专题09三角形全等应用-测距离与模型突破(10大题型+题型突破+期中复习讲义)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题09三角形全等应用-测距离与模型突破 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等判定方法； 2.牢记核心依据：全等三角形对应边相等； 3.理解核心思路：构造全等三角形，转化不可直接测量的距离。 1.能运用延长法、垂直法构造全等三角形； 2.结合池塘、河岸等实际场景，设计测量方案、绘制示意图； 3.能规范推导全等证明过程，实现实际问题与几何问题的转化。 1.快速识别期中常考题型，规范书写证明步骤； 2.灵活运用隐含条件（对顶角、公共边），攻克中档综合题； 3.提升解题正确率，掌握核心解题技巧。 题型一.全等判定综合模型 题型二.截长补短模型 题型三.倍长中线模型 题型四.全等综合应用模型 题型五.手拉手旋转模型 题型六.三垂直模型 题型七.一线三等角模型 题型八.平移模型 题型九.角平分线模型 题型十.其他全等模型 知识点01.核心原理 依托全等三角形对应边相等的性质，将实际中不可直接测量的距离转化为可直接测量的线段长度，核心思想为转化思想；构造核心是利用几何通用模型凑齐全等判定条件（SAS/ASA/AAS），本节课两大核心模型均为初中几何经典通用模型。 知识点02.必备全等判定定理 本节课高频用 3 个基础判定，为模型构造的核心依据，无需复杂推导： SAS（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； ASA（角边角）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； AAS（角角边）：两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 知识点03几何通用标准模型（核心构造方法） 模型 1：倍长线段法（SAS 型，几何通用基础模型） 核心特征 无角的预设条件，通过倍长截取等长线段利用对顶角天然相等，凑齐 SAS 条件，是初中几何线段构造的通用基础模型，适配两点间有障碍物的距离测量（隔河、隔建筑测两点距离），也是倍长中线法的核心原理。 构造步骤 1.设待测距离为线段AC，取BC的中点D（D为可同时连接A、C的公共点）； 2.延长AD至E，使DE=AD； 3.连接BE，测量BE长度即为AC长度。 全等依据 △ADC≅△EDB（SAS）：AD=ED（倍长构造），∠ADC=∠EDB（对顶角相等），CD=BD（D为BC中点）。 模型 2：一线三等角模型（直角型，ASA/AAS 型，几何通用核心模型） 核心特征 一线：以某条直线l（如河岸、公路）为公共边所在直线； 三等角：直线上有一个公共角∠BAC，直线两侧各有一个相等的直角（BD⊥l，CE⊥l，即三垂直，是一线三等角最常见的特殊形式）；天然利用等角（直角）+ 互余关系凑齐 AAS/ASA 条件，适配点到直线的垂直距离测量（测点到河岸、公路的距离），是该类测距的几何通用标准模型。 构造步骤 1.设待测点B到直线l的垂直距离为BD（BD⊥l，垂足D可达，直线l为 “一线”）； 2.在直线l上取点A，作∠BAC=90∘，过C作CE⊥l于E（形成三个直角∠BDA=∠BAC=∠AEC=90∘，即 “三等角”）； 3.测量AE长度即为BD长度（或测量AD长度即为CE长度） 全等依据 △ABD≅△CAE（AAS）：∠BDA=∠AEC=90∘（垂直定义）， ∠ABD=∠CAE（同角的余角相等：∠ABD+∠BAD=90∘，∠CAE+∠BAD=90∘），AB=CA（构造条件）； 若构造为直线同侧的直角，可通过 ASA 判定（∠ABC=∠DBC=90∘，BC=BC，∠ACB=∠DCB）。 知识点04.通用解题步骤（通配所有题型） 1.定边：明确实际问题对应的待测线段（核心求解目标）； 2.选模：根据测距场景选择对应几何通用模型（两点间测距选倍长线段法，点到直线测距选一线三等角模型）； 3.构造：按模型特征作辅助线（倍长截取、作等角 / 直角），保证构造的边 / 角可实际测量； 4.证全等：结合模型构造条件，用 SAS/ASA/AAS 严格证明两三角形全等； 5.转化测：测量构造出的对应边长度，即为待测距离。 五、核心注意事项（易错点 + 模型关键） 1.倍长线段法：必须保证线段严格等长，对顶角为 SAS 的 “夹角”，不可替换为其他角； 2.一线三等角模型（直角型）：“一线” 为公共边所在直线，三等角需包含直角，公共边为 ASA 的 “夹边”，是判定的关键； 3.两大模型均优先利用天然相等条件（对顶角、公共边、直角），简化构造和证明步骤； 4.构造的等线段、等角需贴合实际操作（卷尺、量角器可实现），保证几何模型与实际场景一致。. 题型一.全等判定综合模型 【典例】如图，在和中，，．要使，还需要添加一个条件，这个条件可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握证明两个三角形全等， 根据全等三角形的判定方法可以由证明． 【详解】解：添加一个条件是：， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，已知，要说明，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等的判定；先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中C、与、组成了是不能由此判定三角形全等的． 【详解】解：A、加，∴，是正确选法； B、加，∴，是正确选法； C、加，满足，不能得出，是错误选法； D、加，∴，是正确选法． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的_________． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、．根据全等三角形的判定方法结合添加的条件逐一分析即可． 【详解】解：①由，，得到，又，由判定，故①符合题意； ②由，推出，而，可得，结合，由判定，故②符合题意； ③如图，记交点为， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴由判定，故③符合题意； ④增加添加，不能判定，故④不符合题意． 增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是①②③． 故答案为：①②③． 【跟踪专练3】如图， 已知在和中，，．则添加下列条件不能使和全等的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，通过已知条件和添加的条件逐一判断每个选项能否证明两个三角形全等，再选出正确答案即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A项：添加，可利用证明和全等，不符合题意； B项：添加，不能证明和全等，符合题意； C项：添加，可利用证明和全等，不符合题意； D项：添加，可利用证明和全等，不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练4】如图，D是上一点，为上一点，连接并延长至F，使，连接． 若______，则． 请从①，②，③，④．这四个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】选择①或②或③，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：选择①，理由如下： 在和中， ∵，，， ∴， ∴； 选择②，理由如下： ∵， ∴； 选择③，理由如下： 在和中， ∵，，， ∴， ∴； 题型二.截长补短模型 【典例】如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，利用全等三角形判定，得出，进而用判定得到，得出，再通过线段的等量代换即可证明； （2）在上截取，连接，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可． 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． （2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立． 图②中，结论：； 图③中，结论：． 对于②，截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． 对于③，截取，连接，同理可证：． 【跟踪专练1】如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析，或，理由见解析 【分析】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）利用判定； （2）根据全等三角形的对应边相等可以求得，进而即可得到结论； （3）与（1）证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则或，即可作答． 【详解】（1）证明：于点，于点，， ，，， ． 在和中 ， ． （2）解：．理由如下： 由（1）知，，则 ∴ ∴ （3）解：结论：或． 理由：设与的交点为， 当离点近时，结论为； 当离点近时，结论为（注：当为中点时，，两点重合，线段不存在）． 当离点近时，如图：    同（1）可证明， ，． ， ． 当离点近时，如图：        同理，得． 【跟踪专练2】已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，. ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 题型三.倍长中线模型 【典例】如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝8，则AD的取值范围是________________． 【答案】1＜AD＜7 【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中, ， ∴△ABD≌△ECD(SAS)， ∴CE=AB， ∵AB=6，AC=8， ∴8-6<AE<8+6，即2<2AD<14， ∴1<AD<7， 故答案为：1<AD<7． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】延长至，使得，连接．则，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接．则， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ∴ 在中，，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【跟踪专练2】如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．         A．            B．            C．            D． （2）AD的取值范围是______． A．       B．       C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，则的长为______． 【答案】（1）B （2）C （3）证明见解析 （4）31 【分析】本题考查了用倍长中线构造全等三角形，三角形的三边关系，正确理解题意作辅助线构造全等是解题关键． （1）由中线可得，结合已知条件和对顶角相等即可确定结果． （2）将转化为，利用三角形三边关系可知． （3）利用题目中给的延长中线的方法，构造，再利用已知条件证明即可证出． （4）利用题目中给的延长中线的方法，构造可得，再证明可得，计算长度即可． 【详解】（1）解：D为中点， ， ， ， 证明方法为． 故选：B． （2）解：由（1）得， ， ， ， ． 故选：C． （3）证明：延长至点M，使，连结， 为的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （4）解：延长至点，使，连结， 为中点， ， ， ， ， ， ， ． 题型四.全等综合应用模型 【典例】如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：通过“角边角()”判定和全等，利用全等三角形对应边相等的性质得出；再根据三角形面积公式的应用：将的面积拆分为和的面积之和，再根据三角形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中：， ∴， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ， ， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定、构成三角形的条件，根据全等三角形的判定条件和三角形三边关系，逐一分析各选项是否满足唯一性即可． 【详解】解：A、已知，，，则直角三角形的斜边和一条直角边确定，满足，可知该三角形是唯一确定的，故此选项符合题意； B、已知，，，此条件为两边及其中一边的对角，可能存在两种不同三角形，无法唯一确定，故此选项不符合题意； C.、，，，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故此选项不符合题意； D、，，，未给出边长，无法唯一确定三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，直线l经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动，点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束，在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为，则与全等时，t的值为__________． 【答案】2或或8 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①如图1，当Q在上，点P在上时，作，， 由题意得，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，，， ∵，， ∴，， 当时， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 综上所述：当或或8时，与全等． 故答案为：2或或8． 【跟踪专练3】【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 题型五.手拉手旋转模型 【典例】如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 【跟踪专练1】如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 【跟踪专练2】 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型六.三垂直模型 【典例】如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案． 【详解】如图，由题意知：AE=BD=2，CD=BE=1，∠AEB=∠BDC=90°， 在和中： ∴， ∴∠ABE=∠BCD，AB=BC， 又∵∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠ABE+∠CBD=90°， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：D． 【跟踪专练1】已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，，． 【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【详解】（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 【跟踪专练2】【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 题型七.一线三等角模型 【典例】如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律如图②，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点A，B，C，D在同一条直线上已知，，则小红和木板之间的距离为_____． 【答案】6 【分析】根据入射角等于反射角得到，再证明三角形全等，即可解答． 【详解】解：由题意，得 ，     ，     在和中， ，     ， ∴． 【跟踪专练1】如图，在等腰中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点．若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作于点，证明，，可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， ，且， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点C在直线MN上，于D，于E，，，则_________． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用及作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 首先证明，利用“”证明即可；由全等三角形的性质可得，再结合求解即可； 【详解】解：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：4； 【跟踪专练3】如图，已知和，点在同一条直线上，，．若，则的长为______ 【答案】9 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟知三角形全等的判定方法是解题的关键．根据题意用判定方法证得，再根据全等的性质得，则易求得的长． 【详解】解：如图，与交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 【跟踪专练4】如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，当，中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为连接，． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当，时，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)存在，，或，． 【分析】（1）判定，推出，，由直角三角形的性质得到，因此，求出，即可证明； （2）当，时，，求出，；当，时，，求出，，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，，，理由如下； ∵点和的运动速度是，运动的时间是， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等， ∵， 当，时，， ∴，， ∴，； 当，时，， ∴，， ∴，． 综上，或，． 题型八.平移模型 【典例】如图，已知点B，D在上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得，再由推出，然后根据证明； （2）由（1），根据全等三角形对应边相等可得结论． 【详解】（1）证明：（1）∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴． 【跟踪专练1】如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．若，则_____． 【答案】/125度 【分析】本题主要运用全等三角形的判定定理以及全等三角形的性质来求解．先通过线段的等量关系证明三角形全等，再利用全等三角形对应角相等求出角度． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，的边与的边在一条直线上，，，则的度数为______． 【答案】/78度 【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，掌握其性质定理是解决此题的关键． 根据，可得出，即可判定，根据全等，可得，在中根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ∴， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，点在直线上（点之间的线段被一块污渍遮住），点在直线的异侧，连接，且，，测得． (1)求证： (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)的长度为80 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，结合，即可得证； （2）由可得，从而可得，即可求解出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的长度为80． 题型九.角平分线模型 【典例】如图，，平分，E为上一点，且，连接并延长，交于点F，若，则的度数为______． 【答案】/32度 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．由平分可得，根据可证得，由此可得，再由对顶角相等可得，即可求解． 【详解】解：平分， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】对命题“全等三角形对应角的平分线相等”的证明过程如图所示，则①、②分别是（    ） 已知：如图，，线段，分别为和的平分线． 求证：． 证明：，，， ① ，分别为和的平分线，， （②），． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 按照步骤作答即可． 【详解】解：证明：， ，，， ，分别为和的平分线， ， ， ， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，是的平分线，是上一点，于，于，是上的另外一点，连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，证明，推出，证明，即可推出． 【详解】证明：是的平分线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，，点P在OC上，于点D，于点E．若，，则四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形面积公式等知识，先证明，得到，，再根据求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型十.其他全等模型 【典例】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【答案】见解析 【分析】法一：因为AB＞AC，所以在AB上截取线段AE＝AC，则BE＝AB－AC，连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE，再证明ME＝MC，则结论成立． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，证明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME， 在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）, ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG， 同理可证得△ABM≌△AGM（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC 即MB－MC＜AB－AC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造全等三角形． 【跟踪专练1】如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）AF＝AD+BD 【分析】（Ⅰ）先判断出∠ACF＝∠AEG，再用同角的余角相等判断出∠CAF＝∠EAG，即可得出结论； （Ⅱ）先用ASA判断出△ACM≌△ABD，得出AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，得出∠AGE＝∠AFC，再判断出CM∥AB，得出∠MCF＝∠AGC，进而判断出MF＝CM，即可得出结论； （Ⅲ）同（Ⅱ）的方法，即可得出结论． 【详解】解：（Ⅰ）∵AC＝AE， ∴∠ACF＝∠AEG， ∵AF⊥AD， ∴∠DAF＝90°＝∠CAB， ∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG， ∴∠CAF＝∠EAG， 在△AGE和△AFC中， ， ∴△AGE≌△AFC（ASA）； （Ⅱ）如图1，过点C作CM⊥AC，交AF延长线于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠AGE＝∠AFC， ∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC， ∴∠AGC＝∠AFG， ∵∠CFM＝∠AFG， ∴∠AGC＝∠CFM， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴∠BAC+∠ACM＝180°， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠AGC， ∴∠CFM＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AM＝AF+CM， ∴AD＝AF+BD； （Ⅲ）AD＝AF﹣BD； 过点C作CM⊥AC，交AF于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠G＝∠F， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠G， ∴∠F＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AF＝AM+CM＝AD+BD， 故答案为：AF＝AD+BD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合平行线的判定与性质证明是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【答案】(1)画图见解析 (2)小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【分析】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，关键能把实际问题抽象成数学问题，并应用相关知识解决． （1）依据题意即可画出示意图； （2）由题意可得，得，即可求得的长． 【详解】（1）解：示意图如图所示．     （2）解：40米，理由如下： 在和中， ， ， ， 又小淇走了140步，为步， ∴为步，一步大约50厘米即米， （米）． 答：小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【跟踪专练3】（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）不成立，应当是，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）先证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】证明：延长到G，使，连接．    ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵ ∴． ∴． ∵． ∴ （2）（1）中的结论仍然成立． ， ， 在与中， ， ， ， ， 即 在与中 ， ， 即， ； （3）结论不成立，应当是． 证明：在上截取，使连接．    ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09三角形全等应用-测距离与模型突破 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等判定方法； 2.牢记核心依据：全等三角形对应边相等； 3.理解核心思路：构造全等三角形，转化不可直接测量的距离。 1.能运用延长法、垂直法构造全等三角形； 2.结合池塘、河岸等实际场景，设计测量方案、绘制示意图； 3.能规范推导全等证明过程，实现实际问题与几何问题的转化。 1.快速识别期中常考题型，规范书写证明步骤； 2.灵活运用隐含条件（对顶角、公共边），攻克中档综合题； 3.提升解题正确率，掌握核心解题技巧。 题型一.全等判定综合模型 题型二.截长补短模型 题型三.倍长中线模型 题型四.全等综合应用模型 题型五.手拉手旋转模型 题型六.三垂直模型 题型七.一线三等角模型 题型八.平移模型 题型九.角平分线模型 题型十.其他全等模型 知识点01.核心原理 依托全等三角形对应边相等的性质，将实际中不可直接测量的距离转化为可直接测量的线段长度，核心思想为转化思想；构造核心是利用几何通用模型凑齐全等判定条件（SAS/ASA/AAS），本节课两大核心模型均为初中几何经典通用模型。 知识点02.必备全等判定定理 本节课高频用 3 个基础判定，为模型构造的核心依据，无需复杂推导： SAS（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； ASA（角边角）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； AAS（角角边）：两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 知识点03几何通用标准模型（核心构造方法） 模型 1：倍长线段法（SAS 型，几何通用基础模型） 核心特征 无角的预设条件，通过倍长截取等长线段利用对顶角天然相等，凑齐 SAS 条件，是初中几何线段构造的通用基础模型，适配两点间有障碍物的距离测量（隔河、隔建筑测两点距离），也是倍长中线法的核心原理。 构造步骤 1.设待测距离为线段AC，取BC的中点D（D为可同时连接A、C的公共点）； 2.延长AD至E，使DE=AD； 3.连接BE，测量BE长度即为AC长度。 全等依据 △ADC≅△EDB（SAS）：AD=ED（倍长构造），∠ADC=∠EDB（对顶角相等），CD=BD（D为BC中点）。 模型 2：一线三等角模型（直角型，ASA/AAS 型，几何通用核心模型） 核心特征 一线：以某条直线l（如河岸、公路）为公共边所在直线； 三等角：直线上有一个公共角∠BAC，直线两侧各有一个相等的直角（BD⊥l，CE⊥l，即三垂直，是一线三等角最常见的特殊形式）；天然利用等角（直角）+ 互余关系凑齐 AAS/ASA 条件，适配点到直线的垂直距离测量（测点到河岸、公路的距离），是该类测距的几何通用标准模型。 构造步骤 1.设待测点B到直线l的垂直距离为BD（BD⊥l，垂足D可达，直线l为 “一线”）； 2.在直线l上取点A，作∠BAC=90∘，过C作CE⊥l于E（形成三个直角∠BDA=∠BAC=∠AEC=90∘，即 “三等角”）； 3.测量AE长度即为BD长度（或测量AD长度即为CE长度） 全等依据 △ABD≅△CAE（AAS）：∠BDA=∠AEC=90∘（垂直定义）， ∠ABD=∠CAE（同角的余角相等：∠ABD+∠BAD=90∘，∠CAE+∠BAD=90∘），AB=CA（构造条件）； 若构造为直线同侧的直角，可通过 ASA 判定（∠ABC=∠DBC=90∘，BC=BC，∠ACB=∠DCB）。 知识点04.通用解题步骤（通配所有题型） 1.定边：明确实际问题对应的待测线段（核心求解目标）； 2.选模：根据测距场景选择对应几何通用模型（两点间测距选倍长线段法，点到直线测距选一线三等角模型）； 3.构造：按模型特征作辅助线（倍长截取、作等角 / 直角），保证构造的边 / 角可实际测量； 4.证全等：结合模型构造条件，用 SAS/ASA/AAS 严格证明两三角形全等； 5.转化测：测量构造出的对应边长度，即为待测距离。 1.倍长线段法：必须保证线段严格等长，对顶角为 SAS 的 “夹角”，不可替换为其他角； 2.一线三等角模型（直角型）：“一线” 为公共边所在直线，三等角需包含直角，公共边为 ASA 的 “夹边”，是判定的关键； 3.两大模型均优先利用天然相等条件（对顶角、公共边、直角），简化构造和证明步骤； 4.构造的等线段、等角需贴合实际操作（卷尺、量角器可实现），保证几何模型与实际场景一致。. 题型一.全等判定综合模型 【典例】如图，在和中，，．要使，还需要添加一个条件，这个条件可以是______． 【跟踪专练1】如图，已知，要说明，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的_________． ①；②；③；④． 【跟踪专练3】如图， 已知在和中，，．则添加下列条件不能使和全等的是（      ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】如图，D是上一点，为上一点，连接并延长至F，使，连接． 若______，则． 请从①，②，③，④．这四个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 题型二.截长补短模型 【典例】如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【跟踪专练1】如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【跟踪专练2】已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 题型三.倍长中线模型 【典例】如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝8，则AD的取值范围是________________． 【跟踪专练1】如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练2】如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 【跟踪专练3】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．         A．            B．            C．            D． （2）AD的取值范围是______． A．       B．       C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，则的长为______． 题型四.全等综合应用模型 【典例】如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是___________． 【跟踪专练1】根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练2】如图，在中，，，，直线l经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动，点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束，在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为，则与全等时，t的值为__________． 【跟踪专练3】【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 题型五.手拉手旋转模型 【典例】如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【跟踪专练1】如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【跟踪专练2】 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 题型六.三垂直模型 【典例】如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 【跟踪专练1】已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【跟踪专练2】【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 题型七.一线三等角模型 【典例】如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律如图②，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点A，B，C，D在同一条直线上已知，，则小红和木板之间的距离为_____． 【跟踪专练1】如图，在等腰中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点．若，，则_____． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点C在直线MN上，于D，于E，，，则_________． 【跟踪专练3】如图，已知和，点在同一条直线上，，．若，则的长为______ 【跟踪专练4】如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，当，中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为连接，． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当，时，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 题型八.平移模型 【典例】如图，已知点B，D在上，，，．求证： (1)； (2)． 【跟踪专练1】如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．若，则_____． 【跟踪专练2】如图，的边与的边在一条直线上，，，则的度数为______． 【跟踪专练3】如图，点在直线上（点之间的线段被一块污渍遮住），点在直线的异侧，连接，且，，测得． (1)求证： (2)若，求的长度． 题型九.角平分线模型 【典例】如图，，平分，E为上一点，且，连接并延长，交于点F，若，则的度数为______． 【跟踪专练1】对命题“全等三角形对应角的平分线相等”的证明过程如图所示，则①、②分别是（    ） 已知：如图，，线段，分别为和的平分线． 求证：． 证明：，，， ① ，分别为和的平分线，， （②），． A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】如图，是的平分线，是上一点，于，于，是上的另外一点，连接，．求证：． 【跟踪专练3】如图，，点P在OC上，于点D，于点E．若，，则四边形的面积为__________． 题型十.其他全等模型 【典例】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【跟踪专练1】如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【跟踪专练2】如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【跟踪专练3】（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $