精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多校联考2025-2026学年下学期九年级数学第一次模拟卷

2025-2026学年度下学期九年级数学第一次模拟卷 一、单选题（共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是改变原数符号后得到的． 2. 如图图形中不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查整式的乘法与除法，根据整式乘除运算的法则逐项判断即可． 【详解】A、，计算错误，该选项不符合题意； B、，计算正确，该选项符合题意； C、，计算错误，该选项不符合题意； D、，计算错误，该选项不符合题意． 故选：B 4. 如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质得，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 5. 如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成．判断拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】观察可知，图形的主视图分3列，第1列有3个小正方形，第2列有2个小正方形，第3列有1个小正方形，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，图形的主视图分3列，第1列有3个小正方形，第2列有2个小正方形，第3列有1个小正方形， 故当移走甲，丙，丁后，主视图不变，移走乙后，主视图的第2列变为1个小正方形，主视图发生变化. 6. 如图，这是化学元素周期表中原子序数为的元素，从中随机一次性选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素（锂和铍为金属元素）的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表可得： 氢 氦 锂 铍 氢 （氢，氦） （氢，锂） （氢，铍） 氦 （氦，氢） （氦，锂） （氦，铍） 锂 （锂，氢） （锂，氦） （锂，铍） 铍 （铍，氢） （铍，氦） （铍，锂） 由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中这两种元素恰好都是金属元素的情况有 种， 故这两种元素恰好都是金属元素的概率为． 7. 如图，在 中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与边 相交于点D，与边 相交于点E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）在 的内部相交于点F；③连接并延长，与边相交于点G；④以点C为圆心，线段 长为半径画弧，与 相交于点M；⑤连接并延长，与边 相交于点N．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据尺规作图的步骤可知 平分 ， ，再根据等边对等角及三角形外角的性质得，即可得出答案． 【详解】解：根据作图步骤可知 平分 ， ， ∴． ∵分别是的外角， ∴， ∴，则B正确； 不能确定的数量关系，不能确定的位置关系，不能确定的数量关系，所以A，C，D不正确． 8. 如图，小虎在篮球场上从点O出发，沿着O→A→B→C→O的路径匀速跑动． 下列选项能刻画小虎所在位置距出发点O的距离s与时间t的关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象理解题意即可解答． 【详解】解：由题意分析可知，在O→A是直线且匀速奔跑，s是由小变大；在A→B→C是在圆弧上，s是不变的；在C→O是直线且匀速奔跑，s是由大变小；且A→B→C较长，所以符合题意的是B． 9. 某校开展以“迎2024巴黎奥运会”为主题的体育活动，计划拿出1800元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件150元，乙种奖品每件100元，则购买方案有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设购买件甲种奖品，件乙种奖品，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出，的值，进而可得出共有5种购买方案． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或或或， 共有5种购买方案． 故选：A． 10. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论： ①： ②对于任意实数，都有； ③； ④若，且；则． ⑤若为方程的两个根，则． 其中正确结论的个数有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点．依据题意，根据抛物线开口向下，对称轴是直线，再结合二次函数的性质逐个进行判断可以判断得解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ， 又 ∵抛物线与轴交于正半轴， ， 又 ∵对称轴是直线， ， ∴，故①正确． 由题意，当时，取最大值为， ∴对于任意实数，都有． ∴，故②错误． ∵抛物线与轴交于点， ∴． 又 ∵， ， ∴，故③正确． 设在二次函数上， ， ∴关于对称轴直线对称， 根据中点公式可得， ∴，故④正确， 由题意，∵抛物线的对称轴是直线，且与轴交于点， ∴抛物线与轴的另一交点为 ． ∴抛物线为． ∴方程的根可以看作直线与抛物线的交点的横坐标． ∵在轴上方， ∴若为方程的两个根，则，故⑤正确． 综上，正确的有①③④⑤，共4个． 故选：C． 二、填空题（共18分） 11. 相关报告显示，2025年中国人形机器人市场规模预计达到82.39亿元，约占全球一半．数据82.39亿用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中 ，为整数． 【详解】解：数据82.39亿用科学记数法表示为． 12. 若关于x的分式方程无解，则a的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出的值即可． 【详解】解：去分母得：， 整理得：， 由分式方程无解，得到或， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件． 13. 将一个无底圆锥母线长为 ，展开得到面积为的扇形，则圆锥的高为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用扇形面积公式求出扇形弧长，该弧长等于圆锥底面圆周长，据此求出底面圆半径，再利用勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】设展开后扇形的弧长为 ，已知圆锥母线长，扇形面积， 根据扇形面积公式，代入得： ， 解得． 扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为，则 ， 解得． 圆锥的母线，底面圆半径，圆锥的高构成直角三角形，根据勾股定理，圆锥的高为： ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的边平行于x轴，过点A作的垂线，交 于点B，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，若 的面积为4，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知图形面积求值，相似三角形的判定和性质，延长交轴于点 ，证明，求出的面积，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，进而求出的面积，再根据值的几何意义，进行求解即可． 【详解】解：延长交轴于点 ， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵ 的面积为4， ∴，， ∴， ∵反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，且双曲线在第二象限， ∴， ∴ ； 故答案为：． 15. 在 中，是边上的高，，则的度数为 ____ ． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：点在上或点在的延长线上．根据是边上的高，可得，结合，利用直角三角形和等腰三角形的性质求解． 【详解】①当点在上时，如图： ∵是边上的高， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． ②当点在的延长线上时，如图： ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴． ∴， ∴． 故答案为：或． 16. 如图所示，点，，，，……在平面直角坐标系上的坐标分别是，，，，……则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】观察点的坐标可得，横坐标依次增加 ，且当点的下标为偶数时，横坐标为下标除以 ，纵坐标以 ， ，， 这 个数为一个循环，由此计算即可得出结果． 【详解】解：观察点的横坐标：的横坐标为 ，的横坐标为 ，的横坐标为，的横坐标为 ，的横坐标为，可发现横坐标依次增加 ，且当点的下标为偶数时，横坐标为下标除以 ， 观察纵坐标，的纵坐标为 ，的纵坐标为 ，的纵坐标为，的纵坐标为 ，的纵坐标为 ，可发现纵坐标以 ， ，， 这 个数为一个循环， ∵是偶数， 故点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为 ， 故点的坐标为． 三、解答题（共72分） 17. 计算或因式分解 （1）计算： （2）因式分解：； 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）首先计算乘方，负整数指数幂，二次根式，特殊角的三角函数值和零指数幂，然后计算即可； （2）先提取公因式，再使用平方差公式进行分解即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：. 18. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得 ，． 19. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别解两个不等式，再取公共部分即可． 【详解】解： 解①得， 解②得， ∴原不等式组的解集为． 20. 4月18日，以“书承文脉，香满星城”为主题的2025年“书香长沙”世界读书日系列活动启动仪式在长沙市图书馆举行．通过全民阅读构筑共有精神家园，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校3000名学生最喜欢的图书类型，开展了抽样调查，调查的图书类型分为五类：A．人文社科类，B．文学艺术类，C．科普生活类，D．少儿类，E．其他，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次抽样共调查了________名学生，m的值为________； （2）补全条形统计图； （3）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？ 【答案】（1）50；30 （2） 补图如下∶ （3）600名 【解析】 【分析】（1）用A类的人数和所占的百分比求出总人数；用D类的人数除以总人数，即可得出m的值； （2）根据（1）中所求D类的人数，即可补全条形统计图； （3）用学校总人数乘以样本中喜欢B文学艺术类的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：这次调查的学生人数为（人）； D类的人数为（人）． ， ∴ ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： （名） 答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有600名． 21. 如图，在 中，，以 为直径作交于点 ，过点 作，垂足为，延长交 的延长线于点 ． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， ∵ 为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴点 为的中点， ∵点 为 的中点， ∴为 的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（ ）连接，， 为的直径，则有，所以点 为的中点，又点 为 的中点，所以为 的中位线，然后证明即可； （ ）先由勾股定理得，又，则， 所以，然后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴由勾股定理，得， 由（ ）知，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得，， ∴． 22. 一辆快车从甲地驶往乙地，到达乙地后立刻返回甲地，同时一辆慢车从乙地驶往甲地，到达甲地后停止行驶，已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米．设行驶时间为x(单位：小时)，两车之间的距离为y(单位：千米)，y与x之间的函数关系如图， 根据图象解答下列问题： （1）直接写出快、慢两车的速度； （2）求快车从乙地返回甲地的过程中y与x的函数解析式； （3）直接写出何时两车相距70千米． 【答案】（1）快车的速度为80千米/时，慢车的速度为60千米/时； （2）； （3）当x的值为或或小时时，两车相距70千米． 【解析】 【分析】（1）先点（2，0）的实际意义求出快车比慢车1小时多行驶20千米，然后根据图象求出快车、慢车从出发到相遇y与x对应的函数关系式，令x=0，求出甲、乙两地之间的距离，再设慢车的速度为a千米/时，则快车的速度为（a+20）千米/时，根据两车的路程之和=280列方程求解即可； （2）根据题意求出点C，D，E坐标，然后用待定系数法求函数解析式； （3）根据AB，BC，CD，DE所在直线的解析式，把y=70分别代入解析式，求出相应的x即可． 【小问1详解】 解：由图可知：点（2，0）表示的意义是快车与慢车相向而行，经过2小时相遇， ∵两车相遇时快车比慢车多行驶40千米， ∴快车比慢车2小时多行驶40千米， ∴快车比慢车1小时多行驶20千米， 设快车、慢车从出发到相遇y与x对应的函数关系式为y=kx+b（k≠0）． 把（，210），（2，0）两点的坐标分别代入到y=kx+b（k≠0）中， 得，解得：， ∴快车、慢车从出发到相遇对应的函数关系式为y=-140x+280， 令x=0，得y=280， ∴甲、乙两地相距280千米， 设慢车的速度为a千米/时，则快车的速度为（a+20）千米/时， ∵快车与慢车相向而行，经过2小时相遇， ∴2a+2（a+20）=280， 解得a=60， ∴a+20=60+20=80， ∴快车的速度为80千米/时，慢车的速度为60千米/时； 【小问2详解】 解：由图象知，C（3.5，210），即C（，210）， ∵280÷60=， ∴D的横坐标为， ∵D的纵坐标表示的意义是慢车到达甲地时，两车之间的距离， 此时，慢车到达甲地，快车从乙地返回甲地的过程中， 快车与甲地的距离为：280×2-80×=（千米）， ∴此时y=， ∴D（，）， ∵280×2÷80=7（小时）， ∴E（7，0）， 当≤x＜时，设线段CD对应的函数解析式为y=k1x+b1（k1≠0）， ∴，解得， ∴y=-20x+280； 当≤x≤7时，设线段DE对应的函数解析式为y=k2x+b2（k2≠0）， ∴，解得， ∴y=-80x+560； 综上所述，快车从乙地返回甲地的过程中y与x的函数解析式为； 【小问3详解】 解：设快车、慢车相遇后到快车到达乙地的过程中y与x对应的函数关系式为y=k3x+b3（k3≠0）， 把B（2，0），C（，210），两点的坐标代入解析式中， 得，解得， ∴y=140x-280（2≤x≤）， 由（1）可知：y=-140x+280（0≤x≤2）， 把y=70代入到y=-140x+280（0≤x≤2）中， 得70=-140x+280（0≤x≤2）， 解得x=； 把y=70代入到y=140x-280（2≤x≤）中得： 70=140x-280（2≤x≤）， 解得：x=； 把y=70代入到y=-20x+280（≤x≤）中得：70=-20x+280（≤x≤）， 解得：x=，不合题意，舍去； 把y=70代入到y=-80x+560（≤x≤7）中得：70=-80x+560， 解得：x=． 综上所述，当x的值为或或小时时，两车相距70千米． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及考查学生解决实际问题的能力，要求学生根据问题提供的信息读懂图象，并善于从图象中得到正确的信息．要求学生将所给的函数图象与其表示的实际意义联系起来，并结合图象分析和解决问题． 23. 综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1， 和都是等边三角形，连接， ．求证： ． 【类比探究】 （2）如图2， 和都是等腰直角三角形， ，连接， ，则 【拓展提升】 （3）如图3，， ，连接， ，若． ①求的值； ②延长 交于点 ，则 ． 【答案】 （1）证明：∵ 和是等边三角形， ∴， ， ， ∵ ， ， ∴ ， 在和 中， ， ∴ ， ∴ ； （2）；（3）①，②． 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可； ②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到 ，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）∵ 和都是等腰直角三角形， ， ∴ ， ， ， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：； （3）①∵，， ∴设 ，则， ∴ ， ∴． ∵， ， ∴ ，， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴． ②设 ， 交于点 ，如图， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，抛物线 交轴于，两点，与轴交于点 ，连接， ． 为线段上的一个动点，过点 作 轴，交抛物线于点，交 于点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点作，垂足为点，设 点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，有最大值，最大值是多少？ （3）试探究点 在运动过程中，是否存在这样的点，使得以 ， ，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． （4）在（2）的条件下，直线上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转 度，使点 的对应点恰好落在该抛物线上，则点的坐标是 　 　．（直接写出结果） 【答案】（1） （2），当时，有最大值 （3）存在，点坐标为或 （4）或 【解析】 【分析】（1）将，代入抛物线 ，用待定系数法即可求解； （2）由（1）的抛物线解析式可求出点 的坐标，直线 的解析式， 点的坐标为，，可用含的式子表示，，从而表示出的值，求出的值； （3）设，，则可用含的式子表示，，分类讨论：当；当；当，由此即可求解； （4）如图所示（见详解），过点作轴交于点 ，过点作交于点，可证，设，则，，则，由此即可求解． ∵点在抛物线上， 【小问1详解】 解：将，代入 ， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：令 ，则， ∴， 设直线 的解析式为， ∴，解得， ∴直线 的解析式为：， ∵ 点的坐标为，， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值． 【小问3详解】 解：存在点，使得以 ， ，为顶点的三角形是等腰三角形， 设， ∴，，， 当时，，解得（舍）或； ∴， 当时，，解得或（舍）； ∴， 当时，，解得（舍）； 综上所述：点坐标为或． 【小问4详解】 解：如图所示，过点作轴交于点 ，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴，解得或， ∴或 ， 故答案为：或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期九年级数学第一次模拟卷 一、单选题（共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图图形中不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成．判断拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图，这是化学元素周期表中原子序数为的元素，从中随机一次性选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素（锂和铍为金属元素）的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在 中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与边 相交于点D，与边相交于点E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）在 的内部相交于点F；③连接并延长，与边相交于点G；④以点C为圆心，线段 长为半径画弧，与 相交于点M；⑤连接并延长，与边 相交于点N．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小虎在篮球场上从点O出发，沿着O→A→B→C→O的路径匀速跑动． 下列选项能刻画小虎所在位置距出发点O的距离s与时间t的关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 某校开展以“迎2024巴黎奥运会”为主题的体育活动，计划拿出1800元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件150元，乙种奖品每件100元，则购买方案有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 10. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论： ①： ②对于任意实数，都有； ③； ④若，且；则． ⑤若为方程的两个根，则． 其中正确结论的个数有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共18分） 11. 相关报告显示，2025年中国人形机器人市场规模预计达到82.39亿元，约占全球一半．数据82.39亿用科学记数法表示为________． 12. 若关于x的分式方程无解，则a的值为__________． 13. 将一个无底圆锥母线长为，展开得到面积为的扇形，则圆锥的高为__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的边平行于x轴，过点A作的垂线，交 于点B，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，若 的面积为4，则k的值为__________． 15. 在 中，是边上的高，，则的度数为 ____ ． 16. 如图所示，点，，，，……在平面直角坐标系上的坐标分别是，，，，……则点的坐标为______． 三、解答题（共72分） 17. 计算或因式分解 （1）计算： （2）因式分解：； 18. 解方程：． 19. 解不等式组： 20. 4月18日，以“书承文脉，香满星城”为主题的2025年“书香长沙”世界读书日系列活动启动仪式在长沙市图书馆举行．通过全民阅读构筑共有精神家园，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校3000名学生最喜欢的图书类型，开展了抽样调查，调查的图书类型分为五类：A．人文社科类，B．文学艺术类，C．科普生活类，D．少儿类，E．其他，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次抽样共调查了________名学生，m的值为________； （2）补全条形统计图； （3）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？ 21. 如图，在 中，，以 为直径作交于点 ，过点 作，垂足为，延长交 的延长线于点 ． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 22. 一辆快车从甲地驶往乙地，到达乙地后立刻返回甲地，同时一辆慢车从乙地驶往甲地，到达甲地后停止行驶，已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米．设行驶时间为x(单位：小时)，两车之间的距离为y(单位：千米)，y与x之间的函数关系如图， 根据图象解答下列问题： （1）直接写出快、慢两车的速度； （2）求快车从乙地返回甲地的过程中y与x的函数解析式； （3）直接写出何时两车相距70千米． 23. 综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1， 和都是等边三角形，连接， ．求证： ． 【类比探究】 （2）如图2， 和都是等腰直角三角形， ，连接， ，则 【拓展提升】 （3）如图3，， ，连接， ，若． ①求的值； ②延长 交于点 ，则 ． 24. 如图，抛物线 交轴于，两点，与轴交于点 ，连接，． 为线段上的一个动点，过点 作 轴，交抛物线于点，交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点作，垂足为点，设 点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，有最大值，最大值是多少？ （3）试探究点 在运动过程中，是否存在这样的点，使得以 ， ，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． （4）在（2）的条件下，直线上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转 度，使点 的对应点恰好落在该抛物线上，则点的坐标是 　 　．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $