第8章 四边形 单元复习（7大知识点总结+10大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年苏科版数学八年级下册易错题重难点培优讲义

第8章 四边形 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.中心对称与中心对称图形 1.识别中心对称图形与轴对称图形； 2.利用中心对称的性质作图、求坐标； 3.旋转的性质及与中心对称的结合应用 1.混淆中心对称图形与轴对称图形的判定条件； 2.忽略旋转的三要素（旋转中心、方向、角度）； 3.中心对称作图时，未找准对应点的位置 2.平行四边形的性质与判定 1.平行四边形边、角、对角线的性质应用； 2.平行四边形的多种判定方法选择； 3.平行四边形与三角形的综合计算 1.判定平行四边形时，忽略一组对边平行且相等的“且”条件； 2.误用性质，认为平行四边形对角线相等/平分一组对角； 3.计算时未结合三角形三边关系验证结果 3.矩形的性质与判定 1.矩形边、角、对角线的特殊性质； 2.矩形的判定（直角+平行四边形/对角线相等+平行四边形）； 3.矩形中直角三角形、等腰三角形的计算 1.判定矩形时，直接由“对角线相等”判定，忽略平行四边形前提； 2.忘记矩形对角线互相平分且相等的双重性质； 3.未利用矩形对角线的性质转化为等腰三角形解题 4.菱形的性质与判定 1.菱形边、角、对角线的特殊性质； 2.菱形的判定（邻边相等+平行四边形/对角线垂直+平行四边形）； 3.菱形的面积计算（底×高/对角线乘积的一半） 1.混淆菱形与矩形的对角线性质，认为菱形对角线相等； 2.计算菱形面积时，误用对角线之和的一半； 3.判定菱形时，未验证平行四边形的前提条件 5.正方形的性质与判定 1.正方形的边、角、对角线的极致性质； 2.正方形的多路径判定（矩形+菱形/平行四边形+直角+邻边相等）； 3.正方形与旋转、对称的综合应用 1.判定正方形时，步骤缺失，直接由“直角+邻边相等”判定； 2.忽略正方形对角线相等、垂直、平分且平分对角的四重性质； 3.未结合正方形的对称性简化计算 6.三角形中位线定理 1.三角形中位线的性质（平行于第三边且等于其一半）； 2.中位线定理在四边形中的应用； 3.中点四边形的形状判定 1.混淆三角形中位线与中线的概念； 2.应用定理时，忽略“中点连线”的前提； 3.判定中点四边形时，未结合原四边形对角线的特征 7.特殊四边形的面积计算 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的面积公式应用； 2.割补法求不规则四边形的面积； 3.面积与线段、角度的综合计算 1.菱形面积计算时，遗漏对角线乘积的一半的公式； 2.割补法解题时，未保证割补前后面积相等； 3.忽略特殊四边形的高的对应关系，底高不匹配 【易错题型】 【题型1】特殊四边形的判定与性质混淆 1.易错点总结 -判定类：判定矩形/菱形/正方形时，忽略平行四边形的前提条件，如直接由“对角线相等”判定矩形； -性质类：混淆菱形与矩形的对角线性质，误记菱形对角线相等、矩形对角线垂直； -计算类：菱形面积计算误用对角线之和的一半，未掌握“对角线乘积的一半”公式； -概念类：混淆三角形中位线与中线，中点四边形形状判定未结合原四边形对角线特征。 2.纠错技巧 -判定三步法：①先判断是否为平行四边形；②再找矩形（直角/对角线相等）、菱形（邻边相等/对角线垂直）的特殊条件；③正方形需同时满足矩形+菱形条件； -性质对比法：用表格梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的边、角、对角线性质，强化记忆； -公式牢记：菱形面积=底×高=对角线乘积的一半，正方形面积=边长²=对角线乘积的一半； -中位线判定：抓住“两边中点的连线”，中点四边形形状由原四边形对角线的位置/数量关系决定。 【例题1】.（25-26九年级下·陕西西安·期中）在菱形中，．若菱形的周长为8，则此菱形的高为（   ） A． B．4 C．1 D．2 【变式题1-1】.（2026·河南许昌·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026·陕西延安·二模）如图，正方形的顶点与正方形的边均在直线上，于点，若，则正方形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26九年级下·云南昆明·月考）如图，在Rt中，，D是AB的中点，F是CD的中点，过点C作交BF延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为，求的长． 【基础题型】 【题型2】中心对称图形与轴对称图形的识别 1.考点总结 -核心：根据中心对称图形（绕中心旋转180°与自身重合）、轴对称图形（沿对称轴折叠后重合）的定义识别； -常考：结合传统文化、生活图标、几何图形考查双重图形的识别； -关键：找准对称中心或对称轴。 2.解题技巧 -定义验证法：①中心对称图形：找一点，旋转180°后各顶点与原图重合；②轴对称图形：找一条直线，折叠后两边完全重合； -特征记忆法：常见中心对称图形（平行四边形、矩形、菱形、正方形），常见双重图形（矩形、菱形、正方形、圆）； -细节关注：带有奇数个对称轴的图形一般不是中心对称图形。 【例题2】.（2026·浙江·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则___________． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知与关于点成中心对称，过点作直线分别交，于点，，给出下列结论：①点与点、点与点分别是关于点的对称点；②直线必经过点；③四边形与四边形的面积相等；④与关于点成中心对称．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题2-2】.（2026·江西吉安·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，轴，的面积是面积的3倍． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)若点A关于原点的对称点是点，请判断点是否在反比例函数图象上．若将一次函数图象向上平移，使其经过点，求平移的距离． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是________． 【题型3】平行四边形的性质基础应用 1.考点总结 -核心：平行四边形对边相等且平行、对角相等、对角线互相平分的性质； -常考：求边长、角度、对角线长度，结合方程进行简单计算； -关键：利用性质将未知量转化为已知量。 2.解题技巧 -边的计算：利用对边相等，设未知数建立方程，如、； -角的计算：利用对角相等、邻角互补，如，； -对角线计算：利用互相平分，如、，结合线段和差求解。 【例题3】.（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）中，的平分线把边分成4和6两部分，则的周长是______． 【变式题3-1】.（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，对角线，相交于点，．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（2026·广西南宁·二模）如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接． (1)尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，证明：． 【变式题3-3】.（25-26九年级下·江西九江·期中）在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)求证： 【题型4】三角形中位线定理的直接应用 1.考点总结 -核心：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； -常考：求线段长度、证明线线平行，结合中点判定中位线； -关键：找准三角形的两边中点。 2.解题技巧 -长度计算：找到中位线对应的第三边，直接套用； -平行证明：利用中位线的平行性，证明两直线平行，替代平行线的判定定理； -中点找法：题目中出现“中点”“中点连线”，优先考虑中位线定理。 【例题4】.（2026·山东青岛·一模）如图，点E为的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式题4-1】.（25-26九年级下·江苏南京·月考）如图，在平行四边形中，和相交于点O，E、F、G分别是、、的中点，连接，，则的周长为 __________________ ． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，D，E，F分别为的边AC，AB，BC的中点，连接，BD与EF相交于点O． (1)求证：． (2)若，试判断线段BD与EF的数量关系，并说明理由． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·山东淄博·期末）已知：如图1，在中，，点是的中点，求证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法，请你选择一位同学的方法进行证明． 小刚：如图2，延长到点，使得，连接，． 小红：如图3，取的中点，连接． ∴． 【题型5】特殊四边形的面积基础计算 1.考点总结 -核心：平行四边形（底×高）、矩形（长×宽）、菱形（底×高/对角线乘积的一半）、正方形（边长²）的面积公式； -常考：直接代入公式计算，结合高、对角线求面积； -关键：底高对应、牢记菱形特殊面积公式。 2.解题技巧 -公式匹配：根据四边形类型选择对应公式，菱形优先看是否给对角线； -底高对应：平行四边形/矩形/菱形的高需与所选底互相垂直； -特殊转化：正方形的对角线相等，面积也可按“对角线乘积的一半”计算。 【例题5】.（25-26九年级上·江西九江·月考）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式题5-1】.（2026九年级上·四川·专题练习）如图，在中，，为的中线．，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式题5-3】.（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长； ②若限定P、Q分别在边、上移动，试求出菱形的面积最大值． 【提升题型】 【题型6】平行四边形的判定与性质综合应用 1.考点总结 -核心：平行四边形的五种判定方法（定义、两组对边相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对角相等）与性质的结合； -常考：先判定平行四边形，再利用性质求线段/角度，或先利用性质找条件，再判定； -关键：根据已知条件选择最优判定方法。 2.解题技巧 -判定方法选择：①给边的条件：优先用“一组对边平行且相等”或“两组对边相等”；②给对角线的条件：用“对角线互相平分”；③给角的条件：用“两组对角相等”； -性质逆用：由平行四边形的性质得到的边、角、对角线关系，可作为判定的条件； -步骤规范：先写判定依据，再得出平行四边形结论，最后用性质解题。 【例题6】.（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，，在的延长线上，在上，， ，已知，则的长是______． 【变式题6-1】.（25-26九年级下·重庆·月考）如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，过点C作，交于点E． (1)尺规作图：过点A作，交于点F，连接，：（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形，对角线交于点O， ∴①________． ∵，， ∴②________， 在和中， ∴， ∴④________， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别平分，，，分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，分别延长，，，至点，，，，使点，，，分别是，，，的中点，连接．若，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)四边形的周长为___________． 【题型7】矩形/菱形的判定与简单计算 1.考点总结 -核心：矩形（平行四边形+直角/对角线相等）、菱形（平行四边形+邻边相等/对角线垂直）的判定，及特殊性质应用； -常考：结合三角形全等、勾股定理求边长、对角线、角度； -关键：抓住“平行四边形+特殊条件”的判定逻辑。 2.解题技巧 -矩形解题：①利用四个角都是直角，构造直角三角形用勾股定理；②利用对角线相等且平分，得到等腰三角形； -菱形解题：①利用四条边相等，转化线段长度；②利用对角线垂直平分，构造直角三角形求线段； -判定优先：先证明为平行四边形，再补充特殊条件，避免判定步骤缺失。 【例题7】.（2026·湖北十堰·一模）已知：如图，点为矩形内一点，，求证：． 【变式题7-1】.（25-26九年级下·河南周口·月考）如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，将沿折叠，使点B落在F处，连接． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上的中线，点E在的延长线上，连接，过点C作交的延长线于点F，连接，．求证：四边形是菱形． 【变式题7-3】.（2026·河南三门峡·一模）李老师在数学活动课上展示了一道与折叠有关的探究题，请你解答． 如图，在中，，将沿翻折得到，点的对应点为点．    (1)如图1，若，则四边形的形状为___________． (2)当与不平行时，过点作的平行线，交射线于点，过点作的平行线，交射线于点． ①猜想线段与的数量关系，并仅就图2的情形说明理由． ②若，请直接写出线段的长． 【题型8】中点四边形的形状判定 1.考点总结 -核心：由任意四边形各边中点组成的四边形为平行四边形，其特殊形状由原四边形对角线的关系决定； -常考：根据原四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、对角线垂直/相等的四边形）判定中点四边形形状； -关键：牢记中点四边形与原四边形对角线的关联。 2.解题技巧 -基础结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形（三角形中位线定理）； -特殊结论：①原四边形对角线相等→中点四边形为矩形；②原四边形对角线垂直→中点四边形为菱形；③原四边形对角线相等且垂直→中点四边形为正方形； -反向判定：由中点四边形形状，反推原四边形对角线的特征。 【例题8】.（25-26八年级上·全国·期中）如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒，且． (1)________（用含的代数式表示）； (2)如图2，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动；点从点开始沿边向点以的速度运动．点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动． (1)设运动时间为，用含的代数式表示线段的长：________，________； (2)求运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (3)当运动时间为多少秒时，四边形为矩形？ (4)若点运动的速度为，直接写出：当为多少时，四边形为正方形？当为多少时，四边形为菱形？ 【变式题8-2】.（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． (2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． ∵，，过作于，则四边形是矩形， ∴，.， 又∵， ∴， 根据勾股定理，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 此时，， 而， ∴四边形不可能是菱形； ∴当时，四边形是矩形， 即， 解得：， 当时，四边形是矩形； 【变式题8-3】.（25-26九年级上·河南郑州·月考）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． (1)【问题初探】 爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系________； (2)【问题引申】 如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由： (3)【问题解决】 如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且旋转至时，请直接写出的长度________． 【培优题型】 【题型9】正方形的多路径判定与综合应用 1.考点总结 -核心：正方形的多路径判定（矩形+菱形/平行四边形+直角+邻边相等/菱形+直角/矩形+邻边相等），及边、角、对角线的极致性质应用； -常考：结合旋转、全等、勾股定理进行综合计算与证明，探究线段、角度的数量关系； -关键：抓住正方形既是矩形又是菱形的双重特征。 2.解题技巧 -判定路径选择：①已知平行四边形：补直角+邻边相等；②已知矩形：补邻边相等/对角线垂直；③已知菱形：补直角/对角线相等； -性质综合应用：利用对角线相等、垂直、平分且平分对角，构造等腰直角三角形，结合勾股定理计算； -旋转结合：正方形的旋转对称性，常将线段旋转90°构造全等三角形。 【例题9】.（25-26八年级下·江苏苏州·月考）已知：如图，在中，，、的平分线相交于点，，，垂足分别为、．求证：四边形是正方形． 【变式题9-1】.（25-26九年级下·浙江杭州·月考）如图，在正方形中，对角线上有一点P，连接，． (1)求证：． (2)将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上点Q处，求的度数． 【变式题9-2】.（25-26九年级下·安徽安庆·月考）如图，在正方形中，E为上一点（不与端点重合），延长至点F使，连结，过点F作于点G，连结，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求的长． (3)当点E在上任意运动时（不与端点重合），求的值． 【变式题9-3】.（2026年河北省石家庄高新区中考数学一模试卷）【综合与实践】数学实践课上，同学们开展“将正方形裁拼成面积相等的矩形的问题探究”． 题目：“如何将一张边长为的正方形裁拼成面积相等的矩形？” 【理论支持】嘉嘉给出的裁剪作图理论是：“如图1，在边上截取点E（点E不与点B，C重合），连接，过点E作的垂线m，交于点M，过点A作的平行线交直线m于点F，过点D作的垂线，交的延长线于点G，四边形即为与正方形面积相等的矩形．” (1)求证：四边形为矩形； (2)试说明矩形的面积和正方形的面积相等； (3)【动手操作】淇淇按照嘉嘉的示意图，将正方形裁剪成、、四边形三部分，在拼接过程中发现拼接到或的位置都未能全部填满，于是，她把放到图2所示的的位置，然后在截取，过点K作于点J，并裁剪出，将其拼到的位置，恰好无缝拼接，然后将四边形拼到四边形的位置，恰好拼接成一个完整的矩形．求证：； (4)如图3，规定：两条邻边的长度比为的矩形为“开心矩形”，若拼出的矩形为“开心矩形”，求的长． 【题型10】特殊四边形的尺规作图与探究 1.考点总结 -核心：利用尺规作图作平行四边形、矩形、菱形、正方形，结合作图步骤进行证明与探究； -常考：根据作图步骤补全图形、写证明依据，探究作图的合理性； -关键：结合特殊四边形的判定定理理解作图步骤。 2.解题技巧 -作图依据：①作平行四边形：利用“对角线互相平分”，作中点找对应点；②作矩形：先作平行四边形，再作直角；③作菱形：先作平行四边形，再作邻边相等； -证明步骤：结合作图的尺规操作（如作垂直、作等长线段），对应特殊四边形的判定定理； -探究分析：判断作图方法的合理性，关键看是否能保证判定定理的条件成立。 【例题10】.（2023年浙江省台州市部分校中考模拟考试（四）数学试题）如图，是由边长为1的正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示） (1)在外部找一格点D，使得． (2)连接． ①求证：． ②探究和的数量关系，并说明理由． 【变式题10-1】.（2026·甘肃平凉·一模）在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神． 如今，借助尺规来完成一道几何构造题：如图，在四边形中，，．在、边上分别确定点E、F，使得四边形是菱形．作法如下： ①连接； ②作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E； ③连接、． 则四边形即为菱形． (1)请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出菱形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求四边形的周长． 【变式题10-2】.（2026·北京海淀·模拟预测）已知：中，，直线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于． (1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段和线段的数量关系．于是他画了图1所示当在边上时的图形，并通过测量得到了线段与的数量关系．你认为小捷的猜想是___________（填“”，“”或“”）； (2)当在边的延长线上时请你根据题目要求补全图2，并找出与相等的角___________； (3)如图3，当在边的反向延长线上时，写出的数量关系（用等式表示），并证明． 【变式题10-3】.（25-26九年级下·甘肃兰州·月考）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 数学兴趣课上，老师和同学们共同探讨了下面的问题： 题目：已知正方形，利用尺规作一个正方形，使点E，F，G，H分别在，，，边上． 勤学小组展示了他们讨论并优化后的成果如图1．作法如下： ①作线段的垂直平分线分别交，于点H，F； ②作或或的垂直平分线分别交，于点E，G，连接 ，则四边形是所求的正方形． 任务： (1)如图1，勤学小组作法的第一步中，用尺规作出线段垂直平分线作法的依据是____________； (2)如图2，作线段的垂直平分线分别交，于点H，F；请在图2中，用不同于图1的方法作出满足条件的正方形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (3)如图3，点E是边上的一点，请你在图3中作出满足条件的正方形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 同步练习 一、单选题 1．如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 2．如图，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上滑动，点C，D分别在x轴，y轴负半轴上滑动，四边形，都是矩形，若，，则（   ） A．9 B．11 C．13 D．15 3．如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在顶点处．若刚好是等边三角形，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，菱形的对角线，相交于点，过点C作于点E，连接OE，若，，则菱形的面积为________________． 5．在矩形中，，，点P是折线上的动点（不与A，B两点重合），当为等腰三角形时，此时的长为________________． 6．如图，有一张矩形纸片，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，再将纸片沿折叠，使点落在的中点处，则_____． 三、解答题 7．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且．连接，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形． 8．解答下列各题： (1)如图，在正方形和正方形中，点在线段上，点在的延长线上，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，在正方形和正方形中，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，若四边形与四边形都为菱形，且，连接、．猜想线段与线段的数量关系及与线段所在直线所夹锐角的度数，并说明理由． 9．如图，在四边形中，，于点E，于点F，，求证：四边形是矩形． 10．如图，在菱形中，E，F分别是边，上的点，且．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 四边形 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.中心对称与中心对称图形 1.识别中心对称图形与轴对称图形； 2.利用中心对称的性质作图、求坐标； 3.旋转的性质及与中心对称的结合应用 1.混淆中心对称图形与轴对称图形的判定条件； 2.忽略旋转的三要素（旋转中心、方向、角度）； 3.中心对称作图时，未找准对应点的位置 2.平行四边形的性质与判定 1.平行四边形边、角、对角线的性质应用； 2.平行四边形的多种判定方法选择； 3.平行四边形与三角形的综合计算 1.判定平行四边形时，忽略一组对边平行且相等的“且”条件； 2.误用性质，认为平行四边形对角线相等/平分一组对角； 3.计算时未结合三角形三边关系验证结果 3.矩形的性质与判定 1.矩形边、角、对角线的特殊性质； 2.矩形的判定（直角+平行四边形/对角线相等+平行四边形）； 3.矩形中直角三角形、等腰三角形的计算 1.判定矩形时，直接由“对角线相等”判定，忽略平行四边形前提； 2.忘记矩形对角线互相平分且相等的双重性质； 3.未利用矩形对角线的性质转化为等腰三角形解题 4.菱形的性质与判定 1.菱形边、角、对角线的特殊性质； 2.菱形的判定（邻边相等+平行四边形/对角线垂直+平行四边形）； 3.菱形的面积计算（底×高/对角线乘积的一半） 1.混淆菱形与矩形的对角线性质，认为菱形对角线相等； 2.计算菱形面积时，误用对角线之和的一半； 3.判定菱形时，未验证平行四边形的前提条件 5.正方形的性质与判定 1.正方形的边、角、对角线的极致性质； 2.正方形的多路径判定（矩形+菱形/平行四边形+直角+邻边相等）； 3.正方形与旋转、对称的综合应用 1.判定正方形时，步骤缺失，直接由“直角+邻边相等”判定； 2.忽略正方形对角线相等、垂直、平分且平分对角的四重性质； 3.未结合正方形的对称性简化计算 6.三角形中位线定理 1.三角形中位线的性质（平行于第三边且等于其一半）； 2.中位线定理在四边形中的应用； 3.中点四边形的形状判定 1.混淆三角形中位线与中线的概念； 2.应用定理时，忽略“中点连线”的前提； 3.判定中点四边形时，未结合原四边形对角线的特征 7.特殊四边形的面积计算 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的面积公式应用； 2.割补法求不规则四边形的面积； 3.面积与线段、角度的综合计算 1.菱形面积计算时，遗漏对角线乘积的一半的公式； 2.割补法解题时，未保证割补前后面积相等； 3.忽略特殊四边形的高的对应关系，底高不匹配 【易错题型】 【题型1】特殊四边形的判定与性质混淆 1.易错点总结 -判定类：判定矩形/菱形/正方形时，忽略平行四边形的前提条件，如直接由“对角线相等”判定矩形； -性质类：混淆菱形与矩形的对角线性质，误记菱形对角线相等、矩形对角线垂直； -计算类：菱形面积计算误用对角线之和的一半，未掌握“对角线乘积的一半”公式； -概念类：混淆三角形中位线与中线，中点四边形形状判定未结合原四边形对角线特征。 2.纠错技巧 -判定三步法：①先判断是否为平行四边形；②再找矩形（直角/对角线相等）、菱形（邻边相等/对角线垂直）的特殊条件；③正方形需同时满足矩形+菱形条件； -性质对比法：用表格梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的边、角、对角线性质，强化记忆； -公式牢记：菱形面积=底×高=对角线乘积的一半，正方形面积=边长²=对角线乘积的一半； -中位线判定：抓住“两边中点的连线”，中点四边形形状由原四边形对角线的位置/数量关系决定。 【例题1】.（25-26九年级下·陕西西安·期中）在菱形中，．若菱形的周长为8，则此菱形的高为（   ） A． B．4 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出其内角的度数，再结合菱形周长求出边长，最后利用含角的直角三角形的性质求出菱形的高即可． 【详解】解：因为四边形是菱形，可知， 所以， 又已知， 设，则， 可列方程， 即，解得， 所以． 由于菱形的周长为， 设菱形的边长为，则，解得， 过点作于点，如图 则的长即为菱形的高， 在中，，， 可得 ． 则此菱形的高为1． 【变式题1-1】.（2026·河南许昌·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正方形边长得出、对角线；再由折叠性质得，进而算出；最后将的周长转化为，代入数值计算得周长为． 【详解】解：∵已知正方形中，， ∴， 根据勾股定理，对角线 由折叠可知：， ∴，且， 的周长 因为， 所以， 因此周长． 【变式题1-2】.（2026·陕西延安·二模）如图，正方形的顶点与正方形的边均在直线上，于点，若，则正方形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到，，推出，证明得到，即可求解． 【详解】解：正方形的顶点与正方形的边均在直线上， ，， ， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， 正方形的周长为． 【变式题1-3】.（25-26九年级下·云南昆明·月考）如图，在Rt中，，D是AB的中点，F是CD的中点，过点C作交BF延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据“角角边”证明，可得，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半得，然后说明四边形是平行四边形，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案； （2）连接，根据菱形的性质说明四边形是平行四边形，可得，再根据菱形的面积是求出，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 在中，点D是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵菱形的面积是， ∴， 解得． 根据勾股定理，得． 【基础题型】 【题型2】中心对称图形与轴对称图形的识别 1.考点总结 -核心：根据中心对称图形（绕中心旋转180°与自身重合）、轴对称图形（沿对称轴折叠后重合）的定义识别； -常考：结合传统文化、生活图标、几何图形考查双重图形的识别； -关键：找准对称中心或对称轴。 2.解题技巧 -定义验证法：①中心对称图形：找一点，旋转180°后各顶点与原图重合；②轴对称图形：找一条直线，折叠后两边完全重合； -特征记忆法：常见中心对称图形（平行四边形、矩形、菱形、正方形），常见双重图形（矩形、菱形、正方形、圆）； -细节关注：带有奇数个对称轴的图形一般不是中心对称图形。 【例题2】.（2026·浙江·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则___________． 【答案】25 【分析】利用菱形的性质得到与互相垂直平分，从而求得的长和的长，再由与关于点D成中心对称，得到，从而求得的值，利用勾股定理即可得出的长． 【详解】解：在菱形中，与互相垂直平分， ∴，， 又∵与关于点D成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， 在中，． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知与关于点成中心对称，过点作直线分别交，于点，，给出下列结论：①点与点、点与点分别是关于点的对称点；②直线必经过点；③四边形与四边形的面积相等；④与关于点成中心对称．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据与关于点中心对称得到，，，即可得到，即可得到答案； 【详解】解：∵与关于点中心对称， ∴，，， 在与中， ∵， ∴， ∴点和点是关于中心的对称点， ∴与成中心对称， ∵点和点是关于中心的对称点， ∴直线必经过点， ∴四边形与四边形也关于点对称， ∴， 综上，正确的是①②③④． 【变式题2-2】.（2026·江西吉安·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，轴，的面积是面积的3倍． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)若点A关于原点的对称点是点，请判断点是否在反比例函数图象上．若将一次函数图象向上平移，使其经过点，求平移的距离． 【答案】(1)一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：． (2)平移的距离为． 【分析】（1）先求解，结合三角形的面积可得，再进一步求解函数解析式即可． （2）先求解，进一步代入解析式判断，设平移后的解析式为，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数， 当，则， ∴， ∵轴，的面积是面积的3倍． ∴， ∴，， 把代入，得： ∴，， 解得：， 一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：． （2）解：∵点关于原点的对称点是点， ∴， ∵反比例函数的解析式为：． 当时，， ∴在反比例函数的图象上． 设平移后的解析式为， ∴， 解得：， ∴平移的距离为． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，坐标与图形，轴对称图形．根据矩形性质：点A和点C关于原点对称，得点C的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴点A和点C关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【题型3】平行四边形的性质基础应用 1.考点总结 -核心：平行四边形对边相等且平行、对角相等、对角线互相平分的性质； -常考：求边长、角度、对角线长度，结合方程进行简单计算； -关键：利用性质将未知量转化为已知量。 2.解题技巧 -边的计算：利用对边相等，设未知数建立方程，如、； -角的计算：利用对角相等、邻角互补，如，； -对角线计算：利用互相平分，如、，结合线段和差求解。 【例题3】.（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）中，的平分线把边分成4和6两部分，则的周长是______． 【答案】32或28 【分析】根据题意，分类讨论：当时；当时，结合图形分析即可求解． 【详解】解：的平分线把边分成4和6两部分， 当时，如图所示，则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 则， ∴， ∴平行四边形的周长为； 当时， 同理，，， ∴平行四边形的周长为； 综上所述，的周长为：32或28 ． 【变式题3-1】.（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，对角线，相交于点，．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出，再由平行四边形对角线互相平分得，接着在中利用勾股定理求得，最后由即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中 ， ∴． 【变式题3-2】.（2026·广西南宁·二模）如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接． (1)尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，证明：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分别以点B，O为圆心，以为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线交于点F，则点F即为所求作； （2）先根据平行四边形的对角线互相平分得出，即可得出，再根据“边角边”证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点F即为所求作； （2）证明：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式题3-3】.（25-26九年级下·江西九江·期中）在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的对边平行的性质推出，再利用已知条件得到，得到，进而得到，由此得到结论平分； （2）根据平行四边形的对边平行的性质推出，，结合，证明，得到，由（1）知，得到，由此，即可得到 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴ 【题型4】三角形中位线定理的直接应用 1.考点总结 -核心：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； -常考：求线段长度、证明线线平行，结合中点判定中位线； -关键：找准三角形的两边中点。 2.解题技巧 -长度计算：找到中位线对应的第三边，直接套用； -平行证明：利用中位线的平行性，证明两直线平行，替代平行线的判定定理； -中点找法：题目中出现“中点”“中点连线”，优先考虑中位线定理。 【例题4】.（2026·山东青岛·一模）如图，点E为的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】连接交于点，根据平行四边形的性质和三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴． 【变式题4-1】.（25-26九年级下·江苏南京·月考）如图，在平行四边形中，和相交于点O，E、F、G分别是、、的中点，连接，，则的周长为 __________________ ． 【答案】 【分析】由为平行四边形得到，结合已知条件得到，进而得到与均为等腰三角形，结合为中点得到，为斜边上的中线求出；过点作于，求出，再证明四边形为平行四边形得到，最后将、、相加即可求解． 【详解】解：点、分别为和的中点， 是的中位线， ； 四边形为平行四边形， ，， 又， ， 与均为等腰三角形， 又 ∵为的中点，连接， ， ， 又为的中点， ∴； 过点作于，连接，如图所示： ∴， ， 在中，由勾股定理得， 为中点，为中点， 为的中位线， ，即，且， 四边形为平行四边形， ， ． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，D，E，F分别为的边AC，AB，BC的中点，连接，BD与EF相交于点O． (1)求证：． (2)若，试判断线段BD与EF的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理，掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半，平行四边形对角线互相平分，直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）要证明，先利用三角形中位线定理，结合中点条件得到，从而判定四边形为平行四边形；再根据平行四边形对角线互相平分的性质，推出为的中点，即． （2）判断与的数量关系，先在中，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到；再结合三角形中位线定理，得到，从而推出． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴． （2）解：．理由如下： ∵是的中点，， ∴． ∵分别是的中点， ∴， ∴． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·山东淄博·期末）已知：如图1，在中，，点是的中点，求证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法，请你选择一位同学的方法进行证明． 小刚：如图2，延长到点，使得，连接，． 小红：如图3，取的中点，连接． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形中位线定理，若选择小刚的方法：延长到点，使得，连接，，证明四边形是矩形，得出，再结合即可得证；若选取小红的方法：取的中点，连接，证明是的中位线，得出，再证明是的垂直平分线，得出，结合，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：若选择小刚的方法： 如图2，延长到点，使得，连接，， ∵点是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； 若选取小红的方法： 如图3，取的中点，连接， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 【题型5】特殊四边形的面积基础计算 1.考点总结 -核心：平行四边形（底×高）、矩形（长×宽）、菱形（底×高/对角线乘积的一半）、正方形（边长²）的面积公式； -常考：直接代入公式计算，结合高、对角线求面积； -关键：底高对应、牢记菱形特殊面积公式。 2.解题技巧 -公式匹配：根据四边形类型选择对应公式，菱形优先看是否给对角线； -底高对应：平行四边形/矩形/菱形的高需与所选底互相垂直； -特殊转化：正方形的对角线相等，面积也可按“对角线乘积的一半”计算。 【例题5】.（25-26九年级上·江西九江·月考）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形，以及所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，结合已知即可证明； （2）先利用四边形是平行四边形，得到，进而得到，证得矩形，有，且，利用的直角三角形求出，，再利用面积公式进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ，即， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得四边形是平行四边形，则， ， ， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ， ，且， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 【变式题5-1】.（2026九年级上·四川·专题练习）如图，在中，，为的中线．，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得四边形为平行四边形，再由直角三角形的性质得出，即可得证； （2）设交于点，由（1）可得，四边形为菱形，，由菱形的性质可得，，，证明为等边三角形得出 ，求出，由菱形的性质可得，最后由计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，为的中线． ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：如图，设交于点， ， 由（1）可得，四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的面积，勾股定理； （1）连接与交于点，证明，得到，即，则平行四边形是菱形； （2）先求出，再勾股定理求出，则，再根据菱形的面积是代入求值即可． 【详解】（1）解：连接与交于点， ∵平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵，平行四边形是菱形， ∴， ∴，即， ∴菱形的面积是． 【变式题5-3】.（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长； ②若限定P、Q分别在边、上移动，试求出菱形的面积最大值． 【答案】(1)见解析 (2) ；36 【分析】（1）由折叠的性质得出，，，由平行线的性质得出，证出，得出，因此，即可得出结论； （2）①根据矩形的性质和勾股定理求得的长，在中求得，即可求得菱形的边长；②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形为正方形，，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边上的E处，折痕为， ∴点B与点E关于对称， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）①∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点B与点E关于对称， ∴， 在中， ， ∴， 在中，，， ∴，解得： ， ∴菱形的边长为； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近， 由①知，此时，， 那么， 当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形为正方形，如图， 则， 那么， ∴菱形的面积范围为，即最大值为36． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，找到临界点是解题的关键． 【提升题型】 【题型6】平行四边形的判定与性质综合应用 1.考点总结 -核心：平行四边形的五种判定方法（定义、两组对边相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对角相等）与性质的结合； -常考：先判定平行四边形，再利用性质求线段/角度，或先利用性质找条件，再判定； -关键：根据已知条件选择最优判定方法。 2.解题技巧 -判定方法选择：①给边的条件：优先用“一组对边平行且相等”或“两组对边相等”；②给对角线的条件：用“对角线互相平分”；③给角的条件：用“两组对角相等”； -性质逆用：由平行四边形的性质得到的边、角、对角线关系，可作为判定的条件； -步骤规范：先写判定依据，再得出平行四边形结论，最后用性质解题。 【例题6】.（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，，在的延长线上，在上，， ，已知，则的长是______． 【答案】 【分析】证明，，推出，再证明是等腰直角三角形可得结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【变式题6-1】.（25-26九年级下·重庆·月考）如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，过点C作，交于点E． (1)尺规作图：过点A作，交于点F，连接，：（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形，对角线交于点O， ∴①________． ∵，， ∴②________， 在和中， ∴， ∴④________， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）利用基本作图，过A点作的垂线即可； （2）先根据平行四边形的性质得到，再证明，接着证明得到，然后根据平行四边形的判定方法可判断四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：如图，即为所作． （2）证明：∵四边形为平行四边形，对角线交于点O， ∴①． ∵，， ∴②， 在和中 ， ∴， ∴④， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别平分，，，分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】先借助平行四边形的性质和角平分线定义证得，再证出四边形是平行四边形得到，最后结合中点推出与平行且相等，以此判定四边形为平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴，， ． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，分别延长，，，至点，，，，使点，，，分别是，，，的中点，连接．若，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)四边形的周长为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理． （1）根据平行四边形的性质可得，，由点，，，分别是，，，的中点，可得，，，，进而得到，，即可证明； （2）根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明： 的对角线，相交于点， ，， 点，，，分别是，，，的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 【题型7】矩形/菱形的判定与简单计算 1.考点总结 -核心：矩形（平行四边形+直角/对角线相等）、菱形（平行四边形+邻边相等/对角线垂直）的判定，及特殊性质应用； -常考：结合三角形全等、勾股定理求边长、对角线、角度； -关键：抓住“平行四边形+特殊条件”的判定逻辑。 2.解题技巧 -矩形解题：①利用四个角都是直角，构造直角三角形用勾股定理；②利用对角线相等且平分，得到等腰三角形； -菱形解题：①利用四条边相等，转化线段长度；②利用对角线垂直平分，构造直角三角形求线段； -判定优先：先证明为平行四边形，再补充特殊条件，避免判定步骤缺失。 【例题7】.（2026·湖北十堰·一模）已知：如图，点为矩形内一点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，证明即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题7-1】.（25-26九年级下·河南周口·月考）如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，将沿折叠，使点B落在F处，连接． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由折叠的性质求解； （2）由折叠得，，，然后结合平行线的性质得到，推出，进而求解． 【详解】（1）解：由折叠得，； （2）解：由折叠得，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上的中线，点E在的延长线上，连接，过点C作交的延长线于点F，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】根据三线合一的性质可得出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据证明，得出，然后根据菱形的判定即可得证． 【详解】证明：是边上的中线， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【变式题7-3】.（2026·河南三门峡·一模）李老师在数学活动课上展示了一道与折叠有关的探究题，请你解答． 如图，在中，，将沿翻折得到，点的对应点为点．    (1)如图1，若，则四边形的形状为___________． (2)当与不平行时，过点作的平行线，交射线于点，过点作的平行线，交射线于点． ①猜想线段与的数量关系，并仅就图2的情形说明理由． ②若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)菱形 (2)①，理由见解析；②或 【分析】（1）证明为等边三角形即可得到结论； （2）①证明四边形为平行四边形，由折叠，可知，，推出，进而求解； ②过点作于点，过点作交的延长线于点，分类讨论当点在线段的延长线上和当点在线段上时，设，则，结合 求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即为等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：①；理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 由折叠，可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，    ∵， ∴， 同理， ∴， 则四边形为矩形， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图3， 由①知， 在和中， ∴ ， ∴， 设，则， ∴． 由折叠，得， ∴， 由勾股定理， ， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 当点在线段上时，如图4，    同理可证， ， ∴， 设，则，，，， 同理有 ， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 综上所述，的长为或． 【题型8】中点四边形的形状判定 1.考点总结 -核心：由任意四边形各边中点组成的四边形为平行四边形，其特殊形状由原四边形对角线的关系决定； -常考：根据原四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、对角线垂直/相等的四边形）判定中点四边形形状； -关键：牢记中点四边形与原四边形对角线的关联。 2.解题技巧 -基础结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形（三角形中位线定理）； -特殊结论：①原四边形对角线相等→中点四边形为矩形；②原四边形对角线垂直→中点四边形为菱形；③原四边形对角线相等且垂直→中点四边形为正方形； -反向判定：由中点四边形形状，反推原四边形对角线的特征。 【例题8】.（25-26八年级上·全国·期中）如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒，且． (1)________（用含的代数式表示）； (2)如图2，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或2 【分析】本题考查列代数式、矩形上的动点问题： （1）求出即可表示出的长度； （2）分两种情况讨论：和时，根据全等的性质得边长相等，从而可求v的值． 【详解】（1）解：，则， 故答案为：； （2）解：存在． 分两种情况讨论： ①当，时，． ∵， ∴． ∴，即． 解得． ∵，， ∴． ②当，时，． ∵， ∴，即． 解得． ∵，即，解得． 综上所述，当或2时，与全等． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动；点从点开始沿边向点以的速度运动．点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动． (1)设运动时间为，用含的代数式表示线段的长：________，________； (2)求运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (3)当运动时间为多少秒时，四边形为矩形？ (4)若点运动的速度为，直接写出：当为多少时，四边形为正方形？当为多少时，四边形为菱形？ 【答案】(1)， (2)运动时间为时，四边形为平行四边形 (3)运动时间为时，四边形为矩形 (4)当为时，四边形为正方形，当为时，四边形为菱形 【分析】此题考查了正方形，菱形，平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质． （1）根据题意速度乘以时间即可得出，，进而即可求得； （2）由在四边形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案； （3）由在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案． （4）根据四边形为正方形，可得，进而求得，再根据，建立方程，求得；当四边形为菱形，过点作于点，根据勾股定理求得的长，进而求得，从而求得，根据，建立方程求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，，则， 故答案为：， （2）由题意可得：，， ， ， 设当运动时间为秒时，此时四边形为平行四边形． 由得，， 解得：， 当运动时间为秒时，四边形为平行四边形． （3）， ， 设当运动时间为秒时，四边形为平行四边形． 由得：， 解得： ， 又 平行四边形为矩形． 当运动时间为秒时，四边形为矩形． （4）解：点运动的速度为，则 ∵四边形为正方形 ∴ ∴，则 解得： ∴当为时，四边形为正方形， 如图，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴当四边形为菱形时， ∴ ∴ 解得： ∴当为时，四边形为菱形； 综上所述，当为时，四边形为正方形，当为时，四边形为菱形 【变式题8-2】.（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． (2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，使为菱形 (2) (3)不存在，使为正方形 【分析】本题考查四边形中的动点问题，解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置 （）利用菱形的判定和性质进行求解即可； （）利用矩形的判定和性质进行求解即可； （）利用正方形的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：不存在，理由： ∵，，过作于，则四边形是矩形， ∴，.， 又∵， ∴， 根据勾股定理，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 此时，， 而， ∴四边形不可能是菱形； （2）如图，∵，； ∴当时，四边形是矩形， 即， 解得：， 当时，四边形是矩形； （3）由当时，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形不能是正方形， 即不存在时间，使四边形是正方形 【变式题8-3】.（25-26九年级上·河南郑州·月考）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． (1)【问题初探】 爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系________； (2)【问题引申】 如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由： (3)【问题解决】 如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且旋转至时，请直接写出的长度________． 【答案】(1) (2) (3)8或4 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； （3）分两种情况：当点靠近点时，；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ； 故答案为： （2）解：结论变为，理由如下： 如图2中，取的中点T，连接， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G． 是等边三角形，，， ，， 在中，， ， 由（2）可知，， ； 如图中，当点靠近点时，同法可得，， ， ， 综上所述，满足条件的的值为8或4； 故答案为：8或4． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形及菱形的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 【培优题型】 【题型9】正方形的多路径判定与综合应用 1.考点总结 -核心：正方形的多路径判定（矩形+菱形/平行四边形+直角+邻边相等/菱形+直角/矩形+邻边相等），及边、角、对角线的极致性质应用； -常考：结合旋转、全等、勾股定理进行综合计算与证明，探究线段、角度的数量关系； -关键：抓住正方形既是矩形又是菱形的双重特征。 2.解题技巧 -判定路径选择：①已知平行四边形：补直角+邻边相等；②已知矩形：补邻边相等/对角线垂直；③已知菱形：补直角/对角线相等； -性质综合应用：利用对角线相等、垂直、平分且平分对角，构造等腰直角三角形，结合勾股定理计算； -旋转结合：正方形的旋转对称性，常将线段旋转90°构造全等三角形。 【例题9】.（25-26八年级下·江苏苏州·月考）已知：如图，在中，，、的平分线相交于点，，，垂足分别为、．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】先根据三个直角证明四边形是矩形，再利用角平分线的性质证明邻边相等，从而根据有一组邻边相等的矩形是正方形完成证明． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． 过点作于点， ∵平分，，， ∴． ∵平分，，， ∴． ∴， ∴矩形是正方形． 【变式题9-1】.（25-26九年级下·浙江杭州·月考）如图，在正方形中，对角线上有一点P，连接，． (1)求证：． (2)将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上点Q处，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到、，证得，根据全等三角形的性质得到； （2）设交于点M，由全等三角形的性质结合等腰三角形的性质易得到，进而得到，从而求出的度数． 【详解】（1）解：四边形是正方形，为对角线 、 ； （2）解：设交于点M， 、， ， ， ， ， 、， ， ． 【变式题9-2】.（25-26九年级下·安徽安庆·月考）如图，在正方形中，E为上一点（不与端点重合），延长至点F使，连结，过点F作于点G，连结，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求的长． (3)当点E在上任意运动时（不与端点重合），求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明一组对边平行且相等，即可证明． （2）先得到是等腰直角三角形，由此可求解的长度，再根据求解即可． （3）先由边角边证明和全等，由此可得，，再由边角边证明和全等，由此可得，，再得是等腰直角三角形，由勾股定理求解与的长度关系可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，，如图所示： ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【变式题9-3】.（2026年河北省石家庄高新区中考数学一模试卷）【综合与实践】数学实践课上，同学们开展“将正方形裁拼成面积相等的矩形的问题探究”． 题目：“如何将一张边长为的正方形裁拼成面积相等的矩形？” 【理论支持】嘉嘉给出的裁剪作图理论是：“如图1，在边上截取点E（点E不与点B，C重合），连接，过点E作的垂线m，交于点M，过点A作的平行线交直线m于点F，过点D作的垂线，交的延长线于点G，四边形即为与正方形面积相等的矩形．” (1)求证：四边形为矩形； (2)试说明矩形的面积和正方形的面积相等； (3)【动手操作】淇淇按照嘉嘉的示意图，将正方形裁剪成、、四边形三部分，在拼接过程中发现拼接到或的位置都未能全部填满，于是，她把放到图2所示的的位置，然后在截取，过点K作于点J，并裁剪出，将其拼到的位置，恰好无缝拼接，然后将四边形拼到四边形的位置，恰好拼接成一个完整的矩形．求证：； (4)如图3，规定：两条邻边的长度比为的矩形为“开心矩形”，若拼出的矩形为“开心矩形”，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据，证明，即可证明四边形为矩形； （2）先证明，继而得到，从而得到比例式 ，故，根据证明即可； （3）先证明，再证明，，然后根据角角边定理证明即可； （4）如图3，规定：两条邻边的长度比为的矩形为“开心矩形”，若拼出的矩形为“开心矩形”，求的长． 【详解】（1）证明： ，， ， ， 四边形为矩形． （2）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）证明：四边形是正方形，四边形为矩形． ， ， ， ， ， ， 在和中， ∵， ∴． （4）解：，， ， ， 拼出的矩形为“开心矩形”， 或， 当时， ， 解得， ； 当时， ， 解得， 此时斜边小于直角边，不成立，舍去； 故的长为． 【题型10】特殊四边形的尺规作图与探究 1.考点总结 -核心：利用尺规作图作平行四边形、矩形、菱形、正方形，结合作图步骤进行证明与探究； -常考：根据作图步骤补全图形、写证明依据，探究作图的合理性； -关键：结合特殊四边形的判定定理理解作图步骤。 2.解题技巧 -作图依据：①作平行四边形：利用“对角线互相平分”，作中点找对应点；②作矩形：先作平行四边形，再作直角；③作菱形：先作平行四边形，再作邻边相等； -证明步骤：结合作图的尺规操作（如作垂直、作等长线段），对应特殊四边形的判定定理； -探究分析：判断作图方法的合理性，关键看是否能保证判定定理的条件成立。 【例题10】.（2023年浙江省台州市部分校中考模拟考试（四）数学试题）如图，是由边长为1的正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示） (1)在外部找一格点D，使得． (2)连接． ①求证：． ②探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，见解析 【分析】（1）由可知，直角边长分别为和的直角三角形的斜边长为，即可确定点； （2）①取中点，连接，利用勾股定理可得，则四边形为菱形，即可得证；②利用勾股定理及其逆定理可得是直角三角形，，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再结合等边对等角得出，则，最后再根据菱形对角相等求解即可． 【详解】（1）解：点如图所示； （2）解：①取中点，连接， 由题意图形可知，， ∴四边形为菱形， ∴； ②，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵为中线， ∴， ∴ ∴ ∵四边形为菱形， ∴ ∴ 【变式题10-1】.（2026·甘肃平凉·一模）在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神． 如今，借助尺规来完成一道几何构造题：如图，在四边形中，，．在、边上分别确定点E、F，使得四边形是菱形．作法如下： ①连接； ②作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E； ③连接、． 则四边形即为菱形． (1)请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出菱形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题干所给方法作图即可； （2）由题意知四边形为菱形，设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：菱形如图所示．（作法不唯一） （2）解：由题意知，四边形为菱形， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即， 解得， ∴四边形的周长． 【变式题10-2】.（2026·北京海淀·模拟预测）已知：中，，直线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于． (1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段和线段的数量关系．于是他画了图1所示当在边上时的图形，并通过测量得到了线段与的数量关系．你认为小捷的猜想是___________（填“”，“”或“”）； (2)当在边的延长线上时请你根据题目要求补全图2，并找出与相等的角___________； (3)如图3，当在边的反向延长线上时，写出的数量关系（用等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)见解析； (3)，见解析 【分析】（1）作，再根据“同角的余角相等”得，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据“角角边”证明，可得答案； （2）根据同角的余角相等解答即可； （3）作，交延长线于点，再根据“角角边”证明，可得，进而得出，然后作，交的延长线于，即可说明四边形是矩形，接下来可得，然后根据勾股定理得，最后整理得出答案． 【详解】（1）解：． 过点作，于点E， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：补全的图2如下： 与相等的角是. ∵ ∴． ∵， ∴， ∴； （3），证明如下： 如图3，过作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作，交的延长线于， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 【变式题10-3】.（25-26九年级下·甘肃兰州·月考）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 数学兴趣课上，老师和同学们共同探讨了下面的问题： 题目：已知正方形，利用尺规作一个正方形，使点E，F，G，H分别在，，，边上． 勤学小组展示了他们讨论并优化后的成果如图1．作法如下： ①作线段的垂直平分线分别交，于点H，F； ②作或或的垂直平分线分别交，于点E，G，连接 ，则四边形是所求的正方形． 任务： (1)如图1，勤学小组作法的第一步中，用尺规作出线段垂直平分线作法的依据是____________； (2)如图2，作线段的垂直平分线分别交，于点H，F；请在图2中，用不同于图1的方法作出满足条件的正方形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (3)如图3，点E是边上的一点，请你在图3中作出满足条件的正方形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定方法可得结论； （2）分别以点A和点D为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、，连接、、、，则四边形是正方形； （3）分别截取，连接、、、，则四边形是正方形． 【详解】（1）解：用尺规作出线段垂直平分线作法的依据是：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． （2）解：如图， 所以正方形即为所求． 由作图可得， ∴， ， ∴四个是全等的等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， （3）解：如图， 所以，正方形即为所求． ∵， 又∵， ∴， ∴四个是全等的直角三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是正方形． 同步练习 一、单选题 1．如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【分析】可证明是菱形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是菱形， ∴， ∴的周长． 2．如图，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上滑动，点C，D分别在x轴，y轴负半轴上滑动，四边形，都是矩形，若，，则（   ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】C 【分析】根据勾股定理可表示与，再根据矩形的性质可得对边相等，再结合，，求解即可． 【详解】解：∵四边形，都是矩形， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴． 3．如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在顶点处．若刚好是等边三角形，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等边三角形的边长为a,根据矩形性质，等边三角形性质和折叠性质得，得，，得，即得答案． 【详解】解：∵在矩形中，，刚好是等边三角形，设边长为a， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴ ， 即． 故选：B． 二、填空题 4．如图，菱形的对角线，相交于点，过点C作于点E，连接OE，若，，则菱形的面积为________________． 【答案】24 【分析】根据菱形的性质得到，，利用直角三角形斜边中线的性质得到，再利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是菱形、， 、，， ， ， ， 菱形的面积为． 5．在矩形中，，，点P是折线上的动点（不与A，B两点重合），当为等腰三角形时，此时的长为________________． 【答案】或或2 【分析】根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，分别根据矩形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当点P在上，时， ∵四边形是矩形 ∴ ∴； 如图，当点P在上，时， ∵四边形是矩形 ∴，，， ∴ ∴ ∴； 如图，当点P在上，时， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，此时的长为或或2． 6．如图，有一张矩形纸片，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，再将纸片沿折叠，使点落在的中点处，则_____． 【答案】 【分析】由折叠性质得四边形为正方形，设，则，为中点，则．过点作于点，由等腰直角得，在中得，故，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由题意得，，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设， 在中， ， ∵是的中点， ∴， 如图，过点作于点， 在正方形中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ， 解得， 由题意得，， 在中， ， ∵，且， ∴， ∴． 【点睛】本题以矩形两次折叠为背景，融合正方形、等腰直角三角形与勾股定理，通过设参数转化线段关系，体现了数形结合与转化化归的核心数学思想． 三、解答题 7．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且．连接，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得到，，则可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 8．解答下列各题： (1)如图，在正方形和正方形中，点在线段上，点在的延长线上，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，在正方形和正方形中，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，若四边形与四边形都为菱形，且，连接、．猜想线段与线段的数量关系及与线段所在直线所夹锐角的度数，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)，与所在直线所夹锐角的度数为，理由见解析． 【分析】（1）由正方形和正方形证得，即可求得； （2）由正方形和正方形证得，即可求得； （3）由菱形和菱形证得，可求得，，延长交的延长线于点，交于点，再求出即可． 【详解】（1）解：，理由： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ； （2）解：，理由： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，与所在直线所夹锐角的度数为，理由： 四边形和四边形是菱形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，，， ， 与所在直线所夹锐角的度数为． 9．如图，在四边形中，，于点E，于点F，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】证明，得到，再根据，，得到，即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形． 10．如图，在菱形中，E，F分别是边，上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ∴． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $