湖北省宜都市第一中学2025-2026学年高二下学期数学周考试卷2026.3.22

宜都一中高二数学周考2026.3.22 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正 确的。 1.下列求导数运算正确的是() Sin T B.0n2x-2 D.(e2=2e2 6 6 x 选D 2.在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a,+4+4=25,则S,=( ) A.75 B.60 C.90 D.105 选A 3.函数f=2x的大致图象是( x-1 【解析】解：f)=2x卫，定义域为x≠1， x-1 f'）=e(2x-10+2ec-1)-e2x-1=e*2x2-3 (x-1)2 (x-1)2 令f‘(x)>0,得xE(-∞，0)U(,+∞) 令f‘(x)<0,得xe(0,1)U(1,), 所以f()在(-∞，0)和(，+∞)上单调递增，在(0,1)1，)上单调递减，排除A、C, 当x<0时，2x-1<0,x-1<0,e>0,所以f(x)>0,排除B,只有D中图象符合题意. 故选：D. 4.若f(x)为R上的奇函数，f′(x)为其导函数，当x>0时，xf′(x)+3f(x)>0恒成立，则不等式x3f(x)+ (2x-1)3f(1-2x)<0的解集为( A(G,1) B.(13) C(-,3)U(1,+∞) D.(-∞，1)U(3,+0) 解：令g(x)=x3f(x),则g′(x)=3x2f(x)+x3f'(x)=x2[xf′(x)+3f(x)], 当x>0时，xf′(x)+3fx)>0恒成立，可知当x>0时，g′(x)>0, 故g(x)在(0，+∞)上单调递增.因为fx)为奇函数， 所以g(-x)=(-x)3f(-x)=-x3·[-f(x)]=x3f(x)=g(x),即g(x)为偶函数， 所以原不等式变为g(x)<g(2x-1),所以g(Ix)<g(I2x-1), 所以x<|2x-1,解得x<子或x>1,故原不等式的解集为(-∞，)U(1,+∞) 故选C 5.已知椭圆C:兰+发=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,0为坐标原点，以F2为圆心，F,F,为 半径的圆与椭圆C交于M,N两点，若1OM=IMF1l,则椭圆C的离心率为( A.V2-1 B.2-V2 C.3-1 D.2-V3 解：由题意得圆F2:(x-c)2+y2=4c2, (x-c)2+y2=4c2 联立 +茶1 x2 ，消得：4c2-c-02=b2(1-) 因为OM=1MRl,所以x=-为方程的解，即4k2-兰-(Q2-c(1-) 即7a2c2=4a4-5a2c2+c4,整理得e4-12e2+4=0,因为0<e<1, 解得e2=6-4W2,e=2-√2. 6.三个数a=名，b=2,c=的大小顺序为( A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.a<b<c 【解析】解：设f网=坚，则f()= 当x>e时，则lnx>1,可得f'(x)<0,可知f(x)在(e,+∞)上单调递减， 因为a=是=g2=fe,b=竖==f④，c=3=f3), 2 且e2>4>3,则f(e)<f(4<f3),所以a<b<c.故选：D. 7.设等比数列an中，a3,a,使函数f(x)=x3+3a3x2+a2x+a好在x=-1时取得极值0，则a5的值是(） A.士V3或±3V2B.V3或3V2 C.±3W2 D.3V2 解：由f(x)=x3+3a3x2+a7x+a, f/(x)=3x2+6a3x+a7, 因为a便得F网在x1时取得极值0，所以13+020一 又因州a1为正项等比爱列、小化-或份子 但当化二时，)=30+0面成立，不清足题忘，放合去. 所以a好=ag·a7=18,又需满足等比数列的性质，a5=3√2，故选：D. 8.已知函数f(x)= 1nx+2+1,x>0 -ln(-x),x<0 ,若函数g()=fx)+2a-1有三个零点，则实数a的范围是( A(四，-) B.（-1,-) C.（-∞，-1) D.（-∞，-2） 【解答过程】解：当x<0,f'()=->0恒成立，故f()在(-∞，0)上单调递增， 当x>0,f()= 当0<x<1时，f'x)<0,f(x)在(0,1)上单调递减， 当1<x时，f(x)>0,f(x)在(1，+∞)上单调递增， 当x=1时，f(x)有极小值为：f(1)=2,函数f(x)的图象如下图： 要使得函数g(x)=f(x)+2a-1有三个零点，则f(1)+2a-1<0,即2+2a-1<0, 解得：a<-子故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,则( A.数列{a}是等差数列 B.数列 3 不是单调数列 C.数列{a}中存在不同的两项，使4是这两项的等比中项 D.记数列bn=a,·cos 2/, 则数列bn}的前2026项的和为4052 【详解】对于A:首先根据数列前n项和Sn求通项公式： 当n=1时，4=S=1+1=2; 当n≥2时，an=Sn-S-1=(m+)-[n-1)2+(n-1]=2n, 对n=1也成立，因此通项公式为a,=2n, a1-4,=201+1)-21=2(常数)，因此{a}是首项为2、公差为2的等差数列，A正确： 对于化设c会 判断单调性：C+H-Cn= 20n+少_2n_2-4<0对所有n21成立， 313=3+1 因此{cn}是单调递减数列，B错误； 对于C:4=6,若存在不同两项ap,a,卫≠q)使得aG=aa, 则36=(2p)(2q)→pq=9,存在正整数解p=1,9=9(P≠9)，满足条件，C正确： 对于D:化简b:bn=d,cos 2aF2nc0s0u）=2n.(1y, π 设{地n}的前n项和为T,,下求前2026项和： 分组得T02s=(-2×1+2×2)+(-2×3+2×4)++(-2×2025+2×2026), 共1013组，每组和为2，总和T026=1013×2=2026≠4052，D错误. 10.已知函数f(x)=lnx+ax(a∈R),则() A.当a>0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增 B.当a=2时，f(x)在（日，1）上没有零点 C.当a<0时，f(x)无极值点 D.当a=-1时，f(x)≤-1恒成立 【解析】当a>0时，f因)=是+a>0,则f()在(0，+∞)上单调递增，A正确；当a=2时，f(x) =1nx2x,由A项可知f(x)在(0，+o)上单调递增，又(1)=1n1+2=2>0,f日)=n2+名=-1+名<0， 则日)·f四)<0，故f(x)在（日，1）上有一个零点，B错误：因为f凶)=+a,当a<0时，令'(x) =0,解得x=-寻则当x∈(-子+o)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x∈0，)时，' (x)>0,f(x)单调递增；所以x=-是函数f(x)的极大值点，C错误；由C项可得，f(x)在(0， 1)单调递增，在(1，+∞)单调递减，所以f(x)=f(1)=-1,故f(x)≤-1恒成立，D正确. 选AD 11.丹麦数学家琴生(Jensen)在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若 xvx,xn为a,b)上任意n个实数，满足f(）≥fx)+fx)+…+f小，则 称函数f(x)在(a,b)上为"上凸函数”.设可导函数f(x)在(a,b)上的导函数为f(x),f'(x)在 (a,b)上的导函数为f"(x),当f(x)<0时，函数f(x)在(a,b)上为“上凸函数”.下列结论正 确的是（) A.函数y=cosx在(0，π)上为“上凸函数” B.函数f)-在(0，e)上为“上凸函数” C.在△ABC中，sinA+sinB+sinc≤3w3 2 D.已知函数f6)=e*-x-受x2在(1,2)上为“上凸函数”，则实数m的取值范围是e2-2,+ ∞) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12.已知函数f(x)=x3-x,曲线f(x)经过点P(1,0)的切线方程为 【解答过程】f'(x)=3x2-1, 则设切点为Q(m,m3-m),k=f'(m)=3m2-1 可得过点Q的切线方程为y-(m3-m)=(3m2-1)(x-m), 代入点P(1,0)的坐标有0-(m3-m)=(3m2-1)(1-m), 整理为-m(m+1)(m-1)+(3m2-1)(m-1)=0, 因式分解为(2m2-m-1)(m-1)=0, 即(2m+1)(m-1)2=0,解得m=1或m=-2 ①当m=1时，所求切线方程为y=2(x-1), 整理为y=2x-2: ②当m=-时，所求切线方程为y-（+)=(任-1)(x+) 整理为y=-x+子 故曲线f()经过点P(1,0)的切线方程为y=2x-2或y=-x+ 故答案为：y=2x-2或y=-}x+ 13.已知函数f(x)=(2x-1)e-ax2-3a在(0，+∞)上为增函数，则a的取值范围是 解：函数f(x)=(2x-1)e-ax2-3a在(0，+o)上为增函数， .f′(x)=(2x+1)ex-2ax>0恒成立， 42a<2+10e,xe(0,+网， 令g()=2x+1)e ,x∈(0，+∞)， ·g′()=2x-16x+1e x2 x∈(0，)，g′()<0,9()单调递减： xE(2+∞)，9'()>0,9()单调递增； 可得x=时，函数g(x)取得极小值也为最小值，即：g()=4e, 2a≤4ve,解得：a≤2e,a的取值范围是：(-∞，2V回. 故答案为：(-∞，2W回]. 14.已知实数a,b满足b(e-1+a=e-nb,则b-2a的最大值是一 【详解】由b(e-l)+a=e-lnb,可得ea+lnb+a=e+b, 设函数f(x)=e+x,可得f'(x)=e+l>0,所以f(x)是单调递增函数， 所以nb+a=b,即a=b-lnb, 则b-2a=b-2(b-nb)=2nb-b,其中b>0, 设g(x)=2血x-xx>0,可得g()=2-1=2-x 当xe(0,2)时，g(x)>0,g(x)单调递增： 当x∈(2，+∞)时，g(x)<0,g(x)单调递减， 所以，当x=2时，函数g(x)取得极大值，也是最大值，最大值为g(2)=2ln2-2. 故答案为：2n2-2. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.设f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6). (1)确定a的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值. 【答案】解：(1)因f(x)=a(x-5)2+6nx, 故f'()=2a(x-5)+(x>0), 令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6-8a, 曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1), 切线与y轴相交于点(0,6. .6-16a=8a-6,六a=2 (2)由(1)得f)=2x-5)2+6lmx,x>0, f'()=c-5)+x ,6(x-2)(x-3) 令f'(x)=0,得x=2或x=3: 当0<x<2或x>3时，f′(x)>0,故f(x)在(0,2)，3，+∞)上为增函数， 当2<x<3时，f′(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数， 故f∞在x=2时取得极大值f2)=+6ln2,在x=3时取得极小值f3)=2+6lnm3. 综上，f)的单调递增区间为(0,2)，3，+∞)，单调递减区间为(2,3)，f)的极大值为号+61n2,极小值 为2+6n3. 16.已知函数f(x)=lnx-ax2. (1)讨论f(x)的单调性： (2)当a>0时，求f(x)在区间[1,2]上的最大值. 【解析】 1)由复意得：f(x)定义减为(0，+o).f(冈=是-2x=1-a吧 ①当a≤0时，f'(x)>0,f (x)在(0，+o∞)上单调递增；②当a>0时，令f'(x)=0得：x= 1 N2a 则f(x)在，V会上单 调递增，在（ +∞)上单调递减；综上所述：当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；当a>0 时，1()在0，、圆上单调递增，在( +∞)上单调递减 (2)当a>0时，由(1)知：①当层≤1，即a≥时，f(x)在[1,2习上单调递减，则f()=f )=@当1<层2，哈<a封，()在，原上单调诺塔在（层 2]上单调递减， f的a-马-n2a-分③当层≥2.即0<a≤时.t(0在[1.2】上单调递增，则f() ln2-4a,0<a≤a 1 mr=f(2)=ln2-4a:综上所述：fx)ma 2a3,日<a< -a≥ an 17.已知数列{a}满足：a=1,a+1=2an+aeN), (1)求证：数列品为等差数列： (2)设b,=a·a1,求数列{b}的前n项和S: 1 (3)设cm=2n求数列{o的前n项和T: 【解析】 （1)证明：已知数列满足：4=1,41=z7a∈N),则-21=2+ an+1 an an 所以1上=2，又上=1，所以数列提以1为首项，2为公差的等差数列： an+1 an (2)设h=aa,由(1)可得2=1+20-1)=2n-1,即a,=所以b.=2m-2+可 an 7).根据裂项相消求和可得数列)的前n项和：S=6+地=×（司）+×兮 )++)-x(-+++品)-)= 《8)由=高=所以。=+景+复+++所=京+ 1 1 3.5 2n-3,2n-1 2,2。 1 2习+“十紧士2两武相减得=1+十+…+名气- =1+1+2+…+ 品1+ 宫亨学-3所以煮到的现和=6兰 1-2 18.已知抛物线：y2=2Px(p>0)的焦点是点F(1,0),过F的直线交抛物线于A、B两点. VA (1)求抛物线的方程。 (2)在x轴上是否存在一点E,使得x轴平分∠AEB？如果存在，求出点E的坐标：如果不存在，请说 明理由. (3)已知点M(2,1),直线AM、BM分别交抛物线于C、D两点，若A、B、C、D四点共圆，求 直线AB的斜率 【小问1详解】 :2=1,÷p=2,抛物线的方程为：y2=4x 【小问2详解】 由题意可知直线AB的斜率不可能为O, 设直线AB的方程为：x=九y+1,设点A、B的坐标为(x,),x2,y2) x=y+1 联立方程为： 2=4xP2-42-4=0: y+y,=42 .△=16元2+16>0， 2=-4 由题意得：直线EA、EB的斜率之和为O,设点E(t,O), 则有：上+，=0，即5（飞-）+为(x-)=0 x-f x,-t ∴y(2y2+1-)+y,(2y+1-元)=0， .22y+(1-t)(y+y2)=-8%+42(1-t)=0, ∴.-42(1+t)=0, 因为上式与1无关， .1+t=0t=-1 所以存在点E(-1,0),满足条件 【小问3详解】 解法1： 当直线4C,BD的斜率均存在时，直线M的方程为：y-1=片(x-2)。 产阿可保1小 整理得：(y-1)y2-4(x2-2)y+(4x-8)=0 小好8型=8%，68 y-1乃-1 工，同理，2=二8 y2-1 又A,B,C,D四点共圆， ∴.∠BAC=∠BDC,又：∠AMB=∠DMC, AM BM ∴.△ABM∽△DMC.即 即AMMC=|BM·MD 又由题意可知，k4c≠0，kaD≠0， 恢货是货1 1+是到-6-+8-0 ∴.7kc=7ko,即kAc=kD或kAe=-kD :KAC≠kD·kAc=-k3D,即kAM+kM=0. 当直线AC,BD有斜率不存在时，不妨设直线AC的斜率不存在，此时，=2，y=士2√2. 不妨设y=2W2,则A(2,2W2),C(2,-2W2)∴AM=2W2-1,|CM=2V2+1, wHQ4=1.又：=-4，当y=2万时为=5.-分8行同： 国阿 3 ∴AM:CM≠BMDM,不合题意. ∴.kAM+kaM=0. 即当+号00y-1元，-1+(0-1(24-1)=24-(+1(0y+)=0 -2x2-2 所以-82-42(1+元)+2=0.222+6元-1=0， 解得：为2=3+或2=3面 2 2 又：无如克=3+而或3而 19.己知函数f)=Xx-2x2-x+1,a∈R. (1)若函数g(x)=af(x)+x在x=1取极大值，求实数a的值； (2)若函数f(x)在定义域内有两个不同的极值点x1,x· (i)求实数a的取值范围； (i)当0<m≤2时，证明：为+x2>票 【解析】 （1D因为i6)=x-2数2-x+1,所以g6网-ao)+x=aNx号x2-ax+a+x, 则g'(x)=alnx-ax+1,依题意可得g'(1)=-a°+1=0，解得a=1或a=-1,当a=1时g(8)=nx- 2x2+1,则g(x)=1+1x-x,令G(x)=g(x)=1+1nx-x,则c'因=是-1=1，所以当0 <x<1时G(x)>0,当x>1时G'(x)<0,所以G(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上