河南信阳市罗山县高级中学2025-2026学年高二下学期质量评估（一）数学试题

罗山县高级中学2025一2026学年高二下期质量评估（一) 数学答题卡 姓名： 班级： 考场号： 座位号： 准考证号： 正确填涂： ■ 错误填涂： ☑史 条码粘贴区 缺考标记： 注意事项： 填涂时用B铅笔将选项涂满涂黑。修改时 用橡皮擦干净。请注意题号顺序。请保持 答题卡整洁，不要折叠、乱作标记。 第1卷选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。） 1 A[BC]D 4 A]BC]D] 7 ABCD 2 ABCD 5 ABC]D 8 ABCD 3 ABC]D 6 ABC]D 一、 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9 ABCD 11 ABC[D ABCD 第川卷 非选择题 三、填空题（3x5分=15分) 12、 13、 14、 四、解答题： 15、(共13分) 请在每题规定的答题区域内作答，超出黑色矩形限定区域的答案无效 ■ ■ 16、(共15分) ■ ■ ■ ■ 17、(共15分) ■ 18、(共17分) 请在每题规定的答题区域内作答，超出黑色矩形限定区域的答案无效 ■ ■ 19、(共17分) ■ ■罗山县高级中学2025一2026学年高二下期质量评估（一）数学答案 第一部分（选择题共58分） 题号 1 2 3 4 5 6 8 10 11 选项 A B B D BD AB BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2 13.72 14.Qn2,+o) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【详解】(1)f'(x)=3ax2+2b, 故f(-1)=-a-2b+6=10且f'(-1)=3a+2b=0…(2分) 解得a=2,b=-3,. (4分) 则f'(x)=6x2-6=6(x+1)(x-1), 令f'(x)=0,则x=1, 当x<-1时，f'(x)>0,当-1<x<1时，f(x)<0,当x>1时，f'(x)>0, 故f(x)在(-∞，-1)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 故f(x在x=-1处取到极大值，故a=2,b=-3满足题意，…（7分) (2)由(1)知：f(x)在(-2，-1)和(1,2)单调递增，在(-1,1)单调递减， 且f(x)极太值寸(-1)=10，f(x)小值寸(1)-2，f(-2)=-16+12+6=2,f(2)=16-12+6=10, 故最大值为10，最小值为2.…(13分) 16.【解答】解：(1)已知函数f()=xx-3kx2-x(k为常数，且k≥0)， 当k=0时，f(x)=xhx-x,定义域为(0，+o∞)，f(x)=l+1-1=lr.…(2分) 令f(x)>0,即lx>0,解得x>1: 令f(x)<0,即1r<0,解得0<x<1. 所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，+∞)：…(4分) f(x)在x=1处取得极小值，极小值为f(1)=1×m1-1=-1,无极大值.…(6分) 114 (2》因为0，所以由f=hx-支2-x=0,- 设g=兰c>0,则g'四=2(c>0). (8分) 令g'(x)>0,解得0<x<e2,所以g(x)在(0，e2)上单调递增， 令g(x)<0,解得x>e2,所以g(x)在(e2,+∞)上单调递减.…(10分) 所以aa=g(e的)-21-2=是 e2 .(12分） 又g(e)=0,所以当x一0时，g(x)一-∞： 当x→+∞时，g(x)>0,且g(x)→0. (14分) 由函数f()有两个零点知，函数y=k与=g(x)的图象有两个交点， 所以0<k<之即实数k的取值0，). 17.【解析】(1)当a=2时，f(x)=e-2x-1,对其求导得f'(x)=ex-2. 令f'(x)=0,即eX-2=0,解得x=ln2..(2分) 当x∈[0，ln2)时，e<2,所以f(x)<0,f(x)单调递减； 当x∈(n2,1]时，ex>2,所以f(x)>0,f(x)单调递增.…（4分) 则f(x)在x=l2处取得极小值，也是最小值. f(x)mim=fn2)=eln2-2n2-1=2-2ln2-1=1-2n2. 且f(0)=e0-2×0-1=0,f(1)=e1-2×1-1=e-3..(6分) 因为e-3<0,f(x)max=f(0)=0, 综上所得，当a=2,x∈[0,1]时，f(x)min=1-2ln2,f(x)max=0.…（7分) (2)f'(x)=ex-a, ①当a≤0时，f(x)>0,所以f(x)在R上单调递增，又因为f(0)=0,所以函数fx)只有1个零 点；（8分） ②当0<a<1时，由f(x)<0得x<lna,所以f(x)在(-o,lna)上单调递减， 又由f(x)>0得x>lna,所以f(x)在(na,+o)上单调递增， （10分） 因为f(0)=0,且lna<0所以fna)<0, 因为f(-)=ea>0,所以存在x1∈(-，0)使得fx)=0, 所以函数f(X)有2个零点； .（14分) 综上所得，当a≤0时，f(x)有且仅有一个零点：当0<a<1时，f(x)有两个零点…(15分) 214 18.【详解】(1)函数f(x)=-2xnx的定义域为(0+o),又f(x)=-2(1+lnx),(2分) 当0<x<时，f(x)>0,当x>1时，f(x)<0, （4分) 所以函数f()在0是)上单调递增，在怎+切】 上单调递减， 所以在：处取得大[) (6分) 以才（不的极大值为之，无极小值： (8分) (2》设)国)*g)-产+x-2(>, 则F'(x)=x-2nx-1, (10分) 令h)=x-21r-10x>1),y)=1-2-=2 当1<x<2时，i(x)<0,h(x)单调递减，当x>2时，h(x)>0,h(x)单调递增， 又h(2)=1-ln4<0,h(1)=0,h(4)=3-2n4>0, 所以存在x∈(2,4)，使得h(化)=0，即x。-2血x。-1=0 (12分) 当1<x<x时，h(x)<0,即F'(x)<0,F(x)单调递减， 当x>x。时，h(x)>0,即F(x)>0,F(x)单调递增，… (14分) 所以当x>1时，F(x)在x=x处取得极小值，即为最小值， 故F)≥Pk)式+0-2咖，)=式+2： 设p6,）)归2+2。，因为X(2,4)，.(16分) 由=次函数的性质得蹈数p(k)-式+2，在4到上单调道减， 故p(x)>p(4)=0, 所以当x>1时，F(x)>0,即f(x)+g(x)>0.(17分) 19.【解答过程】(1)当a=1时，f(x)=ex+x,求导得f'(x)=e+1,所以f(0)=e0+1=2, 又f(0)=e0+0=1,所以切点为(0,1)， 所以切线方程为y-1=2x,即y=2x+1;.（4分) (2)由f(x)=e*+ax,求导得f(x)=ex+a, 314 若a≥0，f(x)=ex+a>0,所以fx)在R上单调递增： 若a<0,令f'(x)=0,得e*+a=0,解得x=n(-a), 当x<ln(-a)时，f(x)<0,则在f(x)(-o,n(-a)上单调递减： 当x>n(-a)时，f(x)>0,则在f(x)n(-a)十o)上单调递增；. (6分) 综上所述：当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(-∞，+∞)： 当a<0时，f(x)的单调递减区间为(-o,n(-a),单调递增区间为n(-a),+o):.(8分) (3)(i)由题意知方程f(x)=ex+ax=0有两个不同的正实根x1,x2, 由(2)知a<0,且fo)=e+ax0=1,所以e(-0+aln(-a)<0, ln(-a)>0 解得a<-e,所以a的取值范围(-o,-e). (10分) (ii)由(i)得a<-e,所以e=-ax1,e2=-ax2, 两边同时取自然对数，得x1=ln(-a)+lnx1,x2=n(-a)+lnx2, 两式相减得x2一X1=nX2-lnX1,即-2-1=1， (12分) Inx2-Inx1 要证1+>2，只需证明<学， 2 即22)<lnx2-lx1,所以2 (14分) X2+X1 2+1 2<lnX2-ln1… X1 令t-号>1，只需证明ht>,构选函数g因=t-(c>1), t+1 t4、 求导得g()=1-,4 -+>0,所以函数g(在(1，+0)上单调递增， 于是g()>g(①)=0，所以不等式nt>2-D成立， t+1 于是原不等式X1十X2>2成立. (17分) 4/4高二下期质量评估（一）数学双向知识细目表 题号 题型 分值 考查知识点 数学核心素养 易错点/难点 单选 指数对数运算、代数式求值 数学运算 运算符号、指数对数公式混淆 2 单选 导数几何意义、切线方程求法 数学运算、直观想象 切点导数算错、点斜式写错 3 单选 导数与函数单调性、参数范围 罗辑推理、数学运算 忽略定义域、端点取等判断 单选 5 对数运算、构造函数比较大小 罗辑推理、数学运算化简变形错误、构造函数不熟练 单选 奇函数性质、分段函数求值 逻辑推理、 数学运算 奇偶性转化错误、区间代错 6 单选 排列组合、有限制条件排列 数学建模、逻辑推啡殊元素优先法用反、 重复/遗》 7 单选 5 导数与极值点、方程根的分布 罗辑推理、数学运算 极值点条件理解错、换元失误 8 单选 5 恒成立问题、导数最值/不等式 罗辑推理、数学运算 分离参数不当、端点讨论不全 9 多选 6 导数与函数单调区间、定义域 数学运算、逻辑推到 忽略x>0、解不等式出错 10 多选 6 函数极值、方程解个数、切线、不等式 罗辑推理、直观想 极值点判断、图像分析不准 11 多选 6 单调性、零点、不等式恒成立、对数均值不逻辑推理、数学运算恒成立转化错误、零点个数判断 2 填空 6 导数几何意义、切线方程求参数 数学运算 切点处导数与斜率对应错 13 填空 排列组合、分步涂色计数问题 数学建模、逻辑推理 相邻不同色分类重复/遗漏 14 填空 5 任意存在性问题、导数求最值、参数范围 逻辑推理、数学运算 “任意”最值方向搞反 15 解答 13 函数极值、导数应用、闭区间最值 数学运算、逻辑推理 极值点条件列错、最值比较不全 16 解答 15 导数单调性与极值、函数零点、参数范围 逻辑推理、数学建棋 零点转化为方程根、分类讨论 17 解答 15 导数求闭区间最值、函数零点个数讨论 逻辑推理、数学运算 分类不完整、极值符号判断 18 解答 17 函数极值、不等式证明、导数放缩 逻辑推理、数学运算 隐零点 19 解答 17 程、单调性、零点存在、极值点偏移证明 逻辑推理、直观想 极值点偏移构造、对称化构造罗山县高级中学2025一2026学年高二下期质量评估（一) 注意事项： 1.本试卷共4页。时间120分钟，满分150分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答 题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.若f(x)=2f'(1)x-x2+7x,则f(-2)=() A.2 B.-2 C.10 D.-10 2.函数f(x)=e在点(1，e)处的切线方程为() A.y=e B.y=x-1+e C.y=ex-2e D.y=ex 3.已知函数fx)=r+m-3在(0，+)上单调递增，则a的取值范围为() A.[-6,+0) B.(（-，-6] C.[-2,+0) D.（-0,-2] 4.已知Q=竖，b=(e=2.718.为自然对数的底数)，c=2g,则a,b,c的大小关系为() A.b>c>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 5.已知奇函数f(x)的定义域为R,当x>0时，f"(x)-f(x)>0,则() A.f(1)>f(2) B.f(1)>2f(2) C.f(2)>-2f(-1) D.f(-2)>-2f(1) 6.小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有() A.96种 B.72种 C.60种 D.48种 114 7.若函数f(x)=nx-m(x-1)恰有两个极值点，则实数的取值范围为() A.（-∞，-)U(0,+∞) B.(-∞，-2)U(0,+∞) C.(-∞，-2) D.（-∞，-) 8.x,名∈1,3]，当5<5时，均有xe3一xe3?>0,则实数a的取值范围是() A.(3,+0) B.[3,+0) C.(9,+0) D.[9,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.函数f(x)=x2-3x+nx在下列哪个区间单调递增() A.(-0,) B.(1,+o∞) c.,1) D.0,) 10.已知函数f()=,则（） A.x=e是函数f(x)的极小值点 B.对k≥3，方程f(x)-k=0恒有两个不同的实数解 C.dn2>2π D.存在k∈R,使得直线y=k(x-1)与曲线y=f(x)相切 11.己知函数f(x)=lnx-ax,则下列说法正确的是() A.若f(x)≤0恒成立，则a的取值范围是a≥1 B.当a<0时，y=f(x)的零点只有1个 C.若函数y=f(x)有两个不同的零点x1,x2,则x1x2>e2 D.当a=1时，若不等式me2x+lnm≥f)恒成立，则正数m的取值范围是[2，+∞) 214 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若曲线f(x)=alnx-】+b在点(，f)处的切线方程是2x-y-2=0,则a+b= 13,如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示 意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色， 则不同的涂色方法共有种. 14.已知函数f()=g,g()=ln(x+1)-ax2,若vx1∈1，e,x2∈(0,1]使得f(x)>g(x2)成立，则实 数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=ax3+2bx+6在x=-1处取得极大值10. (I)求a,b的值； (2)求f(x)在[-2,2上的最值. 16.(15分)已知函数f)=xx-kx2-x(k为常数，且≥0). (1)当k=0时，求函数f(x)的单调区间和极值： (2)若函数f(x)有两个零点，求实数k的取值范围. 314 17.(15分)己知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R), (1)当a=2时，求函数f(x)(x∈[0,1])的最值： (2)当a<1,讨论函数f(x)的零点个数 18.17分)已知函数6)-2xl血，g6-号+x (1)求∫(x)的极值： (2)证明：当x>1时，f(x)+g(x)>0.(参考数据：n2≈0.69) 19.(17分)已知函数f(x)=ex+ax(a∈R). (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f0)处的切线方程： (2)求f(x)的单调区间； (3)若f(x)有两个正零点x1,x2,且x1<x2: (i)求a的取值范围； (ii)求证：x1+x2>2. 4/4