夹角；掌握几何法（作垂线找射影）和坐标法（法向量与方向向量夹角）两种解法 高频考点，常在解答题第二问出现，几何法需准确作垂线，坐标法需建系正确，注意角度的正弦与余弦转化 求二面角 掌握几何法（棱上找点作垂线、三垂线法）和坐标法（两法向量夹角）求二面角；能根据图形判断二面角是锐角还是钝角 核心难点，常在解答题第二问或第三问出现，几何法需作角并证明，坐标法计算量较大但过程规范 求点到平面距离 掌握等体积法（三棱锥等体积反求高）和坐标法（法向量投影）；能利用几何性质直接找垂线段 中等难度，常与线面角、体积结合考查，等体积法最常用，需选择合适底面使计算简便 求体积问题 熟练运用柱、锥、台、球体积公式；掌握割补法求组合体体积；能利用等体积法转化底面和高 基础必考，常以三视图或直观图形式出现，注意锥体体积易漏三分之一，台体体积公式需熟记 立体几何中最值问题 掌握将空间量转化为函数或几何轨迹求最值；能利用展开图求表面路径最值；理解运动变化中的临界位置 难度较高，常在压轴题出现，需综合运用几何直观与代数方法，动点轨迹分析是关键 立体几何中折叠问题 理解折叠前后“变”与“不变”的关系（长度不变、角度不变、位置关系可能改变）；能根据折叠后图形建立新的空间关系 综合题型，常在解答题中出现，需分清折叠前后对应点，利用不变量列方程求解 立体几何中存在性问题 掌握先假设存在再列方程求解的方法；能利用平行、垂直、角度、距离条件建立方程；会验证解是否满足几何约束 综合题型，常在解答题最后一问出现，需结合几何特征与代数运算，分类讨论是常见考查方式 知识点01 异面直线所成角 1、定义：异面直线所成角是‌空间中两条不共面直线‌的夹角，通过“空间问题平面化”转化为‌两条相交直线的夹角‌，其取值范围为（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。 2、利用平行去平移，分别作两条异面直线的‌平行直线‌，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随后在由平行线构成的三角形中，利用‌边角关系‌（如余弦定理、正弦定理）求解角度。 知识点02 线面角 1、定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的角即为斜线与平面的线面角，范围为. 找线面角的方法有两种定义法与体积法。 2、找线面角的方法 （1）定义法：能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可求。 （2）体积法：如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 知识点03 二面角 1、三垂线定理 （1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直。 三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的重要依据。 2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.在两个半平面作两条与棱垂直的射线，如图则它们组成的角为二面角的平面角，范围为 3、二面角的求法 （1）定义法：如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱垂直的两条线 （2）三垂线法：当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面找一点点，过点作平面的垂线（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面垂直的平面，在平面上作垂线），然后过或者作棱的垂线交于点，连接成直角三角形，即可求二面角的平面角。 （3）垂面法: 若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 （4）射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 （5）补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 知识点04 求空间距离 求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解． 题型一 求异面直线夹角 解｜题｜技｜巧 1、做出平移构造异面角的平面角 2、注意异面直线所成的角有范围限制，若是钝角，则需要求其补角。 【典例1】（2026·黑龙江·一模）三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取BC中点F，连接，后可得或其补角即为直线与所成角，求出、、的长度后根据余弦定理得线线角的余弦值，注意线线角的余弦值非负. 【详解】 取BC中点F，连接，，因为，故， 故或其补角即为直线与所成角， 因为平面，平面，故， 而，故，同理， 而为中位线，故， 而是边长为的等边三角形，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成角的余弦值为. 【典例2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在正方体中，连接，则， 异面直线与所成的角等于所成的角，而， 所以所求角的大小为. 【变式1】（2027高三·全国·专题练习）在正四棱锥中，为棱上的点，且，设平面与平面的交线为，则异面直线与所成角的正切值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过作辅助线找到两个平面的交线，再利用平行关系将异面直线所成角转化为平面内两条相交直线所成的角，最后在直角三角形中计算正切值. 【详解】如图， 连接并延长交的延长线于点，则点为平面与平面的公共点， 所以即为直线，因为，所以（或其补角）为异面直线与所成的角． 取的中点，连接，则， 设，则，，， 所以，所以异面直线与所成角的正切值为. 【变式2】（25-26高一上·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使，连接,可得（或其补角）就是异面直线 与所成的角. 【详解】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在 中， 由余弦定理： 题型二 求线面角 答｜题｜模｜板 1、过斜线上一点作平面的垂线，连接垂足与斜足，所得线段即为射影；若图形中已有线面垂直关系，可直接利用垂足确定射影。 2、若能利用体积法求出高，这时候不需要做垂线也能求线面角。 【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）在平行四边形中，，，，现将沿折叠至，使得，则与平面所成的角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理计算求解，结合线面垂直判定定理得出平面，最后应用线面角的定义结合边长关系得出正弦值即可. 【详解】在中，， 即，解得（舍负），故，可得， 在中，，可得， 等腰中，， 所以中，， 在中，，所以，可得， 因为，，是平面内的相交直线， 所以平面，可得， 在中，，所以，可得， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 若与平面所成的角为，则． 故选：B． 【典例2】（25-26高二上·辽宁·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证： (1)平面； (2)若平面与平面的交线，求与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接 ，交于点，即证，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）延长交于，连接，则面，面，又面，面，即证 ，得为与平面所成的角，即可求. 【详解】（1）连接 ，交于点， 可知四边形是平行四边形，可得为 中点， 又是的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2） 延长交于，连接，则平面，平面， 又平面，平面， 则直线即为直线．由，且，则， 又且，所以且， 则四边形为平行四边形，故， 所以与平面所成的角与与平面所成的角相等， 因为，又平面，平面， 故，又，平面， 所以平面， 故为与平面所成的角． 因为，所以． 即与平面所成的角为． 【变式1】（25-26高三上·河北衡水·月考）如图，在三棱台中，平面，是等腰直角三角形，且，，，，分别是，，，的中点.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，说明为的中点，从而可得，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）由平面，可得为直线与平面所成的角，再解即可. 【详解】（1）如图，连接交于点，连接， 因为分别是的中点，所以， 因为是的中点，所以为的中点，    又因为是的中点，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 则，又，，平面， 则平面，又平面， 所以， 所以为直线与平面所成的角， 在等腰直角中，， 所以，又，所以， 即直线与平面所成角的正切值为. 【变式2】（25-26高二上·上海·月考）图①是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿折起使得与重合，连接，如图②． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法一：由线面平行的判定定理证明；法二：由面面平行的性质证明； （2）过作交的延长线于点，连接，再根据线面角的定义，作出线面角的平面角，利用边角关系即可求解． 【详解】（1）法一：由题意可知，， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 法二：因为，平面，平面，所以平面， ，平面，平面，所以平面， ，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）过作交的延长线于点，连接， 因为平面平面，且交线为，平面， 所以平面， 所以在平面内的射影为， 所以与平面所成的角为， 因为，所以， 在中，， 在中，，所以， 所以， 所以与平面所成角的正切值为． 题型三 求二面角 答｜题｜模｜板 1、如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。 2、作垂线找二面角是几何法求二面角题目的主要思路，若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 3、射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 【典例1】（25-26高一下·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； (2)求平面与底面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而利用线面垂直得线线垂直，即可求证平面，即可得证； （2）根据三角形的边角关系求解长度，进而分别求解,即可根据面积之比求解. 【详解】（1）已知底面，底面，所以， 又，平面， 故平面. 又平面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，平面, 平面， 又平面，， （2）如图，设点在底面的投影分别是， 由题意知分别在上， 由（1）知平面，平面，则， 由于，故是的中点，则是的中点， 在中，，， ， ， 故， 由于，， 则，故， 在中，，， ， 记平面与底面所成角为，. 【典例2】（25-26高二上·四川自贡·期中）如图，正四棱锥中，，．点在上，． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）应用正四棱锥的几何特征计算边长，应用余弦定理得出，进而得出，同理得出，最后应用线面垂直判定定理证明即可； （2）应用二面角定义结合（1）得出二面角的平面角为，最后应用余弦定理计算求解. 【详解】（1）因为四棱锥是正四棱锥，且， 则底面，则， 又，所以， 所以， 又因为点在上，，所以， 在中，， 在中，， 所以，所以， 同理， 平面， 所以平面； （2）因为，， 所以二面角的平面角为， 又由（1）知，， 所以在中，， 所以二面角的余弦值. 【变式1】（2026高一下·全国·专题练习）矩形中，，P为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题： (1)在上是否存在点使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)存在，E是线段上靠近点C的三等分点． (2)． 【分析】（1）设交于点F，可证，因此只要，就有，进而可得平面； （2）先证，平面，得，计算，从而证明，得出为二面角的平面角，然后由余弦定理计算． 【详解】（1）存在．如图所示： 连接，，设交于点F， ，且， ． 取的三等分点，使，连接，，，则． 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． （2）在矩形中，，， ，． 又平面平面，平面，平面平面 平面， 平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． 【变式2】（25-26高二上·贵州毕节·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，点是BC边的中点，连接. (1)求证：平面； (2)求平面ABD与平面ADE夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质先推知平面，从而，结合题干可得证明； （2）根据二面角的定义用几何法作出来，然后求解. 【详解】（1）由题知，平面平面， 又平面平面，平面，又， 根据面面垂直的性质定理，平面， 又平面，则， 又，平面，， 根据线面垂直的判定定理，平面 （2） 分别取中点，连接， 由中位线性质可知，，又，则； 由于平面，平面，则， 又，且点是边的中点， 则分别为直角三角形斜边上的中线， 则， 又，则， 则是平面与平面夹角. 又， 可求得，， 由中位线可知，则，则， 故二面角的正弦值为 题型四 求点到平面距离 答｜题｜模｜板 1、等体积法——将点与平面内三个点构成三棱锥，利用不同底面计算体积相等，反推出点到平面的高。 2、直接作垂线法——在几何体中寻找或构造过该点且垂直于平面的线段，利用几何性质（如线面垂直、面面垂直）确定垂足位置后计算长度。 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由平面，得到，再结合，即可求证； （2）过点A作于点D，通过证明平面，得到即为点A到平面的距离，进而可求解. 【详解】（1）证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． （2）如图所示，过点A作于点D， 平面，平面， ， 又平面 平面． 即为点A到平面的距离． ∴依题意知为与平面所成角， 即，，， 可得． ， 即点A到平面的距离为． 【典例2】（2025·上海虹口·一模）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点为中点.    (1)若点是线段上的动点，求证：直线与直线不相交； (2)若平面，，，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）先证明平面，然后分析直线与直线交点情况即可证明； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 如图所示：    因为四边形为菱形，所以为的中点， 所以在中有，由分别是的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以直线与直线没有公共点， 即直线与直线不相交. （2）因为平面，点为中点， 所以平面即平面， 所以为三棱锥的高，且， 因为四边形为菱形，且， 所以菱形为边长是2正方形， 所以， 且，即， 又， 在中，， 即为的高， 所以， 设点到平面的距离为， 由等体积法得：， 即， 解得：， 所以点到平面的距离为. 【变式1】（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形即可证明结论； （2）证明，即可证明结论； （3）利用等体积法求解即可； 【详解】（1）证明：取中点，连接， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形，即， ∵平面，平面， ∴平面      （2）证明：∵平面平面， ∴ ∵，，， ∴， ∴，即 ∵，平面，平面， ∴平面， （3）解：设点到平面的距离为， ∵，平面，平面， ∴平面， ∴ ∵∵平面平面， ∴ ∵，，平面，平面， ∴平面， ∵，， ∴， ∴，即点到平面的距离为 【变式2】（25-26高二上·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，点在线段上，．    (1)证明：平面； (2)若平面，且，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，利用平行四边形证明线线平行，再由线面平行的判定定理得证； （2）作于，证明即为点面距离，再由直角三角形求解即可. 【详解】（1）取的中点，连结，    因为是中点，所以，且， 因为四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以， 所以，因此四边形为平行四边形， 所以. 又因为平面，平面，所以平面. （2）作于，由（1）知平面即为平面，    因为平面，平面，所以. 又因为，，所以平面. 因为平面，所以. 又因为，，平面，所以平面， 所以即为点到平面的距离。 因为平面，平面，所以 在中，， 所以， 所以. 题型五 求体积问题 答｜题｜模｜板 1、直接公式法——根据几何体类型（柱、锥、台、球）选择相应公式，关键是找准底面积和高。 2、等体积法：当直接求高困难时，通过三棱锥顶点轮换，利用体积相等反推高或底面积，常用于点到平面距离问题。 3、割补法：将不规则几何体分割成几个规则体求和，或补形成规则体后作差，适用于组合体或空心几何体。 4、比例法：利用相似比（体积比等于相似比的立方）或等高（底）关系，由已知体积快速求未知体积，无需具体计算。 【典例1】（2026高一下·全国·专题练习）如图，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，，是延长线上一点，且． (1)求证：直线平面； (2)求二面角的大小； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得，再由线面平行的判定定理即可证明； （2）过作于，连接，利用三垂线定理证明，即得是二面角的平面角，借助于即可求得二面角的大小； （3）过作于，利用平面证明平面平面，再由面面垂直的性质可得平面，即得为点到平面的距离，利用棱锥体积公式计算即得. 【详解】（1）因为，且， 所以四边形是平行四边形，可得． 又平面平面，所以直线平面. （2）过作于，连接， 因为平面，所以是在平面内的射影， 结合，可得， 所以是二面角的平面角． 因为，所以是的中点， 得到是三角形的中位线，所以． 在中，， 所以，即二面角的大小为. （3）过作于，因为平面， 平面，所以平面平面， 因为，平面平面， 所以平面，即为点到平面的距离． 因为正三角形中，， 故三棱锥的体积． 【典例2】（24-25高二下·贵州遵义·月考）如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点．    (1)求证：； (2)若是边长为2的等边三角形，点E在棱AD上，，且二面角的大小为60°，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据面面垂直证得线面垂直，再根据线面垂直证明线线垂直. （2）利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可. 【详解】（1）因为，为中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. （2）如图，过作于点，过作于点，连接.    因为，所以， 又平面，所以平面. 所以为二面角的平面角，为. 又，所以. 又是边长为2的等边三角形，为中点，所以， 所以为直角三角形，且，. 所以， 所以. 又， 所以. 所以. 【变式1】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知四棱锥的侧棱长均为，底面正方形的边长为2，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）取中点，连接，利用中位线性质和平行四边形的性质证得，然后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）连接，交于点，连接，结合等腰三角形的性质及正方形的性质，利用线面垂直的判定定理证明即可； （3）结合正四棱锥的性质求出高，利用等体积法求解三棱锥的体积即可. 【详解】（1）取中点，连接，因为分别为的中点， 所以，且， 因为四边形是正方形，是的中点，所以，且， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面；    （2）连接，交于点，连接， 因为，是的中点，所以， 又因为四边形是正方形，所以， 又，平面，所以平面；    （3）因为是中点，所以到平面的距离等于到平面的距离， 所以， 因为四棱锥的侧棱长均为，底面正方形的边长为2， 所以四棱锥为正四棱锥，所以到平面的距离为， 因为，所以， 又，所以， 所以. 【变式2】（25-26高三上·上海嘉定·月考）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体，如图所示，在“羡除”中，底面是边长为2的正方形，,. (1)证明：平面平面； (2)求“羡除”F的体积 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）作辅助线，根据题意可证，，可得平面，进而可得面面垂直； （2）分析可知“羡除”ABCDEF可分为两个全等的三棱锥、和直三棱柱，结合柱体、锥体的体积公式运算求解. 【详解】（1）分别取的中点，连接， 因为，且，则，， 同理可得， 又因为，所以， 因为底面ABCD是边长为2的正方形，则，且， 且，则， 分别作，，垂足分别为，连接， 则，可得，且， 可知四边形为平行四边形，则， 且，，则， 可得，即， 又因为，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面. （2）根据题意结合对称性可得：，， 且，平面，可得平面， 同理可得：平面， 则“羡除” 可分为两个全等的三棱锥、和直三棱柱， 因为，，则， 所以“羡除”ABCDEF的体积. 题型六 立体几何中最值问题 答｜题｜模｜板 将空间几何量转化为函数或几何轨迹，通过分析变化趋势确定最值。 函数法：建立坐标系，将目标量表示为某个变量（如动点坐标、角度）的函数，利用二次函数性质、三角函数有界性或基本不等式求最值。 几何法：利用几何直观，分析动点在运动过程中目标量的变化规律。线线角最值常出现在异面直线公垂线位置；线面角最值常与斜线长度变化相关；距离最值常与垂线段最短、三角形两边之和大于第三边等几何原理结合。 关键技巧：线线角范围受异面直线位置影响，线面角范围受斜线与平面夹角影响，二面角范围受两个半平面张开程度影响。动点轨迹常为线段、圆或圆弧，最值通常出现在轨迹端点或临界位置。 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】分别取、中点、，过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出平面，可知，设，，利用线面角的定义结合基本不等式可求得的最大值. 【详解】分别取、中点、，因为，则， 在正方形中，且， 因为、分别为、的中点，所以且， 故四边形为平行四边形，故， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设，， 因为，所以，故， 又因为为的中点，所以， 则，， ， 所以， 令，所以， 当且仅当，即时，的最大值为. 【典例2】（25-26高三下·安徽·月考）如图，在中，.将以为轴旋转至，动点与原来的形成三棱锥，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)记二面角为，二面角为. （i）证明：为定值； （ii）当取最大值时，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析 （ii） 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）（i） 根据线面垂直的性质定理证明，由此可得，同理，再计算即可； （ii）根据均值不等式计算，设，可得，表示，根据计算即可. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以∽， 所以，即. 由已知可得≌，同理，在中可证. 又，且两直线在平面内，所以平面. （2）（i）由（1）知平面，所以平面平面， 则点在平面内的射影在直线上. 如图，过点分别向引垂线，垂足分别为， 连接，则四边形是矩形. 由于，且两直线在平面内，所以平面， 从而，因此，同理. 因此， 从而，为定值. （ii）由题意可知，由（i）知. 所以， 当且仅当时等号成立. 设此时（为钝角时，在的延长线上，为负）. 计算可得，则，， .由，得， 解得（舍去），所以. 【变式1】（25-26高二上·贵州遵义·月考）将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接，得到三棱锥，且是棱的中点. (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取棱的中点，连接，先证明平面，再由线面垂直的定义即可得到； （2）先得到是二面角的平面角，再由余弦定理求解即可； （3）设，直线与平面所成的角为，先得到，利用换元法设，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）取棱的中点，连接， 因为，且是线段的中点，所以， 因为，且是线段的中点，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以； （2）连接. 因为，且是棱的中点，所以， 因为，且是棱的中点，所以， 则是二面角的平角， 因为，且是棱的中点，所以， 因为，所以， 因为，且，所以. 在中，由余弦定理可得： ， 即二面角的余弦值为. （3）设， 在中，，， 则， 故， 作，垂足为，则， 由（1）知平面，则， 因为平面，平面，且， 所以平面，即点到平面的距离为， 因为是棱的中点，所以点到平面的距离， 设直线与平面所成的角为， 则， 设，则， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值是. 【变式2】（25-26高三上·湖南娄底·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，，点E，F分别为棱，的中点，G为线段上一动点（含端点）. (1)证明：平面； (2)若，点Q是三棱锥的外接球上一动点，求的取值范围； (3)设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证； （2）确定三棱锥外接球的球心为，求出及球的半径，即可得出的范围； （3）确定直线与平面，平面，平面所成的角，再根据锐角三角函数得到，设，，利用换元法求出函数的最大值. 【详解】（1）连接，取的中点，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2）连接，， 因为平面，所以， 所以， 又E为的中点，所以， 由平面，平面，所以， 又，， 所以, 所以为三棱锥的外接球的球心，且球的半径， 因为，所以平面，平面， 所以，又， 所以， 所以，即. （3）连接， 由平面，则为直线与平面所成的角，即，所以， 取的中点，连接，则且， 又为中点，所以，又，所以， 由平面，平面，所以，， 又，平面，所以平面，则平面， 又，平面，所以平面， 连接，，则为直线与平面所成的角，即， 所以， 为直线与平面所成的角，即， 所以， 所以， 又，设，， 所以， 所以， 令，则， 所以 ， 因为，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为， 所以. 题型七 立体几何中折叠问题 答｜题｜模｜板 折叠前后，位于折痕同侧的点、线之间的位置关系和长度、角度保持不变；位于折痕两侧的点、线之间的位置关系会改变，但长度保持不变。 1、分清“变”与“不变”——折叠前后线段长度、角的大小不变，但线面关系、点面距离可能改变；折痕是旋转轴，折痕上的点位置不变。 2、先确定折叠前后的对应点，找出不变的几何量，再根据折叠后的图形建立新的空间关系，利用勾股定理、全等或向量法求解。 【典例1】（25-26高二上·安徽马鞍山·开学考试）如图1，在矩形中，为的中点．将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）．    (1)当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值； (2)在翻折过程中，求直线与平面所成角的最大值； (3)在翻折过程中，求二面角的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形边长性质以及三角形相似可得，再由面面垂直性质证明可证明平面，结合线面角定义即可求得结果； （2）根据线面垂直判定定理可证明平面，结合性质定理可得平面，作出线面角的平面角并得出正切值的表达式，再结合三角函数值域求得，可得结论. （3）根据二面角定义利用线面垂直性质作出二面角的平面角，结合三角函数最值求出正切值的最大值，即可求得结果. 【详解】（1）连接交于点，如下图所示：    则， 因为，所以，即， 又，所以，可得， 同理易证，所以， 翻折后当平面平面时，平面平面，且， 又平面，所以平面； 可知即为直线与平面所成的角， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； （2）过点作，垂足为，如下图所示：    因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面， 即即为直线与平面所成的角， 在翻折过程中，设，由（1）可知，， 在中，， 所以， 设，则， 所以，其中， 所以，解得， 显然当时，，故， 即，又易知，所以， 即直线与平面所成角的最大值为； （3）过作于点，连接，如下图所示：    由（2）知平面，因为平面，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角， 因为，，所以，可得， 结合（2）可得， 在中，, 令，则， 即，其中， 所以，解得， 显然当时，，故， 即，结合，可知， 因此二面角的最大值为. 【典例2】（25-26高二上·广西桂林·期末）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中点，将沿BD翻折至，使得平面与平面CBD垂直． (1)证明：； (2)求点D到平面的距离； (3)求平面与平面DBC的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）过作于，利用面面垂直的判定性质，结合点到平面距离的意义求解. （3）由（2）中信息，确定两个平面的夹角，再利用直角三角形边角关系求解. 【详解】（1）依题意，，而平面， 则平面，又平面， 所以. （2）由（1）知，，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又平面，则， 过作于，连接，由平面， 得平面，而平面，于是平面平面， 过在平面内作于，而平面平面，因此平面， 长即为点D到平面的距离，，， ，在中，，则， 所以点D到平面的距离. （3）由（2）得，则是平面与平面DBC的夹角， ， 所以平面与平面DBC的夹角的余弦值为. 【变式1】（2026高三下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）如图1，在平面多边形中，是边长为2的正三角形，四边形是菱形，且，现将以为折痕翻折，使点到达点处，得到如图2所示的四棱锥，且平面平面，分别为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)记三棱锥外接球的球心为，求球的表面积． 【答案】(1)先证，又为棱的中点，所以；再证平面，又，所以，即可证平面. (2) (3) 【详解】（1） 如图，连接，因为四边形是菱形，且， 故是边长为2的正三角形.又为棱的中点．所以， 因为棱的中点，所以. 易得，因，平面，故平面， 又平面，所以，又，所以， 因平面，故平面. （2）因为平面平面，平面平面，平面，，故平面， 因为平面，则，又，则， 因为，平面，平面，所以平面， 所以到平面的距离等于到平面的距离，即， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3） 如图，因为所以的外心为，过作直线，则平面， 三棱锥外接球的球心必在直线上，过作交于点， 则，设，则，， 在中，，在中，， 故有，解得，故得， 所以球的表面积为. 【变式2】（25-26高二上·四川泸州·期中）如图所示，在直角梯形中，，，，分别是，上的点，且， ，（），，将四边形沿向上翻折，连接，，，在翻折的过程中，设（），记几何体的体积为． (1)求证：平面； (2)若平面平面． ① 求证：； ② 当取得最大值时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)① 证明见解析；② 【分析】（1）根据题意先构建面面平行，即平面平面，因为平面，平面，所以平面； （2）①过点作交于点，先证明平面．得到，再证平面，得到，因为，则可证平面，进而证得； ②由题意得到底面的距离为，设点到的高，可证平面，即点到底面的高为，在中使用等面积法可得，进而可使用割补法得几何体的体积，取的中点，连接，易得平面，即，在、、中，结合勾股定理与余弦定理，可得，，当且仅当时等号成立，故当取得最大值时，即取得最小值，，进而可求的值. 【详解】（1）证明：根据题意可知，， 因为平面，平面，所以平面， 同理，因为平面，平面，所以平面， 又因为是平面内的两条相交直线，所以平面平面， 因为平面，所以平面． （2）①证明：在平面内过点作交于点， 因为平面平面，平面平面，所以平面． 又因为平面，则； 根据题意，平面图形翻折后，， 且是平面内两条相交直线， 所以平面，又，得平面． 又平面，则， 因为是平面内两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以． ②直角梯形中，，，且， 由①可知平面， 由（1）可知由题意平面平面， 所以到底面的距离为， 在中，设点到的高，即， 因为平面，而平面，所以， 因为，平面，所以平面， 故点到底面的高为， 在中，根据三角形的面积公式，∴； 几何体的体积为 ； 取的中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 在中，， 在中，，∴，化简得到， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 故当取得最大值时，即取得最小值，， 所以几何体体积． 题型八 立体几何中存在性问题 答｜题｜模｜板 先假设存在满足条件的点或线，再根据几何性质（平行、垂直、角度、距离）建立方程，通过方程是否有解及解是否在合理范围内判断存在性。 解题步骤：设出未知量（如动点坐标、线段比例），利用已知条件转化为代数方程，求解后验证是否满足几何约束（如点在棱上、比例在0到1之间）。 常用技巧：垂直关系转化为向量数量积为零，平行关系转化为向量共线，角度关系转化为夹角公式，距离关系转化为距离公式。当方程无解或解不符合范围时，即不存在 【典例1】（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在符合题意的点， 【分析】（1）先证四边形为菱形得，再结合长方体性质得，进而证平面，最终推出； （2）由面面垂直性质确定点在平面上的投影位置，得到线面角，再通过计算三角形边长，利用余弦定理求出该角的余弦值； （3）利用等体积法将体积比转化为对应三角形面积比，结合另一组同高棱锥的体积比等于底边长之比，从而求出线段的长度，确定满足条件的点. 【详解】（1）证明：连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， 在中，， ，， 故由余弦定理得， 即直线与平面所成角的余弦值为； （3）假设存在点满足条件，记到平面的距离到平面的距离， 则，由（1）（2）知， ，故；则， 另一方面， 故，综上所述，存在符合题意的点，. 【点睛】本题以长方体为载体，先通过菱形性质与线面垂直判定证明线线垂直，再利用面面垂直确定线面角，最后结合等体积法与线段比例关系探究存在性问题，核心是立体几何中垂直关系的转化与体积比的代数化处理. 【典例2】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，为棱的中点，是与的交点. (1)求证：平面平面； (2)若， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i），（ii）存在， 【分析】（1）面面垂直转化为线面垂直，只需证明面； （2）（i）先由面面垂直得到平面的垂线，从而得到直线与平面所成角，求解；（ii）取的中点，证明线面平行. 【详解】（1）由题意得平面，， 设，， ，解得， 所以， ， ，面， 面，平面平面. （2）（i）过点作交于点，连接， 因为面面，面面， 所以面， 即为直线与平面所成角， 在中，，， ， 直线与平面所成角的正弦值为； （ii）在线段上存在一点，使平面， 取点为的中点，连接， 由题意可知点为的中点， 所以，平面， 所以平面， . 【变式1】（2026·云南·模拟预测）如图，平面四边形是棱长为3的正方形．平面，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点M，使得平面平面，且满足平面?若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，是上靠近的三等分点， 【分析】（1）利用线面垂直的性质及线面垂直的判定证明即可； （2）延长交于E，延长交于F，利用面面夹角的定义计算即可； （3）利用平面的性质及线面平行的性质判定即可. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面； （2）如下图所示，因为，则四点共面， 延长交于E，延长交于F，易得平面平面， 作，连接， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 由平面，则，，即平面与平面夹角为， 易知，所以，则， ； （3）假设线段上存在点M满足题意， 由平面平面，平面，平面，则， 又平面平面，平面，平面，则， 所以，即是上靠近的三等分点，此时 【变式2】（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点．    (1)求证：直线平面； (2)已知，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用线面垂直的性质和判定证明即可； （2）根据线面角的概念可知即为直线与平面所成角的平面角，利用勾股定理求出的边长即可得解； （3）构造平行四边形，由线面平行的判定定理得平面，确定. 【详解】（1）因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又是的直径，点是圆周上的点，所以， 因为，平面， 所以平面． （2）由（1）可知平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又因为，，所以， 因为，所以， 所以在中， 因为平面，所以， 在中， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． （3）在线段上存在点，使得平面，且， 理由如下： 取的三等分点为（靠近），在中过点作，， 则，且， 因为是中点，是中点，所以，且， 又，所以， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面, 故线段上存在点，使得平面，且.    期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在空间四边形中，两条对边，E，F分别是另外两条对边，上的点，且，，求和所成角的大小． 【答案】． 【分析】连接，过点E作的平行线交于点O，连接．通过得到，结合得到，得到，从而得到与所成的角即为和所成的角，在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到和所成的角． 【详解】如图，连接，过点E作的平行线交于点O，连接． ，，． ，． 又，， ，与所成的角即为和所成的角，． ，． 在中，，， ，， 所以和所成的角为． 2．（25-26高二上·上海·月考）如图，直三棱柱内接于等高的圆柱中，已知，为的中点，求： (1)直三棱柱的体积和侧面积； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用棱柱的体积公式和棱柱的侧面积公式计算即可； （2）利用线面垂直，证明线面角，然后计算正弦值即可． 【详解】（1）， 由，，可得， 所以． （2） 由为的中点，，可得， 又因为平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面， 即就是直线与平面所成角， 又因为，所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 3．（25-26高二上·云南普洱·期末）如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)192； (3). 【分析】（1）利用线面垂直的判定及性质，结合圆锥的结构特征推理得证. （2）利用锥体的体积公式求解即可. （3）证明平面，再利用等体积法求出距离. 【详解】（1）在圆锥中，正方形内接于圆O，则，， 而平面，平面，则，又平面， 因此平面，而平面，所以. （2）由（1）得，由，得， 正方形的面积，而平面， 所以四棱锥的体积为. （3）由正方形，得，而平面，平面， 则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， 在中，，则边上的高， 的面积，由（2）得， 又，因此， 所以直线到平面的距离为. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图 1，在平行四边形中，，，. 现将沿着翻折至， 使得点 到达点 的位置且平面平面 （如图 2），点是线段的中点，点在线段上.求证: 平面平面. 【答案】证明见解析. 【分析】先证明，结合面面垂直性质定理证明平面，由此可得，再证明，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论. 【详解】由题可知，和都是等腰直角三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以， 在中，为中点，，所以， 又，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面. 5．（25-26高一·全国·假期作业）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先由面面垂直证明为棱锥的高，再根据棱锥的体积公式计算即可； （2）由线面垂直的判定定理证明平面即可. 【详解】（1）因为侧面是边长为2的正三角形，为的中点， 所以，， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，即为棱锥的高， 因为底面为正方形， 所以四棱锥的体积为； （2）因为平面，平面，所以， 在正方形中，易知与全等， 所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·云南·月考）如图1，在梯形中，，，将沿翻折到如图2，使平面平面. (1)求证：平面； (2)已知点为棱上的点，若直线与平面所成的角的正弦值为.求三棱锥的体积； 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）在平面图形中可得，由平面平面可得平面，进一步得到，由线线垂直即可得线面垂直； （2）由（1）知为直线与平面所成的角，可得，通过转换顶点即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以， 所以， 所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，平面， 所以平面. （2）连接，由（1）知平面，所以为直线与平面所成的角， 所以，得， 在中，， 因为平面，平面，所以，即是直角三角形， . 2．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接DE，推导四边形BEDF是平行四边形，从而得到，再得到，从而平面BFG，平面BFG，进而得到平面平面BFG，因此得证平面； （2）根据平行线的性质，利用等积法进行求解即可. 【详解】（1）连接， ∵是正方形，，分别是棱，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵是的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面，平面， ∵，直线平面， ∴平面平面，∵平面， ∴平面．    （2）设点到平面的距离为， 因为分别是的中点， 所以， 因为底面， 所以底面，因为底面， 所以， 因为底面为正方形，，分别是的中点 所以，，     因为， 所以， . 3．（云南昭通市2025-2026学年高三下学期3月第二次统一测试数学试题）如图，在四棱锥中， (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点为，根据等腰三角形性质可得；根据勾股定理，证明；进而通过证明面，再证面面； （2）过作垂足为，过作垂足为，连接，先证即为所求平面与平面的夹角，再结合几何关系求得长度，即可求得结果. 【详解】（1）取的中点为，连接，如下图所示： 在四边形中，，又//，故四边形为平行四边形，故； 在三角形中，，又为中点，故，； 在三角形中，，故； 又面，故面，又面，故面面. （2）因为，故为上靠近的三等分点， 过作垂足为，过作垂足为，连接，如下所示： 由（1）知，，又，故//，又面，故面，又面， 则，又，面，故面，又面，故； 又面面，，面面， 故即为平面与平面的夹角； 在三角形中，因为为上靠近的三等分点，又//，故；； 由（1）知，，故三角形为等边三角形，； 在三角形中，，又，故； 又面面，故，故三角形为直角三角形； 故.，故， 故平面与平面的夹角的正弦值为. 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在三棱锥中，为的中点．点在棱上，．      (1)在直线上是否存在点F，使得平面？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (2)若是边长为1的等边三角形，平面平面，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)存在，见解析； (2). 【分析】（1）通过构造辅助线，利用三角形全等和平行线的性质证明平面与平面平行，进而得到线面平行. （2）先根据面面垂直的性质找到二面角的平面角，再结合已知条件求出相关线段长度，最后利用三棱锥体积公式求解. 【详解】（1）如图，延长线段至，使得，延长线段至，使得，连接.   为的中点，，. 又，. 又平面，平面，同理平面. 又，平面，平面平面. 又平面，平面. 存在点，位于线段的延长线上，且满足，使得平面 （2）在中，，为的中点，. 又平面平面，平面平面，平面. 平面. 在中，过作交于，则平面，. ，，即. 在中，过作交于，则，连接.   平面. 为二面角的平面角. 又知二面角的大小为，. 为等腰直角三角形，又由得. ，. . 故三棱锥的体积为. 5．（25-26高二上·江苏南京·期中）如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二. 注意：1.请在答题纸上留下必要作图痕迹；2.本题若使用空间向量解题，将不得分.    (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据平行关系和等腰三角形三线合一性质可证得，，根据线面垂直的判定与性质可证得结论； （2）根据平行关系和异面直线所成角定义可知所求角为（或其补角），根据长度关系和余弦定理可求得结果； （3）根据平行线分线段成比例可确定当时，，根据线面平行的判定可证得结论. 【详解】（1）连接，   分别为的中点， ，， ， ； 四边形为边长为的菱形，， 为等边三角形， ； 平面，， 平面， 平面， . （2）连接，交于点，连接，   四边形为菱形， 为中点，又为中点， ，， 和所成角即为（或其补角）； 在中，， ，又，， ， 即直线和所成角的余弦值为. （3）存在点，当时，平面，证明如下： 设与交于点，连接，   四边形为菱形，为中点， ，， ， ， 当时，， 平面，平面， 平面. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1. （25-26高二上·上海·期中）如图1，在中，，，是线段上一点，且⊥，将沿着翻折至，得到如图2所示的三棱锥，记二面角的大小为；    (1)求的长度； (2)当时，求直线与平面所成角的正切值； (3)当时，在翻折的过程中： ①求点的运动轨迹的长度； ②求线段长的取值范围. 【答案】(1)1； (2) (3)①；② 【分析】（1）由三角函数值进行求解； （2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，得到即为直线与平面所成角，求出各边长，，得到答案； （3）①点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，进而求出弧长得到答案； ②如图，记点在平面上的投影为，表达出，因为，所以，故. 【详解】（1），，⊥， 故； （2）当时，平面⊥平面，交线为， 过点作⊥交的延长线于点，连接， 由于平面，故⊥平面，则即为在平面上的投影， 所以即为直线与平面的所成角， 其中平面，故⊥， 由于，故，， 由勾股定理得，， 直线与平面所成角的正切值为；    （3）①当时， 在翻折的过程中，点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧， 其中圆心角为，故点的运动轨迹的长度为； ②如图，当时，记点在平面上的投影为，连接， 则⊥，又⊥，故即为二面角的平面角， 故，则，， 过点作⊥，并交于点，则， 则， ， ， 因为，所以，， 故. 2．（24-25高一下·贵州·月考）在梯形中，，，，为线段的中点，若沿把这个梯形折成一个四棱锥，使到达的位置，为的中点，为线段上动点. (1)当四棱锥的体积最大时，求该四棱锥外接球的表面积； (2)平面与平面是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. (3)设直线与平面所成的角为，求的最大值. 【答案】(1) (2)垂直，证明见解析 (3) 【分析】（1）先作出辅助线确定四棱锥的高，然后根据四棱锥体积公式列出表达式，进而求得的大小，然后求得外接圆半径，从而得到四棱锥外接球的表面积. （2）先根据平面平面得到，然后再证明，从而可证明面面. （3）先确定为直线与平面所成的角，然后用三角函数将其正切值的表达式表示出来，结合基本不等式的性质求出最大值即可. 【详解】（1）因为，，， ∴平面， ∴平面平面，平面平面， 过P作于H，则平面， 设，则， ， 当时，取最大值，此时平面，将此四棱锥补成正方体， 对角线PC为四棱锥外接球的直径，故， 故外接球的表面积为. （2）平面与平面垂直. 证明如下： 由（1）知平面平面，平面平面， 又，平面， ∴平面，又平面， ∴，又F是的中点， ∴，又平面，，∴平面， 故平面平面. （3）连接CH，由（1）知在平面上的射影为， 所以为直线与平面所成的角，设，则， ∵，， ∴， 令，，，则 令，则 当且仅当，即时取等号，故的最大值为. 3．（25-26高二上·山东潍坊·开学考试）已知直三棱柱，，D，E分别是边，的中点．    (1)证明：平面； (2)若三棱锥体积为，且，设与平面所成的角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证法一：取中点F，证明四边形ADEF是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明即可；证法二：取BC中点F，先证明，，然后利用线面平行的判定定理证明平面，再利用面面平行的判定定理证明平面平面，即可得证； （2）根据线面角的定义，先确定即为角，再通过等体积法求出，即可利用重要不等式求出的最小值，再根据即可求出的最大值. 【详解】（1）证法一：如下图所示，取中点F，连接EF，FA， E是的中点， EF为的中位线， 且， 又且，且， 四边形ADEF为平行四边形，. 又平面，平面，平面；    证法二：如下图所示，取BC中点F，连接EF，DF， D是的中点，DF为中位线，， 又平面，平面，平面. 在三棱柱中，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面. ，平面DEF，平面平面， 又平面DEF，平面；    （2）如下图所示，连接， 是直三棱柱，平面， 平面，. ，,平面， 平面，就是在平面内的射影， 即为与平面所成的角. ， ，（当且仅当时等号成立）. 在中， . 故的最大值为.    4．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）在三棱柱中，，，且为的中点，为的中点.    (1)若，求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若，求二面角的正弦值的最大值. （特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由条件依次求证和平面即可根据面面垂直的判定定理得证； （2）由（1）的信息，利用定义法求出是直线与平面 所成角即可依据题意信息计算求解； （3）由（1）（2）中信息，求出直角三角形邻边上的高，再作平面于，利用定义法求出二面角正弦值的最大值． 【详解】（1）在三棱柱中，连接，由分别为中点， 得，则四边形为平行四边形，， 由得，由得， 则，于是， 由得，而，平面， 则平面，所以平面， 又平面，∴平面平面.    （2）由（1）知，平面， 所以平面，而平面，则平面平面， 在平面内过作交于点，平面平面， 因此平面，连接，则是直线与平面 所成角， 因为， 所以， 在中，，在中，， 所以直线与平面 所成角的正弦值为. （3）由（1）得，又， 则， 由（2）得，过作平面交平面于点，连接， 由平面，得， 而平面，则平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 显然，当且仅当重合时取等号， 所以， 所以二面角的正弦值的最大值为.    5．（25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形． (1)求点到平面的距离； (2)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长． 【答案】(1) (2)点E在线段AD上靠近点D的四等分点处，最大角的正弦值， 【分析】（1）由求距离； （2）设直线与平面所成的角为，则，当时最大. 【详解】（1）点在底面上的射影是与的交点， 平面， 由题意可得､与都是边长为2的等边三角形，，， ，， ， 设点D到平面PBC的距离为， 由得，解得． 故点D到平面PBC的距离为． （2）设直线与平面所成的角为， ∵，平面，不在平面内，∴， ∴E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离． 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使PE最小，此时． 由题意可知：，，平面，且， ，， 在中，， ， 由面积相等， 即，解得：， ，点E在线段AD上靠近点D的四等分点处． 即点E在线段AD上靠近点D的四等分点处时，直线与平面所成的角最大， 最大角的正弦值是，此时. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 专题4.7立体几何中大题综合 内容导航 明。期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01求异面直线夹角 题型02求线面角 题型03求二面角 题型04求点到平面距离 题型05求体积问题 题型06立体几何中最值问题 题型07立体几何中折叠问题 题型08立体几何中存在性问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期中考情 核心考点 复习目标 求异面直线夹角 掌握平移法将异面直线转化为相交直线：能 利用中位线、平行四边形找平行线；熟练运 用坐标法求向量夹角 求线面角 理解线面角是斜线与射影的夹角：掌握几何 法（作垂线找射影）和坐标法（法向量与方 向向量夹角)两种解法 求二面角 掌握几何法（棱上找点作垂线、三垂线法） 和坐标法（两法向量夹角）求二面角；能根 据图形判断二面角是锐角还是钝角 求点到平面距离 掌握等体积法（三棱锥等体积反求高）和坐 1/23 上好每一堂课 (期中复习讲义) 考情规律 基础题型，常在选择题或解答题第一问出 现，注意夹角范围为锐角或直角，平移时 需找准对应点 高频考点，常在解答题第二问出现，几何 法需准确作垂线，坐标法需建系正确，注 意角度的正弦与余弦转化 核心难点，常在解答题第二问或第三问出 现，几何法需作角并证明，坐标法计算量 较大但过程规范 中等难度，常与线面角、体积结合考查， 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 标法（法向量投影）；能利用几何性质直接 等体积法最常用，需选择合适底面使计算 找垂线段 简便 求体积问题 熟练运用柱、锥、台、球体积公式；掌握割 基础必考，常以三视图或直观图形式出现， 补法求组合体体积：能利用等体积法转化底 注意锥体体积易漏三分之一，台体体积公 面和高 式需熟记 立体几何中最值 掌握将空间量转化为函数或几何轨迹求最 难度较高，常在压轴题出现，需综合运用 问题 值；能利用展开图求表面路径最值；理解运 几何直观与代数方法，动点轨迹分析是关 动变化中的临界位置 键 立体几何中折叠 理解折叠前后“变”与“不变”的关系（长度不 综合题型，常在解答题中出现，需分清折 问题 变、角度不变、位置关系可能改变)：能根 叠前后对应点，利用不变量列方程求解 据折叠后图形建立新的空间关系 立体几何中存在 掌握先假设存在再列方程求解的方法；能利 综合题型，常在解答题最后一问出现，需 性问题 用平行、垂直、角度、距离条件建立方程； 结合几何特征与代数运算，分类讨论是常 会验证解是否满足几何约束 见考查方式 记·必备知识 属知识点01异面直线所成角 1、定义：异面直线所成角是空间中两条不共面直线的夹角，通过“空间问题平面化”转化为两条相交直线的 夹角。其取值范围为(0，】（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。 2、利用平行去平移，分别作两条异面直线的平行直线，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随 后在由平行线构成的三角形中，利用边角关系（如余弦定理、正弦定理)求解角度。 邑知识点2线面角 1、定义：平面上的一条斜线PA与它在平面x的射影AB所成的角即为斜线与平面的线面角，范围为 [0,90找线面角的方法有两种定义法与体积法。 2、找线面角的方法 (1)定义法：能直接找到P点在平面的射影B点，能计算出PB或者AB,则线面角的正弦或余弦可求。 2/23 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a/ B (2)体积法：如果没法直接找到P点在平面的射影B点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信 息，通过体积求出P点到平面的高度h,则线面角的正弦可求。 属知识点03二面角 1、三垂线定理 (1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线 垂直。 (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该 平面内的射影垂直。 三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的重要依据。 2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两 个半平面叫做二面角的面.在两个半平面作两条与棱/垂直的射线，如图a,b则它们组成的角为二面角的平面 角，范围为[0：180 3、二面角的求法 (1)定义法：如果能直接过棱上一点，找到与棱1垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱垂 直的两条线 (2)三垂线法：当无法直接找到与棱1垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面α找 一点P点，过P点作平面B的垂线PA(注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面B垂直的平面，在平面上 作垂线)，然后过A或者P作棱的垂线交于B点，连接成直角三角形PAB,即可求二面角的平面角。 3/23 面学科网·上好课 www zxxk .com 上好每一堂课 ⊙ B7 B B d (3)垂面法：若题目条件中能找到棱1垂直的平面，则找出该平面与，的交线即可。若题目中有与棱垂 直的直线，如图如果AP与棱垂直，则可以构造出与棱！垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 (4)射影面积法：已知平面内的△ABP在平面α的投影为△ABP，则平面c和平面P所成的二面角 的平有角大小为8，则e0s=熟 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可 以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 4 (5)补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交 线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题.补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 4 局知识点04求空间距离 求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解. 破·重难题型 题型一 求异面直线夹角 4/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解|题|技|巧 1、做出平移构造异面角的平面角 2、注意异面直线所成的角有范围限制，若是钝角，则需要求其补角。 【典例1】(2026黑龙江一模)三棱锥M-ABC中，MA⊥平面ABC,ABC是边长为4的正三角形， MA=3,E是MC的中点，则直线MB与AE所成角的余弦值是() A.25 1 B.3 3 c D.V30 13 【典例2】(25-26高一下·全国·课后作业)如图所示，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F分别是AB,AD的 中点，则异面直线A,C与EF所成的角的大小为() D A B D E B A.30° B.459 C.60° D.90° 【变式1】(2027高三·全国.专题练习)在正四棱锥P-ABCD中，M为棱AB上的点，且PA=AB=2AM, 设平面PAD与平面PMC的交线为I,则异面直线I与BC所成角的正切值为() B. 3 C.4 3 A. 6 3 D. 6 C连接CM并延长交DA的延长线于点N,则点N为平面PAD与平面PMC的公 M 共点， 所以I即为直线PN,因为BC∥AD,所以∠PND(或其补角)为异面直线I与BC所成的角. 取DA的中点O,连接OP,则OP⊥AD, 设PA=AB=2AM=2,则0A=1,OP=√5,0N=3, 【变式2】(25-26高一上·河北唐山月考)在直三棱柱ABC-A,B,C,中， AB=AC=2,AA,=3,∠BAC=60°，则异面直线A,B与AC,所成角的余弦值为() 5/23 品学科网·上好课 www zxxk .com 上好每一堂课 7 B3 D. ② 题型二 求线面角 答|题模板 1、过斜线上一点作平面的垂线，连接垂足与斜足，所得线段即为射影；若图形中已有线面垂直关系，可直 接利用垂足确定射影。 2、若能利用体积法求出高，这时候不需要做垂线也能求线面角。 【典例1】(25-26高-下全国课后作业)在平行四边形ABCD中，AD=3,AC=4,c0s∠ADC 5，现 将△DAC沿AC折叠至△PAC,使得PB=√34，则AB与平面PBC所成的角的正弦值为() B. 12 25 c n 【典例2】(25-26高二上·辽宁·开学考试)如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，AC⊥BC,AC=BC=CC, ,点D是AB的中点，求证： C B D (1)AC,/1平面B,CD; (2)若平面ACC与平面CDB,的交线I,求I与平面CBB,C,所成的角 【变式1】(25-26高三上·河北衡水月考)如图，在三棱台ABC-A,BC,中，AA,⊥平面ABC,ABC是等 腰直角三角形，且AB=AC=AA,=2,G,E,F,D分别是AA,,AB,AC,BC的中点 6/23 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B. G (1)证明：A,D∥平面GEF; (②)求直线A,D与平面ABC所成角的正切值 【变式2】(25-26高二上·上海·月考)图①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形， 其中AB=1,BE=BF=2,∠CBF=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连接DG,如图②. D E(F B 图① 图② (I)证明：DG∥平面ABC: (②)求直线AG与平面ABC所成角的正切值. 它题型三 求二面角 答|题模板 1、如果能直接过棱上一点，找到与棱1垂直的两条线，则直接找到了二面角。 2、作垂线找二面角是几何法求二面角题目的主要思路，若题目条件中能找到棱，垂直的平面，则找出该平 面与，B的交线即可。若题目中有与棱1垂直的直线，如图如果AP与棱1垂直，则可以构造出与棱1垂直的 平面，即可求出二面角的平面角。 3、射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时， 可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 【典例1】(25-26高一下·浙江·开学考试)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PA⊥底面ABCD,PA=AB=2.过点A作AE⊥PB于E,作AF⊥PC于F,连EF. 7/23 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E (I)证明：EF⊥PC; (2)求平面AEF与底面ABCD所成角的余弦值 【典例2】(25-26高二上·四川自贡·期中)如图，正四棱锥P-ABCD中，AC∩BD=0,P0=AD=6.点 E在PD上，PE:ED=2:1. A B (I)证明：PD⊥平面EAC; (2)求二面角A-PD-C的余弦值； 【变式1】(2026高一下·全国.专题练习)矩形ABCD中，AB=2AD=2,P为线段DC的中点，将△ADP沿 AP折起，使得平面ADP⊥平面ABCP.在新构造的四棱锥D-PABC中，求解以下问题： D P B (1)在DC上是否存在点E使得AD/平面PBE?若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角P-AD-B的余弦值. 【变式2】(25-26高二上·贵州毕节·期末)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面 BCD,AB⊥AD,BD⊥CD,点E是BC边的中点，连接AE,DE,AD=L,BD=V3,BC=3. D B E C (I)求证：AB⊥平面ACD; 8/23 画学科网·上好课 上好每一堂课 (②)求平面ABD与平面ADE夹角的正弦值 它题型四求点到平面距离 答|题模板 :1、 等体积法一将点与平面内三个点构成三棱锥，利用不同底面计算体积相等，反推出点到平面的高。 2、直接作垂线法一在几何体中寻找或构造过该点且垂直于平面的线段，利用几何性质（如线面垂直、面 面垂直)确定垂足位置后计算长度。 【典例1】(25-26高一下·全国课堂例题)如图所示，已知AB是圆0的直径，C为圆上一点，AB=2, AC=1,P为00所在平面外一点，且PA垂直于圆0所在平面，PB与平面所成的角为45°. B (I)求证：BC⊥平面PAC; (2)求点A到平面PBC的距离. 【典例2】(2025上海虹口一模)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，点E为PC中点 B (I)若点F是线段BD上的动点，求证：直线EF与直线PA不相交： (②)若PC⊥平面ABCD,AC=BD,EC=1,求点A到平面EBD的距离 【变式1】(25-26高二上·江西景德镇期中)如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面 ABCD,AB⊥AD,AD/IBC,AB=BC=1,AD=AS=2,M为SD的中点， 9/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D (I)求证：MC/1平面SAB; (2)求证：CD⊥平面SAC; (3)求点M到平面SAC的距离 【变式2】(25-26高二上·江苏南京期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形， 4D:2AB:4,G为PD中点，点E,F在线段BC上，BE=CF=1. A D F (I)证明：FG/平面PAE; (②)若PA⊥平面ABCD,且PA=2,AE⊥BC,求点A到平面EFG的距离 它题型五 求体积问题 答题模板 1、直接公式法一根据几何体类型（柱、锥、台、球）选择相应公式，关键是找准底面积和高。 2、等体积法：当直接求高困难时，通过三棱锥顶点轮换，利用体积相等反推高或底面积，常用于点到平面 距离问题。 3、割补法：将不规则几何体分割成几个规则体求和，或补形成规则体后作差，适用于组合体或空心几何体。 4、比例法：利用相似比（体积比等于相似比的立方）或等高（底）关系，由已知体积快速求未知体积，无 需具体计算。 【典例1】(2026高一下，全国专题练习)如图，三棱柱ABC-AB,C的底面是边长为3的正三角形，侧棱 从表直于底面8C,4=5,D是CB延长线上一点，且D:BC. 10/23