专题14 空间中线、面的平行问题全归纳（压轴题7大类型专项训练）高一数学人教A版必修二

专题14 空间中线、面的平行问题全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 3 类型一、利用中位线证明线面平行 3 类型二、利用平行四边形证明线面平行 6 类型三、利用线段成比例证明线面平行 9 类型四、线面平行的性质定理 11 类型五、证明面面平行 16 类型六、面面平行性质定理 21 类型七、面面平行证明线面平行 24 压轴专练 27 一、直线和平面平行 1、定义 直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行 面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 二、两个平面平行 1、定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行 线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥ 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 类型一、利用中位线证明线面平行 证明平行之中位线 1.可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一； 2.然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； 3.此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三； 4.此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四． 1．四棱锥的底面为平行四边形，为中点，证明：平面 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理，即可证明线面平行. 【详解】连接，再连接， 由底面为平行四边形，可得为的中点， 又因为为中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 2．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】连接，因为四边形为正方形，G是线段的中点， 所以G是线段的中点. 又因为F是线段的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，正三棱柱中，是的中点，求证：//平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用中位线定理在平面内找到与平行的直线，再通过线面平行判定定理完成证明即可. 【详解】如下图，连接，设与交于点，连接， 因为三棱柱是正三棱柱，所以四边形是矩形， 矩形的对角线互相平分，因此是的中点， 已知是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，可得， 又平面，平面，所以平面. 类型二、利用平行四边形证明线面平行 证明平行之平行四边形 1.可以拿一把直尺放在位置，如图一； 2.然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； 3.此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接， 如图三； 4.此时长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），，如图四． 图一 图二 图三 图四 1．（24-25高一下·广东汕尾·期末）在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点. (1)证明：平面AOE； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）取中点G，连接，GF，，先证明四边形为平行四边形，可得，从而得出，从而结论得证. 【详解】（1）取的中点G，连接，GF， 因为G，F分别为，的中点，所以∥，， 又因为∥，，所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 又因为E为的中点，的中点为G，所以∥，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 又因为平面AOE，平面AOE，所以平面AOE. 2．（24-25高一下·山东济南·期末）已知正四棱锥P-ABCD，M，N分别是BC，PD的中点． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据中位线以及平行四边形的判定可证明为平行四边形，即可由线面平行的判定求解， 【详解】（1）取的中点为，连接, 由于是中点，故,且， 又且， 故,则四边形为平行四边形， 故平面, 平面, 故平面 3．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，分别是的中点.    (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）取中点，连接，，利用中位线的性质，结合平行四边形的判定与性质，得出一组线线平行，最后根据线面平行的判定定理即可得证. 【详解】（1）取中点，连接，， 因为为中点，所以是中位线， 所以，， 因为是中点，在正方形中，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，， 因为平面，平面， 所以平面.    4．（25-26高一下·全国·课后作业）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据线面平行的判定定理判断即可. 【详解】证明：因为，，，，所以，. 又，所以. 如图，连接. 在中，是线段的中点，所以，. 又，， 所以且，所以四边形为平行四边形，因此. 又因为平面，平面，所以平面. 类型三、利用线段成比例证明线面平行 1．已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】由线段比例关系得到，进而可求证. 【详解】因为，，则，可得， 且平面，平面， 所以平面. 2．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． (1)若，证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据平行线等分线段定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； 【详解】（1）如图连接交于点，连接 因为且， 所以， 因为，所以， 所以，所以 ， 又因为平面，平面, 所以平面 3．如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. 【详解】连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. 类型四、线面平行的性质定理 1．如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，证明平面，再利用线面平行的性质推理作答. 【详解】在直三棱柱中，因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. 2．如图，且，，且，且，平面，，设平面与平面的交线为，求证：； 【答案】证明见解析 【分析】由线面平行的判定定理和性质定理证明即可； 【详解】因为，，所以， 又平面，平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以. 3．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形，且，为等边三角形，平面平面直线．证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】由证明平面,再证,即可证得平面. 【详解】证明：由题可知，平面，平面，平面． 又平面，平面平面， ． 又平面，平面， 平面. 4．如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值. 【答案】 【分析】连接，交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得到为的中点，从而得解. 【详解】如图，连接，交于点，连接， 为的中点，且平面平面， 平面，平面， ， 为的中点，即实数的值为． 5．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，结合中位线性质先证明面面平行，再根据性质得到线面平行； （2）已知线面平行，利用线面平行的性质得到线线平行，再结合向量关系求出的值. 【详解】（1）取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，所以在中，. 又因为平面，平面，所以平面     又因为，是的中点，是的中点，根据梯形中位线性质，得到， 又因为平面，平面，所以平面. 并且，平面，则平面平面，且平面， 所以平面. （2）连接交于点，连接. 因为，所以.由， 根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得. 因为平面，平面，平面平面， 根据直线与平面平行的性质所以. 所以在中，. 因为，则. 又因为，即，所以.   6．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若平面MEF，试求的值． 【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理得到，然后利用相似和菱形的性质求比值即可. 【详解】解：如图，连接BD交AC于点，连接OM． 因为平面MEF，平面平面，平面PAC， 所以，所以． 在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以． 又，所以， 故，即的值为． 类型五、证明面面平行 1．（24-25高一下·辽宁·月考）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点． (1)计算棱台的体积； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据棱台的体积公式求解； （2）连接，，利用线面平行的判定定理可证平面，平面，再根据面面平行的判定定理证明. 【详解】（1）由题可知，． 根据棱台的体积公式，可得棱台的体积. （2）如图所示： 连接，因为分别是的中点，则， 又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形， 所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 2．如图，在四棱锥中，，，四边形为菱形，，平面，E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点. 证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】利用面面平行的判定定理即可证明得出结论. 【详解】因为四边形为菱形，所以， 又E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点， 所以，，故， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可得平面. 因为，，平面， 所以平面平面. 3．在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形中位线证明，可证平面. （2）证明，，可证得平面，平面，所以平面平面. 【详解】（1）连接，正四棱锥中，为底面中心，则为中点， 又为的中点，则有， 平面，平面，所以平面. （2），分别为，的中点，则有， 平面，平面，则有平面， ，分别为，的中点，有， 又，则有， 平面，平面，则有平面， 平面，， 所以平面平面. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是的中点. 在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 【答案】存在，为中点，证明见解析 【分析】分析，当为中点时，由线面平行判定定理得平面，平面，再结合面面平行判定定理求证即可得结论. 【详解】存在，为中点时，平面平面， 连接，设，连接，易知， 因为为中点，为的中点，所以， 由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面， 同理可证得平面， 由于，平面， 所以平面平面. 5．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明见解析 【分析】（1）过点作，交于点，连接，证得证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）取取一点，使得，证得，得到平面，结合（1）中平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面． 【详解】（1）过点作，交于点，连接， 因为为的三等分点，可得， 又因为为的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面. （2）当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明如下： 取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由（1）知平面，且，平面， 所以平面平面， 即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面． 类型六、面面平行性质定理 1．如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，四点共面，，．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的性质得到线线平行. 【详解】因为平面平面，四点共面， 且平面平面，平面平面， 所以． 2．（2024高一下·全国·专题练习）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的性质定理可证明，再由平行的传递性即可证明. 【详解】在直四棱柱中，平面平面， 平面，平面，则， 而且，又，因此且， 则四边形是平行四边形，所以， 又，，所以． 3．（23-24高一下·北京大兴·期末）如图，正方体中，N，E，F分别是的中点． (1)求证：E，F，B，D四点共面； (2)设平面与平面交于直线，求证：； 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到，再证明出四边形为平行四边形，得到，从而得到线线平行，得到结论； （2）由面面平行得到线线平行； 【详解】（1）连接， 因为E，F分别是的中点， 所以， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 故， 所以， 故E，F，B，D四点共面； （2）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以； 4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点M，N分别在AC，PB上，且，，作出直线与确定的平面与平面的交线l，直线l与是否平行，如果平行请给出证明，如果不平行请说明理由．    【答案】平行，证明见解析 【分析】取的四等分点且，可证明平面平面，延长与相交于点，直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l即直线， 由面面平行的性质定理，有. 【详解】取的四等分点且，连接，， ．， ， ，，    ∵平面，平面，∴平面，同理可得平面， ，平面． 平面平面， 延长与相交于点，连接， 直线MN与PB确定一个平面，平面与平面PAD的交线l即直线， 平面，平面，则有. 类型七、面面平行证明线面平行 1．直四棱柱，，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据线线平行可证明平面平面，即可由面面平行的性质求证. 【详解】由题意得，， 平面，平面， 平面，平面 而，平面，平面平面， 又平面平面 2．如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. 求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点，连接，证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立. 【详解】如图，取中点，连接， 分别为的中点，， 平面，平面，平面， 且，四边形为平行四边形，且， 分别为的中点，且， 四边形为平行四边形，， 面，面，面， ，平面，面面， 平面，平面． 3．（23-24高一下·陕西西安·月考）如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为的中点． (1)棱上是否存在点，使得平面？说明理由． 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）取的中点为，的中点为，连接，结合题意利用面面平行的判定定理及性质定理即可求解. 【详解】（1）棱上存在点，使得平面， 理由如下： 取的中点为，的中点为，连接， 底面为菱形，为的中点，分别为的中点， ， ，平面，平面， 平面， 同理，平面，平面， 平面， 又，平面， 平面平面， 平面， 棱上存在中点，使得平面. 4．（24-25高一下·山西·月考）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点，分别为线段，上的一点，且，． (1)求证：平面． 【答案】(1)证明见详解. 【分析】（1）在，上各取一点，，使，，根据题意可证明平面平面，又平面，所以平面. 【详解】（1）如图所示，在，上各取一点，，使，， 所以， 又点，分别为线段，上的一点，且，， 所以，， 又底面是棱形，所以，所以，， 所以，所以点，，，四点共面， 又平面，平面，且与相交于点， 又平面，平面，所以平面，平面， 平面，平面，且与相交于点， 所以平面平面， 又平面，所以平面. 1．如图，是等边三角形，直线平面ABC，直线平面ABC，且，F是线段EB的中点．求证：平面ABC． 【答案】证明见解析 【分析】取AB的中点M，先证四边形是平行四边形，则，再利用线面垂直的性质、线面平行的判定推理得证． 【详解】取AB的中点M，连接FM和CM， 在中，F是EB的中点，M是AB的中点，则且， 由平面，而平面，得， 所以，，因此四边形是平行四边形，， 而平面，平面，所以平面． 2．（24-25高一下·广西玉林·月考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点． (1)求证：AC1//平面BDE； (2)当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于，通过三角形中位线证得，由此证得平面； （2）先证出四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理及面面平行的判定定理，证得平面平面. 【详解】（1）设，连, ∵、为别为、的中点, ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）∵点为棱中点，为的中点． ∴且 ∴为平行四边形， ∴， 又平面，平面. ∴平面. 又平面，且 ，平面， ∴平面平面. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，其中，且．，四边形是菱形，为的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】要证明线面平行，可通过证明面面平行得到线面平行，即证明平面平面． 【详解】如图，取的中点，连接，． 在中，，，所以． 因为平面，平面， 所以平面， 在直角梯形中，，且， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 4．（23-24高一下·山东枣庄·期中）如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. (1)求证：； (2)若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据面面平行的性质定理即可求证． （2）推导出，，由此能证明平面平面． 【详解】（1）在三棱柱中， 平面平面，平面平面，平面平面， 故 （2）在三棱柱中， ，，分别是，，的中点， ， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面． 又，平面，平面， 平面． ，平面 平面平面． 5．如图，四棱锥中，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，证明：平面．    【答案】证明见解析 【分析】先通过选取辅助点,在上取一点,由线段平行证明线面平行，然后得到面面平行，利用面面平行的性质，即可得到∥平面. 【详解】证明：如图，    在上取一点，使得，连接， 因为是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点， 所以，所以∥，∥， 因为∥，故∥． 因为平面平面， 所以∥平面∥平面， 因为平面，所以平面∥平面． 因为平面，所以∥平面． 6．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用平行公理及平面的基本事实推理得证. （2）利用线面平行的判定，结合平行四边形判定性质推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，由四边形是平行四边形，得，而，则， 由分别是线段上一点，且，得， 因此，即共面，所以与共面. （2）连接并延长交于，由是的重心，且，得， 即，在上取点，使得，连接， 由，得，且，又， 因此，且，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以平面. 7．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用中位线性质可得，再由线面平行判定定理可证明所以平面； （2）易证平面，由平面平面，根据线面平行性质定理证明，即可得平面． 【详解】（1）连接，交于，如下图所示： 因为底面是正方形，故为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）在正方形中，有， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为面，平面平面，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且.求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理即可证得. 【详解】过作与交于点， 过作与交于点，连接. 由已知条件，可知矩形与矩形全等. 因为，且， 所以， 所以，又， 则四边形为平行四边形，所以， 因为不在平面内，平面，所以平面. 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）中，是上的点，是的中点，且平面．试判断点在上的位置，并给出证明． 【答案】为的中点，证明见解析 【分析】取的中点，连接，，设与交于点，结合图形，根据线面平行的性质定理得出，从而可证得是的中点，继而判断点在上的位置. 【详解】为的中点，证明如下： 取的中点，连接，， 设与交于点，易证且． 易知，，，共面， 因为平面，平面，且平面平面． 所以． 在平行四边形中，因为，且，所以是的中点， 所以点为的中点． 10．（24-25高一下·江苏·期中）如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. (1)记平面平面，证明：； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）连接交于，连接，取中点，过作的平行线交于，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得出结论. 【详解】（1）在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2）在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下：连接交于，连接，则为中点， 取中点，又，则， 过作的平行线交于，连接，在中，有， 由平面PAC，平面PAC，得平面PAC，而，则， 又，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又，得平面，所以存在，且. 11．（24-25高一下·贵州·月考）如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且    (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明； （2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可； （3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可． 【详解】（1）连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以，    又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以D，B，F，E四点共面； （2）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； （3）存在，且，理由如下： 因为， 所以， ， 又， ， 平面，平面， 平面， 延长交于，延长交于，连接，     为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，， ，又，即， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面， 所以时，平面平面． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 空间中线、面的平行问题全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 3 类型一、利用中位线证明线面平行 3 类型二、利用平行四边形证明线面平行 5 类型三、利用线段成比例证明线面平行 6 类型四、线面平行的性质定理 8 类型五、证明面面平行 9 类型六、面面平行性质定理 11 类型七、面面平行证明线面平行 13 压轴专练 14 一、直线和平面平行 1、定义 直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行 面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 二、两个平面平行 1、定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行 线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥ 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 类型一、利用中位线证明线面平行 证明平行之中位线 1.可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一； 2.然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； 3.此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三； 4.此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四． 1．四棱锥的底面为平行四边形，为中点，证明：平面 2．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点.求证：平面. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，正三棱柱中，是的中点，求证：//平面． 类型二、利用平行四边形证明线面平行 证明平行之平行四边形 1.可以拿一把直尺放在位置，如图一； 2.然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； 3.此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接， 如图三； 4.此时长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），，如图四． 图一 图二 图三 图四 1．（24-25高一下·广东汕尾·期末）在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点. (1)证明：平面AOE； 2．（24-25高一下·山东济南·期末）已知正四棱锥P-ABCD，M，N分别是BC，PD的中点． (1)证明：平面； 3．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，分别是的中点.    (1)求证：平面； 4．（25-26高一下·全国·课后作业）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，，，，，是线段的中点，求证：平面. 类型三、利用线段成比例证明线面平行 1．已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，.证明：平面. 2．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． (1)若，证明：平面； 3．如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且，求证：平面. 类型四、线面平行的性质定理 1．如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 2．如图，且，，且，且，平面，，设平面与平面的交线为，求证：； 3．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形，且，为等边三角形，平面平面直线．证明：平面. 4．如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值. 5．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 6．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若平面MEF，试求的值． 类型五、证明面面平行 1．（24-25高一下·辽宁·月考）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点． (1)计算棱台的体积； (2)求证：平面平面． 2．如图，在四棱锥中，，，四边形为菱形，，平面，E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点. 证明：平面平面； 3．在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是的中点. 在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 5．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 类型六、面面平行性质定理 1．如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，四点共面，，．求证：. 2．（2024高一下·全国·专题练习）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 3．（23-24高一下·北京大兴·期末）如图，正方体中，N，E，F分别是的中点． (1)求证：E，F，B，D四点共面； (2)设平面与平面交于直线，求证：； 4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点M，N分别在AC，PB上，且，，作出直线与确定的平面与平面的交线l，直线l与是否平行，如果平行请给出证明，如果不平行请说明理由．    类型七、面面平行证明线面平行 1．直四棱柱，，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4，求证：平面. 2．如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. 求证：平面. 3．（23-24高一下·陕西西安·月考）如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为的中点． (1)棱上是否存在点，使得平面？说明理由． 4．（24-25高一下·山西·月考）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点，分别为线段，上的一点，且，． (1)求证：平面． 1．如图，是等边三角形，直线平面ABC，直线平面ABC，且，F是线段EB的中点．求证：平面ABC． 2．（24-25高一下·广西玉林·月考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点． (1)求证：AC1//平面BDE； (2)当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，其中，且．，四边形是菱形，为的中点．求证：平面． 4．（23-24高一下·山东枣庄·期中）如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. (1)求证：； (2)若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 5．如图，四棱锥中，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，证明：平面．    6．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 7．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：平面． 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且.求证：直线平面； 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）中，是上的点，是的中点，且平面．试判断点在上的位置，并给出证明． 10．（24-25高一下·江苏·期中）如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. (1)记平面平面，证明：； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 11．（24-25高一下·贵州·月考）如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且    (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $