湖北省宜都市第一中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试卷

宜都市一中高二数学3月月考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.记Sn为等差数列{a}的前m项和。若S=8,S=24,则S=（) A。64 B。76 C。80 D。84 2.设品，是椭圆二+片1的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之 差为2，则△PFE是() A,钝角三角形 B.锐角三角形 C.等边三角形 D,直角三角形 3。已知一个圆柱形空杯，其底面直径为8cm,高为20cm,现向杯中注入溶液，已知注 入溶液的体积7八单位：L)关于时间t(单位：s)的函数为7()=五t+2π(t≥0)， 不考虑注液过程中溶液的流失，则当t=4s时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为() A。2cm/s B。4cm/s C.6 cm/s D。8cm/S 4.已知f《x)为函数f(x)的导函数，导函数f《x)的图象的大致形状如 图所示，则下列关于函数f(x)的信息，正确的是() A。f(0)>f(3) B。f(3)=f(-1) C。f(x)在x=1处取得最小值 D。f(x)在x=3处取得极大值 5.已知数列a,a1=2,且an1=1。(n≥1，则a26=（ A。-1 B。2 C。-2 D. 6.“k=士”是“直线y=kx+1与双曲线兰-y2=1只有一个公共点”的() A。充分不必要条件 B。必要不充分条件 C。充要条件 D。既不充分也不必要条件 7.函数f(x)=一2x+a1mx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为() A.(0,) B。(0, ）c.(∞，D.(∞，引 8.若不等式xlnx+x(1一k)+2k>0对任意的xE(2,+oo)都恒成立，则整数k的最大 值为() A.3 B。4 C。5 D。6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.等比数列{an和函数f(x)满足a1=1,f(n)=an,则以下数列也为等比数列的是() A。bm=f(3n) B.bn=f(n)+f(n+1) C.bn =f(n2) D.bn [f(n)]2 10.已知函数f(x)=lnx+ln(6-x),则下列说法正确的是() A。f(x)的对称轴是x=3 B。f(x)在(0,3)上单调递增 C.f(x的值域为(0,2ln3] D.f(x)恰有两个零点 11.设F是抛物线C:y2=4x的焦点，直线过点F且与抛物线C交于A,B两点，0为坐标 原点，则下列结论正确的是() A.IAB|≥4 B。I0A+I0Bl>8 C。若点P(4,1),则IPA+IAF到的最小值是5 D.若AB倾斜角为2且IAF>IBF到，则AF=3BF到 三、填空题：本题共3小题，共15分。 12.函数y=1nx过（0,1)的切线为 15.已知双曲线g卡-1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 14。如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算 法商功》中，后人称为“三角垛.“三角垛”最上层有1个球，第 二层有3个球，第三层有6个球，，设第n层有an个球，则 as=】 ， 数列{}的前50项和为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15。(13分) 已知函数f(x)=(x十a)ex。 (1)若f(x)在x=1处取得极小值，求实数a的值； (②)若f(x)在（一1,1）上单调递增。求实数a的取值范围 16。（15分) 在平面直角坐标系x0y中，直线x-V√2y+2=0与曲线E:y2=2px(p>0)有且仅有一 个公共点A. (1)求E的方程； (2)过A的直线1与E另交于点B,若OA1AB,求△OAB的面积. 17。（15分) 已知数列{an}中，a1=2,且an+1=2n+1+2an(n∈N). (1)求证：数列铝为等差数列： (2)求数列{an的前n项和Sn 18。（17分) 已知椭圆c三+兰=1(a>b>0)的离心率为写上，下顶点分别为A,B,且AB1=4, (1)求C的方程 (2)D是椭圆C的左顶点，P是C上除顶点外的任意一点，直线AP与BD交于点Q,直线DP 与y轴交于点T,设直线AP的斜率为k,直线QT的斜率为m. (①求点P的坐标（用k表示）： 证明：为定值. B 19。（17分) 已知函数f(☒=lnx+ax,a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间： (2)若f(x)在(0,1]上的最大值为-三，求实数a的值： (3)若a=b=1,gx)=f(x)+bx的图象上是否存在两点P(&1y1),Q(&2,y2), (其中x1≥e2x2),使得PQ的斜率等于曲线在其上一点C(点C的横坐标等于PQ中点的横 坐标)处的切线的斜率，如果存在，求出P、Q的坐标；如果不存在，请说明理由。宜都市一中高二数学3月月考试卷详解 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.记S为等差数列{a}的前n项和.若S=8,S=24,则S=(C) A.64 B.76 C.80 D.84 2.设人，E是椭园+若1的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差为 2,则△PFE是(D) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 3.已知一个圆柱形空杯，其底面直径为8cm,高为20cm,现向杯中注入溶液，已知注入溶 液的体积V(单位：mL)关于时间t(单位：s)的函数为V(t)=rt+2πt(t≥0)，不考虑注液 过程中溶液的流失，则当t=4s时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为(B) A.2 cm/s B.4 cm/s C.6cm/s D.8 cm/s B[由题意可知杯子的底面面积S=16元，则杯中溶液上升高度=Q=42-f+ 16元 16 f(t≥0)，则h=6+ 16 当t=4时，方'=品×16十×4=4，即当t=4s时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为4 16 cm/s.故选B.] 4.已知f′(x)为函数f(x)的导函数，导函数f′(x)的图象的大致形状如图所示，则下列关于 函数f(x)的信息，正确的是() A.f(0)>f(3) B.f(3)=f(-1) C.f(x)在x=1处取得最小值 D.f(x)在x=3处取得极大值 【答案】A 解：根据图象可知：当x<-1或x>3时，f′(x)>0,f(x) 在(-∞，-1)，(3，+∞)单调增，当-1<x<3时，f'(x)<0,f(x)在(-1,3)单调减，故f(x) 在x=-1处取得极大值，在x=3处取得极小值，因此f(3)<f(-1),故BCD错误， 由于函数f(x)在(0,3)单调递减，故f(0)>f(3),A正确， 5.已知数列a小，a=2,且a+1=1。n≥1)，则a202s=( A.-1 B.2 C.-2 D.月 【答案】B 6.“k=士”是“直线y=kx+1与双曲线若-y2=1只有一个公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 解联立方化4 整理为(1-4k2)x2-8kx-8=0, 当1-4k2=0,即k=±时，有1个解，即有一个公共点， 若1-42+0时，4=64k2+32(1-4k3)=0→k=±号，所以当直线与曲线有一个公共 点时，k=士或k=士号所以k=士是直线y=kx+1与曲线-y2=1仅有一个公共点的 充分不必要条件 7.若函数f(x)=x一2x+alnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为() A.(0,) B.(0,) c.（o,) D.（∞，引 B[由f(w=-2x+a1nx可得f′(x)=2x-2+,令f′()=0， 则a=-2+2x=-2·(x-)》°+经令g()=-2(x-)+号当0<x y=a <时，函数g()单调递增，当>时，函数g()单调递减，当=时， y=g(x) 函数g(x=一2·(x-)十2有最大值2且g0)=g1)=0,函数g(= 一2(x-)+图象的对称轴为直线=之画出当>0时，=g()的图象如图所示，所以当 x>0时，f(x)=x一2x+alnx有两个不同的极值点，等价于直线y=a与函数g(x)=一2(x- )+的图象有两个不同的交点，所以a∈(0，》故选卫. 8.不等式xlnx+x(1-k)+2k>0对任意的xE(2,+∞)都恒成立，则整数k的最大值为() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 解：问邀转化为kx-2)<x+x,当x>2时，即有k<对任意x>2 恒成立， 令及()=，则及'()=42恤 X-2 (x-2)2 令g(x)=x-2nx-4(x>2),则g'(x)=1-2>0,故g(x)在(2，+∞)递增， :g(8)=4-6ln2<0,g(9)=5-4ln3>0, 3x∈(8,9)，使得乃‘(xo)=0,故x0=0, 故x∈(2，x)时，'(x)<0,x∈(xo,+∞)时，′(x)>0, 故(x)在(2，x0)递减，在(xo,+oo)递增， 故6W=io)=型-空-兰∈(43，故<Ao). x0-2 x0-22 故整数k的最大值为4， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.等比数列{a}和函数f(x)满足a1=1,f(n)=a,则以下数列也为等比数列的是( ) A.bn=f(3n) B.b =f(n)+f(n+1) C.bn=f(n2) D.bn [f(n)]2 【答案】AD 解：对于A,由题意bn=f(3m)=a3bn+1=f(3n+3)=a3n+3,设an+1=qan, 则bn+1=q3bn,故A正确； B错误； 对于C,bn=f(n2)=an2,bn+1=an2+2+1=q2+1bn,故C错误； 对于D,bn=[f(n)]2=a品，bn+1=a匠+1=q2a异=q2bn,故D正确. 故选：AD 10.已知函数f(x)=nx+n(6-x),则下列说法正确的是( A.f(x)的对称轴是x=3 B.f(x)在(0,3)上单调递增 C.f(x)的值域为(0,2n3] D.f(x)恰有两个零点 【答案】ABD 解：对于A,函数f(x)的定义域为(0,6)， 因为f(6-x)=n(6-x)+n(6-(6-x))=n(6-x)+lnx=f(x): 故f(x)的图象关于直线x=3对称，A正确： 对于B,由f(x)=lnx+n(6-x)=n(-x2+6x), 因为t=-x2+6x在(0,3)上单调递增，且y=nt在其定义域内单调递增， 所以f(x)在(0,3)上单调递增，B正确： 对于C,当x∈(0,6)时，t=-x2+6x∈(0,9]，故f(x)的值域为(-∞，2ln3],C错误： 对于D,令f(x)=0,则-x2+6x=1,解得x=3+22, 则f(x)=0有两解，且这两个解均在(0,6)内，故D正确 11.设F是抛物线C:y2=4x的焦点，直线过点F且与抛物线C交于A,B两点，O为坐标原点， 则下列结论正确的是( A.IAB|≥4 B.OA+0BI>8 C.若点P(4,1),则PA+AFI的最小值是5 D.若AB倾斜角为，且IAFI>IBFI,则|AFI=31BF列 【答案】ACD解：y2=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2), 直线AB的方程为x=my+1,与抛物线的方程联立，可得y2-4my-4=0, 所以y1+y2=4m,y1y2=-4,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2, 则|AB|=x1+x2+2=4m2+4≥4，m=0时取得等号，故A正确： 当直线AB的方程为x=1时，不妨取A(1,2),B(1,-2),此时1OA+|OB引=V5+V5=2V5< 8,故B错误： 根据抛物线的定义，可得PA+|AF的最小值是P到抛物线的准线的距离， 即IPA+|AF1的最小值为4+1=5，故C正确： 当AB的倾斜角为时，m-气，不妨取A在第一象限，B在第四象限， 十为，yw2=-4,解得=2W3,2=-2 3 所以A日=L=3,即1AFI=3引BF,故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，共15分。 12.函数y=lnx过(0,1)的切线为y=三x+1. 13.已知双曲线紧等=1的两条渐近线互相垂直，则双曲血线的离心率为-V反 14.如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法·商 功》中，后人称为“三角垛.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3 个球，第三层有6个球，，设第n层有an个球，则a5=」 数列{。的前50项和为 【答案】15： 解：依题意，a1=1, 当n≥2时，a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n, 于是am=a1+a2-a1+a3-a2+…+a-an-1=1+2+3+…+n=m+D, 2 而a1=1满足上式，因此a=+D,a5=15: 2 好==2（日-），得数列的前n项和5 则s=2[(1-分)+（分）+…+（层-本】=2-异 所以50=2异=盟 故答案为：15：9 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=(x+a)e. (1)若f(x)在x=1处取得极小值，求实数a的值： (2)若f(x在（一1,1）上单调递增，求实数a的取值范围. [解](1)因为f′(x)=e+(x+a)e=(x十a+l)e, 所以f'(1)=(a十2)e=0,得a=-2, 此时f′(x)=(x-1)e,令f′(x)>0,解得x>1,令f′(x)<0,解得x<1, 则f(x)在（一∞，1）上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以f(x)在x=1处取得极小值，满足题意，所以实数a的值为一2. (2)由(1)知，f′(x)=(x+a+1)e,由已知有f(x)在(-1,1)上单调递增， 故f'(x)≥0在（一1,1）上恒成立， 因为e>0,所以x+a十1≥0在(-1,1)上恒成立，即a≥-x-1在（一1,1）上恒成立，故 a≥0，故实数a的取值范围为[0，+∞). 16.(本小题15分)在平面直角坐标系x0y中，直线x-√2y+2=0与曲线B:y2=2px(p>0) 有且仅有一个公共点A. (1)求E的方程； (2)过A的直线与E另交于点B,若OA1AB,求△OAB的面积. 【答案】解：1联立V2y-2,有y2-2W2py+4p=0, ly2 2px 其中4=(-2V2p)2-16p=8p2-16p=0, 解得p=0(舍去)或p=2,故E的方程为y2=4x: (2)由y2-4V2y+8=0可解得y=2V2, 则x=1y2=2,故4(2,2W2), 于是直线0A的斜率k=2Y20=V2, 2-0 故直线的斜率-是号 于是直线1的方程为y-2V2=-号6x-2), 即x=-V2y+6, 联立y+6,可得y2+4W2y-24=0, y2=4x 解得y1=2W2,y2=-6√2， 故AB|= 1+(-V2)21y1-y2l=8V6, 而IOA= 22+(2V2)2=2W3, 故△0AB的面积S=I0AAB|=24V2. 17.(本小题15分) 己知数列{an}中，a1=2,且an+1=2m+1+2an(nEN). (1)求证：数列贸}为等差数列： (2)求数列{an}的前n项和Sn 【答案】解：(1)由a+1=2+1+2a,所以2+=2+1→2-2会=1，又a1=2,则号=1， 所以数列贸是以1为首项，1为公差的等差数列. (2)由(1)可知：==n→a=n·2”, Sn=a1+a2+..+an=1×2+2×22+..+n×2n① 则2Sn=22+2×23+..+n×2m+1② 则①-②得：-Sn=2+22+23+.+2-n×2+1=2x29-n×2+1, 1-2 所以Sm=(n-1)2m+1+2. 18(休小邀17分)已知精圆G荒+若=1a>b>0)的离心率为得上.下顶点分别为AB,且 |AB1=4. (1)求C的方程. (2)D是椭圆C的左顶点，P是C上除顶点外的任意一点，直线AP与BD交于点Q,直线DP与y轴 交于点T,设直线AP的斜率为k,直线QT的斜率为m. (①)求点P的坐标（用k表示）： (词证明：名为定值， 【答案】(1)由题意得，日气2b=4,a2-b2+c2,得a=3,b=2.c=V5, 则c的方程为号+兰=1： (2)()A(0,2),直线AP:y=kx+2, 联立xyt6 得(9k2+4)x2+36kx=0,得x=- 36k 9k2 则xp=-36k 9k2+4 代入y=kx+2中得，yp= 9k244+2=二18k2 36k2 9k2+4 B 故P( 36k-18k2+8 9k2+4'92+4月 -18k2+8 -18k2+8 6k+4 因D(-3,0),则由可得，kP=3 27k2-36k+12-6-9k1 则直线DP的方程为y=x+3).则r(0,整) 因B(0,-2),则直线DB:2x+3y+6=0, 联立2x+3y+6-0 yk+2得x=y=特 即Q(- 12-6k+4 3k+2? 3k+23k+2 -6k+46k+4 则m=3k+22-3张= 4k 12 2-3k 3k+2 == 19.(本小题17分)已知函数f(x)=nx+ax2,a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若f()在(0,1]上的最大值为-多求实数a的值： (3)若a=b=1,g(x)=f(x)+bx的图象上是否存在两点P(x1,y1),Q(x2,y2),(其中x1≥e2x2), 使得PQ的斜率等于曲线在其上一点C(点C的横坐标等于PQ中点的横坐标)处的切线的斜率，如 果存在，求出P、Q的坐标；如果不存在，请说明理由 【答案】解：(1)'f(x)=lnx+ax2,(aER), f'()=+2ax=2a 当a≥0时，f'(x)≥0恒成立，f(x)在(0，+∞)单调递增， 当a<0时，f'6冈=+2x=2a=0,x=√去 (x>0). 当xE(0,、云)f')≥0，f单调递增， 当x(云+9)，f')<0,f)单调递减： 综上，当a≥0时，f(x)的增区间为(0，+o),无减区间： 当a<0时，f(x)的单调增区间为(0， ),单调减区间为(、 2a' (2)由(1)可得 当a≥0时，f)在(0,1上单调递增，最大值为f()=a,由a=-与a≥0矛盾，舍去： 当a<0时，记极值点=、品 若0≥1（即a之-），f)在(0,1]上单调递增，最大值f(1)=a=-多与a之-矛盾，舍去： 若0<1（即a<-,f()在xo处取得最大值，代入后=一得： 1 f(xo)=Inxo+ax3=Inxo-2. 由最大值为是得1x。=多解得x0=子 代入a=-嘉得a=-(满足a<-子符合条件)， 所以实数a的值为爱 (3)若a=b=1,假设存在这样的两点P(x1,y1),Q(x2,y2),(其中x1≥e2x2), 中点C的横坐标xo=1+2, 2 g0)=+2x+1, ·PQ的斜率等于曲线在其上一点C(点C的横坐标等于PQ中点的横坐标)处的切线的斜率， “g'(xo)=二+2x0十1=1-业=x1tx+x1-mx2+号+2， X1-X2 x1-x2 即2+2x0+1=2 2+01-x2x1+x2)+61-x2)n =2+(x1+x2)+1, X1一x2 X1-X2 In 41+2x0+1= 1+20+1,2=2 X1-x2 X1+X2x1-x2 、2x1-2=1n当，÷ 211) 2 x1+x2 x2 1+1 =ln点 X2 2 令t=号x1≥e2x2,即t≥e2,÷2=lnt,.lnt≥2， t+1 又2=2-品<2，方程-mt,t≥e3,无解， t+1 t+1 即满足条件的两点P,Q不存在.